CN104950668A - 卫星编队解析式燃料优化控制方法及系统 - Google Patents

Abstract

一种卫星编队解析式燃料优化控制方法，基于状态空间映射，将运动状态转换为几何构形参数，并由此建立几何参数描述的燃料最优编队规划模型，获得末状态等式约束下进行编队机动规划所需的燃料下界，通过比较多个下界面及下界面的可达性，最终获得燃料最优的充要条件，并进一步得到时间最短、脉冲数最少的解析式燃料优化控制策略。本发明可以为卫星编队飞行提供快速的解析式燃料最优规划方法，具有意义明确、形式简单、计算量小等优点，可以满足近地轨道卫星近距离轨道机动需要。

Description

卫星编队解析式燃料优化控制方法及系统

技术领域

本发明涉及的是一种航天技术领域的近地轨道卫星编队机动规划方法，具体是一种卫星编队解析式燃料优化控制方法及系统。

背景技术

面向分布式卫星对地观测系统，针对近地轨道编队机动燃料最优规划问题，提出具有解析形式的快速规划方法，为分布式卫星系统建设提供关键技术和方法支撑，具有重要的应用价值。目前国内普遍采用各种数值计算方法进行求解，一方面计算量大，难以实用；另一方面不知燃料消耗的极限在什么位置，难以获得真正意义上的最优解，只能在某种程度上近似或逼近。因此提出解析形式的快速规划方法是十分必要的。

经过对现有技术的检索发现，中国专利文献号CN104330971A公开(公告)日2015.02.04，公开了一种微小卫星群编队消耗量优化方法，包括：确定卫星变轨转移时间与燃料消耗相关的因素为转移时间和终点位置；确定卫星群中的卫星间编码结构；形成卫星变轨转移的能耗计算方法；对形成的卫星变轨转移能耗进行小生境遗传算法分析，形成最优变轨能耗数据，转换为相应双脉冲发动机能耗控制参数。但该技术无法解决的技术问题包括：1、其使用遗传算法进行优化求解，计算量大，且容易陷入局部最优解，无法判断优化后的结果是否为全局最优解；2、该方法只能针对给定了具体数值的案例进行求解，没有给出燃料消耗的最小极限，以及该极限是否可以实现，更没有提出燃料最优编队机动控制的普遍适用方法。

中国专利文献号CN103257653A公开(公告)日2013.08.21，公开了一种基于燃料消耗优化的卫星编队构形控制方法，包括如下步骤：计算编队构形控制输入量，根据控制输入量判断是否需要进行平面外轨道控制，如果需要平面外轨控，计算出相应的速度增量和轨控时刻，并计算平面外轨控对平面内轨道根数的耦合影响，修正平面内的控制输入量；然后进行平面内轨道根数的联合调整，考虑了平面内轨道根数调整之间的耦合影响，并进行有效补偿。根据是否需要利用漂移被动控制，确定合适k值，计算获得三冲量速度增量和轨控时刻。但该技术无法解决的技术问题包括：1、该技术首先就约束了脉冲次数，本质上是固定脉冲次数下的脉冲值求解，并不是将编队机动控制作为一个优化问题来处理，也没有用到任何优化分析方法，因此其所获得的结果并不是最优解；2、该技术在推导过程中，没有明确提到但确假设了法向脉冲为零，这个假设在本技术的解析结果中为必然结论，因此在一定程度上，该技术所提的方法具有较好的燃料性能，且某些情况下是最优的，但大部分时候不是；3、该技术只讨论了脉冲控制方式，对小推力持续最优控制方式并没有考虑。

发明内容

本发明针对现有技术存在的上述不足，提出一种卫星编队解析式燃料优化控制方法及系统，通过状态空间与参数空间的映射关系，转换问题描述方式，采用距离不等式获取燃料消耗下界，并进一步得到最优的充要条件，最后获得解析最优解；本发明可以为卫星编队飞行提供快速的解析式燃料最优规划方法，具有意义明确、形式简单、计算量小等优点，可以满足近地轨道卫星近距离轨道机动需要。

本发明是通过以下技术方案实现的：

本发明涉及一种卫星编队解析式燃料优化控制方法，基于状态空间映射，将运动状态转换为几何构形参数，并由此建立几何参数描述的燃料最优编队规划模型，获得末状态等式约束下进行编队机动规划所需的燃料下界，通过比较多个下界面及下界面的可达性，最终获得燃料最优的充要条件，并进一步得到时间最短、脉冲数最少的解析式燃料优化控制策略。

所述的运动状态是指：当一颗卫星围绕另一颗卫星近距离飞行时，其轨迹运动采用六维状态描述：其中：x,y,z为位置矢量；为速度矢量。

以运动状态为描述的编队飞行相对运动的线性化模型为Clohessy‐Wiltshire方程，其状态转移矩阵为：

$\mathrm{\Φ}\left(t\right)=e^{\mathrm{At}}=\left[\begin{array}{cccccc}4-3\cos \left(\mathrm{nt}\right)& 0& 0& \frac{\sin \left(\mathrm{nt}\right)}{n}& \frac{2(1-\cos \left(\mathrm{nt}\right))}{n}& 0\\ 6\sin \left(\mathrm{nt}\right)-6\mathrm{nt}& 1& 0& \frac{2(\cos \left(\mathrm{nt}\right)-1)}{n}& \frac{4\sin \left(\mathrm{nt}\right)-3\mathrm{nt}}{n}& 0\\ 0& 0& \cos \left(\mathrm{nt}\right)& 0& 0& \frac{\sin \mathrm{nt}}{n}\\ 3n\sin \left(\mathrm{nt}\right)& 0& 0& \cos \left(\mathrm{nt}\right)& 2\sin \left(\mathrm{nt}\right)& 0\\ 6n(\cos \left(\mathrm{nt}\right)-1)& 0& 0& -2\sin \left(\mathrm{nt}\right)& 4\cos \left(\mathrm{nt}\right)-3& 0\\ 0& 0& -n\sin \left(\mathrm{nt}\right)& 0& 0& \cos \mathrm{nt}\end{array}\right],$ 其中：

n为主星轨道平均角速度，t为时间。

所述的状态空间映射是指：基于编队构形的几何参数p＝[p,φ,s,l,q,θ]^T与初始运动状态x₀之间存在相互转换关系为：轨道平面内运动的尺寸参数轨道平面内运动的相位参数轨道平面内运动的中心参数轨道平面内运动的中心参数轨道平面外运动的尺寸参数轨道平面外运动的相位参数θ∈[0,2π)，因此以几何参数表示的运动状态为：

$\left\{\begin{array}{c}x\left(t\right)=-p\cos (\mathrm{nt}+\mathrm{\φ})+s\\ y\left(t\right)=2p\sin (\mathrm{nt}+\mathrm{\φ})+l-1.5\mathrm{nts}\\ z\left(t\right)=q\sin (\mathrm{nt}+\mathrm{\θ})\end{array}\right.;\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·}{x}\left(t\right)=\mathrm{np}\sin (\mathrm{nt}+\mathrm{\φ})\\ \stackrel{\·}{y}\left(t\right)=2\mathrm{np}\cos (\mathrm{nt}+\mathrm{\φ})-1.5\mathrm{ns}\\ \stackrel{\·}{z}\left(t\right)=\mathrm{nq}\cos (\mathrm{nt}+\mathrm{\θ})\end{array}\right..$

所述的几何参数描述的燃料最优编队规划模型是指：

a.以运动状态描述的燃料最优编队规划问题为：

$\begin{array}{cc}\min & J={\∫}_0^{t_f}\left[\right|u_x\left(t\right)|+|u_y\left(t\right)|+|u_z\left(t\right)\left|\right]\mathrm{dt}\\ s.t.& {\∫}_0^{t_f}\mathrm{\Φ}(-t)\mathrm{Bu}\left(t\right)\mathrm{dt}=x_0\end{array}$

其中：J为燃料消耗量；x₀为初始运动状态；t_f为机动时间；u_x、u_y和u_z分别为控制力的三个分量；u为控制力向量，脉冲控制时可写成δ函数的级数。

b.根据状态空间映射将上述优化问题等效为：

$\begin{array}{cc}\min & J={\∫}_0^{t_f}\left[\right|u_x\left(t\right)|+|u_y\left(t\right)|+|u_z\left(t\right)\left|\right]\mathrm{dt}\end{array}$

$s.t.\left\{\begin{array}{c}{\∫}_0^{t_f}[\cos \left(\mathrm{nt}\right)u_x\left(t\right)-2\sin \left(\mathrm{nt}\right)u_y\left(t\right)]\mathrm{dt}=\mathrm{np}\sin \mathrm{\φ}\\ {\∫}_0^{t_f}[\sin \left(\mathrm{nt}\right)u_x\left(t\right)+2\cos \left(\mathrm{nt}\right)u_y\left(t\right)]\mathrm{dt}=\mathrm{np}\cos \mathrm{\φ}\\ {\∫}_0^{t_f}{u}_y\left(t\right)\mathrm{dt}=0.5\mathrm{ns}\\ {\∫}_0^{t_f}[{3\mathrm{ntu}}_y\left(t\right)-{2u}_x\left(t\right)]\mathrm{dt}=\mathrm{nl}\\ {\∫}_0^{t_f}\left[\sin \left(\mathrm{nt}\right)u_z\left(t\right)\right]\mathrm{dt}=-\mathrm{nq}\sin \mathrm{\θ}\\ {\∫}_0^{t_f}\left[\cos \left(\mathrm{nt}\right)u_z\left(t\right)\right]\mathrm{dt}=\mathrm{nq}\cos \mathrm{\θ}\end{array}\right..$

所述的燃料下界，包括：轨道平面外燃料下界、轨道平面内燃料消耗下界，其中：轨道平面外燃料下界为轨道平面内燃料消耗下界为

$J_{\mathrm{xy}}={\∫}_0^{t_f}\left[\right|u_x\left(t\right)|+|u_y\left(t\right)\left|\right]\mathrm{dt}\≥0.5\mathrm{np},J_{\mathrm{xy}}={\∫}_0^{t_f}\left[\right|u_x\left(t\right)|+|u_y\left(t\right)\left|\right]\mathrm{dt}\≥0.5n\left|s\right|,$ 其中：区间[0,t_f],t_f≥0上任意的实可积函数f(t)和g(t)，满足

${\left[{\∫}_0^{t_f}\sqrt{f^2\left(t\right)+g^2\left(t\right)}\mathrm{dt}\right]}^2\≥{\left[{\∫}_0^{t_f}f\left(t\right)\mathrm{dt}\right]}^2+{\left[{\∫}_0^{t_f}g\left(t\right)\mathrm{dt}\right]}^2.$

所述的燃料最优的充要条件是指：轨道平面外、平面内最优解，其中：

a.轨道平面外最优解为脉冲控制下的最优方案，该方案下的脉冲施加点由相位参数θ决定，只能位于θ或θ+π处，因此最少仅需一次脉冲，脉冲大小nq。

b.轨道平面内最优解为脉冲控制或恒值推力控制下的最优方案，该方案包括以下三种情况：

情况一：p＝|s|＝0,l≠0，最优解不存在，只能为次优解，且燃料消耗与机动时间长度t_f反比。

情况二：p≥|s|，最优解为三次脉冲控制，具体为：

$\left\{\begin{array}{cc}{t}_y^{+}\left(1\right)=k^{+}T-T_{\mathrm{\φ}},& u_y^{*+}\left(1\right)=0.25n(p+s)\\ t_y^{-}\left(1\right)=(k^{-}+0.5)T-T_{\mathrm{\φ}},& u_y^{*-}\left(1\right)=-0.25\mathrm{\αn}(p-s)\\ t_y^{-}\left(2\right)=(k^{-}+1.5)T-T_{\mathrm{\φ}},& u_y^{*-}\left(2\right)=-0.25(1-\mathrm{\α})n(p-s)\end{array}\right.,$ 燃料消耗仅与尺寸参数p有关，其中：分别表示y轴正方向、负方向上的最优脉冲；分别对应方向的脉冲时刻；k⁺、k^-为正整数，表示脉冲时刻与轨道周期比值的整数部分；T＝2π/n为轨道周期；T_φ＝φ/n为相位参数φ引起的脉冲时刻偏移值。且这些参数满足

$(p+s)k^{+}-(p-s)(k^{-}+1-\mathrm{\α})=\frac{4l}{3\mathrm{\π}}+\frac{{2\mathrm{sT}}_{\mathrm{\φ}}}{T}+\frac{(p-s)}{2}.$

情况三：|s|≥p>0，最优解为脉冲控制或两段连续恒值推力控制，具体为：

$u_j^{*}\left(t\right)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{n^2{s}_j}{{4\sin c}^{-1}\left(\frac{p_j}{\left|s_j\right|}\right)};& t\∈[T-T_{\mathrm{\φ}}-\frac{1}{n}{\sin c}^{-1}\left(\frac{p_j}{\left|s_j\right|}\right),T-T_{\mathrm{\φ}}+\frac{1}{n}{\sin c}^{-1}\left(\frac{p_j}{\left|s_j\right|}\right)]\\ 0;& \mathrm{otherwise}\end{array}\right.,$ 其中：

sinc^-1(·)为非归一化辛格函数的逆函数；T_φ＝φ/n；j＝1,2。此时燃料消耗仅与尺寸参数|s|有关，其中：两段推力的分配(s₁,p₁)和(s₂,p₂)满足：

$\left\{\begin{array}{c}{s}_1=\mathrm{\ϵs}\\ p_1=\mathrm{\ηp}\end{array}\right.;\left\{\begin{array}{c}{s}_2=(1-\mathrm{\ϵ})s\\ p_2=(1-\mathrm{\η})p\end{array}\right.;$ 其中：ε、η分别为第一段推力中s、p所占的比重。

技术效果

与现有技术相比，本发明可直接计算出最优结果，给出燃料最优性判别条件，提供解析的全局最优解，计算量远远小于比现有搜索方法(如遗传算法、退火法、穷举法等)；本发明能够向编队飞行、交会过程提供最低燃料消耗的机动控制方法，适用于近圆轨道上的近距离轨道机动，如编队飞行、交会对接。

附图说明

图1是本发明的燃料最优规划运动轨迹图。

图2是本发明的燃料最优规划参数变化图。

具体实施方式

下面对本发明的实施例作详细说明，本实施例在以本发明技术方案为前提下进行实施，给出了详细的实施方式和具体的操作过程，但本发明的保护范围不限于下述的实施例。

实施例1

本实施例包括以下步骤：

步骤1)确定初始条件。轨道高度为800公里，初始时刻位于目标卫星后方3000米、下方100米的跟随轨道上，轨道周期为T＝6052.4s。

步骤2)根据初始条件计算构形的几何参数：p＝[0m,0°,100m,3000m,0m,0°]^T

步骤3)判断参数分属情况，计算控制力或控制脉冲。由于满足p≤|s|且sl>0，符合情况三，因此燃料最优既可以采用三次脉冲： $\begin{array}{cc}{t}_1=0.5T& {\mathrm{\Δv}}_1^{*}=0.0035m/s\\ t_2=1.5T& {\mathrm{\Δv}}_2^{*}=0.0225m/s\\ t_3=5T& {\mathrm{\Δv}}_3^{*}=0.0259m/s\end{array}$

也可以采用两段连续恒值推力： $u^{*}\left(t\right)=\left\{\begin{array}{cc}7.006\×{10}^{-6}m/s^2;& t\∈[2.5T,3.5T]\\ 1.570\×{10}^{-6}m/s^2;& t\∈[3.5T,4.5T]\\ 0;& \mathrm{otherwise}\end{array}\right.$

总燃料消耗为：Δv＝0.5n|s|＝0.0519m/s

步骤4)验证最优解，如图1和图2所示。

Claims (6)

1.一种卫星编队解析式燃料优化控制方法，其特征在于，基于状态空间映射，将运动状态转换为几何构形参数，并由此建立几何参数描述的燃料最优编队规划模型，获得末状态等式约束下进行编队机动规划所需的燃料下界，通过比较多个下界面及下界面的可达性，最终获得燃料最优的充要条件，并进一步得到时间最短、脉冲数最少的解析式燃料优化控制策略。

2.根据权利要求1所述的方法，其特征是，所述的运动状态是指：当一颗卫星围绕另一颗卫星近距离飞行时，其轨迹运动采用六维状态描述：其中：x,y,z为位置矢量；为速度矢量，以运动状态为描述的编队飞行相对运动的线性化模型为Clohessy‐Wiltshire方程，其状态转移矩阵为：

$\mathrm{\Φ}\left(\text{t}\right)=e^{\mathrm{At}}=\left[\begin{array}{cccccc}4-3\cos \left(\mathrm{nt}\right)& 0& 0& \frac{\sin \left(\mathrm{nt}\right)}{n}& \frac{2(1-\cos \left(\mathrm{nt}\right))}{n}& 0\\ 6\sin \left(\mathrm{nt}\right)-6\mathrm{nt}& 1& 0& \frac{2(\cos \left(\mathrm{nt}\right)-1)}{n}& \frac{4\sin \left(\mathrm{nt}\right)-3\mathrm{nt}}{n}& 0\\ 0& 0& \cos \left(\mathrm{nt}\right)& 0& 0& \frac{\sin \mathrm{nt}}{n}\\ 3n\sin \left(\mathrm{nt}\right)& 0& 0& \cos \left(\mathrm{nt}\right)& 2\sin \left(\mathrm{nt}\right)& 0\\ 6n(\cos \left(\mathrm{nt}\right)-1)& 0& 0& -2\sin \left(\mathrm{nt}\right)& 4\cos \left(\mathrm{nt}\right)-3& 0\\ 0& 0& -n\sin \left(\mathrm{nt}\right)& 0& 0& \cos \mathrm{nt}\end{array}\right],$ 其中：n为主星轨道平均角速度，t为时间。

3.根据权利要求1所述的方法，其特征是，所述的状态空间映射是指：基于编队构形的几何参数p＝[p,φ,s,l,q,θ]^T与初始运动状态x₀之间存在相互转换关系为：轨道平面内运动的尺寸参数 $p=\sqrt{{({3\mathrm{nx}}_0+2{\stackrel{\·}{y}}_0)}^2+{\stackrel{\·}{x}}_0^2}/n,$ 轨道平面内运动的相位参数 $\mathrm{\φ}=\arctan \frac{{\stackrel{\·}{x}}_0}{{3\mathrm{nx}}_0+2{\stackrel{\·}{y}}_0},$ 轨道平面内运动的中心参数轨道平面内运动的中心参数轨道平面外运动的尺寸参数轨道平面外运动的相位参数θ∈[0,2π)，因此以几何参数表示的运动状态为：

$\left\{\begin{array}{c}x\left(t\right)=-p\cos (\mathrm{nt}+\mathrm{\φ})+s\\ y\left(t\right)=2p\sin (\mathrm{nt}+\mathrm{\φ})+l-1.5\mathrm{nts}\\ z\left(t\right)=q\sin (\mathrm{nt}+\mathrm{\θ})\end{array}\right.;$ $\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·}{x}\left(t\right)=\mathrm{np}\sin (\mathrm{nt}+\mathrm{\φ})\\ \stackrel{\·}{y}\left(t\right)=2\mathrm{np}\cos (\mathrm{nt}+\mathrm{\φ})-1.5\mathrm{ns}\\ \stackrel{\·}{z}\left(t\right)=\mathrm{nq}\cos (\mathrm{nt}+\mathrm{\θ})\end{array}\right..$

4.根据权利要求3所述的方法，其特征是，所述的几何参数描述的燃料最优编队规划模型是指：

a.以运动状态描述的燃料最优编队规划问题为：

$\begin{array}{cc}\min & J={\∫}_0^{t_f}\left[\right|u_x\left(t\right)|+|u_y\left(t\right)|+|u_z\left(t\right)\left|\right]\mathrm{dt}\\ s.t.& {\∫}_0^{t_f}\mathrm{\Φ}(-t)\mathrm{Bu}\left(t\right)\mathrm{dt}=x_0\end{array},$ 其中：J为燃料消耗量；x₀为初始运动状态；t_f为机动时间；u_x、u_y和u_z分别为控制力的三个分量；u为控制力向量，脉冲控制时可写成δ函数的级数；

b.根据状态空间映射将上述优化问题等效为：

$\begin{array}{cc}\min & J={\∫}_0^{t_f}\left[\right|u_x\left(t\right)|+|u_y\left(t\right)|+|u_z\left(t\right)\left|\right]\mathrm{dt}\end{array}$

$s.t.\left\{\begin{array}{c}{\∫}_0^{t_f}[\cos \left(\mathrm{nt}\right)u_x\left(t\right)-2\sin \left(\mathrm{nt}\right)u_y\left(t\right)]\mathrm{dt}=\mathrm{np}\sin \mathrm{\φ}\\ {\∫}_0^{t_f}[\sin \left(\mathrm{nt}\right)u_x\left(t\right)+2\cos \left(\mathrm{nt}\right)u_y\left(t\right)]\mathrm{dt}=\mathrm{np}\cos \mathrm{\φ}\\ {\∫}_0^{t_f}{u}_y\left(t\right)\mathrm{dt}=0.5\mathrm{ns}\\ {\∫}_0^{t_f}[3{\mathrm{ntu}}_y\left(t\right)-{2u}_x\left(t\right)]\mathrm{dt}=\mathrm{nl}\\ {\∫}_0^{t_f}\left[\sin \left(\mathrm{nt}\right)u_z\left(t\right)\right]\mathrm{dt}=-\mathrm{nq}\sin \mathrm{\θ}\\ {\∫}_0^{t_f}\left[\cos \left(\mathrm{nt}\right)u_z\left(t\right)\right]\mathrm{dt}=\mathrm{nq}\cos \mathrm{\θ}\end{array}\right..$

5.根据权利要求4所述的方法，其特征是，所述的燃料下界，包括：轨道平面外燃料下界、轨道平面内燃料消耗下界，其中：轨道平面外燃料下界为轨道平面内燃料消耗下界为 $J_{\mathrm{xy}}={\∫}_0^{t_f}\left[\right|u_x\left(t\right)|+|u_y\left(t\right)\left|\right]\mathrm{dt}\≥0.5\mathrm{np},$ 其中：区间[0,t_f],t_f≥0上任意的实可积函数f(t)和g(t)满足 ${\left[{\∫}_0^{t_f}\sqrt{f^2\left(t\right)+g^2\left(t\right)}\mathrm{dt}\right]}^2\≥{\left[{\∫}_0^{t_f}f\left(t\right)\mathrm{dt}\right]}^2+{\left[{\∫}_0^{t_f}g\left(t\right)\mathrm{dt}\right]}^2.$

6.根据权利要求1所述的方法，其特征是，所述的燃料最优的充要条件是指：轨道平面外、平面内最优解，其中：

a.轨道平面外最优解为脉冲控制下的最优方案，该方案下的脉冲施加点由相位参数θ决定，只能位于θ或θ+π处，因此最少仅需一次脉冲，脉冲大小nq；

b.轨道平面内最优解为脉冲控制或恒值推力控制下的最优方案，该方案包括以下三种情况：

情况一：p＝|s|＝0,l≠0，最优解不存在，只能为次优解，且燃料消耗与机动时间长度t_f反比；

情况二：p≥|s|，最优解为三次脉冲控制，具体为：

$\begin{array}{cc}{t}_y^{+}\left(1\right)=k^{+}T-T_{\mathrm{\φ}},& u_y^{*+}\left(1\right)=0.25n(p+s)\\ t_y^{-}\left(1\right)=(k^{-}+0.5)T-T_{\mathrm{\φ}},& u_y^{*-}\left(1\right)=-0.25\mathrm{\αn}(p-s)\\ t_y^{-}\left(2\right)=(k^{-}+1.5)T-T_{\mathrm{\φ}},& u_y^{*-}\left(2\right)=-0.25(1-\mathrm{\α})n(p-s)\end{array},$ 燃料消耗仅与尺寸参数p有关，其中：分别表示y轴正方向、负方向上的最优脉冲；分别对应方向的脉冲时刻；k⁺、k^-为正整数，表示脉冲时刻与轨道周期比值的整数部分；T＝2π/n为轨道周期；T_φ＝φ/n为相位参数φ引起的脉冲时刻偏移值，且这些参数满足 $(p+s)k^{+}-(p-s)(k^{-}+1-\mathrm{\α})=\frac{4l}{3\mathrm{\π}}+\frac{2s{T}_{\mathrm{\φ}}}{T}+\frac{(p-s)}{2};$

情况三：|s|≥p>0，最优解为脉冲控制或两段连续恒值推力控制，具体为：

$u_j^{*}\left(t\right)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{n^2{s}_j}{{4\sin c}^{-1}\left(\frac{p_j}{\left|s_j\right|}\right)};& t\∈[T-T_{\mathrm{\φ}}-\frac{1}{n}{\sin c}^{-1}\left(\frac{p_j}{\left|s_j\right|}\right),T-T_{\mathrm{\φ}}+\frac{1}{n}{\sin c}^{-1}\left(\frac{p_j}{\left|s_j\right|}\right)]\\ 0;& \mathrm{otherwise}\end{array}\right.,$ 其中：sinc^-1(·)为非归一化辛格函数的逆函数；T_φ＝φ/n；j＝1,2；燃料消耗仅与尺寸参数|s|有关，其中：两段推力的分配(s₁,p₁)和(s₂,p₂)满足：

$\left\{\begin{array}{c}{s}_1=\mathrm{\ϵs}\\ p_1=\mathrm{\ηp}\end{array}\right.;$ $\left\{\begin{array}{c}{s}_2=(1-\mathrm{\ϵ})s\\ p_2=(1-\mathrm{\η})p\end{array}\right.;$ 其中：ε、η分别为第一段推力中s、p所占的比重。