CN105159314B - 一种自由运动移动多传感器配置及多目标跟踪算法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种自由移动多传感器配置及多目标跟踪方法，针对多目标跟踪中自由移动多传感器配置问题，本发明提出了一种基于线性规划自由移动传感器的选择配置算法，该方法以最小化传感器使用费用，目标失检率和目标跟踪精度三者的总和为准则，使用凸优化方法选择最佳的传感器及其输入模态观测目标，并且通过该算法同时选择近似最优的传感器和相应的输入模态，解决了在跟踪过程中，多自由移动传感器的选择与跟踪过程的耦合及传感器模态与跟踪过程的耦合。

Description

一种自由运动移动多传感器配置及多目标跟踪算法

技术领域

本发明属于多传感器选择控制与多目标跟踪领域，特别涉及一种基于多自由运动传感器平台选择与控制的多目标跟踪方法。

背景技术

在实际应用中，多飞行传感器平台在对多目标进行跟踪时，为了得到目标状态更精确的估计，使移动传感器需要频繁的改变位置和速度(状态)，从而使在对目标进行跟踪时的传感器处于最佳位置和状态。这是本发明研究的现实依据。当传感器能够自由运动时，传感器往往会有多种工作模式，在多目标跟踪中为了更有效的获得整体最优的跟踪性能，必须同时实现传感器选择与跟踪过程的耦合及传感器模式的选择与跟踪过程的耦合。因此，本发明重点是多自由运动传感器的选择配置选择问题。

发明内容

本发明针对现有技术的不足，提供了一种多自由运动传感器平台选择与控制的多目标跟踪方法。其具体内容如下：

步骤1.建立系统模型；

步骤1.1 建立目标动态模型

考虑二维平面内N个移动传感器跟踪M个目标的情形，目标具有如下动态：

这里，是目标i的状态向量，和分别表示k时刻目标i在x轴和y轴方向上的坐标，和表示对应坐标轴上的速度。A_i是目标i的状态转移矩阵，B_i是噪声矩阵，是服从标准高斯分布的过程噪声，其协方差为

步骤1.2 建立传感器模型

假定在每一时刻各个传感器的状态都是可观测的，传感器的感知半径足够大，且运动很容易被改变。传感器j的动态模型如下：

这里，j＝1,2,···,N，N为正整数表示第N个移动传感器。表示传感器j的位置状态向量，和分别表示k时刻传感器j在x轴和y轴方向上的坐标。F_k表示k时刻传感器的状态转移矩阵。H_k+1表示k+1时刻传感器的观测矩阵。是k+1时刻对传感器j的量测，和均是零均值高斯白噪声。

这里，V_j是速度强度输入，是一个正值常数。τ_k,x,τ_k,y分别表示传感器在x轴和y轴方向上的速度的方向输入，并且需要满足方向输入的值只能在中选取，其中-1和1分别代表着x轴和y轴的负方向和正方向。将传感器瞬时方向输入归类为九个方向即为传感器输入的九个模态，例如，表示传感器向向右上方移动即输入第三模态，(τ_k,x,τ_k,y)＝(0,-1)表示传感器垂直向下移动即第八模态。

步骤1.3 建立量测模型

表示k时刻用传感器j在输入模态为ρ的情况下对目标i的量测

其中，是第j个传感器的观测矩阵，是零均值、受目标i与传感器j之间距离影响的量测噪声。

步骤1.4 建立量测不确定性模型

第j个传感器在输入模态为ρ的状态下对目标i量测的不确定性用协方差阵表示。通常，传感器在测量目标时，往往会受到外界干扰的影响，随着传感器与目标距离的增加，受到的干扰程度就会加重，由此得到的量测噪声协方差就会增大。因此，假定量测噪声协方差为传感器j与目标i之间距离的函数：

D_k(i,j)＝diag([D_k,x(i,j),D_k,y(i,j)]) (8)

L＝diag([L_x,L_y])

这里，I_k是一个单位矩阵，L是常数矩阵，D_k,·(i,j)表示传感器j和目标i的状态差矩阵，是第j个传感器的常协方差阵，||·||₂表示2-范数。该公式表明量测噪声协方差是距离的线性函数。

步骤2 标准的制定

步骤2.1 目标失检率的表示

传感器观测目标的能力很大程度取决于目标与传感器相对状态的变换。用检测概率来表示传感器观测的能力，并且被看作一个领域。这说明目标被观测到的概率不是统一的。为了表示这个领域，我们用钟状函数表示：

其中，d_k(i,j)是在k时刻目标i和传感器j的加权马氏距离。P_D取[0,1]之间的任一常数。a，b，c都为常数。S_k为在k时刻与目标有关的常数矩阵。目标的失检率可以表示为

步骤2.2 标准指标的选择

基于确定的最优标准对传感器进行选择和配置。这里，给出一个最优标准的指标：PMD-PaC，它被定义为目标失检率，目标跟踪精度和传感器使用费用的总和，即

该指标也可以用下式表示：

W_k＝diag([γ_k,α_k,β_k])，Ω_k＝diag([ω_d,ω_X,ω_b])，

这里，表示用第j个传感器在输入模态ρ下观测目标i使用费用所得到的状态估计。表示在k时刻用第j个传感器在输入模态ρ下观测目标i的传感器功耗。表示第j个传感器在输入模态ρ下观测目标i时的目标跟踪精度。α_k，β_k和γ_k分别表示目标跟踪精度，传感器使用费用和目标失检率的权重系数，权重系数取正值即可，它们与传统的权重系数即在[0,1]区间内取值且相加等于1不同。ω_x，ω_b和ω_d分别表示状态x_k，费用b_k和传感器与目标距离d_k(i,j)的折换系数，因为它们所使用的单位不同。

步骤2.3 PMD-PaC系数选择

传感器总功耗由传感器对目标的跟踪精度和传感器本身决定。重要性系数α_k,β_k,γ_k在步骤2.2已说明。折算系数w_d，w_X，w_b我们用目标的失检率，目标跟踪精度和费用标准差矩阵的逆来获取，即

其中，std[·]表示标准差。

步骤2.4指标的计算方法

传感器使用费用是一个常数值，它可以取任意一个正值。因此，我们只要考虑求出目标的失检率和目标跟踪精度。其中目标失检率的表示已经在(9),(10)式中给出，而目标跟踪精度表示用第j个传感器在输入模态ρ状态下观测第i个目标的估计误差协方差并且可以利用式(1)-(6)进行递归得到：

这里，表示当时其中的一个元素J_k在步骤3中说明。

步骤3 传感器的配置

用线性规划来描述传感器的配置以及对其模式的选择，即

这里，J_k表示k时刻用N个传感器对M个目标进行观测的所有传感器的总PMD-PaC的目标函数。是传感器选择变量，表示在k时刻选择传感器j的ρ输入模态观测目标i，且的取值只能是0或1中的一个。

然而，只考虑线性规划问题(20)，其可以解决传感器选择与跟踪过程的耦合，却不能完全解决传感器模态选择与跟踪过程的耦合，因为当出现一个传感器j同时对多个目标i,i′,i″,i″′,…进行观测时，有可能会出现一个传感器同时工作在多个模态的情况，这是不可能实现的，为此，在线性规划问题(20)获得所有的选择变量之后，还需要进一步优化。这时采用如下方式来选取：

其中，{i,i′,i″,i″′,…}表示被传感器j观测到目标的索引集。

本发明的有益效果：本发明给出了一种自由运动传感器平台选择与控制的多目标跟踪方法，该方法以最小化目标失检率和传感器功耗的总和为准则，使用凸优化方法选择最佳的传感器及其输入模态观测目标，并通过该方法同时选择近似最优的传感器和相应的输入模态，解决了移动多传感器的选择与跟踪过程的耦合及传感器模态与跟踪过程的耦合。

附图说明

图1.传感器的方向输入在直角坐标系上的表示；

图2.传感器观测能力分布在坐标系上的表示；

图3.传感器失检率在坐标系上的表示；

图4.传感器选择与目标跟踪(三个目标和四个传感器)；

图5.目标跟踪效果图(α_k＝1,β_k＝0.1,γ_k＝5)；

图6.受限移动传感器配置选择过程(α_k＝1,β_k＝0.1,γ_k＝5)；

图7.目标跟踪效果图(α_k＝1,β_k＝1,γ_k＝2)；

图8.受限移动传感器配置选择过程(α_k＝1,β_k＝1,γ_k＝2)；

图9.目标的速度跟踪估计过程；

图10.移动传感器模态变化过程；

图11.传感器总功耗对比曲线(200MC)。

具体实施方式

以下结合附图对本发明作进一步说明。

本发明提出了一种状态受限移动多传感器配置及多目标跟踪方法，其具体实施方式如下：

步骤1.建立系统模型；

步骤1.1 建立目标动态模型

考虑二维平面内N个移动传感器跟踪M个目标的情形，目标具有如下动态：

这里，是目标i的状态向量，和分别表示k时刻目标i在x轴和y轴方向上的坐标，和表示对应坐标轴上的速度。A_i是目标i的状态转移矩阵，B_i是噪声矩阵，是服从标准高斯分布的过程噪声，其协方差为

步骤1.2 建立传感器模型

假定在每一时刻各个传感器的状态都是可观测的，传感器的感知半径足够大，且运动很容易被改变。传感器的动态模型如下：

这里，j＝1,2,···,N，N为正整数表示第N个移动传感器。表示传感器j的位置状态向量，和分别表示k时刻传感器j在x轴和y轴方向上的坐标。F_k表示k时刻传感器的状态转移矩阵。H_k+1表示k+1时刻传感器的观测矩阵。是k+1时刻对传感器j的量测，和均是零均值高斯白噪声。

这里，V_j是速度强度输入，是一个正值常数。τ_k,x,τ_k,y分别表示传感器在x轴和y轴方向上的速度的方向输入，并且需要满足方向输入的值只能在中选取，其中-1和1分别代表着x轴和y轴的负方向和正方向。将传感器瞬时方向输入归类为九个方向即为传感器输入的九个模态。

如图1所示，例如，表示传感器向向右上方移动，(τ_k,x,τ_k,y)＝(0,-1)表示传感器垂直向下移动。传感器的模式和移动方向的对应关系如表1所示。

表1 传感器模式和移动方向对应表

步骤1.3 建立量测模型

表示k时刻用传感器j在输入模态为ρ的情况下对目标i的量测

其中，是第j个传感器的观测矩阵，是零均值、受目标i与传感器j之间距离影响的量测噪声。

步骤1.4 建立量测不确定性模型

第j个传感器在输入模态为ρ的状态下对目标i量测的不确定性用协方差阵表示。通常，传感器在测量目标时，往往会受到外界干扰的影响，随着传感器与目标距离的增加，受到的干扰程度就会加重，由此得到的量测噪声协方差就会增大。因此，假定量测噪声协方差为传感器j与目标i之间距离的函数：

D_k(i,j)＝diag([D_k,x(i,j),D_k,y(i,j)]) (8)

L＝diag([L_x,L_y])

这里，I_k是一个单位矩阵，L是常数矩阵，D_k,·(i,j)表示传感器j和目标i的状态差矩阵，是第j个传感器的常协方差阵，||·||₂表示2-范数。该公式表明量测噪声协方差是距离的线性函数。

步骤2 标准的制定

步骤2.1 目标失检率的表示

传感器观测目标的能力很大程度取决于目标与传感器相对状态的变换。用检测概率来表示传感器观测的能力，并且被看作一个领域。这说明目标被观测到的概率不是统一的。为了表示这个领域，我们用钟状函数表示：

其中，d_k(i,j)是在k时刻目标i和传感器j的加权马氏距离。P_D取[0,1]之间的任一常数。a，b，c都为常数。S_k在k时刻与目标有关的常数矩阵。目标的失检率可以表示为

图2给出了传感器观测能力分布在坐标系上的函数表示，它形似一个钟形，说明在传感器一定的距离范围内它的观测能力相等，但随着距离增加传感器的观测能力逐渐减弱直至为0。图3给出了传感器失检率，形似倒钟形，在离传感器的一定范围内目标的失检率保持一致，但随着距离增大，目标失检率随之增大直到失检率为1。

步骤2.2 标准指标的选择

基于确定的最优标准对传感器进行选择和配置。这里，给出一个最优标准的指标：PMD-PaC，它被定义为目标失检率，目标跟踪精度和传感器使用费用的总和，即

该指标也可以用下式表示：

W_k＝diag([γ_k,α_k,β_k])，Ω_k＝diag([ω_d,ω_X,ω_b])，

这里，表示用第j个传感器在输入模态ρ下观测目标i使用费用所得到的状态估计。表示在k时刻用第j个传感器在输入模态ρ下观测目标i的传感器功耗。表示第j个传感器在输入模态ρ下观测目标i时的目标跟踪精度。α_k，β_k和γ_k分别表示目标跟踪精度，传感器使用费用和目标失检率的权重系数，权重系数取正值即可，它们与传统的权重系数即在[0,1]区间内取值且相加等于1不同。ω_x，ω_b和ω_d分别表示状态x_k，费用b_k和传感器与目标距离d_k(i,j)的折换系数，因为它们所使用的单位不同。

步骤2.3 PMD-PaC系数选择

传感器总功耗由传感器对目标的跟踪精度和传感器本身决定。重要性系数α_k,β_k,γ_k在步骤2.2中已说明。折算系数w_d，w_x，w_b我们用目标的失检率，目标跟踪精度和费用标准差矩阵的逆来获取，即

其中，std[·]表示标准差。

步骤2.4 指标的计算

传感器使用费用是一个常数值，它可以取任意一个正值。因此，我们只要考虑求出目标的失检率和目标跟踪精度。其中目标失检率的表示已经在(9),(10)式中给出，而目标跟踪精度表示用第j个传感器在输入模态ρ状态下观测第i个目标的估计误差协方差并且可以利用式(1)-(6)进行递归得到：

这里，表示当时其中的一个元素J_k在步骤3中说明。

步骤3 传感器的配置

用线性规划来描述传感器的配置以及对其模式的选择，即

这里，J_k表示k时刻用N个传感器对M个目标进行观测的所有传感器的总PMD-PaC的目标函数。是传感器选择变量，表示在k时刻选择传感器j的ρ输入模态观测目标i，且的取值只能是0或1中的一个。

然而，只考虑线性规划问题(20)，其可以解决传感器选择与跟踪过程的耦合，却不能完全解决传感器模态选择与跟踪过程的耦合，因为当出现一个传感器j同时对多个目标i,i′,i″,i″′,…进行观测时，有可能会出现一个传感器同时工作在多个模态的情况，这是不可能实现的，为此，在线性规划问题(20)获得所有的选择变量之后，还需要进一步优化。这时采用如下方式来选取：

其中，{i,i′,i″,i″′,…}表示被传感器j观测到目标的索引集。

图4给出了在三个目标、四个传感器情况下，传感器选择配置及多目标跟踪算法流程图。流程图考虑了传感器及其模态的选择问题，然后再依据相应的传感器量测更新目标状态。在这里，首先根据在k-1时刻各个目标的状态估计获得目标的状态预测在预测步k|k-1之后，分别选择传感器1的模态观测目标1，选择传感器3的模态观测目标2和3。然后使用来自这两个传感器的量测来更新三个目标的状态，获得k时刻的目标状态估计

为了更好地阐释说明本发明，在实验中，在x-y平面内设定了四个自由移动传感器、三个匀速转弯运动目标的情景来验证本发明，检测范围为[-1000,1000]×[-1000,1000]m²。

四个状态受限移动传感器的初始位置如下：

在k时刻各个传感器的控制前进输入为其中V＝[V₁,V₂,V₃,V₄]^T＝[15,18,16,15]^T。

各个传感器的使用费用为:

三个目标的初始状态及其误差协方差为：

目标1，目标2和目标3均做匀速转弯运动，目标运动模型和测量模型中的各个矩阵如下:

这里采样间隔T＝1，目标1的转弯角速度为w₁＝-0.03rad/s，目标2的转弯角速度为w₂＝0.03rad/s，目标3的转弯角速度为w₂＝0.01rad/s。目标运动的过程噪声协方差协方差阵距离常数矩阵为L＝diag([150,200])。此外，设定检测区域内杂波密度为λ_c＝1×10^-5m^-2，即平均有40个杂波点，检测概率P_D＝0.98，钟状函数的参数a＝2000，b＝4，c＝0，修剪阈值为1×10^-5，最大假设个数为100个，设置重要性系数为α_k＝1,β_k＝0.1,γ_k＝5。

图5给出的是在0-100s内三个目标的跟踪效果图。其中实线代表目标真实的轨迹，星号线、点画线及加号线代表估计轨迹，虚线代表四个传感器跟踪目标时的运动轨迹。从图中可以看出，传感器能够有效的跟踪目标。并且在图6中能够看出传感器在PMD-PaC准则下，每一个目标通过不同的传感器在移动过程中观测到，并且在图6中可以看出传感器2和4在跟踪的过程中使用的比较频繁，但是传感器1和3却很少使用。

图6给出的是在0-100s内，并且将重要性系数改为α_k＝β_k＝1的情况下三个目标的跟踪效果图。由于α_k＝β_k＝1，这就说明了跟踪精度和传感器使用的费用在跟踪的过程中一样重要。在图7和图8中就可以看出传感器的配置发生了改变，传感器3由于价格昂贵的原因在跟踪的过程中从未被使用。

图9给出的是0-100s内，目标在x轴和y轴方向上的速度跟踪估计过程，红线代表目标1，2，3的真实速度值，星号线、点画线及加号线则分别代表目标1，2，3的速度估计值。从x方向和y方向速度估计过程看，本发明可以有效的估计目标速度。

图10为移动传感器的模态变化过程，其中纵轴上数值1到9分别代表9个模态如表1所示。例如，从第三幅图中，我们可以看出传感器3在1s-4s中和60s-100s中是静止的。

图11给出了自由运动传感器(Moving sensors)和静止传感器(Fixed sensors)跟踪目标时总功耗的对比曲线。由于不同传感器之间的选择变换，曲线呈现出一定的波动性。从图中可以看出，与静止传感器相比，受限移动传感器在跟踪目标的过程中总功耗总是比静止传感器小，稳定性也更好。这说明了自由移动传感器相对静止传感器的优越性和精确性。

最后说明，以上描述仅用以说明本发明的技术方案而非限制其所包含范围，即对本发明的技术方案进行修改或者等同替换，而并未脱离其目的和范围的，均应涵盖于本发明的权利要求范围当中。

Claims (1)

1.一种自由移动传感器平台的多目标定位跟踪方法，其特征在于，该方法包括以下步骤：

步骤1.建立系统模型；

步骤1.1建立目标动态模型

考虑二维平面内N个移动传感器跟踪M个目标的情形，目标具有如下动态：

<mrow> <msubsup> <mi>x</mi> <mi>k</mi> <mi>i</mi> </msubsup> <mo>=</mo> <msub> <mi>A</mi> <mi>i</mi> </msub> <msubsup> <mi>x</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>i</mi> </msubsup> <mo>+</mo> <msub> <mi>B</mi> <mi>i</mi> </msub> <msubsup> <mi>&amp;omega;</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>i</mi> </msubsup> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>...</mn> <mo>,</mo> <mi>M</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

这里，是目标i的状态向量，和分别表示k时刻目标i在x轴和y轴方向上的坐标，和表示对应坐标轴上的速度；A_i是目标i的状态转移矩阵，B_i是噪声矩阵，是服从标准高斯分布的过程噪声，其协方差为

步骤1.2建立传感器模型

假定在每一时刻各个传感器的状态都是可观测的，传感器的感知半径足够大，且运动很容易被改变；传感器j的动态模型如下：

<mrow> <msubsup> <mi>a</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>j</mi> </msubsup> <mo>=</mo> <msub> <mi>F</mi> <mi>k</mi> </msub> <msubsup> <mi>a</mi> <mi>k</mi> <mi>j</mi> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>k</mi> <mi>j</mi> </msubsup> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>k</mi> <mi>j</mi> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>&amp;xi;</mi> <mi>k</mi> <mi>j</mi> </msubsup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

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这里，j＝1,2,···,N，N为正整数表示第N个移动传感器；表示传感器j的位置状态向量，和分别表示k时刻传感器j在x轴和y轴方向上的坐标；F_k表示k时刻传感器的状态转移矩阵；H_k+1表示k+1时刻传感器的观测矩阵；是k+1时刻对传感器j的量测，和均是零均值高斯白噪声；

<mrow> <msubsup> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>k</mi> <mi>j</mi> </msubsup> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msub> <mi>&amp;tau;</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>&amp;tau;</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> </mrow> </msub> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>4</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

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这里，V_j是速度强度输入，是一个正值常数；τ_k,x,τ_k,y分别表示传感器在x轴和y轴方向上的速度的方向输入，并且需要满足方向输入的值只能在中选取，其中-1和1分别代表着x轴和y轴的负方向和正方向；将传感器瞬时方向输入归类为九个方向即为传感器输入的九个模态；

步骤1.3建立量测模型

表示k时刻用传感器j在输入模态为ρ的情况下对目标i的量测

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其中，是第j个传感器的观测矩阵，是零均值、受目标i与传感器j之间距离影响的量测噪声；

步骤1.4建立量测不确定性模型

第j个传感器在输入模态为ρ的状态下对目标i量测的不确定性用协方差阵表示；因此，假定量测噪声协方差为传感器j与目标i之间距离的函数：

<mrow> <msubsup> <mi>R</mi> <mi>k</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>&amp;rho;</mi> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <mi>cov</mi> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msubsup> <mi>v</mi> <mi>k</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>&amp;rho;</mi> </mrow> </msubsup> <mo>,</mo> <msubsup> <mi>v</mi> <mi>k</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>&amp;rho;</mi> </mrow> </msubsup> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>I</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>D</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>(</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>j</mi> </mrow> <mo>)</mo> <msup> <mi>L</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <msubsup> <mi>R</mi> <mn>0</mn> <mi>j</mi> </msubsup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>7</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> 1

D_k(i,j)＝diag([D_k,x(i,j),D_k,y(i,j)]) (8)

<mrow> <msub> <mi>D</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>j</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mover> <mo>=</mo> <mi>&amp;Delta;</mi> </mover> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msup> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msubsup> <mi>p</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>x</mi> </mrow> <mi>i</mi> </msubsup> <mo>,</mo> <msubsup> <mover> <mi>p</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>x</mi> </mrow> <mi>i</mi> </msubsup> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> <mo>-</mo> <msup> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msubsup> <mi>q</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>x</mi> </mrow> <mi>j</mi> </msubsup> <mo>,</mo> <msubsup> <mover> <mi>q</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>x</mi> </mrow> <mi>j</mi> </msubsup> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> <mo>|</mo> <msub> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msub> </mrow>

<mrow> <msub> <mi>D</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>j</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mover> <mo>=</mo> <mi>&amp;Delta;</mi> </mover> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msup> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msubsup> <mi>p</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> </mrow> <mi>i</mi> </msubsup> <mo>,</mo> <msubsup> <mover> <mi>p</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> </mrow> <mi>i</mi> </msubsup> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> <mo>-</mo> <msup> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msubsup> <mi>q</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> </mrow> <mi>j</mi> </msubsup> <mo>,</mo> <msubsup> <mover> <mi>q</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> </mrow> <mi>j</mi> </msubsup> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> <mo>|</mo> <msub> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msub> </mrow>

L＝diag([L_x,L_y])

这里，I_k是一个单位矩阵，L是常数矩阵，D_k,.(i,j)表示传感器j和目标i的状态差矩阵，是第j个传感器的常协方差阵，||·||₂表示2-范数；该公式表明量测噪声协方差是距离的线性函数；

步骤2标准的制定

步骤2.1目标失检率的表示

为了表示目标失检率，我们用钟状函数表示：

<mrow> <msub> <mi>P</mi> <mi>d</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>x</mi> <mi>k</mi> <mi>i</mi> </msubsup> <mo>,</mo> <msubsup> <mi>a</mi> <mi>k</mi> <mi>j</mi> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>P</mi> <mi>D</mi> </msub> <mo>/</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mo>|</mo> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>d</mi> <mi>k</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>j</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mi>c</mi> </mrow> <mo>)</mo> <mo>/</mo> <mi>a</mi> <msup> <mo>|</mo> <mrow> <mn>2</mn> <mi>b</mi> </mrow> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>9</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

<mrow> <msub> <mi>d</mi> <mi>k</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>j</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mover> <mo>=</mo> <mi>&amp;Delta;</mi> </mover> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>x</mi> <mi>k</mi> <mi>i</mi> </msubsup> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>a</mi> <mi>k</mi> <mi>j</mi> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> <msubsup> <mi>S</mi> <mi>k</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>x</mi> <mi>k</mi> <mi>i</mi> </msubsup> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>a</mi> <mi>k</mi> <mi>j</mi> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>10</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中，d_k(i,j)是在k时刻目标i和传感器j的加权马氏距离，P_D取[0,1]之间的任一常数；a，b，c都为常数；S_k为在k时刻与目标有关的常数矩阵；目标的失检率可以表示为

步骤2.2标准指标的选择

基于确定的最优标准对传感器进行选择和配置；这里，给出一个最优标准的指标：PMD-PaC，它被定义为目标失检率，目标跟踪精度和传感器使用费用的总和，即

<mrow> <msubsup> <mi>c</mi> <mi>k</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>&amp;rho;</mi> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <mi>k</mi> </msub> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>d</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msub> <mi>P</mi> <mi>d</mi> </msub> <mo>(</mo> <msubsup> <mover> <mi>x</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>k</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>&amp;rho;</mi> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mi>K</mi> </msub> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>X</mi> </msub> <mi>T</mi> <mi>r</mi> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mi>P</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mover> <mi>x</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>k</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>&amp;rho;</mi> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;beta;</mi> <mi>k</mi> </msub> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>b</mi> </msub> <msubsup> <mi>b</mi> <mi>k</mi> <mi>j</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>a</mi> <mi>k</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>&amp;rho;</mi> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>11</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

该指标也可以用下式表示：

<mrow> <msubsup> <mi>c</mi> <mi>k</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>&amp;rho;</mi> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <msub> <mi>W</mi> <mi>k</mi> </msub> <msub> <mi>&amp;Omega;</mi> <mi>k</mi> </msub> <msubsup> <mi>&amp;Lambda;</mi> <mi>k</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>&amp;rho;</mi> </mrow> </msubsup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>12</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

W_k＝diag([γ_k,α_k,β_k])，Ω_k＝diag([ω_d,ω_X,ω_b])，

<mrow> <msubsup> <mi>&amp;Lambda;</mi> <mi>k</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>&amp;rho;</mi> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <mi>d</mi> <mi>i</mi> <mi>a</mi> <mi>g</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msub> <mi>P</mi> <mi>d</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mover> <mi>x</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>k</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>&amp;rho;</mi> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> <mo>,</mo> <mi>P</mi> <mo>(</mo> <msubsup> <mover> <mi>x</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>k</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>&amp;rho;</mi> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> <mo>,</mo> <msubsup> <mi>b</mi> <mi>k</mi> <mi>j</mi> </msubsup> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>a</mi> <mi>k</mi> <mi>j</mi> </msubsup> <mo>)</mo> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

这里，表示用第j个传感器在输入模态ρ下观测目标i使用费用所得到的状态估计；表示在k时刻用第j个传感器在输入模态ρ下观测目标i的传感器功耗；表示第j个传感器在输入模态ρ下观测目标i时的目标跟踪精度；α_k，β_k和γ_k分别表示目标跟踪精度，传感器使用费用和目标失检率的权重系数，权重系数取正值即可，它们与传统的权重系数即在[0,1]区间内取值且相加等于1不同；ω_x，ω_b和ω_d分别表示状态x_k，费用b_k和传感器与目标距离d_k(i,j)的折换系数，因为它们所使用的单位不同；

步骤2.3PMD-PaC系数选择

传感器总功耗由传感器对目标的跟踪精度和传感器本身决定；重要性系数α_k,β_k,γ_k在步骤2.2已说明；折算系数ω_d，ω_X，ω_b我们用目标的失检率，目标跟踪精度和费用标准差矩阵的逆来获取，即

<mrow> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>d</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>x</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>b</mi> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mn>1</mn> <mo>/</mo> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <mi>d</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mn>1</mn> <mo>/</mo> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <mi>x</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mn>1</mn> <mo>/</mo> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <mi>b</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>13</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> 2

其中，std[·]表示标准差；

步骤2.4指标的计算方法

传感器使用费用是一个常数值，它可以取任意一个正值；其中目标失检率的表示已经在(9),(10)式中给出，而目标跟踪精度表示用第j个传感器在输入模态ρ状态下观测第i个目标的估计误差协方差并且可以利用式(1)-(6)进行递归得到：

<mrow> <msubsup> <mover> <mi>x</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>k</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>&amp;rho;</mi> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <msubsup> <mover> <mi>x</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mi>k</mi> <mo>|</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>i</mi> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>K</mi> <mi>k</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>&amp;rho;</mi> </mrow> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>z</mi> <mi>k</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>&amp;rho;</mi> </mrow> </msubsup> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>C</mi> <mi>k</mi> <mi>j</mi> </msubsup> <msubsup> <mover> <mi>x</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mi>k</mi> <mo>|</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>i</mi> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>14</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

<mrow> <msubsup> <mi>P</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>|</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>i</mi> </msubsup> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>A</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>i</mi> </msubsup> <msubsup> <mi>P</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>i</mi> </msubsup> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>A</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>i</mi> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>B</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>i</mi> </msubsup> <msubsup> <mi>Q</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>i</mi> </msubsup> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>B</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>i</mi> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>15</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

<mrow> <msubsup> <mi>K</mi> <mi>k</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>&amp;rho;</mi> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>P</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>|</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>i</mi> </msubsup> <msubsup> <mi>C</mi> <mi>k</mi> <mi>j</mi> </msubsup> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>S</mi> <mi>k</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>j</mi> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>16</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

<mrow> <msubsup> <mi>S</mi> <mi>k</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>j</mi> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>C</mi> <mi>k</mi> <mi>j</mi> </msubsup> <msubsup> <mi>P</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>|</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>i</mi> </msubsup> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>C</mi> <mi>k</mi> <mi>j</mi> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>R</mi> <mi>k</mi> <mi>j</mi> </msubsup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>17</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

<mrow> <msubsup> <mi>P</mi> <mi>k</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>&amp;rho;</mi> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msubsup> <mi>P</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>|</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>i</mi> </msubsup> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>K</mi> <mi>k</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>&amp;rho;</mi> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi>C</mi> <mi>k</mi> <mi>j</mi> </msubsup> <msubsup> <mi>P</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>|</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>i</mi> </msubsup> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>18</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

<mrow> <msubsup> <mi>P</mi> <mi>k</mi> <mi>i</mi> </msubsup> <mo>=</mo> <mi>arg</mi> <mi> </mi> <msub> <mi>min</mi> <mrow> <msubsup> <mi>P</mi> <mi>k</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>&amp;rho;</mi> </mrow> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>q</mi> <mi>k</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>&amp;rho;</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msub> <mo>{</mo> <msub> <mi>J</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>}</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>19</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

这里，表示当时其中的一个元素J_k在步骤3中说明；

步骤3传感器的配置

用线性规划来描述传感器的配置以及对其模式的选择，即

<mrow> <msub> <mi>J</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>=</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>M</mi> </munderover> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>N</mi> </munderover> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>&amp;rho;</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>9</mn> </munderover> <msubsup> <mi>c</mi> <mi>k</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>&amp;rho;</mi> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi>q</mi> <mi>k</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>&amp;rho;</mi> </mrow> </msubsup> </mrow>

<mrow> <mi>s</mi> <mo>.</mo> <mi>t</mi> <mo>.</mo> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>N</mi> </munderover> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>&amp;rho;</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>9</mn> </munderover> <msubsup> <mi>q</mi> <mi>k</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>&amp;rho;</mi> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>N</mi> </munderover> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>&amp;rho;</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>9</mn> </munderover> <msubsup> <mi>q</mi> <mi>k</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>&amp;rho;</mi> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>...</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>N</mi> </munderover> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>&amp;rho;</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>9</mn> </munderover> <msubsup> <mi>q</mi> <mi>k</mi> <mrow> <mi>M</mi> <mo>,</mo> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>&amp;rho;</mi> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msubsup> <mi>q</mi> <mi>k</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>&amp;rho;</mi> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mi>o</mi> <mi>r</mi> <mn>1</mn> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>20</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

这里，J_k表示k时刻用N个传感器对M个目标进行观测的所有传感器的总PMD-PaC的目标函数；是传感器选择变量，表示在k时刻选择传感器j的r输入模态观测目标i，且的取值只能是0或1中的一个；

为此，在线性规划问题(20)获得所有的选择变量之后，还需要进一步优化；这时采用如下方式来选取：

<mrow> <mi>&amp;rho;</mi> <mo>=</mo> <mi>arg</mi> <mi> </mi> <msub> <mi>min</mi> <mrow> <mi>&amp;rho;</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>...</mn> <mo>,</mo> <mn>9</mn> </mrow> </msub> <mo>{</mo> <msubsup> <mi>c</mi> <mi>k</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>&amp;rho;</mi> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>c</mi> <mi>k</mi> <mrow> <msup> <mi>i</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>,</mo> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mi>&amp;rho;</mi> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>c</mi> <mi>k</mi> <mrow> <msup> <mi>i</mi> <mrow> <mo>&amp;prime;</mo> <mo>&amp;prime;</mo> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>&amp;rho;</mi> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>C</mi> <mi>k</mi> <mrow> <msup> <mi>i</mi> <mrow> <mo>&amp;prime;</mo> <mo>&amp;prime;</mo> <mo>&amp;prime;</mo> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>&amp;rho;</mi> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <mn>...</mn> <mo>}</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>21</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中，{i,i′,i″,i″′,…}表示被传感器j观测到目标的索引集。