CN105353392A - 基于gnss多天线的动态载体精密定位方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了基于GNSS多天线的动态载体精密定位方法，将固定在动态载体上的多个GNSS接收天线接收到的数据同时处理；获取动态载体上多个GNSS接收天线间的距离信息；将多个GNSS接收天线间的距离信息作为已知的先验约束信息，将约束信息作为一个虚拟的距离观测量增加到GNSS的观测方程中；在动态载体的多个GNSS接收天线之间采用一个公共的大气天顶湿延迟参数；求解动态载体的运动状态方程的最优解。将GNSS接收天线间的距离作为GNSS接收天线位置参数的先验约束，并将多个GNSS接收天线上的大气天顶湿延迟参数合并为一个公共的大气天顶湿延迟参数。增加了额外的信息，改善了解的结构，提高了动态精密定位的精度。

Description

基于GNSS多天线的动态载体精密定位方法

技术领域

本发明涉及定位技术领域，尤其涉及一种基于GNSS多天线的动态载体精密定位方法。

背景技术

全球导航卫星系统(GlobalNavigationSatelliteSystem,GNSS)已广泛地应用于大地测量、空间科学、地球物理和气象等科学研究及工程应用领域，如：海陆空范围内的定位、导航和授时(Positioning,NavigationandTiming,PNT)、低轨卫星定轨、静态和动态精密定位、动态载体测速与定姿、海洋表面监测、大气研究等。GNSS技术已经作为先进的测量手段和新的生产力，融入到了国民经济建设、国防建设和社会发展的各个应用领域。GNSS精密定位技术在动态载体的精密定位中也发挥着重要的作用，如航空重力测量、海上资源勘查、车辆导航定位等。

通常情况下动态载体上会安置多个GNSS信号接收设备，其每个动态站包括GNSS接收天线和GNSS接收机。通常的方法是对每个GNSS接收天线单独进行定位，很少考虑到动态载体上安置多个GNSS接收设备的情况，及其之间的理论关系和特性。

发明内容

本发明的目的就是为了解决上述问题，提供一种基于GNSS多天线的动态载体精密定位方法，本发明充分考虑动态载体上安置多个GNSS接收设备的情况，对多个GNSS接收设备之间的理论关系和特性加以利用，将多个GNSS接收天线间距离固定不变的关系及多个GNSS接收天线所受的大气延迟影响相似的性质使用到定位过程中，从而增加额外的信息和改善解的结构，提高了GNSS动态精密定位的精度。

为了实现上述目的，本发明采用如下技术方案：

基于GNSS多天线的动态载体精密定位方法，包括以下步骤：

步骤一，将固定在动态载体上的多个GNSS接收天线接收到的GNSS数据同时处理；

步骤二，获取动态载体上多个GNSS接收天线间的距离信息；

步骤三，将多个GNSS接收天线间的距离信息作为已知的先验约束信息，将该约束信息作为一个虚拟的距离观测量增加到GNSS的观测方程中；

步骤四，在动态载体的多个GNSS接收天线之间采用一个公共的大气天顶湿延迟参数，来替代每个动态站上都设置大气天顶湿延迟参数；

步骤五，求解动态载体的运动状态方程的最优解。

所述步骤一中，在第i历元时刻一次运算中，同时计算j个GNSS接收天线的位置参数具体表达式为：

其中，为第i历元GNSS接收天线k₁上的GNSS观测方程，为GNSS观测向量，为GNSS接收天线k₁的设计矩阵，包含第i历元GNSS接收天线k₁的位置参数向量 表示观测误差向量。

当有u组GNSS接收天线之间的距离信息时，其向量表达式如下：

D＝B_iX_i+ε,

其中，D表示在所有历元中的u×1维距离约束向量，B_i表示第i历元u×m维设计矩阵，X_i包含第i历元m×1维GNSS动态天线的位置参数向量，ε表示距离约束的观测误差，均值为零协方差矩阵为Σ_d。

所述步骤二中，使用精密测量方法测量GNSS接收天线相位中心的距离，或者采用相对定位超短基线的方式来精确求取GNSS接收天线相位中心的距离，并获取该测量值的实际精度ε；该距离表示为GNSS接收天线位置参数的函数：

$d_i^{k_1,k_2}=\sqrt{{(x_i^{k_1}-x_i^{k_2})}^2+{(y_i^{k_1}-y_i^{k_2})}^2+{(z_i^{k_1}-z_i^{k_2})}^2},$

其中，表示两个动态天线k₁和k₂之间的距离，(x_i,y_i,z_i)表示GNSS接收天线在i历元的位置参数。

所述步骤三中，GNSS伪距或载波相位观测值与虚拟的距离观测量的组合观测量的误差方程为：

$\left[\begin{array}{c}{V}_i\\ {V_i}^d\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{A}_i\\ B_i\end{array}\right]{\hat{X}}_i-\left[\begin{array}{c}{L}_i\\ D\end{array}\right],$

其中，表示多个GNSS接收天线的伪距或载波相位观测的误差方程，A_i为设计矩阵，表示虚拟的距离观测量的误差方程；其组合后的误差方程的协方差矩阵为 $\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{\Σ}}_i& 0\\ 0& {\mathrm{\Σ}}_d\end{array}\right].$

所述步骤四中，在多个GNSS动态站之间使用一个公共的大气天顶湿延迟参数。即，将动态载体上多个动态GNSS接收天线上的大气天顶湿延迟参数合并为一个公共的大气天顶湿延迟参数[…,T_i,…]^Τ。

所述步骤五中，动态载体的运动状态方程为：

X_i＝Φ_i.i-1X_i-1+W_i,

其中，X_i和X_i-1包含i和i-1时刻多个GNSS接收天线的位置参数、大气延迟参数和模糊度参数，Φ_i.i-1为动态站的状态转移矩阵，W_i为动态系统的模型噪声，其均值为零协方差阵为可得到动态站的预测状态及其协方差矩阵

${\stackrel{\‾}{X}}_i={\mathrm{\Φ}}_{i,i-1}{\hat{X}}_{i-1},$

${\mathrm{\Σ}}_{{\stackrel{\‾}{X}}_i}={\mathrm{\Φ}}_{i,i-1}{\mathrm{\Σ}}_{{\hat{X}}_{i-1}}{\mathrm{\Φ}}_{i,i-1}^T+{\mathrm{\Σ}}_{W_i}\·$

结合GNSS观测方程，采用基于Kalman滤波估计理论得到动态载体状态的最优解为：

${\hat{X}}_i={\stackrel{\‾}{X}}_i+{\mathrm{\Σ}}_{{\stackrel{\‾}{X}}_i}\left[\begin{array}{cc}{A}_i^T& B_i^T\end{array}\right]\·{\left\{\left[\begin{array}{cc}{A}_i{\mathrm{\Σ}}_{{\stackrel{\‾}{X}}_i}{A}_i^T& A_i{\mathrm{\Σ}}_{{\stackrel{\‾}{X}}_i}{B}_i^T\\ B_i{\mathrm{\Σ}}_{{\stackrel{\‾}{X}}_i}{A}_i^T& B_i{\mathrm{\Σ}}_{{\stackrel{\‾}{X}}_i}{B}_i^T\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{\Σ}}_i& 0\\ 0& {\mathrm{\Σ}}_d\end{array}\right]\right\}}^{-1}\·\left[\begin{array}{c}{L}_i-A_i{\stackrel{\‾}{X}}_i\\ D-B_i{\stackrel{\‾}{X}}_i\end{array}\right],$

其中，该解的验后协方差阵为：

${\mathrm{\Σ}}_{{\hat{X}}_i}={\mathrm{\Σ}}_{{\stackrel{\‾}{X}}_i}-{\mathrm{\Σ}}_{{\stackrel{\‾}{X}}_i}\left[\begin{array}{cc}{A}_i^T& B_i^T\end{array}\right]\·{\left\{\left[\begin{array}{cc}{A}_i{\mathrm{\Σ}}_{{\stackrel{\‾}{X}}_i}{A}_i^T& A_i{\mathrm{\Σ}}_{{\stackrel{\‾}{X}}_i}{B}_i^T\\ B_i{\mathrm{\Σ}}_{{\stackrel{\‾}{X}}_i}{A}_i^T& B_i{\mathrm{\Σ}}_{{\stackrel{\‾}{X}}_i}{B}_i^T\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{\Σ}}_i& 0\\ 0& {\mathrm{\Σ}}_d\end{array}\right]\right\}}^{-1}\·\left[\begin{array}{c}{A}_i\\ B_i\end{array}\right]{\mathrm{\Σ}}_{{\stackrel{\‾}{X}}_i}.$

本发明的有益效果

本发明将GNSS接收天线间的距离信息作为GNSS接收天线位置参数的先验约束，并将多个GNSS接收天线上的大气天顶湿延迟参数合并为一个公共的大气天顶湿延迟参数，从而增加了额外的信息，并且改善了解的结构，从而提高了GNSS动态精密定位的精度。

附图说明

图1为本发明的原理示意图；

图2为动态载体上安置多个GNSS接收天线的示意图。

具体实施方式

下面结合附图与实施例对本发明作进一步说明。

如图1所示，基于GNSS多天线的动态载体精密定位方法，包括：

步骤1：将固定在动态载体上的多个GNSS接收天线接收到的GNSS数据同时处理。即，在第i历元时刻一次运算中，同时估计j个GNSS接收天线的位置参数即：

其中，为第i历元动态站k₁的观测方程，为GNSS观测向量，为设计矩阵，包含第i历元GNSS接收天线k₁的位置参数向量 表示观测误差向量；

步骤2：获取动态载体上多个GNSS接收天线间的距离信息，例如使用精密的测量方法测量GNSS接收天线相位中心的距离，或者使用相对定位超短基线的方式来精确求取GNSS接收天线相位中心的距离，并获取该测量值的实际精度ε；该距离表示为GNSS动态站位置参数的函数，即：

$d_i^{k_1,k_2}=\sqrt{{(x_i^{k_1}-x_i^{k_2})}^2+{(y_i^{k_1}-y_i^{k_2})}^2+{(z_i^{k_1}-z_i^{k_2})}^2},$

其中，表示两个动态天线k₁和k₂之间的距离，(x_i,y_i,z_i)表示GNSS接收天线在i历元的位置参数；

步骤3：当有u组GNSS接收天线之间的距离信息时，其向量表达式如下：

D＝B_iX_i+ε,

其中，D表示在所有历元中的u×1维距离约束向量，B_i表示第i历元u×m维设计矩阵，X_i包含第i历元m×1维GNSS动态天线未知位置参数向量，ε表示距离约束的观测误差，均值为零协方差矩阵为Σ_d；

步骤4：将GNSS天线间的距离信息作为一种已知的先验约束信息，然后将该距离约束作为一个虚拟的观测量增加到GNSS的观测方程中；即，GNSS伪距或载波相位观测值与该虚拟的距离观测量的组合观测误差方程为：

$\left[\begin{array}{c}{V}_i\\ {V_i}^d\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{A}_i\\ B_i\end{array}\right]{\hat{X}}_i-\left[\begin{array}{c}{L}_i\\ D\end{array}\right],$

其中，表示多个GNSS接收天线的伪距或载波相位观测的误差方程，表示虚拟的距离观测量的误差方程。其组合后的误差方程的协方差矩阵为 $\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{\Σ}}_i& 0\\ 0& {\mathrm{\Σ}}_d\end{array}\right];$

步骤5：如图2所示，在动态载体范围内，多个GNSS动态站所受的大气延迟影响相似，本发明提出一种在多个动态站之间使用一个公共的大气天顶湿延迟参数来代替每个动态站上都设大气天顶湿延迟参数的方法，减少了所求未知参数的个数，也更符合实际的真实情况。

对于动态载体上单个GNSS动态站，其GNSS信号传播方向上的大气延迟影响可以表示为天顶方向的干延迟和湿延迟分量在传播路径上的映射分量总和，即：

STD＝M_d(e)·ZHD+M_w(e)·ZWD,

其中，STD为GNSS信号传播路径上总的对流层延迟影响，ZHD和ZWD分别为动态站天顶方向上的干延迟和湿延迟分量，M_d(e)和M_w(e)是依赖于卫星高度角e的映射函数。

大气延迟中的干分量部分可以通过模型精确的估计，而湿分量部分经过模型估计后，通常需要设置参数对残余的天顶湿延迟量进行估计，即：

STD＝M_d(e)×ZHD+M_w(e)×(ZWD+T),

其中，T是所要估计的残余天顶湿延迟分量。

对于单个动态站k₁采用GNSS精密动态定位，其所估计的未知参数有：

$X_i^{k_1}={\[x_i^{k_1},y_i^{k_1},z_i^{k_1},T_i^{k_1},N_1^{k_1},N_2^{k_1},\mathrm{...},N_n^{k_1}\]}^T,$

其中，为第i历元时刻GNSS接收天线k₁的位置参数，为第i历元时刻GNSS接收天线k₁的天顶湿延迟参数，N为非差或者双差模糊度参数。

大气延迟参数T通常被当作随机过程处理，其状态转移矩阵分量和状态噪声分别为：

${\mathrm{\Φ}}_{i,i-1}^{trop}=\[1\],$

${\mathrm{\Σ}}_{w_i^{trop}}=\[q^{trop}\·\mathrm{\Δ}t\],$

其中，q^trop为大气延迟参数的功率谱密度。

当动态载体上安置有j个GNSS动态站时，其所估计的未知参数有：

$\begin{array}{c}{X}_i^{k_1}={\[x_i^{k_1},y_i^{k_1},z_i^{k_1},T_i^{k_1},N_1^{k_1},N_2^{k_1},\mathrm{...},N_n^{k_1}\]}^T\\ .\\ .\\ .\\ X_i^{k_j}={\[x_i^{k_j},y_i^{k_j},z_i^{k_j},T_i^{k_j},N_1^{k_j},N_2^{k_j},\mathrm{...},N_n^{k_j}\]}^T\end{array},$

其中，待估参数中的大气天顶湿延迟参数可表示为：

${\[...,{T_i}^{k_1},{T_i}^{k_2},...,{T_i}^{k_j},...\]}^T.$

在动态载体范围内，多个GNSS动态站所受的大气延迟影响相似，因此，在多个动态站之间使用一个公共的大气天顶湿延迟参数来代替每个动态站上都设大气天顶湿延迟参数，即：

[…,T_i,…]^Τ；

步骤6：结合动态载体的运动状态方程，基于Kalman滤波估计理论即可得到动态载体状态的最优解，及其验后方差阵。其动态载体的运动状态方程为：

X_i＝Φ_i.i-1X_i-1+W_i,

其中，X_i和X_i-1包含i和i-1时刻多个GNSS动态站的位置参数，公共大气延迟参数及模糊度参数，Φ_i.i-1为动态站的状态转移矩阵，W_i为动态系统的模型噪声，其均值为零协方差阵为可得到动态站的预测状态及其协方差矩阵

${\stackrel{\‾}{X}}_i={\mathrm{\Φ}}_{i,i-1}{\hat{X}}_{i-1},$

${\mathrm{\Σ}}_{{\stackrel{\‾}{X}}_i}={\mathrm{\Φ}}_{i,i-1}{\mathrm{\Σ}}_{{\hat{X}}_{i-1}}{\mathrm{\Φ}}_{i,i-1}^T+{\mathrm{\Σ}}_{W_i};$

步骤7：采用基于Kalman滤波估计理论即可得到动态载体状态的最优解，即：

${\hat{X}}_i={\stackrel{\‾}{X}}_i+{\mathrm{\Σ}}_{{\stackrel{\‾}{X}}_i}\left[\begin{array}{cc}{A}_i^T& B_i^T\end{array}\right]\·{\left\{\left[\begin{array}{cc}{A}_i{\mathrm{\Σ}}_{{\stackrel{\‾}{X}}_i}{A}_i^T& A_i{\mathrm{\Σ}}_{{\stackrel{\‾}{X}}_i}{B}_i^T\\ B_i{\mathrm{\Σ}}_{{\stackrel{\‾}{X}}_i}{A}_i^T& B_i{\mathrm{\Σ}}_{{\stackrel{\‾}{X}}_i}{B}_i^T\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{\Σ}}_i& 0\\ 0& {\mathrm{\Σ}}_d\end{array}\right]\right\}}^{-1}\·\left[\begin{array}{c}{L}_i-A_i{\stackrel{\‾}{X}}_i\\ D-B_i{\stackrel{\‾}{X}}_i\end{array}\right],$

其中，该解的验后协方差阵为：

${\mathrm{\Σ}}_{{\hat{X}}_i}={\mathrm{\Σ}}_{{\stackrel{\‾}{X}}_i}-{\mathrm{\Σ}}_{{\stackrel{\‾}{X}}_i}\left[\begin{array}{cc}{A}_i^T& B_i^T\end{array}\right]\·{\left\{\left[\begin{array}{cc}{A}_i{\mathrm{\Σ}}_{{\stackrel{\‾}{X}}_i}{A}_i^T& A_i{\mathrm{\Σ}}_{{\stackrel{\‾}{X}}_i}{B}_i^T\\ B_i{\mathrm{\Σ}}_{{\stackrel{\‾}{X}}_i}{A}_i^T& B_i{\mathrm{\Σ}}_{{\stackrel{\‾}{X}}_i}{B}_i^T\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{\Σ}}_i& 0\\ 0& {\mathrm{\Σ}}_d\end{array}\right]\right\}}^{-1}\·\left[\begin{array}{c}{A}_i\\ B_i\end{array}\right]{\mathrm{\Σ}}_{{\stackrel{\‾}{X}}_i}.$

本发明可单独使用多天线间的距离约束和大气天顶湿延迟参数的方法，也可以两种方法同时组合使用，均能提高GNSS动态载体的定位精度。

上述虽然结合附图对本发明的具体实施方式进行了描述，但并非对本发明保护范围的限制，所属领域技术人员应该明白，在本发明的技术方案的基础上，本领域技术人员不需要付出创造性劳动即可做出的各种修改或变形仍在本发明的保护范围以内。

Claims (8)

1.基于GNSS多天线的动态载体精密定位方法，其特征是，包括以下步骤：

步骤一，将固定在动态载体上的多个GNSS接收天线接收到的GNSS数据同时处理；

步骤二，获取动态载体上多个GNSS接收天线间的距离信息；

步骤三，将多个GNSS接收天线间的距离信息作为已知的先验约束信息，将该约束信息作为一个虚拟的距离观测量增加到GNSS的观测方程中；

步骤四，在动态载体的多个GNSS接收天线之间采用一个公共的大气天顶湿延迟参数，来替代每个动态站上都设置大气天顶湿延迟参数；

步骤五，求解动态载体的运动状态方程的最优解。

2.如权利要求1所述基于GNSS多天线的动态载体精密定位方法，其特征是，所述步骤一中，在第i历元时刻一次运算中，同时计算j个GNSS接收天线的位置参数具体表达式为：

其中，为第i历元GNSS接收天线k₁上的观测方程，为GNSS观测向量，为GNSS接收天线k₁的设计矩阵，包含第i历元GNSS接收天线k₁的位置参数向量 表示观测误差向量。

3.如权利要求2所述基于GNSS多天线的动态载体精密定位方法，其特征是，当有u组GNSS接收天线之间的距离信息时，其向量表达式如下：

D＝B_iX_i+ε,

其中，D表示在所有历元中的u×1维距离约束向量，B_i表示第i历元u×m维设计矩阵，X_i包含在第i历元m×1维GNSS动态天线未知位置参数向量，ε表示距离约束的观测误差，均值为零协方差矩阵为Σ_d。

4.如权利要求1所述基于GNSS多天线的动态载体精密定位方法，其特征是，所述步骤二中采用相对定位超短基线的方式来精确求取GNSS接收天线相位中心的距离，并获取该测量值的实际精度ε；该距离表示为GNSS接收天线位置参数的函数，

$d_i^{k_1,k_2}=\sqrt{{(x_i^{k_1}-x_i^{k_2})}^2+{(y_i^{k_1}-y_i^{k_2})}^2+{(z_i^{k_1}-z_i^{k_2})}^2},$

其中，表示两个动态天线k₁和k₂之间的距离，(x_i,y_i,z_i)表示动态站在i历元的位置参数。

5.如权利要求3所述基于GNSS多天线的动态载体精密定位方法，其特征是，所述步骤三中，GNSS伪距或载波相位观测值与虚拟的距离观测量的组合观测误差方程为：

$\left[\begin{array}{c}{V}_i\\ {V_i}^d\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{A}_i\\ B_i\end{array}\right]{\hat{X}}_i-\left[\begin{array}{c}{L}_i\\ D\end{array}\right],$

其中，表示多个GNSS动态站的伪距或载波相位观测的误差方程，A_i为设计矩阵，表示虚拟的距离观测量的误差方程；其组合后的误差方程的协方差矩阵为 $\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{\Σ}}_i& 0\\ 0& {\mathrm{\Σ}}_d\end{array}\right].$

6.如权利要求1所述基于GNSS多天线的动态载体精密定位方法，其特征是，在多个GNSS接收天线之间使用一个公共的大气天顶湿延迟参数，将动态载体上多个GNSS接收天线上的大气湿延迟参数合并为一个公共的大气湿延迟参数[…,T_i,…]^Τ。

7.如权利要求3所述基于GNSS多天线的动态载体精密定位方法，其特征是，动态载体的运动状态方程为：

X_i＝Φ_i.i-1X_i-1+W_i,

其中，X_i和X_i-1分别为i和i-1时刻多个GNSS动态站的位置参数，大气延迟参数及模糊度参数，Φ_i.i-1为动态站的状态转移矩阵，W_i为动态系统的模型噪声，其均值为零协方差阵为Σ_Wi，可得到动态站的预测状态及其协方差矩阵

${\stackrel{\‾}{X}}_i={\mathrm{\Φ}}_{i,i-1}{\hat{X}}_{i-1},$

${\mathrm{\Σ}}_{{\stackrel{\‾}{X}}_i}={\mathrm{\Φ}}_{i,i-1}{\mathrm{\Σ}}_{{\hat{X}}_{i-1}}{\mathrm{\Φ}}_{i,i-1}^T+{\mathrm{\Σ}}_{W_i}.$

8.如权利要求7所述基于GNSS多天线的动态载体精密定位方法，其特征是，采用基于Kalman滤波估计理论得到动态载体状态的最优解为：

${\hat{X}}_i={\stackrel{\‾}{X}}_i+{\mathrm{\Σ}}_{{\stackrel{\‾}{X}}_i}\left[\begin{array}{cc}{A}_i^T& B_i^T\end{array}\right]\·{\left\{\left[\begin{array}{cc}{A}_i{\mathrm{\Σ}}_{{\stackrel{\‾}{X}}_i}{A}_i^T& A_i{\mathrm{\Σ}}_{{\stackrel{\‾}{X}}_i}{B}_i^T\\ B_i{\mathrm{\Σ}}_{{\stackrel{\‾}{X}}_i}{A}_i^T& B_i{\mathrm{\Σ}}_{{\stackrel{\‾}{X}}_i}{B}_i^T\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{\Σ}}_i& 0\\ 0& {\mathrm{\Σ}}_d\end{array}\right]\right\}}^{-1}\·\left[\begin{array}{c}{L}_i-A_i{\stackrel{\‾}{X}}_i\\ D-B_i{\stackrel{\‾}{X}}_i\end{array}\right],$

其中，该解的验后协方差阵为：

${\mathrm{\Σ}}_{{\hat{X}}_i}={\mathrm{\Σ}}_{{\stackrel{\‾}{X}}_i}-{\mathrm{\Σ}}_{{\stackrel{\‾}{X}}_i}\left[\begin{array}{cc}{A}_i^T& B_i^T\end{array}\right]\·{\left\{\left[\begin{array}{cc}{A}_i{\mathrm{\Σ}}_{{\stackrel{\‾}{X}}_i}{A}_i^T& A_i{\mathrm{\Σ}}_{{\stackrel{\‾}{X}}_i}{B}_i^T\\ B_i{\mathrm{\Σ}}_{{\stackrel{\‾}{X}}_i}{A}_i^T& B_i{\mathrm{\Σ}}_{{\stackrel{\‾}{X}}_i}{B}_i^T\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{\Σ}}_i& 0\\ 0& {\mathrm{\Σ}}_d\end{array}\right]\right\}}^{-1}\·\left[\begin{array}{c}{A}_i\\ B_i\end{array}\right]{\mathrm{\Σ}}_{{\stackrel{\‾}{X}}_i}.$