CN105045982A - 倒阶梯形变截面群桩基础基桩荷载分配简化方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了倒阶梯形变截面群桩基础基桩荷载分配简化方法，确定桩侧土体地基比例系数m值；确定基桩的计算宽度b₁；计算基桩的变形系数a值；按照现行规范多排桩内力计算方法计算倒阶梯形变截面群桩各桩桩顶所承受的荷载P_i、Q_i和M_i；其中P_i为第i根基桩桩顶的竖向荷载，Q_i为第i根基桩桩顶的水平向荷载，M_i为第i根基桩桩顶的弯矩。本发明的有益效果是可以计算倒阶梯形变截面群桩基础的基桩荷载，进而充分发挥上部钢护筒形成。

Description

倒阶梯形变截面群桩基础基桩荷载分配简化方法

技术领域

本发明属于土木工程技术领域，涉及倒阶梯形变截面群桩基础基桩荷载分配简化方法。

背景技术

在实际工程中，根据施工需要，钻孔灌注桩一般采用比设计直径稍大的钢护筒，因此施工出的基桩不可避免地会出现上大下小的倒阶梯形。同时由于在水平荷载和弯矩作用下，基桩的弯矩也呈上大下小的分布，工程设计人员充分利用了这种效应，将护筒进一步加大，充分发挥上部大直径基桩部分的抗弯性能。竖向荷载作用下，倒阶梯形桩会有一定的挤土效应，有利于提高桩的承载力。因此，倒阶梯形桩在大量工程中得以应用，例如苏通大桥主墩基础采用Φ2.8m/Φ2.5m钻孔灌注桩，京沪高铁大胜关桥主墩基础采用Φ3.2m/Φ2.8m钻孔灌注桩。然而，现行《铁路桥涵地基和基础设计规范》(TB10002.5-2005)、《公路桥涵地基与基础设计规范》(JTGD63-2007)对群桩基础荷载分配的计算方法都是针对等截面桩的，缺少对该类倒阶梯形变截面群桩基础荷载分配的方法。

本方法是在现行规范多排桩内力计算方法的基础上，根据刚度等效的原则，推导倒阶梯形变截面群桩基础的内力分配方法。

发明内容

本发明的目的是提供一种倒阶梯形变截面群桩基础基桩荷载分配简化方法，现行规范多排桩内力计算方法是针对等截面群桩基础，对于工程中出现的倒阶梯形群桩基础荷载分配不适用，本方法是在现行规范多排桩内力计算方法的基础上，根据刚度等效的原则，推导倒阶梯形变截面群桩基础的基桩荷载分配简化方法。

本发明所采用的技术方案是，倒阶梯形变截面群桩基础基桩荷载分配简化方法，首先，进行计算假设：

(1)桩与土共同作用，不计桩土之间的摩擦力和黏粘力，桩与桩侧土受力前后始终密贴；

(2)外荷载作用下，桩基础仅产生小变形，即桩在局部冲刷线处的变位小于6mm，桩及桩侧土均为弹性介质，且土的应力应变关系符合文克尔假定；

(3)承台为刚体，桩头嵌固，承台与桩为刚性联结，承台变形时桩位不变，桩顶转角与承台相同；

接着按照以下步骤进行：

步骤1，确定桩侧土体地基比例系数m值；

步骤2，确定基桩的计算宽度b₁；

步骤3，计算基桩的变形系数a值；

步骤4，按照现行规范多排桩内力计算方法计算倒阶梯形变截面群桩各桩桩顶所承受的荷载P_i、Q_i和M_i；其中P_i为第i根基桩桩顶的竖向荷载，Q_i为第i根基桩桩顶的水平向荷载，M_i为第i根基桩桩顶的弯矩。

本发明的有益效果是可以计算倒阶梯形变截面群桩基础的基桩荷载，进而充分发挥上部钢护筒形成。

附图说明

图1是两层土m值换算示意图。

图2是桩间相互影响系数k值计算示意图。

图3是基桩等效刚度计算示意图。

图4是多排桩桩顶位移与承台位移关系。

图5是第i根桩顶作用力图。

图6是第i根桩的变位计算示意图。

图7是承台中心变位计算示意图(位移法)。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施方式对本发明进行详细说明。

倒阶梯形变截面群桩基础基桩荷载分配简化方法，首先，进行计算假设：

(1)桩与土共同作用，不计桩土之间的摩擦力和黏粘力，桩与桩侧土受力前后始终密贴；

(2)外荷载作用下，桩基础仅产生小变形(桩在局部冲刷线处的变位小于6mm)，桩及桩侧土均为弹性介质，且土的应力应变关系符合文克尔假定；

(3)承台为刚体，桩头嵌固，承台与桩为刚性联结，承台变形时桩位不变，桩顶转角与承台相同。

接着按照以下步骤进行：

步骤1，确定桩侧土体地基比例系数m值；

步骤2，确定基桩的计算宽度b₁；

步骤3，计算基桩的变形系数a值；

步骤4，按照现行规范多排桩内力计算方法计算倒阶梯形变截面群桩各桩桩顶所承受的荷载P_i(第i根基桩桩顶的竖向荷载)、Q_i(第i根基桩桩顶的水平向荷载)和M_i(第i根基桩桩顶的弯矩)；

具体来说：

步骤1中桩侧土体地基比例系数m值的计算方法如下：

地基土水平抗力系数的比例系数m值通过桩的水平静载试验确定。但由于费用、时间等原因，未进行基桩的水平静载试验的，可采用规范提供的经验值。

(1)由于桩的水平荷载与位移关系是非线性的，即m值随荷载与位移增大而有所减小，因此，m值的确定要与桩的实际荷载相适应。一般结构在地面处最大位移不超过10mm，对位移敏感的结构、桥梁工程为6mm。

(2)桩周土体对抵抗水平力所起的作用与其本身的变形有关：土体压缩得越厉害，其抗力发挥的程度越大。自桩顶向下，桩在水平方向的变形越来越小。因此当基桩侧面由几种土层组成时，从地面或局部冲刷线起，应求得主要影响深度h_m米范围内的平均m值作为整个深度内的m值。

h_m＝2(d₁+1)，且h_m≤h(1)式中：h_m——桩身挠曲主影响影响深度；

d₁——倒阶梯形桩上段直径，如图1所示。

h——桩长

对于刚性桩，h_m＝h。

①当h_m≤l₁时，如图1(a)所示：

$m=\frac{m_1{h}_1^2+m_2(2h_1+h_2)h_2}{h_m^2}---\left(2\right)$

式中：m——双层地基当量地基比例系数

h₁——桩侧自地面或局部冲刷线起第一层土的厚度，如图1(a)所示；

m₁——第一层土的地基比例系数；

h₂——主要影响深度范围内第二层土的厚度，如图1(a)所示；

m₂——第二层土的地基比例系数；

②当h_m>l₁时，如图1(b)所示：

$m=\frac{m_1{h}_1^2+m_2(2h_1+h_2)h_2+m_3(2h_1+2h_2+h_3)h_3}{h_m^2}---\left(3\right)$

式中：m₃——直径为d₂基桩部分的当量地基比例系数，

h₃——主要影响深度范围内直径为d₂的桩长，如图1(b)所示。

步骤2中基桩的宽度b₁计算方法如下：

为了将空间受力简化为平面受力，并综合考虑桩的截面形状及多排桩桩间的相互遮蔽作用。计算桩的内力与位移时不直接采用桩的设计宽度(直径)，而是换算成实际工作条件下相当于矩形截面桩的宽度b₁，b₁称为桩的计算宽度。

b₁＝0.9·k(d+1)(4)

$d=\frac{l_1{d}_1+l_2{d}_2}{l_1+l_2}---\left(5\right)$

对单排桩或L₁≥0.6h₁的多排桩：

k＝1.0(6)

对L₁<0.6h₁的多排桩：

$k=b_2+\frac{1-b_2}{0.6}\&CenterDot;\frac{L_1}{h_1}---\left(7\right)$

式中：L₁——与外力作用方向平行的一排桩的桩间净距，如图2所示；

h₁——地面或局部冲刷线以下桩柱的计算埋入深度，可按下式计算，但h₁值不得大于桩的入土深度(h)，h₁＝3(d+1)m；

d——桩的当量直径，m；

d₁、d₂——变截面桩上、下段的直径；

l₁、l₂——地面或局部冲刷线下3(d+1)m范围内变截面桩上、下段的桩长，如图2所示，如果均为大直径段，则l₂＝0。

b₂——根据与外力作用方向平行的所验算的一排桩的桩数n而定的系数。当n＝1时b₂＝1，当n＝2时b₂＝0.6，当n＝3时b₂＝0.5，当n≥4时b₂＝0.45。

为了不致使计算宽度发生重叠现象，要求计算得出的b₁≤2d。

步骤3中基桩的变形系数a值计算方法如下：

(1)变截面桩的等效转动惯量I_x

由于基桩是变截面桩，受弯或水平荷载作用下没有现成的公式计算，需推导计算。虽然用直梁(桩)挠曲线的近似微分方程直接积分求梁变形的基本方法，但对于多排桩基内力分配计算，计算繁琐。因此计算时首先将变截面桩根据刚度相等的原则等效为等截面桩。由于桩身受弯变形主要集中在桩的上部，考虑到基桩计算宽度计算相互影响系数时主要考虑地面或局部冲刷线以下3(d+1)m范围内的土体，对桩等效时也先考虑这部分范围。同时考虑桩在地面或局部冲刷线以上部分的桩长，则计算桩长：

L＝l₀+3(d+1)(8)

式中：l₀——为地面或局部冲刷线以上部分的桩长

根据基本假设，将桩等效为上下两端固定的等截面梁，如图3所示。取近似挠度曲线函数为：

$y=a_1(1-cos\frac{2\mathrm{\&pi;}x}{L})---\left(9\right)$

则：

$y^{\&prime;}=a_1\frac{2\mathrm{\&pi;}}{L}sin\frac{2\mathrm{\&pi;}x}{L}---\left(10\right)$

$y^{\&prime;\&prime;}=a_1\frac{4{\mathrm{\&pi;}}^2}{L^2}cos\frac{2\mathrm{\&pi;}x}{L}---\left(11\right)$

根据刚度等效原则，得：

$\begin{array}{c}{\mathrm{EI}}_1{\&Integral;}_0^{cL}{\left(a_1\frac{4{\mathrm{\&pi;}}^2}{L^2}\cos \frac{2\mathrm{\&pi;}x}{L}\right)}^{2}dx+{\mathrm{nEI}}_1{\&Integral;}_{cL}^L{\left(a_1\frac{4{\mathrm{\&pi;}}^2}{L^2}\cos \frac{2\mathrm{\&pi;}x}{L}\right)}^{2}dx\\ ={\mathrm{EI}}_x{\&Integral;}_0^L{\left(a_1\frac{4{\mathrm{\&pi;}}^2}{L^2}\cos \frac{2\mathrm{\&pi;}x}{L}\right)}^{2}dx\end{array}---\left(12\right)$

对其积分后求得：

$I_x=\&lsqb;\frac{1}{4\mathrm{\&pi;}}(1-n)sin4c\mathrm{\&pi;}+c+n(1-c)\&rsqb;I_1---\left(13\right)$

$n=\frac{I_2}{I_1}=\frac{d_2^4}{d_1^4}---\left(14\right)$

$c=\frac{l_1}{L}---\left(15\right)$

式中：I_x——桩身等效转动惯量；

I₁——地面或局部冲刷线下3(d+1)m范围内上段大直径桩身的转动惯量；

(2)桩土变形系数a：

$a=\sqrt[5]{\frac{{\mathrm{mb}}_1}{{\mathrm{EI}}_x}}---\left(16\right)$

式中：E——桩身混凝土弹性模量，取0.8E_c；

步骤4中倒阶梯形变截面群桩各桩桩顶所承受的荷载P_i、Q_i和M_i的计算方法为：

变截面桩等效为等截面桩，则可用现行等截面多排群桩基础的计算方法计算桩顶荷载。如图4所示为多排桩基础，它具有一个对称面的承台，且外力作用于此对称平面内。一般将外力作用平面内的桩看作平面框架，用结构位移法解出各桩顶上的P_i、Q_i、M_i后，就可以应用单桩的计算方法解决多排桩的问题了，也就是说，把多排桩的问题化成单排桩。

(1)承台变位及桩顶变位：

假设承台为一绝对刚性体，现以承台底面中心点O作为承台位移的代表点。O点在外荷载N、H、M作用下产生横轴向位移a₀、竖向位移b₀及转角β₀。其中a₀、b₀以坐标轴正向为正，β₀以顺时针转动为正。

桩顶嵌固于承台内，当承台在外荷载作用下产生变位时，各桩顶之间的相对位置不变，各桩桩顶的转角与承台的转角相等。设第i排桩桩顶(与承台联结处)沿x轴方向的线位移为a_i0，z轴方向的线位移为b_i0，桩顶转角为β_i0，则有如下关系式：

$\left.\begin{array}{c}{a}_{io}=a_o\\ b_{io}=b_o+x_i{\mathrm{\&beta;}}_0\\ {\mathrm{\&beta;}}_{io}={\mathrm{\&beta;}}_o\end{array}\right\}---\left(17\right)$

式中：x_i——第i排桩桩顶轴线至承台中心的水平距离。

若基桩为斜桩，如图4所示，那么，就又有三种位移。设b_i为第i排桩桩顶处沿桩轴线方向的轴向位移，a_i为垂直于桩轴线的横轴向位移，β_i为桩轴线的转角，根据投影关系则应有

$\left.\begin{array}{c}{a}_i=a_{io}{\mathrm{cos\&alpha;}}_i-b_{io}{\mathrm{sin\&alpha;}}_i\\ =a_0{\mathrm{cos\&alpha;}}_i-(b_0+x_i{\mathrm{\&beta;}}_0){\mathrm{sin\&alpha;}}_i\\ b_i=a_{io}{\mathrm{sin\&alpha;}}_i+b_{io}{\mathrm{cos\&alpha;}}_i\\ =a_0{\mathrm{sin\&alpha;}}_i+(b_0+x_i{\mathrm{\&beta;}}_0){\mathrm{cos\&alpha;}}_i\\ {\mathrm{\&beta;}}_i={\mathrm{\&beta;}}_{io}={\mathrm{\&beta;}}_0\end{array}\right\}---\left(18\right)$

(2)单桩桩顶的刚度系数ρ_AB：

前面已经建立了承台变位和桩顶变位之间的关系，为了建立位移方程，还必须建立桩顶变位和桩顶内力之间的关系。

设第i根桩桩顶作用有竖向荷载P_i、水平向荷载Q_i、弯矩M_i，如图5所示。单桩桩顶的刚度系数定义为：

a.当第i根桩桩顶处仅产生单位轴向位移(即b_i＝1)时，在桩顶引起的轴向力为ρ₁，如图6所示；

b.当第i根桩桩顶处仅产生单位横轴向位移(即a_i＝1)时，在桩顶引起的横轴向力为ρ₂，如图6所示；

c.当第i根桩桩顶处仅产生单位横轴向位移(即a_i＝1)时，在桩顶引起的弯矩为ρ₃；或当桩顶仅产生单位转角(即β_i＝1)时，在桩顶引起的横轴向力为ρ₃。如图6所示；

d.当第i根桩桩顶处仅产生单位转角(即β_i＝1)时，在桩顶引起的弯矩为ρ₄，如图6所示；

由此，第i根桩桩顶变位所引发的桩顶内力分别为：

$\left.\begin{array}{c}{P}_i={\mathrm{\&rho;}}_1{b}_i={\mathrm{\&rho;}}_1\&lsqb;{\mathrm{\&alpha;}}_o{\mathrm{sin\&alpha;}}_i+(b_o+x_i{\mathrm{\&beta;}}_o){\mathrm{cos\&alpha;}}_i\&rsqb;\\ Q_i={\mathrm{\&rho;}}_2{a}_i-{\mathrm{\&rho;}}_3{\mathrm{\&beta;}}_i={\mathrm{\&rho;}}_2\&lsqb;{\mathrm{\&alpha;}}_o{\mathrm{cos\&alpha;}}_i-(b_o+x_i{\mathrm{\&beta;}}_o){\sin \mathrm{\&alpha;}}_i\&rsqb;-{\mathrm{\&rho;}}_3{\mathrm{\&beta;}}_o\\ M_i={\mathrm{\&rho;}}_4{\mathrm{\&beta;}}_i-{\mathrm{\&rho;}}_3{a}_i={\mathrm{\&rho;}}_4{\mathrm{\&beta;}}_o-{\mathrm{\&rho;}}_3\&lsqb;{\mathrm{\&alpha;}}_o{\mathrm{cos\&alpha;}}_i-(b_o+x_i{\mathrm{\&beta;}}_o){\sin \mathrm{\&alpha;}}_i\&rsqb;\end{array}\right\}---\left(19\right)$

由此可见，只要能解出a_o、b_o、β_o及ρ₁、ρ₂、ρ₃、ρ₄，就可以由上式求得P_i、Q_i和M_i，从而利用单桩方法求出基桩的内力。

①ρ₁(即ρ_pp)的求解：

桩顶承受轴向力P而产生的轴向位移包括桩身材料的弹性压缩变形δ_c及桩底处地基土的沉降δ_k两部分。在对桩侧摩阻力作理想化假设之后，可得到

${\mathrm{\&delta;}}_c=\frac{l_o+\mathrm{\&xi;}h}{EA}\&CenterDot;P---\left(20\right)$

设外力在桩底平面处的作用面积为A₀，则根据文克尔假定得

${\mathrm{\&delta;}}_k=\frac{P}{C_o{A}_o}---\left(21\right)$

由此得桩顶的轴向变形b_i为

$b_i={\mathrm{\&delta;}}_c+{\mathrm{\&delta;}}_k=\frac{P(l_o+\mathrm{\&xi;}h)}{AE}+\frac{P}{C_o{A}_o}---\left(22\right)$

令上式中b_i＝1，所求得的P即为ρ₁。

${\mathrm{\&rho;}}_1=\frac{1}{\frac{l_o+\mathrm{\&xi;}h}{AE}+\frac{1}{C_o{A}_o}}---\left(23\right)$

式中：ξ——系数，变截面桩取ξ＝1/2；

A——桩身横截面面积；

E——桩身材料的受压弹性模量；

C₀——桩底平面处地基土的竖向地基系数，C₀＝m₀h；

A₀——单桩桩底压力分布面积，即桩侧摩阻力以扩散到桩底时的面积，取下列二式计算值的较小者；

$A_0=\frac{\mathrm{\&pi;}}{4}{S}^2---\left(25\right)$

式中：——桩周各土层内摩擦角的加权平均值；

d₁——变截面桩在泥面处的直径；

S——桩的中心距；

②ρ₂、ρ₃、ρ₄的求解：

根据弹性地基梁理论，得

ρ₂＝α³EI_xx_Q

ρ₃＝α²EI_xx_m

ρ₄＝αEI_xφ_m

x_Q、x_m、——无量纲系数，均是及的函数，查表1、表2、表3确定。

表1多排桩计算ρ₂系数x_Q

表2多排桩计算ρ₃系数x_M

表3多排桩计算ρ₄系数

(3)桩群刚度系数

为了建立承台变位和荷载之间的关系，还必须引入整个桩群的刚度系数。桩群的刚度系数共有9个，其具体意义及算式如下。

当承台产生单位横轴向位移(a₀＝1)时，所有桩顶对承台作用的竖轴向反力之和、横轴向反力之和、反弯矩之和为γ_ba、γ_aa、γ_βa：

$\left.\begin{array}{c}{\mathrm{\&gamma;}}_{ba}=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}({\mathrm{\&rho;}}_1-{\mathrm{\&rho;}}_2){\mathrm{sin\&alpha;}}_i{\mathrm{cos\&alpha;}}_i\\ {\mathrm{\&gamma;}}_{aa}=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}({\mathrm{\&rho;}}_1{\sin }^2{\mathrm{\&alpha;}}_i+{\mathrm{\&rho;}}_2{\cos }^2{\mathrm{\&alpha;}}_i)\\ {\mathrm{\&gamma;}}_{\mathrm{\&beta;}a}=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}\&lsqb;({\mathrm{\&rho;}}_1-{\mathrm{\&rho;}}_2)x_i{\mathrm{sin\&alpha;}}_i{\mathrm{cos\&alpha;}}_i-{\mathrm{\&rho;}}_3{\mathrm{cos\&alpha;}}_i\end{array}\right\}---\left(26\right)$

式中：n——桩的根数。

承台产生单位竖向位移时(b_o＝1)，所有桩顶对承台作用的竖轴向反力之和、横轴向反力之和及反弯矩之和为γ_bb、γ_ab、γ_βb：

$\left.\begin{array}{c}{\mathrm{\&gamma;}}_{bb}=\underset{i=1}{\overset{n}{\&Sigma;}}({\mathrm{\&rho;}}_1{\cos }^2{\mathrm{\&alpha;}}_i+{\mathrm{\&rho;}}_2{\sin }^2{\mathrm{\&alpha;}}_i)\\ {\mathrm{\&gamma;}}_{ab}={\mathrm{\&gamma;}}_{ba}\\ {\mathrm{\&gamma;}}_{\mathrm{\&beta;}b}=\underset{i=1}{\overset{n}{\&Sigma;}}({\mathrm{\&rho;}}_1{\cos }^2{\mathrm{\&alpha;}}_i+{\mathrm{\&rho;}}_2{\sin }^2{\mathrm{\&alpha;}}_i)x_i+{\mathrm{\&rho;}}_3{\mathrm{sin\&alpha;}}_i\end{array}\right\}---\left(27\right)$

当承台绕坐标原点产生单位转角(β_o＝1)时，所有桩顶对承台作用的竖轴向反力之和、横轴向反力之和及反弯矩之和为γ_bβ、γ_aβ、γ_ββ：

$\left.\begin{array}{c}{\mathrm{\&gamma;}}_{b\mathrm{\&beta;}}={\mathrm{\&gamma;}}_{\mathrm{\&beta;}b}\\ {\mathrm{\&gamma;}}_{a\mathrm{\&beta;}}={\mathrm{\&gamma;}}_{\mathrm{\&beta;}a}\\ {\mathrm{\&gamma;}}_{\mathrm{\&beta;}\mathrm{\&beta;}}=\underset{i=1}{\overset{n}{\&Sigma;}}\&lsqb;({\mathrm{\&rho;}}_1{\cos }^2{\mathrm{\&alpha;}}_i+{\mathrm{\&rho;}}_2{\sin }^2{\mathrm{\&alpha;}}_i)x_i^2+2x_i{\mathrm{\&rho;}}_3{\mathrm{sin\&alpha;}}_i+{\mathrm{\&rho;}}_4\&rsqb;\end{array}\right\}---\left(28\right)$

(4)建立平衡方程

根据结构力学的位移法，沿承台底面取脱离体，如图7所示。承台上作用的荷载应当和各桩顶(需要时考虑承台侧面土抗力)的反力相平衡，可列出位移法的方程如下：

联立求解上式可得承台位移a₀、b₀、β₀的数值。这样，公式(29)中右端各项均为已知，从而可算得第i根桩桩顶的轴向力P_i、横轴向力Q_i及弯矩M_i。对于桥梁工程而言，基桩一般呈对称布置，且为竖直桩，此时γ_ab＝γ_ba＝γ_bβ＝γ_βb＝0，且α_i＝0，代入方程组(29)，可直接求出a₀、b₀和β₀：

$b_0=\frac{N}{{\mathrm{\&gamma;}}_{bb}}=\frac{N}{\underset{i=1}{\overset{n}{\&Sigma;}}{\mathrm{\&rho;}}_1}---\left(30\right)$

$a_0=\frac{{\mathrm{\&gamma;}}_{bb}H-{\mathrm{\&gamma;}}_{a\mathrm{\&beta;}}M}{{\mathrm{\&gamma;}}_{aa}{\mathrm{\&gamma;}}_{\mathrm{\&beta;}\mathrm{\&beta;}}-{\mathrm{\&gamma;}}_{a\mathrm{\&beta;}}^2}=\frac{(\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&rho;}}_4+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{x}_i^2{\mathrm{\&rho;}}_1)H+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&rho;}}_{3}M}{\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&rho;}}_2(\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&rho;}}_4+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{x}_i^2{\mathrm{\&rho;}}_3)-{\left(\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&rho;}}_3\right)}^2}---\left(31\right)$

${\mathrm{\&beta;}}_0=\frac{{\mathrm{\&gamma;}}_{aa}M-{\mathrm{\&gamma;}}_{a\mathrm{\&beta;}}H}{{\mathrm{\&gamma;}}_{aa}{\mathrm{\&gamma;}}_{\mathrm{\&beta;}\mathrm{\&beta;}}-{\mathrm{\&gamma;}}_{a\mathrm{\&beta;}}^2}=\frac{\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&rho;}}_{2}M+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&rho;}}_{3}H}{\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&rho;}}_2(\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&rho;}}_4+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{x}_i^2{\mathrm{\&rho;}}_1)-{\left(\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&rho;}}_3\right)}^2}---\left(32\right)$

当各桩的样式均相同时，即采用相同的变截面直径，且变径处的位置也相同，则

$b_0=\frac{N}{{\mathrm{n\&rho;}}_1}---\left(33\right)$

$a_0=\frac{({\mathrm{n\&rho;}}_4+{\mathrm{\&rho;}}_1\underset{i=1}{\overset{n}{\&Sigma;}}{x}_i^2)H+{\mathrm{n\&rho;}}_{3}M}{{\mathrm{n\&rho;}}_2({\mathrm{n\&rho;}}_4+{\mathrm{\&rho;}}_1\underset{i=1}{\overset{n}{\&Sigma;}}{x}_i^2)-n^2{\mathrm{\&rho;}}_3^2}---\left(34\right)$

${\mathrm{\&beta;}}_0=\frac{{\mathrm{n\&rho;}}_{2}M+{\mathrm{n\&rho;}}_{3}H}{{\mathrm{n\&rho;}}_2({\mathrm{n\&rho;}}_4+{\mathrm{\&rho;}}_1\underset{i=1}{\overset{n}{\&Sigma;}}{x}_i^2)-n^2{\mathrm{\&rho;}}_3^2}---\left(35\right)$

因为此时桩均为竖直且对称，式(19)可写成

$\left.\begin{array}{c}{P}_i={\mathrm{\&rho;}}_1{b}_i={\mathrm{\&rho;}}_1(b_o+x_i{\mathrm{\&beta;}}_o)\\ Q_i={\mathrm{\&rho;}}_2{a}_0-{\mathrm{\&rho;}}_3{\mathrm{\&beta;}}_0\\ M_i={\mathrm{\&rho;}}_4{\mathrm{\&beta;}}_0-{\mathrm{\&rho;}}_3{a}_0\end{array}\right\}---\left(36\right)$

将式(33)、式(34)和式(35)的计算结果代入式(36)，即可算出倒阶梯形变截面群桩基础任意一根基桩的桩顶的荷载。

Claims (5)

1.倒阶梯形变截面群桩基础基桩荷载分配简化方法，其特征在于，首先，进行计算假设：

(1)桩与土共同作用，不计桩土之间的摩擦力和黏粘力，桩与桩侧土受力前后始终密贴；

(2)外荷载作用下，桩基础仅产生小变形，即桩在局部冲刷线处的变位小于6mm，桩及桩侧土均为弹性介质，且土的应力应变关系符合文克尔假定；

(3)承台为刚体，桩头嵌固，承台与桩为刚性联结，承台变形时桩位不变，桩顶转角与承台相同；

接着按照以下步骤进行：

步骤1，确定桩侧土体地基比例系数m值；

步骤2，确定基桩的计算宽度b₁；

步骤3，计算基桩的变形系数a值；

步骤4，按照现行规范多排桩内力计算方法计算倒阶梯形变截面群桩各桩桩顶所承受的荷载P_i、Q_i和M_i；其中P_i为第i根基桩桩顶的竖向荷载，Q_i为第i根基桩桩顶的水平向荷载，M_i为第i根基桩桩顶的弯矩。

2.根据权利要求1所述的倒阶梯形变截面群桩基础基桩荷载分配简化方法，其特征在于，所述步骤1，桩侧土体地基比例系数m值的计算方法如下：

地基土水平抗力系数的比例系数m值通过桩的水平静载试验确定，未进行基桩的水平静载试验的，采用规范提供的经验值：

(1)由于桩的水平荷载与位移关系是非线性的，即m值随荷载与位移增大而有所减小，因此，m值的确定要与桩的实际荷载相适应；在地面处最大位移不超过10mm，对位移敏感的结构、桥梁工程为6mm；

(2)桩周土体对抵抗水平力所起的作用与其本身的变形有关：土体压缩得越厉害，其抗力发挥的程度越大，自桩顶向下，桩在水平方向的变形越来越小；因此当基桩侧面由几种土层组成时，从地面或局部冲刷线起，求得影响深度h_m米范围内的平均m值作为整个深度内的m值；

h_m＝2(d₁+1)，且h_m≤h(1)

式中：h_m——桩身挠曲主影响影响深度；

d₁——倒阶梯形桩上段直径；

h——桩长；

对于刚性桩，h_m＝h；

①当h_m≤l₁时：

$m=\frac{m_1{h}_1^2+m_2(2h_1+h_2)h_2}{h_m^2}---\left(2\right)$

式中：m——双层地基当量地基比例系数；

h₁——桩侧自地面或局部冲刷线起第一层土的厚度；

m₁——第一层土的地基比例系数；

h₂——影响深度范围内第二层土的厚度；

m₂——第二层土的地基比例系数；

②当h_m>l₁时：

$m=\frac{m_1{h}_1^2+m_2(2h_1+h_2)h_2+m_3(2h_1+2h_2+h_3)h_3}{h_m^2}---\left(3\right)$

式中：m₃——直径为d₂基桩部分的当量地基比例系数，

h₃——影响深度范围内直径为d₂的桩长。

3.根据权利要求1所述的倒阶梯形变截面群桩基础基桩荷载分配简化方法，其特征在于，所述步骤2中基桩的宽度b₁计算方法如下：

b₁＝0.9·k(d+1)(4)

$d=\frac{l_1{d}_1+l_2{d}_2}{l_1+l_2}---\left(5\right)$

对单排桩或L₁≥0.6h₁的多排桩：

k＝1.0(6)

对L₁<0.6h₁的多排桩：

$k=b_2+\frac{1-b_2}{0.6}\&CenterDot;\frac{L_1}{h_1}---\left(7\right)$

式中：L₁——与外力作用方向平行的一排桩的桩间净距；

h₁——地面或局部冲刷线以下桩柱的计算埋入深度，按下式计算，但h₁值不得大于桩的入土深度h，h₁＝3(d+1)m；

d——桩的当量直径，单位m；

d₁、d₂——变截面桩上、下段的直径；

l₁、l₂——地面或局部冲刷线下3(d+1)m范围内变截面桩上、下段的桩长，如果均为大直径段，则l₂＝0；

b₂——根据与外力作用方向平行的所验算的一排桩的桩数n而定的系数，当n＝1时b₂＝1，当n＝2时b₂＝0.6，当n＝3时b₂＝0.5，当n≥4时b₂＝0.45；

为了不致使计算宽度发生重叠现象，要求计算得出的b₁≤2d。

4.根据权利要求1所述的倒阶梯形变截面群桩基础基桩荷载分配简化方法，其特征在于，所述步骤3中基桩的变形系数a值计算方法如下：

(1)变截面桩的等效转动惯量I_x，

首先将变截面桩根据刚度相等的原则等效为等截面桩；由于桩身受弯变形主要集中在桩的上部，考虑到基桩计算宽度计算相互影响系数时主要考虑地面或局部冲刷线以下3(d+1)m范围内的土体，对桩等效时也先考虑这部分范围，同时考虑桩在地面或局部冲刷线以上部分的桩长，则计算桩长：

L＝l₀+3(d+1)(8)

式中：l₀——为地面或局部冲刷线以上部分的桩长；

根据基本假设，将桩等效为上下两端固定的等截面梁；取近似挠度曲线函数为：

$y=a_1(1-cos\frac{2\mathrm{\&pi;}x}{L})---\left(9\right)$

则：

$y^{\&prime;}=a_1\frac{2\mathrm{\&pi;}}{L}sin\frac{2\mathrm{\&pi;}x}{L}---\left(10\right)$

$y^{\&Prime;}=a_1\frac{4{\mathrm{\&pi;}}^2}{L^2}cos\frac{2\mathrm{\&pi;}x}{L}---\left(11\right)$

根据刚度等效原则，得：

$\begin{array}{c}{\mathrm{EI}}_1{\&Integral;}_0^{cL}{\left(a_1\frac{4{\mathrm{\&pi;}}^2}{L^2}\cos \frac{2\mathrm{\&pi;}x}{L}\right)}^{2}dx+{\mathrm{nEI}}_1{\&Integral;}_{cL}^L{\left(a_1\frac{4{\mathrm{\&pi;}}^2}{L^2}\cos \frac{2\mathrm{\&pi;}x}{L}\right)}^{2}dx\\ ={\mathrm{EI}}_x{\&Integral;}_0^L{\left(a_1\frac{4{\mathrm{\&pi;}}^2}{L^2}\cos \frac{2\mathrm{\&pi;}x}{L}\right)}^{2}dx\end{array}---\left(12\right)$

对其积分后求得：

$I_x=\&lsqb;\frac{1}{4\mathrm{\&pi;}}(1-n)sin4c\mathrm{\&pi;}+c+n(1-c)\&rsqb;I_1---\left(13\right)$

$n=\frac{I_2}{I_1}=\frac{d_2^4}{d_1^4}---\left(14\right)$

$c=\frac{l_1}{L}---\left(15\right)$

式中：I_x——桩身等效转动惯量；

I₁——地面或局部冲刷线下3(d+1)m范围内上段大直径桩身的转动惯量；

(2)桩土变形系数a：

$a=\sqrt[5]{\frac{{\mathrm{mb}}_1}{{\mathrm{EI}}_x}}---\left(16\right)$

式中：E——桩身混凝土弹性模量，取0.8E_c。

5.根据权利要求1所述的倒阶梯形变截面群桩基础基桩荷载分配简化方法，其特征在于，所述步骤4中倒阶梯形变截面群桩各桩桩顶所承受的荷载P_i、Q_i和M_i的计算方法为：

变截面桩等效为等截面桩，用现行等截面多排群桩基础的计算方法计算桩顶荷载，把多排桩的问题化成单排桩；

(1)承台变位及桩顶变位：

假设承台为一绝对刚性体，现以承台底面中心点O作为承台位移的代表点，O点在外荷载N、H、M作用下产生横轴向位移a₀、竖向位移b₀及转角β₀，其中a₀、b₀以坐标轴正向为正，β₀以顺时针转动为正；

桩顶嵌固于承台内，当承台在外荷载作用下产生变位时，各桩顶之间的相对位置不变，各桩桩顶的转角与承台的转角相等；设第i排桩桩顶与承台联结处沿x轴方向的线位移为a_i0，z轴方向的线位移为b_i0，桩顶转角为β_i0，则有如下关系式：

$\left.\begin{array}{c}{a}_{io}=a_o\\ b_{io}=b_o+x_i{\mathrm{\&beta;}}_o\\ {\mathrm{\&beta;}}_{io}={\mathrm{\&beta;}}_o\end{array}\right\}---\left(17\right)$

式中：x_i——第i排桩桩顶轴线至承台中心的水平距离；

若基桩为斜桩，有三种位移；设b_i为第i排桩桩顶处沿桩轴线方向的轴向位移，a_i为垂直于桩轴线的横轴向位移，β_i为桩轴线的转角，根据投影关系则有：

$\left.\begin{array}{c}{a}_i=a_{io}{\mathrm{cos\&alpha;}}_i-b_{io}{\mathrm{sin\&alpha;}}_i\\ =a_0{\mathrm{cos\&alpha;}}_i-(b_0+x_i{\mathrm{\&beta;}}_0){\mathrm{sin\&alpha;}}_i\\ b_i=a_{io}{\mathrm{sin\&alpha;}}_i+b_{io}{\mathrm{cos\&alpha;}}_i\\ =a_0{\mathrm{sin\&alpha;}}_i+(b_0+x_i{\mathrm{\&beta;}}_0){\mathrm{cos\&alpha;}}_i\\ {\mathrm{\&beta;}}_i={\mathrm{\&beta;}}_{io}={\mathrm{\&beta;}}_0\end{array}\right\}---\left(18\right)$

(2)单桩桩顶的刚度系数ρ_AB：

设第i根桩桩顶作用有竖向荷载P_i、水平向荷载Q_i、弯矩M_i，单桩桩顶的刚度系数定义为：

a.当第i根桩桩顶处仅产生单位轴向位移，即b_i＝1时，在桩顶引起的轴向力为ρ₁；

b.当第i根桩桩顶处仅产生单位横轴向位移，即a_i＝1时，在桩顶引起的横轴向力为ρ₂；

c.当第i根桩桩顶处仅产生单位横轴向位移，即a_i＝1时，在桩顶引起的弯矩为ρ₃；或当桩顶仅产生单位转角，即β_i＝1时，在桩顶引起的横轴向力为ρ₃；

d.当第i根桩桩顶处仅产生单位转角，即β_i＝1时，在桩顶引起的弯矩为ρ₄；

由此，第i根桩桩顶变位所引发的桩顶内力分别为：

$\left.\begin{array}{c}{P}_i={\mathrm{\&rho;}}_1{b}_i={\mathrm{\&rho;}}_1\&lsqb;{\mathrm{\&alpha;}}_o{\mathrm{sin\&alpha;}}_i+(b_o+x_i{\mathrm{\&beta;}}_o){\mathrm{cos\&alpha;}}_i\&rsqb;\\ Q_i={\mathrm{\&rho;}}_2{a}_i-{\mathrm{\&rho;}}_{\text{3}}{\mathrm{\&beta;}}_{\text{i}}\text{=}{\mathrm{\&rho;}}_2\&lsqb;{\mathrm{\&alpha;}}_o{\mathrm{cos\&alpha;}}_i\text{-}(b_o+x_i{\mathrm{\&beta;}}_o){\mathrm{sin\&alpha;}}_i\&rsqb;-{\mathrm{\&rho;}}_3{\mathrm{\&beta;}}_o\\ M_i={\mathrm{\&rho;}}_4{\mathrm{\&beta;}}_i-{\mathrm{\&rho;}}_3{a}_i={\mathrm{\&rho;}}_4{\mathrm{\&beta;}}_o-{\mathrm{\&rho;}}_3\&lsqb;{\mathrm{\&alpha;}}_o{\mathrm{cos\&alpha;}}_i\text{-}(b_o+x_i{\mathrm{\&beta;}}_o){\mathrm{sin\&alpha;}}_i\&rsqb;\end{array}\right\}---\left(19\right)$

因此，只要能解出a_o、b_o、β_o及ρ₁、ρ₂、ρ₃、ρ₄，就可以由上式求得P_i、Q_i和M_i，从而利用单桩方法求出基桩的内力；

①ρ₁，即ρ_pp的求解：

桩顶承受轴向力P而产生的轴向位移包括桩身材料的弹性压缩变形δ_c及桩底处地基土的沉降δ_k两部分；在对桩侧摩阻力作理想化假设之后，可得到：

${\mathrm{\&delta;}}_c=\frac{l_o+\mathrm{\&xi;}h}{EA}\&CenterDot;P---\left(20\right)$

设外力在桩底平面处的作用面积为A₀，则根据文克尔假定得：

${\mathrm{\&delta;}}_k=\frac{P}{C_o{A}_o}---\left(21\right)$

由此得桩顶的轴向变形b_i为

$b_i={\mathrm{\&delta;}}_c+{\mathrm{\&delta;}}_k=\frac{P(l_o+\mathrm{\&xi;}h)}{AE}+\frac{P}{C_o{A}_o}---\left(22\right)$

令上式中b_i＝1，所求得的P即为ρ₁；

${\mathrm{\&rho;}}_1=\frac{1}{\frac{l_o+\mathrm{\&xi;}h}{AE}+\frac{1}{C_o{A}_o}}---\left(23\right)$

式中：ξ——系数，变截面桩取ξ＝1/2；

A——桩身横截面面积；

E——桩身材料的受压弹性模量；

C₀——桩底平面处地基土的竖向地基系数，C₀＝m₀h；

A₀——单桩桩底压力分布面积，即桩侧摩阻力以扩散到桩底时的面积，取下列二式计算值的较小者；

$A_0=\frac{\mathrm{\&pi;}}{4}{S}^2---\left(25\right)$

式中：桩周各土层内摩擦角的加权平均值；

d₁——变截面桩在泥面处的直径；

S——桩的中心距；

②ρ₂、ρ₃、ρ₄的求解：

根据弹性地基梁理论，得

ρ₂＝α³EI_xx_Q

ρ₃＝α²EI_xx_m

ρ₄＝αEI_xφ_m

x_Q、x_m、无量纲系数，均是及的函数，查表1、表2、表3确定；

表1多排桩计算ρ₂系数x_Q

表2多排桩计算ρ₃系数x_M

表3多排桩计算ρ₄系数

(3)桩群刚度系数，

为了建立承台变位和荷载之间的关系，引入整个桩群的刚度系数，桩群的刚度系数共有9个，具体意义及算式如下：

当承台产生单位横轴向位移a₀＝1时，所有桩顶对承台作用的竖轴向反力之和、横轴向反力之和、反弯矩之和为γ_ba、γ_aa、γ_βa：

$\left.\begin{array}{c}{\mathrm{\&gamma;}}_{ba}=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}({\mathrm{\&rho;}}_1-{\mathrm{\&rho;}}_2){\mathrm{sin\&alpha;}}_i{\mathrm{cos\&alpha;}}_i\\ {\mathrm{\&gamma;}}_{aa}=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}({\mathrm{\&rho;}}_1{\sin }^2{\mathrm{\&alpha;}}_i+{\mathrm{\&rho;}}_2{\cos }^2{\mathrm{\&alpha;}}_i)\\ {\mathrm{\&gamma;}}_{\mathrm{\&beta;}a}=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}\&lsqb;({\mathrm{\&rho;}}_1-{\mathrm{\&rho;}}_2)x_i{\mathrm{sin\&alpha;}}_i{\mathrm{cos\&alpha;}}_i-{\mathrm{\&rho;}}_3{\mathrm{cos\&alpha;}}_i\&rsqb;\end{array}\right\}---\left(26\right)$

式中：n——桩的根数；

承台产生单位竖向位移时，b_o＝1，所有桩顶对承台作用的竖轴向反力之和、横轴向反力之和及反弯矩之和为γ_bb、γ_ab、γ_βb：

$\left.\begin{array}{c}{\mathrm{\&gamma;}}_{bb}=\underset{i=1}{\overset{n}{\&Sigma;}}({\mathrm{\&rho;}}_1{\cos }^2{\mathrm{\&alpha;}}_i+{\mathrm{\&rho;}}_2{\sin }^2{\mathrm{\&alpha;}}_i)\\ {\mathrm{\&gamma;}}_{ab}={\mathrm{\&gamma;}}_{ba}\\ {\mathrm{\&gamma;}}_{\mathrm{\&beta;}b}=\underset{i=1}{\overset{n}{\&Sigma;}}({\mathrm{\&rho;}}_1{\cos }^2{\mathrm{\&alpha;}}_i+{\mathrm{\&rho;}}_2{\sin }^2{\mathrm{\&alpha;}}_i)x_i+{\mathrm{\&rho;}}_3{\mathrm{sin\&alpha;}}_i\end{array}\right\}---\left(27\right)$

当承台绕坐标原点产生单位转角，即β_o＝1时，所有桩顶对承台作用的竖轴向反力之和、横轴向反力之和及反弯矩之和为γ_bβ、γ_aβ、γ_ββ：

$\left.\begin{array}{c}{\mathrm{\&gamma;}}_{b\mathrm{\&beta;}}={\mathrm{\&gamma;}}_{\mathrm{\&beta;}b}\\ {\mathrm{\&gamma;}}_{a\mathrm{\&beta;}}={\mathrm{\&gamma;}}_{\mathrm{\&beta;}a}\\ {\mathrm{\&gamma;}}_{\mathrm{\&beta;}\mathrm{\&beta;}}=\underset{i=1}{\overset{n}{\&Sigma;}}\&lsqb;({\mathrm{\&rho;}}_1{\cos }^2{\mathrm{\&alpha;}}_i+{\mathrm{\&rho;}}_2{\sin }^2{\mathrm{\&alpha;}}_i)x_i^2+2x_i{\mathrm{\&rho;}}_3{\mathrm{sin\&alpha;}}_i+{\mathrm{\&rho;}}_4\&rsqb;\end{array}\right\}---\left(28\right)$

(4)建立平衡方程，

根据结构力学的位移法，沿承台底面取脱离体；承台上作用的荷载和各桩顶的反力相平衡，列出位移法的方程如下：

联立求解上式可得承台位移a₀、b₀、β₀的数值；公式(29)中右端各项均为已知，从而可算得第i根桩桩顶的轴向力P_i、横轴向力Q_i及弯矩M_i；对于桥梁工程而言，基桩呈对称布置，且为竖直桩，此时γ_ab＝γ_ba＝γ_bβ＝γ_βb＝0，且α_i＝0，代入方程组(29)，可直接求出a₀、b₀和β₀：

$b_0=\frac{N}{{\mathrm{\&gamma;}}_{bb}}=\frac{N}{\underset{i=1}{\overset{n}{\&Sigma;}}{\mathrm{\&rho;}}_1}---\left(30\right)$

$a_0=\frac{{\mathrm{\&gamma;}}_{bb}H-{\mathrm{\&gamma;}}_{a\mathrm{\&beta;}}M}{{\mathrm{\&gamma;}}_{aa}{\mathrm{\&gamma;}}_{\mathrm{\&beta;}\mathrm{\&beta;}}-{\mathrm{\&gamma;}}_{a\mathrm{\&beta;}}^2}=\frac{(\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&rho;}}_4+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{x}_i^2{\mathrm{\&rho;}}_1)H+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&rho;}}_{3}M}{\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&rho;}}_2(\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&rho;}}_4+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{x}_i^2{\mathrm{\&rho;}}_3)-{\left(\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&rho;}}_3\right)}^2}---\left(31\right)$

${\mathrm{\&beta;}}_0=\frac{{\mathrm{\&gamma;}}_{aa}M-{\mathrm{\&gamma;}}_{a\mathrm{\&beta;}}H}{{\mathrm{\&gamma;}}_{aa}{\mathrm{\&gamma;}}_{\mathrm{\&beta;}\mathrm{\&beta;}}-{\mathrm{\&gamma;}}_{a\mathrm{\&beta;}}^2}=\frac{\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&rho;}}_{2}M+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&rho;}}_{3}H}{\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&rho;}}_2(\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&rho;}}_4+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{x}_i^2{\mathrm{\&rho;}}_1)-{\left(\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&rho;}}_3\right)}^2}---\left(32\right)$

当各桩的样式均相同时，即采用相同的变截面直径，且变径处的位置也相同，则

$b_0=\frac{N}{{\mathrm{n\&rho;}}_1}---\left(33\right)$

$a_0=\frac{({\mathrm{n\&rho;}}_4+{\mathrm{\&rho;}}_1\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{x}_i^2)H+{\mathrm{n\&rho;}}_{3}M}{{\mathrm{n\&rho;}}_2({\mathrm{n\&rho;}}_4+{\mathrm{\&rho;}}_1\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{x}_i^2)-n^2{\mathrm{\&rho;}}_3^2}---\left(34\right)$

${\mathrm{\&beta;}}_0=\frac{{\mathrm{n\&rho;}}_{2}M+{\mathrm{n\&rho;}}_{3}H}{{\mathrm{n\&rho;}}_2({\mathrm{n\&rho;}}_4+{\mathrm{\&rho;}}_1\underset{i=1}{\overset{n}{\&Sigma;}}{x}_i^2)-n^2{\mathrm{\&rho;}}_3^2}---\left(35\right)$

因为此时桩均为竖直且对称，式(19)写成

$\left.\begin{array}{c}{P}_i={\mathrm{\&rho;}}_1{b}_i={\mathrm{\&rho;}}_1(b_o+x_i{\mathrm{\&beta;}}_o)\\ Q_i={\mathrm{\&rho;}}_2{a}_0-{\mathrm{\&rho;}}_3{\mathrm{\&beta;}}_0\\ M_i={\mathrm{\&rho;}}_4{\mathrm{\&beta;}}_0-{\mathrm{\&rho;}}_3{a}_0\end{array}\right\}---\left(36\right)$

将式(33)、式(34)和式(35)的计算结果代入式(36)，即可算出倒阶梯形变截面群桩基础任意一根基桩的桩顶的荷载。