CN105449678A - 一种基于Lyapunov的电力滤波器的控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供一种基于Lyapunov的电力滤波器的控制方法，建立了三相三线制APF的切换系统的误差模型，基于Lyapunov稳定性定理和凸集理论，为考虑饱和限幅的三相APF找到了一种新的、保守型更小的稳定性判据。然后将得到的切换控制算法和空间电压矢量控制算法相结合，根据三相电源电压构成的空间电压矢量图及波形图，将三相电源电压分成六个扇区，再根据凸组合稳定条件，在每个扇区内设定能够满足二次稳定条件的开关子系统组合，找到了一个非常简单的切换律，大大简化了算法，并且实现了开关切换直接控制连续变量来达到精确跟踪指令电流信号的控制目的。

Description

一种基于Lyapunov的电力滤波器的控制方法

技术领域

本发明涉及电力系统控制方法领域，更具体地，涉及一种基于Lyapunov的电力滤波器的控制方法。

背景技术

随着电力电子技术的迅速发展，电力电子装置越来越多的用于工业和人们的日常生活中，它在给人们带来利益和方便的同时，也给电网带来了越来越严重的谐波污染问题。而电力系统谐波含量是衡量电能质量的一项重要指标。有源电力滤波器能够动态的治理各次谐波，因而成为了谐波滤除的发展方向。目前的研究重点主要集中于有源电力滤波器的拓扑结构、控制策略、补偿特性、谐波抑制、谐波检测方法和控制器设计，对稳定性问题涉及较少。

饱和非线性普遍存在于实际控制系统中，几乎所有的实际控制系统的参数都有上下界限制，因此都会遇到饱和问题，而它们之中的很多都属于连续时间系统。通常饱和限制对于系统的影响也是相当大的，它会使无状态饱和时的稳定系统变得不稳定，就状态饱和而言，其主要影响形式有产生新的平衡点或极限环等。

发明内容

本发明提供一种提高稳定性的基于Lyapunov的电力滤波器的控制方法。

为了达到上述技术效果，本发明的技术方案如下：

一种基于Lyapunov的电力滤波器的控制方法，包括以下步骤：

步骤1：建立三相有源电力滤波器切换系统误差模型；

步骤2：基于Lyapunov稳定性定理和凸集理论，为考虑饱和限幅的三相有源电力滤波器找到一种稳定的切换控制算法；

步骤3：将得到的切换控制算法和空间电压矢量控制算法相结合，根据三相电源电压构成的空间电压矢量图及波形图，将三相电源电压分成六个扇区，再根据凸组合稳定条件，在每个扇区内设定能够满足二次稳定条件的开关子系统组合，并为系统选取共同的李亚普诺夫函数，在满足条件的子系统组合中选取使得Lyapunov函数导数最小的子系统；

步骤4：根据上述方法得到的控制规则，通过控制三相有源电力滤波器的开关切换来精确跟踪指令电流信号，降低逆变器的开关损耗。

进一步地，所述的步骤1中建立三相有源电力滤波器切换系统误差模型的详细过程如下：

根据三相有源电力滤波器拓扑结构，用U_k(k＝a,b,c)表示电源电压,i_sk(k＝a,b,c)表示电源电流，i_Lk(k＝a,b,c)表示负载电流，i_ck(k＝a，b，c)表示APF的三相补偿电流，U_DC表示APF直流侧电压，R表示输出电阻，L表示输出电抗，C表示直流侧电容，S₁～S₆分别代表APF的6个IGBT；

用S_k(k＝a，b，c)表示开关状态，取值如下：

其中三相有源电力滤波器一共有八种开关模态，如下表1所示：

开关状态	Sa	Sb	Sc
				I	0	0	0
II	0	0	1
				III	0	1	0
IV	0	1	1
				V	1	0	0
VI	1	0	1
				VII	1	1	0
VIII	1	1	1

由基尔霍夫电压定理得到三相有源电力滤波器拓扑结构表示式如下：

其中：u_aN，u_bN，u_cN分别为点a、b、c与电源中性点N之间的电压降；

由于U_DC的变化率远远小于APF输出电流的变化，因此设定U_DC不变，则有源电力滤波器八种开关模态形成的八种切换子系统的集合的状态方程写为:

其中，i为自然数，i＝1,2,···,8，状态变量x＝[i_cai_cbi_cc]^T，设补偿电流的参考值为x_d＝[x_d1x_d2x_d3]^T，那么切换平衡点即为x_d，为将切换平衡点变换到原点，需要进行坐标变换Δx_d＝x-x_d，变换后Δx_d＝0成为新坐标系下的切换平衡点，得到切换系统的误差模型：

其中，i＝1,2,···,8，状态变量Δx＝[Δi_caΔi_cbΔi_cc]^T，看出对于三相APF，系统矩阵A是固定的，并且A＜0。

进一步地，所述的步骤2所述的详细过程如下：

对于考虑饱和限幅的三相APF的二次稳定性，设定如下定理：

定理1：对于2≤m≤8，m表示子系统的个数，的如果存在一个凸组合λ＝[λ₁…λ_m]^T以及一个主对角元素为负的行对角占优矩阵G使得：

那么在切换规则:

的作用下，Δx_d＝0是一个二次稳定切换平衡点。

证明：选择Lyapunov函数

结合凸集相关定理可得：

其中D_iA+D_i ^-G＜0,则Δx^T(D_ix+D_i ^-G)Δx<0

因为存在一个凸组合λ＝[λ₁…λ_m]^T使得：(D_iA+D_i ^-G)x_d+D_i ^-GB_λ＝0，那么：

则有：证明了以上定理；

推论1：对于2≤m≤8，如果存在一个凸组合λ＝[λ₁…λ_m]^T以及一个主对角元素为负的行对角占优矩阵G使得：

那么在切换规则：

的作用下，Δx_d＝0是一个二次稳定切换平衡点，

证明：定理1的切换规则为：

其中前半部分Δx^T(D_iA+D_i ^-G)x_d对于每一个子系统来说都是相同的，因此省略，即：

定理1和推论1是等价的，但是简化了计算过程；

对于三相有源电力滤波器来说，系统矩阵A是固定的对角阵且A＜0，G可以选取G＜0的任意的对角阵均可满足D_iA+D_i ^-G＜0；选取G＝A。

进一步地，步骤3所述的详细过程如下：

由(9)式可得：

由于滤波电感L和电阻R上的电压远远小于电源相电压，因此把它忽略掉，得：

等式右面即为SVPWM的参考输入，证明三相电源电压U_a，U_b，U_c即为SVPWM的参考输入，按每60°为间隔，将之分为6个区间；

在0～120°区间，相电压U_c最小，因此系统在此区间运行时始终有S_c＝0；同理：在120°～240°区间，相电压U_a最小，因此系统在此区间运行时始终有S_a＝0；在240°～360°区间，相电压U_b最小，因此系统在此区间运行时始终有S_b＝0；

三相电源电压U_a，U_b，U_c构成的空间矢量分布如表2所示：

区间	区间范围
		扇区一	0～60° Ua>Ub>Uc
扇区二	60°～120° Ub>Ua>Uc
		扇区三	120°～180° Ub>Uc>Ua
扇区四	180°～240° Uc>Ub>Ua
		扇区五	240°～300° Uc>Ua>Ub
扇区六	300°～360° Ua>Uc>Ub

在0～60°区间，即扇区一，S_c＝0，这样就只有其他两桥臂的开关动作；根据S_a，S_b，S_c的变化把系统看成为4个线性子系统组成的线性切换系统Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ、Ⅶ，其中各子系统的开关函数取值为表1；

为减少开关损耗，确定2组开关序列：Ⅰ、Ⅲ、Ⅶ和Ⅰ、Ⅴ、Ⅶ；以开关序列Ⅰ、Ⅴ、Ⅶ为例，找到满足定理1和推论1的条件，具体过程如下：

当S_a＝0,S_b＝0,S_c＝0时：

当S_a＝1,S_b＝0,S_c＝0时：

当S_a＝1,S_b＝1,S_c＝0时：

分析B₁、B₂、B₃，总有λ₁+λ₂+λ₃＝1,(λ_i∈(0,1),i＝1,2,3)，使得:

(D_iA+D_i ^-G)x_e+D_i ^-GB_λ＝0

即为：

整理得：

求得：

满足(11)、(15)式，即满足定理1和推论1的条件；

同理对其它扇区进行分析，对于每一个扇区，都可以找到三个切换子系统满足定理1和推论1的条件，如表3所示：

与现有技术相比，本发明技术方案的有益效果是：

本发明建立了三相三线制APF的切换系统的误差模型，基于Lyapunov稳定性定理和凸集理论，为考虑饱和限幅的三相APF找到了一种新的、保守型更小的稳定性判据。然后将得到的切换控制算法和空间电压矢量控制算法相结合，根据三相电源电压构成的空间电压矢量图及波形图，将三相电源电压分成六个扇区，再根据凸组合稳定条件，在每个扇区内设定能够满足二次稳定条件的开关子系统组合，找到了一个非常简单的切换律，大大简化了算法，并且实现了开关切换直接控制连续变量来达到精确跟踪指令电流信号的控制目的。该算法由于合理的运用零矢量，因此明显的降低了逆变器的开关损耗。仿真分析和实验结果证明了本文提出方法的可行性和正确性。

附图说明

图1三相并联型有源电力滤波器拓扑结构；

图2三相正弦电压波形；

图3空间矢量分布图；

图4APF控制系统框图；

图5i_L1,i_L2,及i_L波形；

图6方式1作用下谐波参考电流i_ca*及APF实际输出电流i_ca；

图7方式1作用下电网电流i_sa，直流侧电压U_DC波形；

图8方式2作用下i_ca’、i_ca*的波形；

图9方式2作用下电网电流i_sa、直流侧电压U_DC的波形；

图10李亚普诺夫函数V(x)；

图11饱和前电源电流i_sa频谱图；

图12饱和后电源电流i_sa频谱图；

图13S_a，S_b，S_c各开关驱动信号；

图14直流侧电压U_DC、A相负载电流i_La、电源电流i_sa的波形图；

图15考虑饱和限幅的APF产生的补偿电流；

图16A、B、C三相电源电流谐波分析；

图17负载突变时的动态响应。

具体实施方式

附图仅用于示例性说明，不能理解为对本专利的限制；

为了更好说明本实施例，附图某些部件会有省略、放大或缩小，并不代表实际产品的尺寸；

对于本领域技术人员来说，附图中某些公知结构及其说明可能省略是可以理解的。

下面结合附图和实施例对本发明的技术方案做进一步的说明。

实施例1

一种基于Lyapunov的电力滤波器的控制方法，包括以下步骤：

步骤1：建立三相有源电力滤波器切换系统误差模型；

步骤2：基于Lyapunov稳定性定理和凸集理论，为考虑饱和限幅的三相有源电力滤波器找到一种稳定的切换控制算法；

步骤3：将得到的切换控制算法和空间电压矢量控制算法相结合，根据三相电源电压构成的空间电压矢量图及波形图，将三相电源电压分成六个扇区，再根据凸组合稳定条件，在每个扇区内设定能够满足二次稳定条件的开关子系统组合，并为系统选取共同的李亚普诺夫函数，在满足条件的子系统组合中选取使得Lyapunov函数导数最小的子系统；

步骤4：根据上述方法得到的控制规则，通过控制三相有源电力滤波器的开关切换来精确跟踪指令电流信号，降低逆变器的开关损耗。

步骤1中建立三相有源电力滤波器切换系统误差模型的详细过程如下：

根据三相有源电力滤波器拓扑结构，用U_k(k＝a,b,c)表示电源电压,i_sk(k＝a,b,c)表示电源电流，i_Lk(k＝a,b,c)表示负载电流，i_ck(k＝a，b，c)表示APF的三相补偿电流，U_DC表示APF直流侧电压，R表示输出电阻，L表示输出电抗，C表示直流侧电容，S₁～S₆分别代表APF的6个IGBT；

用S_k(k＝a，b，c)表示开关状态，取值如下：

其中三相有源电力滤波器一共有八种开关模态，如下表1所示：

开关状态	Sa	Sb	Sc
				I	0	0	0
II	0	0	1
				III	0	1	0
IV	0	1	1
				V	1	0	0
VI	1	0	1
				VII	1	1	0
VIII	1	1	1

由基尔霍夫电压定理得到三相有源电力滤波器拓扑结构表示式如下：

其中：u_aN，u_bN，u_cN分别为点a、b、c与电源中性点N之间的电压降；

由于U_DC的变化率远远小于APF输出电流的变化，因此设定U_DC不变，则有源电力滤波器八种开关模态形成的八种切换子系统的集合的状态方程写为:

其中，i为自然数，i＝1,2,···,8，状态变量x＝[i_cai_cbi_cc]^T，设补偿电流的参考值为x_d＝[x_d1x_d2x_d3]^T，那么切换平衡点即为x_d，为将切换平衡点变换到原点，需要进行坐标变换Δx_d＝x-x_d，变换后Δx_d＝0成为新坐标系下的切换平衡点，得到切换系统的误差模型：

其中，i＝1,2,···,8，状态变量Δx＝[Δi_caΔi_cbΔi_cc]^T，看出对于三相APF，系统矩阵A是固定的，并且A＜0。

步骤2所述的详细过程如下：

对于考虑饱和限幅的三相APF的二次稳定性，设定如下定理：

定理1：对于2≤m≤8，m表示子系统的个数，的如果存在一个凸组合λ＝[λ₁…λ_m]^T以及一个主对角元素为负的行对角占优矩阵G使得：

那么在切换规则:

的作用下，Δx_d＝0是一个二次稳定切换平衡点。

证明：选择Lyapunov函数

结合凸集相关定理可得：

其中D_iA+D_i ^-G＜0,则Δx^T(D_ix+D_i ^-G)Δx<0

因为存在一个凸组合λ＝[λ₁…λ_m]^T使得：(D_iA+D_i ^-G)x_d+D_i ^-GB_λ＝0，那么：

则有：证明了以上定理；

推论1：对于2≤m≤8，如果存在一个凸组合λ＝[λ₁…λ_m]^T以及一个主对角元素为负的行对角占优矩阵G使得：

那么在切换规则：

的作用下，Δx_d＝0是一个二次稳定切换平衡点，

证明：定理1的切换规则为：

其中前半部分Δx^T(D_iA+D_i ^-G)x_d对于每一个子系统来说都是相同的，因此省略，即：

定理1和推论1是等价的，但是简化了计算过程；

对于三相有源电力滤波器来说，系统矩阵A是固定的对角阵且A＜0，G可以选取G＜0的任意的对角阵均可满足D_iA+D_i ^-G＜0；选取G＝A。

步骤3所述的详细过程如下：

由(9)式可得：

由于滤波电感L和电阻R上的电压远远小于电源相电压，因此把它忽略掉，得：

等式右面即为SVPWM的参考输入，证明三相电源电压U_a，U_b，U_c即为SVPWM的参考输入，按每60°为间隔，将之分为6个区间；

在0～120°区间，相电压U_c最小，因此系统在此区间运行时始终有S_c＝0；同理：在120°～240°区间，相电压U_a最小，因此系统在此区间运行时始终有S_a＝0；在240°～360°区间，相电压U_b最小，因此系统在此区间运行时始终有S_b＝0；

三相电源电压U_a，U_b，U_c构成的空间矢量分布如表2所示：

区间	区间范围
		扇区一	0～60° Ua>Ub>Uc
扇区二	60°～120° Ub>Ua>Uc
		扇区三	120°～180° Ub>Uc>Ua
扇区四	180°～240° Uc>Ub>Ua
		扇区五	240°～300° Uc>Ua>Ub
扇区六	300°～360° Ua>Uc>Ub

在0～60°区间，即扇区一，S_c＝0，这样就只有其他两桥臂的开关动作；根据S_a，S_b，S_c的变化把系统看成为4个线性子系统组成的线性切换系统Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ、Ⅶ，其中各子系统的开关函数取值为表1；

为减少开关损耗，确定2组开关序列：Ⅰ、Ⅲ、Ⅶ和Ⅰ、Ⅴ、Ⅶ；以开关序列Ⅰ、Ⅴ、Ⅶ为例，找到满足定理1和推论1的条件，具体过程如下：

当S_a＝0,S_b＝0,S_c＝0时：

当S_a＝1,S_b＝0,S_c＝0时：

当S_a＝1,S_b＝1,S_c＝0时：

分析B₁、B₂、B₃，总有λ₁+λ₂+λ₃＝1,(λ_i∈(0,1),i＝1,2,3)，使得:

(D_iA+D_i ^-G)x_e+D_i ^-GB_λ＝0

即为：

整理得：

求得：

满足(11)、(15)式，即满足定理1和推论1的条件；

同理对其它扇区进行分析，对于每一个扇区，都可以找到三个切换子系统满足定理1和推论1的条件，如表3所示：

为验证本文所提控制算法的正确性，在Matlab环境下进行仿真试验。APF电路参数为：R＝0.05Ω，L＝2mH，C＝6800μF，电源电压为220V/50HZ，直流侧电压参考值U_DC ^*＝1200V。APF的额定电流I_max＝20A。非线性负载为不控整流桥1与不控整流桥2通过三相断路器并联后与10mH的电感串联组成的。不控整流桥1直流侧为阻容负载，电阻为25Ω，电容为600μF。不控整流桥2直流侧为阻感负载，电阻为10Ω，电感为10mH。仿真开始时，三相断路器是断开的，不控整流桥1与系统相连。在t＝0.5s时投入不控整流桥2。图4为APF控制系统的总体结构图。i_c’为未考虑饱和限幅时的参考电流。

初始APF对整流桥进行谐波补偿，在0.5s时负载发生突变。APF的控制策略分别采用不考虑饱和非线性及考虑饱和非线性的两种切换方式。假设前者运行方式为1，后者运行方式为2.通过仿真，对两种控制策略的补偿效果进行比较。

负载突变后电网谐波电流增大，由于APF的自身容量的限制，需要根据额定容量对参考谐波电流进行抑制。图4中i_L1,i_L2,i_L分别为不控整流桥1、不控整流桥2、总的负载电流的波形图。图5和图6是在方式1的作用下，APF的谐波参考电流i_ca ^*，实际补偿电流i_ca以及直流侧电压U_DC的波形图。由图5和图6可知，饱和非线性抑制环节的存在会导致原本稳定的系统失稳，甚至对自身和电网造成巨大危害。

图8、图9、图10是采用本文所提控制算法所得的仿真波形。其中i_ca′、i_ca ^*分别是原参考电流和经限幅处理后的参考电流。从图9可以看出，APF直流侧电压U_DC稳定于参考值1200V附近，这说明基于切换和空间电压矢量控制方法可以使考虑饱和限幅的三相APF直流侧电压达到稳定。图10给出了三相APF运行期间Lyapunov函数随时间变化的波形图，从图中可以看出在0.1s附近，系统已稳定于平衡点处。图11、12分别给出了发生饱和前后电源电流i_sa的频谱分析图。由图可知，在发生饱和限幅时，本文提出控制方法仍有很高的跟踪精度。

图13所示为三相开关驱动信号，可以清楚的看出，C相电压最小时，S_c＝0，即只需另外两个桥臂的开关进行切换，而不考虑饱和限幅的切换控制则需要三个桥臂开关同时进行切换，所以在同一个控制时刻，本控制策略所需要切换的开关个数减少1/3，因此相对应的开关损耗相比单纯的切换控制大大降低。

为进一步验证所提控制算法的正确性，有源滤波器采用与仿真相同的电路参数搭建了实验平台，IGBT采用三菱CM300dx，DSP采用德州仪器TMS320F2812以及FPGA采用altera公司的EP3C10E144C8N。切换算法通过DSP程序实现；FPGA的主要作用是保护硬件电路，检测过电流、过温等故障，控制A/D对数据的读取、转换，同时确保控制的脉冲信号的正确性。负载不控整流桥直流侧采用的阻感负载为：第一级为R＝30Ω，L＝10mH，第二级为R＝25Ω，L＝10mH；I_max＝10A；采样周期T＝0.02/256s，U_DC ^*＝750V。

图14给出了直流侧电压U_DC、A相负载电流i_La、电源电流i_sa的波形图。图15给出了A相补偿电流的波形图，从图中可以看出，APF产生的补偿电流都被限制在的10A以内。图16所示为三相电源电流谐波分析图。由于受AD转换速度和DSP的处理速度的限制，实验样机中采样周期要比仿真中的采样周期大的多，因此补偿后的电源电流谐波含量并没有像仿真结果中的那样低，三相电源电流谐波畸变率为2.9％左右。

图17为负载在0.3s发生突变时的直流侧电压、A相电源电流、负载电流的波形图。

由图17可知当负载发生突变时，采用本文提出的控制算法控制的APF动态响应快，APF的补偿电流能迅速跟踪上突变的参考电流，并稳定于变化后的系统状态，输出电流没有出现不稳定的状态，系统仅在1～2个周期内很快进入新的稳态，因此证明了本文所提控制算法的正确性。

发明建立了三相三线制APF的切换系统的误差模型，基于Lyapunov稳定性定理和凸集理论，为考虑饱和限幅的三相APF找到了一种新的、保守型更小的稳定性判据。然后将得到的切换控制算法和空间电压矢量控制算法相结合，根据三相电源电压构成的空间电压矢量图及波形图，将三相电源电压分成六个扇区，再根据凸组合稳定条件，在每个扇区内设定能够满足二次稳定条件的开关子系统组合，找到了一个非常简单的切换律，大大简化了算法，并且实现了开关切换直接控制连续变量来达到精确跟踪指令电流信号的控制目的。该算法由于合理的运用零矢量，因此明显的降低了逆变器的开关损耗。仿真分析和实验结果证明了本文提出方法的可行性和正确性。

相同或相似的标号对应相同或相似的部件；

附图中描述位置关系的用于仅用于示例性说明，不能理解为对本专利的限制；

显然，本发明的上述实施例仅仅是为清楚地说明本发明所作的举例，而并非是对本发明的实施方式的限定。对于所属领域的普通技术人员来说，在上述说明的基础上还可以做出其它不同形式的变化或变动。这里无需也无法对所有的实施方式予以穷举。凡在本发明的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换和改进等，均应包含在本发明权利要求的保护范围之内。

Claims (4)

1.一种基于Lyapunov的电力滤波器的控制方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1：建立三相有源电力滤波器切换系统误差模型；

步骤2：基于Lyapunov稳定性定理和凸集理论，为考虑饱和限幅的三相有源电力滤波器找到一种稳定的切换控制算法；

步骤3：将得到的切换控制算法和空间电压矢量控制算法相结合，根据三相电源电压构成的空间电压矢量图及波形图，将三相电源电压分成六个扇区，再根据凸组合稳定条件，在每个扇区内设定能够满足二次稳定条件的开关子系统组合，并为系统选取共同的李亚普诺夫函数，在满足条件的子系统组合中选取使得Lyapunov函数导数最小的子系统；

步骤4：根据上述方法得到的控制规则，通过控制三相有源电力滤波器的开关切换来精确跟踪指令电流信号，降低逆变器的开关损耗。

2.根据权利要求1所述的基于Lyapunov的电力滤波器的控制方法，其特征在于，所述的步骤1中建立三相有源电力滤波器切换系统误差模型的详细过程如下：

根据三相有源电力滤波器拓扑结构，用U_k(k＝a,b,c)表示电源电压,i_sk(k＝a,b,c)表示电源电流，i_Lk(k＝a,b,c)表示负载电流，i_ck(k＝a，b，c)表示APF的三相补偿电流，U_DC表示APF直流侧电压，R表示输出电阻，L表示输出电抗，C表示直流侧电容，S₁～S₆分别代表APF的6个IGBT；

用S_k(k＝a，b，c)表示开关状态，取值如下：

其中三相有源电力滤波器一共有八种开关模态，如下表1所示：

开关状态 S_a S_b S_c I 0 0 0 II 0 0 1 III 0 1 0

IV 0 1 1 V 1 0 0 VI 1 0 1 VII 1 1 0 VIII 1 1 1

由基尔霍夫电压定理得到三相有源电力滤波器拓扑结构表示式如下：

$\left\{\begin{array}{c}{u}_{aN}={\mathrm{Ri}}_{ca}+L\frac{{\mathrm{di}}_{ca}}{dt}+U_a\\ u_{bN}={\mathrm{Ri}}_{cb}+L\frac{{\mathrm{di}}_{cb}}{dt}+U_b\\ u_{cN}={\mathrm{Ri}}_{cc}+L\frac{{\mathrm{di}}_{cc}}{dt}+U_c\end{array}\right.---\left(8\right)$

其中：u_aN，u_bN，u_cN分别为点a、b、c与电源中性点N之间的电压降；

由于U_DC的变化率远远小于APF输出电流的变化，因此设定U_DC不变，则有源电力滤波器八种开关模态形成的八种切换子系统的集合的状态方程写为:

$\left[\begin{array}{c}\frac{{\mathrm{di}}_{ca}}{dt}\\ \frac{{\mathrm{di}}_{cb}}{dt}\\ \frac{{\mathrm{di}}_{cc}}{dt}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}-\frac{R}{L}& 0& 0\\ 0& -\frac{R}{L}& 0\\ 0& 0& -\frac{R}{L}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{i}_{ca}\\ i_{cb}\\ i_{cc}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}-\frac{2S_a-S_b-S_c}{3L}{U}_{DC}+\frac{U_a}{L}\\ -\frac{2S_b-S_a-S_c}{3L}{U}_{DC}+\frac{U_b}{L}\\ -\frac{2S_c-S_a-S_b}{3L}{U}_{DC}+\frac{U_c}{L}\end{array}\right]=Ax+B_i---\left(9\right)$

其中，i为自然数，i＝1,2,···,8，状态变量x＝[i_cai_cbi_cc]^T，设补偿电流的参考值为x_d＝[x_d1x_d2x_d3]^T，那么切换平衡点即为x_d，为将切换平衡点变换到原点，需要进行坐标变换Δx_d＝x-x_d，变换后Δx_d＝0成为新坐标系下的切换平衡点，得到切换系统的误差模型：

$\left[\begin{array}{ccc}-\frac{R}{L}& 0& 0\\ 0& -\frac{R}{L}& 0\\ 0& 0& -\frac{R}{L}\end{array}\right]\mathrm{\&Delta;}x+\left[\begin{array}{c}-\frac{2S_a-S_b-S_c}{3L}{U}_{DC}+\frac{U_a}{L}-\frac{R}{L}{x}_{d1}\\ -\frac{2S_b-S_a-S_c}{3L}{U}_{DC}+\frac{U_b}{L}-\frac{R}{L}{x}_{d2}\\ -\frac{2S_c-S_a-S_b}{3L}{U}_{DC}+\frac{U_c}{L}-\frac{R}{L}{x}_{d3}\end{array}\right]=A\mathrm{\&Delta;}x+b_i---\left(10\right)$

其中，i＝1,2,···,8，状态变量Δx＝[Δi_caΔi_cbΔi_cc]^T，看出对于三相APF，系统矩阵A是固定的，并且A＜0。

3.根据权利要求1所述的基于Lyapunov的电力滤波器的控制方法，其特征在于，所述的步骤2所述的详细过程如下：

对于考虑饱和限幅的三相APF的二次稳定性，设定如下定理：

定理1：对于2≤m≤8，m表示子系统的个数，的如果存在一个凸组合λ＝[λ₁…λ_m]^T以及一个主对角元素为负的行对角占优矩阵G使得：

$\left\{\begin{array}{c}\underset{j=1}{\overset{m}{\&Sigma;}}{\mathrm{\&lambda;}}_j=1\\ {\mathrm{\&lambda;}}_j\&Element;(0,1)\\ D_{i}A+D_i^{-}G<0\\ (D_{i}A+D_i^{-}G)x_d+D_i^{-}{\mathrm{GB}}_{\mathrm{\&lambda;}}=0\end{array}\right.---\left(11\right)$

那么在切换规则:

$\mathrm{\&sigma;}\left(t\right)=\arg \underset{j}{min}{\mathrm{\&Delta;x}}^T\&lsqb;(D_{i}A+D_i^{-}G)x_d+D_i^{-}{\mathrm{GB}}_j\&rsqb;---\left(12\right)$

的作用下，Δx_d＝0是一个二次稳定切换平衡点；

证明：选择Lyapunov函数

$V\left(x\right)=\frac{1}{2}{\mathrm{\&Delta;x}}^T\mathrm{\&Delta;}x---\left(13\right)$

结合凸集相关定理可得：

$\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{V}\left(x\right)={\mathrm{\&Delta;x}}^T\mathrm{\&Delta;}\stackrel{\&CenterDot;}{x}\\ ={\mathrm{\&Delta;x}}^{T}h\left(Ax+B_j\right)\\ \&le;\underset{i=1,...,2^n}{\max }{\mathrm{\&Delta;x}}^T\&lsqb;\left(D_{i}A+D_i^{-}G\right)\left(\mathrm{\&Delta;}x+x_e\right)+D_i^{-}{\mathrm{GB}}_j\&rsqb;\\ \&le;\underset{i=1,...,2^n}{\max }\&lsqb;{\mathrm{\&Delta;x}}^T\left(D_{i}A+D_i^{-}G\right)\mathrm{\&Delta;}x+{\mathrm{\&Delta;x}}^T\&lsqb;\left(D_{i}A+D_i^{-}G\right)x_e+D_i^{-}{\mathrm{GB}}_j\&rsqb;\&rsqb;\end{array}---\left(14\right)$

其中D_iA+D_i ^-G＜0,则Δx^T(D_ix+D_i ^-G)Δx<0

因为存在一个凸组合λ＝[λ₁…λ_m]^T使得：(D_iA+D_i ^-G)x_d+D_i ^-GB_λ＝0，那么：

$\underset{j}{min}{\mathrm{\&Delta;x}}^T\&lsqb;(D_{i}A+D_i^{-}G)x_d+D_i^{-}{\mathrm{GB}}_j\&rsqb;<0$

则有：证明了以上定理；

推论1：对于2≤m≤8，如果存在一个凸组合λ＝[λ₁…λ_m]^T以及一个主对角元素为负的行对角占优矩阵G使得：

$\left\{\begin{array}{c}\underset{j=1}{\overset{m}{\&Sigma;}}{\mathrm{\&lambda;}}_j=1\\ {\mathrm{\&lambda;}}_j\&Element;(0,1)\\ D_{i}A+D_i^{-}G<0\\ (D_{i}A+D_i^{-}G)x_d+D_i^{-}{\mathrm{GB}}_{\mathrm{\&lambda;}}=0\end{array}\right.---\left(15\right)$

那么在切换规则：

$\mathrm{\&sigma;}\left(t\right)=\underset{j}{min}{\mathrm{\&Delta;x}}^T{D}_i^{-}{\mathrm{GB}}_j---\left(16\right)$

的作用下，Δx_d＝0是一个二次稳定切换平衡点，

证明：定理1的切换规则为：

$\mathrm{\&sigma;}\left(t\right)=\arg \underset{j}{min}{\mathrm{\&Delta;x}}^T\&lsqb;(D_{i}A+D_i^{-}G)x_d+D_i^{-}{\mathrm{GB}}_j\&rsqb;$

其中前半部分Δx^T(D_iA+D_i ^-G)x_d对于每一个子系统来说都是相同的，因此省略，即：

$\underset{j}{min}{\mathrm{\&Delta;x}}^T\&lsqb;(D_{i}A+D_i^{-}G)x_d+D_i^{-}{\mathrm{GB}}_j\&rsqb;=\underset{j}{min}{\mathrm{\&Delta;x}}^T{D}_i^{-}{\mathrm{GB}}_j---\left(17\right)$

定理1和推论1是等价的，但是简化了计算过程；

对于三相有源电力滤波器来说，系统矩阵A是固定的对角阵且A＜0，G可以选取G＜0的任意的对角阵均可满足D_iA+D_i ^-G＜0；选取G＝A。

4.根据权利要求1所述的基于Lyapunov的电力滤波器的控制方法，其特征在于，步骤3所述的详细过程如下：

由(9)式可得：

$\left[\begin{array}{c}{U}_a\\ U_b\\ U_c\end{array}\right]=L\left[\begin{array}{c}\frac{{\mathrm{di}}_{ca}}{dt}\\ \frac{{\mathrm{di}}_{cb}}{dt}\\ \frac{{\mathrm{di}}_{cc}}{dt}\end{array}\right]+R\left[\begin{array}{c}{i}_{ca}\\ i_{cb}\\ i_{cc}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}\frac{2S_a-S_b-S_c}{3L}{U}_{DC}\\ \frac{2S_b-S_a-S_c}{3L}{U}_{DC}\\ \frac{2S_c-S_a-S_b}{3L}{U}_{DC}\end{array}\right]---\left(18\right)$

由于滤波电感L和电阻R上的电压远远小于电源相电压，因此把它忽略掉，得：

$\left[\begin{array}{c}{U}_a\\ U_b\\ U_c\end{array}\right]=\frac{U_{DC}}{3}\left[\begin{array}{ccc}2& -1& -1\\ -1& 2& -1\\ -1& -1& 2\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{S}_a\\ S_b\\ S_c\end{array}\right]---\left(19\right)$

等式右面即为SVPWM的参考输入，证明三相电源电压U_a，U_b，U_c即为SVPWM的参考输入，按每60°为间隔，将之分为6个区间；

在0～120°区间，相电压U_c最小，因此系统在此区间运行时始终有S_c＝0；同理：在120°～240°区间，相电压U_a最小，因此系统在此区间运行时始终有S_a＝0；在240°～360°区间，相电压U_b最小，因此系统在此区间运行时始终有S_b＝0；

三相电源电压U_a，U_b，U_c构成的空间矢量分布如表2所示：

区间 区间范围 扇区一 0～60°U_a>U_b>U_c 扇区二 60°～120°U_b>U_a>U_c 扇区三 120°～180°U_b>U_c>U_a 扇区四 180°～240°U_c>U_b>U_a 扇区五 240°～300°U_c>U_a>U_b 扇区六 300°～360°U_a>U_c>U_b

在0～60°区间，即扇区一，S_c＝0，这样就只有其他两桥臂的开关动作；根据S_a，S_b，S_c的变化把系统看成为4个线性子系统组成的线性切换系统Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ、Ⅶ，其中各子系统的开关函数取值为表1；

为减少开关损耗，确定2组开关序列：Ⅰ、Ⅲ、Ⅶ和Ⅰ、Ⅴ、Ⅶ；以开关序列Ⅰ、Ⅴ、Ⅶ为例，找到满足定理1和推论1的条件，具体过程如下：

当S_a＝0,S_b＝0,S_c＝0时：

$B_1=\left[\begin{array}{c}\frac{U_a}{L}\\ \frac{U_b}{L}\\ \frac{U_c}{L}\end{array}\right]---\left(20\right)$

当S_a＝1,S_b＝0,S_c＝0时：

$B_2=\left[\begin{array}{c}-\frac{2}{3L}{U}_{DC}+\frac{U_a}{L}\\ \frac{1}{3L}{U}_{DC}+\frac{U_b}{L}\\ \frac{1}{3L}{U}_{DC}+\frac{U_c}{L}\end{array}\right]---\left(21\right)$

当S_a＝1,S_b＝1,S_c＝0时：

$B_3=\left[\begin{array}{c}-\frac{1}{3L}{U}_{DC}+\frac{U_a}{L}\\ -\frac{1}{3L}{U}_{DC}+\frac{U_b}{L}\\ \frac{2}{3L}{U}_{DC}+\frac{U_c}{L}\end{array}\right]---\left(22\right)$

分析B₁、B₂、B₃，总有λ₁+λ₂+λ₃＝1,(λ_i∈(0,1),i＝1,2,3)，使得:

(D_iA+D_i ^-G)x_e+D_i ^-GB_λ＝0

即为：

$\left[\begin{array}{ccc}-\frac{R}{L}& 0& 0\\ 0& -\frac{R}{L}& 0\\ 0& 0& -\frac{R}{L}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_{d1}\\ x_{d2}\\ x_{d3}\end{array}\right]-\frac{R}{L}{\mathrm{\&lambda;}}_1\left[\begin{array}{c}\frac{U_a}{L}\\ \frac{U_b}{L}\\ \frac{U_c}{L}\end{array}\right]-\frac{R}{L}{\mathrm{\&lambda;}}_2\left[\begin{array}{c}-\frac{2}{3L}{U}_{DC}+\frac{U_a}{L}\\ \frac{1}{3L}{U}_{DC}+\frac{U_b}{L}\\ \frac{1}{3L}{U}_{DC}+\frac{U_c}{L}\end{array}\right]-\frac{R}{L}{\mathrm{\&lambda;}}_3\left[\begin{array}{c}\frac{U_a}{L}\\ \frac{U_b}{L}\\ \frac{U_c}{L}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}-\frac{1}{3L}{U}_{DC}+\frac{U_a}{L}\\ -\frac{1}{3L}{U}_{DC}+\frac{U_b}{L}\\ \frac{2}{3L}{U}_{DC}+\frac{U_c}{L}\end{array}\right]=0---\left(23\right)$

整理得：

$\left\{\begin{array}{c}-x_{d1}-{\mathrm{\&lambda;}}_1\frac{U_a}{L}-{\mathrm{\&lambda;}}_2\left(-\frac{2}{3L}{U}_{DC}+\frac{U_a}{L}\right)-{\mathrm{\&lambda;}}_3\left(-\frac{1}{3L}{U}_{DC}+\frac{U_a}{L}\right)=0\\ -x_{d2}-{\mathrm{\&lambda;}}_1\frac{U_b}{L}-{\mathrm{\&lambda;}}_2\left(-\frac{2}{3L}{U}_{DC}+\frac{U_b}{L}\right)-{\mathrm{\&lambda;}}_3\left(-\frac{1}{3L}{U}_{DC}+\frac{U_b}{L}\right)=0\end{array}\right.---\left(24\right)$

求得：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\&lambda;}}_1=1-\frac{L\left(2x_{d1}+x_{d2}\right)+2U_a+U_b}{U_{DC}}\\ {\mathrm{\&lambda;}}_2=\frac{L\left(x_{d1}-x_{d2}\right)+U_a-U_b}{U_{DC}}\\ {\mathrm{\&lambda;}}_3=\frac{L\left(x_{d1}+2x_{d2}\right)+U_a+2U_b}{U_{DC}}\end{array}\right.---\left(25\right)$

满足(11)、(15)式，即满足定理1和推论1的条件；

同理对其它扇区进行分析，对于每一个扇区，都可以找到三个切换子系统满

足定理1和推论1的条件，如表3所示：