CN105183997A - 一种基于双层嵌套不确定性传播的热传导模型校准方法 - Google Patents

Abstract

一种基于双层嵌套不确定性传播的热传导模型校准方法，本发明涉及热传导模型校准方法。本发明是要解决当热传导模型输入参数同时存在认知和固有不确定性时，优化问题变为随机变量存在于目标函数的不确定性优化问题而提出的一种基于双层嵌套不确定性传播的热传导模型校准方法。该方法是通过一、得到固有不确定性参数A的概率分布函数和认知不确定性参数区间；二、产生认知不确定性参数样本e_p；三、产生固有不确定性参数样本四、模型的输出数据五、计算出最终的模型输出数据y_s(x,A|e_p)与参考数据y_r的一致性；步骤六、输出认知不确定性参数e_p作为校准结果等步骤实现的。本发明应用于热传导模型领域。

Description

一种基于双层嵌套不确定性传播的热传导模型校准方法

技术领域

本发明涉及热传导模型校准方法，特别涉及一种基于双层嵌套不确定性传播的热传导模型校准方法。

背景技术

热传导问题广泛存在于机械、航空航天、化工、能源等工程领域。例如在航空航天领域，再入飞行器再入大气层过程中，高速气流与飞行器表面摩擦，飞行器结构上的温度必须控制在材料能够承受的范围内，才能保证飞行器的安全。伴随着热传导问题的广泛存在，热传导问题的求解技术也不断发展成熟，特别是计算机技术的出现，热传导问题的数值求解方法得到了迅猛发展，并且在工程领域扮演着越来越重要的角色。提高热传导模型的可信性是热传导求解过程中关注的焦点之一。实际的热传导过程中通常易受到各种不确定性因素的影响，导致热传导模型包含多种的不确定性因素，例如材料特性、边界条件、初始条件等，因测量误差或建模中的近似假设，具有不确定性。热传导问题求解过程中的不确定性具体来说可分为两类，固有不确定性和认知不确定性。固有不确定性是指变量的固有可变性，通常可由概率分布描述；认知不确定性是指由于热传导问题建模过程中因为缺乏知识导致的不确定性，常用的描述方法有区间理论、证据理论、可能性理论等。根据认知不确定性的定义，应当尽量缩减认知不确定性对模型的影响，从而有效提高热传导模型的可信性。

模型校准是利用数学方法校准模型的参数以提高模型的可信度的过程，对于含有认知不确定性的热传导模型来说，模型校准即是缩减认知不确定性的过程，是提高热传导模型求解精度的重要手段。优化法是常用的模型校准方法，是指将校准过程转化为优化问题，构建热传导模型输出与实验数据的一致性度量模型作为优化目标函数，通过优化方法调整认知不确定性参数使得优化目标最优的过程。优化法因其原理简单，优化效果好而得到广泛应用，然而，当热传导模型输入参数同时存在认知和固有不确定性时，优化问题变为随机变量存在于目标函数的不确定性优化问题，给热传导模型的校准带来了困难。

发明内容

本发明的目的是为了解决当热传导模型输入参数同时存在认知和固有不确定性时，模型校准问题变为随机变量存在于目标函数的不确定性优化问题而提出的一种基于双层嵌套不确定性传播的热传导模型校准方法。

上述的发明目的是通过以下技术方案实现的：

步骤一、利用概率理论对热传导模型的固有不确定性参数进行描述，得到固有不确定性参数A的概率分布函数；采用区间理论对热传导模型的认知不确定性参数进行描述，得到认知不确定性参数区间；

步骤二、利用优化方法，从认知不确定性参数区间中产生认知不确定性参数样本m为认知不确定参数个数；其中，p为优化方法迭代的次数；

步骤三、将认知不确定性参数样本e_p作为热传导模型的输入参数；利用抽样方法对固有不确定性参数A的概率分布函数进行抽样，产生的抽样样本为其中，n为抽样样本的数量；n与实验数据y_r样本数量相等；o为固有不确定性参数个数；a_q为抽样样本的子样本；

步骤四、采用蒙特卡洛方法，以e_p和a_q作为热传导模型的输入参数获得模型的输出数据_ysq(_x|aq_,ep)；其中，_x为模型的确定性参数；

步骤五、判断q是否等于n，若q不等于n，将q＝q+1，重复步骤四；若q等于n，计算出最终的模型输出数据y_s(x,A|e_p)与实验数据y_r的一致性C(y_r,y_s(x,A|e_p))，其中，y_s(x,A|e_p)＝{y_sq(x|a_q,e_p)|q＝1,2,...,n}；

步骤六、根据优化方法，判断C(y_r,y_s(x,A|e_p))是否满足终止条件，若C(y_r,y_s(x,A|e_p))不满足终止条件，p＝p+1，重复步骤二至步骤五；若C(y_r,y_s(x,A|e_p))满足终止条件，则输出认知不确定性参数e_p作为校准结果；其中，终止条件具体为计算最近3次或4次优化值之间的差，均小于1×10^-6则满足终止条件。

发明效果

本发明从优化的角度，解决输入参数既含有认知不确定性又含有固有不确定性情况时，热传导模型认知不确定性参数的校准问题。

本发明公开一种热传导模型校准方法。本发明的方法给出一种双层嵌套传播方法对模型中认知不确定性参数实施校准。本发明分别用概率理论和区间理论描述热传导模型中的固有不确定性参数和认知不确定性参数；利用抽样方法对固有不确定性进行抽样，进行固有不确定性传播并计算与实验数据的一致性；利用固有不确定性传播获得的一致性作为优化目标函数，运用优化算法获得校准后的认知不确定性参数等步骤进行的。本发明能够解决同时含有固有和认知不确定性时的热传导模型校准问题，具有原理清晰、实施简单的优点。

本发明提供一种基于双层嵌套不确定性传播的热传导模型校准方法，将热传导模型输入参数同时存在认知和固有不确定性时的随机变量存在于目标函数的不确定性优化问题，转化为确定性问题，解决了输入参数同时存在认知和固有不确定性时的热传导模型的校准问题。

本发明所采用均方根误差作为优化目标函数，具有原理清晰、实施简单的优点，便于不熟悉模型校准工作的建模人员应用该方法。本发明并不强制规定所采用的优化方法与抽样方法，具有适用面广的优点。

本发明的实质是采用基于双层嵌套不确定性传播的热传导校准方法，解决热传导模型同时含有认知和固有不确定性参数的情况下的模型校准问题。内层仿真对固有不确定性进行传播，并计算认知不确定性下热传导模型输出与实验数据一致性。外层利用该一致性作为目标函数进行优化，获得校准结果。如图4和图5可见，本发明所提方法有效缩减了不确定性影响，提高了求解精度。

附图说明

图1为具体实施方式一提出的一种基于双层嵌套不确定性传播的热传导模型校准方法流程图；

图2为实施例提出的固体板一维热传导模型示意图；

图3为实施例提出的固体板一维热传导模型实验数据示意图；其中，图中Conf.1表示Q＝1000W/m²，L＝1.27cm；Conf.2表示Q＝1000W/m²，L＝2.54cm；Conf.3表示Q＝2000W/m²，L＝1.27cm；Conf.4表示Q＝2000W/m²，L＝2.54cm；；Q为热流密度；L为热传导模型的板的厚度；

图4为实施例提出的固体板一维热传导模型校准前输出示意图；

图5为实施例提出的固体板一维热传导模型依照本发明方法校准后输出示意图。

具体实施方式

具体实施方式一：结合图1本实施方式的一种基于双层嵌套不确定性传播的热传导模型校准方法，具体是按照以下步骤制备的：

将热传导模型的认知不确定性参数和固有不确定性参数分别进行传播，步骤四和五进行热传导模型的固有不确定性参数传播，步骤二～六利用步骤四和五的传播结果进行优化；

步骤一、利用概率理论对热传导模型的固有不确定性参数进行描述，得到固有不确定性参数A的概率分布函数；采用区间理论对热传导模型的认知不确定性参数进行描述，得到认知不确定性参数区间；

步骤二、利用优化方法，从认知不确定性参数区间中产生认知不确定性参数样本m为认知不确定参数个数；其中，p为优化方法迭代的次数；

步骤三、将认知不确定性参数样本e_p作为热传导模型的输入参数；利用抽样方法对固有不确定性参数A的概率分布函数进行抽样，产生的抽样样本为^a＝{^a _q|q＝1,2,...,n}；其中，n为抽样样本的数量；n与实验数据y_r样本数量相等；o为固有不确定性参数个数；a_q为抽样样本的子样本；

步骤四、采用蒙特卡洛方法，以e_p和a_q作为热传导模型的输入参数获得模型的输出数据y_sq(x|a_q,e_p)；其中，x为模型的确定性参数；

步骤五、判断q是否等于n，若q不等于n，将q＝q+1，重复步骤四；若q等于n，计算出最终的模型输出数据y_s(x,A|e_p)与实验数据y_r的一致性C(y_r,y_s(x,A|e_p))，其中，y_s(x,A|e_p)＝{y_sq(x|a_q,e_p)|q＝1,2,...,n}；

步骤六、根据优化方法，判断C(y_r,y_s(x,A|e_p))是否满足终止条件，若C(y_r,y_s(x,A|e_p))不满足终止条件，p＝p+1，重复步骤二至步骤五；若C(y_r,y_s(x,A|e_p))满足终止条件，则输出认知不确定性参数e_p作为校准结果；其中，终止条件具体为计算最近3次或4次优化值之间的差，均小于1×10^-6则满足终止条件。

本实施方式效果：

本实施方式从优化的角度，解决输入参数既含有认知不确定性又含有固有不确定性情况时，热传导模型认知不确定性参数的校准问题。

本实施方式公开一种模型校准方法。本实施方式的方法给出一种双层嵌套传播方法对热传导模型中认知不确定性参数实施校准。本实施方式分别用概率理论和区间理论描述模型中的固有不确定性参数和认知不确定性参数；利用抽样方法对固有不确定性进行抽样，进行固有不确定性传播并计算与实验数据的一致性；利用固有不确定性传播获得的一致性作为优化目标函数，运用优化算法获得校准后的认知不确定性参数等步骤进行的。本实施方式能够解决同时含有固有和认知不确定性时的仿真模型校准问题，具有原理清晰、实施简单的优点。

本实施方式提供一种基于双层嵌套不确定性传播的模型校准方法，将热传导模型输入参数同时存在认知和固有不确定性时的随机变量存在于目标函数的不确定性优化问题，转化为确定性问题，解决了输入参数同时存在认知和固有不确定性时的仿真模型校准问题。

本实施方式所采用均方根误差作为优化目标函数，具有原理清晰、实施简单的优点，便于不熟悉热传导模型校准工作的建模人员应用该方法。本实施方式并不强制规定所采用的优化方法与抽样方法，具有适用面广的优点。

本实施方式的实质是采用基于双层嵌套不确定性传播的校准方法，解决热传导模型同时含有认知和固有不确定性参数的情况下的模型校准问题。内层仿真对固有不确定性进行传播，并计算认知不确定性下仿真输出与实验数据一致性。外层利用该一致性最为目标函数进行优化，获得校准结果。如图4和图5可见，本实施方式所提方法有效缩减了不确定性影响。

具体实施方式二：本实施方式与具体实施方式一不同的是：步骤二及步骤六中所述优化算法为遗传算法或模拟退火算法等。其它步骤及参数与具体实施方式一相同。

具体实施方式三：本实施方式与具体实施方式一或二不同的是：步骤三中的抽样方法具体为：简单随机抽样方法或分层抽样方法；其中，分层抽样方法为拉丁超立方抽样或均匀抽样方法等。其它步骤及参数与具体实施方式一或二相同。

具体实施方式四：本实施方式与具体实施方式一至三之一不同的是：步骤五中一致性C(y_r,y_s(x,A|e_p))具体形式为：

$C(y_r,y_s(x,A|e_p\left)\right)=\sqrt{\frac{\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}{(y_{ri}-y_{si}(x,A|e_p\left)\right)}^2}{n-1}}.$ 其它步骤及参数与具体实施方式一至三之一相同。

采用以下实施例验证本发明的有益效果：

实施例一：

本实施例一种基于双层嵌套不确定性传播的固体板一维热传导模型校准方法，具体是按照以下步骤制备的：

将固体板一维热传导模型的认知不确定性参数和固有不确定性参数分别进行传播，步骤四和五进行固体板一维热传导模型的固有不确定性参数传播，步骤二～六利用步骤四和五的传播结果进行优化；

步骤一、利用概率理论对固体板一维热传导模型的固有不确定性参数进行描述，得到固有不确定性参数A的概率分布函数；采用区间理论对热传导模型的认知不确定性参数进行描述，得到认知不确定性参数区间；

下面以热传导模型中的固体板一维热传导模型的校准问题为例，进一步说明本发明的实施过程以及评估本发明方法的有效性。

图2为固体板一维热传导模型示意图，数学模型为：

$\begin{array}{c}T\left(x,t\right)=T_s+\frac{QL}{k}\[\frac{\left(k/{\mathrm{\ρC}}_p\right)t}{L^2}+\frac{1}{3}-\frac{x}{L}\\ +\frac{1}{2}{\left(\frac{x}{L}\right)}^2-\frac{2}{{\mathrm{\π}}^2}\underset{n=1}{\overset{6}{\mathrm{\Σ}}}\frac{1}{n^2}{e}^{-n^2{\mathrm{\π}}^2\frac{\left(k/{\mathrm{\ρC}}_p\right)t}{L^2}}\cos \left(n\mathrm{\π}\frac{x}{L}\right)\]\end{array}$

其中，T为温度；t为时间；Q为热流密度；k为材料热传导系数；ρC_p为体热容；L为固体板的厚度，x为位置；x＝[QLxt]为确定性参数；θ＝[kρC_p]为不确定性参数。

参数ρC_p符合正态分布，固有不确定性参数概率分布函数为其中μ_ρC、δ_ρC为认知不确定性参数。参数k采用k＝at^b进行描述，其中a、b为认知不确定性参数。

认知不确定性参数e＝[μ_ρC,δ_ρC,a,b]，其取值范围分别为μ_ρC∈[382650,405150]，δ_ρC∈[29925,46391]，a∈[0.0289,0.04019]，b∈[0.07729,0.1308]；设置p＝1；其中，p为优化方法迭代的次数；

步骤二、利用遗传算法，从认知不确定性参数区间中产生认知不确定性参数样本m为认知不确定参数个数；其中，p为优化方法迭代的次数；

步骤三、将认知不确定性参数样本e_p作为热传导模型的输入参数；利用拉丁超立方抽样法对固有不确定性参数A的概率分布函数进行抽样，产生的抽样样本为a＝{a_q|q＝1,2,...,n}；其中，n为抽样样本的数量；n与实验数据y_r样本数量相等，(本例中取30)；o为固有不确定性参数个数；设置q＝1；a_q为抽样样本的子样本；

步骤四、采用蒙特卡洛方法，以e_p和a_q作为热传导模型的输入参数获得模型的输出数据y_sq(x|a_q,e_p)；其中，x为模型的确定性参数；

步骤五、判断q是否等于n，若q不等于n，将q＝q+1，重复步骤四；若q等于n，计算出最终的模型输出数据y_s(x,A|e_p)与实验数据y_r的一致性C(y_r,y_s(x,A|e_p))，其中，y_s(x,A|e_p)＝{y_sq(x|a_q,e_p)|q＝1,2,...,n}，C(y_r,y_s(x,A|e_p))的具体形式为：

$C(y_r,y_s(x,A|e_p\left)\right)=\sqrt{\frac{\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}{(y_{ri}-y_{si}(x,A|e_p\left)\right)}^2}{n-1}}$

四种输入条件下的实验数据y_r样本均值如图3所示；图中Conf.1表示q＝1000W/m²，L＝1.27cm；Conf.2表示q＝1000W/m²，L＝2.54cm；Conf.3表示q＝2000W/m²，L＝1.27cm；Conf.4表示q＝2000W/m²，L＝2.54cm；每一均值点的样本数量为30，现利用实验数据y_r以及本发明所提实施方案对认知不确定性参数进行校准；

步骤六、根据遗传算法，判断C(y_r,y_s(x,A|e_p))是否满足终止条件，若C(y_r,y_s(x,A|e_p))不满足终止条件，p＝p+1，重复步骤二至步骤五；若C(y_r,y_s(x,A|e_p))满足终止条件，则输出认知不确定性参数e_p作为校准结果；其中，终止条件具体为计算最近3次或4次优化值之间的差，均小于1×10^-6则满足终止条件；

经由本发明所提方案，认知不确定性参数的校准结果为e＝{400310,37194,0.03457,0.10214}；图4是校准前模型输出的箱线，其中横坐标为仿真时间，纵坐标为固体板一维热传导模型输出温度T；图5为校准后模型输出的箱线图，由此可见，本发明所提方法有效缩减了不确定性影响，证明了本发明实施方案的有效性。

本发明还可有其它多种实施例，在不背离本发明精神及其实质的情况下，本领域技术人员当可根据本发明作出各种相应的改变和变形，但这些相应的改变和变形都应属于本发明所附的权利要求的保护范围。

Claims (4)

1.一种基于双层嵌套不确定性传播的热传导模型校准方法，其特征在于一种基于双层嵌套不确定性传播的热传导模型校准方法具体是按照以下步骤进行的：

步骤一、利用概率理论对热传导模型校准的固有不确定性参数进行描述，得到固有不确定性参数A的概率分布函数；采用区间理论热传导模型校准的认知不确定性参数进行描述，得到认知不确定性参数区间；

步骤二、利用优化方法，从认知不确定性参数区间中产生认知不确定性参数样本m为认知不确定参数个数；其中，p为优化方法迭代的次数；

步骤三、将认知不确定性参数样本e_p作为热传导模型校准的输入参数；利用抽样方法对固有不确定性参数A的概率分布函数进行抽样，产生的抽样样本为a＝{a_q|q＝1,2,...,n}；其中，n为抽样样本的数量；n与参考数据y_r样本数量相等；o为固有不确定性参数个数；a_q抽样样本的子样本；

步骤四、采用蒙特卡洛方法，以e_p和a_q作为热传导模型校准的输入参数获得模型的输出数据y_sq(x|a_q,e_p)；其中，x为模型的确定性参数；

步骤五、判断q是否等于n，若q不等于n，将q＝q+1，重复步骤四；若q等于n，计算出最终的模型输出数据y_s(x,A|e_p)与参考数据y_r的一致性C(y_r,y_s(x,A|e_p))，其中，y_s(x,A|e_p)＝{y_sq(x|a_q,e_p)|q＝1,2,...,n}；

步骤六、根据优化方法，判断C(y_r,y_s(x,A|e_p))是否满足终止条件，若C(y_r,y_s(x,A|e_p))不满足终止条件，p＝p+1，重复步骤二至步骤五；若C(y_r,y_s(x,A|e_p))满足终止条件，则输出认知不确定性参数e_p作为校准结果；其中，终止条件具体为计算最近3次或4次优化值之间的差，均小于1×10^-6则满足终止条件。

2.根据权利要求1所述一种基于双层嵌套不确定性传播的热传导模型校准方法，其特征在于：步骤二及步骤六中所述优化算法为遗传算法或模拟退火算法。

3.根据权利要求1或2所述一种基于双层嵌套不确定性传播的热传导模型校准方法，其特征在于：步骤三中的抽样方法具体为：简单随机抽样方法或分层抽样方法；其中，分层抽样方法为拉丁超立方抽样或均匀抽样方法。

4.根据权利要求3所述一种基于双层嵌套不确定性传播的热传导模型校准方法，其特征在于：步骤五中一致性C(y_r,y_s(x,A|e_p))具体形式为：

$C(y_r,y_s(x,A|e_p\left)\right)=\sqrt{\frac{\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}{(y_{ri}-y_{si}(x,A|e_p\left)\right)}^2}{n-1}}.$