CN105467361A - 联合无线电信号复包络和载波相位信息的超视距目标直接定位方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种联合无线电信号复包络和载波相位信息的超视距目标直接定位方法，首先基于信号超视距传播模型，建立到达信号复包络和载波相位关于目标位置参数的数学模型，获得多站阵列信号模型，接着利用基2-FFT算法将多站阵列天线接收数据转化为频域数据，并基于电离层高度的先验观测以及最大似然估计准则建立联合估计目标位置参数和电离层高度的数学优化模型，最后根据矩阵特征值扰动理论设计出Newton型迭代算法进行超视距目标定位。本发明能够有效提高目标定位的精度，可以在电离层高度先验观测的基础上，进一步提高对电离层高度的估计精度，具有较快的收敛速度，无需高维搜索，性能可靠、运算高效。

Description

联合无线电信号复包络和载波相位信息的超视距目标直接定位方法

技术领域

本发明涉及无线电信号定位领域，特别涉及一种联合无线电信号复包络和载波相位信息的超视距目标直接定位方法。

背景技术

众所周知，无线电信号定位技术对于目标发现及其态势感知具有十分重要的意义，经过近几十年的发展，该技术在理论和工程应用中都取得了长足的进展。根据观测站的数目进行划分，可以将无线电信号定位体制划分为单站定位和多站定位两大类，前者具有系统简洁、灵活性高、无需信息同步和通信传输等优点，后者则能够提供更多的观测量，从而有助于取得更高的定位精度。本专利主要涉及到多站定位方式。在多站定位系统中，最重要的两类定位体制是多站测向交汇定位和多站测时差交汇定位。前者要求每个观测站安装天线阵列，各个观测站利用信号到达本站内不同天线的载波相位差估计信号方位，然后再在中心站进行交汇定位；第二种定位体制则要求估计信号复包络到达不同观测站的时延差，并利用时延差进行交汇定位。从所利用的信息来看，前者仅仅利用了到达信号的载波相位信息，而后者仅仅利用了到达信号的复包络信息。虽然这两类定位体制都有其自身优势，但是定位精度都存在较大的提升空间，为了大幅度提高多站定位精度，最好是能够同时利用到达信号的复包络和载波相位信息，并设计出合理的定位方法。

对于远距离目标而言，目标信号往往是通过超视距传播的方式到达各个观测站，最常见的一种传播方式是信号经过电离层折射后入射至地面观测站，在这种定位场景下人们通常采用多站测向交汇法进行目标定位，单在实际应用中该方法的定位精度并不高。事实上，若想对超视距目标进行精确定位，要求对信号的传播路径建立有效的数学模型，并且需要一些先验知识(例如电离层高度的先验观测)，除此之外还应尽可能地同时利用信号复包络和载波相位信息。因此，如何在获得电离层高度先验观测的基础上，通过联合信号复包络和载波相位信息实现对超视距目标的精确定位是十分有意义的课题，这也是本专利重点要解决的问题。另一方面，现有的无线电信号定位过程都可以归纳为两步估计定位模式，即首先从信号数据中提取定位参数(例如方位、时延差、多普勒等)，然后再基于这些参数解算出目标位置。虽然这种两步定位模式在现代定位系统中已被广泛应用，但以色列学者A.J.Weiss和A.Amar却指出了其中所存在的诸多缺点，并提出了单步直接定位的思想，其基本理念是从信号采集数据域中直接估计目标的位置参数，而无需再估计其它中间定位参数。

发明内容

针对现有技术中的不足，本发明提供一种联合无线电信号复包络和载波相位信息的超视距目标直接定位方法，借鉴单步直接定位模式解决超视距目标的定位问题，定位精度要比传统的两步定位模式高，这也是提高超视距目标定位精度的一种重要手段，相比于传统的针对超视距目标的多站测向交汇定位法，能够有效提高目标定位精度，并且可以在电离层高度先验观测的基础上进一步提高对电离层高度的估计精度，具有较快的收敛速度，无需高维搜索，是一种性能可靠、运算高效的定位方法。

按照本发明所提供的设计方案，一种联合无线电信号复包络和载波相位信息的超视距目标直接定位方法，具体包含如下步骤：

步骤1.对N个观测站的M通道阵列天线接收系统进行时间同步，根据奈奎斯特采样定理采集目标辐射的无线电信号数据，获得阵列信号时域数据；

步骤2.每个观测站将所采集到的Q个时域数据样本点做基2-FFT运算，得到阵列信号频域数据，其中，Q为2的整数次幂；

步骤3.每个观测站将所获得的阵列信号频域数据传输至中心站，中心站利用电离层高度的先验观测以及观测站的阵列信号频域数据建立最大似然参数估计准则；

步骤4.在最大似然参数估计准则的基础上，通过数学推演建立联合估计目标位置参数和电离层高度的数学优化模型；

步骤5.基于矩阵特征值扰动公式设计数值优化中的牛顿型迭代算法，利用数学优化模型中矩阵的最大特征值进行数值寻优，进行超视距目标的定位。

上述的，步骤1中，第n个观测站的阵列天线所接收到的信号时域模型为x_n(t)＝β_na_n(p)s(t-τ_n(p,h_n)-t₀)+ε_n(t)(1≤n≤N)，其中，p表示目标位置向量，h_n表示目标信号经过超视距传播至第n个观测站所经历的电离层高度，t₀表示目标发射信号时间，s(t)表示目标信号复包络，a_n(p_d)表示目标信号相对于第n个天线阵列的阵列流形向量，β_n表示目标信号传播至第n个观测站的损耗因子，ε_n(t)表示第n个观测站中天线阵列的阵元噪声向量，τ_n(p,h_n)表示目标信号到达第n个观测站的传播时延，它同时是关于目标位置向量p和电离层高度h_n的函数；步骤2中，第n个观测站的阵列天线所接收到的信号频域模型为 $\begin{array}{c}{\tilde{x}}_n\left({\mathrm{\ω}}_q\right)={\mathrm{\β}}_n{a}_n\left(p\right)\tilde{s}\left({\mathrm{\ω}}_q\right)\·\exp \{-{\mathrm{i\ω}}_q\left({\mathrm{\τ}}_n\right(p,h_n)+t_0)\}+{\widetilde{\mathrm{\ϵ}}}_n\left({\mathrm{\ω}}_q\right)\\ \begin{array}{cc}={\mathrm{\β}}_n{b}_n(p,h_n,{\mathrm{\ω}}_q)\tilde{r}\left({\mathrm{\ω}}_q\right)+{\widetilde{\mathrm{\ϵ}}}_n\left({\mathrm{\ω}}_q\right)& (1\≤n\≤N;1\≤q\≤Q)\end{array}\end{array},$ 其中，和分别表示s(t)和ε_n(t)的频域形式，ω_q表示第q个数字频点，b_n(p,h_n,ω_q)和的表达式分别为 $\left\{\begin{array}{c}{b}_n(p,h_n,{\mathrm{\ω}}_q)=a_n\left(p\right)\·\exp \{-i{\mathrm{\ω}}_q{\mathrm{\τ}}_n(p,h_n\left)\right\}\\ \tilde{r}\left({\mathrm{\ω}}_q\right)=\tilde{s}\left({\mathrm{\ω}}_q\right)\·\exp \{-i{\mathrm{\ω}}_q{t}_0\}\end{array}\right.;$ 步骤3中，中心站所建立的最大似然估计准则为 $\min J=\min \left\{\frac{1}{{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\ϵ}}^2}\underset{n=1}{\overset{N}{\Σ}}\underset{q=1}{\overset{Q}{\Σ}}\right||{\tilde{x}}_n\left({\mathrm{\ω}}_q\right)-{\mathrm{\β}}_n{a}_n\left(p\right)\tilde{s}\left({\mathrm{\ω}}_q\right)\·\exp \{-{\mathrm{i\ω}}_q\left({\mathrm{\τ}}_n\right(p,h_n)+t_0)\left\}\right|{|}_2^2+\frac{1}{2}{(\hat{h}-h)}^T{P}^{-1}(\hat{h}-h)\},$ 其中，向量h＝[h₁h₂…h_N]^T包含了每个观测站所对应的电离层高度， $\hat{h}={\left[\begin{array}{cccc}{\hat{h}}_1& {\hat{h}}_2& ...& {\hat{h}}_N\end{array}\right]}^T$ 表示h的先验观测向量，其观测误差协方差矩阵记为P；步骤4中，所建立的联合估计目标位置向量p和电离层高度向量h的数学优化模型为 $\max f=\max \{{\mathrm{\λ}}_{\max }\[B(p,h)\tilde{X}{\tilde{X}}^H{B}^H(p,h)\]-\frac{1}{2}{(\hat{h}-h)}^T{\stackrel{\‾}{P}}^{-1}(\hat{h}-h)\},$ 其中，λ_max[·]表示取矩阵的最大特征值，矩阵B(p,h)和的表达式分别为 $B(p,h)=\left[\begin{array}{cccccc}{\stackrel{\‾}{b}}_1^T(p,h_1)& & & & & \\ & {\stackrel{\‾}{b}}_2^T(p,h_2)& & & & \\ & & .& & & \\ & & & .& & \\ & & & & .& \\ & & & & & {\stackrel{\‾}{b}}_N^T(p,h_N)\end{array}\right],$ $\tilde{X}=\left[\begin{array}{cccc}\mathrm{blkdiag}[{\tilde{x}}_1^{*}\left({\mathrm{\ω}}_1\right)& {\tilde{x}}_1^{*}\left({\mathrm{\ω}}_2\right)& ...& {\tilde{x}}_1^{*}\left({\mathrm{\ω}}_Q\right)]\\ \mathrm{blkdiag}[{\tilde{x}}_2^{*}\left({\mathrm{\ω}}_1\right)& {\tilde{x}}_2^{*}\left({\mathrm{\ω}}_2\right)& ...& {\tilde{x}}_2^{*}\left({\mathrm{\ω}}_Q\right)]\\ & .& & \\ & .& & \\ & .& & \\ \mathrm{blkdiag}[{\tilde{x}}_N^{*}\left({\mathrm{\ω}}_1\right)& {\tilde{x}}_N^{*}\left({\mathrm{\ω}}_2\right)& ...& {\tilde{x}}_N^{*}\left({\mathrm{\ω}}_Q\right)]\end{array}\right],$ 向量的表达式为 ${\stackrel{\‾}{b}}_n(p,h_n)={\left[\begin{array}{cccc}{b}_n^H(p,h_n,{\mathrm{\ω}}_1)& b_n^H(p,h_n,{\mathrm{\ω}}_2)& ...& b_n^H(p,h_n,{\mathrm{\ω}}_Q)\end{array}\right]}^H,(1\≤n\≤N).$

上述的，步骤5中，所设计出的数值优化中的牛顿型迭代算法的实现步骤为：

步骤5.1)利用多重信号分类估计算法和泰勒级数迭代定位算法获得目标位置向量的初始估计将电离层高度的先验观测向量作为h的初始估计形成初始迭代向量 ${\widehat{\mathrm{\η}}}^{\left(0\right)}={\left[\begin{array}{cc}{\hat{p}}^{\left(0\right)T}& {\hat{h}}^{\left(0\right)T}\end{array}\right]}^T;$

步骤5.2)进行牛顿型迭代的计算公式为 ${\widehat{\mathrm{\η}}}^{(k+1)}=\left[\begin{array}{c}{\hat{p}}^{(k+1)}\\ {\hat{h}}^{(k+1)}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\hat{p}}^{\left(k\right)}\\ {\hat{h}}^{\left(k\right)}\end{array}\right]-{\mathrm{\μ}}^k{\left(G\left({\widehat{\mathrm{\η}}}^{\left(k\right)}\right)\right)}^{-1}g\left({\widehat{\mathrm{\η}}}^{\left(k\right)}\right),$ 式中k表示迭代次数，0＜μ＜1表示迭代步长因子，和分别表示目标函数的梯度向量和Hessian矩阵，相应的计算公式分别为 $g\left({\widehat{\mathrm{\η}}}^{\left(k\right)}\right)=\left[\begin{array}{c}{g}_1\left({\widehat{\mathrm{\η}}}^{\left(k\right)}\right)\\ g_2\left({\widehat{\mathrm{\η}}}^{\left(k\right)}\right)-{\stackrel{\‾}{P}}^{-1}({\hat{h}}^{\left(k\right)}-\hat{h})\end{array}\right],$ 其中，

$<g_1\left({\widehat{\mathrm{\&eta;}}}^{\left(k\right)}\right){>}_i=u_0^H({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)}){\stackrel{\&CenterDot;}{Z}}_i^{\left(a\right)}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})u_0({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})$

$<g_2\left({\widehat{\mathrm{\&eta;}}}^{\left(k\right)}\right){>}_i=u_0^H({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})Z_i^{\left(b\right)}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})u_0({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})$

$\begin{array}{c}<G_{11}\left({\widehat{\mathrm{\&eta;}}}^{\left(k\right)}\right){>}_{ij}=u_0^H({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)}){\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{Z}}_{ij}^{\left(aa\right)}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})u_0({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})\\ +2u_0^H({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)}){\stackrel{\&CenterDot;}{Z}}_i^{\left(a\right)H}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})U_0({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)}){\stackrel{\&CenterDot;}{Z}}_j^{\left(a\right)}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})u_0({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})\end{array}$

$\begin{array}{c}<G_{12}\left({\widehat{\mathrm{\&eta;}}}^{\left(k\right)}\right){>}_{ij}=u_0^H({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)}){\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{Z}}_{ij}^{\left(ab\right)}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})u_0({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})\\ +2u_0^H({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)}){\stackrel{\&CenterDot;}{Z}}_i^{\left(a\right)H}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})U_0({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)}){\stackrel{\&CenterDot;}{Z}}_j^{\left(b\right)}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})u_0({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})\end{array}$

$\begin{array}{c}<G_{22}\left({\widehat{\mathrm{\&eta;}}}^{\left(k\right)}\right){>}_{ij}=u_0^H({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)}){\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{Z}}_{ij}^{\left(bb\right)}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})u_0({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})\\ +2u_0^H({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)}){\stackrel{\&CenterDot;}{Z}}_i^{\left(b\right)H}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})U_0({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)}){\stackrel{\&CenterDot;}{Z}}_j^{\left(b\right)}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})u_0({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})\end{array},$ 其中，表示厄米特矩阵最大特征值所对应的单位特征向量，矩阵 和的计算公式分别为

${\stackrel{\&CenterDot;}{Z}}_i^{\left(a\right)}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})={\stackrel{\&CenterDot;}{B}}_i^{\left(a\right)}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})\tilde{X}{\tilde{X}}^H{B}^H({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})+B({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})\tilde{X}{\tilde{X}}^H{\stackrel{\&CenterDot;}{B}}_i^{\left(a\right)H}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})$

${\stackrel{\&CenterDot;}{Z}}_i^{\left(b\right)}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})={\stackrel{\&CenterDot;}{B}}_i^{\left(b\right)}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})\tilde{X}{\tilde{X}}^H{B}^H({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})+B({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})\tilde{X}{\tilde{X}}^H{\stackrel{\&CenterDot;}{B}}_i^{\left(b\right)H}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})$

$\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{Z}}_{ij}^{\left(aa\right)}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})={\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{B}}_{ij}^{\left(aa\right)}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})\tilde{X}{\tilde{X}}^H{B}^H({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})+{\stackrel{\&CenterDot;}{B}}_i^{\left(a\right)}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})\tilde{X}{\tilde{X}}^H{\stackrel{\&CenterDot;}{B}}_j^{\left(a\right)H}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})\\ +{\stackrel{\&CenterDot;}{B}}_j^{\left(a\right)}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})\tilde{X}{\tilde{X}}^H{\stackrel{\&CenterDot;}{B}}_i^{\left(a\right)H}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})+B({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})\tilde{X}{\tilde{X}}^H{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{B}}_{ij}^{\left(aa\right)H}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})\end{array}$

$\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{Z}}_{ij}^{\left(ab\right)}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})={\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{B}}_{ij}^{\left(ab\right)}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})\tilde{X}{\tilde{X}}^H{B}^H({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})+{\stackrel{\&CenterDot;}{B}}_i^{\left(a\right)}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})\tilde{X}{\tilde{X}}^H{\stackrel{\&CenterDot;}{B}}_j^{\left(b\right)H}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})\\ +{\stackrel{\&CenterDot;}{B}}_j^{\left(b\right)}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})\tilde{X}{\tilde{X}}^H{\stackrel{\&CenterDot;}{B}}_i^{\left(a\right)H}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})+B({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})\tilde{X}{\tilde{X}}^H{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{B}}_{ij}^{\left(ab\right)H}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})\end{array}$

$\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{Z}}_{ij}^{\left(bb\right)}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})={\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{B}}_{ij}^{\left(bb\right)}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})\tilde{X}{\tilde{X}}^H{B}^H({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})+{\stackrel{\&CenterDot;}{B}}_i^{\left(b\right)}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})\tilde{X}{\tilde{X}}^H{\stackrel{\&CenterDot;}{B}}_j^{\left(b\right)H}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})\\ +{\stackrel{\&CenterDot;}{B}}_j^{\left(b\right)}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})\tilde{X}{\tilde{X}}^H{\stackrel{\&CenterDot;}{B}}_i^{\left(b\right)H}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})+B({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})\tilde{X}{\tilde{X}}^H{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{B}}_{ij}^{\left(bb\right)H}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})\end{array}$

$U_0({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})=\underset{n=1}{\overset{N-1}{\&Sigma;}}{\left({\mathrm{\&lambda;}}_0\right({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})-{\mathrm{\&lambda;}}_n({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)}\left)\right)}^{-1}{u}_n({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})u_n^H({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)}),$ 其中，

$\begin{array}{cc}{\stackrel{\&CenterDot;}{B}}_i^{\left(a\right)}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})=\frac{\&part;B({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})}{\&part;<{\hat{p}}^{\left(k\right)}{>}_i},& {\stackrel{\&CenterDot;}{B}}_i^{\left(b\right)}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})=\frac{\&part;B({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})}{\&part;<{\hat{h}}^{\left(k\right)}{>}_i},\end{array}$

$\begin{array}{cc}{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{B}}_{ij}^{\left(aa\right)}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})=\frac{{\&part;}^{2}B({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})}{\&part;<{\hat{p}}^{\left(k\right)}{>}_i\&part;<{\hat{p}}^{\left(k\right)}{>}_j},& {\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{B}}_{ij}^{\left(bb\right)}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})=\frac{{\&part;}^{2}B({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})}{\&part;<{\hat{h}}^{\left(k\right)}{>}_i\&part;<{\hat{h}}^{\left(k\right)}{>}_j},\end{array}$

${\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{B}}_{\mathrm{ij}}^{\left(\mathrm{ab}\right)}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})=\frac{{\&PartialD;}^{2}B({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})}{\&PartialD;{<{\hat{p}}^{\left(k\right)}>}_i\&PartialD;{<{\hat{h}}^{\left(k\right)}>}_j},{\left\{{\mathrm{\&lambda;}}_n({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})\right\}}_{1\&le;n\&le;N-1}$ 和分别对应矩阵除最大特征值以外的其余N-1个特征值及其对应的单位特征向量。

本发明的有益效果：

本发明首先基于信号超视距传播模型，建立到达信号复包络和载波相位关于目标位置参数的数学模型，获得多站阵列信号模型，接着利用基2-FFT算法将多站阵列天线接收数据转化为频域数据，并基于电离层高度的先验观测以及最大似然估计准则建立联合估计目标位置参数和电离层高度的数学优化模型，最后根据矩阵特征值扰动理论设计出Newton型迭代算法，以实现对超视距目标的精确定位，相比于传统的针对超视距目标的多站测向交汇定位法，能够有效提高目标定位的精度，并且可以在电离层高度先验观测的基础上，进一步提高对电离层高度的估计精度；此外，本发明通过Newton型迭代来实现超视距定位，具有较快的收敛速度，无需高维搜索，是一种性能可靠、运算高效的定位方法。

附图说明：

图1为本发明的多观测站超视距目标直接定位原理图；

图2为本发明的流程示意图；

图3为本发明的超视距目标定位实例场景示意图；

图4为本发明的定位结果比对示意图。

具体实施方式：

下面结合附图和技术方案对本发明作进一步详细的说明，并通过优选的实施例详细说明本发明的实施方式，但本发明的实施方式并不限于此。

实施例一，参见图1～2所示，一种联合无线电信号复包络和载波相位信息的超视距目标直接定位方法，具体包含如下步骤：

步骤1.对N个观测站的M通道阵列天线接收系统进行时间同步，根据奈奎斯特采样定理采集目标辐射的无线电信号数据，获得阵列信号时域数据；

步骤2.每个观测站将所采集到的Q个时域数据样本点做基2-FFT运算，得到阵列信号频域数据，其中，Q为2的整数次幂；

步骤3.每个观测站将所获得的阵列信号频域数据传输至中心站，中心站利用电离层高度的先验观测以及观测站的阵列信号频域数据建立最大似然参数估计准则；

步骤4.在最大似然参数估计准则的基础上，通过数学推演建立联合估计目标位置参数和电离层高度的数学优化模型；

步骤5.基于矩阵特征值扰动公式设计数值优化中的牛顿型迭代算法，利用数学优化模型中矩阵的最大特征值进行数值寻优，进行超视距目标的定位。

实施例二，参见图1～2所示，一种联合无线电信号复包络和载波相位信息的超视距目标直接定位方法，具体包含如下步骤：

步骤1.对N个观测站的M通道阵列天线接收系统进行时间同步，根据奈奎斯特采样定理采集目标辐射的无线电信号数据，获得阵列信号时域数据，第n个观测站的阵列天线所接收到的信号时域模型为x_n(t)＝β_na_n(p)s(t-τ_n(p,h_n)-t₀)+ε_n(t)(1≤n≤N)，其中，p表示目标位置向量，h_n表示目标信号经过超视距传播至第n个观测站所经历的电离层高度，t₀表示目标发射信号时间，s(t)表示目标信号复包络，a_n(p_d)表示目标信号相对于第n个天线阵列的阵列流形向量，β_n表示目标信号传播至第n个观测站的损耗因子，ε_n(t)表示第n个观测站中天线阵列的阵元噪声向量，τ_n(p,h_n)表示目标信号到达第n个观测站的传播时延，它同时是关于目标位置向量p和电离层高度h_n的函数；

步骤2.每个观测站将所采集到的Q个时域数据样本点做基2-FFT运算，得到阵列信号频域数据，其中，Q为2的整数次幂，第n个观测站的阵列天线所接收到的信号频域模型为 $\begin{array}{c}{\tilde{x}}_n\left({\mathrm{\&omega;}}_q\right)={\mathrm{\&beta;}}_n{a}_n\left(p\right)\tilde{s}\left({\mathrm{\&omega;}}_q\right)\&CenterDot;\exp \{-{\mathrm{i\&omega;}}_q\left({\mathrm{\&tau;}}_n\right(p,h_n)+t_0)\}+{\widetilde{\mathrm{\&epsiv;}}}_n\left({\mathrm{\&omega;}}_q\right)\\ \begin{array}{cc}={\mathrm{\&beta;}}_n{b}_n(p,h_n,{\mathrm{\&omega;}}_q)\tilde{r}\left({\mathrm{\&omega;}}_q\right)+{\widetilde{\mathrm{\&epsiv;}}}_n\left({\mathrm{\&omega;}}_q\right)& (1\&le;n\&le;N;1\&le;q\&le;Q)\end{array}\end{array},$ 其中，和分别表示s(t)和ε_n(t)的频域形式，ω_q表示第q个数字频点，b_n(p,h_n,ω_q)和的表达式分别为 $\left\{\begin{array}{c}{b}_n(p,h_n,{\mathrm{\&omega;}}_q)=a_n\left(p\right)\&CenterDot;\exp \{-i{\mathrm{\&omega;}}_q{\mathrm{\&tau;}}_n(p,h_n\left)\right\}\\ \tilde{r}\left({\mathrm{\&omega;}}_q\right)=\tilde{s}\left({\mathrm{\&omega;}}_q\right)\&CenterDot;\exp \{-i{\mathrm{\&omega;}}_q{t}_0\}\end{array}\right.;$

步骤3.每个观测站将所获得的阵列信号频域数据传输至中心站，中心站利用电离层高度的先验观测以及观测站的阵列信号频域数据建立最大似然参数估计准则，中心站所建立的最大似然估计准则为 $\min J=\min \left\{\frac{1}{{\mathrm{\&sigma;}}_{\mathrm{\&epsiv;}}^2}\underset{n=1}{\overset{N}{\&Sigma;}}\underset{q=1}{\overset{Q}{\&Sigma;}}\right||{\tilde{x}}_n\left({\mathrm{\&omega;}}_q\right)-{\mathrm{\&beta;}}_n{a}_n\left(p\right)\tilde{s}\left({\mathrm{\&omega;}}_q\right)\&CenterDot;\exp \{-{\mathrm{i\&omega;}}_q\left({\mathrm{\&tau;}}_n\right(p,h_n)+t_0)\left\}\right|{|}_2^2+\frac{1}{2}{(\hat{h}-h)}^T{P}^{-1}(\hat{h}-h)\},$ 其中，向量h＝[h₁h₂…h_N]^T包含了每个观测站所对应的电离层高度， $\hat{h}={\left[\begin{array}{cccc}{\hat{h}}_1& {\hat{h}}_2& ...& {\hat{h}}_N\end{array}\right]}^T$ 表示h的先验观测向量，其观测误差协方差矩阵记为P，在实际工程应用中，可以利用探测技术对电离层高度进行预测，或利用公开渠道进行查询，作为电离层高度的先验知识加以利用；

步骤4.在最大似然参数估计准则的基础上，通过数学推演建立联合估计目标位置参数和电离层高度的数学优化模型，所建立的联合估计目标位置向量p和电离层高度向量h的数学优化模型为 $\max f=\max \{{\mathrm{\&lambda;}}_{\max }\&lsqb;B(p,h)\tilde{X}{\tilde{X}}^H{B}^H(p,h)\&rsqb;-\frac{1}{2}{(\hat{h}-h)}^T{\stackrel{\&OverBar;}{P}}^{-1}(\hat{h}-h)\},$ 其中，λ_max[·]表示取矩阵的最大特征值，矩阵B(p,h)和的表达式分别为 $B(p,h)=\left[\begin{array}{cccccc}{\stackrel{\&OverBar;}{b}}_1^T(p,h_1)& & & & & \\ & {\stackrel{\&OverBar;}{b}}_2^T(p,h_2)& & & & \\ & & .& & & \\ & & & .& & \\ & & & & .& \\ & & & & & {\stackrel{\&OverBar;}{b}}_N^T(p,h_N)\end{array}\right],$ $\tilde{X}=\left[\begin{array}{cccc}\mathrm{blkdiag}[{\tilde{x}}_1^{*}\left({\mathrm{\&omega;}}_1\right)& {\tilde{x}}_1^{*}\left({\mathrm{\&omega;}}_2\right)& ...& {\tilde{x}}_1^{*}\left({\mathrm{\&omega;}}_Q\right)]\\ \mathrm{blkdiag}[{\tilde{x}}_2^{*}\left({\mathrm{\&omega;}}_1\right)& {\tilde{x}}_2^{*}\left({\mathrm{\&omega;}}_2\right)& ...& {\tilde{x}}_2^{*}\left({\mathrm{\&omega;}}_Q\right)]\\ & .& & \\ & .& & \\ & .& & \\ \mathrm{blkdiag}[{\tilde{x}}_N^{*}\left({\mathrm{\&omega;}}_1\right)& {\tilde{x}}_N^{*}\left({\mathrm{\&omega;}}_2\right)& ...& {\tilde{x}}_N^{*}\left({\mathrm{\&omega;}}_Q\right)]\end{array}\right],$ 向量的表达式为 ${\stackrel{\&OverBar;}{b}}_n(p,h_n)={\left[\begin{array}{cccc}{b}_n^H(p,h_n,{\mathrm{\&omega;}}_1)& b_n^H(p,h_n,{\mathrm{\&omega;}}_2)& ...& b_n^H(p,h_n,{\mathrm{\&omega;}}_Q)\end{array}\right]}^H,(1\&le;n\&le;N);$

步骤5.基于矩阵特征值扰动公式设计数值优化中的牛顿型迭代算法，利用数学优化模型中矩阵的最大特征值进行数值寻优，所设计出的数值优化中的牛顿型迭代算法的实现步骤为：

步骤5.1)利用多重信号分类估计算法和泰勒级数迭代定位算法获得目标位置向量的初始估计将电离层高度的先验观测向量作为h的初始估计形成初始迭代向量 ${\widehat{\mathrm{\&eta;}}}^{\left(0\right)}={\left[\begin{array}{cc}{\hat{p}}^{\left(0\right)T}& {\hat{h}}^{\left(0\right)T}\end{array}\right]}^T;$

步骤5.2)进行Newton型迭代的计算公式为 ${\widehat{\mathrm{\&eta;}}}^{(k+1)}=\left[\begin{array}{c}{\hat{p}}^{(k+1)}\\ {\hat{h}}^{(k+1)}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\hat{p}}^{\left(k\right)}\\ {\hat{h}}^{\left(k\right)}\end{array}\right]-{\mathrm{\&mu;}}^k{\left(G\right({\widehat{\mathrm{\&eta;}}}^{\left(k\right)}\left)\right)}^{-1}g\left({\widehat{\mathrm{\&eta;}}}^{\left(k\right)}\right),$ 式中k表示迭代次数，0＜μ＜1表示迭代步长因子，和分别表示目标函数的梯度向量和Hessian矩阵，相应的计算公式分别为 $g\left({\widehat{\mathrm{\&eta;}}}^{\left(k\right)}\right)=\left[\begin{array}{c}{g}_1\left({\widehat{\mathrm{\&eta;}}}^{\left(k\right)}\right)\\ g_2\left({\widehat{\mathrm{\&eta;}}}^{\left(k\right)}\right)-{\stackrel{\&OverBar;}{P}}^{-1}({\hat{h}}^{\left(k\right)}-\hat{h})\end{array}\right],$ 其中，

$<g_1\left({\widehat{\mathrm{\&eta;}}}^{\left(k\right)}\right){>}_i=u_0^H({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)}){\stackrel{\&CenterDot;}{Z}}_i^{\left(a\right)}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})u_0({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})$

$<g_2\left({\widehat{\mathrm{\&eta;}}}^{\left(k\right)}\right){>}_i=u_0^H({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})Z_i^{\left(b\right)}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})u_0({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})$

$\begin{array}{c}<G_{11}\left({\widehat{\mathrm{\&eta;}}}^{\left(k\right)}\right){>}_{ij}=u_0^H({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)}){\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{Z}}_{ij}^{\left(aa\right)}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})u_0({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})\\ +2u_0^H({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)}){\stackrel{\&CenterDot;}{Z}}_i^{\left(a\right)H}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})U_0({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)}){\stackrel{\&CenterDot;}{Z}}_j^{\left(a\right)}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})u_0({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})\end{array}$

$\begin{array}{c}<G_{12}\left({\widehat{\mathrm{\&eta;}}}^{\left(k\right)}\right){>}_{ij}=u_0^H({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)}){\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{Z}}_{ij}^{\left(ab\right)}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})u_0({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})\\ +2u_0^H({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)}){\stackrel{\&CenterDot;}{Z}}_i^{\left(a\right)H}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})U_0({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)}){\stackrel{\&CenterDot;}{Z}}_j^{\left(b\right)}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})u_0({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})\end{array}$

$\begin{array}{c}<G_{22}\left({\widehat{\mathrm{\&eta;}}}^{\left(k\right)}\right){>}_{ij}=u_0^H({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)}){\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{Z}}_{ij}^{\left(bb\right)}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})u_0({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})\\ +2u_0^H({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)}){\stackrel{\&CenterDot;}{Z}}_i^{\left(b\right)H}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})U_0({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)}){\stackrel{\&CenterDot;}{Z}}_j^{\left(b\right)}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})u_0({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})\end{array},$ 其中，表示厄米特矩阵最大特征值所对应的单位特征向量，矩阵 和的计算公式分别为

${\stackrel{\&CenterDot;}{Z}}_i^{\left(a\right)}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})={\stackrel{\&CenterDot;}{B}}_i^{\left(a\right)}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})\tilde{X}{\tilde{X}}^H{B}^H({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})+B({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})\tilde{X}{\tilde{X}}^H{\stackrel{\&CenterDot;}{B}}_i^{\left(a\right)H}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})$

${\stackrel{\&CenterDot;}{Z}}_i^{\left(b\right)}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})={\stackrel{\&CenterDot;}{B}}_i^{\left(b\right)}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})\tilde{X}{\tilde{X}}^H{B}^H({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})+B({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})\tilde{X}{\tilde{X}}^H{\stackrel{\&CenterDot;}{B}}_i^{\left(b\right)H}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})$

$\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{Z}}_{ij}^{\left(aa\right)}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})={\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{B}}_{ij}^{\left(aa\right)}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})\tilde{X}{\tilde{X}}^H{B}^H({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})+{\stackrel{\&CenterDot;}{B}}_i^{\left(a\right)}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})\tilde{X}{\tilde{X}}^H{\stackrel{\&CenterDot;}{B}}_j^{\left(a\right)H}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})\\ +{\stackrel{\&CenterDot;}{B}}_j^{\left(a\right)}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})\tilde{X}{\tilde{X}}^H{\stackrel{\&CenterDot;}{B}}_i^{\left(a\right)H}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})+B({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})\tilde{X}{\tilde{X}}^H{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{B}}_{ij}^{\left(aa\right)H}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})\end{array}$

$\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{Z}}_{ij}^{\left(ab\right)}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})={\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{B}}_{ij}^{\left(ab\right)}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})\tilde{X}{\tilde{X}}^H{B}^H({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})+{\stackrel{\&CenterDot;}{B}}_i^{\left(a\right)}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})\tilde{X}{\tilde{X}}^H{\stackrel{\&CenterDot;}{B}}_j^{\left(b\right)H}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})\\ +{\stackrel{\&CenterDot;}{B}}_j^{\left(b\right)}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})\tilde{X}{\tilde{X}}^H{\stackrel{\&CenterDot;}{B}}_i^{\left(a\right)H}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})+B({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})\tilde{X}{\tilde{X}}^H{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{B}}_{ij}^{\left(ab\right)H}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})\end{array}$

$\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{Z}}_{ij}^{\left(bb\right)}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})={\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{B}}_{ij}^{\left(bb\right)}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})\tilde{X}{\tilde{X}}^H{B}^H({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})+{\stackrel{\&CenterDot;}{B}}_i^{\left(b\right)}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})\tilde{X}{\tilde{X}}^H{\stackrel{\&CenterDot;}{B}}_j^{\left(b\right)H}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})\\ +{\stackrel{\&CenterDot;}{B}}_j^{\left(b\right)}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})\tilde{X}{\tilde{X}}^H{\stackrel{\&CenterDot;}{B}}_i^{\left(b\right)H}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})+B({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})\tilde{X}{\tilde{X}}^H{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{B}}_{ij}^{\left(bb\right)H}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})\end{array}$

$U_0({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})=\underset{n=1}{\overset{N-1}{\&Sigma;}}{\left({\mathrm{\&lambda;}}_0\right({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})-{\mathrm{\&lambda;}}_n({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)}\left)\right)}^{-1}{u}_n({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})u_n^H({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)}),$ 其中，

$\begin{array}{cc}{\stackrel{\&CenterDot;}{B}}_i^{\left(a\right)}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})=\frac{\&part;B({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})}{\&part;<{\hat{p}}^{\left(k\right)}{>}_i},& {\stackrel{\&CenterDot;}{B}}_i^{\left(b\right)}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})=\frac{\&part;B({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})}{\&part;<{\hat{h}}^{\left(k\right)}{>}_i},\end{array}$

$\begin{array}{cc}{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{B}}_{ij}^{\left(aa\right)}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})=\frac{{\&part;}^{2}B({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})}{\&part;<{\hat{p}}^{\left(k\right)}{>}_i\&part;<{\hat{p}}^{\left(k\right)}{>}_j},& {\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{B}}_{ij}^{\left(bb\right)}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})=\frac{{\&part;}^{2}B({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})}{\&part;<{\hat{h}}^{\left(k\right)}{>}_i\&part;<{\hat{h}}^{\left(k\right)}{>}_j},\end{array}$

${\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{B}}_{\mathrm{ij}}^{\left(\mathrm{ab}\right)}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})=\frac{{\&PartialD;}^{2}B({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})}{\&PartialD;{<{\hat{p}}^{\left(k\right)}>}_i\&PartialD;{<{\hat{h}}^{\left(k\right)}>}_j},{\left\{{\mathrm{\&lambda;}}_n({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})\right\}}_{1\&le;n\&le;N-1}$ 和分别对应矩阵除最大特征值以外的其余N-1个特征值及其对应的单位特征向量。

参见图3～4所示，结合具体的试验数据对本发明做进一步解释说明：

如图3所示，针对超视距目标定位实例示意图，假设目标的位置坐标为(0km，0km，0km)，现有四个测向站对其进行定位，其位置坐标分别为(1000km，1000km)、(1000km，-1000km)、(-1000km，1000km)和(-1000km，-1000km)，信号到达每个测向站所经历的电离层高度均设为300km，每个测向站均安装9元均匀圆阵，信号带宽为5kHz，信号持续时间为200ms。

下面将本专利公开的直接定位方法与传统的先测向再交汇定位方法的性能进行比较，其中的测向采用多重信号分类估计(MUSIC)算法，交汇定位采用Taylor级数迭代定位算法。

首先，将电离层高度先验估计标准差固定为2km，图4中，图4-1给出了两种定位方法的超视距目标位置估计均方根误差随着信噪比的变化曲线，图4-2给出了本专利公开方法的电离层高度估计均方根误差随着信噪比的变化曲线；然后，将信噪比固定为0dB，图4-3给出了两种定位方法的超视距目标位置估计均方根误差随着电离层高度先验估计标准差的变化曲线，图4-4给出了本专利公开方法的电离层高度估计均方根误差随着电离层高度先验估计标准差的变化曲线。

从图4-1和图4-3中可以看出，相比于传统的先测向再交汇定位方法，本专利公开的超视距目标直接定位方法可以明显提升定位精度，并且信噪比越低，其优势愈加明显。从图4-2和图4-4中可以看出，相比于电离层高度的先验观测，本专利公开的方法可以进一步提高对电离层高度的估计精度。

本发明并不局限于上述具体实施方式，本领域技术人员还可据此做出多种变化，但任何与本发明等同或者类似的变化都应涵盖在本发明权利要求的范围内。

Claims (3)

1.一种联合无线电信号复包络和载波相位信息的超视距目标直接定位方法，具体包含如下步骤：

步骤1.对N个观测站的M通道阵列天线接收系统进行时间同步，根据奈奎斯特采样定理采集目标辐射的无线电信号数据，获得阵列信号时域数据；

步骤2.每个观测站将所采集到的Q个时域数据样本点做基2-FFT运算，得到阵列信号频域数据，其中，Q为2的整数次幂；

步骤3.每个观测站将所获得的阵列信号频域数据传输至中心站，中心站利用电离层高度的先验观测以及观测站的阵列信号频域数据建立最大似然参数估计准则；

步骤4.在最大似然参数估计准则的基础上，通过数学推演建立联合估计目标位置参数和电离层高度的数学优化模型；

步骤5.基于矩阵特征值扰动公式设计数值优化中的牛顿型迭代算法，利用数学优化模型中矩阵的最大特征值进行数值寻优，进行超视距目标的定位。

2.根据权利要求1所述的联合无线电信号复包络和载波相位信息的超视距目标直接定位方法，其特征在于：步骤1中，第n个观测站的阵列天线所接收到的信号时域模型为x_n(t)＝β_na_n(p)s(t-τ_n(p,h_n)-t₀)+ε_n(t)(1≤n≤N)，其中，p表示目标位置向量，h_n表示目标信号经过超视距传播至第n个观测站所经历的电离层高度，t₀表示目标发射信号时间，s(t)表示目标信号复包络，a_n(p_d)表示目标信号相对于第n个天线阵列的阵列流形向量，β_n表示目标信号传播至第n个观测站的损耗因子，ε_n(t)表示第n个观测站中天线阵列的阵元噪声向量，τ_n(p,h_n)表示目标信号到达第n个观测站的传播时延，它同时是关于目标位置向量p和电离层高度h_n的函数；步骤2中，第n个观测站的阵列天线所接收到的信号频域模型为 $\begin{array}{c}{\tilde{x}}_n\left({\mathrm{\&omega;}}_q\right)={\mathrm{\&beta;}}_n{a}_n\left(p\right)\tilde{s}\left({\mathrm{\&omega;}}_q\right)\&CenterDot;\exp \{-{\mathrm{i\&omega;}}_q({\mathrm{\&tau;}}_n\left(p,h_n\right)+t_0\left)\right\}+{\widetilde{\mathrm{\&epsiv;}}}_n\left({\mathrm{\&omega;}}_q\right)\\ \begin{array}{cc}={\mathrm{\&beta;}}_n{b}_n(p,h_n,{\mathrm{\&omega;}}_q)\tilde{r}\left({\mathrm{\&omega;}}_q\right)+{\widetilde{\mathrm{\&epsiv;}}}_n\left({\mathrm{\&omega;}}_q\right)& (1\&le;n\&le;N,1\&le;q\&le;Q)\end{array}\end{array},$ 其中，和分别表示s(t)和ε_n(t)的频域形式，ω_q表示第q个数字频点，b_n(p,h_n,ω_q)和的表达式分别为 $\left\{\begin{array}{c}{b}_n(p,h_n,{\mathrm{\&omega;}}_q)=a_n\left(p\right)\&CenterDot;\exp \{-{\mathrm{i\&omega;}}_q{\mathrm{\&tau;}}_n(p,h_n)\}\\ \tilde{r}\left({\mathrm{\&omega;}}_q\right)=\tilde{s}\left({\mathrm{\&omega;}}_q\right)\&CenterDot;\exp \{-{\mathrm{i\&omega;}}_q{t}_0\}\end{array}\right.;$ 步骤3中，中心站所建立的最大似然估计准则为 $\min J=\min \left\{\frac{1}{{\mathrm{\&sigma;}}_{\mathrm{\&epsiv;}}^2}\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{q=1}{\overset{Q}{\mathrm{\&Sigma;}}}\right||{\tilde{x}}_n\left({\mathrm{\&omega;}}_q\right)-{\mathrm{\&beta;}}_n{a}_n\left(p\right)\tilde{s}\left({\mathrm{\&omega;}}_q\right)\&CenterDot;\exp \{-{\mathrm{i\&omega;}}_q\left({\mathrm{\&tau;}}_n\right(p,h_n)+t_0)\left\}\right|{|}_2^2+\frac{1}{2}{(\hat{h}-h)}^T{P}^{-1}(\hat{h}-h)\}$ ，其中，向量h＝[h₁h₂…h_N]^T包含了每个观测站所对应的电离层高度，表示h的先验观测向量，其观测误差协方差矩阵记为P；步骤4中，所建立的联合估计目标位置向量p和电离层高度向量h的数学优化模型为 $\max f=\max \{{\mathrm{\&lambda;}}_{\max }\&lsqb;B(p,h)\tilde{X}{\tilde{X}}^H{B}^H(p,h)\&rsqb;-\frac{1}{2}{(\hat{h}-h)}^T{\stackrel{\&OverBar;}{P}}^{-1}(\hat{h}-h)\},$ 其中，λ_max[·]表示取矩阵的最大特征值，矩阵B(p,h)和的表达式分别为

$\tilde{X}=\left[\begin{array}{c}blkdiag\&lsqb;\begin{array}{cccc}{\tilde{x}}_1^{*}\left({\mathrm{\&omega;}}_1\right)& {\tilde{x}}_1^{*}\left({\mathrm{\&omega;}}_2\right)& ...& {\tilde{x}}_1^{*}\left({\mathrm{\&omega;}}_Q\right)\end{array}\&rsqb;\\ blkdiag\&lsqb;\begin{array}{cccc}{\tilde{x}}_2^{*}\left({\mathrm{\&omega;}}_1\right)& {\tilde{x}}_2^{*}\left({\mathrm{\&omega;}}_2\right)& ...& {\tilde{x}}_2^{*}\left({\mathrm{\&omega;}}_Q\right)\end{array}\&rsqb;\\ .\\ .\\ .\\ blkdiag\&lsqb;\begin{array}{cccc}{\tilde{x}}_N^{*}\left({\mathrm{\&omega;}}_1\right)& {\tilde{x}}_N^{*}\left({\mathrm{\&omega;}}_2\right)& ...& {\tilde{x}}_N^{*}\left({\mathrm{\&omega;}}_Q\right)\end{array}\&rsqb;\end{array}\right]$ ，向量的表达式为 ${\stackrel{\&OverBar;}{b}}_n(p,h_n)={[b_n^H(p,h_n,{\mathrm{\&omega;}}_1)b_n^H(p,h_n,{\mathrm{\&omega;}}_2)...b_n^H(p,h_n,{\mathrm{\&omega;}}_Q)]}^H,(1\&le;n\&le;N).$

3.根据权利要求2所述的联合无线电信号复包络和载波相位信息的超视距目标直接定位方法，其特征在于：步骤5中，所设计出的数值优化中的牛顿型迭代算法的实现步骤为：

步骤5.1)利用多重信号分类估计算法和泰勒级数迭代定位算法获得目标位置向量的初始估计将电离层高度的先验观测向量作为h的初始估计形成初始迭代向量 ${\widehat{\mathrm{\&eta;}}}^{\left(0\right)}={\left[\begin{array}{cc}{\hat{p}}^{\left(0\right)T}& {\hat{h}}^{\left(0\right)T}\end{array}\right]}^T;$

步骤5.2)进行Newton型迭代的计算公式为 ${\widehat{\mathrm{\&eta;}}}^{(k+1)}=\left[\begin{array}{c}{\hat{p}}^{(k+1)}\\ {\hat{h}}^{(k+1)}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\hat{p}}^{\left(k\right)}\\ {\hat{h}}^{\left(k\right)}\end{array}\right]-{\mathrm{\&mu;}}^k{\left(G\right({\widehat{\mathrm{\&eta;}}}^{\left(k\right)}\left)\right)}^{-1}g\left({\widehat{\mathrm{\&eta;}}}^{\left(k\right)}\right),$ 式中k表示迭代次数，0＜μ＜1表示迭代步长因子，和分别表示目标函数的梯度向量和Hessian矩阵，相应的计算公式分别为 $g\left({\widehat{\mathrm{\&eta;}}}^{\left(k\right)}\right)=\left[\begin{array}{c}{g}_1\left({\widehat{\mathrm{\&eta;}}}^{\left(k\right)}\right)\\ g_2\left({\widehat{\mathrm{\&eta;}}}^{\left(k\right)}\right)-{\stackrel{\&OverBar;}{P}}^{-1}({\hat{h}}^{\left(k\right)}-\hat{h})\end{array}\right],$ 其中，

$<g_1\left({\widehat{\mathrm{\&eta;}}}^{\left(k\right)}\right){>}_i=u_0^H({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)}){\stackrel{\&CenterDot;}{Z}}_i^{\left(a\right)}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})u_0({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})$

$<g_2\left({\widehat{\mathrm{\&eta;}}}^{\left(k\right)}\right){>}_i=u_0^H({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})Z_i^{\left(b\right)}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})u_0({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})$

$\begin{array}{c}<G_{11}\left({\widehat{\mathrm{\&eta;}}}^{\left(k\right)}\right){>}_{ij}=u_0^H({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)}){\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{Z}}_{ij}^{\left(aa\right)}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})u_0({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})\\ +2u_0^H({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)}){\stackrel{\&CenterDot;}{Z}}_i^{\left(a\right)H}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})U_0({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)}){\stackrel{\&CenterDot;}{Z}}_j^{\left(a\right)}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})u_0({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})\end{array}$

$\begin{array}{c}<G_{12}\left({\widehat{\mathrm{\&eta;}}}^{\left(k\right)}\right){>}_{ij}=u_0^H({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)}){\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{Z}}_{ij}^{\left(ab\right)}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})u_0({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})\\ +2u_0^H({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)}){\stackrel{\&CenterDot;}{Z}}_i^{\left(a\right)H}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})U_0({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)}){\stackrel{\&CenterDot;}{Z}}_j^{\left(b\right)}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})u_0({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})\end{array}$

$\begin{array}{c}<G_{22}\left({\widehat{\mathrm{\&eta;}}}^{\left(k\right)}\right){>}_{ij}=u_0^H({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)}){\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{Z}}_{ij}^{\left(\mathrm{bb}\right)}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})u_0({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})\\ +2u_0^H({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)}){\stackrel{\&CenterDot;}{Z}}_i^{\left(b\right)H}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})U_0({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)}){\stackrel{\&CenterDot;}{Z}}_j^{\left(b\right)}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})u_0({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})\end{array},$ 其中，表示厄米特矩阵最大特征值所对应的单位特征向量，矩阵 和的计算公式分别为

${\stackrel{\&CenterDot;}{Z}}_i^{\left(a\right)}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})={\stackrel{\&CenterDot;}{B}}_i^{\left(a\right)}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})\tilde{X}{\tilde{X}}^H{B}^H({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})+B({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})\tilde{X}{\tilde{X}}^H{\stackrel{\&CenterDot;}{B}}_i^{\left(a\right)H}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})$

${\stackrel{\&CenterDot;}{Z}}_i^{\left(b\right)}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})={\stackrel{\&CenterDot;}{B}}_i^{\left(b\right)}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})\tilde{X}{\tilde{X}}^H{B}^H({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})+B({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})\tilde{X}{\tilde{X}}^H{\stackrel{\&CenterDot;}{B}}_i^{\left(b\right)H}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})$

$\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{Z}}_{ij}^{\left(aa\right)}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})={\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{B}}_{ij}^{\left(aa\right)}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})\tilde{X}{\tilde{X}}^H{B}^H({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})+{\stackrel{\&CenterDot;}{B}}_i^{\left(a\right)}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})\tilde{X}{\tilde{X}}^H{\stackrel{\&CenterDot;}{B}}_j^{\left(a\right)H}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})\\ +{\stackrel{\&CenterDot;}{B}}_j^{\left(a\right)}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})\tilde{X}{\tilde{X}}^H{\stackrel{\&CenterDot;}{B}}_i^{\left(a\right)H}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})+B({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})\tilde{X}{\tilde{X}}^H{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{B}}_{ij}^{\left(aa\right)H}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})\end{array}$

$\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{Z}}_{ij}^{\left(ab\right)}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})={\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{B}}_{ij}^{\left(ab\right)}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})\tilde{X}{\tilde{X}}^H{B}^H({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})+{\stackrel{\&CenterDot;}{B}}_i^{\left(a\right)}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})\tilde{X}{\tilde{X}}^H{\stackrel{\&CenterDot;}{B}}_j^{\left(b\right)H}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})\\ +{\stackrel{\&CenterDot;}{B}}_j^{\left(b\right)}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})\tilde{X}{\tilde{X}}^H{\stackrel{\&CenterDot;}{B}}_i^{\left(a\right)H}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})+B({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})\tilde{X}{\tilde{X}}^H{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{B}}_{ij}^{\left(ab\right)H}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})\end{array}$

$\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{Z}}_{ij}^{\left(bb\right)}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})={\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{B}}_{ij}^{\left(bb\right)}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})\tilde{X}{\tilde{X}}^H{B}^H({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})+{\stackrel{\&CenterDot;}{B}}_i^{\left(b\right)}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})\tilde{X}{\tilde{X}}^H{\stackrel{\&CenterDot;}{B}}_j^{\left(b\right)H}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})\\ +{\stackrel{\&CenterDot;}{B}}_j^{\left(b\right)}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})\tilde{X}{\tilde{X}}^H{\stackrel{\&CenterDot;}{B}}_i^{\left(b\right)H}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})+B({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})\tilde{X}{\tilde{X}}^H{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{B}}_{ij}^{\left(bb\right)H}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})\end{array}$

$U_0({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})=\underset{n=1}{\overset{N-1}{\&Sigma;}}{\left({\mathrm{\&lambda;}}_0\right({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})-{\mathrm{\&lambda;}}_n({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)}\left)\right)}^{-1}{u}_n({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})u_n^H({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)}),$ 其中，

${\stackrel{\&CenterDot;}{B}}_i^{\left(a\right)}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})=\frac{\&part;B({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})}{\&part;<{\hat{p}}^{\left(k\right)}{>}_i},$ ${\stackrel{\&CenterDot;}{B}}_i^{\left(b\right)}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})=\frac{\&part;B({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})}{\&part;<{\hat{h}}^{\left(k\right)}{>}_i},$

${\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{B}}_{ij}^{\left(aa\right)}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})=\frac{{\&part;}^{2}B({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})}{\&part;<{\hat{p}}^{\left(k\right)}{>}_i\&part;<{\hat{p}}^{\left(k\right)}{>}_j},$ ${\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{B}}_{ij}^{\left(bb\right)}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})=\frac{{\&part;}^{2}B({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})}{\&part;<{\hat{h}}^{\left(k\right)}{>}_i\&part;<{\hat{h}}^{\left(k\right)}{>}_j},$

${\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{B}}_{ij}^{\left(\mathrm{ab}\right)}({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})=\frac{{\&part;}^{2}B({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})}{\&part;<{\hat{p}}^{\left(k\right)}{>}_i\&part;<{\hat{h}}^{\left(k\right)}{>}_j},{\{{\mathrm{\&lambda;}}_n{\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)}\}}_{1\&le;n\&le;N-1}$ 和 ${\left\{u_n({\hat{p}}^{\left(k\right)},{\hat{h}}^{\left(k\right)})\right\}}_{1\&le;N\&le;N-1}$ 分别对应矩阵除最大特征值以外的其余N-1个特征值及其对应的单位特征向量。