CN104993860A - 基于阵列冲激响应的多径信号波达角估计方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于阵列冲激响应的多径信号波达角估计方法，用于解决现有多径信号波达角估计方法实用性差的技术问题。技术方案是首先从接收信号中计算观测响应矩阵，得到基带接收信号，再将基带接收信号与伪随机序列做滑动相关，得到观测冲激响应，通过对观测冲激响应进行离散化，抽取出多径，得到观测冲激响应矢量，将所有天线振子的观测冲激响应矢量整合得到观测响应矩阵；接着通过观测响应矩阵估计波达角，从观测响应矩阵中得到协方差矩阵，再对协方差矩阵进行特征分解得到信号子空间和噪声子空间，利用噪声子空间和导向矢量正交原理得到此条径的波达角。本发明降低了运算复杂度，不受限于天线阵列振子个数的多少，同时具有良好的估计精度。

Description

基于阵列冲激响应的多径信号波达角估计方法

技术领域

本发明涉及一种多径信号波达角估计方法，特别涉及一种基于阵列冲激响应的多径信号波达角估计方法。

背景技术

多径信号波达角是MIMO(Multiple-Input Multiple-Output，多输入多输出)无线信道的一种重要空域参数。为了获得无线信道的多径信号波达角，需要进行实地的信道测量，并利用波达角估计方法对测量数据进行处理，以得到结果。由于实际无线信道中的多径数量众多，其信号波达角估计存在困难。

文献“阵列天线DOA估计中MUSIC算法性能综合分析”，《兰州交通大学学报》，2011年6月，第30卷第3期中86至91页提到的MUSIC(Multiple Signal Classification，多重信号分类)方法是一种典型的信号波达角估计方法。在该方法中，首先求接收信号的协方差矩阵，并对该矩阵进行特征分解，得到信号子空间和噪声子空间。利用噪声子空间和天线阵列导向矢量的正交性构建角度空间谱，通过谱峰搜索得出信号的波达角。但是该方法存在如下问题：该方法要求多径数量必须小于天线阵列的振子个数。而实际信道中的多径数量通常较大，如果要满足MUSIC方法的假设，必须使用规模更大的天线阵列，将会提升硬件成本。

发明内容

为了克服现有多径信号波达角估计方法实用性差的不足，本发明提供一种基于阵列冲激响应的多径信号波达角估计方法。该方法首先从接收信号中计算观测响应矩阵，即对天线振子的输出信号进行解调和低通滤波后，得到基带接收信号，再将基带接收信号与伪随机序列做滑动相关，得到观测冲激响应，通过对观测冲激响应进行离散化，抽取出多径，得到观测冲激响应矢量，将所有天线振子的观测冲激响应矢量整合得到观测响应矩阵；接着通过观测响应矩阵估计波达角，观测响应矩阵已经将各条多径分离出来，对于某一条径，从观测响应矩阵中得到协方差矩阵，再对协方差矩阵进行特征分解进而得到信号子空间和噪声子空间，利用噪声子空间和导向矢量正交原理得到此条径的波达角。对于所有多径重复上述过程即可得到所有径的波达角。本发明降低了运算复杂度，不受限于天线阵列的振子个数，实现大量多径存在时的信号波达角估计，同时具有良好的估计精度。

本发明解决其技术问题所采用的技术方案是：一种基于阵列冲激响应的多径信号波达角估计方法，其特点是包括以下步骤：

(A)定义信号。

选择长度为X的伪随机序列作为基带探测信号a(t)，其表达式为

$a\left(t\right)=\underset{n=0}{\overset{X-1}{\mathrm{\Σ}}}{b}_n{\mathrm{rect}}_{T_b}(t-n{T}_b),b_n\∈\{+1,-1\}---\left(1\right)$

其中，X表示伪随机序列的长度，t表示时间，表示宽度为T_b的矩形脉冲信号。K个PN序列组成一个探测帧u(t)，其表达式为

$u\left(t\right)=\underset{k=0}{\overset{K-1}{\mathrm{\Σ}}}a(t-k{T}_p)---\left(2\right)$

其中，T_p＝XT_b，探测帧u(t)是基本探测信号，该探测帧调制后经天线发射出去。

对于第m个天线振子，射频接收信号y′_m(t)的表达式为

其中，N′_m(t)是服从高斯分布的白噪声，L为多径条数，和τ_l即为多径的复响应和时延，u′(t)为调制后的探测帧。

首先假设传播环境中包含L条多径信号，其空间信道冲激响应模型h(t)表示如下

$h\left(t\right)=\underset{l=1}{\overset{L}{\mathrm{\Σ}}}{h}_l^{\mathrm{CH}}\mathrm{\δ}(t-{\mathrm{\τ}}_l)---\left(4\right)$

其中，L表示多径条数，表示第l条多径的信道复响应，是一个复常数，τ_l是第l条多径的时延值，δ(t)表示单位冲激函数。

接收天线阵列是二维平面阵列，包含M个天线振子，M为二维平面阵列天线振子个数。收发天线之间的距离满足远场条件，经解调后，第m个振子的输出信号y_m(t)表示为

其中，N_m(t)是第m个天线振子所接收到的噪声信号，分别是第l条多径入射信号的方位角和俯仰角，是第m个天线振子对波达角为的入射信号的复响应，表示为

其中e表示自然底数，j表示虚数，表示射频信号的波长，d表示相邻天线振子的距离，m_i和m_j表示第m个天线阵子在天线阵列中位于第m_i行、第m_j列，θ、分别是多径入射信号的方位角和俯仰角。向量

称为接收天线阵列在波达方向上的导向矢量。θ_l、分别是第l条多径入射信号的方位角和俯仰角。

(B)计算观测冲激响应矩阵。

对于第m个天线振子，计算观测冲激响应矩阵分为如下四个步骤：

(B-1)对天线振子的输出信号进行解调和低通滤波后，得到基带接收信号y_m(t)。

(B-2)将接收探测信号y_m(t)与一个标准的本地伪随机序列a(t)做滑动相关，得到观测冲激响应表达式如下

其中，表示扩频增益，N′_m(t)是与本地伪随机序列相关后的噪声信号。

(B-3)将观测冲激响应离散化。对于包含L条多径的传播环境，选择值最大的L个峰值点，也即组成观测冲激响应矢量 的数学表达式为

其中， ${\tilde{N}}_m^{\′}=\left[\begin{array}{ccc}{N}_m^{\′}\left({\mathrm{\τ}}_1\right)& \·\·\·& N_m^{\′}\end{array}\left({\mathrm{\τ}}_L\right)\right]$ 表示噪声矢量。

(B-4)对于第1个至第M个接收天线振子的接收信号都执行以上三个步骤，得到它们的观测冲激响应矢量，分别表示为将这些观测冲激响应矢量按照如下形式组织成观测冲激响应矩阵

$\tilde{A}=\left[\begin{array}{c}{\tilde{a}}_1\\ {\tilde{a}}_2\\ .\\ .\\ .\\ {\tilde{a}}_M\end{array}\right]---\left(10\right)$

是一个M×L矩阵，它的数学表达式为

(C)估计波达角。

空间信道包含L条多径，对于经过第l条径入射的信号，其波达角估计分为如下五个步骤。

(C-1)取出观测冲激响应矩阵的第l列，表示为向量 的数学表达式为

其中， ${\tilde{N}}_l^{\′}={\left[\begin{array}{ccc}{N}_1^{\′}\left({\mathrm{\τ}}_l\right)& \·\·\·& N_M^{\′}\end{array}\left({\mathrm{\τ}}_l\right)\right]}^T$ 表示噪声向量，[]^T表示转置。

根据式(11)求的协方差矩阵

其中，表示向量的共轭转置。是一个M×M矩阵。

(C-2)对协方差矩阵进行特征分解，得到M个特征值。这M个特征值按照由大到小的顺序表示为λ₁,…,λ_M。求取它们所对应的特征向量，分别表示为u₁,…,u_M。将M-1个较小特征值(即λ₂,…,λ_M)对应的特征向量(即u₂,…,u_M)按照式(12)构造矩阵B_R。

B_R＝[u₂ … u_M]   (14)

称矩阵B_R为参考子空间。证明，B_R与接收天线阵列在波达角上的导向矢量近似正交。

(C-3)空间谱的数学表达式为

其中，θ和分别表示方位角和俯仰角。θ和的取值集合分别表示为Θ和Φ。遍历θ和并通过式(13)得到θ和不同取值组合时的空间谱

(C-4)根据正交原理，空间谱将在第l条径的入射信号波达角处产生一个极大值。因此，搜索空间谱的最大值，该值所处的位置即为第l条径的入射信号波达角的估计值。本步骤对应过程的数学表达式为

其中，表示在Θ和Φ内遍历θ和求出使花括号内的元素取值最大时所对应的θ和的值。

(C-5)对空间信道的第1～L条多径，分别执行以上四个步骤，得到波达角估计值

本发明的有益效果是：该方法首先从接收信号中计算观测响应矩阵，即对天线振子的输出信号进行解调、低通滤波后，得到基带接收信号，再将基带接收信号与伪随机序列做滑动相关，得到观测冲激响应，通过对观测冲激响应进行离散化，抽取出多径，得到观测冲激响应矢量，将所有天线振子的观测冲激响应矢量整合得到观测响应矩阵；接着通过观测响应矩阵估计波达角，观测响应矩阵已经将各条多径分离出来，对于某一条径，从观测响应矩阵中得到协方差矩阵，再对协方差矩阵进行特征分解进而得到信号子空间和噪声子空间，利用噪声子空间和导向矢量正交原理得到此条径的波达角。对于所有多径重复上述过程即可得到所有径的波达角。由于本发明方法对不同多径的信道冲激响应被分离并分别单独处理，因此可估计的多径波达角数量不受接收天线阵列规模的限制。由于本发明方法对每一条径对应的入射信号生成一个空间谱，且在一个空间谱中只需要搜索一个峰值，因此精确度高，误差在1度以内。由于本发明方法对来自不同径的信号生成不同的空间谱，因此每个空间谱的谱峰不会受到其他空间谱谱峰的干扰，因此角度分辨率高。由于本发明方法不直接使用采样信号，而是根据采样信号处理得到的观测冲激响应矩阵进行计算，因此运算涉及的数据量较小。此外，本方法不需要进行迭代操作，运算复杂度低。

以下结合具体实施方式详细说明本发明。

具体实施方式

本发明基于阵列冲激响应的多径信号波达角估计方法具体步骤如下：

(A)定义信号；(B)计算观测冲激响应矩阵；(C)估计波达角。

(A)定义信号。

选择长度为X的伪随机序列作为基带探测信号a(t)，其表达式为

$a\left(t\right)=\underset{n=0}{\overset{X-1}{\mathrm{\Σ}}}{b}_n{\mathrm{rect}}_{T_b}(t-n{T}_b),b_n\∈\{+1,-1\}---\left(1\right)$

其中，X表示伪随机序列的长度，t表示时间，表示宽度为T_b的矩形脉冲信号。K个PN序列组成一个探测帧u(t)，其表达式为

$u\left(t\right)=\underset{k=0}{\overset{K-1}{\mathrm{\Σ}}}a(t-k{T}_p)---\left(2\right)$

其中T_p＝XT_b，探测帧u(t)是本方法中的基本探测信号，该探测帧调制后经天线发射出去。

对于第m个天线振子，射频接收信号y′_m(t)的表达式为。

其中N′_m(t)是服从高斯分布的白噪声，L为多径条数，和τ_l即为多径的复响应和时延，u′(t)为调制后的探测帧。

首先假设传播环境中包含L条多径信号，其空间信道冲激响应模型h(t)表示如下

$h\left(t\right)=\underset{l=1}{\overset{L}{\mathrm{\Σ}}}{h}_l^{\mathrm{CH}}\mathrm{\δ}(t-{\mathrm{\τ}}_l)---\left(4\right)$

其中，L表示多径条数，表示第l条多径的信道复响应，是一个复常数，τ_l是第l条多径的时延值，δ(t)表示单位冲激函数。

接收天线阵列是二维平面阵列，包含M个天线振子，M为二维平面阵列天线振子个数。收发天线之间的距离满足远场条件，经解调后，第m个振子的输出信号y_m(t)表示为

其中，N_m(t)是第m个天线振子所接收到的噪声信号，θ_l、分别是第l条多径入射信号的方位角和俯仰角，是第m个天线振子对波达角为的入射信号的复响应，表示为

其中e表示自然底数，j表示虚数，表示射频信号的波长，d表示相邻天线振子的距离，m_i和m_j表示第m个天线阵子在天线阵列中位于第m_i行、第m_j列，θ、分别是多径入射信号的方位角和俯仰角。

向量

称为接收天线阵列在波达方向上的导向矢量。θ_l、分别是第l条多径入射信号的方位角和俯仰角。导向矢量是天线阵列的重要属性，一般需要在微波暗室测量得到。

(B)计算观测冲激响应矩阵。

对于第m个天线振子，计算观测冲激响应矩阵分为如下四个步骤：

(B-1)对天线振子的输出信号进行解调、低通滤波后，得到基带接收信号y_m(t)。

(B-2)将接收探测信号y_m(t)与一个标准的本地伪随机序列a(t)做滑动相关，即可得到观测冲激响应表达式如下

其中，表示扩频增益，N′_m(t)是与本地伪随机序列相关后的噪声信号。

(B-3)将观测冲激响应离散化。对于包含L条多径的传播环境，选择值最大的L个峰值点，也即组成观测冲激响应矢量 的数学表达式为

其中， ${\tilde{N}}_m^{\′}=\left[\begin{array}{ccc}{N}_m^{\′}\left({\mathrm{\τ}}_1\right)& \·\·\·& N_m^{\′}\end{array}\left({\mathrm{\τ}}_L\right)\right]$ 表示噪声矢量。

(B-4)对于第1个至第M个接收天线振子的接收信号都执行以上三个步骤，得到它们的观测冲激响应矢量，分别表示为将这些观测冲激响应矢量按照如下形式组织成观测冲激响应矩阵

$\tilde{A}=\left[\begin{array}{c}{\tilde{a}}_1\\ {\tilde{a}}_2\\ .\\ .\\ .\\ {\tilde{a}}_M\end{array}\right]---\left(10\right)$

是一个M×L矩阵，它的数学表达式为

(C)估计波达角。

空间信道包含L条多径，对于经过第l条径入射的信号，其波达角估计分为如下五个步骤。

(C-1)取出观测冲激响应矩阵的第l列，表示为向量 的数学表达式为

其中， ${\tilde{N}}_l^{\′}={\left[\begin{array}{ccc}{N}_1^{\′}\left({\mathrm{\τ}}_l\right)& \·\·\·& N_M^{\′}\end{array}\left({\mathrm{\τ}}_l\right)\right]}^T$ 表示噪声向量，[]^T表示转置。

根据式(11)求的协方差矩阵

其中，表示向量的共轭转置。是一个M×M矩阵。

(C-2)对协方差矩阵进行特征分解，得到M个特征值。这M个特征值按照由大到小的顺序表示为λ₁,…,λ_M。求取它们所对应的特征向量，分别表示为u₁,…,u_M。将M-1个较小特征值(即λ₂,…,λ_M)对应的特征向量(即u₂,…,u_M)按照式(12)构造矩阵B_R。

B_R＝[u₂ … u_M]   (14)

在本方法中称矩阵B_R为参考子空间。证明，B_R与接收天线阵列在波达角上的导向矢量近似正交。

(C-3)空间谱的数学表达式为

其中θ和分别表示方位角和俯仰角。θ和的取值集合分别表示为Θ和Φ。遍历θ和并通过式(13)得到θ和不同取值组合时的空间谱

(C-4)根据正交原理，空间谱将在第l条径的入射信号波达角处产生一个极大值。因此，搜索空间谱的最大值，该值所处的位置即为第l条径的入射信号波达角的估计值。本步骤对应过程的数学表达式为

其中表示在Θ和Φ内遍历θ和求出使花括号内的元素取值最大时所对应的θ和的值。

(C-5)对空间信道的第1～L条多径，分别执行以上四个步骤，即可得到它们的波达角估计值

以下是本发明方法具体的仿真实施方式。

(a)定义信号。

按照以下步骤定义信号。

(a-1)生成探测帧信号。使用长度为1023的m序列作为伪随机序列，基带探测信号a(t)的码速率为100兆比特/秒，也即式(1)中的T_b＝10ns，其中ns表示纳秒。一个探测帧u(t)由两个伪随机序列连接组成，也即式(2)中K＝2。探测帧通过BPSK调制，载波频率为2.5GHz。调制后的探测帧表示为u′(t)。

(a-2)生成多径信息。假设环境中包含L＝20条多径。这20条多径的时延、复响应和入射信号角度对发送端和接收端是未知的。为进行仿真，将这20条径的时延和复响应按照表1进行设置。

表1 不同多径的时延和复响应

其中，ξ是一个复常数，可自由设置。时延的单位是纳秒。这20条多径的入射方位角和俯仰角可随机生成，角度分辨率为1度，取值范围为1～180度。

(a-3)生成接收天线阵列。接收天线是4×4的矩形天线阵列，也即天线振子一共有4行4列，每行和每列上均有4枚天线振子。每行和每列上相邻天线振子的距离都是射频信号波长的一半，为6厘米。

(a-4)生成接收天线阵列在不同波达方向上的导向矢量。对于第m个天线振子，其位置是第m_i行、第m_j列。根据式(6)则得到其在的来波方向上的复响应为

其中e表示自然底数，j表示虚数，表示射频信号的波长，在本例中为12厘米(0.12米)，d在本例中为6厘米(0.06米)。设置方位角θ的取值集合Θ为[1，180]度，两个相邻方位角取值之差(也即方位角分辨率)为1度。俯仰角的取值集合Φ为[1，180]度，两个相邻俯仰角取值之差(也即俯仰角分辨率)为1度。对于取值集合内的所有方位角和俯仰角组合，都按照式(6)计算出第m个天线振子的复响应，此结果称为第m个天线的方向图。本例中天线方向图是180×180的矩阵，将天线方向图存储下来供后续角度使用。

对天线阵列中的所有16枚天线振子，都按照上述方法生成天线方向图并存储。根据第l条径的来波方向查询所有天线振子的方向图，找出相应的复响应，即可按照式(7)生成天线阵列在波达方向上的导向矢量按照这样的方法，生成接收天线阵列在所设定20条径的波达方向上的导向矢量。

(a-5)生成接收信号。对于第m个天线振子，按照式(3)生成射频接收信号y′_m(t)。

其中N′_m(t)是服从高斯分布的白噪声，L在本例中具体设为20，信噪比设置为0dB。和τ_l即为表1中所示的径的复响应和时延。对天线阵列上的所有16枚天线振子，都生成相应的接收信号。

(b)计算观测冲激响应矩阵。

按照如下步骤计算观测冲激响应矩阵。

(b-1)设置天线振子序号m为1。

(b-2)对射频接收信号y′_m(t)进行BPSK解调、低通滤波(滤波器带宽100MHz)，得到基带探测帧y_m(t)。

(b-3)将基带探测帧y_m(t)和基带探测信号a(t)做滑动相关，以表示得到的相关结果，即观测冲激响应。求得的最大值，表示为设置阀值Thr，其值为 $0.7\×{\tilde{h}}_{m\_\mathrm{Max}}.$

(b-4)从t＝0开始，找出满足的20个峰值点，这20个峰值点的值即为离散化的观测冲激响应，将这20个点的值按照式(9)的形式组成一个行向量，即为观测冲激响应矢量

(b-5)天线振子序号m加1，转回到(b-2)步骤执行，直至所有天线振子的观测冲激响应矢量都求取完成

(b-6)完成以上子步骤后，按照式(10)所示把所有观测冲激响应矢量组合成为一个观测冲激响应矩阵，表示为在本例中是16×20的矩阵。

(c)估计波达角。

按照如下步骤进行多径信号波达角的估计。

(c-1)径的序号l设置为1。

(c-2)取出观测冲激响应矩阵的第l列，表示为按照式(13)，计算出的协方差矩阵本例中矩阵是16×16的矩阵。

(c-3)对矩阵进行特征分解，得到16个特征值。将这16个特征值按照从大到小的顺序排列，分别用λ₁,…,λ₁₆来表示。针对特征值λ₂,…,λ₁₆，分别求得其对应的特征向量，用u₂,…,u_M来表示。按照式(14)组成参考子空间B_R。

(c-4)分别在取值集合Θ和Φ内遍历方位角θ和俯仰角对每一种方位角和俯仰角取值组合按照(a-5)步骤中所示的方法获得导向矢量并按照式(15)计算出空间谱值在本例中是180×180的矩阵。

(c-5)搜索空间谱的最大值，找到最大值所处的位置坐标，并标记该坐标为也即第l条径的信号波达角。

(c-6)径的序号l加1，并转回至(c-2)步骤执行，直至序号l等于20，也即所有径的信号波达角都完成估计。

(c-7)经过以上子步骤，所得到的即分别为本方法对本例中20条径的信号波达角的估计结果。

Claims (1)

1.一种基于阵列冲激响应的多径信号波达角估计方法，其特征在于包括以下步骤：

(A)定义信号；

选择长度为X的伪随机序列作为基带探测信号a(t)，其表达式为

$a\left(t\right)=\underset{n=0}{\overset{X-1}{\mathrm{\Σ}}}{b}_n{\mathrm{rect}}_{T_b}(t-n{T}_b),b_n\∈\{+1,-1\}---\left(1\right)$

其中，X表示伪随机序列的长度，t表示时间，表示宽度为T_b的矩形脉冲信号；K个PN序列组成一个探测帧u(t)，其表达式为

$u\left(t\right)=\underset{k=0}{\overset{K-1}{\mathrm{\Σ}}}a(t-k{T}_p)---\left(2\right)$

其中，T_p＝XT_b，探测帧u(t)是基本探测信号，该探测帧调制后经天线发射出去；

对于第m个天线振子，射频接收信号y′_m(t)的表达式为

其中，N′_m(t)是服从高斯分布的白噪声，L为多径条数，和τ_l即为多径的复响应和时延，u′(t)为调制后的探测帧；

首先假设传播环境中包含L条多径信号，其空间信道冲激响应模型h(t)表示如下

$h\left(t\right)=\underset{l=1}{\overset{L}{\mathrm{\Σ}}}{h}_l^{\mathrm{CH}}\mathrm{\δ}(t-{\mathrm{\τ}}_l)---\left(4\right)$

其中，L表示多径条数，表示第l条多径的信道复响应，是一个复常数，τ_l是第l条多径的时延值，δ(t)表示单位冲激函数；

接收天线阵列是二维平面阵列，包含M个天线振子，M为二维平面阵列天线振子个数；收发天线之间的距离满足远场条件，经解调后，第m个振子的输出信号y_m(t)表示为

其中，N_m(t)是第m个天线振子所接收到的噪声信号，θ_l、分别是第l条多径入射信号的方位角和俯仰角，是第m个天线振子对波达角为的入射信号的复响应，表示为

其中e表示自然底数，j表示虚数，表示射频信号的波长，d表示相邻天线振子的距离，m_i和m_j表示第m个天线阵子在天线阵列中位于第m_i行、第m_j列，θ、分别是多径入射信号的方位角和俯仰角；向量

称为接收天线阵列在波达方向上的导向矢量；θ_l、分别是第l条多径入射信号的方位角和俯仰角；

(B)计算观测冲激响应矩阵；

对于第m个天线振子，计算观测冲激响应矩阵分为如下四个步骤：

(B-1)对天线振子的输出信号进行解调和低通滤波后，得到基带接收信号y_m(t)；

(B-2)将接收探测信号y_m(t)与一个标准的本地伪随机序列a(t)做滑动相关，得到观测冲激响应表达式如下

其中，表示扩频增益，N′_m(t)是与本地伪随机序列相关后的噪声信号；

(B-3)将观测冲激响应离散化；对于包含L条多径的传播环境，选择值最大的L个峰值点，也即组成观测冲激响应矢量 的数学表达式为

其中， ${\tilde{N}}_m^{\′}=\left[\begin{array}{ccc}{N}_m^{\′}\left({\mathrm{\τ}}_1\right)& ...& \end{array}{N}_m^{\′}\left({\mathrm{\τ}}_L\right)\right]$ 表示噪声矢量；

(B-4)对于第1个至第M个接收天线振子的接收信号都执行以上三个步骤，得到它们的观测冲激响应矢量，分别表示为将这些观测冲激响应矢量按照如下形式组织成观测冲激响应矩阵

$\tilde{A}=\left[\begin{array}{c}{\tilde{a}}_1\\ {\tilde{a}}_2\\ .\\ .\\ .\\ {\tilde{a}}_M\end{array}\right]---\left(10\right)$

是一个M×L矩阵，它的数学表达式为

(C)估计波达角；

空间信道包含L条多径，对于经过第l条径入射的信号，其波达角估计分为如下五个步骤；

(C-1)取出观测冲激响应矩阵的第l列，表示为向量 的数学表达式为

其中， ${\hat{N}}_l^{\′}=\left[\begin{array}{ccc}{N}_1^{\′}\left({\mathrm{\τ}}_1\right)& ...& \end{array}{N}_M^{\′}\left({\mathrm{\τ}}_l\right)\right]$ 表示噪声向量，[]^T表示转置；

根据式(11)求的协方差矩阵

${\tilde{C}}_l={\tilde{v}}_l{\tilde{v}}_l^H---\left(13\right)$

其中，表示向量的共轭转置；是一个M×M矩阵；

(C-2)对协方差矩阵进行特征分解，得到M个特征值；这M个特征值按照由大到小的顺序表示为λ₁,…,λ_M；求取它们所对应的特征向量，分别表示为u₁,…,u_M；将M-1个较小特征值(即λ₂,…,λ_M)对应的特征向量(即u₂,…,u_M)按照式(12)构造矩阵B_R；

B_R＝[u₂ … u_M]   (14)

称矩阵B_R为参考子空间；证明，B_R与接收天线阵列在波达角上的导向矢量近似正交；

(C-3)空间谱的数学表达式为

其中，θ和分别表示方位角和俯仰角；θ和的取值集合分别表示为Θ和Φ；遍历θ和并通过式(13)得到θ和不同取值组合时的空间谱

(C-4)根据正交原理，空间谱将在第l条径的入射信号波达角处产生一个极大值；因此，搜索空间谱的最大值，该值所处的位置即为第l条径的入射信号波达角的估计值；本步骤对应过程的数学表达式为

其中，表示在Θ和Φ内遍历θ和求出使花括号内的元素取值最大时所对应的θ和的值；

(C-5)对空间信道的第1～L条多径，分别执行以上四个步骤，得到波达角估计值