CN105069300A - 一种基于随机过程的刀具的动态可靠性及失效率方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于随机过程的刀具的动态可靠性及失效率方法，首先定义刀具的失效判据，依据此判据建立刀具的可靠度数学模型；以应力-强度干涉模型为基础建立了考虑冲击载荷作用次数和切削时间的刀具动态可靠性数学模型及刀具失效率数学模型。本发明方法直接反映了可靠度、失效率与载荷冲击次数及切削加工时间的关系，可以计算刀具在任意时刻和冲击载荷作用次数下的可靠度和失效率。当给定刀具的许用失效率时，能够准确定出刀具的早期失效期和偶然失效期，进而指导刀具的可靠性试验和确定其可靠寿命等指标。

Description

一种基于随机过程的刀具的动态可靠性及失效率方法

技术领域

本发明属于机械加工技术领域，涉及一种确定刀具动态可靠性及失效率的方法，具体涉及一种基于随机过程的刀具的动态可靠性及失效率方法。

背景技术

我国高档数控机床在国际上处于劣势地位，其主要原因就是机床可靠性低。影响机床可靠性的因素有很多，例如刀架系统故障、刀盘故障、电气和液压故障等，特别是切削刀具的失效占到机床总失效概率的30％。为了提高切削刀具的寿命及刀具系统的可靠性，国内外学者进行了一定的研究。美国学者Mazzuchi和Soyer建立了基于泰勒公式的数控机床刀具可靠性模型，用于计算加工过程参数，该方法从实验数据中为数控机床刀具确定比例风险模型的描述统计，并且将切削速度，吃刀量，切削深度等考虑到模型中，便于评估刀具失效的评价机制，虽然此模型比较简便，但是由于模型局限于统计模型的出发点，因此，不能提供加工过程对刀具可靠性的影响。哥伦比亚的Carmen研究了加工过程中刀具磨损与可靠性的关系，并且将可靠性概念用于切削换刀时间问题的处理中。德国学者M.Kronenberg首先针对端铣加工切入类型与刀具破损之间的关系进行了研究，解决了切入类型对可靠性影响的计算问题。

国内李兆前、艾兴、刘战强等人建立了一种动态切削力的数学模型，把切削振动和动态切削力联系起来，首次提出了动态切削中动态偏角的概念。杨俊茹、樊宁等人对刀具的寿命可靠性进行了分析，同时进行了大量的可靠性寿命切削试验来保证刀具的高可靠性。金雅娟等将鞍点逼近的方法应用到刀具磨损可靠性理论上，建立了针对于陶瓷刀具磨损可靠性的数学模型。

上述国内外有关刀具系统可靠性的研究，从实验角度看，研究方法都需要耗费大量的时间和财力物力，而且在进行刀具试验时，同一批次的试验刀具的几何、物理和切削参数的选取都具有一定的随机性，若按确定数值来处理势必对实验结果造成一定的误差，甚至给出错误的结论。从理论模型角度看，上述刀具可靠性模型都是建立在静态可靠性模型基础上的，计算得到的可靠度实际上是随机载荷作用一次或特定次数时的可靠度，不能反映出刀具可靠度随冲击载荷作用次数及切削时间的变化规律。而刀具在加工过程始终处于一种动态切削过程，用静态模型来分析，其准确性和精度已远远不够。

发明内容

为了解决现有技术存在的问题，本发明的目的在于提供一种基于随机过程的刀具的动态可靠性及失效率方法，该方法能够计算刀具在任意时刻和冲击载荷作用次数下的可靠度和失效率。

为了达到上述目的，本发明采用以下技术方案予以实现：一种基于随机过程的刀具的动态可靠性及失效率方法，具体按照以下步骤实施：

步骤1，定义刀具的失效判据，建立刀具的可靠度数学模型；

步骤2，载荷作用过程为一随机过程，结合步骤1建立的可靠度数学模型，建立单位冲击次数下的刀具动态可靠性及失效率数学模型，延伸扩展，建立多次冲击作用下的刀具动态可靠性及失效率数学模型，进而得到考虑载荷作用次数下的刀具动态可靠度及失效率；

步骤3，结合步骤1建立的可靠度数学模型，建立考虑切削加工时间的硬质合金刀具的动态可靠性及失效率数学模型，进而得到在任意切削时间点下的刀具的动态可靠度及失效率。

本发明的特点和进一步改进在于：

步骤1中可靠度数学模型的建立过程如下：

以应力-强度干涉(SSI)模型为基础，将硬质合金刀具内部应力与临界疲劳应力相干涉的数学模型为其失效判据，设σ为刀片内某一点应力，σ₀为刀具临界疲劳应力，当σ分布F(σ)函数和σ_t分布函数F_t(σ)或概率密度函数f_t(σ)已知时，应用SSI模型即可求出刀具的可靠度，其表达式为：

$R=P\[g\left(X\right)>0\]=\underset{-\mathrm{\∞}}{\overset{+\mathrm{\∞}}{\∫}}F\left(\mathrm{\σ}\right)f_t\left(\mathrm{\σ}\right)d\mathrm{\σ}---\left(1\right)$

假设某刀具产品其刀片内最薄弱位置存在一尺寸为a_ei的裂纹，当其所承受的外载效应为σ_c时，裂纹不发生疲劳扩展，而是立即在该处断裂，这时必定有

$a_{ei}=a_c=\frac{K_{IC}^2}{{\mathrm{Y\σ}}_c^2}---\left(2\right)$

式中：a_ei为初始裂纹长度；a_c为施加σ_c时的断裂尺寸；K_IC为平面断裂韧性；Y裂纹形状因子；

对相同尺寸裂纹而言，若所承受的应力σ_t小于σ_c时，该裂纹不会马上断裂，而是要受到N次冲击才能失效，即

$\frac{da}{dN}=A{\left({\mathrm{\ΔK}}_I\right)}^n---\left(3\right)$

式中：N为载荷冲击次数；a为裂纹长度；n、A为材料参数；ΔK_I＝K_Imax-K_Imin为等效应力强度因子幅值；

当载荷在0～F_max之间变化时，则有

${\mathrm{\ΔK}}_I=K_{Imax}={\mathrm{Y\σ}}_e\sqrt{a_{ei}}---\left(4\right)$

${\mathrm{\ΔK}}_I=K_{Imax}={\mathrm{Y\σ}}_c\sqrt{a}---\left(5\right)$

对(3)式积分得：

${\mathrm{AY}}^n{\mathrm{\σ}}_t^{n}N=\frac{n-2}{2}(a_{ei}^{1-\frac{n}{2}}-a_{cl}^{1-\frac{n}{2}})---\left(6\right)$

式中：a_cl为σ_t作用下的裂纹断裂尺寸，若a_cl》a_ei，则有

$\frac{2}{n-2}{\mathrm{AY}}^n{\mathrm{\σ}}_t^{n}N=a_{ei}^{1-\frac{n}{2}}---\left(7\right)$

将式(2)代入式(7)中，则有

${\mathrm{\σ}}_c=B^{\frac{1}{n-2}}{\mathrm{\σ}}_t^{\frac{2}{n-2}}{N}^{\frac{1}{n-2}},---\left(8\right)$

式中： $B=\frac{2}{n-2}{\mathrm{AY}}^{\frac{n+2}{2}}{K}_{IC}^{n-2}---\left(9\right)$

由于刀具材料的抗拉强度服从威布尔分布，则其概率密度函数如式(10)所示

$f\left({\mathrm{\σ}}_c\right)=\frac{{\mathrm{Vm}}_t}{{\mathrm{\σ}}_{t0}}{\[\frac{{\mathrm{\σ}}_c-{\mathrm{\σ}}_{tu}}{{\mathrm{\σ}}_{t0}}\]}^{m_t-1}\exp \[-V{\left(\frac{{\mathrm{\σ}}_c-{\mathrm{\σ}}_{tu}}{{\mathrm{\σ}}_{t0}}\right)}^{m_t}\]---\left(10\right)$

式中：V为试件体积；m_t、σ_t0、σ_tu分别为材料抗拉强度的形状参数、比例参数和位置参数；

由式(8-10)可得临界疲劳应力的概率密度函数为：

$\begin{array}{c}{f}_t\left({\mathrm{\σ}}_t\right)=\frac{2}{n-2}{\left(BN\right)}^{\frac{1}{n-2}}{\mathrm{\σ}}_t^{\frac{2}{n-2}}\frac{{\mathrm{vm}}_t}{{\mathrm{\σ}}_{t0}}{\left|\frac{{\left(BN\right)}^{\frac{1}{n-2}}{\mathrm{\σ}}_t^{\frac{2}{n-2}}-{\mathrm{\σ}}_{tu}}{{\mathrm{\σ}}_{t0}}\right|}^{m_t-1}\·\\ \exp |-V{\left|\frac{{\left(BN\right)}^{\frac{1}{n-2}}{\mathrm{\σ}}_t^{\frac{2}{n-2}}-{\mathrm{\σ}}_{tu}}{{\mathrm{\σ}}_{t0}}\right|}^{m_t}|\end{array}---\left(11\right)$

将式(11)代入式(1)中，得到刀具的可靠度数学模型。

步骤2的具体过程为：

当硬质合金刀具切削加工工件时，所受到的冲击载荷没有达到其临界疲劳应力时，刀片不能立即失效，而是要经过冲击载荷多次作用才能失效，所以冲击载荷冲击次数的等效载荷的累积分布函数为：

F_l(σ)＝[F(σ)]^ss＝1、2、3…N(12)

式中：N为总冲击次数，即刀具寿命；s为冲击次数；

其相应的概率密度函数为：

$f_l\left(\mathrm{\σ}\right)=\frac{\∂F_l\left(\mathrm{\σ}\right)}{\∂\mathrm{\σ}}=s{\[F\left(\mathrm{\σ}\right)\]}^{s-1}f\left(\mathrm{\σ}\right),s=1,2,3...N---\left(13\right)$

所以冲击载荷作用s次的应力-强度干涉模型可靠度计算公式应为：

$\begin{array}{c}R\left(s\right)=\underset{-\mathrm{\∞}}{\overset{+\mathrm{\∞}}{\∫}}{f}_t\left({\mathrm{\σ}}_t\right)\left\{\underset{-\mathrm{\∞}}{\overset{{\mathrm{\σ}}_t}{\∫}}s{\[F\left(\mathrm{\σ}\right)\]}^{s-1}f\left(\mathrm{\σ}\right)d\mathrm{\σ}\right\}{\mathrm{d\σ}}_t\\ =\underset{-\mathrm{\∞}}{\overset{+\mathrm{\∞}}{\∫}}\frac{2}{n-2}{\left(BN\right)}^{\frac{1}{n-2}}{\mathrm{\σ}}_t^{\frac{2}{n-2}}\frac{{\mathrm{vm}}_t}{{\mathrm{\σ}}_{t0}}{\left|\frac{{\left(BN\right)}^{\frac{1}{n-2}}{\mathrm{\σ}}_t^{\frac{2}{n-2}}-{\mathrm{\σ}}_{tu}}{{\mathrm{\σ}}_{t0}}\right|}^{m_t-1}\exp |-v{\left|\frac{{\left(BN\right)}^{\frac{1}{n-2}}{\mathrm{\σ}}_t^{\frac{2}{n-2}}-{\mathrm{\σ}}_{tu}}{{\mathrm{\σ}}_{t0}}\right|}^{m_t}|\left\{\underset{-\mathrm{\∞}}{\overset{{\mathrm{\σ}}_t}{\∫}}s{\[F\left(\mathrm{\σ}\right)\]}^{s-1}f\left(\mathrm{\σ}\right)d\mathrm{\σ}\right\}{\mathrm{d\σ}}_t\end{array}---\left(14\right)$

当s＝1时，式(14)变为SSI模型。

刀具的失效率是指单位时间内刀具发生失效的概率，用式(15)表示：

$h\left(t\right)=\frac{f\left(t\right)}{R\left(t\right)}=-\frac{1}{R\left(t\right)}\·\frac{dR\left(t\right)}{dt}---\left(15\right)$

由刀具的失效率定义，定义其度量单位为冲击载荷作用次数，单位冲击次数△s趋近于1，由式(15)可知，单位冲击次数下的刀具失效率模型为：

$\begin{array}{c}h\left(s\right)=\frac{f\left(s\right)}{R\left(s\right)}=-\frac{1}{R\left(s\right)}\·\frac{dR\left(s\right)}{ds}=\underset{\mathrm{\Δ}s\→1}{\lim }\frac{R\left(s\right)-R\left(s+\mathrm{\Δ}s\right)}{R\left(s\right)\·\mathrm{\Δ}s}=\frac{R\left(s\right)-R\left(s+1\right)}{R\left(s\right)}=\\ \frac{\underset{-\mathrm{\∞}}{\overset{+\mathrm{\∞}}{\∫}}{f}_t\left({\mathrm{\σ}}_t\right)\left\{\underset{-\mathrm{\∞}}{\overset{{\mathrm{\σ}}_t}{\∫}}\[s{\[F\left(\mathrm{\σ}\right)\]}^{s-1}-\left(s+1\right){\[F\left(\mathrm{\σ}\right)\]}^{s}f\left(\mathrm{\σ}\right)d\mathrm{\σ}\]\right\}{\mathrm{d\σ}}_t}{\underset{-\mathrm{\∞}}{\overset{+\mathrm{\∞}}{\∫}}{f}_t\left({\mathrm{\σ}}_t\right)\left\{\underset{-\mathrm{\∞}}{\overset{{\mathrm{\σ}}_t}{\∫}}s{\[F\left(\mathrm{\σ}\right)\]}^{s-1}f\left(\mathrm{\σ}\right)d\mathrm{\σ}\right\}{\mathrm{d\σ}}_t}\end{array}---\left(16\right)$

将式(11)代入式(16)即得考虑冲击载荷作用次数的硬质合金刀具的失效率。

步骤3的具体过程为：

刀具在切削工件时随着切削时间的增加，所受到的冲击载荷作用次数也是递增的，用泊松随机过程来描述冲击载荷作用次数，当冲击载荷作用次数N(t)服从参数为λ(t)的泊松随机过程时，在任意时刻t冲击载荷出现s次的概率可表示为：

$P\left(N\left(t\right)-N\left(0\right)=s\right)=\frac{{\[\underset{0}{\overset{t}{\∫}}\mathrm{\λ}\left(t\right)dt\]}^s}{s!}{e}^{-\underset{0}{\overset{t}{\∫}}\mathrm{\λ}\left(t\right)dt}---\left(17\right)$

由式(14)、(17)可知，刀具在t时刻的可靠度为：

$\begin{array}{c}R\left(t\right)=\underset{s=0}{\overset{N}{\Σ}}P\left(N\left(t\right)-N\left(0\right)=s\right)R\left(s\right)=\\ \underset{s=0}{\overset{N}{\Σ}}\frac{{\[\underset{0}{\overset{t}{\∫}}\mathrm{\λ}\left(t\right)dt\]}^s}{s!}{e}^{-\underset{0}{\overset{t}{\∫}}\mathrm{\λ}\left(t\right)dt}\·\underset{-\mathrm{\∞}}{\overset{+\mathrm{\∞}}{\∫}}\frac{2}{n-2}{\left(BN\right)}^{\frac{1}{n-2}}{\mathrm{\σ}}_t^{\frac{2}{n-2}}\frac{{\mathrm{vm}}_t}{{\mathrm{\σ}}_{t0}}{\left|\frac{{\left(BN\right)}^{\frac{1}{n-2}}{\mathrm{\σ}}_t^{\frac{2}{n-2}}-{\mathrm{\σ}}_{tu}}{{\mathrm{\σ}}_{t0}}\right|}^{m_t-1}\·\\ \exp |-v{\left|\frac{{\left(BN\right)}^{\frac{1}{n-2}}{\mathrm{\σ}}_t^{\frac{2}{n-2}}-{\mathrm{\σ}}_{tu}}{{\mathrm{\σ}}_{t0}}\right|}^{m_t}|\underset{-\mathrm{\∞}}{\overset{{\mathrm{\σ}}_t}{\∫}}s{\left(F_s\left(\mathrm{\σ}\right)\right)}^{s-1}{f}_s\left(\mathrm{\σ}\right){\mathrm{d\σd\σ}}_t\end{array}---\left(18\right)$

由式(15)可知，硬质合金刀具的失效率为：

$h\left(t\right)=\frac{f\left(t\right)}{R\left(t\right)}=-\frac{1}{R\left(t\right)}\·\frac{dR\left(t\right)}{dt}=\frac{\underset{s=0}{\overset{N}{\Σ}}\frac{\mathrm{\λ}\left(t\right)}{s!}{\[\underset{0}{\overset{t}{\∫}}\mathrm{\λ}\left(t\right)dt\]}^{s-1}\[s-\underset{0}{\overset{t}{\∫}}\mathrm{\λ}\left(t\right)dt\]\·\underset{-\mathrm{\∞}}{\overset{+\mathrm{\∞}}{\∫}}{f}_t\left({\mathrm{\σ}}_t\right)\underset{-\mathrm{\∞}}{\overset{{\mathrm{\σ}}_t}{\∫}}s{\left(F_s\right(\mathrm{\σ}\left)\right)}^{s-1}{f}_s\left(\mathrm{\σ}\right){\mathrm{d\σd\σ}}_t}{\underset{s=0}{\overset{N}{\Σ}}\frac{1}{s!}{\[\underset{0}{\overset{t}{\∫}}\mathrm{\λ}\left(t\right)dt\]}^s\·\underset{-\mathrm{\∞}}{\overset{+\mathrm{\∞}}{\∫}}{f}_t\left({\mathrm{\σ}}_t\right)\underset{-\mathrm{\∞}}{\overset{{\mathrm{\σ}}_t}{\∫}}s{\left(F_s\right(\mathrm{\σ}\left)\right)}^{s-1}{f}_s\left(\mathrm{\σ}\right){\mathrm{d\σd\σ}}_t}---\left(19\right)$

将式(11)代入式(19)即得考虑切削加工时间的硬质合金刀具的失效率。

与现有技术相比，本发明具有以下有益效果：

本发明基于随机过程的刀具的动态可靠性及失效率方法，运用应力-强度干涉模型及随机过程理论，建立了硬质合金刀具的动态可靠性数学模型，给出了刀具在断续切削加工时的可靠度的变化规律，同时建立了以载荷冲击次数及加工时间为度量指标的刀具失效率计算模型，直接反映了可靠度、失效率与载荷冲击次数及切削加工时间的关系，可以计算刀具在任意时刻和冲击载荷作用次数下的可靠度和失效率。当给定刀具的许用失效率时，能够准确定出刀具的早期失效期和偶然失效期，进而指导刀具的可靠性试验和确定其可靠寿命等指标。

附图说明

图1为实施例1中可靠度随冲击载荷作用次数的变化曲线；

图2为实施例1中可靠度随切削加工时间的变化曲线；

图3为实施例1中失效率随冲击载荷作用次数的变化曲线；

图4为实施例1中失效率随切削加工时间的变化曲线。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施方式对本发明作进一步详细说明。

本发明基于随机过程的刀具的动态可靠性及失效率方法，具体按照以下步骤实施：

步骤1，定义刀具的失效判据，建立刀具的可靠度数学模型

以应力-强度干涉(SSI)模型为基础，将硬质合金刀具内部应力与临界疲劳应力相干涉的数学模型为其失效判据，设σ为刀片内某一点应力，σ₀为刀具临界疲劳应力，当σ分布F(σ)函数和σ_t分布函数F_t(σ)或概率密度函数f_t(σ)已知时，应用SSI模型即可求出刀具的可靠度，其表达式为：

$R=P\[g\left(X\right)>0\]=\underset{-\mathrm{\∞}}{\overset{+\mathrm{\∞}}{\∫}}F\left(\mathrm{\σ}\right)f_t\left(\mathrm{\σ}\right)d\mathrm{\σ}---\left(1\right)$

根据实验条件和数据，F(σ)函数可由ABAQUS软件仿真得到。Ft(σ)函数和ft(σ)函数不能直接测得或求出，应用三点应力法得到刀具的抗弯强度，然后利用抗拉强度和抗弯强度之间的关系就可定出抗拉强度的分布函数，最后由刀具内部微观裂纹扩展过程，把临界疲劳应力和抗拉强度等效，Ft(σ)函数即可求出。

刀具在切削加工时，通常受到随机的冲击载荷作用。这种载荷通常由刀具在切削工件时进给量的不均造成的机械冲击载荷和切削速度的变化导致热冲击载荷构成。在这种随机冲击载荷作用下，会使刀片内部的裂纹核发生疲劳扩展，裂纹尖端的应力强度因子将达到或超过刀具材料的断裂韧性时就发破损失效。直至刀具破损失效。这种失效主要是由机械冲击载荷造成的，热冲击所占比重很小。

假设某刀具产品其刀片内最薄弱位置存在一尺寸为a_ei的裂纹，当其所承受的外载效应为σ_c时，裂纹不发生疲劳扩展，而是立即在该处断裂，这时必定有

$a_{ei}=a_c=\frac{K_{IC}^2}{{\mathrm{Y\σ}}_c^2}---\left(2\right)$

式中：a_ei为初始裂纹长度；a_c为施加σ_c时的断裂尺寸；K_IC为平面断裂韧性；Y裂纹形状因子；

对相同尺寸裂纹而言，若所承受的应力σ_t小于σ_c时，该裂纹不会马上断裂，而是要受到N次冲击才能失效，即

$\frac{da}{dN}=A{\left({\mathrm{\ΔK}}_I\right)}^n---\left(3\right)$

式中：N为载荷冲击次数；a为裂纹长度；n、A为材料参数；ΔK_I＝K_Imax-K_Imin为等效应力强度因子幅值；

当载荷在0～F_max之间变化时，则有

${\mathrm{\ΔK}}_I=K_{Imax}={\mathrm{Y\σ}}_e\sqrt{a_{ei}}---\left(4\right)$

${\mathrm{\ΔK}}_I=K_{Imax}={\mathrm{Y\σ}}_c\sqrt{a}---\left(5\right)$

对(3)式积分得：

${\mathrm{AY}}^n{\mathrm{\σ}}_t^{n}N=\frac{n-2}{2}(a_{ei}^{1-\frac{n}{2}}-a_{cl}^{1-\frac{n}{2}})---\left(6\right)$

式中：a_cl为σ_t作用下的裂纹断裂尺寸，若a_cl》a_ei，则有

$\frac{2}{n-2}{\mathrm{AY}}^n{\mathrm{\σ}}_t^{n}N=a_{ei}^{1-\frac{n}{2}}---\left(7\right)$

将式(2)代入式(7)中，则有

${\mathrm{\σ}}_c=B^{\frac{1}{n-2}}{\mathrm{\σ}}_t^{\frac{2}{n-2}}{N}^{\frac{1}{n-2}},---\left(8\right)$

式中： $B=\frac{2}{n-2}{\mathrm{AY}}^{\frac{n+2}{2}}{K}_{IC}^{n-2}---\left(9\right)$

由于刀具材料的抗拉强度服从威布尔分布，则其概率密度函数如式(10)所示

$f\left({\mathrm{\σ}}_c\right)=\frac{{\mathrm{Vm}}_t}{{\mathrm{\σ}}_{t0}}{\[\frac{{\mathrm{\σ}}_c-{\mathrm{\σ}}_{tu}}{{\mathrm{\σ}}_{t0}}\]}^{m_t-1}\exp \[-V{\left(\frac{{\mathrm{\σ}}_c-{\mathrm{\σ}}_{tu}}{{\mathrm{\σ}}_{t0}}\right)}^{m_t}\]---\left(10\right)$

式中：V为试件体积；m_t、σ_t0、σ_tu分别为材料抗拉强度的形状参数、比例参数和位置参数；

由式(8-10)可得临界疲劳应力的概率密度函数为：

$\begin{array}{c}{f}_t\left({\mathrm{\σ}}_t\right)=\frac{2}{n-2}{\left(BN\right)}^{\frac{1}{n-2}}{\mathrm{\σ}}_t^{\frac{2}{n-2}}\frac{{\mathrm{vm}}_t}{{\mathrm{\σ}}_{t0}}{\left|\frac{{\left(BN\right)}^{\frac{1}{n-2}}{\mathrm{\σ}}_t^{\frac{2}{n-2}}-{\mathrm{\σ}}_{tu}}{{\mathrm{\σ}}_{t0}}\right|}^{m_t-1}\·\\ \exp |-V{\left|\frac{{\left(BN\right)}^{\frac{1}{n-2}}{\mathrm{\σ}}_t^{\frac{2}{n-2}}-{\mathrm{\σ}}_{tu}}{{\mathrm{\σ}}_{t0}}\right|}^{m_t}|\end{array}---\left(11\right)$

将式(11)代入式(1)中，得到刀具的可靠度数学模型。

步骤2，载荷作用过程为一随机过程，结合步骤1建立的可靠度数学模型，建立单位冲击次数下的刀具动态可靠性及失效率数学模型，延伸扩展，建立多次冲击作用下的刀具动态可靠性及失效率数学模型，进而得到考虑载荷作用次数下的刀具动态可靠度及失效率

由于材料及工艺的影响，使得部分刀具在出厂是内部裂纹核的尺寸就接近于刀具的临界断裂尺寸，当其继续切削加工时，刀具容易崩刀而失效。刀片材料主要是由粉末冶金工艺制作而成，该工艺由于刀片内部组织的不均匀性，使得刀片内部有许多微观裂纹。当硬质合金刀具切削加工工件时，所受到的冲击载荷没有达到其临界疲劳应力时，刀片不能立即失效，而是要经过冲击载荷多次作用才能失效，所以冲击载荷冲击次数的等效载荷的累积分布函数为：

F_l(σ)＝[F(σ)]^ss＝1、2、3…N(12)

式中：N为总冲击次数，即刀具寿命；s为冲击次数；

其相应的概率密度函数为：

$f_l\left(\mathrm{\σ}\right)=\frac{\∂F_l\left(\mathrm{\σ}\right)}{\∂\mathrm{\σ}}=s{\[F\left(\mathrm{\σ}\right)\]}^{s-1}f\left(\mathrm{\σ}\right),s=1,2,3...N---\left(13\right)$

所以冲击载荷作用s次的应力-强度干涉模型可靠度计算公式应为：

$\begin{array}{c}R\left(s\right)=\underset{-\mathrm{\∞}}{\overset{+\mathrm{\∞}}{\∫}}{f}_t\left({\mathrm{\σ}}_t\right)\left\{\underset{-\mathrm{\∞}}{\overset{{\mathrm{\σ}}_t}{\∫}}s{\[F\left(\mathrm{\σ}\right)\]}^{s-1}f\left(\mathrm{\σ}\right)d\mathrm{\σ}\right\}{\mathrm{d\σ}}_t\\ =\underset{-\mathrm{\∞}}{\overset{+\mathrm{\∞}}{\∫}}\frac{2}{n-2}{\left(BN\right)}^{\frac{1}{n-2}}{\mathrm{\σ}}_t^{\frac{2}{n-2}}\frac{{\mathrm{vm}}_t}{{\mathrm{\σ}}_{t0}}{\left|\frac{{\left(BN\right)}^{\frac{1}{n-2}}{\mathrm{\σ}}_t^{\frac{2}{n-2}}-{\mathrm{\σ}}_{tu}}{{\mathrm{\σ}}_{t0}}\right|}^{m_t-1}\exp |-v{\left|\frac{{\left(BN\right)}^{\frac{1}{n-2}}{\mathrm{\σ}}_t^{\frac{2}{n-2}}-{\mathrm{\σ}}_{tu}}{{\mathrm{\σ}}_{t0}}\right|}^{m_t}|\left\{\underset{-\mathrm{\∞}}{\overset{{\mathrm{\σ}}_t}{\∫}}s{\[F\left(\mathrm{\σ}\right)\]}^{s-1}f\left(\mathrm{\σ}\right)d\mathrm{\σ}\right\}{\mathrm{d\σ}}_t\end{array}---\left(14\right)$

当s＝1时，式(14)变为SSI模型。

刀具的失效率是指单位时间内刀具发生失效的概率，用式(15)表示：

$h\left(t\right)=\frac{f\left(t\right)}{R\left(t\right)}=-\frac{1}{R\left(t\right)}\·\frac{dR\left(t\right)}{dt}---\left(15\right)$

由刀具的失效率定义，定义其度量单位为冲击载荷作用次数，单位冲击次数△s趋近于1，由式(15)可知，单位冲击次数下的刀具失效率模型为：

$\begin{array}{c}h\left(s\right)=\frac{f\left(s\right)}{R\left(s\right)}=-\frac{1}{R\left(s\right)}\·\frac{dR\left(s\right)}{ds}=\underset{\mathrm{\Δ}s\→1}{\lim }\frac{R\left(s\right)-R\left(s+\mathrm{\Δ}s\right)}{R\left(s\right)\·\mathrm{\Δ}s}=\frac{R\left(s\right)-R\left(s+1\right)}{R\left(s\right)}=\\ \frac{\underset{-\mathrm{\∞}}{\overset{+\mathrm{\∞}}{\∫}}{f}_t\left({\mathrm{\σ}}_t\right)\left\{\underset{-\mathrm{\∞}}{\overset{{\mathrm{\σ}}_t}{\∫}}\[s{\[F\left(\mathrm{\σ}\right)\]}^{s-1}-\left(s+1\right){\[F\left(\mathrm{\σ}\right)\]}^{s}f\left(\mathrm{\σ}\right)d\mathrm{\σ}\]\right\}{\mathrm{d\σ}}_t}{\underset{-\mathrm{\∞}}{\overset{+\mathrm{\∞}}{\∫}}{f}_t\left({\mathrm{\σ}}_t\right)\left\{\underset{-\mathrm{\∞}}{\overset{{\mathrm{\σ}}_t}{\∫}}s{\[F\left(\mathrm{\σ}\right)\]}^{s-1}f\left(\mathrm{\σ}\right)d\mathrm{\σ}\right\}{\mathrm{d\σ}}_t}\end{array}---\left(16\right)$

将式(11)代入式(16)即得考虑冲击载荷作用次数的硬质合金刀具的失效率。

步骤3，结合步骤1建立的可靠度数学模型，建立考虑切削加工时间的硬质合金刀具的动态可靠性及失效率数学模型，进而得到在任意切削时间点下的刀具的动态可靠度及失效率

刀具在切削工件时随着切削时间的增加，所受到的冲击载荷作用次数也是递增的，用泊松随机过程来描述冲击载荷作用次数，当冲击载荷作用次数N(t)服从参数为λ(t)的泊松随机过程时，在任意时刻t冲击载荷出现s次的概率可表示为：

$P\left(N\left(t\right)-N\left(0\right)=s\right)=\frac{{\[\underset{0}{\overset{t}{\∫}}\mathrm{\λ}\left(t\right)dt\]}^s}{s!}{e}^{-\underset{0}{\overset{t}{\∫}}\mathrm{\λ}\left(t\right)dt}---\left(17\right)$

由式(14)、(17)可知，刀具在t时刻的可靠度为：

$\begin{array}{c}R\left(t\right)=\underset{s=0}{\overset{N}{\Σ}}P\left(N\left(t\right)-N\left(0\right)=s\right)R\left(s\right)=\\ \underset{s=0}{\overset{N}{\Σ}}\frac{{\[\underset{0}{\overset{t}{\∫}}\mathrm{\λ}\left(t\right)dt\]}^s}{s!}{e}^{-\underset{0}{\overset{t}{\∫}}\mathrm{\λ}\left(t\right)dt}\·\underset{-\mathrm{\∞}}{\overset{+\mathrm{\∞}}{\∫}}\frac{2}{n-2}{\left(BN\right)}^{\frac{1}{n-2}}{\mathrm{\σ}}_t^{\frac{2}{n-2}}\frac{{\mathrm{vm}}_t}{{\mathrm{\σ}}_{t0}}{\left|\frac{{\left(BN\right)}^{\frac{1}{n-2}}{\mathrm{\σ}}_t^{\frac{2}{n-2}}-{\mathrm{\σ}}_{tu}}{{\mathrm{\σ}}_{t0}}\right|}^{m_t-1}\·\\ \exp |-v{\left|\frac{{\left(BN\right)}^{\frac{1}{n-2}}{\mathrm{\σ}}_t^{\frac{2}{n-2}}-{\mathrm{\σ}}_{tu}}{{\mathrm{\σ}}_{t0}}\right|}^{m_t}|\underset{-\mathrm{\∞}}{\overset{{\mathrm{\σ}}_t}{\∫}}s{\left(F_s\left(\mathrm{\σ}\right)\right)}^{s-1}{f}_s\left(\mathrm{\σ}\right){\mathrm{d\σd\σ}}_t\end{array}---\left(18\right)$

由式(15)可知，硬质合金刀具的失效率为：

$h\left(t\right)=\frac{f\left(t\right)}{R\left(t\right)}=-\frac{1}{R\left(t\right)}\·\frac{dR\left(t\right)}{dt}=\frac{\underset{s=0}{\overset{N}{\Σ}}\frac{\mathrm{\λ}\left(t\right)}{s!}{\[\underset{0}{\overset{t}{\∫}}\mathrm{\λ}\left(t\right)dt\]}^{s-1}\[s-\underset{0}{\overset{t}{\∫}}\mathrm{\λ}\left(t\right)dt\]\·\underset{-\mathrm{\∞}}{\overset{+\mathrm{\∞}}{\∫}}{f}_t\left({\mathrm{\σ}}_t\right)\underset{-\mathrm{\∞}}{\overset{{\mathrm{\σ}}_t}{\∫}}s{\left(F_s\right(\mathrm{\σ}\left)\right)}^{s-1}{f}_s\left(\mathrm{\σ}\right){\mathrm{d\σd\σ}}_t}{\underset{s=0}{\overset{N}{\Σ}}\frac{1}{s!}{\[\underset{0}{\overset{t}{\∫}}\mathrm{\λ}\left(t\right)dt\]}^s\·\underset{-\mathrm{\∞}}{\overset{+\mathrm{\∞}}{\∫}}{f}_t\left({\mathrm{\σ}}_t\right)\underset{-\mathrm{\∞}}{\overset{{\mathrm{\σ}}_t}{\∫}}s{\left(F_s\right(\mathrm{\σ}\left)\right)}^{s-1}{f}_s\left(\mathrm{\σ}\right){\mathrm{d\σd\σ}}_t}---\left(19\right)$

将式(11)代入式(19)即得考虑切削加工时间的硬质合金刀具的失效率。

实施例1

实验样品为YT05硬质合金刀片，采用5个批次的刀片进行实验。按照GB3851-83标准所规定尺寸进行实验，在INSTRON2382万能试验机上测定YT05的抗弯强度，加载速度为200N/mm。

临界疲劳应力σ_t的分布可由式(11)确定，而式(11)中的抗拉强度可通过实验测的抗弯强度。实验数据及计算结果如表1所示：

表1抗弯强度测试数据

采用SENB法对YT05硬质合金进行断裂韧度的测试；n和A可由I型裂纹扩展速率测得，Y可由现有方法计算出，σ_t0、m_t和σ_tu可由威布尔参数估计方法得到，测试及计算结果如表2所示。

表2参数测试及计算数据

分别对10个批次的刀具进行切削实验，每个批次刀具数量为5把。切削条件：数控机床CL-15；工件材料：45^#淬硬钢，HRC(51-52)；工件组装后外圆直径130mm；刀具几何参数λ_s＝-5°,α₀＝6°,γ₀＝-5°,γ₀₁＝-20°,b_r1＝0.1mm,K_R＝75°,K'_r＝15°；切削用量:v＝1.6m/s，a_p＝0.35mm,f＝0.15mm/r。记录不同批次刀具失效时的载荷冲击次数及切削时间，进行刀具的失效率及可靠度的计算，结果见表3。

表3刀具的可靠度及失效率

通过对刀具的试验测试及分析可知，刀具所承受的冲击载荷作用次数s与时间t的关系服从λ(t)＝27min-1的泊松随机过程。由仿真分析可确定刀片最薄弱部位的应力前二阶矩为σ＝(660,40)MPa。刀具其他设计参数A＝(5.6×10-16,2.4×10-26),KIC＝(11,0.06)MPam1/2,v＝(1.045,0.68)mm3,Y＝(1.16,0.88),n＝(13,1.6),mt＝(1.6,0.04),σt0＝(815,35),σtu＝(614,26)。其中刀片抗弯强度的形状参数的均值为3.008，方差为1.336；尺度参数的均值为130.68,方差为98.662；位置参数的均值为880,方差为560。

以本发明建立的数学模型对刀具进行可靠度及失效率仿真。考虑冲击载荷作用次数的硬质合金刀具的动态可靠度及失效率由式(14)和(16)确定；考虑切削时间的硬质合金刀具的动态可靠度及失效率由式(18)和(19)确定。理论分析结果与实验数据如图1-4所示。

从图1-4中可以看出，理论数据与刀具实验数据较为吻合，证明了刀具的动态可靠性模型和失效率模型的正确性。从图1和图2中可以看出，刀具的可靠度随着载荷作用次数和切削时间的增加逐渐降低，且图1中可靠度降低的幅度比图2中要大，说明导致刀具疲劳破损的冲击载荷出现的次数越多，刀具越容易失效。从图3和图4中可以看出，刀具的失效率随着冲击载荷作用次数和切削时间的增加也在逐渐减小，且具有浴盆曲线中“早期失效期”和“偶然失效期”的特征。由于没有考虑强度退化对刀具可靠度和失效率的影响，因此图3和图4中的刀具失效率曲线没有出现浴盆曲线中“耗损失效期”的特征。当给定刀具的许用失效率h(t)或h(s)时，便可根据本文模型确定出刀具的早期失效期或进入偶然失效期之前所经历的冲击载荷作用次数s和切削加工时间t，进而可由式(12)、(13)反推出冲击载荷作用s次或t时的等效冲击载荷，在刀具的环境应力筛选试验中，可以直接选取等效冲击载荷作为试验应力。这样便可以大大地缩短试验周期，使刀具在经过筛选试验后失效率满足使用要求。

尽管以上结合附图对本发明的实施方案进行了描述，但是本发明并不局限于上述的具体实施方案和应用领域，上述的具体实施方案仅仅是示意性的、指导性的，而不是限制性的。本领域的普通技术人员在说明书的启示下，在不脱离本发明权利要求所保护的范围的情况下，还可以做出很多种的形式，这些均属于本发明的保护之列。

Claims (4)

1.一种基于随机过程的刀具的动态可靠性及失效率方法，其特征在于，具体按照以下步骤实施：

步骤1，定义刀具的失效判据，建立刀具的可靠度数学模型；

步骤2，载荷作用过程为一随机过程，结合步骤1建立的可靠度数学模型，建立单位冲击次数下的刀具动态可靠性及失效率数学模型，延伸扩展，建立多次冲击作用下的刀具动态可靠性及失效率数学模型，进而得到考虑载荷作用次数下的刀具动态可靠度及失效率；

步骤3，结合步骤1建立的可靠度数学模型，建立考虑切削加工时间的硬质合金刀具的动态可靠性及失效率数学模型，进而得到在任意切削时间点下的刀具的动态可靠度及失效率。

2.如权利要求1所述的基于随机过程的刀具的动态可靠性及失效率方法，其特征在于，步骤1中可靠度数学模型的建立过程如下：以应力-强度干涉(SSI)模型为基础，将硬质合金刀具内部应力与临界疲劳应力相干涉的数学模型为其失效判据，设σ为刀片内某一点应力，σ₀为刀具临界疲劳应力，当σ分布F(σ)函数和σ_t分布函数F_t(σ)或概率密度函数f_t(σ)已知时，应用SSI模型即可求出刀具的可靠度，其表达式为：

$R=P\[g\left(X\right)>0\]=\underset{-\mathrm{\∞}}{\overset{+\mathrm{\∞}}{\∫}}F\left(\mathrm{\σ}\right)f_t\left(\mathrm{\σ}\right)d\mathrm{\σ}---\left(1\right)$

假设某刀具产品其刀片内最薄弱位置存在一尺寸为a_ei的裂纹，当其所承受的外载效应为σ_c时，裂纹不发生疲劳扩展，而是立即在该处断裂，这时必定有

$a_{ei}=a_c=\frac{K_{IC}^2}{{\mathrm{Y\σ}}_c^2}---\left(2\right)$

式中：a_ei为初始裂纹长度；a_c为施加σ_c时的断裂尺寸；K_IC为平面断裂韧性；Y裂纹形状因子；

对相同尺寸裂纹而言，若所承受的应力σ_t小于σ_c时，该裂纹不会马上断裂，而是要受到N次冲击才能失效，即

$\frac{da}{dN}=A{\left({\mathrm{\ΔK}}_I\right)}^n---\left(3\right)$

式中：N为载荷冲击次数；a为裂纹长度；n、A为材料参数；ΔK_I＝K_Imax-K_Imin为等效应力强度因子幅值；

当载荷在0～F_max之间变化时，则有

${\mathrm{\ΔK}}_I=K_{Imax}={\mathrm{Y\σ}}_e\sqrt{a_{ei}}---\left(4\right)$

${\mathrm{\ΔK}}_I=K_{Imax}={\mathrm{Y\σ}}_c\sqrt{a}---\left(5\right)$

对(3)式积分得：

${\mathrm{AY}}^n{\mathrm{\σ}}_t^{n}N=\frac{n-2}{2}(a_{ei}^{1-\frac{n}{2}}-a_{cl}^{1-\frac{n}{2}})---\left(6\right)$

式中：a_cl为σ_t作用下的裂纹断裂尺寸，若a_cl》a_ei，则有

$\frac{2}{n-2}{\mathrm{AY}}^n{\mathrm{\σ}}_t^{n}N=a_{ei}^{1-\frac{n}{2}}---\left(7\right)$

将式(2)代入式(7)中，则有

${\mathrm{\σ}}_c=B^{\frac{1}{n-2}}{\mathrm{\σ}}_t^{\frac{2}{n-2}}{N}^{\frac{1}{n-2}},---\left(8\right)$

式中： $B=\frac{2}{n-2}{\mathrm{AY}}^{\frac{n+2}{2}}{K}_{IC}^{n-2}---\left(9\right)$

由于刀具材料的抗拉强度服从威布尔分布，则其概率密度函数如式(10)所示

$f\left({\mathrm{\σ}}_c\right)=\frac{{\mathrm{Vm}}_t}{{\mathrm{\σ}}_{t0}}{\[\frac{{\mathrm{\σ}}_c-{\mathrm{\σ}}_{tu}}{{\mathrm{\σ}}_{t0}}\]}^{m_t-1}\exp \[-V{\left(\frac{{\mathrm{\σ}}_c-{\mathrm{\σ}}_{tu}}{{\mathrm{\σ}}_{t0}}\right)}^{m_t}\]---\left(10\right)$

式中：V为试件体积；m_t、σ_t0、σ_tu分别为材料抗拉强度的形状参数、比例参数和位置参数；

由式(8-10)可得临界疲劳应力的概率密度函数为：

$\begin{array}{c}{f}_t\left({\mathrm{\σ}}_t\right)=\frac{2}{n-2}{\left(BN\right)}^{\frac{1}{n-2}}{\mathrm{\σ}}_t^{\frac{2}{n-2}}\frac{{\mathrm{vm}}_t}{{\mathrm{\σ}}_{t0}}{\left|\frac{{\left(BN\right)}^{\frac{1}{n-2}}{\mathrm{\σ}}_t^{\frac{2}{n-2}}-{\mathrm{\σ}}_{tu}}{{\mathrm{\σ}}_{t0}}\right|}^{m_t-1}\·\\ \exp |-V{\left|\frac{{\left(BN\right)}^{\frac{1}{n-2}}{\mathrm{\σ}}_t^{\frac{2}{n-2}}-{\mathrm{\σ}}_{tu}}{{\mathrm{\σ}}_{t0}}\right|}^{m_t}|\end{array}---\left(11\right)$

将式(11)代入式(1)中，得到刀具的可靠度数学模型。

3.如权利要求1或2所述的基于随机过程的刀具的动态可靠性及失效率方法，其特征在于，步骤2的具体过程为：

当硬质合金刀具切削加工工件时，所受到的冲击载荷没有达到其临界疲劳应力时，刀片不能立即失效，而是要经过冲击载荷多次作用才能失效，所以冲击载荷冲击次数的等效载荷的累积分布函数为：

F_l(σ)＝[F(σ)]^ss＝1、2、3…N(12)

式中：N为总冲击次数，即刀具寿命；s为冲击次数；

其相应的概率密度函数为：

$f_l\left(\mathrm{\σ}\right)=\frac{\∂F_l\left(\mathrm{\σ}\right)}{\∂\mathrm{\σ}}=s{\[F\left(\mathrm{\σ}\right)\]}^{s-1}f\left(\mathrm{\σ}\right),s=1,2,3...N---\left(13\right)$

所以冲击载荷作用s次的应力-强度干涉模型可靠度计算公式应为：

$\begin{array}{c}R\left(s\right)=\underset{-\mathrm{\∞}}{\overset{+\mathrm{\∞}}{\∫}}{f}_t\left({\mathrm{\σ}}_t\right)\left\{\underset{-\mathrm{\∞}}{\overset{{\mathrm{\σ}}_t}{\∫}}s{\[F\left(\mathrm{\σ}\right)\]}^{s-1}f\left(\mathrm{\σ}\right)d\mathrm{\σ}\right\}{\mathrm{d\σ}}_t\\ =\underset{-\mathrm{\∞}}{\overset{+\mathrm{\∞}}{\∫}}\frac{2}{n-2}{\left(BN\right)}^{\frac{1}{n-2}}{\mathrm{\σ}}_t^{\frac{2}{n-2}}\frac{{\mathrm{vm}}_t}{{\mathrm{\σ}}_{t0}}{\left|\frac{{\left(BN\right)}^{\frac{1}{n-2}}{\mathrm{\σ}}_t^{\frac{2}{n-2}}-{\mathrm{\σ}}_{tu}}{{\mathrm{\σ}}_{t0}}\right|}^{m_t-1}\exp |-v{\left|\frac{{\left(BN\right)}^{\frac{1}{n-2}}{\mathrm{\σ}}_t^{\frac{2}{n-2}}-{\mathrm{\σ}}_{tu}}{{\mathrm{\σ}}_{t0}}\right|}^{m_t}|\left\{\underset{-\mathrm{\∞}}{\overset{{\mathrm{\σ}}_t}{\∫}}s{\[F\left(\mathrm{\σ}\right)\]}^{s-1}f\left(\mathrm{\σ}\right)d\mathrm{\σ}\right\}{\mathrm{d\σ}}_t\end{array}---\left(14\right)$

当s＝1时，式(14)变为SSI模型；

刀具的失效率是指单位时间内刀具发生失效的概率，用式(15)表示：

$h\left(t\right)=\frac{f\left(t\right)}{R\left(t\right)}=-\frac{1}{R\left(t\right)}\·\frac{dR\left(t\right)}{dt}---\left(15\right)$

由刀具的失效率定义，定义其度量单位为冲击载荷作用次数，单位冲击次数△s趋近于1，由式(15)可知，单位冲击次数下的刀具失效率模型为：

$\begin{array}{c}h\left(s\right)=\frac{f\left(s\right)}{R\left(s\right)}=-\frac{1}{R\left(s\right)}\·\frac{dR\left(s\right)}{ds}=\underset{\mathrm{\Δ}s\→1}{\lim }\frac{R\left(s\right)-R\left(s+\mathrm{\Δ}s\right)}{R\left(s\right)\·\mathrm{\Δ}s}=\frac{R\left(s\right)-R\left(s+1\right)}{R\left(s\right)}=\\ \frac{\underset{-\mathrm{\∞}}{\overset{+\mathrm{\∞}}{\∫}}{f}_t\left({\mathrm{\σ}}_t\right)\left\{\underset{-\mathrm{\∞}}{\overset{{\mathrm{\σ}}_t}{\∫}}\[s{\[F\left(\mathrm{\σ}\right)\]}^{s-1}-\left(s+1\right){\[F\left(\mathrm{\σ}\right)\]}^{s}f\left(\mathrm{\σ}\right)d\mathrm{\σ}\]\right\}{\mathrm{d\σ}}_t}{\underset{-\mathrm{\∞}}{\overset{+\mathrm{\∞}}{\∫}}{f}_t\left({\mathrm{\σ}}_t\right)\left\{\underset{-\mathrm{\∞}}{\overset{{\mathrm{\σ}}_t}{\∫}}s{\[F\left(\mathrm{\σ}\right)\]}^{s-1}f\left(\mathrm{\σ}\right)d\mathrm{\σ}\right\}{\mathrm{d\σ}}_t}\end{array}---\left(16\right)$

将式(11)代入式(16)即得考虑冲击载荷作用次数的硬质合金刀具的失效率。

4.如权利要求3所述的基于随机过程的刀具的动态可靠性及失效率方法，其特征在于，步骤3的具体过程为：

刀具在切削工件时随着切削时间的增加，所受到的冲击载荷作用次数也是递增的，用泊松随机过程来描述冲击载荷作用次数，当冲击载荷作用次数N(t)服从参数为λ(t)的泊松随机过程时，在任意时刻t冲击载荷出现s次的概率可表示为：

$P\left(N\left(t\right)-N\left(0\right)=s\right)=\frac{{\[\underset{0}{\overset{t}{\∫}}\mathrm{\λ}\left(t\right)dt\]}^s}{s!}{e}^{-\underset{0}{\overset{t}{\∫}}\mathrm{\λ}\left(t\right)dt}---\left(17\right)$

由式(14)、(17)可知，刀具在t时刻的可靠度为：

$\begin{array}{c}R\left(t\right)=\underset{s=0}{\overset{N}{\Σ}}P\left(N\left(t\right)-N\left(0\right)=s\right)R\left(s\right)=\\ \underset{s=0}{\overset{N}{\Σ}}\frac{{\[\underset{0}{\overset{t}{\∫}}\mathrm{\λ}\left(t\right)dt\]}^s}{s!}{e}^{-\underset{0}{\overset{t}{\∫}}\mathrm{\λ}\left(t\right)dt}\·\underset{-\mathrm{\∞}}{\overset{+\mathrm{\∞}}{\∫}}\frac{2}{n-2}{\left(BN\right)}^{\frac{1}{n-2}}{\mathrm{\σ}}_t^{\frac{2}{n-2}}\frac{{\mathrm{vm}}_t}{{\mathrm{\σ}}_{t0}}{\left|\frac{{\left(BN\right)}^{\frac{1}{n-2}}{\mathrm{\σ}}_t^{\frac{2}{n-2}}-{\mathrm{\σ}}_{tu}}{{\mathrm{\σ}}_{t0}}\right|}^{m_t-1}\·\\ \exp |-v{\left|\frac{{\left(BN\right)}^{\frac{1}{n-2}}{\mathrm{\σ}}_t^{\frac{2}{n-2}}-{\mathrm{\σ}}_{tu}}{{\mathrm{\σ}}_{t0}}\right|}^{m_t}|\underset{-\mathrm{\∞}}{\overset{{\mathrm{\σ}}_t}{\∫}}s{\left(F_s\left(\mathrm{\σ}\right)\right)}^{s-1}{f}_s\left(\mathrm{\σ}\right){\mathrm{d\σd\σ}}_t\end{array}---\left(18\right)$

由式(15)可知，硬质合金刀具的失效率为：

$h\left(t\right)=\frac{f\left(t\right)}{R\left(t\right)}=-\frac{1}{R\left(t\right)}\·\frac{dR\left(t\right)}{dt}=\frac{\underset{s=0}{\overset{N}{\Σ}}\frac{\mathrm{\λ}\left(t\right)}{s!}{\[\underset{0}{\overset{t}{\∫}}\mathrm{\λ}\left(t\right)dt\]}^{s-1}\[s-\underset{0}{\overset{t}{\∫}}\mathrm{\λ}\left(t\right)dt\]\·\underset{-\mathrm{\∞}}{\overset{+\mathrm{\∞}}{\∫}}{f}_t\left({\mathrm{\σ}}_t\right)\underset{-\mathrm{\∞}}{\overset{{\mathrm{\σ}}_t}{\∫}}s{\left(F_s\right(\mathrm{\σ}\left)\right)}^{s-1}{f}_s\left(\mathrm{\σ}\right){\mathrm{d\σd\σ}}_t}{\underset{s=0}{\overset{N}{\Σ}}\frac{1}{s!}{\[\underset{0}{\overset{t}{\∫}}\mathrm{\λ}\left(t\right)dt\]}^s\·\underset{-\mathrm{\∞}}{\overset{+\mathrm{\∞}}{\∫}}{f}_t\left({\mathrm{\σ}}_t\right)\underset{-\mathrm{\∞}}{\overset{{\mathrm{\σ}}_t}{\∫}}s{\left(F_s\right(\mathrm{\σ}\left)\right)}^{s-1}{f}_s\left(\mathrm{\σ}\right){\mathrm{d\σd\σ}}_t}---\left(19\right)$

将式(11)代入式(19)即得考虑切削加工时间的硬质合金刀具的失效率。