CN105334489B - 一种分布式电磁矢量传感器阵列多参数联合估计方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种分布式电磁矢量传感器阵列多参数联合估计方法，属于阵列信号处理领域。构造分布式电磁矢量传感器阵列的接收数据，分别对电偶极子和磁偶极子的接收数据做协方差矩阵并相加求和，获得仅包含信源方位角参数的协方差矩阵和，利用稀疏信号重构方法估计信源入射方位角；利用电偶极子和磁偶极子阵列的自协方差与互协方差矩阵关系获得极化参数的估计。本发明将多维参量联合估计问题转化为多个一维参量分步估计，降低了方法的计算复杂度，而将电偶极子与磁偶极子传感器分布式摆放不仅降低了阵元间互耦影响还有效扩展了阵列物理孔径，使得参数估计精度大大增加。

Description

一种分布式电磁矢量传感器阵列多参数联合估计方法

技术领域

本发明涉及阵列信号处理领域，尤其是指一种分布式电磁矢量传感器阵列多参数联合估计方法。

背景技术

相较于标量传感器阵列而言，电磁矢量传感器阵列具有更强的抗干扰能力和更高的分辨率等诸多优势，提高了空间相距较近信源的分辨能力以及信源方位角的估计精度，这些优势使其具有重要的军事、民事应用价值以及广阔的应用前景。

由于电磁矢量传感器可以接收入射电磁波全部的电场分量和磁场分量，矢量阵列可以获得更多的入射信号信息，极化参数作为电磁波的固有属性，成为了国内外学者在该领域的重点研究内容之一，现有的空域-极化域参数联合估计算法主要基于子空间类算法，如极化MUSIC算法、极化ESPRIT类算法等，述方法由于子空间理论框架的固有局限性，在信源数未知、低SNR以及空间间距很近的情况下通常仍不能达到令人满意的估计结果。

稀疏信号重构理论的出现为解决极化敏感阵列下的高性能参量估计问题提供了新的途径。稀疏重构算法具有高分辨率。较强的噪声鲁棒性和无需信源准确的先验信息等优势，但当信源参量增多时，稀疏目标网格划分难度加大，算法计算复杂度激增，难以直接应用在信源波达方向、极化辅角和极化相位差的联合估计问题中。

另一方面，由于电磁矢量传感器大多假设各个阵元由2至6个共点放置的相互正交的电偶极子或磁偶极子构成，这种理想化假设在实际中难以实现，因此，各极子在空间共点摆放产生的互耦效应会大大降低阵列天线系统的估计性能。

发明内容

本发明提供一种分布式电磁矢量传感器阵列多参数联合估计方法，以解决电磁矢量传感器各天线共点放置时存在互耦效应，影响估计性能，以及基于稀疏信号重构方法在多参量联合估计时网格难以划分的问题。本发明利用电偶极子与磁偶极子正交组成的电磁矢量传感器(concentered orthogonal loop and dipole，简称COLD)阵列接收数据的二阶统计量特性对多参量进行分步求解，同时利用分布式阵列降低了阵元各通道间的互耦影响并提高了有效阵列孔径，实现参量的高精度低复杂度估计。

本发明采取的技术方案是，包括下列步骤：

步骤一：将由电偶极子与磁偶极子构成的电磁矢量传感器阵列中的阵元分量分散摆放于空间内，形成分布式COLD阵列，分别获得电偶极子接收数据和磁偶极子接收数据

步骤二：对电偶极子和磁偶极子的接收数据做自协方差矩阵得R^[gg]与R^[ll]，并相加求和得到仅包含信源方位角参数的协方差矩阵和R；

步骤三：利用求和平均获得统计性能更好的向量化模型C(q)，利用稀疏信号重构方法估计信源入射方位角

步骤四：利用电偶极子和磁偶极子阵列的自协方差与互协方差矩阵间功率关系获得极化参数的估计

本发明所述步骤一具体为：

K个信源入射到M对COLD阵元组成的线性阵列，当入射信源俯仰角φ＝90°，即入射信源投影在固定在y轴上，由yoz平面入射到传感器阵列，相邻电偶极子之间距离与相邻磁偶极子之间距离均为d，相邻的电偶极子与磁偶极子之间距离为d/2，将电偶极子与磁偶极子传感器交替摆放于y轴上，设位于坐标原点处电偶极子阵元为参考阵元，获得y轴上第m对电偶极子与磁偶极子子阵元在某t个采样时刻的接收数据分别为和其中第m个电偶极子的接收数据为：

第m个磁偶极子的接收数据为：

式中，s_k(t)代表第k个入射信号k∈(1,2,...,K)，和为第m个传感器的噪声，ω_k＝-2πd sinθ_k/λ，λ代表信号波长，j是虚数单位，θ_k,γ_k,η_k分别为信源方位角，极化辅角和极化相位差；

将电偶极子与磁偶极子子阵列的接收数据写成向量形式：

u^[g](t)＝As^[g](t)+n^[g](t)

u^[l](t)＝As^[l](t)+n^[l](t)

其中，电偶极子与磁偶极子子阵列接收的K个信号分别为s^[g](t)、s^[l](t)

s^[l](t)＝-[s₁(t)cos(γ₁)…s_k(t)cos(γ_k)…s_K(t)cos(γ_K)]^T

n^[g](t)和n^[l](t)分别是电偶极子和磁偶极子传感器噪声的向量形式，A＝[a(θ₁)…a(θ_k)…a(θ_K)]是M×K维的方向矩阵，其中[·]^T是矩阵的转置运算。

本发明所述步骤二具体为：

根据电偶极子阵列接收数据和磁偶极子阵列接收数据计算出自协方差矩阵R^[gg]与R^[ll]，分别为：

其中P_k为信号功率，σ²为噪声功率，E{·}表示对矩阵求均值运算，I表示是M×M的单位矩阵，(_·)^H表示矩阵的共轭转置运算；

将协方差矩阵R^[gg]与R^[ll]相加求和得到新的协方差矩阵R

容易看出，矩阵R仅包含信源方位角信息θ_k，实现了多参量分步求解以降低算法计算复杂度目的。

本发明所述步骤三中求和平均过程具体为：

利用求和平均将矩阵R转为向量C(q)，表示为：

其中q∈[1,2,...,2M-1]，可以将C(q)写成矩阵形式，有：

C＝B(θ)P+σ²△^(2M-1)

由于噪声只在主对角线上有值，在转化为列向量后，△^(2M-1)即是一个(2M-1)×1向量且第M个元素是1其他位置为0的向量，P是信号功率矢量，B(θ)代表一个(2M-1)×K的虚拟阵列流型矩阵，其第k列代表第k个信号的虚拟导向矢量b(θ_k)，表示为：

本发明所述步骤三中方位角估计方式具体为：

为将传统的DOA估计问题转变为稀疏信号重构问题，假设空间中有Q(≥K)个可能入射方向，即稀疏框架下则有；

其中代表过完备基矩阵，代表K稀疏的信号功率向量，当信号k从入射到阵列时，P_Q的第i个元素非零且等于P_k，而其它元素为0；

此时，信源方位角参数可通过求解如下加权l₁范数约束的最小化问题获得：

其中β＝0.6为正则化参数，是权矢量，U代表M×(M–K)维的噪声子空间矩阵，可通过凸优化工具包CVX求解得到方位角的估计值

本发明所述步骤四具体为：

为进一步获得极化参数，计算电偶极子与磁偶极子接收数据的互协方差矩阵R^[gl]，R^[lg]得：

分别对协方差矩阵R，R^[gg]，R^[gl]，R^[lg]进行向量化处理，表示为：

其中Π＝vec(I)，vec(·)是向量化操作；

同样考虑稀疏表示问题，如果信源k从入射到阵列，则它们第i个元素为非零值且分别等于P_k，P_ksin²(γ_k)，P_ksin(γ_k)cos(γ_k)e^-jη，P_ksin(γ_k)cos(γ_k)e^jη，P_ksin(γ_k)cos(γ_k)cos(η_k)，将对应入射信源位置的重构结果分别记为κ₁,κ₂,κ₃,κ₄,κ₅，则获得极化参数的闭式解：

本发明与现有技术相比具有以下优点：

(1)本发明提出了分布式的COLD阵列结构，使共点的电偶极子与磁偶极子在空间上分离，降低了天线通道间的互耦效应影响，提高了阵列接收信号定位参量估计的性能；

(2)本发明利用COLD阵列在二阶统计量上的特性，通过电偶极子与磁偶极子接收数据协方差矩阵的求和过程，将方位角参量从空域-极化域信号参量中提取出来，通过稀疏信号重构方法率先获得方位角估计值。

(3)本发明利用远场信号协方差矩阵的Toeplitz性质，通过求和平均操作将协方差矩阵转化为统计特性更好的向量化模型，抑制噪声干扰，进一步提高阵列信号参数估计的精度。

附图说明

图1本发明的流程图；

图2本发明分步式COLD阵列的示意图。

具体实施方式

包括下列步骤：

步骤一：如图1所示，将由电偶极子与磁偶极子构成的电磁矢量传感器阵列中的阵元分量分散摆放于空间内，形成分布式COLD阵列，K个信源入射到M对COLD阵元组成的线性阵列，当入射信源俯仰角φ＝90°，即入射信源投影在固定在y轴上，由yoz平面入射到传感器阵列，相邻电偶极子之间距离与相邻磁偶极子之间距离均为d，相邻的电偶极子与磁偶极子之间距离为d/2，将电偶极子与磁偶极子传感器交替摆放于y轴上，设位于坐标原点处电偶极子阵元为参考阵元，获得y轴上第m对电偶极子与磁偶极子子阵元在某t个采样时刻的接收数据分别为和中第m个电偶极子的接收数据为：

第m个磁偶极子的接收数据为：

式中，s_k(t)代表第k个入射信号k∈(1,2,...,K)，和为第m个传感器的噪声，ω_k＝-2πdsinθ_k/λ，λ代表信号波长，j是虚数单位，θ_k,γ_k,η_k分别为信源方位角，极化辅角和极化相位差；

将电偶极子与磁偶极子子阵列的接收数据写成向量形式：

u^[g](t)＝As^[g](t)+n^[g](t)

u^[l](t)＝As^[l](t)+n^[l](t)

其中，电偶极子与磁偶极子子阵列接收的K个信号分别为s^[g](t)、s^[l](t)

s^[l](t)＝-[s₁(t)cos(γ₁)…s_k(t)cos(γ_k)…s_K(t)cos(γ_K)]^T

n^[g](t)和n^[l](t)分别是电偶极子和磁偶极子传感器噪声的向量形式，A＝[a(θ₁)…a(θ_k)…a(θ_K)]是M×K维的方向矩阵，其中[·]^T是矩阵的转置运算；

步骤二：对电偶极子和磁偶极子的接收数据做自协方差矩阵得R^[gg]与R^[ll]，并相加求和得到仅包含信源方位角参数的协方差矩阵和R，根据电偶极子阵列接收数据和磁偶极子阵列接收数据计算出自协方差矩阵R^[gg]与R^[ll]：

其中P_k为信号功率，σ²为噪声功率，E{·}表示对矩阵求均值运算，I表示是M×M的单位矩阵，(·)^H表示矩阵的共轭转置运算；

将协方差矩阵R^[gg]与R^[ll]相加求和得到新的协方差矩阵R

容易看出，矩阵R仅包含信源方位角信息θ_k，实现多参量分步求解以降低算法计算复杂度目的；

步骤三：为了充分利用矩阵R的二阶统计量信息，由于远场信源接收数据协方差矩阵具有Toeplitz结构，其与主对角线平行的各条线上元素相等，利用求和平均将矩阵R转为向量C(q)，表示为：

其中q∈[1,2,...,2M-1]，可以将C(q)写成矩阵形式，有：

C＝B(θ)P+σ²△^(2M-1)

由于噪声只在主对角线上有值，在转化为列向量后，△^(2M-1)即是一个(2M-1)×1向量且第M个元素是1其他位置为0的向量，P是信号功率矢量，B(θ)代表一个(2M-1)×K的虚拟阵列流型矩阵，其第k列代表第k个信号的虚拟导向矢量b(θ_k)，表示为

为将传统的DOA估计问题转变为稀疏信号重构问题，假设空间中有Q(≥K)个可能入射方向，即稀疏框架下则有：

其中代表过完备基矩阵，代表K稀疏的信号功率向量，当信号k从入射到阵列时，P_Q的第i个元素非零且等于P_k，而其它元素为0；

此时，信源方位角参数可通过求解如下加权l₁范数约束的最小化问题获得：

其中β＝0.6为正则化参数，是权矢量，U代表M×(M–K)维的噪声子空间矩阵，可通过凸优化工具包CVX求解得到方位角的估计值

步骤四：为进一步获得极化参数，计算电偶极子与磁偶极子接收数据的互协方差矩阵R^[gl]，R^[lg]得：

分别对协方差矩阵R，R^[gg]，R^[gl]，R^[lg]进行向量化处理，表示为：

其中Π＝vec(I)，vec(·)是向量化操作；

同样考虑稀疏表示问题，如果信源k从入射到阵列，则它们第i个元素为非零值且分别等于P_k，P_k sin²(γ_k)，P_ksin(γ_k)cos(γ_k)e^-jη，P_ksin(γ_k)cos(γ_k)e^jη，P_ksin(γ_k)cos(γ_k)cos(η_k)，将对应入射信源位置的重构结果分别记为κ₁,κ₂,κ₃,κ₄,κ₅，则获得极化参数的闭式解：

Claims (5)

1.一种分布式电磁矢量传感器阵列多参数联合估计方法，其特征在于，包括下列步骤：

步骤一：将由电偶极子与磁偶极子构成的电磁矢量传感器阵列中的阵元分量分散摆放于空间内，形成分布式COLD阵列，分别获得电偶极子接收数据和磁偶极子接收数据

步骤二：对电偶极子和磁偶极子的接收数据做自协方差矩阵得R^[gg]与R^[ll]，并相加求和得到仅包含信源方位角参数的协方差矩阵和R；

步骤三：利用求和平均获得统计性能更好的向量化模型C(q)，利用稀疏信号重构方法估计信源入射方位角

所述方位角估计方式具体为：

为将传统的DOA估计问题转变为稀疏信号重构问题，假设空间中有Q(≥K)个可能入射方向，即稀疏框架下则有；

$C=\stackrel{\‾}{B}\left(\mathrm{\Θ}\right)P_Q+{\mathrm{\σ}}^2{I}^{(2M-1)}$

其中代表过完备基矩阵，代表K稀疏的信号功率向量，当信号k从入射到阵列时，P_Q的第i个元素非零且等于P_k，而其它元素为0；

此时，信源方位角参数可通过求解如下加权范数约束的最小化问题获得：

$min\left\{(1-\mathrm{\β})\right||C-B\left(\mathrm{\Θ}\right)P_Q|{|}_2^2+\mathrm{\β}\underset{i=1}{\overset{Q}{\Σ}}{\widehat{\mathrm{\ω}}}_i\left|P_i{|}_1\right\}$

其中β＝0.6为正则化参数，是权矢量，U代表M×(M–K)维的噪声子空间矩阵，通过凸优化工具包CVX求解得到方位角的估计值

步骤四：利用电偶极子和磁偶极子阵列的自协方差与互协方差矩阵间功率关系获得极化参数的估计

2.根据权利要求1所述的一种分布式电磁矢量传感器阵列多参数联合估计方法，其特征在于，所述步骤一具体为：

K个信源入射到M对COLD阵元组成的线性阵列，当入射信源俯仰角φ＝90°，即入射信源投影在固定在y轴上，由yoz平面入射到传感器阵列，相邻电偶极子之间距离与相邻磁偶极子之间距离均为d，相邻的电偶极子与磁偶极子之间距离为d/2，将电偶极子与磁偶极子传感器交替摆放于y轴上，设位于坐标原点处电偶极子阵元为参考阵元，获得y轴上第m对电偶极子与磁偶极子子阵元在某t个采样时刻的接收数据分别为和其中第m个电偶极子的接收数据为：

$u_m^{\[g\]}\left(t\right)=-\underset{k=1}{\overset{K}{\Σ}}{s}_k\left(t\right)sin\left({\mathrm{\γ}}_k\right)e^{{\mathrm{j\η}}_k}{e}^{{\mathrm{jm\ω}}_k}+n_m^{\[g\]}\left(t\right)$

第m个磁偶极子的接收数据为：

$u_m^{\[l\]}\left(t\right)=-\underset{k=1}{\overset{K}{\Σ}}{s}_k\left(t\right)cos\left({\mathrm{\γ}}_k\right)e^{{\mathrm{jm\ω}}_k}+n_m^{\[l\]}\left(t\right)$

式中，s_k(t)代表第k个入射信号k∈(1,2,...,K)，和为第m个传感器的噪声，ω_k＝-2πd sinθ_k/λ，λ代表信号波长，j是虚数单位，θ_k,γ_k,η_k分别为信源方位角，极化辅角和极化相位差；

将电偶极子与磁偶极子子阵列的接收数据写成向量形式：

u^[g](t)＝As^[g](t)+n^[g](t)

u^[l](t)＝As^[l](t)+n^[l](t)

其中，电偶极子与磁偶极子子阵列接收的K个信号分别为s^[g](t)、s^[l](t)

$s^{\[g\]}\left(t\right)=-{\[s_1\left(t\right)sin\left({\mathrm{\γ}}_1\right)e^{{\mathrm{j\η}}_1}...s_k\left(t\right)\sin \left({\mathrm{\γ}}_k\right)e^{{\mathrm{j\η}}_k}...s_K\left(t\right)sin\left({\mathrm{\γ}}_K\right)e^{{\mathrm{j\η}}_K}\]}^T$

s^[l](t)＝-[s₁(t)cos(γ₁)…s_k(t)cos(γ_k)…s_K(t)cos(γ_K)]^T

n^[g](t)和n^[l](t)分别是电偶极子和磁偶极子传感器噪声的向量形式，A＝[a(θ₁)…a(θ_k)…a(θ_K)]是M×K维的方向矩阵，其中[·]^T是矩阵的转置运算。

3.根据权利要求1所述的一种分布式电磁矢量传感器阵列多参数联合估计方法，其特征在于，所述步骤二具体为：

根据电偶极子阵列接收数据和磁偶极子阵列接收数据计算出自协方差矩阵R^[gg]与R^[ll]，分别为：

$R^{\[gg\]}=E\left\{u^{\[g\]}\left(t\right)u^{\[g\]}{\left(t\right)}^H\right\}=\underset{k=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}{P}_k{\sin }^2\left({\mathrm{\γ}}_k\right)\tilde{b}\left({\mathrm{\θ}}_k\right)+{\mathrm{\σ}}^{2}I$

$R^{\[ll\]}=E\left\{u^{\[l\]}\left(t\right)u^{\[l\]}{\left(t\right)}^H\right\}=\underset{k=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}{P}_k{\cos }^2\left({\mathrm{\γ}}_k\right)\tilde{b}\left({\mathrm{\θ}}_k\right)+{\mathrm{\σ}}^{2}I$

其中P_k为信号功率，σ²为噪声功率，E{·}表示对矩阵求均值运算，I表示是M×M的单位矩阵，(·)^H表示矩阵的共轭转置运算；

将协方差矩阵R^[gg]与R^[ll]相加求和得到新的协方差矩阵R

$R=R^{\[gg\]}+R^{\[ll\]}=\underset{k=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}{P}_k\tilde{b}\left({\mathrm{\θ}}_k\right)+2{\mathrm{\σ}}^{2}I$

容易看出，矩阵R仅包含信源方位角信息θ_k，实现了多参量分步求解以降低算法计算复杂度目的。

4.根据权利要求1所述的一种分布式电磁矢量传感器阵列多参数联合估计方法，其特征在于，所述步骤三中求和平均过程具体为：

利用求和平均将矩阵R转为向量C(q)，表示为：

$C\left(q\right)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{1}{q}\underset{m=1}{\overset{q}{\Σ}}R(m,M+m-q),& q=1,...,M\\ \frac{1}{2M-q}\underset{m=1}{\overset{2M-q}{\Σ}}R(M+1-m,2M-q+1-m),& q=M+1,...,2M\end{array}\right.$

其中q∈[1,2,...,2M-1]，可以将C(q)写成矩阵形式，有：

C＝B(θ)P+σ²Δ^(2M-1)

由于噪声只在主对角线上有值，在转化为列向量后，Δ^(2M-1)即是一个(2M-1)×1向量且第M个元素是1其他位置为0的向量，P是信号功率矢量，B(θ)代表一个(2M-1)×K的虚拟阵列流型矩阵，其第k列代表第k个信号的虚拟导向矢量b(θ_k)，表示为：

$b\left({\mathrm{\θ}}_k\right)={\[e^{\frac{j\mathrm{\π}2(M-1){\mathrm{dsin\θ}}_k}{\mathrm{\λ}}},...,1,...,e^{\frac{-j\mathrm{\π}2(M-1){\mathrm{dsin\θ}}_k}{\mathrm{\λ}}}\]}^T.$

5.根据权利要求1所述的一种分布式电磁矢量传感器阵列多参数联合估计方法，其特征在于，所述步骤四具体为：

为进一步获得极化参数，计算电偶极子与磁偶极子接收数据的互协方差矩阵R^[gl]，R^[lg]得：

$R^{\[gl\]}=E\left\{u^{\[g\]}\left(t\right)u^{\[l\]}{\left(t\right)}^H\right\}=\underset{k=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}{P}_k\sin \left({\mathrm{\γ}}_k\right)\cos \left({\mathrm{\γ}}_k\right)e^{-j\mathrm{\η}}\tilde{b}\left({\mathrm{\θ}}_k\right)+{\mathrm{\σ}}^{2}I$

$R^{\[gl\]}=E\left\{u^{\[l\]}\left(t\right)u^{\[g\]}{\left(t\right)}^H\right\}=\underset{k=1}{\overset{K}{\Σ}}{P}_{k}sin\left({\mathrm{\γ}}_k\right)cos\left({\mathrm{\γ}}_k\right)e^{j\mathrm{\η}}\tilde{b}\left({\mathrm{\θ}}_k\right)+{\mathrm{\σ}}^{2}I$

分别对协方差矩阵R，R^[gg]，R^[gl]，R^[lg]进行向量化处理，表示为：

$h_1=vec\left(R\right)=\underset{k=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}{P}_k\mathrm{\Γ}\left({\mathrm{\θ}}_k\right)+2{\mathrm{\σ}}^2\mathrm{\Π}$

$h_2=vec\left(R^{\[gg\]}\right)=vec\left(u^{\[g\]}\right(t\left)u^{\[g\]}{\left(t\right)}^H\right)=\underset{k=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}{P}_k{\sin }^2\left({\mathrm{\γ}}_k\right)\mathrm{\Γ}\left({\mathrm{\θ}}_k\right)+{\mathrm{\σ}}^2\mathrm{\Π}$

$h_3=vec\left(R^{\[gl\]}\right)=vec\left(u^{\[g\]}\left(t\right)u^{\[l\]}{\left(t\right)}^H\right)=\underset{k=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}{P}_k\sin \left({\mathrm{\γ}}_k\right)\cos \left({\mathrm{\γ}}_k\right)e^{-j\mathrm{\η}}\mathrm{\Γ}\left({\mathrm{\θ}}_k\right)$

$h_4=vec\left(R^{\[\lg \]}\right)=vec\left(u^{\[l\]}\left(t\right)u^{\[g\]}{\left(t\right)}^H\right)=\underset{k=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}{P}_k\sin \left({\mathrm{\γ}}_k\right)\cos \left({\mathrm{\γ}}_k\right)e^{j\mathrm{\η}}\mathrm{\Γ}\left({\mathrm{\θ}}_k\right)$

$h_5=(h_3+h_4)/2=\underset{k=1}{\overset{K}{\Σ}}{P}_{k}sin\left({\mathrm{\γ}}_k\right)cos\left({\mathrm{\γ}}_k\right)cos\left({\mathrm{\η}}_k\right)\mathrm{\Γ}\left({\mathrm{\θ}}_k\right)$

其中Π＝vec(I)，vec(·)是向量化操作；

同样考虑稀疏表示问题，如果信源k从入射到阵列，则它们第i个元素为非零值且分别等于P_k，P_ksin²(γ_k)，P_ksin(γ_k)cos(γ_k)e^-jη，P_ksin(γ_k)cos(γ_k)e^jη，P_ksin(γ_k)cos(γ_k)cos(η_k)，将对应入射信源位置的重构结果分别记为κ₁,κ₂,κ₃,κ₄,κ₅，则获得极化参数的闭式解：

$\widehat{\mathrm{\γ}}=\arcsin \sqrt{\left|{\mathrm{\κ}}_2\right|/\left|{\mathrm{\κ}}_1\right|}$

$\widehat{\mathrm{\η}}=\arccos \left(\frac{{\mathrm{\κ}}_5}{{\mathrm{\κ}}_2\·\cos \widehat{\mathrm{\γ}}}\right).$