CN105005313A - 一种基于路径点规划的火星大气进入段预测制导方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开的一种基于路径点规划的火星大气进入段预测制导方法，涉及一种火星大气进入段预测制导方法，属于深空探测技术领域。本发明包括如下步骤：步骤1：建立探测器动力学模型；步骤2：引入路径点规划方法，通过规划路径点(e，sinγ)，使预测制导生成的进入轨迹能够满足过载约束条件；步骤3：求取制导指令σ_cmd；步骤4：每个制导周期重复步骤2、3，直至满足开伞条件。本发明首次将路径点规划引入预测制导中，以保证进入过程中飞行器始终满足路径约束，从而保证飞行器及乘员安全。本发明可用于火星大气进入段预测制导。

Description

一种基于路径点规划的火星大气进入段预测制导方法

技术领域

本发明涉及火星大气进入段预测制导方法，尤其涉及一种基于路径点规划的火星大气进入段预测制导方法，属于深空探测技术领域。

背景技术

在火星着陆探测任务中，不仅要满足着陆的精确性，还要保证着陆安全性。在火星进入、下降与着陆过程中，火星大气进入段是历时最久，探测器热防护系统工作条件最恶劣的一个阶段，保障其安全实施尤为重要。该阶段中，由于受到结构强度以及热防护系统的制约，进入段制导律的设计需要在保证着陆精度的同时，满足过载、热流等路径约束，从而保证任务的安全实施。

火星大气进入段现有制导方法主要分为标称轨迹法和预测制导法。其中，标称轨迹法可以通过设计标称轨迹来满足路径约束，进而保证进入段的安全性。预测制导法根据所预测的开伞位置偏差产生制导指令，从而对偏差加以校正。该方法能够实现较高的开伞位置精度，并且对初始再入条件不敏感，在火星进入制导方法研究领域受到广泛关注。现有火星大气进入段预测制导的相关文献对于保证进入段末端位置精度这一问题进行了较为充分的研究，而对满足路径约束这一问题需要做进一步研究。

为了保证火星大气进入段飞行的安全性，有必要针对预测制导法满足路径约束这一问题，设计一种能够同时保证着陆精度和相关约束的制导律。

发明内容

本发明公开的一种基于路径点规划的火星大气进入段预测制导方法，要解决的技术问题是使火星大气进入段预测制导方法在保障着陆精度的同时，能够在进入过程中满足路径约束，从而保证探测器及乘员安全。

本发明是通过下述技术方案实现的：

本发明公开的一种基于路径点规划的火星大气进入段预测制导方法，在已有火星大气进入段预测制导方法的基础上，引入路径点规划方法，从而使得该制导方法能够同时满足着陆精度与路径约束，从而保证探测器及乘员安全。

本发明公开的一种基于路径点规划的火星大气进入段预测制导方法，包括如下步骤：

步骤1、建立探测器动力学模型。具体方法为，

考虑火星自转影响的探测器对无量纲时间的三自由度无量纲进入动力学模型为，

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·}{s}=-\frac{v\cos \mathrm{\γ}}{r}\\ \stackrel{\·}{r}=v\sin \mathrm{\γ}\\ \stackrel{\·}{v}=-D-\left(\frac{\sin \mathrm{\γ}}{r^2}\right)\\ \stackrel{\·}{\mathrm{\γ}}=\frac{1}{v}\[L\cos \mathrm{\σ}+\left(v^2-\frac{1}{r}\right)\left(\frac{\cos \mathrm{\γ}}{r^2}\right)\]\end{array}\right.---\left(1\right)$

其中，s为剩余纵程，表征从探测器当前位置到目标开伞位置的火星表面大圆弧的距离，r为火星质心到探测器质心的距离，无量纲参数为火星半径R₀，v探测器相对于火星的速度，无量纲参数为其中g₀为火星表面重力加速度，γ为航迹角，σ为倾侧角，g为当地重力加速度，其无量纲参数为g₀。D和L分别阻力加速度和升力加速度：

$D=\frac{1}{2}{\mathrm{\ρv}}^2\frac{S}{m}{C}_D=q/\mathrm{\β},L=\frac{1}{2}{\mathrm{\ρv}}^2\frac{S}{m}{C}_L=D\·(L/D)---\left(2\right)$

其无量纲参数均为g₀，C_D和C_L分别为阻力系数和升力系数，S为探测器参考面积，m为探测器质量，q＝ρv²/2为动压，β＝m/SC_D为探测器弹道系数，L/D为探测器升阻比。火星大气密度ρ采用指数模型如公式(3)，

$\mathrm{\ρ}={\mathrm{\ρ}}_0\exp (-\frac{h-h_0}{h_s})---\left(3\right)$

其中ρ₀为参考密度，h₀为参考高度，h_s为大气密度标高。

步骤2：引入路径点规划方法，所述的路径点规划方法是指通过规划路径点(e，sinγ)，使预测制导生成的进入轨迹能够满足过载约束条件，进入段所需要满足的过载约束如下：

$n=\frac{\sqrt{L^2+D^2}}{g_E}\≤n_{max}---\left(4\right)$

其中，g_E为地球表面重力加速度，式(4)可以表达为下述形式式(5)，

$n=\frac{\sqrt{L^2+D^2}}{g_E}=C_{nD}D=\frac{C_{nD}}{2\mathrm{\β}}{\mathrm{\ρv}}^2=C_1{e}^{-\frac{h-h_0}{hs}}{v}^2---\left(5\right)$

其中， $C_{nD}=\sqrt{{(L/D)}^2+1}/g_E,$ C₁＝C_nDρ₀/2β。

步骤2.1：根据路径约束，确定路径点(e，sinγ)所需满足的物理条件。

为保证在进入段中飞行器满足路径约束，则在规划的路径点处需满足，

${\left(\frac{dr}{dv}\right)}_{tra}{|}_{(r,v)}={\left(\frac{dr}{dv}\right)}_{lf}{|}_{(r,v)}---\left(6\right)$

或

${\left(\frac{dv}{dr}\right)}_{tra}{|}_{(r,v)}={\left(\frac{dv}{dr}\right)}_{lf}{|}_{(r,v)}---\left(7\right)$

其中，(·)_tra|_(r,v)和(·)_lf|_(r,v)分别为在r-v空间内，飞行轨迹以及过载边界上在(r,v)点处的导数。根据进入动力学式(1)，有

${\left(\frac{dv}{dr}\right)}_{tra}=\frac{\stackrel{\·}{v}}{\stackrel{\·}{r}}=-\frac{D}{v\sin \mathrm{\γ}}-\frac{g}{v}=-\frac{n}{C_{nD}v\sin \mathrm{\γ}}-\frac{g}{v}---\left(8\right)$

根据式(5)，在过载边界上有

${\left(\frac{dv}{dr}\right)}_{lf}={\left(\frac{dv}{dh}\right)}_{lf}=\frac{v}{2h_s}---\left(9\right)$

则根据式(7)，有

$-\frac{n_{max}}{C_{nD}vsin\mathrm{\γ}}-\frac{g}{v}=\frac{v}{2h_s}---\left(10\right)$

定义进入段飞行器的比能量为，

$e=\frac{1}{r}-\frac{v^2}{2}---\left(11\right)$

则路径点可根据式(12)进行规划，

$e=h_s(\frac{n_{max}}{C_{nD}sin\mathrm{\γ}}+g)+\frac{1}{r}---\left(12\right)$

式(12)给出了轨迹与过载约束边界曲线曲率相同时的数学关系，但要使过载约束得到满足，还需保证在曲率相同时，轨迹不能位于过载边界下方。

在利用式(12)进行路径点规划时，必须首先确定能量e与航迹角正弦sinγ之间的关系，所述的能量e与航迹角正弦sinγ之间的关系通过步骤2.2加以确定。

步骤2.2：建立路径点(e，sinγ)所需满足的能量e与航迹角正弦sinγ的数学关系。

所述的能量e与航迹角正弦sinγ的数学关系根据工程需要确定，可以为公式(13)或二次曲线关系。

${\mathrm{sin\γ}}_{ref}=\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{sin\γ}}_0+\frac{{\mathrm{sin\γ}}_1-{\mathrm{sin\γ}}_0}{e_1-e_0}(e-e_0),e_0\≤e\≤e_1\\ {\mathrm{sin\γ}}_1+\frac{{\mathrm{sin\γ}}_2-{\mathrm{sin\γ}}_1}{e_2-e_1}(e-e_1),e_1\≤e\≤e_2\\ {\mathrm{sin\γ}}_2+\frac{{\mathrm{sin\γ}}_f-{\mathrm{sin\γ}}_2}{e_f-e_2}(e-e_2),e_2\≤e\≤e_f\end{array}\right.---\left(13\right)$

其中，(e₀,sinγ₀)和(e_f,sinγ_f)为sinγ-e空间(航迹角正弦-能量空间)内初始和末端点，(e₁,sinγ₁)和(e₂,sinγ₂)为路径规划算法需要确定的剖面控制点。为了保证在转折点处可导，在转折点处采用哈密尔顿插值算法。

由于在进入过程中，需要满足末端开伞位置约束式(14)

s(e_f)＝0             (14)

因此，sinγ-e剖面(航迹角正弦-能量剖面)需有单一可变量。为此，令

$\{\begin{array}{c}{\mathrm{\γ}}_1=\widehat{\mathrm{\γ}}-\mathrm{\Δ}\mathrm{\γ}\\ {\mathrm{\γ}}_2=\widehat{\mathrm{\γ}}+\mathrm{\Δ}\mathrm{\γ}\end{array}---\left(15\right)$

其中△γ为常数，为路径规划算法需要确定的变量。

步骤2.3：联立式(12)与(13)，即可求得路径点(e，sinγ)。

步骤3：求取制导指令σ_cmd。

在确定sinγ-e剖面(航迹角正弦-能量剖面)后，制导指令σ_cmd可由动力学方程(1)反解得到，

${\mathrm{cos\σ}}_{cmd}=\frac{1}{L}\[v{\stackrel{\·}{\mathrm{\γ}}}_{ref}-(\frac{v^2}{r}-g){\mathrm{cos\γ}}_{ref}\]---\left(16\right)$

其中，参考航迹角的导数由下述关系式(17)确定，

${\stackrel{\·}{\mathrm{\γ}}}_{ref}=\frac{1}{{\mathrm{cos\γ}}_{ref}}\frac{d{\mathrm{sin\γ}}_{ref}}{de}\frac{de}{dt}=\frac{Dv}{{\mathrm{cos\γ}}_{ref}}\frac{d{\mathrm{sin\γ}}_{ref}}{de}---\left(17\right)$

求得σ_cmd即为要求取的制导指令。

步骤4：每个制导周期重复步骤2、3，直至满足开伞条件。

有益效果：

本发明公开的一种基于路径点规划的火星大气进入段预测制导方法，首次将路径点规划引入预测制导中，以保证进入过程中飞行器始终满足路径约束，从而保证飞行器及乘员安全。

附图说明

图1为基于路径点规划的预测制导指令生成流程图。

图2为火星大气进入段r-v空间(火心距-速度空间)内路径约束条件下的可行域。

图3给出了采用路径点规划的预测制导方法在sinγ-e空间(航迹角正弦-能量空间)上的轨迹。

具体实施方式

为了更好的说明本发明的目的和优点，下面结合附图和实例对发明内容做进一步说明。

实施例1：

本实施例公开的一种基于路径点规划的火星大气进入段预测制导方法，包括如下步骤：

步骤1：建立探测器动力学模型。具体方法为，

考虑火星自转影响的探测器对无量纲时间的三自由度无量纲进入动力学模型为：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·}{s}=-\frac{v\cos \mathrm{\γ}}{r}\\ \stackrel{\·}{r}=v\sin \mathrm{\γ}\\ \stackrel{\·}{v}=-D-\left(\frac{\sin \mathrm{\γ}}{r^2}\right)\\ \stackrel{\·}{\mathrm{\γ}}=\frac{1}{v}\[L\cos \mathrm{\σ}+\left(v^2-\frac{1}{r}\right)\left(\frac{\cos \mathrm{\γ}}{r^2}\right)\]\end{array}\right.---\left(18\right)$

其中，s为剩余纵程，表征从探测器当前位置到目标开伞位置的火星表面大圆弧的距离，r为火星质心到探测器质心的距离，无量纲参数为火星半径R₀，v探测器相对于火星的速度，无量纲参数为其中g₀为火星表面重力加速度，γ为航迹角，σ为倾侧角，g为当地重力加速度，其无量纲参数为g₀。D和L分别阻力加速度和升力加速度：

$D=\frac{1}{2}{\mathrm{\ρv}}^2\frac{S}{m}{C}_D=q/\mathrm{\β},L=\frac{1}{2}{\mathrm{\ρv}}^2\frac{S}{m}{C}_L=D\·(L/D)---\left(19\right)$

其无量纲参数均为g₀，C_D和C_L分别为阻力系数和升力系数，S为探测器参考面积，m为探测器质量，q＝ρv²/2为动压，β＝m/SC_D为探测器弹道系数，L/D为探测器升阻比。火星大气密度ρ采用指数模型如公式(20)，

$\mathrm{\ρ}={\mathrm{\ρ}}_0\exp (-\frac{h-h_0}{h_s})---\left(20\right)$

其中ρ₀＝2×10^-4kg/m³为参考密度，h₀＝40000m为参考高度，h_s＝7500km为大气密度标高。

步骤2：引入路径点规划方法，所述的路径点规划方法是指通过规划路径点(e，sinγ)使预测制导生成的进入轨迹能够满足过载约束条件，进入段所需要满足的过载约束如下：

$n=\frac{\sqrt{L^2+D^2}}{g_E}\≤n_{max}---\left(21\right)$

其中，g_E＝9.81m/s²为地球表面重力加速度，(21)式可以表达为下述形式，

$n=\frac{\sqrt{L^2+D^2}}{g_E}=C_{nD}D=\frac{C_{nD}}{2\mathrm{\β}}{\mathrm{\ρv}}^2=C_1{e}^{-\frac{h-h_0}{hs}}{v}^2---\left(22\right)$

其中， $C_{nD}=\sqrt{{(L/D)}^2+1}/g_E,$ C₁＝C_nDρ₀/2β。

步骤2.1：根据路径约束，确定路径点(e，sinγ)所需满足的物理条件。

为保证在进入段中飞行器满足路径约束，则在规划的路径点处需满足，

${\left(\frac{dr}{dv}\right)}_{tra}{|}_{(r,v)}={\left(\frac{dr}{dv}\right)}_{lf}{|}_{(r,v)}---\left(23\right)$

或

${\left(\frac{dv}{dr}\right)}_{tra}{|}_{(r,v)}={\left(\frac{dv}{dr}\right)}_{lf}{|}_{(r,v)}---\left(24\right)$

其中，(·)_tra|_(r,v)和(·)_lf|_(r,v)分别为在r-v空间(火心距-速度空间)内，飞行轨迹以及过载边界上在(r,v)点处的导数。根据进入动力学式(18)，有

${\left(\frac{dv}{dr}\right)}_{tra}=\frac{\stackrel{\·}{v}}{\stackrel{\·}{r}}=-\frac{D}{vsin\mathrm{\γ}}-\frac{g}{v}=-\frac{n}{C_{nD}vsin\mathrm{\γ}}-\frac{g}{v}---\left(25\right)$

根据式(22)，在过载边界上有

${\left(\frac{dv}{dr}\right)}_{lf}={\left(\frac{dv}{dh}\right)}_{lf}=\frac{v}{2h_s}---\left(26\right)$

则根据式(24)，有

$-\frac{n_{max}}{C_{nD}vsin\mathrm{\γ}}-\frac{g}{v}=\frac{v}{2h_s}---\left(27\right)$

定义进入段飞行器的比能量

$e=\frac{1}{r}-\frac{v^2}{2}---\left(28\right)$

则路径点可根据下式进行规划

$e=h_s(\frac{n_{max}}{C_{nD}sin\mathrm{\γ}}+g)+\frac{1}{r}---\left(29\right)$

其中，1/r在路径点处可以近似看做常量，取为0.991。式(29)给出了轨迹与过载约束边界曲线曲率相同时的数学关系，但要使过载约束得到满足，还需保证在曲率相同时，轨迹不能位于过载边界下方。

在利用式(29)进行路径点规划时，必须首先确定能量e与航迹角正弦sinγ之间的关系，该关系通过步骤2.2加以确定。

步骤2.2：建立路径点(e，sinγ)所需满足的能量e与航迹角正弦sinγ的数学关系。

所述的能量e与航迹角正弦sinγ的数学关系根据工程需要确定，可以为公式(30)或二次曲线关系。

${\mathrm{sin\γ}}_{ref}=\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{sin\γ}}_0+\frac{{\mathrm{sin\γ}}_1-{\mathrm{sin\γ}}_0}{e_1-e_0}(e-e_0),e_0\≤e\≤e_1\\ {\mathrm{sin\γ}}_1+\frac{{\mathrm{sin\γ}}_2-{\mathrm{sin\γ}}_1}{e_2-e_1}(e-e_1),e_1\≤e\≤e_2\\ {\mathrm{sin\γ}}_2+\frac{{\mathrm{sin\γ}}_f-{\mathrm{sin\γ}}_2}{e_f-e_2}(e-e_2),e_2\≤e\≤e_f\end{array}\right.---\left(30\right)$

其中，(e₀,sinγ₀)和(e_f,sinγ_f)为sinγ-e空间(航迹角正弦-能量空间)内初始和末端点，(e₁,sinγ₁)和(e₂,sinγ₂)为路径规划算法需要确定的剖面控制点。为了保证在转折点处可导，在转折点处采用哈密尔顿插值算法。

由于在进入过程中，数值算法需要满足末端位置式(31)这一约束。

s(e_f)＝0                (31)

因此，sinγ-e剖面(航迹角正弦-能量剖面)需有单一可变量。为此，令，

$\{\begin{array}{c}{\mathrm{\γ}}_1=\widehat{\mathrm{\γ}}-\mathrm{\Δ}\mathrm{\γ}\\ {\mathrm{\γ}}_2=\widehat{\mathrm{\γ}}+\mathrm{\Δ}\mathrm{\γ}\end{array}---\left(32\right)$

其中△γ＝0.1为常数，为路径规划算法需要确定的变量。

步骤2.3：联立式(29)与(30)，即可求得路径点(e，sinγ)。

步骤3：求取制导指令σ_cmd。

在确定sinγ-e剖面(航迹角正弦-能量剖面)后，制导指令σ_cmd可有动力学方程(18)反解得到

${\mathrm{cos\σ}}_{cmd}=\frac{1}{L}\[v{\stackrel{\·}{\mathrm{\γ}}}_{ref}-(\frac{v^2}{r}-g){\mathrm{cos\γ}}_{ref}\]---\left(33\right)$

其中，参考航迹角的导数由下述关系确定

${\stackrel{\·}{\mathrm{\γ}}}_{ref}=\frac{1}{{\mathrm{cos\γ}}_{ref}}\frac{d{\mathrm{sin\γ}}_{ref}}{de}\frac{de}{dt}=\frac{Dv}{{\mathrm{cos\γ}}_{ref}}\frac{d{\mathrm{sin\γ}}_{ref}}{de}---\left(34\right)$

求得σ_cmd即为要求取的制导指令。

步骤4：每个制导周期重复步骤2、3，直至满足开伞条件。

图3给出了采用路径点规划的预测制导方法在sinγ-e空间(航迹角正弦-能量空间)上的轨迹。可以看出经过进入过程中的一次路径点规划，可以使飞行器在整个进入过程不违背路径约束。

本发明保护范围不仅局限于实施例，实施例用于解释本发明，凡与本发明在相同原理和构思条件下的变更或修改均在本发明公开的保护范围之内。

Claims (3)

1.一种基于路径点规划的火星大气进入段预测制导方法，其特征在于：在已有火星大气进入段预测制导方法的基础上，引入路径点规划方法，使得所述的制导方法能够同时满足着陆精度与路径约束，从而保证探测器及乘员安全。

2.如权利要求1所述的一种基于路径点规划的火星大气进入段预测制导方法，包括步骤1，

步骤1、建立探测器动力学模型；具体方法为，

考虑火星自转影响的探测器对无量纲时间的三自由度无量纲进入动力学模型为，

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·}{s}=-\frac{vcos\mathrm{\γ}}{r}\\ \stackrel{\·}{r}=vsin\mathrm{\γ}\\ \stackrel{\·}{v}=-D-\left(\frac{sin\mathrm{\γ}}{r^2}\right)\\ \stackrel{\·}{\mathrm{\γ}}=\frac{1}{v}\[Lcos\mathrm{\σ}+(v^2-\frac{1}{r})\left(\frac{cos\mathrm{\γ}}{r^2}\right)\]\end{array}\right.---\left(1\right)$

其中，s为剩余纵程，表征从探测器当前位置到目标开伞位置的火星表面大圆弧的距离，r为火星质心到探测器质心的距离，无量纲参数为火星半径R₀，v探测器相对于火星的速度，无量纲参数为其中g₀为火星表面重力加速度，γ为航迹角，σ为倾侧角，g为当地重力加速度，其无量纲参数为g₀；D和L分别为阻力加速度和升力加速度：

$D=\frac{1}{2}{\mathrm{\ρv}}^2\frac{S}{m}{C}_D=q/\mathrm{\β},L=\frac{1}{2}{\mathrm{\ρv}}^2\frac{S}{m}{C}_L=D\·(L/D)---\left(2\right)$

其无量纲参数均为g₀，C_D和C_L分别为阻力系数和升力系数，S为探测器参考面积，m为探测器质量，q＝ρv²/2为动压，β＝m/SC_D为探测器弹道系数，L/D为探测器升阻比；火星大气密度ρ采用指数模型如公式(3)，

$\mathrm{\ρ}={\mathrm{\ρ}}_0\exp (-\frac{h-h_0}{h_s})---\left(3\right)$

其中ρ₀为参考密度，h₀为参考高度，h_s为大气密度标高；

其特征在于：具体实现方法还包括步骤2、3、4，

步骤2：引入路径点规划方法，所述的路径点规划方法是指通过规划路径点(e，sinγ)，使预测制导生成的进入轨迹能够满足过载约束条件，进而保证探测器及乘员安全；

步骤3：求取制导指令σ_cmd；

在确定sinγ-e剖面(航迹角正弦-能量剖面)后，制导指令σ_cmd由动力学方程(1)反解得到，

${\mathrm{cos\σ}}_{cmd}=\frac{1}{L}\[v{\stackrel{\·}{\mathrm{\γ}}}_{ref}-(\frac{v^2}{r}-g){\mathrm{cos\γ}}_{ref}\]---\left(4\right)$

其中，参考航迹角的导数由下述关系式(19)确定，

${\stackrel{\·}{\mathrm{\γ}}}_{ref}=\frac{1}{{\mathrm{cos\γ}}_{ref}}\frac{{\mathrm{dsin\γ}}_{ref}}{de}\frac{de}{dt}=\frac{DV}{{\mathrm{cos\γ}}_{ref}}\frac{{\mathrm{dsin\γ}}_{ref}}{de}---\left(5\right)$

求得σ_cmd即为要求取的制导指令；

步骤4：每个制导周期重复步骤2、3，直至满足开伞条件。

3.根据权利要求2所述的一种基于路径点规划的火星大气进入段预测制导方法，其特征在于：所述的步骤2具体实现方法如下，

进入段所需要满足的过载约束如下：

$n=\frac{\sqrt{L^2+D^2}}{g_E}\≤n_{max}---\left(6\right)$

其中，g_E为地球表面重力加速度，式(6)可以表达为下述形式式(7)，

$n=\frac{\sqrt{L^2+D^2}}{g_E}=C_{nD}D=\frac{C_{nD}}{2\mathrm{\β}}{\mathrm{\ρv}}^2=C_1{e}^{-\frac{h-h_0}{hs}}{v}^2---\left(7\right)$

其中， $C_{nD}=\sqrt{{(L/D)}^2+1}/g_E,$ C₁＝C_nDρ₀/2β；

步骤2.1：根据路径约束，确定路径点(e，sinγ)所需满足的物理条件；

为保证在进入段中飞行器满足路径约束，则在规划的路径点处需满足，

${\left(\frac{dr}{dv}\right)}_{tra}{|}_{(r,v)}={\left(\frac{dr}{dv}\right)}_{lf}{|}_{(r,v)}---\left(8\right)$

或

${\left(\frac{dv}{dr}\right)}_{tra}{|}_{(r,v)}={\left(\frac{dv}{dr}\right)}_{lf}{|}_{(r,v)}---\left(9\right)$

其中，(·)_tra|_(r，v)和(·)_if|_(r，v)分别为在r-v空间内，飞行轨迹以及过载边界上在(r,v)点处的导数；根据进入动力学式(1)，有，

${\left(\frac{dv}{dr}\right)}_{tra}=\frac{\stackrel{\·}{v}}{\stackrel{\·}{r}}=-\frac{D}{vsin\mathrm{\γ}}-\frac{g}{v}=-\frac{n}{C_{nD}vsin\mathrm{\γ}}-\frac{g}{v}---\left(10\right)$

根据式(7)，在过载边界上有，

${\left(\frac{dv}{dr}\right)}_{lf}={\left(\frac{dv}{dh}\right)}_{lf}=\frac{v}{2h_s}---\left(11\right)$

则根据式(9)，有，

$-\frac{n_{max}}{C_{nD}vsin\mathrm{\γ}}-\frac{g}{v}=\frac{v}{2h_s}---\left(12\right)$

定义进入段飞行器的比能量为，

$e=\frac{1}{r}-\frac{v^2}{2}---\left(13\right)$

则路径点根据式(14)进行规划，

$e=h_s(\frac{n_{max}}{C_{nD}sin\mathrm{\γ}}+g)+\frac{1}{r}---\left(14\right)$

式(14)给出了轨迹与过载约束边界曲线曲率相同时的数学关系，但要使过载约束得到满足，还需保证在曲率相同时，轨迹不能位于过载边界下方；

在利用式(14)进行路径点规划时，必须首先确定能量e与航迹角正弦sinγ之间的关系，所述的能量e与航迹角正弦sinγ之间的关系通过步骤2.2加以确定；

步骤2.2：建立路径点(e，sinγ)所需满足的能量e与航迹角正弦sinγ的数学关系；

所述的能量e与航迹角正弦sinγ的数学关系根据工程需要确定，可以为公式(15)或二次曲线关系；

${\mathrm{sin\γ}}_{ref}=\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{sin\γ}}_0+\frac{{\mathrm{sin\γ}}_1-{\mathrm{sin\γ}}_0}{e_1-e_0}(e-e_0),e_0\≤e\≤e_1\\ {\mathrm{sin\γ}}_1+\frac{{\mathrm{sin\γ}}_2-{\mathrm{sin\γ}}_1}{e_2-e_1}(e-e_1),e_1\≤e\≤e_2\\ {\mathrm{sin\γ}}_2+\frac{{\mathrm{sin\γ}}_f-{\mathrm{sin\γ}}_2}{e_f-e_2}(e-e_2),e_2\≤e\≤e_f\end{array}\right.---\left(15\right)$

其中，(e₀,sinγ₀)和(e_f,sinγ_f)为sinγ-e空间(航迹角正弦-能量空间)内初始和末端点，(e₁,sinγ₁)和(e₂,sinγ₂)为路径规划算法需要确定的剖面控制点；为了保证在转折点处可导，在转折点处采用哈密尔顿插值算法；

由于在进入过程中，需要满足末端开伞位置约束式(16)

s(e_f)＝0   (16)

因此，sinγ-e剖面(航迹角正弦-能量剖面)需有单一可变量；为此，令

$\{\begin{array}{c}{\mathrm{\γ}}_1=\widehat{\mathrm{\γ}}-\mathrm{\Δ}\mathrm{\γ}\\ {\mathrm{\γ}}_2=\widehat{\mathrm{\γ}}+\mathrm{\Δ}\mathrm{\γ}\end{array}---\left(17\right)$

其中△γ为常数，为路径规划算法需要确定的变量；

步骤2.3：联立式(14)与(15)，即可求得路径点(e，sinγ)。