CN104950804B - 一种基于改进的SVD‑Krylov算法的数控机床进给系统建模方法 - Google Patents
一种基于改进的SVD‑Krylov算法的数控机床进给系统建模方法 Download PDFInfo
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Abstract
本发明公开了一种基于改进的SVD‑Krylov算法的数控机床进给系统建模方法，该算法包括如下步骤：基于动力学方程建立数控机床进给系统的状态空间方程模型；获得原始系统状态空间矩阵，原始系统和传递函数模型；设定降阶系统阶次，启动多点矩匹配SVD‑Krylov算法进行降阶；输出降阶系统状态空间矩阵，降阶系统及相应降阶传递函数模型；采用正交实验方法和时间响应法进行降阶算法仿真验证。提出的降阶建模算法降阶后的模型能够保证渐近稳定，计算效率高，同时采用迭代算法，成倍增加了矩匹配数量，提高了降阶精度。本发明在降阶精度，计算效率方面有明显提高，大大加快了数控机床进给系统的建模与仿真速度。
Description
技术领域
本发明属于大型复杂机电系统模型建模降阶领域，更具体地，涉及一种基于改进的SVD-Krylov算法的数控机床进给系统建模方法。
背景技术
对数控机床进给系统进行动力学建模与仿真是直观并且有效掌握其内部特性的分析手段，然而机电系统涉及机械、电气、控制等多领域，致使系统非常复杂，状态变量很多，阶次很高。采用数控机床进给系统的初始系统模型直接进行建模与仿真相对困难或数值模拟非常耗时，效率低下，有时甚至难以为继。在这样的背景下，为了降低大型复杂系统的理论分析难度，提高建模速度和仿真效率，亟需对初始系统模型的阶数进行有效的降阶处理，从而使大型复杂机电系统在计算机和工程实际中易于实现。
现有的模型降阶算法主要有三类：基于SVD(Singular Value Decomposition)，基于Krylov(矩匹配)和基于SVD-Krylov的模型降阶算法。基于SVD的模型降阶算法具有良好的理论性质，降阶系统能够保持初始系统的结构特性，且容易得到降阶系统与初始系统之间的误差关系，然而需要求解两个Lyapunov方程，计算成本高达k1n3，所需的存储量达k2n2(其中k1、k2为与Lyapunov方程相关的特征系数)，故无法适应大规模系统降阶(n＜1000)；基于Krylov子空间(矩匹配)的模型降阶算法计算效率高，相应的迭代计算量降为p1n2q，存储量降为p2nq(其中p1、p2为与Krylov子空间相关的计算系数，q为降阶系统的阶次)，故适合大规模系统降阶(n＞1000)，但是此算法得到的降阶系统无法保证系统稳定性，也很难求出降阶误差界；基于SVD-Krylov算法结合了前两种算法的优点，一方面利用SVD良好的理论特性如稳定性和全局误差界，另一方面利用Krylov子空间法高效的数值计算能力，从而获得数值计算过程稳定高效，理论特性良好，近似误差足够小的降阶算法，然而进一步的研究表明，其仍然存在以下缺陷：1)降阶精度方面：其采用单点矩匹配原理，矩匹配数量有限，只能匹配与降阶次数相当的矩，降阶精度差；2)计算效率方面：SVD-Krylov算法中需求解Lyapunov方程，虽然相比于SVD降阶算法计算量大大降低了，但仍然不是最佳结果；3)算法性能方面：在SVD-Krylov算法中插值点的选择是一个随机过程，而算法的收敛速度过度依赖初始插值点的选择，这将造成算法的不稳定性。
发明内容
针对现有技术的上述缺点和/或改进需求，本发明提供了一种基于改进的SVD-Krylov算法的数控机床进给系统建模方法，其中根据数控机床进给系统自身的特点，相应设计了多点矩匹配SVD-Krylov降阶建模算法，其通过将多点矩匹配原理与SVD-Krylov算法相结合，实现矩匹配数量增加，使得输出矩误差最小，相应地能够提高降阶精度，因而尤其适用于数控机床进给系统的降阶建模等场合。
为实现上述目的，本发明提出了一种基于改进的SVD-Krylov算法的数控机床进给系统建模方法，其特征在于，包括如下步骤：
(1)建立机床进给系统状态空间模型：基于动力学方程为建模对象的数控机床伺服系统建立其对应的传递函数模型G(s)，并将该传递函数模型G(s)进一步分解为包含矩阵A,B,C的状态空间方程,相应的获得原始系统状态空间参数：原始系统状态空间矩阵{A,B,C}、原始系统和传递函数模型的表达式：C(sIn-A)-1B，其中：A∈Rn×n,B∈Rn×1,C∈R1×n，R为实数集，s表示拉氏变换因子，n为原始系统阶次，In表示n阶单位矩阵；设定降阶系统阶次为q，其中q<n；
(2)执行机床进给系统状态空间模型的降阶处理：首先，用步骤(1)中获得的原始系统状态空间矩阵{A,B,C}构建如下方程：ATQ+QA+CCT＝0；接着，为上述方程选择对应的迭代子空间和有理Krylov子空间；然后针对上述两个子空间执行迭代处理，得到相应的正交矩阵Q和V，并相应计算得出对应的变换矩阵Z＝QV(VTQV)-1，以此使得前2q阶输出矩实现精确匹配，相应获得降阶处理后的降阶系统状态空间参数：降阶系统状态空间矩阵{Aq BqCq}、降阶系统及相应的降阶传递函数模型Gq(s)＝Cq(sIq-Aq)-1Bq，其中Iq表示q阶单位矩阵；由此实现数控机床进给系统的建模和降阶，进而完成数控机床进给系统的动力学建模过程。
作为进一步优选地，所述步骤(1)中建立的传递函数模型G(s)优选为如下形式：
其中：G(s)表示对该数控机床进给系统所建立的S域内的传递函数，s表示拉氏变换因子，β0～β3、α0～a7分别表示所述参数建模中G(s)的各个多项式系数，XL为工作台位移，为系统输入的指令角位移，BL为机械部分等效阻尼系数，JL为机械部分等效转动惯量，Jm为电机转子转动惯量，KL为折算到丝杠上的机械部分等效扭转刚度，h为丝杠的导程，η为丝杠的传动效率，μv为粘滞摩擦系数，Kt为电机转矩系数，Kpp为位置环增益，Ksp为速度环增益，Ksi为速度环积分常数；
作为进一步优选地，所述步骤(1)中将所述传递函数模型G(s)进一步分解为状态空间方程的形式如下：
y＝[β3 β2 β1 β0 0 0 0][x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7]T；
转化为如下形式：
其中：
B＝[0 0 0 0 0 0 1]T；
C＝[β3 β2 β1 β0 0 0 0]。
作为进一步优选地，所述步骤(2)中的所述迭代处理的具体步骤如下：
(2-1)输入：输入原始系统状态空间矩阵{A,B,C}，频率扩展点降阶系统阶次q；
(2-2)初始化：选择频率扩展点和相应的频率扩展点对应的矩匹配的序列初始残差R0(si)＝(siIn-A)-1B和P0(si)＝C(siI-A)-1以及残差范数及
(2-3)迭代：设定j＝1,…,q，定义Rj-1(si)＝(siI-A)-jB，Pj-1(si)＝C(siI-A)-j；然后设置根据相应的最大矩阵误差选择j，设置j不变，再根据选择第j步迭代频率扩展点在点处产生双正交向量和其中残差范数更新残差和循环迭代直至得到双正交矩阵Vq＝[vg,1 vg,2 … vg,q]和Qq＝[qg,1 qg,2 … qg,q]；
(2-4)输出：采用QR矩阵分解法产生正实双正交矩阵V＝[v1 v2 … vq]和Q＝[q1 q2… qq]。
作为进一步优选地，所述步骤(2)之后还包括步骤(3)，其具体过程如下：将降阶系统的输出矩中除了前2q阶之外的其余高阶矩采用正交最小二乘的方式与初始进给系统的输出矩执行拟合处理，以进一步优化建模结果。
作为进一步优选地，所述步骤(3)之后还包括步骤(4)：降阶验证及误差分析，基于正交实验设计原理，采用时间响应仿真实验验证模型降阶算法的有效性和可靠性；误差分析根据相应曲线分析原始系统与降阶系统之间的H2范数误差所述H2范数误差越小，降阶精度越高。
总体而言，通过本发明所构思的以上技术方案与现有技术相比，主要具备以下的技术优点：
1.具有高的降阶精度，采用多点矩匹配原理实现矩匹配数量的增加，能够准确匹配前2q阶输出矩参数(q表示降阶系统的阶次)，剩余的未能精确匹配的高阶矩以最小二乘形式逼近原模型，且具有最小化的H2范数误差，大大提高降阶精度。
2.具有高的计算效率，算法稳定且易于实现，避免直接求解而通过迭代子空间法求解可观格莱姆矩阵Q，大大降低了计算量，提高了计算效率。
3.降阶系统能够保证渐近稳定，采用自适应方法优化插值点选择，根据输出矩的最大误差来选择频率扩展点从而改善输出矩特性，大大提高了算法稳定性。
附图说明
图1是本发明中提出的MMMSK降阶建模流程图；
图2是本发明中模型降阶算法实验验证原理图。
具体实施方式
为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图及实施例，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。此外，下面所描述的本发明各个实施方式中所涉及到的技术特征只要彼此之间未构成冲突就可以相互组合。
滚珠丝杠进给系统是数控机床进给系统中的一种典型系统，主要由机械传动机构和伺服控制系统两大部分组成，选用滚珠丝杠进给系统作为本发明的数控进给系统，本发明的一种基于改进的SVD-Krylov算法的数控机床进给系统建模方法，包括如下步骤：
(1)建立机床进给系统状态空间模型
(1-1)首先，基于动力学方程建立机床伺服系统的传递函数模型，该传递函数的建立过程可采用本领域多种适当的方式，在此不再赘述。按照本发明的一个优选实施方式，本发明考虑到数控机床进给伺服系统数据采集的简便性，传动方式特点以及矢量控制策略，优选采用了如下的传递函数来反映数控机床的伺服系统，并选择原始系统阶次n为7，降阶系统阶次为q，其中q<n，所述传递函数如下：
其中，G(s)表示对该数控机床进给系统所建立的S域内的传递函数；s表示拉氏变换因子；β0～β3、α0～a7分别表示所述参数建模G(s)中的各个多项式系数；XL为工作台位移；为系统输入的指令角位移；BL为机械部分等效阻尼系数；JL为机械部分等效转动惯量；Jm为电机转子转动惯量，KL为折算到丝杠上的机械部分等效扭转刚度；h为丝杠的导程；η为丝杠的传动效率；μv为粘滞摩擦系数；Kt为电机转矩系数；Kpp为位置环增益；Ksp为速度环增益；Ksi为速度环积分常数；
(1-2)然后，将上述传递函数进一步分解为状态空间方程为：
其中，Y(s)，U(s)和Z(s)为转换用状态量；
进一步获得：
对上式取拉氏反变换，则
按下列规律选择状态变量，即设于是有：
y＝β0x4+β1x3+β2x2+β3x1；
写成矩阵形式如下：
y＝[β3 β2 β1 β0 0 0 0][x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7]T
即形如：其中：
B＝[0 0 0 0 0 0 1]T；
C＝[β3 β2 β1 β0 0 0 0]；
获得原始系统状态空间矩阵{A,B,C}，原始系统和传递函数模型G(s)＝C(sIn-A)-1B，其中A∈Rn×n,B∈Rn×1,C∈R1×n，R为实数集，n为原始系统阶次，In表示n阶单位矩阵。
(2)采用MMMSK(多点矩匹配SVD-Krylov降阶法)进行降阶
首先根据步骤(1)得到的原始系统状态空间矩阵{A,B,C}构建方程ATQ+QA+CCT＝0，基于迭代有理子空间能够实现传递函数在低频和高频范围内的良好近似，选择如下的求解上述方程的迭代子空间和有理Krylov子空间采用TRGAA算法(Two-sided rational global Arnoldi with adpative-order：双边有理全局自适应Arnoldi法)分别对上述迭代子空间和Krylov子空间进行迭代求解，得到相应的正交矩阵Q和V，并计算变换矩阵Z＝QV(VTQV)-1；最后得到并输出降阶系统状态空间矩阵{Aq Bq Cq}，降阶系统及相应传的递函数模型Gq(s)＝Cq(sIq-Aq)-1Bq，其中Iq表示q阶单位矩阵，其中ZTV＝Iq，VTV＝Iq，QTQ＝Iq，由此实现数控机床进给系统的建模和降阶处理，进而完成数控机床进给系统的动力学建模过程。
其中MMMSK的算法如下：
其中TRGAA算法包括如下步骤：
(2-1)输入：输入系统矩阵{A，B，C}，频率扩展点一般设定si∈-λi(A)(λi(A)表示系数矩阵A的特征值)，降阶系统阶次为q，其中A∈Rn×n,B∈Rn×1,C∈R1×n，R属于实数集，一般n>q。
(2-2)初始化：选择频率扩展点和相应的频率扩展点对应的矩匹配的序列初始残差R0(si)＝(siI-A)-1B和P0(si)＝C(siI-A)-1以及残差范数及其中||·||F表示F范数。
(2-3)迭代：设定j＝1,…,q，定义Rj-1(si)＝(siI-A)-jB，Pj-1(si)＝C(siI-A)-j，设置根据相应的最大矩阵误差选择j，然后设置j不变，再根据选择第j步迭代频率扩展点计算点处双正交向量：和其中相应残差范数为和由上一步得到残差和采用重启机制确定频率扩展点的迭代次数，如果有Rj(si)＝(siI-A)-1vg,j，Pj(si)＝qg,j(siI-A)-1，否则Rj(si)＝Rj-1(si)，Pj(si)＝Pj-1(si)，循环迭代得到Vq＝[vg,1 vg,2 … vg,q]和Qq＝[qg,1 qg,2 … qg,q]。
(2-4)输出：采用QR分解产生正实双正交矩阵V＝real(Vq)＝[v1 v2 … vq]和Q＝real(Qq)＝[q1 q2 … qq]；
(3)所述TRGAA算法能够精确匹配前2q阶输出矩，采用正交最小二乘法将剩余的高阶矩即未能精确匹配的矩以最小二乘的形式与原模型输出矩执行拟合处理，以进一步优化建模结果；
(4)降阶验证及误差分析
基于正交实验设计原理，采用时间响应仿真实验验证模型降阶算法的有效性和可靠性，误差分析主要是根据相应曲线分析初始系统与降阶系统之间的H2范数误差在此选择H2范数误差作为衡量降阶精度的指标，在相同的输入信号下(单位阶跃函数、单位斜坡函数和正弦函数等)，得到初始模型时间响应曲线和降阶模型时间响应曲线以及初始系统与降阶系统之间H2范数误差时间响应曲线，图2为本发明中模型降阶算法实验验证原理图，信号输入模块中包含输入所需信号单位阶跃函数、单位斜坡函数和正弦函数等，输入相同的仿真信号，分别对初始模型和降阶模型进行时间响应仿真，输出初始模型响应曲线和降阶模型响应曲线，进一步得到初始系统与降阶系统之间H2范数误差时间响应曲线，根据图2所述降阶验证方案进行仿真实验，采用正交实验方法，验证降阶算法的有效性和可靠性。
下面对矩匹配原理进行说明，考虑n维SISO(Single Input Single Output:单输入单输出)线性系统：
其中，x(t)∈Rn为状态向量，u(t)∈R为输入量，y(t)∈R为输出量，A∈Rn×n，B∈Rn ×1，C∈R1×n为系统的系数矩阵。
通过拉氏变换得到X(s)＝(sI-A)-1B和Y(s)＝CX(s)，这里假定(sI-A)非奇异，对X(s)＝(sI-A)-1B在频率扩展点si(其中si为非极点)处进行泰勒展开：
定义φ＝-(sI-A)-1 ξ＝(sI-A)-1B，φi＝-(siI-A)-1 ξi＝(siI-A)-1B，则有称为si处的第j阶系统矩，其中φi j＝-(siI-A)-j；
进一步计算，称为si处的第j阶输出矩，在此处传递函数G(s)＝Y(s)＝C(sI-A)-1B；
输出矩为进一步有η(j)＝Cμ(j)＝Cφjξ；
采用多点矩匹配算法，能够准确匹配前2q阶输出矩，即降阶后的传递函数模型的前2q阶输出矩与原传递函数模型相应的前2q阶输出矩相等，即
结合算法说明匹配过程，由TRGAA算法得到的双正交矩阵V＝[v1 v2 … vq]和Q＝[q1 q2 … qq]，同时有向量和正交；
定义Dq＝QTV＝diag(δ1,…,δq)，则有：
φi kξi＝φi kv1＝φi kVe1＝VHq ke1，k＝0,…,q-1，其中e1＝[1 0 … 0]T∈Rq；
从而有，η(j)＝Cφjξ＝(Cφm)(φkξ)，j＝m+k；
如果j≤2q-2，则存在0≤m≤q，0≤k≤q-1，由上式有由Qq TVq＝Dq＝diag(δ1,…,δq)有如果j＝2q-1，有
所以有即有初始系统S和降阶系统Sq的矩满足：即降阶系统能够精确匹配2q个矩。
本领域的技术人员容易理解，以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换和改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。
Claims (5)
1.一种基于改进的SVD-Krylov算法的数控机床进给系统建模方法，其特征在于，包括如下步骤：
(1)建立机床进给系统状态空间模型：基于动力学方程为建模对象的数控机床伺服系统建立其对应的传递函数模型G(s)，并将该传递函数模型G(s)进一步分解为包含矩阵A,B,C的状态空间方程,相应的获得原始系统状态空间参数：原始系统状态空间矩阵{A,B,C}、原始系统和传递函数模型的表达式：C(sIn-A)-1B，传递函数模型G(s)为如下形式：
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</mrow>
其中：A∈Rn×n,B∈Rn×1,C∈R1×n，R为实数集，s表示拉氏变换因子，n为原始系统阶次，In表示n阶单位矩阵；设定降阶系统阶次为q，其中q<n,G(s)表示对该数控机床进给系统所建立的S域内的传递函数，s表示拉氏变换因子，β0～β3、α0～a7分别表示所述参数建模中G(s)的各个多项式系数，XL为工作台位移，为系统输入的指令角位移，BL为机械部分等效阻尼系数，JL为机械部分等效转动惯量，Jm为电机转子转动惯量，KL为折算到丝杠上的机械部分等效扭转刚度，h为丝杠的导程，η为丝杠的传动效率，μv为粘滞摩擦系数，Kt为电机转矩系数，Kpp为位置环增益，Ksp为速度环增益，Ksi为速度环积分常数；
(2)执行机床进给系统状态空间模型的降阶处理：首先，用步骤(1)中获得的原始系统状态空间矩阵{A,B,C}构建如下方程：ATQ+QA+CCT＝0；接着，为上述方程选择对应的迭代子空间和有理Krylov子空间；然后针对上述两个子空间执行迭代处理，得到相应的正交矩阵Q和V，并相应计算得出对应的变换矩阵Z＝QV(VTQV)-1，以此使得前2q阶输出矩实现精确匹配，相应获得降阶处理后的降阶系统状态空间参数：降阶系统状态空间矩阵{Aq Bq Cq}、降阶系统及相应的降阶传递函数模型Gq(s)＝Cq(sIq-Aq)-1Bq，其中Iq表示q阶单位矩阵；由此实现数控机床进给系统的建模和降阶，进而完成数控机床进给系统的动力学建模过程。
2.如权利要求1所述的一种基于改进的SVD-Krylov算法的数控机床进给系统建模方法，其特征在于，所述步骤(1)中将所述传递函数模型G(s)进一步分解为状态空间方程的形式如下：
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y＝[β3 β2 β1 β0 0 0 0][x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7]T；
转化为如下形式：
其中：
<mrow>
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<mo>=</mo>
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</mrow>
B＝[0 0 0 0 0 0 1]T；
C＝[β3 β2 β1 β0 0 0 0]。
3.如权利要求1或2所述的一种基于改进的SVD-Krylov算法的数控机床进给系统建模方法，其特征在于，所述步骤(2)中的所述迭代处理的具体步骤如下：
(2-1)输入：输入原始系统状态空间矩阵{A,B,C}，频率扩展点降阶系统阶次q；
(2-2)初始化：选择频率扩展点和相应的频率扩展点对应的矩匹配的序列初始残差R0(si)＝(siIn-A)-1B和P0(si)＝C(siI-A)-1以及残差范数及
(2-3)迭代：设定j＝1,…,q，定义Rj-1(si)＝(siI-A)-jB，Pj-1(si)＝C(siI-A)-j；然后设置根据相应的最大矩阵误差选择j，设置j不变，再根据选择第j步迭代频率扩展点在点处产生双正交向量和其中残差范数更新残差和循环迭代直至得到双正交矩阵Vq＝[vg,1 vg,2 … vg,q]和Qq＝[qg,1 qg,2 … qg,q]；
(2-4)输出：采用QR矩阵分解法产生正实双正交矩阵V＝[v1 v2 … vq]和Q＝[q1 q2 …qq]。
4.如权利要求3所述的一种基于改进的SVD-Krylov算法的数控机床进给系统建模方法，其特征在于，所述步骤(2)之后还包括步骤(3)，其具体过程如下：将降阶系统的输出矩中除了前2q阶之外的其余高阶矩采用正交最小二乘的方式与初始进给系统的输出矩执行拟合处理，以进一步优化建模结果。
5.如权利要求4所述的一种基于改进的SVD-Krylov算法的数控机床进给系统建模方法，其特征在于，所述步骤(3)之后还包括步骤(4)：降阶验证及误差分析，基于正交实验设计原理，采用时间响应仿真实验验证模型降阶算法的有效性和可靠性；误差分析根据相应曲线分析原始系统与降阶系统之间的H2范数误差所述H2范数误差越小，降阶精度越高。
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