CN104994568A - 网络定位中基于联盟博弈的功率分配方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种网络定位中基于联盟博弈的功率分配方法。该功率分配方法主要包括如下过程：以几何精度因子作为定位精度的性能指标，在节点功率分配满足一定公平性原则的前提下，构建了基于联盟的无线传感器网络定位功率消耗优化模型，并给出了几何精度因子的具体表达式；针对几何精度因子值计算复杂的问题，通过设计联盟博弈的形成算法、求解该优化模型的效用函数，提出优化模型的改进模型。在保证定位精度的前提下，以双面双边测距协议为基础，提出了一种求解联盟和功率分配的分布式测量方法。本发明方法可应用于无线传感器网络定位阶段的功率分配优化问题。

Description

网络定位中基于联盟博弈的功率分配方法

技术领域

本发明涉及一种网络定位中基于联盟博弈的功率分配方法。

背景技术

物联网是在互联网基础上通过延伸和扩展至“物-物”之间的信息交互和通讯的新型网络。由于物联网中对“物”的信息感知和采集、跟踪、操控以及信息交互均与节点的地理位置信息紧密相关，故以实现精准位置信息获取的定位技术理所当然的成为了一个非常重要的研究课题，是物联网的重要技术基础。除此之外，许多其他技术往往也需借助定位技术获取物体的即时位置信息，由此衍生出了一系列基于位置信息的物联网应用。如在交通、物流等领域，由于目标物体的位置实时变化，感知设备采集的其他信息通常要与位置信息关联才有价值，“物”节点采集信息以及相应的信息交互过程都与节点位置信息密切相关，因此，定位技术也是智能交通、物流等领域的重要技术基础，并在这些领域得到了广泛的应用和发展。

无线传感器网络(Wireless Sensor Network，简称WSN)是将分散且独立的传感器节点通过无线方式连接起来组成的分布式网络，其中的每个网络节点分别通过双向无线传输与一个或多个传感器进行通信以完成各种参数的感知测量。一般的传感器节点包括传感器模块、处理器模块和无线通信模块，如图1所示。其中，传感器模块包括传感器和数据转换模块，传感器模块用于收集并实时检测环境中的数据，把模拟信号转换为数字信号；处理器模块包括处理器和存储器，用于保存并处理接收到的数据；传感器节点之间通过无线通信模块进行通信，完成信息的交互；传感器节点通常使用微型电池进行能量供应。

无线传感器网络作为物联网实现“全面感知”的重要技术手段，在物联网应用中发挥着非常重要的作用。无线传感器网络具有移动性、电池能量有限、通信带宽低、大规模部署、使用寿命有限等特点。无线传感器网络的工作原理可以描述如下：从网络中感应、测量和采集信息；基于相应的决策过程，把得到的信息传输到汇聚节点；然后由汇聚节点接收到的这些信息进行相应处理并转发给用户，为用户的操作提供数据支持。

无线传感器网络中的节点按照节点位置信息可以分为已知与未知两类。其中，已知位置的节点称为源节点或锚节点，位置未知的节点称为目标节点。锚节点的位置信息通常可以利用GPS等定位系统或其他方法预先确定，而目标节点的位置信息需要借助于锚节点的已知位置信息来估计。由于无线传感器网络的特点，在无线传感器网络实际应用中，往往只有少数功能较为强大的网络节点作为锚节点，其他节点均属于目标节点，因此确定无线传感器网络中目标节点的位置信息是无线传感器网络所需具备的一项基本功能。因为基于无线传感器网络的应用一般都需要知道传感器节点的位置信息，否则感知的对象信息常常无效，故目标节点的定位也是无线传感器网络各种应用的基础。

无线传感器网络中节点位置信息的估计可通过无线定位的方式来实现。无线定位是指利用无线电波信号的信号强度、到达角度、信号相位、信号传播延迟等特征参数并借助于适当的算法来获取物体在某种参考系中的位置信息。目前，在无线定位系统的定位算法、精度及其他性能方面的研究已经取得了一系列重要的研究成果，并在实际中得到了广泛的应用，取得了巨大的经济和社会效益。常用的无线定位系统有GPS定位系统、北斗定位系统、A-GPS定位系统、基于蜂窝基站的定位系统以及网络定位系统等。其中，网络定位尤其适合于无中心节点的网络结构，如无线传感器网络等，其特点是可基于少数已知位置信息的锚节点，通过逐步演进的方式，从而确定网络中其他目标节点的位置信息。

由于在大多数应用中，无线传感器网络的节点的能量来源主要来自于所装备的电池，能量及其有限，且很难实现对耗尽的电池进行更换，因此设计能耗高效的网络协议和算法一直是无线传感器网络研究的热点之一。在无线传感器网络节点实施位置信息估计时，不仅在进行节点间通信时需要耗费能量，而且在利用某种算法进行位置信息估计时也需要耗费能量。因此如何有效降低无线传感器网络节点在位置信息估计阶段的能耗，对于延长无线传感器网络的生存周期，进而促进无线传感器网络的实际部署应用具有重要的理论和实用价值。

发明内容

本发明的目的在于提出一种网络定位中基于联盟博弈的功率分配方法，该方法基于合作博弈论的方法，通过构建无线传感器网络定位时节点功率分配的优化模型、求解联盟和设计分布式测量方法，从而有效降低无线传感器网络节点位置信息估计阶段所需的能耗。

为了实现上述目的，本发明采用如下技术方案：

网络定位中基于联盟博弈的功率分配方法，包括如下步骤：

s1建立基于联盟的无线传感器网络定位功率消耗优化模型

定义联盟：设Ν＝{1,2,…N}表示传感网中的源节点集，其中N表示源节点的数目，Ν的任意一个非空子集称为Ν的一个联盟；只包含一个节点的联盟称为单联盟；

对于给定的Ν的一个联盟，可通过定义一个满足 $s_i=\left\{\begin{array}{cc}0,& i\∈S\\ 1,& i\∉S\end{array}\right.\∀i\∈N$ 的向量s∈{0,1}^N来表示；用于定位第k个目标节点的非空的源节点的集合是一个联盟，记为S_k；

定义联盟结构：设S_k1,S_k2,…,S_kn为n个联盟，如果满足则称{S_k1,S_k2,…,S_kn}为N的一个联盟结构；记Ν所有的联盟结构的集合为Τ；在无线传感器网络定位中，联盟S_k中的所有源节点通过发射包含自身位置信息的信号至第k个目标节点，设第i个源节点消耗的功率为p_i，其中p_i∈[0,P]，P为源节点的最大发射功率；设记录测量值所需的时间为T_s，故其消耗的能量为p_iT_s，所有网络节点进行一次测量所需耗费的能量为

基于联盟的无线传感器网络定位功率消耗优化模型可表示为：

$\begin{array}{ccc}\underset{\underset{Y\∈T}{p\∈{[0,P]}^N}}{\min }& \frac{\underset{S\∈Y}{\mathrm{\Σ}}\left(\underset{i\∈S}{\mathrm{\Σ}}{p}_i\right)}{N}& \\ s.t.& {\mathrm{GDOP}}_k\≤{\tilde{O}}_k& \∀k\∈K\\ & 0\≤p_i\≤{P^{\′}}_i& \∀i\∈N\end{array}---\left(1\right)$

其中，p＝(p₁,p₂…p_N)^T为功率的分配向量，目标函数是某个联盟结构中各节点所耗费的功率之和，是定位时所需满足的定位精度值，GDOP_k为对S_k联盟而说的几何精度因子，p'_i为第i个源节点分配得到的功率的上限；约束条件表明该联盟的几何精度因子不超过即定位误差控制在一定范围内；

假设节点组成了联盟结构Y,节点的功率分配向量为p，如果所有的传感器无法形成联盟使得节点的功率减小，则称功率分配向量p是公平的；因此功率分配向量p是公平的当且仅当其满足：

其中，对目标节点k预先设定的精度而言，G(S'_k)为S'_k中的最小功率：

$\begin{array}{c}G\left(S{\′}_k\right)=\underset{\{{p^{\′}}_i,i\∈{S^{\′}}_k\}}{\min }\underset{i\∈{S^{\′}}_k}{\mathrm{\Σ}}{p^{\′}}_i\\ \begin{array}{cc}s.t.& {\mathrm{GDOP}}_k\≤{\tilde{O}}_k\end{array}\end{array}---\left(3\right)$

如果可行集为空，则设G(S'_k)＝∞；在满足公平性条件即式(2)的前提下求解优化模型即式(1)可得到最优的功率分配方案；

s2几何精度因子的计算

假设一个目标节点通过含噪声的距离ρ_i的测量来估计它的位置，即：

${\mathrm{\ρ}}_i~N\left({\mathrm{\ρ}}_i\right(x),{\mathrm{\σ}}_{{\mathrm{\ρ}}_i}^2),---\left(4\right)$

其中，观察值的标准差依赖于TOA算法测量的标准差，即：

${\mathrm{\σ}}_{{\mathrm{\ρ}}_i}=\frac{c\·{\mathrm{\σ}}_{{\mathrm{TOA}}_i}}{4},---\left(5\right)$

其中，c为光速常量，为TOA测量中的标准差，因数4表示从源节点到目标节点两个来回，上述变量通过对称双面双向测距协议用来获得距离估计；

目标节点的位置通过最小二乘法估计得到，x表示目标节点的实际位置坐标，表示第i个源节点的坐标，目标节点的坐标估计值是使得均方差最小的坐标：

$\hat{x}=\arg \underset{x}{min}\left\{\underset{i\∈N}{\Σ}{({\mathrm{\ρ}}_i-||x-x_a^{\left(i\right)}|\left|\right)}^2\right\},---\left(6\right)$

这个优化问题基于一个摩尔－彭若斯广义逆矩阵的闭合解为：

$\tilde{x}={\left(H^{T}H\right)}^{-1}{H}^{T}b,---\left(7\right)$

其中，N维向量b定义为：

b＝[ρ₁-ρ₁(x⁰),…ρ_N-ρ_N(x⁰)]^T,         (8)

N*2阶矩阵Η为：

$H={\left(\begin{array}{cc}\frac{x_a^{\left(1\right)}-x}{{\mathrm{\ρ}}_1\left(x\right)}& \frac{y_a^{\left(1\right)}-y}{{\mathrm{\ρ}}_1\left(x\right)}\\ \frac{x_a^{\left(2\right)}-x}{{\mathrm{\ρ}}_2\left(x\right)}& \frac{y_a^{\left(2\right)}-y}{{\mathrm{\ρ}}_2\left(x\right)}\\ \·& \·\\ \·& \·\\ \·& \·\\ \frac{x_a^{\left(N\right)}-x}{{\mathrm{\ρ}}_N\left(x\right)}& \frac{y_a^{\left(N\right)}-y}{{\mathrm{\ρ}}_N\left(x\right)}\end{array}\right)|}_{x=x^0},---\left(9\right)$

其中，N为源节点集合Ν的基数，即对目标节点测量的次数；求解式(7)需要初始化未知的目标节点坐标，记作x⁰；式(7)中的最小二乘解与以下方差矩阵有关：

$C_{\hat{x}}={\left(H^T{\mathrm{\Σ}}^{-1}H\right)}^{-1},---\left(10\right)$

其中，对角矩阵∑为：

$\mathrm{\Σ}=diag({\mathrm{\σ}}_{{\mathrm{\ρ}}_1}^2,...{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\ρ}N}^2)---\left(11\right)$

式(11)等式右边括号内的各个参数是式(3)中每一次距离测量时的方差；

几何精度因子定义如下：

$GDOP=\sqrt{Tr\left\{{\left(H^T{\mathrm{\Σ}}^{-1}H\right)}^{-1}\right\}},---\left(12\right)$

其中Tr{·}表示迹算子，平均的克拉姆-拉奥下界的计算公式为以下不等式右侧的表达式：

${\mathrm{\σ}}_{{\mathrm{\ρ}}_i}=K_i\sqrt{\frac{c^2{N}_0}{16{\mathrm{\π}}^2{\mathrm{BT}}_S{f}_c^2{L}_i{p}_i}}\≥\sqrt{\frac{c^2{N}_0}{16{\mathrm{\π}}^2{\mathrm{BT}}_S{f}_c^2{L}_i{p}_i}},---\left(13\right)$

其中，B是信号带宽，T_s是信号的持续时间，f_c是中心频率，L_i＝(λ/4πρ_i)²是路径损失，ρ_i为距离，λ为频率，p_i是第i个源节点的传输功率，N₀是噪声的密度；

s3联盟博弈的形成算法

一个目标节点和多个源节点的无线传感网中源节点联盟的形成算法如下：

考虑只有一个目标节点的情况，联盟S中的所有源节点用于发射信号至该目标节点，将所有的源节点都加入到联盟S中，即源节点数量a＝N,对所有的源节点进行传输功率的分配求最优分配，当一个源节点分配到的功率等于0时表示该源节点不在该联盟中，即可求得定位该目标节点的源节点的联盟，这时候相当于所有的源节点组成了一个大联盟；这时候的源节点功率分配问题可用一个三元组Γ(Ν，Ρ，υ)来表示，其中各元素表示如下：

(1)Ν是N个博弈对象的集合，即无线传感网中的源节点的联盟；

(2)Ρ是博弈的策略集，是所采用的功率分配策略，即各源节点的功率分配，其中第i个源节点消耗的功率为p_i，p_i∈[0,P]，P为节点的最大发射功率限制，令P_-i表示除了第i个源节点以外的其他源节点的功率分配；

(3)v_i是第i个源节点的效用函数，表示对给定的功率分配策略，第i个源节点的收益，υ＝{v_i}_i∈Ν是N个源节点效用函数的集合；

用几何精度因子GDOP的绝对值和第i个源节点分配到的功率值p_i来表示效用函数；定义以下的效用函数以满足上述变量之间的变化关系：

$v_i(p_i,p_{-i})=\frac{A}{(1-\mathrm{\α})\sqrt{g\left(p\right)}+{\mathrm{\αp}}_i}---\left(14\right)$

其中，0≤α≤1表示在功率和误差之间的权衡，即功率对效用函数的影响所占的比例，每一个源节点均通过自身的电池的状态控制这个参数的值；A≥1表示对效用函数的值的修正，g(p)＝(GDOP(p))²表示GDOP的平方；博弈的类型是通过效用函数定义的，如果效用函数满足超模性，则该博弈就可以称为超模博弈；

s4联盟博弈的扩展

当联盟内有多个目标节点，效用函数和特征函数有所不同；依然考虑三元组Γ(Ν，Ρ，υ)，此时效用函数如下式(15)，此时效用函数依然满足超模性；

$v_i(p_i,p_{-i})=\frac{A}{(1-\mathrm{\α})\sqrt{\frac{\underset{j=1}{\overset{M}{\Σ}}{g}_j\left(p\right)}{M}}+{\mathrm{\αp}}_i},---\left(15\right)$

s5改进的优化模型

通过把效用函数作为目标函数来改写式(1)，即可得如下优化模型：

$\begin{array}{ccc}\underset{\underset{Y\∈T}{p\∈{[0,P]}^N}}{\max }& \frac{\underset{S\∈Y}{\mathrm{\Σ}}\left(\underset{i\∈S}{\mathrm{\Σ}}{v}_i\right)}{N}& \\ s.t.& 0\≤p_i\≤{P^{\′}}_i& \∀i\∈N\end{array}---\left(16\right)$

上述优化模型也可用各联盟的特征方程表示为：

$\begin{array}{ccc}\underset{\underset{Y\∈T}{p\∈{[0,P]}^N}}{\max }& \frac{\underset{S\∈Y}{\mathrm{\Σ}}u\left(p\right)}{N}& \\ s.t.& 0\≤p_i\≤{P^{\′}}_i& \∀i\∈N\end{array}---\left(17\right)$

把优化模型的目标函数写成联盟的特征函数的累加和，在求解时先求解联盟的分解，然后得出每个联盟的特征函数，最后求解优化模型；上述的优化模型使用的是特征函数；

令 $n_i(p_i,p_{-i})=(1-\mathrm{\α})\sqrt{g\left(p\right)}+{\mathrm{\αp}}_i---\left(18\right)$

则当特征函数的值越大时，式(18)的值越小，故把优化模型改写为：

$\begin{array}{ccc}\underset{\underset{Y\∈T}{p\∈{[0,P]}^N}}{\min }& \frac{\underset{S\∈Y}{\mathrm{\Σ}}\left(\underset{i\∈S}{\mathrm{\Σ}}{v}_i\right)}{N}& \\ s.t.& 0\≤p_i\≤{P^{\′}}_i& \∀i\∈N\end{array}---\left(19\right)$

s6基于超模博弈的功率分配和联盟形成算法，算法的具体步骤如下：

s61、初始化，目标节点发送测距请求信息

s62、迭代次数记为n＝1,总共所需的迭代次数为N_it·|k|次；

s63、当n的值小于迭代次数且没有收到测距终止信号时，执行步骤s64，否则执行步骤s611；

s64、i为收到目标节点帧的顺序标志，收到请求信息的第i个源节点发送帧其中包含如下信息：(1)该源节点得到的功率值p_i；(2)n＝1时，即初始化时包含初始源节点坐标信息，当3≤i≤k时记录定位该目标节点的联盟的向量的值为1，即s_i＝1，计算更新g_i(p)值；

s65、目标节点收到源节点的测距响应帧后，向源节点发送确认帧

s66、源节点发送确认响应帧

s67、目标节点收到确认响应帧后，计算出距离估计值ρ_i，收到的最大的i值即为目前收到的帧数，满足3≤i≤k时用最小二乘法计算和Η的值，计算g(p)的值；

s68、目标节点向源节点发送确认帧其中包含步骤s67中计算得到的各数值；

s69、源节点计算Η_i和g_i(p)的值，并替换到Η和g(p)中更新，利用优化算法得到使效应函数最大的功率分配值p_i并更新功率分配向量；

s610、判断源节点收到目标节点帧的顺序标志i,i＝k时令i＝1,n＝n+1迭代结束，否则i＝i+1继续判断其他源节点；

s611、测距结束。

本发明具有如下优点：

本发明方法主要根据联盟博弈的特点和基于距离的定位算法，将博弈论模型和方法应用到无线传感器网络节点位置信息估计阶段的节点功率分配优化中。该功率分配方法主要包括如下过程：以几何精度因子作为定位精度的性能指标，在节点功率分配满足一定公平性原则的前提下，构建了基于联盟的无线传感器网络定位功率消耗优化模型，并给出了几何精度因子的具体表达式；针对几何精度因子值计算复杂的问题，通过设计联盟博弈的形成算法、求解该优化模型的效用函数，提出优化模型的改进模型。在保证定位精度的前提下，以双面双边测距协议为基础，提出了一种求解联盟和功率分配的分布式测量方法。本发明方法可应用于无线传感器网络定位阶段的功率分配优化问题。

附图说明

图1为传感器节点的组成示意图；

图2为三边定位原理图；

图3为节点测量误差示意图；

图4为M＝1，N＝7的传感网示意图；

图5为不同N₀时方差随距离ρ_i的变化示意图；

图6为M＝1,N＝8时均匀布置的场景1示意图；

图7为场景1中GDOP的值随联盟中源节点个数的变化示意图；

图8为场景1中两种联盟形成的GDOP值比较示意图；

图9为M＝1,N＝8时无规律场景2示意图；

图10为场景2中两种联盟中GDOP随节点个数的变化示意图；

图11为M＝8,N＝2时两个源节点的场景3示意图；

图12为两目标节点的GDOP值随源节点个数变化示意图。

具体实施方式

下面结合附图以及具体实施方式对本发明作进一步详细说明：

网络定位中基于联盟博弈的功率分配方法，包括如下步骤：

s1建立基于联盟的无线传感器网络定位功率消耗优化模型

1.1基于到达时间的定位TOA

无线传感器网络由两类节点组成，源节点的位置已知，目标节点的位置未知。在测得一组源节点到目标节点的距离后，目标节点的位置坐标可由多个参数唯一确定。例如在二维情况下，使用3个源节点就可以定位目标节点，此即三边定位或三点定位法。

假设第i个源节点和目标节点之间的距离为：

d_i＝(t_i-t₀)c,i＝1,2,3,…             (1)

其中，t₀为源节点向目标节点发送信号的时刻，t_i是目标节点接收到信号的时刻，它们的差为信号传输所用的时间，c为光速。三边定位法的原理如图2所示。由图2可知，借助3个测得的目标节点到源节点的距离信息，即通过解下述方程组估计出目标节点的位置坐标(x,y)。

$\{\begin{array}{c}{(x-x_1)}^2+{(y-y_1)}^2={d_1}^2\\ {(x-x_2)}^2+{(y-y_2)}^2={d_2}^2\\ {(x-x_3)}^2+{(y-y_3)}^2={d_3}^2\end{array}---\left(2\right)$

其中(x_i,y_i),i＝1,2,3为三个源节点的位置坐标。

下面考虑一个更一般的情形，并假设在节点定位阶段，源节点和目标节点的位置信息在给定的坐标系统中保持不变，即节点处于静止状态。设Ν＝{1,2,…N}表示无线传感器网络中源节点的集合，目标节点集合为Μ＝{1，2，…M}，源节点的位置坐标表示为目标节点的位置坐标表示为x^(j)＝[x^(j),y^(j)]^T,j＝1,…M，第j个目标节点x^(j)和第i个源节点之间的距离可以表示为:

${\mathrm{\ρ}}_i\left(x\right)=\left|\right|x-x_a^{\left(i\right)}\left|\right|,i=1,...,N---\left(3\right)$

其中，||·||表示实数集中的欧几里得范数。为了估计距离的值，假设使用基于TOA方法的对称双面双向测距协议(以下简称SDS-TWR)。该定位算法的工作原理如下：

目标节点发送一个测距请求(RRq)，这个测距请求被一组邻近的源节点收到。每一次算法的迭代中，一个源节点把带有功率信息p_i,i＝1,…,N的相应测距请求发送给目标节点(RRq)，同时指出在响应测距帧中除了功率以为控制算法所需的其他信息。目标节点收到响应后，发送给源节点一个包含功率信息p_i,i＝1,…,N的确认帧(CFi)。最后，源节点发送确认回复帧(CRi)，允许目标节点估计出与至少3个节点的距离并计算自己的坐标。目标节点对源节点发送包含功率信息p_i,i＝1,…,N和估计得到的距离、位置信息等与功率控制算法相关的信息的确认帧(CFi2)。收到确认帧后，源节点就可以更新它的功率信息p_i,i＝1,…,N。通过算法的迭代，可以优化节点的功率、位置信息等。当目标节点向源节点发送一个测距结束信号(RStop)时迭代结束。在这个过程中，目标节点响应源节点时用相同的功率信息，以保持在算法中相同的信噪比(SNR)。

因此，功率控制算法可以使源节点和目标节点的能量消耗同时得到优化。

1.2几何误差分析

定位的精度受多种因素影响，其中最重要的是距离测量精度和几何因素。几何因素与源节点和目标节点之间的相对坐标有关，几何精度因子(Geometric Dilution of Precision，GDOP)即是度量节点相对位置对定位精度的几何影响的一种指标。由于现有技术通常难以实现设备时钟的同步，同时利用无线装置测量精确的传播延迟也是不现实的。因此通常通过测量得到的目标节点与源节点的距离并不是两个节点间的实际距离，而是伪距，它包含了一个与实际真实距离的未知偏移量，一般用实际距离加上误差表示。设目标节点的真实位置在原点；锚节点与目标节点的真实距离为d_i。锚节点不直接测量这些距离数值，但每个锚节点的接收器根据伪码的时期阶段值来估计伪码数值。源节点、目标节点的真实位置与测量所得的位置关系如图3所示。假设目标节点已实现时间同步，则伪距可表示为：

其中，c是传播速度，是与目标节点相关的伪码。实际上，由于每个目标节点的接收器噪声以及多径与信号屏蔽效用造成的误差，在测距和编码阶段会存在测量误差，伪距测量误差会形成位置估计的误差。如果位置估计误差Δx和Δy不大，且移动装置时钟相位估计的误差为则到第i个基站的伪距的相应误差可近似确定为：

其中，当目标节点数目N≥3时，对上式所示的线性方程组求最小二乘解，得：δ＝(A^TA)^-1A^Th        (6)

其中，

因此，位置估计误差Δx和Δy可表示为：

$\mathrm{\Δ}x=\frac{\det \left(B_x\right)}{\det \left(B\right)},\mathrm{\Δ}y=\frac{\det \left(B_y\right)}{\det \left(B\right)}---\left(7\right)$

其中，det(·)为行列式算子，且各矩阵的值如下所示：

$B_x=\left[\begin{array}{ccc}\underset{i=1}{\overset{N}{\Σ}}{\mathrm{\α}}_i{\mathrm{\Δr}}_i& \underset{i=1}{\overset{N}{\Σ}}{\mathrm{\α}}_i{\mathrm{\β}}_i& \underset{i=1}{\overset{N}{\Σ}}{\mathrm{\α}}_i\\ \underset{i=1}{\overset{N}{\Σ}}{\mathrm{\β}}_i{\mathrm{\Δr}}_i& \underset{i=1}{\overset{N}{\Σ}}{{\mathrm{\β}}_i}^{\text{2}}& \underset{i=1}{\overset{N}{\Σ}}{\mathrm{\β}}_i\\ \underset{i=1}{\overset{N}{\Σ}}{\mathrm{\Δr}}_i& \underset{i=1}{\overset{N}{\Σ}}{\mathrm{\β}}_i& \text{N}\end{array}\right],B_y=\left[\begin{array}{ccc}\underset{i=1}{\overset{N}{\Σ}}{\mathrm{\α}}_i^2& \underset{i=1}{\overset{N}{\Σ}}{\mathrm{\α}}_i{\mathrm{\Δr}}_i& \underset{i=1}{\overset{N}{\Σ}}{\mathrm{\α}}_i\\ \underset{i=1}{\overset{N}{\Σ}}{\mathrm{\α}}_i{\mathrm{\β}}_i& \underset{i=1}{\overset{N}{\Σ}}{\mathrm{\β}}_i{\mathrm{\Δr}}_i& \underset{i=1}{\overset{N}{\Σ}}{\mathrm{\β}}_i\\ \underset{i=1}{\overset{N}{\Σ}}{\mathrm{\α}}_i& \underset{i=1}{\overset{N}{\Σ}}{\mathrm{\Δr}}_i& \text{N}\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{ccc}\underset{i=1}{\overset{N}{\Σ}}{\mathrm{\α}}_i^2& \underset{i=1}{\overset{N}{\Σ}}{\mathrm{\α}}_i{\mathrm{\β}}_i& \underset{i=1}{\overset{N}{\Σ}}{\mathrm{\α}}_i\\ \underset{i=1}{\overset{N}{\Σ}}{\mathrm{\α}}_i{\mathrm{\β}}_i& \underset{i=1}{\overset{N}{\Σ}}{{\mathrm{\β}}_i}^{\text{2}}& \underset{i=1}{\overset{N}{\Σ}}{\mathrm{\β}}_i\\ \underset{i=1}{\overset{N}{\Σ}}{\mathrm{\α}}_i& \underset{i=1}{\overset{N}{\Σ}}{\mathrm{\β}}_i& \text{N}\end{array}\right]$

由上式可知，位置误差可以单独表述为几何排列项和伪距的测量精度的函数，并且常量c对位置精度的计算不产生影响，因此在后续计算中可简单设置为1。

前面介绍了位置误差的确定性计算方法，即估计结果为几何与伪距测量误差的函数。但通常伪距误差{Δr_i}是随机变量，因而位置误差也是随机变量。假设伪距误差具有如下的统计特性考虑Δx和Δy的统计属性，由式(6)可知，

$E\left(\mathrm{\Δ}x\right)=E\left(\mathrm{\Δ}y\right)=0,{\mathrm{\σ}}_x^2=E\left({\mathrm{\Δx}}^2\right)={\mathrm{\σ}}_r^2\underset{i=1}{\overset{N}{\Σ}}{\mathrm{\ρ}}_i^2,{\mathrm{\σ}}_y^2=E\left({\mathrm{\Δy}}^2\right)={\mathrm{\σ}}_r^2\underset{i=1}{\overset{N}{\Σ}}{\mathrm{\κ}}_i^2,,$

统计协方差的表达式为由此可以知道：

$\frac{{\mathrm{\σ}}_x^2}{{\mathrm{\σ}}_r^2}=\underset{i=1}{\overset{N}{\Σ}}{\mathrm{\ρ}}_i,\frac{{\mathrm{\σ}}_y^2}{{\mathrm{\σ}}_r^2}=\underset{i=1}{\overset{N}{\Σ}}{\mathrm{\κ}}_i,\frac{{\mathrm{\σ}}_{xy}}{{\mathrm{\σ}}_r^2}=\underset{i=1}{\overset{N}{\Σ}}{\mathrm{\ρ}}_i{\mathrm{\κ}}_i,$

GDOP可定义为正则化伪距测量标准偏差后的误差半径的标准偏差，即：

$GDOP=\sqrt{\frac{{\mathrm{\σ}}_x^2+{\mathrm{\σ}}_y^2}{{\mathrm{\σ}}_r^2}}---\left(8\right)$

1.3合作博弈的解

核心(Core)是联盟博弈的一个解的概念，是满足个体理性、整体理性与联盟理性的分配向量集合。核心是一个稳定的分配，对于具有内聚力的联盟博弈来说的，任何参与人或参与人组合都无意脱离总联盟，因为组成一个新联盟并不能使该参与人或参与人组合获得更大的收益。核心有非常好的稳定性特点，但由于要满足苛刻的联盟理性，有时核心往往为空集。相对于核心往往是“集值解”，联盟博弈的shapley值是一个“一点解”。我们从以下几个定义来了解一下联盟博弈的解的定义。

如果对所有的参与者组成的集合N＝{1,2,…,n}而言，对它的每一个划分(S₁,…,S_k)，对参与者i来说，大联盟N存在一个划分，使得这个划分给予博弈者i的收益至少与参与者i所属的联盟S_j分配给它的收益相同，则称该大联盟(联盟博弈)具有内聚力。

从上述定义可知，对于联盟博弈，如果它具有可转移效用，若要求它具有内聚力，则其充要条件是，对集合N的任意划分(S₁,…,S_k)，有下式成立：

u(S₁)+u(S₂)+…+u(S_k)≤u(N)              (9)

其中，u表示各集合的收益。因此要从大联盟的可行配置集I(u)中选择合适的配置以维持联盟的合作，就要求分配方案(收益向量)x＝(x₁,…,x_N)满足：不存在S∈2^N\{φ}使S能改善x。从I(u)中选择出的满足条件的所有配置组成了I(u)的一个子集，就是联盟博弈的解概念，即核心。定义合作博弈u∈G^N的核心C(u)为如下集合：

$C\left(u\right)=\{x\∈I\left(u\right)|\underset{i\∈S}{\Σ}{x}_i\≥u\left(S\right),\∀S\∈2^N\backslash \left\{\mathrm{\φ}\right\}\}---\left(10\right)$

在参与者的集合N＝{1,2,…,n}中，n个参与者可以有n！种组合方式，记所有n！种排列组合的集合标识为π(N)。对于σ∈π(N)，则排列σ中的局中人顺序为(σ(1),σ(2),…,σ(n))。

对每种确定的组合，可以构造依赖于该组合的收益向量：让参与者按照σ中的排列顺序逐个进入联盟，σ(1)的收益函数为u(σ(1))，σ(2)进入时两个参与者联盟创造财富u(σ(1),σ(2))，σ(2)就获得了它关于这个两人联盟的边际效益，以此类推，可以用下面的记号来表示各参与者在排列σ中获得的边际效益：

$\left\{\begin{array}{c}{m}_{\mathrm{\σ}\left(1\right)}^{\mathrm{\σ}}\left(u\right)=u\left(\mathrm{\σ}\right(1))\\ m_{\mathrm{\σ}\left(2\right)}^{\mathrm{\σ}}\left(u\right)=u\left(\mathrm{\σ}\right(1),\mathrm{\σ}\left(2\right))-u\left(\mathrm{\σ}\right(1))\\ m_{\mathrm{\σ}\left(3\right)}^{\mathrm{\σ}}\left(u\right)=u\left(\mathrm{\σ}\right(1),\mathrm{\σ}\left(2\right),\mathrm{\σ}\left(3\right))-u\left(\mathrm{\σ}\right(1),\mathrm{\σ}\left(2\right))\\ ......\\ m_{\mathrm{\σ}\left(k\right)}^{\mathrm{\σ}}\left(u\right)=u\left(\mathrm{\σ}\right(1),...,\mathrm{\σ}\left(k\right))-u\left(\mathrm{\σ}\right(1),...,\mathrm{\σ}(k-1))\\ ......\\ m_{\mathrm{\σ}\left(n\right)}^{\mathrm{\σ}}\left(u\right)=u\left(N\right)-u\left(\mathrm{\σ}\right(1),\mathrm{\σ}\left(2\right),...,\mathrm{\σ}(n-1))\end{array}\right.---\left(11\right)$

上式(11)中每个参与者的“边际效益”构成了边际盈利向量：

$m^{\mathrm{\σ}}\left(u\right)=\{m_{\mathrm{\σ}\left(1\right)}^{\mathrm{\σ}}\left(u\right),m_{\mathrm{\σ}\left(2\right)}^{\mathrm{\σ}}\left(u\right),...,m_{\mathrm{\σ}\left(k\right)}^{\mathrm{\σ}}\left(u\right),...,m_{\mathrm{\σ}\left(n\right)}^{\mathrm{\σ}}\left(u\right)\}---\left(12\right)$

合作博弈u∈G^N的Shapley值φ(u)定义为边际盈利向量的算数平均：

$\mathrm{\φ}\left(u\right)=\frac{1}{n!}\underset{\mathrm{\σ}\∈\mathrm{\π}\left(N\right)}{\Σ}{m}^{\mathrm{\σ}}\left(v\right)---\left(13\right)$

如果把P^σ(i)记作在排列σ中在参与者i之前所有的进入联盟的参与者的集合，则Shapley值可以表示为：

$\mathrm{\φ}\left(u\right)=\frac{1}{n!}\underset{\mathrm{\σ}\∈\mathrm{\π}\left(N\right)}{\Σ}\left(u\right(P^{\mathrm{\σ}}\left(i\right)\∪\left\{i\right\})-u\left(P^{\mathrm{\σ}}\right(i)))---\left(14\right)$

式(14)中，如果把P^σ(i)看做一个联盟S，则i不在这个联盟中，而且i的排列顺利在联盟S的所有元素的后面，它在第|^S|+1个位置，它的次序后还有(n-1-|S|)个元素，i在这个位置的排列共有n！(n-1-|S|)！个，让S遍历所有可能的不包含参与者i的联盟，(14)可以改写为：

$\mathrm{\φ}\left(u\right)=\underset{\mathrm{\σ}\∈\mathrm{\π}\left(N\right)}{\Σ}\frac{\left|S\right|!(n-1-|S\left|\right)}{n!}(u(S\∪\{i\left\}\right)-u\left(S\right))---\left(15\right)$

在无线传感器网络中，源节点位置已知，目标节点位置未知。根据基于TOA的定位算法，可通过源节点向目标节点发送无线电信号来获取它们之间的距离信息，并由多个源节点到目标节点的距离信息估计出目标节点的位置信息。

由于无线传感器网络节点在进行相互通信时所耗费的能量比进行数据感知和处理时所耗费的能量要大得多，因此本发明主要考虑信息传输部分节点所耗费的能量。本发明目的是在保证定位精度的前提下，尽量有效降低无线传感器网络在目标节点位置信息估计阶段的能量消耗。为了更方便建立所研究问题的数学模型，下面首先给出优化模型所含参数的定义。

定义一个联盟：设Ν＝{1,2,…N}表示传感网中的源节点集，Ν的任意一个非空子集称为Ν的一个联盟；只包含一个节点的联盟称为单联盟；

对于给定的Ν的一个联盟，可以通过定义一个满足 $s_i=\left\{\begin{array}{cc}0,& i\∈S\\ 1,& i\∉S\end{array}\right.\∀i\∈N.$ 的向量s∈{0,1}^N来表示；用于定位第k个目标节点的非空的源节点的集合是一个联盟，记为S_k；

定义联盟：设Ν＝{1,2,…N}表示传感网中的源节点集，其中N表示源节点的数目，Ν的任意一个非空子集称为Ν的一个联盟；只包含一个节点的联盟称为单联盟；

对于给定的Ν的一个联盟，可通过定义一个满足 $s_i=\left\{\begin{array}{cc}0,& i\∈S\\ 1,& i\∉S\end{array}\right.\∀i\∈N$ 的向量s∈{0,1}^N来表示；用于定位第k个目标节点的非空的源节点的集合是一个联盟，记为S_k；

定义一个联盟结构：设S_k1,S_k2,…,S_kn为n个联盟，如果满足则称{S_k1,S_k2,…,S_kn}为N的一个联盟结构；由上述联盟结构的定义可知，每个Ν的联盟结构都是Ν的一个覆盖；记Ν所有的可能的联盟结构的集合为Τ；在无线传感器网络定位中，联盟S_k中的所有源节点通过发射包含自身位置信息的信号至第k个目标节点，设第i个源节点消耗的功率为p_i,其中p_i∈[0,P]，为源节点的最大发射功率；设记录测量值所需的时间为T_s，故其消耗的能量为p_iT_s，所有网络节点进行一次测量所需耗费的能量为

为了区分源节点和目标节点，本发明把源节点的坐标表示为目标节点的坐标表示为x^(j)＝[x^(j),y^(j)]^T,j＝1,…M。为了简便，当讨论中只有一个目标节点时，其坐标通常表示为x。在无线传感器网络定位过程中，不仅要考虑节点的能耗情况，更要考虑节点定位所达到的精度。本发明采用GDOP作为定位精度的性能指标。为此，本发明的目标是在保证定位精度的前提下，使联盟消耗的功率总和最少。

故基于联盟的无线传感器网络定位功率消耗优化模型可表示为：

$\begin{array}{ccc}\underset{\underset{Y\∈T}{p\∈{[0,P]}^N}}{\min }& \frac{\underset{S\∈Y}{\mathrm{\Σ}}\left(\underset{i\∈S}{\mathrm{\Σ}}{p}_i\right)}{N}& \\ s.t.& {\mathrm{GDOP}}_k\≤{\tilde{O}}_k& \∀k\∈K\\ & 0\≤p_i\≤{P^{\′}}_i& \∀i\∈N\end{array}---\left(16\right)$

其中，p＝(p₁,p₂…p_N)^T为功率的分配向量，目标函数是某个联盟结构中各节点所耗费的功率之和，是定位时所需满足的定位精度值，GDOP_k为对S_k联盟来说的几何精度因子，约束条件表明该联盟的几何精度因子不超过即定位误差控制在一定范围内；p'_i为p_i的最大值；除了以上约束条件，为了尽量延长无线传感器网络的生存周期，对于节点功率分配还需满足公平性原则。假设节点组成了联盟结构Y,节点的功率分配向量为p，如果所有的传感器无法形成联盟使得节点的功率减小，则称功率分配向量p是公平的。

因此功率分配向量p是公平的当且仅当其满足：

其中，对目标节点k预先设定的精度而言，G(S'_k)为S'_k中的最小功率：

$\begin{array}{c}G\left(S{\′}_k\right)=\underset{\{{p^{\′}}_i,i\∈{S^{\′}}_k\}}{\min }\underset{i\∈{S^{\′}}_k}{\mathrm{\Σ}}{p^{\′}}_i\\ \begin{array}{cc}s.t.& {\mathrm{GDOP}}_k\≤{\tilde{O}}_k\end{array}\end{array}---\left(18\right)$

如果可行集为空，则设G(S'_k)＝∞；在满足公平性条件(17)的前提下求解优化模型(16)即可得到最优的功率分配方案。在追踪定位中，随着目标节点的移动，最优联盟和功率分配都会发生变化，因此，需反复求解上述的非线性组合最优化问题。

s2几何精度因子的计算

在优化模型(16)中，约束条件为以几何精度因子表示的定位精度需在某一允许范围内。为了解该优化模型，就需要给出几何精度因子的具体表达式。以下讨论一个目标节点即M＝1时的几何精度因子的计算方法。

假设一个目标节点通过含噪声的距离ρ_i的测量来估计它的位置，即：

${\mathrm{\ρ}}_i~N\left({\mathrm{\ρ}}_i\right(x),{\mathrm{\σ}}_{{\mathrm{\ρ}}_i}^2),---\left(19\right)$

其中，观察值的标准差依赖于TOA算法测量的标准差，

${\mathrm{\σ}}_{{\mathrm{\ρ}}_i}=\frac{c\·{\mathrm{\σ}}_{{\mathrm{TOA}}_i}}{4},---\left(20\right)$

其中，c为光速常量，为TOA测量中的标准差，因数4表示从源节点到目标节点两个来回，上述变量通过SDS-TWR距离协议用来获得距离估计。

目标节点的位置通过最小二乘法估计得到，x表示目标节点的实际位置坐标，表示第i个源节点的坐标，最小二乘法提供了对下三角矩阵问题求解的简便解决方法，目标节点的坐标估计值是使得均方差最小的坐标：

$\hat{x}=\arg \underset{X}{min}\left\{\underset{i\∈N}{\Σ}{({\mathrm{\ρ}}_i-||X-X_a^{\left(i\right)}|\left|\right)}^2\right\},---\left(21\right)$

这个优化问题基于一个摩尔－彭若斯广义逆矩阵的闭合解为：

$\tilde{x}={\left(H^{T}H\right)}^{-1}{H}^{T}b,---\left(22\right)$

其中，N维向量b定义为：

b＝[ρ₁-ρ₁(x⁰),…ρ_N-ρ_N(x⁰)]^T,            (23)

N*2阶矩阵Η为：

$H={\left(\begin{array}{cc}\frac{x_a^{\left(1\right)}-x}{{\mathrm{\ρ}}_1\left(x\right)}& \frac{y_a^{\left(1\right)}-y}{{\mathrm{\ρ}}_1\left(x\right)}\\ \frac{x_a^{\left(2\right)}-x}{{\mathrm{\ρ}}_2\left(x\right)}& \frac{y_a^{\left(2\right)}-y}{{\mathrm{\ρ}}_2\left(x\right)}\\ \·& \·\\ \·& \·\\ \·& \·\\ \frac{x_a^{\left(N\right)}-x}{{\mathrm{\ρ}}_N\left(x\right)}& \frac{y_a^{\left(N\right)}-y}{{\mathrm{\ρ}}_N\left(x\right)}\end{array}\right)|}_{x=x^0},---\left(24\right)$

其中，N为源节点集合Ν的基数，即对目标节点测量的次数；求解式(22)需要初始化未知的目标节点坐标，记作x⁰；式(22)中的最小二乘解与以下方差矩阵有关：

$C_{\hat{x}}={\left(H^T{\mathrm{\Σ}}^{-1}H\right)}^{-1},---\left(25\right)$

其中，对角矩阵∑为：

$\mathrm{\Σ}=diag({\mathrm{\σ}}_{{\mathrm{\ρ}}_1}^2,...{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\ρ}N}^2)---\left(26\right)$

式(26)等式右边括号中的等值是式(18)中每一次距离测量时的方差；

本发明希望在给定的对源节点的功率分配策略中，通过标量的精度来判断它的优劣。为此需计算几何精度因子参数的值，这个参数描述了节点配置对定位精度的几何影响。本发明中几何精度因子定义如下：

$GDOP=\sqrt{Tr\left\{{\left(H^T{\mathrm{\Σ}}^{-1}H\right)}^{-1}\right\}},---\left(27\right)$

其中，Tr{·}表示迹算子。

式(27)和式(26)是对应的；

当目标节点的实际位置x用于计算矩阵Η时，GDOP和位置估计值的方差的理论下限值有确定性关系；在实践中，通过位置的估计值来确定精度(i.e.,)，并通过它的理论下限值的闭合表达形式即克拉姆-拉奥下界计算∑中的元素；为了得到克拉姆-拉奥下界的值，需要一些重要参数如目标的功率值等的最小化方差估计值。

平均的克拉姆-拉奥下界的计算公式为以下不等式右侧的表达式：

${\mathrm{\σ}}_{{\mathrm{\ρ}}_i}=K_i\sqrt{\frac{c^2{N}_0}{16{\mathrm{\π}}^2{\mathrm{BT}}_S{f}_c^2{L}_i{p}_i}}\≥\sqrt{\frac{c^2{N}_0}{16{\mathrm{\π}}^2{\mathrm{BT}}_S{f}_c^2{L}_i{p}_i}},---\left(28\right)$

其中，B是信号带宽，T_s是信号的持续时间，f_c是中心频率，L_i＝(λ/4πρ_i)²是路径损失，ρ_i为距离，λ为频率，p_i是第i个源节点的传输功率，N₀是噪声的密度。

如果距离测量值通过最大似然法求得，它的方差就和(28)中表示的克拉姆拉奥下界的值一致；否则方差总是大于等于ρ_i的无偏估计值。本发明引入常数K_i≥1来量化估计方差和克拉姆拉奥下界值之间的关系，这个常数的值依赖于所选用的估计距离的方法。通常K_i值是未知的，为了简化问题，在仿真计算中令K_i＝1。根据上述分析，本发明选用几何精度因子GDOP作为定位中的位置信息精度的度量指标。且由GDOP的定义还可以看出，GDOP的值越高说明定位精度越低，反之定位精度越高。由于构建的基于联盟的无线传感器网络定位功率消耗优化模型的约束条件中包含几何精度因子GDOP。而在实际应用中，GDOP值的计算往往非常复杂，甚至难以准确计算。因此下面将对上述优化模型进行改进，并在此基础上设计相应的算法。首先介绍联盟博弈的形成算法，然后通过联盟博弈对模型进行改进。

s3联盟博弈的形成算法

无线传感器网络主要通过源节点向目标节点发射信号进行定位，是基于距离的定位，图4所示为7个源节点定位1个目标的无线传感器网络的图示，其中，中间为目标节点，周围的源节点向目标节点发送信号进行定位。

当目标节点和源节点都较少时，所有的源节点都向目标节点发射信号是可行的，但是当目标节点较多时，所有的源节点都向目标节点发射信号会造成能量的浪费而对定位精度的提高效果不明显。在实际应用的基于距离的定位中，通常是在满足一定定位精度要求的前提下估算目标节点的位置信息即可。对于每个目标节点来说，只需要3个源节点对其发射信号就足够了，或者为了提高精度，可取4个节点对其定位，没有必要每个源节点都对每个目标节点发送信号定位，这样会浪费源节点的能量。

为了节约源节点的能量，基于上述分析，设目标节点的数目为M,源节点的数目为N,根据无线传感网中节点的配置进行以下讨论：

(1)首先，考虑源节点的数目比目标节点的数目的3倍要多且目标节点之间的距离较远的网络，在目标节点的数目满足上述条件的网络，可以把目标节点划分为大于等于M个联盟，其中M个联盟可以定位与它们相对最近的M个目标节点，剩余联盟为单个节点的联盟，暂时让它们处于休眠状态不必要定位目标节点，或者可以把它们增加到这M个联盟中用于提高定位的精确度。源节点的数目较多且目标节点位置较分散可以保证源节点形成的联盟没有交集，这些联盟是对源节点的划分。

(2)当源节点的数目达不到上述的要求且目标节点的位置有相邻的时，可以让目标节点也形成联盟，距离较近的目标节点由相同的源节点进行定位，源节点依然可以形成若干集合的划分，目标节点之间也形成集合的划分，用源节点的联盟定位目标节点的联盟中的节点。这样可让每个目标节点与其周围最近的几个源节点形成一个联盟，在一个传感器网络中有许多联盟，它们之间互相不干扰，这样就可以节约了源节点的功率。

(3)上述的联盟都是不相交的，它们是集合的划分，但是源节点较少且目标节点较分散时，可以让这些源节点的联盟有交集，即一个源节点可以在定位几个目标节点的联盟内的情况。当每个节点距离都较远无法形成联盟，但是有的源节点可能距离几个目标节点的位置都相对较近，则它可以在定位这几个节点的联盟中出现，但是每个联盟都不相同。这样可以避免形成不相交的联盟时目标节点的精度达不到要求。

对于源节点不相交联盟的形成，类似于聚类分析等算法，可是如果用聚类分析算法对源节点集合进行划分，则没有考虑目标节点位置的分布和定位精度，而且聚心的变动可能导致有的源节点的联盟不适合定位网络中存在的目标节点，甚至联盟内没有目标节点。对此，本发明使用动态联盟生成算法，通过求解超模博弈得到节点的联盟分配方法。

效用函数和特征函数

对应非合作的博弈，每个博弈对象都有相应的效用函数。对于联盟博弈而言，则需考虑每个联盟的收益，每个联盟的收益不受其它联盟影响的部分可以构成联盟的特征函数的值，即可以看作是联盟内节点效益的累加和。

上述各种联盟的形成有相似性，为了简单，本发明先讨论一个目标节点和多个源节点的无线传感网中源节点联盟的形成算法，再逐步进行扩展。

考虑只有一个目标节点的情况，联盟S中的所有源节点(设总共有a个)用于发射信号至该目标节点，这时候不妨直接把所有的源节点都加入到联盟S中，即a＝N,对所有的源节点进行传输功率的分配求最优分配，当一个源节点分配到的功率等于0时表示该源节点不在该联盟中，即可以求得定位该目标节点的源节点的联盟，这时候相当于所有的源节点组成了一个大联盟。这时候的源节点功率分配问题可以用一个三元组Γ(Ν，Ρ，υ)来表示，其中各元素表示如下：(1)同上述一样，Ν是N个博弈对象的集合，即无线传感网中的源节点的联盟；(2)Ρ是博弈的策略集，是所采用的功率分配策略，即各源节点的功率分配，其中第i个源节点消耗的功率为p_i，p_i∈[0,P]，P为节点的最大发射功率限制，令P_-i表示除了第i个源节点以外的其他源节点的功率分配。(3)v_i是第i个源节点的效用函数，表示对给定的功率分配策略，第i个源节点的收益，υ＝{v_i}_i∈Ν是N个源节点效用函数的集合。效用函数的选择非常重要，其决定了博弈的解。本发明选择一个依赖于对每个源节点功率分配和定位坐标精度的效用函数并对其进行求解。为此，用几何精度因子GDOP的绝对值和第i个源节点分配到的功率值p_i来表示效用函数。效用函数的是源节点的收益，效用函数越大表示收益越高，而收益高就要求消耗的功率少和几何精度因子小，为此定义以下的效用函数以满足上述变量之间的变化关系。

$v_i(p_i,p_{-i})=\frac{A}{(1-\mathrm{\α})\sqrt{g\left(p\right)}+{\mathrm{\αp}}_i}---\left(29\right)$

其中，0≤α≤1表示在功率和误差之间的权衡，即功率对效用函数的影响所占的比例，每一个源节点都可以通过自身的电池的状态控制这个参数的值。A≥1表示对效用函数的值的修正，避免效用函数的值过大或过小而不利于求解，g(p)＝(GDOP(p))²表示GDOP的平方。

博弈的类型是通过效用函数定义的，如果效用函数满足超模性，则该博弈就可以称为超模博弈。如果效用函数满足超加性则为超加性博弈。

本发明中的博弈类型为超模博弈。首先给出超模博弈的定义：

如果博弈Γ(Ν，Ρ，υ)的效用函数v_i(p_i,p_-i)满足以下3个条件，则称该博弈是超模博弈：

(1)p_i的取值范围Ρ_i＝[0,P]是R⁺的一个子集；

(2)对任意的策略来说，v_i(p_i,p_-i)都是连续的。

(3)v_i(p_i,p_-i)对所有参与者的策略p＝(p₁,p₂…p_N)^T来说具有递增的差异性。

很明显，前两个条件很容易判断，本发明所定义的效用函数可以满足。当一个函数v_i在(p_i,p_j)上满足递增的差异性时，以下不等式成立(其中p′_i≥p_i并且p′j≥pj)。

v_i(p′_i,p′_j)-v_i(p_i,p′_j)≥v_i(p′_i,p_j)-v_i(p_i,p_j)        (30)

换句话说，即当其他决策者分配得到的功率p_j的值提高的时候，第i个决策者选择p_i的效用函数的增值也会提高。如果v_i是二阶可导的，超模性就等价于：

$\frac{{\∂}^2{v}_i\left(p\right)}{\∂p_i\∂p_j}\≥0---\left(31\right)$

通过效用函数的二阶偏导数能够得出本发明所给出的效用函数满足超模性。

当联盟内节点的效用函数已知，那联盟内的特征函数也可以求得了，特征函数为联盟内各节点效用函数的累加，即上述例子中该联盟的特征函数可表示如下：

$u\left(p\right)=\underset{i=1}{\overset{N}{\Σ}}{v}_i\left(p\right),---\left(32\right)$

s4联盟博弈的扩展

以上是讨论在一个只有一个目标节点的情况下博弈的各参数，如果这个联盟内有多个目标节点，即M＞1时，效用函数和特征函数有所不同。以下讨论这种情况下该联盟博弈是否满足超模性。依然考虑三元组Γ(Ν，Ρ，υ)，此时效用函数应为：

$v_i(p_i,p_{-i})=\frac{A}{(1-\mathrm{\α})\sqrt{\frac{\underset{j-1}{\overset{M}{\Σ}}{g}_j\left(p\right)}{M}}+{\mathrm{\αp}}_i},---\left(33\right)$

此时效用函数依然满足超模性。

联盟博弈Γ(Ν，Ρ，υ)的效用函数满足超模型，即该博弈为超模博弈。

s5改进的优化模型

由上述过程可知效用函数不仅可以与功率有关，还与几何精度因子有关。通过把效用函数作为目标函数来改写优化方程(16)，即可得如下优化模型：

$\begin{array}{ccc}\underset{\underset{Y\∈T}{p\∈{[0,P]}^N}}{\max }& \frac{\underset{S\∈Y}{\mathrm{\Σ}}\left(\underset{i\∈S}{\mathrm{\Σ}}{v}_i\right)}{N}& \\ s.t.& 0\≤p_i\≤{P^{\′}}_i& \∀i\∈N\end{array}---\left(34\right)$

上述优化模型也可以用各联盟的特征方程表示为：

$\begin{array}{ccc}\underset{\underset{Y\∈T}{p\∈{[0,P]}^N}}{\max }& \frac{\underset{S\∈Y}{\mathrm{\Σ}}u\left(p\right)}{N}& \\ s.t.& 0\≤p_i\≤{P^{\′}}_i& \∀i\∈N\end{array}---\left(35\right)$

此时的约束条件较少，便于求解。

因此通过把优化模型的目标函数写成联盟的特征函数的累加和，可使每个联盟单独求解更容易，而且可以先求解联盟的分解，然后得出每个联盟的特征函数，最后求解优化模型。

上述的优化模型是使用的是特征函数，由式(33)中的定义可以知道，特征函数的计算中有除法，不便于计算。如果令

$n_i(p_i,p_{-i})=(1-\mathrm{\α})\sqrt{g\left(p\right)}+{\mathrm{\αp}}_i---\left(36\right)$

则当特征函数的值越大时，(36)的值越小，故可以把优化模型改写为：

$\begin{array}{ccc}\underset{\underset{Y\∈T}{p\∈{[0,P]}^N}}{\min }& \frac{\underset{S\∈Y}{\mathrm{\Σ}}\left(\underset{i\∈S}{\mathrm{\Σ}}{n}_i\right)}{N}& \\ s.t.& 0\≤p_i\≤{P^{\′}}_i& \∀i\∈N\end{array}---\left(37\right)$

除此之外，也可以通过Shapley值和边际效益函数对优化模型进行改进。Shapley值实际上是源节点边际效益的算术平均，如果这个值大则表明该节点对提高联盟的总效益的贡献较大，优化模型可以通过计算Shapley值和的大小来作为目标函数，优化模型如下：

$\begin{array}{ccc}\underset{\underset{Y\∈T}{p\∈{[0,P]}^N}}{\min }& \frac{\underset{S\∈Y}{\mathrm{\Σ}}\left(\underset{i\∈S}{\mathrm{\Σ}}\mathrm{\φ}\right(u_i))}{N}& \\ s.t.& 0\≤p_i\≤{P^{\′}}_i& \∀i\∈N\end{array}---\left(38\right)$

当源节点进入联盟的排列顺序确定为σ时，不需要计算Shapley值，直接计算该源节点在排列σ下的边际效益作为目标函数即可，如下所示：

$\begin{array}{ccc}\underset{\underset{Y\∈T}{p\∈{[0,P]}^N}}{\min }& \frac{\underset{S\∈Y}{\mathrm{\Σ}}\left(\underset{i\∈S}{\mathrm{\Σ}}{m}^{\mathrm{\σ}}\right(u_i))}{N}& \\ s.t.& 0\≤p_i\≤{P^{\′}}_i& \∀i\∈N\end{array}---\left(39\right)$

具体用哪种值计算可以根据实际应用进行改进，但是这样的改动要在保证不影响最后的结果的前提下进行。

s6基于超模博弈的功率分配和联盟形成算法

上面描述了优化模型的建立，优化模型是基于联盟博弈的，可以通过计算所有联盟的特征函数的值可以得到优化模型的目标函数，不同的联盟得到的最优结果是不一样的，可是联盟是怎样形成的呢，初始时目标节点的位置未知，不便于形成联盟，可以通过一次迭代得到目标节点的初始位置估计。

博弈算法在实施时有一些难度，主要是需要一些源节点和目标节点间的信息交换，可以用伪码描述下帧交换的细节和每次迭代中目标节点和源节点之间的操作。最优反应迭代次数是N_it，若全部源节点进入迭代，则算法迭代次数是|Ν|，总共的迭代次数是N_it·|Ν|，目标节点的测距请求是广播发送的，则最先收到测距请求的源节点是离目标节点最近的源节点，故使用这些源节点定位可以使功率较小定位精度较大。如果只把最先接收到请求并响应的前k个节点加入改目标节点的联盟进行测距，总共迭代次数为N_it·|k|。帧名称上向右的箭头(→)表示从目标节点到第i个源节点的传输，向左的箭头(←)表示从第i个源节点到目标节点的传输。在预备知识中提到，SDS-TWR测距协议至少在源节点和目标节点中存在3次帧交换，这样才能估计出来源节点和目标节点之间的距离，其中涉及到的帧有：RRi,CFi,CRi,和CFi2，下面的方法中会具体介绍这几种帧，其中RRi和CFi2两个帧来在节点之间传递功率控制算法的相关信息。根据三点定位法，为了定位目标节点的位置，至少要测量3个源节点到目标节点的距离。定位协议从目标节点发送的测距请求(RRq)广播开始，然后，测距协议中源节点和目标节点之间的帧被检测到，尽量得到使有效负载尽可能小的解决方案。

下面具体介绍一下各个数据帧包含的信息等。

(1)目标节点发送测距请求，标志测距开始。(2)相关的源节点发送测距响应帧(RRi)伴随功率p_i到目标节点，RRi包含功率分配的相关信息：博弈的第一次迭代p_i和时的初始信息，已经有一次位置估计后计算得到的g_i(p)的值。(3)目标节点收到源节点的测距响应帧后，向源节点发送确认帧(CFi)。(4)源节点发送确认响应(CRi)，其中允许目标节点估计出它与源节点的距离ρ_i，当目标节点得到3个以上距离值的时候，它就会估计出自己的位置坐标，此时我们不妨把目标节点收到的前k≥3个距离的值和源节点记录到定位该目标节点的联盟中去。(5)目标节点仅向它所在的联盟内的源节点发送确认帧(CFi2)，每个联盟内单独进行功率分配，其中包含功率控制算法的相关信息：它们之间的距离估计值ρ_i，目标节点估计出位置时的坐标值和计算得到的相关Η、g(p)的值。发送这个帧后，每个联盟内的源节点更新它的功率的值p_i以使博弈的效用函数v_i值最大，使得联盟内的特征函数值最大，则所有联盟的特征函数的值的和最大。(6)目标节点向源节点发送测距结束请求，表示迭代结束。

假设一开始知道目标节点的大体位置，可以通过改进的聚类分析等方法形成联盟，以各目标节点的估计位置为聚心，以节点间的距离为主因素进行聚类，这时候形成的联盟是使定位各目标节点的源节点与目标节点距离最近以使得功率消耗最小等，再通过效用函数进行相应的调整，使每个联盟内至少有三个源节点，并且几何精度因子限制在一定范围内就可以了。

当有多个目标节点时，可以逐个对定位该目标节点的源节点进行功率优化和联盟生成算法，故以下首先讨论一个目标节点情况时(M＝1)，基于超模博弈的功率分配和联盟形成算法，算法的具体步骤描述如下：

s61、初始化，目标节点发送测距请求信息

s62、迭代次数记为n＝1,总共所需的迭代次数为N_it·|k|次；

s63、当n的值小于迭代次数且没有收到测距终止信号时，执行步骤s64，否则执行步骤s611；

s64、i为收到目标节点帧的顺序标志，收到请求信息的第i个源节点发送帧其中包含如下信息：(1)该源节点得到的功率值p_i；(2)n＝1时，即初始化时包含初始源节点坐标信息，当3≤i≤k时记录定位该目标节点的联盟的向量的值为1，即s_i＝1，计算更新g_i(p)值；

s65、目标节点收到源节点的测距响应帧后，向源节点发送确认帧

s66、源节点发送确认响应帧

s67、目标节点收到确认响应帧后，计算出距离估计值ρ_i，收到的最大的i值即为目前收到的帧数，满足3≤i≤k时用最小二乘法计算和Η的值，计算g(p)的值；

s68、目标节点向源节点发送确认帧其中包含步骤s67中计算得到的各数值；

s69、源节点计算Η_i和g_i(p)的值，并替换到Η和g(p)中更新，利用优化算法得到使效应函数最大的功率分配值p_i并更新功率分配向量；

s610、判断源节点收到目标节点帧的顺序标志i,i＝k时令i＝1,n＝n+1迭代结束，否则i＝i+1继续判断其他源节点；

s611、测距结束。

随着迭代次数的增加，目标节点的坐标精度会提高，当目标节点的坐标变换较小时可以直接发送测距停止信号使迭代提前结束。由于这个定位算法是基于对称双面双向测距的，节点传输的帧中带有相关信息，源节点可以通过帧中的信息知道其他源节点的功率分配，而不需要再单独与其他源节点交换信息。

以上的算法是M＝1即一个目标节点的情况下的算法，当M＞1时可对每个目标节点分别执行上述算法，可是这样形成的联盟可能是相交的，这样可能会使个别源节点功率消耗较大，可以只对未形成联盟的剩余源节点执行上述算法，这样形成的联盟是没有交集的，可以避免功率分配的不均衡。具体这样执行算法，要看目标节点和源节点的分配情况而定。

在上述算法的描述中，节点是否加入联盟可以根据边际效益来判断。边际效益在上文中已经介绍了，本发明默认一种排列，即源节点到目标节点的距离ρ_i由小到大逐个进入联盟，如果源节点i的边际效益m^σ(u_i)较大则加入联盟，否则它和排列在后面的节点均不加入联盟，为此我们可以设置一个阈值D，当m^σ(u_i)＜D时就不加入联盟，联盟结束。

为验证模型和算法的有效性，下面通过给定参数运用上述算法对联盟求解，并通过得到的数据来验证算法的有效性。为简化问题，本发明考虑节点静态设置(假设节点的初始位置均已知)时执行定位算法的过程。首先，讨论随着距离的增加的路径损失，根据式(28)计算观察值的标准差随距离变化的变化，本发明直接用克拉姆-拉奥下界计算，即令K_i＝1。

本发明使用IEEE 802.15.4a中的频道7的标准，令B＝1081MHz,f_c＝6489MHz,最大传输功率为-12dBm(即0.0631W),L_i＝(λ/4πρ_i)²，我们不考虑T_s、p_i、λ的具体值，令N₀＝8时，根据上式关系，方差与ρ_i成平方关系当N₀＝6、N₀＝8、N₀＝10，而其它参数保存不变时，方差随距离ρ_i的变化趋势如图5所示。

图5中，带‘.’、带‘o’、以及带‘*’的曲线分别表示源节点N₀＝6、N₀＝8、N₀＝10时的观测值。由图5可知方差随源节点和目标节点间距离的增大而增大，而且变化的幅度越来越快。此外，源节点和目标节点间距离相同时，随着源节点的增加，观测值的方差增加。以此可知，减少定位目标节点的源节点的个数，使距离目标节点较近的源节点定位目标节点，形成定位目标节点的联盟，可以减少观测值的方差，使定位更准确，波动更小。

我们不妨用λ＝3000MHz、T_s＝0.02s、p_i＝0.05W时的方差作为测量中的噪声，即根据这个值和节点间的距离可以计算得到效用函数等。本发明选择一个25×25m²的区域，在这个区域内布置不同数量的源节点和目标节点形成不同的场景，并把源节点和目标节点分别编号，从而方便研究不同场景中联盟的形成。

在场景一中，M＝1，N＝8,节点均匀分布在一个25×25m²的区域内，即只有一个目标节点，可是源节点数量较多，源节点用‘o’表示，目标节点用‘*’表示，为了简便，可以只取标注为3、4、5、6的4个节点进入该目标节点的联盟。很显然，由于距离不同，目标节点周围最近的四个节点进入联盟，由于对称性，我们也可以只取其中的三个节点对目标节点进行定位，这时候选择3个源节点还是4个节点对定位的精确度影响不大。场景的具体布置如图6所示。

在场景一中的计算结果中，当所有节点参与其中时，GDOP的值为5.51e-007，消耗的功率和0.4W；而只选取中间3、4、5、6四个源节点进行定位时得到的GDOP的值为5.56e-007，消耗的功率和为0.2W，显然选取源节点较少的时候定位的精度要小，但是此时消耗的能量较多，故根据对功率和能量的要求决定如何选择节点。相对而言，如果选择左半边标记为1、2、3、4的4个源节点定位目标节点，此时的几何精度因子GDOP的值为7.80e-007，显然比选择中间的4个源节点定位目标时数值要大得多，故要选择合适的源节点进行定位才能使定位更准确。鉴于几何精度因子和功率的数量级不同，在计算效用函数时可以先将它们化为相同的数量级再计算，即在式(35)中的g(p)＝(GDOP(p))²改为g(p)＝D²(GDOP(p))²，其中D用于修正数量级，具体应根据实际情况确定，而根据式(35)中α的大小表示功率分配所占的比例，α＝1表示不考虑几何精度因子只考虑功率的影响，α＝0时表示不考虑功率分配只考虑几何精度因子的影响。

根据源节点到目标节点的距离的大小，如果以3、4、5、6、1、2、7、8的顺序将联盟中的源节点个数从三个增加到8个，得到GDOP的值如图7所示。

根据图7可以直观的看出源节点个数的增加对GDOP的影响，如果不根据距离增加节点个数，例如随机按照1、2、3、4、5、6、7、8的顺序从3个到8个增加联盟中的源节点，则得到的值一般比较大，表示精度较小，把这种情况和上述情况中GDOP的值随节点个数的变化作对比，可以得到图8的结果，其中‘o’为按距离加入联盟的GDOP，‘*’为随机加入联盟时目标节点的GDOP值。

在场景二中，同样只有一个目标节点和8个源节点，但是它们任意分布，没有规律性，源节点用‘o’表示，目标节点用‘*’表示，场景分布如图9所示。

在场景二中的计算结果中，当所有节点参与其中时，GDOP的值为5.4982e-007，取节点1、2、3、4时GDOP的值为6.1965e-007，取节点1、2、4、8时GDOP的值为5.7229e-007，取节点1、2、3、4、8时GDOP的值为5.5695e-007，由此可知，取距离目标节点最近的5个节点时精度较合适。

通过计算得到这8个源节点到目标节点的距离由小到大分别为1、8、3、4、2、5、7、6，我们按照这个顺序和1-8的随机顺序将联盟内源节点个数从3个增加到8个，得到GDOP的值随节点个数变化的结果如图10所示。

图10中，节点较小时，随机加入源节点进入联盟得到的GDOP的值反而比较小，这是因为节点分布不均匀，开始加入的距离较近的几个源节点都分布在目标节点的同一侧，导致得到的精度较小，而随机加入时源节点在节点周围分布均匀故精度较大，但是随着联盟中源节点数目的增多，按照距离加入联盟得到的精度更大，因为源节点数目增多时它们分布越来越均匀，在目标节点的周围都有源节点的分布，结果更可靠。

上述两个场景中，都只有一个目标节点，只需对它进行源节点的分配即可，不用来定位目标节点的源节点形成单个的联盟，不需要分配功率，从而节约能量。下面考虑存在多个目标节点的情况。

场景三中源节点的分布同场景一，具有对称性，但是该场景有两个目标节点，即M＝1，N＝8，把源节点和目标节点分别编号，如图11所示。

分别对两个目标节点求解联盟，源节点按到目标节点1的距离由小到大排列为4、3、1、6、5、7、2、8，源节点按到目标节点2的距离由小到大排列为5、6、8、3、4、2、7、1，它们随源节点的个数变化GDOP的变化如图12所示。

由图12可以知道，目标节点1的GDOP值普遍比目标节点2的要小，这是因为目标节点1周围的源节点分布比目标节点2周围的分布要均匀，可以用联盟{4,3,1,6,5}定位节点1，用联盟{5,6,8,3,4}定位节点2，由此可知源节点2、7没有用于定位两个目标节点，因为他们与两个目标节点的距离均比较大，在考虑功率分配时可以对联盟进行调整。

根据数值实验的结果，得到了几何精度因子GDOP随联盟中源节点个数变化的曲线图，通过带入具体数值，对分布式形成的结果和随机形成联盟的结果进行对比，验证了分布式形成算法形成联盟的合理性，同时得到了距离测量方差随距离变化的曲线图。

Claims (1)

1.网络定位中基于联盟博弈的功率分配方法，其特征在于，包括如下步骤：

s1建立基于联盟的无线传感器网络定位功率消耗优化模型

定义联盟：设Ν＝{1,2,…N}表示传感网中的源节点集，其中N表示源节点的数目，Ν的任意一个非空子集称为Ν的一个联盟；只包含一个节点的联盟称为单联盟；

对于给定的Ν的一个联盟，可通过定义一个满足 $s_i=\{\begin{array}{cc}0,& i\∈S\\ 1,& i\∉S\end{array},\∀i\∈N$ 的向量s∈{0,1}^N来表示；用于定位第k个目标节点的非空的源节点的集合是一个联盟，记为S_k；

定义联盟结构：设S_k1,S_k2,…,S_kn为n个联盟，如果满足则称{S_k1,S_k2,…,S_kn}为N的一个联盟结构；记Ν所有的联盟结构的集合为Τ；在无线传感器网络定位中，联盟S_k中的所有源节点通过发射包含自身位置信息的信号至第k个目标节点，设第i个源节点消耗的功率为p_i，其中p_i∈[0,P]，P为源节点的最大发射功率；设记录测量值所需的时间为T_s，故其消耗的能量为p_iT_s，所有网络节点进行一次测量所需耗费的能量为

基于联盟的无线传感器网络定位功率消耗优化模型可表示为：

$\underset{Y\∈T}{\underset{{}_{p\∈{\[0,P\]}^N}}{min}}\frac{\underset{S\∈Y}{\Σ}\left(\underset{i\∈S}{\Σ}{p}_i\right)}{N}$

$s.t.{\mathrm{GDOP}}_k\≤{\tilde{O}}_k,\∀k\∈K$

$0\≤p_i\≤{p^{\′}}_i,\∀i\∈N---\left(1\right)$

其中，p＝(p₁,p₂…p_N)^T为功率的分配向量，目标函数是某个联盟结构中各节点所耗费的功率之和，是定位时所需满足的定位精度值，GDOP_k为对S_k联盟而说的几何精度因子，p'_i为第i个源节点分配得到的功率的上限；约束条件表明该联盟的几何精度因子不超过即定位误差控制在一定范围内；

假设节点组成了联盟结构Y,节点的功率分配向量为p，如果所有的传感器无法形成联盟使得节点的功率减小，则称功率分配向量p是公平的；因此功率分配向量p是公平的当且仅当其满足：

其中，对目标节点k预先设定的精度而言，G(S'_k)为S'_k中的最小功率：

$G\left({S^{\′}}_k\right)=\underset{{}_{\{{p^{\′}}_i,i\∈{S^{\′}}_k\}}}{min}\underset{r\∈{S^{\′}}_k}{\Σ}{p^{\′}}_i---\left(3\right)$

$s.t.{\mathrm{GDOP}}_k\≤{\tilde{O}}_k$

如果可行集为空，则设G(S'_k)＝∞；在满足公平性条件即式(2)的前提下求解优化模型即式(1)可得到最优的功率分配方案；

s2几何精度因子的计算

假设一个目标节点通过含噪声的距离ρ_i的测量来估计它的位置，即：

${\mathrm{\ρ}}_i~N\left({\mathrm{\ρ}}_i\right(x),{\mathrm{\σ}}_{{\mathrm{\ρ}}_i}^2),---\left(4\right)$

其中，观察值的标准差依赖于TOA算法测量的标准差，即：

${\mathrm{\σ}}_{{\mathrm{\ρ}}_i}=\frac{c\·{\mathrm{\σ}}_{{\mathrm{TOA}}_i}}{4},---\left(5\right)$

其中，c为光速常量，为TOA测量中的标准差，因数4表示从源节点到目标节点两个来回，上述变量通过对称双面双向测距协议用来获得距离估计；

目标节点的位置通过最小二乘法估计得到，x表示目标节点的实际位置坐标，表示第i个源节点的坐标，目标节点的坐标估计值是使得均方差最小的坐标：

$\hat{x}=\arg \underset{{}_x}{min}\left\{\underset{i\∈N}{\Σ}{({\mathrm{\ρ}}_i-||x-x_a^{\left(i\right)}|\left|\right)}^2\right\},---\left(6\right)$

这个优化问题基于一个摩尔－彭若斯广义逆矩阵的闭合解为：

$\tilde{x}={\left(H^{T}H\right)}^{-1}{H}^{T}b,---\left(7\right)$

其中，N维向量b定义为：

b＝[ρ₁-ρ₁(x⁰),…ρ_N-ρ_N(x⁰)]^T,   (8)

N*2阶矩阵Η为：

$H\left(\begin{array}{cc}\frac{x_a^{\left(1\right)}-x}{{\mathrm{\ρ}}_1\left(x\right)}& \frac{y_a^{\left(1\right)}-y}{{\mathrm{\ρ}}_1\left(x\right)}\\ \frac{x_a^{\left(2\right)}-x}{{\mathrm{\ρ}}_2\left(x\right)}& \frac{y_a^{\left(2\right)}-y}{{\mathrm{\ρ}}_2\left(x\right)}\\ .& .\\ .& .\\ .& .\\ \frac{x_a^{\left(N\right)}-x}{{\mathrm{\ρ}}_N\left(x\right)}& \frac{y_a^{\left(N\right)}-y}{{\mathrm{\ρ}}_N\left(x\right)}\end{array}\right){|}_{x=x^0},---\left(9\right)$

其中，N为源节点集合Ν的基数，即对目标节点测量的次数；求解式(7)需要初始化未知的目标节点坐标，记作x⁰；式(7)中的最小二乘解与以下方差矩阵有关：

$C_{\hat{x}}={\left(H^T{\mathrm{\Σ}}^{-1}H\right)}^{-1},---\left(10\right)$

其中，对角矩阵为：

$\mathrm{\Σ}=diag({\mathrm{\σ}}_{{\mathrm{\ρ}}_1}^2,\mathrm{...}{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\ρ}N}^2)---\left(11\right)$

式(11)等式右边括号内的各个参数是式(3)中每一次距离测量时的方差；

几何精度因子定义如下：

$GDOP=\sqrt{Tr\left\{{\left(H^T{\mathrm{\Σ}}^{-1}H\right)}^{-1}\right\}},---\left(12\right)$

其中Tr{·}表示迹算子，平均的克拉姆-拉奥下界的计算公式为以下不等式右侧的表达式：

${\mathrm{\σ}}_{{\mathrm{\ρ}}_i}=K_i\sqrt{\frac{c^2{N}_0}{16{\mathrm{\π}}^2{\mathrm{BT}}_S{f}_c^2{L}_i{p}_i}}\≥\sqrt{\frac{c^2{N}_0}{16{\mathrm{\π}}^2{\mathrm{BT}}_S{f}_c^2{L}_i{p}_i}},---\left(13\right)$

其中，B是信号带宽，T_s是信号的持续时间，f_c是中心频率，L_i＝(λ/4πρ_i)²是路径损失，ρ_i为距离，λ为频率，p_i是第i个源节点的传输功率，N₀是噪声的密度；

s3联盟博弈的形成算法

一个目标节点和多个源节点的无线传感网中源节点联盟的形成算法如下：

考虑只有一个目标节点的情况，联盟S中的所有源节点用于发射信号至该目标节点，将所有的源节点都加入到联盟S中，即源节点数量a＝N,对所有的源节点进行传输功率的分配求最优分配，当一个源节点分配到的功率等于0时表示该源节点不在该联盟中，即可求得定位该目标节点的源节点的联盟，这时候相当于所有的源节点组成了一个大联盟；这时候的源节点功率分配问题可用一个三元组Γ(Ν，Ρ，υ)来表示，其中各元素表示如下：

(1)Ν是N个博弈对象的集合，即无线传感网中的源节点的联盟；

(2)Ρ是博弈的策略集，是所采用的功率分配策略，即各源节点的功率分配，其中第i个源节点消耗的功率为p_i，p_i∈[0,P]，P为节点的最大发射功率限制，令P_-i表示除了第i个源节点以外的其他源节点的功率分配；

(3)v_i是第i个源节点的效用函数，表示对给定的功率分配策略，第i个源节点的收益，υ＝{v_i}_i∈Ν是N个源节点效用函数的集合；

用几何精度因子GDOP的绝对值和第i个源节点分配到的功率值p_i来表示效用函数；定义以下的效用函数以满足上述变量之间的变化关系：

$v_i(p_i,p_{-i})=\frac{A}{(1-\mathrm{\α})\sqrt{g\left(p\right)}+{\mathrm{\αp}}_i}---\left(14\right)$

其中，0≤α≤1表示在功率和误差之间的权衡，即功率对效用函数的影响所占的比例，每一个源节点均通过自身的电池的状态控制这个参数的值；A≥1表示对效用函数的值的修正，g(p)＝(GDOP(p))²表示GDOP的平方；博弈的类型是通过效用函数定义的，如果效用函数满足超模性，则该博弈就可以称为超模博弈；

s4联盟博弈的扩展

当联盟内有多个目标节点，效用函数和特征函数有所不同；依然考虑三元组Γ(Ν，Ρ，υ)，此时效用函数如下式(15)，此时效用函数依然满足超模性；

$v_i(p_i,p_{-i})=\frac{A}{(1-\mathrm{\α})\sqrt{\frac{\underset{j-1}{\overset{M}{\Σ}}{g}_j\left(p\right)}{M}}+{\mathrm{\αp}}_i},---\left(15\right)$

s5改进的优化模型

通过把效用函数作为目标函数来改写式(1)，即可得如下优化模型：

$\underset{\underset{Y\∈T}{p\∈{\[0,P\]}^N}}{max}\frac{\underset{S\∈Y}{\Σ}\left(\underset{i\∈S}{\Σ}{v}_i\right)}{N}---\left(16\right)$

$s.t.0\≤p_i\≤{p^{\′}}_i,\∀i\∈N$

上述优化模型也可用各联盟的特征方程表示为：

$\underset{\underset{Y\∈T}{p\∈{\[0,P\]}^N}}{max}\frac{\underset{S\∈Y}{\Σ}u\left(p\right)}{N}---\left(17\right)$

$s.t.0\≤p_i\≤{p^{\′}}_i,\∀i\∈N$

把优化模型的目标函数写成联盟的特征函数的累加和，在求解时先求解联盟的分解，然后得出每个联盟的特征函数，最后求解优化模型；上述的优化模型使用的是特征函数；

令 $n_i(p_i,p_{-i})=(1-\mathrm{\α})\sqrt{g\left(p\right)}+\mathrm{\α}{p}_i---\left(18\right)$

则当特征函数的值越大时，式(18)的值越小，故把优化模型改写为：

$\underset{\underset{Y\∈T}{p\∈{\[0,P\]}^N}}{min}\frac{\underset{S\∈Y}{\Σ}\left(\underset{i\∈S}{\Σ}{n}_i\right)}{N}---\left(19\right)$

$s.t.0\≤p_i\≤{p^{\′}}_i,\∀i\∈N$

s6基于超模博弈的功率分配和联盟形成算法，算法的具体步骤如下：

s61、初始化，目标节点发送测距请求信息

s62、迭代次数记为n＝1,总共所需的迭代次数为N_it·|k|次；

s63、当n的值小于迭代次数且没有收到测距终止信号时，执行步骤s64，否则执行步骤s611；

s64、i为收到目标节点帧的顺序标志，收到请求信息的第i个源节点发送帧其中包含如下信息：(1)该源节点得到的功率值p_i；(2)n＝1时，即初始化时包含初始源节点坐标信息，当3≤i≤k时记录定位该目标节点的联盟的向量的值为1，即s_i＝1，计算更新g_i(p)值；

s65、目标节点收到源节点的测距响应帧后，向源节点发送确认帧

s66、源节点发送确认响应帧

s67、目标节点收到确认响应帧后，计算出距离估计值ρ_i，收到的最大的i值即为目前收到的帧数，满足3≤i≤k时用最小二乘法计算和Η的值，计算g(p)的值；

s68、目标节点向源节点发送确认帧其中包含步骤s67中计算得到的各数值；

s69、源节点计算Η_i和g_i(p)的值，并替换到Η和g(p)中更新，利用优化算法得到使效应函数最大的功率分配值p_i并更新功率分配向量；

s610、判断源节点收到目标节点帧的顺序标志i,i＝k时令i＝1,n＝n+1迭代结束，否则i＝i+1继续判断其他源节点；

s611、测距结束。