CN105528496B - 一种残差迭代的Prony低频振荡分析方法 - Google Patents

一种残差迭代的Prony低频振荡分析方法 Download PDF

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Abstract

本发明公开了一种残差迭代的Prony低频振荡分析方法，采用迭代的方法来减小信号模型的阶数，提高解算特征方程系数求解方程组的数值稳定性。具体包括以下步骤：读入滤波后的测量数据；用奇异值分解法计算信号模型实际阶数；用残差迭代法计算特征方程系数；计算频率和衰减因子；计算幅值和初相。发明通过残差迭代的Prony法分析低频振荡，可以减小扩展Prony分析时的信号模型的阶数，提高解算特征方程系数求解方程组的数值稳定性。在所取的信号模型阶数m相同的条件下，本发明比传统Prony法计算出的低频振荡信息的结果精度高。

Description

一种残差迭代的Prony低频振荡分析方法
技术领域
本发明涉及一种电力系统的Prony低频振荡的分析方法，特别是一种残差迭代的Prony法低频振荡分析方法。
背景技术
电力系统中发电机并列运行时，在扰动下会发生发电机转子间的相对摇摆，并在缺乏阻尼时引起持续振荡，此振荡频率一般为0.1Hz～2.5Hz，称为低频振荡。电力系统低频振荡是电力系统运行的一种常见的不正常运行状态，严重影响电力系统运行的稳定性，危及电网及其相关设备的安全。因此必须严密监测可能出现的低频振荡现象，及时处理，防止造成破坏系统稳定性的后果。Prony分析是目前分析低频振荡最常用最有效的方法之一。通过对信号进行Prony分析，可以直接得到反映测量数据中所包含低频振荡各信号分量的幅值、初相、频率及衰减因子等参数，为进一步采取控制措施提供依据。
Prony算法用一系列的任意频率、衰减因子、幅值和初相的指数函数的线性组合来拟合一个函数，不用再通过频域响应来求解，其计算量大为减少。也就是说该数学模型可以由一组衰减的正弦分量组成，是一种使用线性方程组来求解非线性问题的分析方法。
假设输入信号x(n)有N个采样点，即输入信号为x(0),…,x(N-1)。对该输入信号建立信号模型如下：
式中，是x(n)的近似值，p为信号模型的阶数，p值与信号分量数有关，bi和zi的表达式为：
式中，Ai为幅值，θi为初相，αi为衰减因子，fi为频率，Δt为采样时间间隔。
为了求式(1)中zi的值，由zi构造如下的特征多项式
则zi是特征多项式(4)构成的如下特征方程的根
式中，a0＝1。
根据式(1)和式(5)，可以推导出满足递推的常系数线性差分方程，该差分方程为：
式(6)中是实际测量数据x(n)的近似值，它们之间存在误差e(n)，即
式(6)代入式(7)，得
对式(8)进行最小二乘估计，使得误差平方和最小，则导致一组非线性方程，求解困难。为了实现线性估计，令
则式(8)可写成
式(10)写成矩阵形式为
式(11)为特征方程系数求解方程组，它的方程个数为N–p，未知数个数为p，一般情况下方程个数多于未知数个数，可以用最小二乘法计算估计值。求解式(11)的线性最小二乘法称为扩展Prony法。
采用最小二乘法，使最小，得到最小二乘法的法方程
式中，样本函数r(i,j)为(下式中上标(*)表示共轭)
最小误差能量为
用高斯消去法解式(12)，就可以求出a＝[a1 a2 … ap]T。a的精确求解是Prony法的关键，求出的a代入特征方程(5)，求出z＝[z1 z2 … zp]T后，就可以计算出信号分量的频率和衰减因子。式(5)是一元高次方程，一般采用QR分解法求解。
信号分量的频率和衰减因子计算公式如下：
式中，arctan、ln、Im、Re分别为反正切函数、自然对数函数、取复数虚部函数、取复数实部函数。
计算出信号模型的zi代入式(1)，得到关于未知数b的线性方程如下：
式中
b＝[b1 b2 … bp]T (18)
式(17)的Z是N×p维的范德蒙矩阵。由于zi各不相同，范德蒙矩阵Z的各列线性独立，为满列秩的。求解式(16)计算出b后，就可以计算信号分量的幅值和初相了。式(16)也是方程个数多于未知数个数的方程组，仍然用最小二乘法计算估计值。
幅值和初相计算公式为
由于事先不知道低频振荡中信号分量的个数，即式(11)中的p不确定，因此需要把信号模型的阶数取得大些(即取为pe>p)，再通过奇异值分解法计算出方程组系数矩阵的有效秩r，即可得到信号模型的实际阶数p＝r。这样把式(11)改写为式(21)
式(21)的系数矩阵为扩展阶矩阵
扩展阶矩阵Xe为(N-pe)×pe阶矩阵，用奇异值分解法可以求出该扩展阶矩阵的有效秩r，即可得到信号模型的实际阶数p＝r。
如图1所示，现有电力系统的Prony法低频振荡的分析方法，主要包括以下步骤：
A、读入滤波后的测量数据
测量数据中含有高频信号及噪声，需先对测量数据滤波去掉高频信号及噪声，才能进行Prony法低频振荡分析。
B、奇异值分解法信号模型实际阶数计算
根据测量数据形成扩展阶矩阵Xe，所取信号模型阶数pe大于信号模型实际阶数p(pe取满足[N/4]<pe<[N/2]的整数，，方括号为向下取整符号)，然后采用奇异值分解法对扩展阶矩阵Xe进行计算，求出扩展阶矩阵的所有奇异值，此奇异值为非负的，并按下列顺序排列：
σ11≥σ22≥…≥σhh≥0 (23)
式中
h＝min(N-pe,pe) (24)
求出所有奇异值并排顺后，按下式对奇异值归一化
σkk0＝σkk/σ11,1≤k≤h (25)
选择一个较小的正数作为阈值，使σkk0大于此阈值的最大整数k取为扩展阶矩阵Xe的有效秩r，则信号模型的实际阶数p＝r。
C、特征方程系数计算
计算时，一般需要把信号模型的阶数m取得比信号模型的实际阶数p大一些，否则计算结果的精度很差。取方程未知数个数m大于信号模型实际阶数p，重新列方程(11)得到新的特征方程系数求解方程组如下：
此方程组的方程数(N–m)大于未知数个数m，可以采用最小二乘法对未知数进行估计，计算出对应特征方程的系数。由于方程(26)是线性方程，形成相应法方程后采用高斯消去法求解。
D、频率和衰减因子计算
信号模型的阶数为m时的特征方程为：
式中，a0＝1。
式(27)是一元高次方程，其解为实数或共轭复数，一般采用QR分解法求解，得到z后，就可以计算出信号分量的频率和衰减因子。
E、幅值和初相计算
对应式(26)，求解信号模型的系数bi的公式(17)和(18)相应变为：
b＝[b1 b2 … bm]T (29)
把求出的z代入式(28),并根据式(16)计算出b后，就可以计算信号分量的幅值和初相。式(16)的方程数也大于未知数个数，仍然可以用最小二乘法对未知数进行估计。计算出信号分量按幅值由大到小排序，取前p个信号分量作为最终的信号分量结果。
计算出的信号分量为如下复指数函数，
一般情况下，复指数函数成对出现，即复指数函数和它的共轭值成对出现。函数x′i(t)的共轭值为
信号分量x′i(t)和信号分量x″i(t)叠加为正弦分量如下：
由于计算特征方程系数矩阵时，未知数个数m大于信号模型实际阶数p，计算出信号分量比实际的信号分量多。这些多出的分量幅值很小，可以根据幅值剔除这些多余的分量。
目前采用Prony模型，用最小二乘法计算低频振荡时，所取的信号模型阶数m要比信号模型的实际阶数p大得较多，否则计算精度很差。但取信号模型阶数m大于信号模型的实际阶数p时，特征方程系数求解方程的系数矩阵已经奇异，数值条件变得很差，造成求解困难，信号模型的阶数比信号模型的实际阶数大得越多，数值条件就越差，特征方程系数求解方程组的求解就更困难。
发明内容
为解决现有技术存在的上述问题，本发明要提出一种残差迭代的Prony低频振荡分析方法，以便有效改善特征方程系数求解方程组的系数矩阵的数值条件，提高特征方程系数求解方程组数值稳定性。
为了实现上述目的，本发明提出了残差迭代的Prony低频振荡分析方法来减小扩展Prony分析时的信号模型的阶数，提高解算特征方程系数求解方程组的数值稳定性。
本发明的技术方案如下：一种残差迭代的Prony低频振荡分析方法，采用迭代的方法来减小信号模型的阶数，提高解算特征方程系数求解方程组的数值稳定性。
特征方程系数求解方程组(26)是方程数多于未知数的一组方程，由于右端向量未知，用最小二乘法求解，就是把式(26)写成式(33)所示的不相容方程组，而令误差平方和最小。
把式(33)改写成下式：
上述方程式(34)的方程个数为N-m，未知数个数为m，一般情况下方程个数多于未知数个数，可以用最小二乘法计算估计值。
式(34)简写为
Xa＝c (35)
式中，
a＝[a1 a2 … am]T (37)
c＝-[x(m)x(m+1)…x(N-1)]T (38)
通过式(35)写出如下法方程
XTXa＝XTc (39)
由于a是用最小二乘法估计出的值，代入方程(35)的左端得到的值c′
Xa＝c′ (40)
显然不等于方程右端的值c，二者的差即为残差Δc，即
Δc＝c-c′ (41)
可以根据如下关于Δc的方程求残差所对应的a的偏差Δa
XΔa＝Δc (42)
为了对式(42)的变量Δa进行最小二乘估计，写出其法方程如下
XTXΔa＝XTΔc (43)
利用法方程(43)对Δa进行最小二乘估计，得到Δa。
用得到的Δa对a的原值进行修正，得到a的新值作为估计值，效果可能更好，修正公式如下：
a(k+1)＝a(k)+Δa(k) (44)
式中，a(k+1)为第k+1次迭代得到的a值。
计算信号模型的系数bi的公式(16)中的可以表示为：
按照对式(26)的处理方法，式(16)也写成式(46)所示的不相容方程组，而令误差平方和最小。
Zb＝x (46)
式中，右端向量为
x＝[x(0) x(1) … x(N-1)]T (47)
本发明方案包括以下步骤：
A、读入滤波后的测量数据
读入测量数据，并对测量数据滤波去掉高频信号及噪声。
B、用奇异值分解法计算信号模型实际阶数
根据测量数据形成扩展阶矩阵Xe，所取信号模型阶数pe大于信号模型实际阶数p(pe取满足[N/4]<pe<[N/2]的整数，方括号为向下取整符号)，然后采用奇异值分解算法计算扩展阶矩阵Xe的有效秩r，即可得到信号模型的实际阶数p＝r。
C、用残差迭代法计算特征方程系数
取信号模型m为满足p≤m<[N/2]的整数，列方程(26)，方程(26)的方程数大于未知数个数，不能直接求解，形成相应的法方程后采用最小二乘法对未知数进行估计，计算出特征方程的系数a＝[a1 a2 … am]T。
为了提高计算精度，采用迭代法求解a。其步骤如下：
C1、设迭代计数k＝0，收敛精度δ＝0.00001，最大迭代次数km＝30；
C2、根据测量数据形成方程的系数矩阵X和右端向量c；
C3、用高斯消去法求解式XTXa＝XTc，得到a的初值a(0)；
C4、把a(k)代入式(c′)(k)＝Xa(k)，得到(c′)(k)；
C5、按照式Δc(k)＝c-(c′)(k)，计算残差Δc(k)；
C6、用高斯消去法求解式XTXΔa(k)＝XTΔc(k)，得到Δa(k)；
C7、求Δamax＝1m≤ia≤xm|Δai (k)|；
C8、判断Δamax是否小于δ，如果Δamax小于δ，转至步骤C11；
C9、令a(k+1)＝a(k)+Δa(k)；
C10、令k＝k+1，如果k<km，转至步骤C4；
C11、结束；
D、计算频率和衰减因子
特征方程的系数a求出后，代入特征方程(27)，求出z后，就可以计算出信号分量的频率和衰减因子。特征方程(27)是一元高次方程，其解为实数或共轭复数，一般采用QR分解法求解。
E、计算幅值和初相
把求出的z代入式(28),并根据式(46)计算出b后，就可以计算信号分量的幅值和初相。式(46)的方程数也大于未知数个数，不能直接求解，形成相应的法方程，采用最小二乘法对未知数进行估计。计算出信号分量按幅值由大到小排序，取前p个信号分量作为最终的信号分量结果。
与现有技术相比，本发明具有以下有益效果：
1、本发明通过残差迭代的Prony法分析低频振荡，可以减小扩展Prony分析时的信号模型的阶数，提高求解特征方程系数求解方程的数值稳定性。
2、在所取的信号模型阶数m相同的条件下，本发明比传统Prony法计算出的低频振荡信息的结果精度高。
附图说明
本发明共有附图3张。其中：
图1是Prony法低频振荡分析的流程图。
图2是本发明残差迭代的Prony法低频振荡分析的流程图。
图3是本发明残差迭代的Prony法计算特征方程系数的迭代流程图。
具体实施方式
下面结合附图对本发明进行进一步地说明。采用图1所示的传统Prony法低频振荡分析的流程图和图2-3所示的本发明方法的流程图，对下列算例信号进行了分析。
x(t)＝10e-0.0311t cos(2π×0.2473t+20°)+2e-0.2652t cos(2π×0.42t+13°)+
10e-0.0027t cos(2π×0.423t+110°)+e-0.2936t cos(2π×1.0349t+60°)+ (48)
1.6e-2.2421t cos(2π×2.4t+10°)
上述信号包含5个正弦分量，等效为10个复指数分量，采用式(1)对上述信号建模时，信号模型的实际阶数p为10。算例信号的参数见表1。
表1算例信号的参数
分量序号 频率f(Hz) 衰减因子α 幅值A 初相θ(°)
1 0.24730 -0.03110 10.00000 20.00000
2 0.42000 -0.26520 2.00000 13.00000
3 0.42300 -0.00270 10.00000 110.00000
4 1.03490 -0.29360 1.00000 60.00000
5 2.40000 -2.24210 1.60000 10.00000
对上述信号每间隔0.1s计算一个值，共计算200个值，用来模拟测量值。则此测量数据的采样间隔为0.1s，时长为20s，测量值个数为200。计算时，方程(26)的阶数m分别取为10、11、12、13和14。计算结果见表2～表6。
信号模型阶数m取10时，传统方法和本发明方法的计算结果见表2，本发明方法迭代13次。
表2信号模型阶数m取10时两种方法的计算结果比较
由表2参照表1可见，当所取信号模型阶数m恰好为实际阶数p时，本发明算法所得正弦分量误差很小，传统方法则有很大误差，特别是快速衰减的正弦分量5误差较大，频率接近的分量2(频率为0.42Hz)和分量3(频率为0.423Hz)也无法区分。
信号模型阶数m取11时，传统方法和本发明方法的计算结果见表3，本发明方法迭代5次。
表3信号模型阶数m取11时两种方法的计算结果比较
由表3可见，当信号模型阶数m接近实际阶数p时，本发明算法计算得到的正弦分量非常准确，传统方法则有较大误差。
信号模型阶数m取12时，传统方法和本发明方法的计算结果见表4，本发明方法迭代3次。
表4信号模型阶数m取12时两种方法的计算结果比较
由表4可见，当信号模型阶数m稍大于实际阶数p时，本发明算法计算得到的正弦分量非常准确，传统方法则有一定误差。
信号模型阶数m取13时，传统方法和本发明方法的计算结果见表5，本发明方法迭代3次。
表5信号模型阶数m取13时两种方法的计算结果比较
由表5可见，当信号模型阶数m大于实际阶数p一定值时，本发明算法计算得到的正弦分量非常准确，传统方法则有较小的误差。
信号模型阶数m取14时，传统方法和本发明方法的计算结果见表6，本发明方法迭代3次。
表6信号模型阶数m取14时两种方法的计算结果比较
由表6可见，当信号模型阶数m比实际阶数p大得较多时，本发明算法计算得到的正弦分量非常准确，传统方法则仍有较小的误差。
由表2-6可见，当信号模型阶数m等于或稍大于实际阶数p时，传统方法计算得到正弦分量误差较大，本发明算法则非常准确。随着m值增大，传统方法计算误差也逐渐变小，但直到信号模型阶数m等于14时，传统方法仍有一定的误差。
本发明可以采用任何一种编程语言和编程环境实现，如C语言、C++、FORTRAN、Delphi等。开发环境可以采用Visual C++、Borland C++Builder、Visual FORTRAN等。

Claims (1)

1.一种残差迭代的Prony低频振荡分析方法，其特征在于：包括以下步骤：
A、读入滤波后的测量数据
读入测量数据，并对测量数据滤波去掉高频信号及噪声；
B、用奇异值分解法计算信号模型实际阶数
根据测量数据形成扩展阶矩阵Xe，所取信号模型阶数pe大于信号模型的实际阶数p，pe取值为满足[N/4]<pe<[N/2]的整数，然后采用奇异值分解法计算扩展阶矩阵Xe的有效秩r，即得到信号模型的实际阶数p＝r；方括号为向下取整符号；
扩展阶矩阵Xe为：
式中，pe为所取信号模型的阶数，x(i)表示第i个测量数据，i＝0、1、2、…、N-2，N为测量数据总个数；
C、用残差迭代法计算特征方程系数
取信号模型的阶数m为满足p≤m<[N/2]的整数，列出特征方程系数求解方程组，由于特征方程系数求解方程组的方程数大于未知数个数，不能直接求解，形成相应的法方程后采用最小二乘法对未知数进行估计，计算出特征方程的系数
a＝[a1 a2 … am]T (2)
特征方程系数求解方程组为：
式(3)对应的法方程为：
式中，样本函数r(i,j)的表达式如下：
上式中的上标*表示共轭；
最小误差能量为
信号模型的阶数为m时的特征方程为：
式中，a0＝1；
为了提高计算精度，采用迭代法求解a；其步骤如下：
C1、设迭代计数k＝0，收敛精度δ＝0.00001，最大迭代次数km＝30；
C2、根据测量数据形成方程组的系数矩阵X和右端向量c；
用最小二乘法对特征方程系数求解方程组(3)求解，就是把式(3)写成下式所示的不相容方程组，并令误差平方和最小，
X和c分别为式(8)经过变化后得到的方程组的简写形式的系数矩阵和右端向量：
Xa＝c (9)
式中，
a＝[a1 a2 … am]T (11)
c＝-[x(m) x(m+1) … x(N-1)]T (12)
C3、用高斯消去法求解式下式，得到a的初值a(0)；
XTXa＝XTc (13)
C4、把a(k)代入式(c′)(k)＝Xa(k)，得到(c′)(k)；
C5、按照式Δc(k)＝c-(c′)(k)，计算残差Δc(k)；
C6、用高斯消去法求解式XTXΔa(k)＝XTΔc(k)，得到Δa(k)；
C7、求
C8、判断Δamax是否小于δ，如果Δamax小于δ，转至步骤D；
C9、令a(k+1)＝a(k)+Δa(k)；
C10、令k＝k+1，如果k<km，转至步骤C4；
D、计算频率和衰减因子
特征方程的系数a求出后，代入特征方程(7)，得到z后，并计算出信号分量的频率和衰减因子；特征方程(7)是一元高次方程，其解为实数或共轭复数，采用QR分解法求解；
信号分量的频率和衰减因子计算公式如下：
式中，arctan、ln、Im、Re分别为反正切函数、自然对数函数、取复数虚部函数、取复数实部函数；
E、计算幅值和初相
把求出的z代入以下公式(15)，并根据该式计算出b后，再计算信号分量的幅值和初相；式(15)的方程数也大于未知数个数，不能直接求解，形成相应的法方程，采用最小二乘法对未知数进行估计,计算出信号分量按幅值由大到小排序，取前p个信号分量作为最终的信号分量结果；
计算b的公式为：
Zb＝x (15)
式中
b＝[b1 b2 … bm]T (17)
x＝[x(0) x(1) … x(N-1)]T (18)
相应的法方程为：
ZTZb＝ZTx
幅值和初相计算公式为
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