CN105021473A - 一种低温裂纹扩展性能表征与寿命估算的方法 - Google Patents

Abstract

一种低温裂纹扩展性能表征与寿命估算的方法，该方法有三大步骤：步骤一、通过恒载试验获得材料的低温裂纹扩展性能da/dN-ΔK曲线；步骤二、考虑低温对断裂门槛值的影响，对Walker公式进行修正，并结合二元线性回归理论拟合da/dN-ΔK曲面，构建低温裂纹扩展性能表征模型；步骤三、考虑了谱载下的迟滞效应影响，采用Willenborg-Chang模型和Miner线性累积损伤理论估算材料的低温谱载裂纹扩展寿命。本发明简单实用，仅需要低温环境下材料的恒载裂纹扩展性能曲线和实测飞行载荷谱，便可构建低温裂纹扩展性能表征模型，并估算谱载裂纹扩展寿命，具有重要学术意义和工程应用价值。

Description

一种低温裂纹扩展性能表征与寿命估算的方法

技术领域

本发明提供一种低温裂纹扩展性能表征与寿命估算的方法，属于金属结构疲劳断裂可靠性技术领域。

背景技术

在工程实际中，材料常会受到交变载荷的作用而产生损伤，出现疲劳裂纹；当损伤累积超过材料的容许限度时发生断裂失效，从而，对结构的安全性造成威胁。低温是材料使用过程中不可避免的环境因素，例如，航空器在某些地区的工作温度达到-50℃；液氮储存设备和低温超导材料的工作温度更是低于-250℃；低温环境下，材料的宏观性能和微观结构常发生改变，裂纹扩展行为也有所不同，因此，研究材料的低温裂纹扩展行为有重要的实际意义。目前，尚缺乏更为精确而实用的低温裂纹扩展性能表征模型和寿命估算方法，为此，发明了一种简单实用的低温裂纹扩展性能表征与寿命估算的方法，该方法仅需要低温环境下材料的恒载裂纹扩展性能曲线和实测飞行载荷谱，便可构建低温裂纹扩展性能表征模型，并估算材料的谱载裂纹扩展寿命，本发明具有重要学术意义和工程应用价值。

发明内容

1、目的：本发明目的是提供了一种低温裂纹扩展性能表征与寿命估算的方法，该方法具有所需计算参数少、计算简便、精度较高等特点，对于低温环境下材料的裂纹扩展性能和谱载寿命评估有重要价值。

2、技术方案：一种低温裂纹扩展性能表征与寿命估算的方法，该方法具体步骤如下：

步骤一、低温裂纹扩展性能da/dN-ΔK曲线

图1为中心裂纹拉伸M(T)试样的加载示意图，按照图1的加载形式和国家标准《金属材料疲劳裂纹扩展速率试验方法》(GB-T6398)，在低温环境下进行裂纹扩展试验。施加指定应力比R，观测并记录裂纹扩展过程中的左、右裂纹长度，并根据左、右裂纹长度计算平均裂纹扩展长度a，得到铝合金材料的恒载裂纹扩展a-N数据，采用割线法进行数据处理

$\frac{da}{dN}=(a_{i+1}-a_i)/(N_{i+1}-N_i)---\left(1\right)$

式中，a_i和a_i+1为临近两点的裂纹扩展长度，N_i和N_i+1为对应的扩展循环数。

按照国家标准GB-T6398的要求计算扩展过程中应力强度因子变程ΔK的值，对于M(T)试样，ΔK的表示方法为

$\mathrm{\Δ}K=\frac{\mathrm{\Δ}P}{B}\sqrt{\frac{\mathrm{\π}\mathrm{\α}}{2W}\sec \frac{\mathrm{\π}\mathrm{\α}}{2}}---\left(2\right)$

R＝S_min/S_max    (3)

$\mathrm{\&Delta;}P=\left\{\begin{array}{cc}{P}_{\max }-P_{\min },& R\&GreaterEqual;0\\ P_{\max },& R<0\end{array}\right.---\left(4\right)$

α＝2a/W     (5)

式中，P为交变载荷；α为尺寸系数；a为当前裂纹长度；W为试件宽度；B为试件厚度。由(1)至(5)，对试验数据进行处理，可以绘制材料的低温裂纹扩展性能da/dN-ΔK曲线(如图2所示)。

步骤二、低温裂纹扩展性能表征模型

表征材料裂纹扩展速率的Walker公式为

$\frac{da}{dN}=C_0{\left(\mathrm{\&Delta;}K\right)}^{n_0}{(1-R)}^{m_0}---\left(6\right)$

式中C₀、m₀和n₀为材料常数。在Walker公式基础上，考虑低温环境对材料断裂门槛值的作用，提出了表征低温裂纹扩展速率的修正Walker表达式

$\frac{da}{dN}=C_1{(\mathrm{\&Delta;}K-{\mathrm{\&Delta;K}}_{th,L})}^{n_1}{(1-R)}^{m_1}---\left(7\right)$

式中，C₁、m₁和n₁为材料常数；ΔK_th,L为拟合得到的低温断裂门槛值，体现了温度对扩展速率的影响。

对式(7)取对数，得到

Y＝a₁+a₂X₁+a₃X₂        (8)

式中，Y＝lg(da/dN)，a₁＝lgC₁，a₂＝n₁，a₃＝m₁，X₁＝lg(ΔK-ΔK_th,L)，X₂＝lg(1-R)，可见Y与X₁和X₂成线性关系。根据二元线性回归理论，式(8)中三参数a₁、a₂、a₃的拟合表达式为

$a_1=\stackrel{\&OverBar;}{y}-a_2{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_1-a_3{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_2---\left(9\right)$

$a_2=\frac{L_{12}{L}_{20}-L_{22}{L}_{10}}{L_{12}{L}_{21}-L_{11}{L}_{22}}---\left(10\right)$

$a_3=\frac{L_{21}{L}_{10}-L_{11}{L}_{20}}{L_{12}{L}_{21}-L_{11}{L}_{22}}---\left(11\right)$

式中

$\left.\begin{array}{c}\begin{array}{ccc}\stackrel{\&OverBar;}{y}=\frac{1}{l}\underset{i=1}{\overset{l}{\&Sigma;}}{y}_i& {\stackrel{\&OverBar;}{x}}_1=\frac{1}{l}\underset{i=1}{\overset{l}{\&Sigma;}}{x}_{1i}& {\stackrel{\&OverBar;}{x}}_2=\frac{1}{l}\underset{i=1}{\overset{l}{\&Sigma;}}{x}_{2i}\end{array}\\ \begin{array}{cc}{L}_{11}=\underset{i=1}{\overset{l}{\&Sigma;}}{(x_{1i}-{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_1)}^2& L_{22}=\underset{i=1}{\overset{l}{\&Sigma;}}{(x_{2i}-{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_2)}^2\end{array}\\ \begin{array}{cc}{L}_{12}=\underset{i=1}{\overset{l}{\&Sigma;}}(x_{1i}-{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_1)(x_{2i}-{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_2)& L_{21}=L_{12}\end{array}\\ \begin{array}{cc}{L}_{10}=\underset{i=1}{\overset{l}{\&Sigma;}}(x_{1i}-{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_1)(y_i-\stackrel{\&OverBar;}{y})& L_{20}=\underset{i=1}{\overset{l}{\&Sigma;}}(x_{2i}-{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_2)(y_i-\stackrel{\&OverBar;}{y})\end{array}\end{array}\right\}---\left(12\right)$

式(9)至式(11)是待定常数ΔK_th,L的函数，因此，需先求出ΔK_th,L，进而获得a₁、a₂和a₃。具体的求解方法如下：首先，令残差平方和函数

$Q\left({\mathrm{\&Delta;K}}_{th,L}\right)=\underset{i=1}{\overset{l}{\&Sigma;}}{(y_i-a_1-a_2{x}_{1i}-a_3{x}_{2i})}^2---\left(13\right)$

确定ΔK_th,L的取值范围

ΔK_th,L∈[0,ΔK_min)     (14)

式中ΔK_min＝min{ΔK₁,ΔK₂,…,ΔK_l}，其中ΔK_i(i＝1,2,…,l)为试验中应力强度因子变程取值。

之后，从ΔK_th,L的初始值0开始，给定取值步长Δ，按式(13)计算Q(ΔK_th,L)的值，寻求Q(ΔK_th,L)的最小值点对应的ΔK_th,L值。再由解得的ΔK_th,L值，按式(9)至式(11)得到a₁、a₂和a₃，最后获得

$C_1={10}^{(\stackrel{\&OverBar;}{y}-a_2{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_1-a_3{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_2)}---\left(15\right)$

$m_1=\frac{L_{21}{L}_{10}-L_{11}{L}_{20}}{L_{12}{L}_{21}-L_{11}{L}_{22}}---\left(16\right)$

$n_1=\frac{L_{12}{L}_{20}-L_{22}{L}_{10}}{L_{12}{L}_{21}-L_{11}{L}_{22}}---\left(17\right)$

从而，根据式(15)至式(17)并结合图2示出的试验数据，按照修正Walker表达式(7)可以拟合低温环境下材料的裂纹扩展性能da/dN-ΔK曲面(如图3所示)，曲面拟合结果能够有效地表征材料的裂纹扩展性能，并且更直观地反映了低温环境对扩展行为的影响。

步骤三、谱载裂纹扩展寿命估算

谱载试验采用实测载荷谱加载，图4示出了实测载荷系数谱，再乘以应力水平即为试验加载的实测载荷谱。谱载裂纹扩展试验存在迟滞效应，包括高载后残余压应力引起的高载迟滞效应，以及低载后残余拉应力引起的抵消迟滞效应等。考虑迟滞效应的影响，人们提出了Willenborg-Chang模型，得到了广泛地应用。Willenborg-Chang模型是以裂尖塑性区理论为基础，考虑断裂门槛值的影响表征材料的谱载裂纹扩展速率

$\frac{da}{dN}=\left\{\begin{array}{cc}{C}_i{\left({\mathrm{\&Delta;K}}_{eff}\right)}^{n_i}{(1-R_{eff})}^{m_i},& \mathrm{\&Delta;}K\&GreaterEqual;{\mathrm{\&Delta;K}}_{th}\\ 0,& \mathrm{\&Delta;}K<{\mathrm{\&Delta;K}}_{th}\end{array}\right.---\left(18\right)$

式中，C_i、m_i和n_i为材料常数(i＝0,1)；ΔK_eff和R_eff分别为谱载裂纹扩展中的有效应力强度因子变程和有效应力比；ΔK_th为材料断裂门槛值。在此基础上，将式(7)代入谱载裂纹扩展速率表达式(18)，整理并进行积分变换，可以得到基于修正Walker表达式的Willenborg-Chang模型的裂纹扩展寿命循环数N

$N={\&Integral;}_{a_0}^{a_c}\frac{1}{C_1{({\mathrm{\&Delta;K}}_{eff}-{\mathrm{\&Delta;K}}_{th,L})}^{n_1}{(1-R_{eff})}^{m_1}}da---\left(19\right)$

式中，a₀为初始裂纹长度，a_c为临界裂纹长度。

之后，采用Miner线性累积损伤理论估算材料的谱载裂纹扩展寿命，Miner理论的表示方法为

$T\&CenterDot;\underset{i=1}{\overset{l}{\&Sigma;}}\frac{n(s_{ai},s_{mi})}{N(s_{ai},s_{mi})}=1---\left(20\right)$

式中，(s_ai,s_mi),(i＝1,2,…,l)为载荷谱中的一组谱载应力循环；n(s_ai,s_mi)为应力循环(s_ai,s_mi)在载荷谱中出现的次数；N(s_ai,s_mi)为(s_ai,s_mi)单独作用下的裂纹扩展寿命循环数，由式(19)确定；T为预测的材料谱载裂纹扩展寿命周期。

再根据试验加载的实测载荷谱以及材料的裂纹扩展性能参数，由Miner线性累积损伤理论，计算每个载荷循环的疲劳损伤大小，如此循环往复，当损伤累积超过允许限度时裂纹扩展结束，此时对应的裂纹扩展寿命周期即为估算的低温谱载裂纹扩展寿命。

3、优点及功效：本发明提供了一种低温裂纹扩展性能表征与寿命估算的方法，其特点是简单实用，通过恒载试验获得材料的低温裂纹扩展性能da/dN-ΔK曲线；考虑低温对断裂门槛值的影响，在Walker公式基础上，提出了修正的裂纹扩展速率表达式，并结合二元线性回归理论拟合da/dN-ΔK曲面，构建低温裂纹扩展性能表征模型；最后，考虑了谱载下的迟滞效应影响，采用Willenborg-Chang模型和Miner线性累积损伤理论估算材料的低温谱载裂纹扩展寿命。

附图说明

图1为中心裂纹拉伸M(T)试样的加载示意图。

图2为低温裂纹扩展性能da/dN-ΔK曲线。

图3为低温裂纹扩展性能da/dN-ΔK曲面。

图4为实测载荷系数谱。

图5为本发明所述方法的流程图。

图中符号说明如下：

图1中的S为M(T)试样两端循环应力。

图2中的da/dN为材料的低温裂纹扩展速率，R为循环加载应力比，ΔK为应力强度因子变程。

图3中的da/dN为材料的低温裂纹扩展速率，R为循环加载应力比，ΔK为应力强度因子变程，K_m为应力强度因子均值。

图4中的横坐标为谱载裂纹扩展寿命周期，纵坐标为实测载荷谱系数。

具体实施方式

图5为本发明所述方法的流程框图，本发明分三步实现，具体为：

步骤一、低温裂纹扩展性能da/dN-ΔK曲线

图1为中心裂纹拉伸M(T)试样的加载示意图，按照图1的加载形式和国家标准《金属材料疲劳裂纹扩展速率试验方法》(GB-T6398)，在低温环境下进行裂纹扩展试验。施加指定应力比R，观测并记录裂纹扩展过程中的左、右裂纹长度，并根据左、右裂纹长度计算平均裂纹扩展长度a，得到铝合金材料的恒载裂纹扩展a-N数据，采用割线法进行数据处理

$\frac{da}{dN}=(a_{i+1}-a_i)/(N_{i+1}-N_i)---\left(1\right)$

式中，a_i和a_i+1为临近两点的裂纹扩展长度，N_i和N_i+1为对应的扩展循环数。

按照国家标准GB-T6398的要求计算扩展过程中应力强度因子变程ΔK的值，对于M(T)试样，ΔK的表示方法为

$\mathrm{\&Delta;}K=\frac{\mathrm{\&Delta;}P}{B}\sqrt{\frac{\mathrm{\&pi;}\mathrm{\&alpha;}}{2W}\sec \frac{\mathrm{\&pi;}\mathrm{\&alpha;}}{2}}---\left(2\right)$

R＝S_min/S_max      (3)

$\mathrm{\&Delta;}P=\left\{\begin{array}{cc}{P}_{\max }-P_{\min },& R\&GreaterEqual;0\\ P_{\max },& R<0\end{array}\right.---\left(4\right)$

α＝2a/W         (5)

式中，P为交变载荷；α为尺寸系数；a为当前裂纹长度；W为试件宽度；B为试件厚度。由(1)至(5)，对试验数据进行处理，可以绘制材料的低温裂纹扩展性能da/dN-ΔK曲线(如图2所示)。

步骤二、低温裂纹扩展性能表征模型

表征材料裂纹扩展速率的Walker公式为

$\frac{da}{dN}=C_0{\left(\mathrm{\&Delta;}K\right)}^{n_0}{(1-R)}^{m_0}---\left(6\right)$

式中C₀、m₀和n₀为材料常数。在Walker公式基础上，考虑低温环境对材料断裂门槛值的作用，提出了表征低温裂纹扩展速率的修正Walker表达式

$\frac{da}{dN}=C_1{(\mathrm{\&Delta;}K-{\mathrm{\&Delta;K}}_{th,L})}^{n_1}{(1-R)}^{m_1}---\left(7\right)$

式中，C₁、m₁和n₁为材料常数；ΔK_th,L为拟合得到的低温断裂门槛值，体现了温度对扩展速率的影响。

对式(7)取对数，得到

Y＝a₁+a₂X₁+a₃X₂       (8)

式中，Y＝lg(da/dN)，a₁＝lgC₁，a₂＝n₁，a₃＝m₁，X₁＝lg(ΔK-ΔK_th,L)，X₂＝lg(1-R)，可见Y与X₁和X₂成线性关系。根据二元线性回归理论，式(8)中三参数a₁、a₂、a₃的拟合表达式为

$a_1=\stackrel{\&OverBar;}{y}-a_2{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_1-a_3{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_2---\left(9\right)$

$a_2=\frac{L_{12}{L}_{20}-L_{22}{L}_{10}}{L_{12}{L}_{21}-L_{11}{L}_{22}}---\left(10\right)$

$a_3=\frac{L_{21}{L}_{10}-L_{11}{L}_{20}}{L_{12}{L}_{21}-L_{11}{L}_{22}}---\left(11\right)$

式中

$\left.\begin{array}{c}\begin{array}{ccc}\stackrel{\&OverBar;}{y}=\frac{1}{l}\underset{i=1}{\overset{l}{\&Sigma;}}{y}_i& {\stackrel{\&OverBar;}{x}}_1=\frac{1}{l}\underset{i=1}{\overset{l}{\&Sigma;}}{x}_{1i}& {\stackrel{\&OverBar;}{x}}_2=\frac{1}{l}\underset{i=1}{\overset{l}{\&Sigma;}}{x}_{2i}\end{array}\\ \begin{array}{cc}{L}_{11}=\underset{i=1}{\overset{l}{\&Sigma;}}{(x_{1i}-{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_1)}^2& L_{22}=\underset{i=1}{\overset{l}{\&Sigma;}}{(x_{2i}-{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_2)}^2\end{array}\\ \begin{array}{cc}{L}_{12}=\underset{i=1}{\overset{l}{\&Sigma;}}(x_{1i}-{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_1)(x_{2i}-{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_2)& L_{21}=L_{12}\end{array}\\ \begin{array}{cc}{L}_{10}=\underset{i=1}{\overset{l}{\&Sigma;}}(x_{1i}-{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_1)(y_i-\stackrel{\&OverBar;}{y})& L_{20}=\underset{i=1}{\overset{l}{\&Sigma;}}(x_{2i}-{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_2)(y_i-\stackrel{\&OverBar;}{y})\end{array}\end{array}\right\}---\left(12\right)$

式(9)至式(11)是待定常数ΔK_th,L的函数，因此，需先求出ΔK_th,L，进而获得a₁、a₂和a₃。具体的求解方法如下：首先，令残差平方和函数

$Q\left({\mathrm{\&Delta;K}}_{th,L}\right)=\underset{i=1}{\overset{l}{\&Sigma;}}{(y_i-a_1-a_2{x}_{1i}-a_3{x}_{2i})}^2---\left(13\right)$

确定ΔK_th,L的取值范围

ΔK_th,L∈[0,ΔK_min)      (14)

式中ΔK_min＝min{ΔK₁,ΔK₂,…,ΔK_l}，其中ΔK_i(i＝1,2,…,l)为试验中应力强度因子变程取值。

之后，从ΔK_th,L的初始值0开始，给定取值步长Δ，按式(13)计算Q(ΔK_th,L)的值，寻求Q(ΔK_th,L)的最小值点对应的ΔK_th,L值。再由解得的ΔK_th,L值，按式(9)至式(11)得到a₁、a₂和a₃，最后获得

$C_1={10}^{(\stackrel{\&OverBar;}{y}-a_2{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_1-a_3{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_2)}---\left(15\right)$

$m_1=\frac{L_{21}{L}_{10}-L_{11}{L}_{20}}{L_{12}{L}_{21}-L_{11}{L}_{22}}---\left(16\right)$

$n_1=\frac{L_{12}{L}_{20}-L_{22}{L}_{10}}{L_{12}{L}_{21}-L_{11}{L}_{22}}---\left(17\right)$

从而，根据式(15)至式(17)并结合图2示出的试验数据，按照修正Walker表达式(7)可以拟合低温环境下材料的裂纹扩展性能da/dN-ΔK曲面(如图3所示)，曲面拟合结果能够有效地表征材料的裂纹扩展性能，并且更直观地反映了低温环境对扩展行为的影响。

步骤三、谱载裂纹扩展寿命估算

谱载试验采用实测载荷谱加载，图4示出了实测载荷系数谱，再乘以应力水平即为试验加载的实测载荷谱。谱载裂纹扩展试验存在迟滞效应，包括高载后残余压应力引起的高载迟滞效应，以及低载后残余拉应力引起的抵消迟滞效应等。考虑迟滞效应的影响，人们提出了Willenborg-Chang模型，得到了广泛地应用。Willenborg-Chang模型是以裂尖塑性区理论为基础，考虑断裂门槛值的影响表征材料的谱载裂纹扩展速率

$\frac{da}{dN}=\{\begin{array}{cc}{C}_i{\left({\mathrm{\&Delta;K}}_{eff}\right)}^{n_i}{(1-R_{eff})}^{m_i},& \mathrm{\&Delta;}K\&GreaterEqual;{\mathrm{\&Delta;K}}_{th}\\ 0,& \mathrm{\&Delta;}K<{\mathrm{\&Delta;K}}_{th}\end{array}---\left(18\right)$

式中，C_i、m_i和n_i为材料常数(i＝0,1)；ΔK_eff和R_eff分别为谱载裂纹扩展中的有效应力强度因子变程和有效应力比；ΔK_th为材料断裂门槛值。在此基础上，将式(7)代入谱载裂纹扩展速率表达式(18)，整理并进行积分变换，可以得到基于修正Walker表达式的Willenborg-Chang模型的裂纹扩展寿命循环数N

$N={\&Integral;}_{a_0}^{a_c}\frac{1}{C_1{({\mathrm{\&Delta;K}}_{eff}-{\mathrm{\&Delta;K}}_{th,L})}^{n_1}{(1-R_{eff})}^{m_1}}da---\left(19\right)$

式中，a₀为初始裂纹长度，a_c为临界裂纹长度。

之后，采用Miner线性累积损伤理论估算材料的谱载裂纹扩展寿命，Miner理论的表示方法为

$T\&CenterDot;\underset{i=1}{\overset{l}{\&Sigma;}}\frac{n(s_{ai},s_{mi})}{N(s_{ai},s_{mi})}=1---\left(20\right)$

式中，(s_ai,s_mi),(i＝1,2,…,l)为载荷谱中的一组谱载应力循环；n(s_ai,s_mi)为应力循环(s_ai,s_mi)在载荷谱中出现的次数；N(s_ai,s_mi)为(s_ai,s_mi)单独作用下的裂纹扩展寿命循环数，由式(19)确定；T为预测的材料谱载裂纹扩展寿命周期。

再根据试验加载的实测载荷谱以及材料的裂纹扩展性能参数，由Miner线性累积损伤理论，计算每个载荷循环的疲劳损伤大小，如此循环往复，当损伤累积超过允许限度时裂纹扩展结束，此时对应的裂纹扩展寿命周期即为估算的低温谱载裂纹扩展寿命。

Claims (1)

1.一种低温裂纹扩展性能表征与寿命估算的方法，具有所需计算参数少、计算简便、精度较高等特点，该方法具体步骤如下：

步骤一、低温裂纹扩展性能da/dN-ΔK曲线

图1为中心裂纹拉伸M(T)试样的加载示意图，按照图1的加载形式和国家标准《金属材料疲劳裂纹扩展速率试验方法》(GB-T6398)，在低温环境下进行裂纹扩展试验。施加指定应力比R，观测并记录裂纹扩展过程中的左、右裂纹长度，并根据左、右裂纹长度计算平均裂纹扩展长度a，得到铝合金材料的恒载裂纹扩展a-N数据，采用割线法进行数据处理

$\frac{da}{dN}=(a_{i+1}-a_i)/(N_{i+1}-N_i)---\left(1\right)$

式中，a_i和a_i+1为临近两点的裂纹扩展长度，N_i和N_i+1为对应的扩展循环数。

按照国家标准GB-T6398的要求计算扩展过程中应力强度因子变程ΔK的值，对于M(T)试样，ΔK的表示方法为

$\mathrm{\&Delta;}K=\frac{\mathrm{\&Delta;}P}{B}\sqrt{\frac{\mathrm{\&pi;}\mathrm{\&alpha;}}{2W}\sec \frac{\mathrm{\&pi;}\mathrm{\&alpha;}}{2}}---\left(2\right)$

R＝S_min/S_max   (3)

$\mathrm{\&Delta;}P=\left\{\begin{array}{cc}{P}_{\max }-P_{\min },& R\&GreaterEqual;0\\ P_{\max },& R<0\end{array}\right.---\left(4\right)$

α＝2a/W   (5)

式中，P为交变载荷；α为尺寸系数；a为当前裂纹长度；W为试件宽度；B为试件厚度。由(1)至(5)，对试验数据进行处理，可以绘制材料的低温裂纹扩展性能da/dN-ΔK曲线(如图2所示)。

步骤二、低温裂纹扩展性能表征模型

表征材料裂纹扩展速率的Walker公式为

$\frac{da}{dN}=C_0{\left(\mathrm{\&Delta;}K\right)}^{n_0}{(1-R)}^{m_0}---\left(6\right)$

式中C₀、m₀和n₀为材料常数。在Walker公式基础上，考虑低温环境对材料断裂门槛值的作用，提出了表征低温裂纹扩展速率的修正Walker表达式

$\frac{da}{dN}=C_1{(\mathrm{\&Delta;}K-{\mathrm{\&Delta;K}}_{th,L})}^{n_1}{(1-R)}^{m_1}---\left(7\right)$ 式中，C₁、m₁和n₁为材料常数；ΔK_th,L为拟合得到的低温断裂门槛值，体现了温度对扩展速率的影响。

对式(7)取对数，得到

Y＝a₁+a₂X₁+a₃X₂   (8)

式中，Y＝lg(da/dN)，a₁＝lgC₁，a₂＝n₁，a₃＝m₁，X_1xlg(ΔK-ΔK_th,L)，X₂＝lg(1-R)，可见Y与X₁和X₂成线性关系。根据二元线性回归理论，式(8)中三参数a₁、a₂、a₃的拟合表达式为

$a_1=\stackrel{\&OverBar;}{y}-a_2{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_1-a_3{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_2---\left(9\right)$

$a_2=\frac{L_{12}{L}_{20}-L_{22}{L}_{10}}{L_{12}{L}_{21}-L_{11}{L}_{22}}---\left(10\right)$

$a_3=\frac{L_{21}{L}_{10}-L_{11}{L}_{20}}{L_{12}{L}_{21}-L_{11}{L}_{22}}---\left(11\right)$

式中

$\left.\begin{array}{c}\begin{array}{ccc}\stackrel{\&OverBar;}{y}=\frac{1}{l}\underset{i=1}{\overset{l}{\&Sigma;}}{y}_i& {\stackrel{\&OverBar;}{x}}_1=\frac{1}{l}\underset{i=1}{\overset{l}{\&Sigma;}}{x}_{1i}& {\stackrel{\&OverBar;}{x}}_2=\frac{1}{l}\underset{i=1}{\overset{l}{\&Sigma;}}{x}_{2i}\end{array}\\ \begin{array}{cc}{L}_{11}=\underset{i=1}{\overset{l}{\&Sigma;}}{(x_{1i}-{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_1)}^2& L_{22}=\underset{i=1}{\overset{l}{\&Sigma;}}{(x_{2i}-{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_2)}^2\end{array}\\ \begin{array}{cc}{L}_{12}=\underset{i=1}{\overset{l}{\&Sigma;}}(x_{1i}-{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_1)(x_{2i}-{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_2)& L_{21}=L_{12}\end{array}\\ \begin{array}{cc}{L}_{10}=\underset{i=1}{\overset{l}{\&Sigma;}}(x_{1i}-{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_1)(y_i-\stackrel{\&OverBar;}{y})& L_{20}=\underset{i=1}{\overset{l}{\&Sigma;}}(x_{2i}-{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_2)(y_i-\stackrel{\&OverBar;}{y})\end{array}\end{array}\right\}---\left(12\right)$

式(9)至式(11)是待定常数ΔK_th,L的函数，因此，需先求出ΔK_th,L，进而获得a₁、a₂和a₃。具体的求解方法如下：首先，令残差平方和函数

$Q\left({\mathrm{\&Delta;K}}_{th,L}\right)=\underset{i=1}{\overset{l}{\&Sigma;}}{(y_i-a_1-a_2{x}_{1i}-a_3{x}_{2i})}^2---\left(13\right)$

确定ΔK_th,L的取值范围

ΔK_th,L∈[0,ΔK_min)   (14)

式中ΔK_min＝min{ΔK₁,ΔK₂,…,ΔK_l}，其中ΔK_i(i＝1,2,…,l)为试验中应力强度因子变程取值。

之后，从ΔK_th,L的初始值0开始_x给定取值步长Δ，按式(13)计算Q(ΔK_th,L)的值，寻求Q(ΔK_th,L)的最小值点对应的ΔK_th,L值。再由解得的ΔK_th,L值，按式(9)至式(11)得到a₁、a₂和a₃，最后获得

$C_1={10}^{(\stackrel{\&OverBar;}{y}-a_2{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_{{}_1}-a_3{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_{{}_2})}---\left(15\right)$

$m_1=\frac{L_{21}{L}_{10}-L_{11}{L}_{20}}{L_{12}{L}_{21}-L_{11}{L}_{22}}---\left(16\right)$

$n_1=\frac{L_{12}{L}_{20}-L_{22}{L}_{10}}{L_{12}{L}_{21}-L_{11}{L}_{22}}---\left(17\right)$

从而，根据式(15)至式(17)并结合图2示出的试验数据，按照修正Walker表达式(7)可以拟合低温环境下材料的裂纹扩展性能da/dN-ΔK曲面(如图3所示)，曲面拟合结果能够有效地表征材料的裂纹扩展性能，并且更直观地反映了低温环境对扩展行为的影响。

步骤三、谱载裂纹扩展寿命估算

谱载试验采用实测载荷谱加载，图4示出了实测载荷系数谱，再乘以应力水平即为试验加载的实测载荷谱。谱载裂纹扩展试验存在迟滞效应，包括高载后残余压应力引起的高载迟滞效应，以及低载后残余拉应力引起的抵消迟滞效应等。考虑迟滞效应的影响，人们提出了Willenborg-Chang模型，得到了广泛地应用。Willenborg-Chang模型是以裂尖塑性区理论为基础，考虑断裂门槛值的影响表征材料的谱载裂纹扩展速率

$\frac{da}{dN}=\left\{\begin{array}{cc}{C}_i{\left({\mathrm{\&Delta;K}}_{eff}\right)}^{n_i}{(1-R_{eff})}^{m_i},& \mathrm{\&Delta;}K\&GreaterEqual;{\mathrm{\&Delta;K}}_{th}\\ 0,& \mathrm{\&Delta;}K<{\mathrm{\&Delta;K}}_{th}\end{array}\right.---\left(18\right)$

式中：C_i、m_i和n_i为材料常数(i＝0,1)；ΔK_eff和R_eff分别为谱载裂纹扩展中的有效应力强度因子变程和有效应力比；ΔK_th为材料断裂门槛值。在此基础上，将式(7)代入谱载裂纹扩展速率表达式(18)，整理并进行积分变换，可以得到基于修正Walker表达式的Willenborg-Chang模型的裂纹扩展寿命循环数N

$N={\&Integral;}_{a_0}^{a_c}\frac{1}{C_1{({\mathrm{\&Delta;K}}_{eff}-{\mathrm{\&Delta;K}}_{th,L})}^{n_1}{(1-R_{eff})}^{m_1}}da---\left(19\right)$

式中，a₀为初始裂纹长度，a_c为临界裂纹长度。

之后，采用Miner线性累积损伤理论估算材料的谱载裂纹扩展寿命，Miner理论的表示方法为

$T\&CenterDot;\underset{i=1}{\overset{l}{\&Sigma;}}\frac{n(s_{ai},s_{mi})}{N(s_{ai},s_{mi})}=1---\left(20\right)$

式中，(s_ai,s_mi),(i＝1,2,…,l)为载荷谱中的一组谱载应力循环；n(s_ai,s_mi)为应力循环(s_ai,s_mi)在载荷谱中出现的次数；N(s_ai,s_mi)为(s_ai,s_mi)单独作用下的裂纹扩展寿命循环数，由式(19)确定；T为预测的材料谱载裂纹扩展寿命周期。

再根据试验加载的实测载荷谱以及材料的裂纹扩展性能参数，由Miner线性累积损伤理论，计算每个载荷循环的疲劳损伤大小，如此循环往复，当损伤累积超过允许限度时裂纹扩展结束，此时对应的裂纹扩展寿命周期即为估算的低温谱载裂纹扩展寿命。

本发明提供了一种低温裂纹扩展性能表征与寿命估算的方法，其特点是简单实用，通过恒载试验获得材料的低温裂纹扩展性能da/dN-ΔK曲线；考虑低温对断裂门槛值的影响，在Walker公式基础上，提出了修正的裂纹扩展速率表达式，并结合二元线性回归理论拟合da/dN-ΔK曲面，构建低温裂纹扩展性能表征模型；最后，考虑了谱载下的迟滞效应影响，采用Willenborg-Chang模型和Miner线性累积损伤理论估算材料的低温谱载裂纹扩展寿命。