CN104898646A - 一种基于kpca进行故障分离与重构的电熔镁炉故障诊断方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供一种基于KPCA进行故障分离与重构的电熔镁炉故障诊断方法，包括：采集电熔镁炉的历史正常数据、电熔镁炉发生故障时的历史故障数据、在线监测发生故障时的测试数据；对电熔镁炉的历史正常数据和历史故障数据进预处理；利用核主元分析法对电熔镁炉的历史正常数据进行高维映射再PCA分解；利用故障负载向量集对在线监测时发生故障的测试故障数据进行诊断和故障重构，确定故障类型，恢复故障数据为对应的正常数据，实现故障消除。本发明解决了电熔镁炉的非线性数据的故障分离和重构问题。对在线监测时发生故障的测试数据数据进行监测，只有当前故障所对应的故障模型能够正确去除数据中的故障信息，据此可确定故障类别，达到故障分离的目的。

Description

一种基于KPCA进行故障分离与重构的电熔镁炉故障诊断方法

技术领域

本发明涉及电熔镁炉故障诊断技术领域，具体是一种基于KPCA进行故障分离与重构的电熔镁炉故障诊断方法。

背景技术

故障重构技术是故障诊断的一个重要步骤。故障重构的目的是当生产过程中有故障发生时寻找故障值所对应的正常数据。如果实际的故障方向已知则可以进一步对故障进行分析，包括恢复无故障数据和故障幅值估计。

电熔镁砂是一种广泛用于冶金、化学、航天等工业的重要耐火材料，电熔镁炉是其主要的生产设备。装备主要包括：变压器1、电路短网2、电极升降装置、电极、炉体等。电熔镁炉的基本工作原理如图1所示。炉壳一般为圆形，稍有锥形，为便于熔坨脱壳，在炉壳壁上焊有吊环，炉下设有移动小车，作用是使熔化完成的熔块移到固定工位，冷却出炉。电熔镁砂生产过程主要由菱镁矿粉或轻烧镁粉作为原材料，利用电极通电后的电弧作为热源对原料进行高温熔炼。由于熔炼时炉内温度分布不均匀，产品冷却后形成熔坨的不同部位的产品纯度和所含杂质也不同，因此也将产品分为不同的品位。

电熔镁炉通过电极引入大电流形成弧光产生高温来完成熔炼过程。目前我国多数电熔镁炉冶炼过程自动化程度还比较低，往往导致故障频繁和异常情况时有发生，其中由于电极执行器故障等原因导致4-电极距离电熔镁炉的炉壁过近，使得炉温异常，可以导致电熔镁炉的5-炉壳熔化，熔炉一旦发生将会导致大量的财产损失以及危害人身安全。另外，由于5-炉壳固定，执行器异常等原因导致电极长时间位置不变造成炉温不均，造成距离电极附近温度高，而距离电极远的区域温度低，一旦电极附近区域温度过高，容易造成“烧飞”炉料；而远离4-电极的区域温度过低形成死料区，这将严重影响产品产量和质量。所以发生故障时对故障进行有效监测和对故障重构具有十分必要和有意义的。

传统的PCA故障重构方法是将故障数据空间分解成两个互相垂直的子空间，主元子空间和残差子空间。PCA是保持最主要的数据分布方向，这些方向能够有效表示数据分布特征。但是PCA模型只是研究了故障数据的内部关系，不能够有效隔离数据中的故障信息和正常信息。因此基于PCA的故障重构方法需要进一步分析，进而获得准确的隔离故障数据和正常数据的故障方向，估计故障幅值，改进重构效果。

另外，实际工业过程中，变量之间往往呈现出非线性特征，利用传统的线性方法进行故障重构也不能达到满意的效果。电熔镁炉冶炼过程往往由于生产原料的不同存在多种生产模式，不同模式中电极中的电流设定值相差很大，因此需要针对不同模式建立不同的模型用来检测有无故障发生。

发明内容

针对现有技术存在的问题，本发明提供一种基于KPCA进行故障分离与重构的电熔镁炉故障诊断方法。

本发明的技术方案是：

一种基于KPCA进行故障分离与重构的电熔镁炉故障诊断方法，包括以下步骤：

步骤1：采集电熔镁炉的历史正常数据、电熔镁炉发生故障时的历史故障数据、在线监测发生故障时的测试数据；

电熔镁炉的历史正常数据、电熔镁炉发生故障时的历史故障数据、在线监测发生故障时的测试数据，均包括：电熔镁炉的变压器一次侧电压、电流，二次侧电压、电流和炉内温度、电极位置，以及各电流，电压温度、压力等传感器传来的数据；

步骤2：分别对电熔镁炉的历史正常数据和历史故障数据进行预处理；

步骤3：利用核主元分析法对电熔镁炉的历史正常数据进行相同方式的高维映射再PCA分解，得到电熔镁炉的历史正常数据对应高维历史正常数据的主元子空间的主元负载矩阵和主元得分矩阵、电熔镁炉的历史正常数据对应高维历史正常数据的残差子空间的残差负载矩阵和残差得分矩阵，分别利用上述两个得分矩阵分别得到高维历史故障数据的主元子空间及其主元得分矩阵、残差子空间及其残差得分矩阵；

步骤4：设定高维历史故障数据的T²统计量阈值及SPE统计量阈值；

步骤5：提取高维历史故障数据的主元子空间中导致T²统计量超限的故障数据并分离导致这些故障的故障负载向量集；

步骤6：提取高维历史故障数据的残差子空间中导致SPE统计量超限的故障数据并分离导致这些故障的故障负载向量集；

步骤7：利用步骤5、步骤6中的故障负载向量集对在线监测时发生故障的测试故障数据进行诊断和故障重构，确定故障类型，恢复故障数据为对应的正常数据，实现故障消除。

进一步地，步骤3按如下步骤进行：

步骤3.1：定义核函数；

步骤3.2：利用核函数将电熔镁炉的历史正常数据映射到高维特征空间得到高维历史正常数据；

步骤3.3：利用核主元分析法对高维历史正常数据进行PCA分解，得到电熔镁炉的高维历史正常数据的主元子空间及其主元负载矩阵、残差子空间及其对应的残差负载矩阵；

步骤3.4：将高维历史故障数据映射到高维历史正常数据的主元负载矩阵上得到高维历史故障数据的主元子空间及其主元得分矩阵；将高维历史故障数据映射到高维历史正常数据的残差负载矩阵上得到高维历史故障数据的残差空间及其残差得分矩阵。

进一步地，步骤5按如下步骤进行：

步骤5.1：定义表示电熔镁炉发生故障时高维历史故障数据相对于电熔镁炉无故障时高维历史正常数据关系的变化率矩阵；

步骤5.2：设定变化率矩阵阈值，从高维历史故障数据主元子空间中的主元得分矩阵中，提取对应导致变化率矩阵超限的故障负载向量集；

步骤5.3：将高维历史故障数据映射到步骤5.2中的故障负载向量集上，得到导致T²统计量超限的主元故障数据；

步骤5.4：对步骤5.3中主元故障数据进行核主元分析法分解，得到引起T²统计量超限的主元故障负载向量集。

进一步地，步骤6按如下步骤进行：

步骤6.1：定义高维历史正常数据残差子空间与高维历史故障数据残差子空间的差异值矩阵，矩阵的最大差异值对应的高维历史故障数据残差子空间中故障载向量，对SPE统计量中超限作用最大；

步骤6.2：设定差异值的阈值，从高维历史故障数据残差子空间的残差负载矩阵中，提取导致差异值超限的故障负载向量集；

步骤6.3：将高维历史故障数据映射到步骤6.2中的故障负载向量集上，得到导致SPE统计量超限的残差故障数据；

步骤6.4：对步骤6.3中残差故障数据进行核主元分析法分解，得到引起SPE统计量超限的残差故障负载向量集。

进一步地，步骤7按如下步骤进行：

步骤7.1：利用步骤5中主元故障负载向量集中某个负载向量，对高维测试故障数据进行重构，得到测试故障数据的主元重构数据，利用步骤6中残差故障负载向量集中某个负载向量，对测试故障数据进行重构，得到测试故障数据的残差重构数据；

步骤7.2：将高维测试故障数据的主元重构数据和高维测试故障数据的残差重构数据分别映射到高维历史正常数据的负载矩阵上，得到高维测试故障数据的修正主元得分矩阵和高维测试故障数据的修正残差得分矩阵；

步骤7.3：利用步骤7.2的修正主元得分矩阵计算修正T²统计量，利用修正残差得分矩阵计算修正SPE统计量，并判断T²和SPE是否超限：若无超限，说明高维测试故障数据中的故障由该负载向量造成，从而确定故障类型；若超限，说明故障没有消除，尚有新故障，更换故障负载向量集中其他负载向量按照步骤7.1、步骤7.2，步骤7.3继续诊断，查找故障和重构消除故障。

有益效果：

本章提出了一种基于核主元分析(KPCA)的故障重构方法，解决了电熔镁炉的非线性数据的故障分离和重构问题。该方法采用KPCA方法将故障数据空间分解为主元子空间和残差子空间，利用所得的负载方向对正常数据进行投影。利用PCA方法对投影的数据进行分析，通过比较各个方向上故障数据与正常数据的得分提取出引起统计量超限的故障方向，建立故障数据中导致T²统计量和SPE统计量超限的故障偏差模型。利用各故障重构模型依次对在线监测时发生故障的测试数据数据进行监测，只有当前故障所对应的故障模型能够正确去除数据中的故障信息，消除检测统计量超限报警现象，据此可确定故障类别，达到故障分离的目的。

附图说明

图1是电熔镁炉设备示意图，其中，1-变压器 2-短网 3-电极夹器 4-电极 5-炉壳 6-车体7-电弧 8-炉料；

图2是本发明具体实施方式的基于KPCA进行故障分离与重构的电熔镁炉故障诊断方法流程图；

图3是本发明具体实施方式的步骤3的具体流程图；

图4是本发明具体实施方式的步骤5的具体流程图；

图5是本发明具体实施方式的步骤6的具体流程图；

图6是本发明具体实施方式的步骤7的具体流程图；

图7是本发明具体实施方式的故障1主元子空间中变化率矩阵Ratio值；

图8是本发明具体实施方式的故障1残差子空间中差异值Δ_e值；

图9是本发明具体实施方式的故障2主元子空间中变化率矩阵Ratio值；

图10是本发明具体实施方式的故障2残差子空间中差异值Δ_e值；

图11是本发明具体实施方式利用故障1的主元故障负载向量集对测试数据1进行检测的T²统计量；

图12是本发明具体实施方式利用故障1的残差故障负载向量集对测试数据1进行检测的SPE统计量；

图13是本发明具体实施方式利用故障1的主元故障负载向量集对测试数据1进行故障重构后的T²统计量；

图14是本发明具体实施方式利用故障1的残差故障负载向量集对测试1数据进行故障重构后的SPE统计量；

图15是本发明具体实施方式利用故障2的主元故障负载向量集对测试数据1进行故障重构后的T²统计量；

图16是本发明具体实施方式利用故障2的残差故障负载向量集对测试数据1进行故障重构后的SPE统计量；

图17是本发明具体实施方式利用故障2的主元故障负载向量集对测试数据2进行检测的T²统计量；

图18是本发明具体实施方式利用故障2的残差故障负载向量集对测试数据2进行检测的SPE统计量；

图19是本发明具体实施方式利用故障2的主元故障负载向量集对测试数据2进行故障重构后的T²统计量；

图20是本发明具体实施方式利用故障2的残差故障负载向量集对测试数据2进行故障重构后的SPE统计量；

图21是本发明具体实施方式利用故障1的主元故障负载向量集对测试数据2进行故障重构后的T²统计量；

图22是本发明具体实施方式利用故障1的残差故障负载向量集对测试数据2进行故障重构后的SPE统计量。

具体实施方式

下面结合附图对本发明的一种实施方式作详细说明。

在具体实施方法中涉及三类数据，第一类数据是200个正常的采样数据，称为正常历史数据X；第二类是200和含有故障1的历史故障数据，和200个含有故障2的历史故障数据，统称为历史正常数据，在以下步骤中，为计算方便都用X_f表示，具体运算时带入相应数值；第三类是在线监测时发生故障的测试数据x_new，为某一时刻发生执行器故障的采样数据，分2类，测试数据1和测试数据2，分别含有200个采样数据。其中故障1，故障2都是由于执行器异常导致的，前两类数据用于建立故障分离与重构模型，该模型将对第三类数据进行故障的诊断，确定第三类测试数据的故障是否含有故障1或者故障2。

基于KPCA进行故障分离与重构的电熔镁炉故障诊断方法，如图2所示，包括以下步骤：

步骤1：采集电熔镁炉的含有200个正常采样数据的历史正常数据X和电熔镁炉发生故障的400个含有故障的采样数据，历史故障数据X_f；

电熔镁炉的历史正常数据X和历史故障数据X_f，均包括：电熔镁炉的变压器一次侧电压、电流，二次侧电压、电流和炉内温度、电极位置，以及各电流，电压温度、压力等传感器传来的数据；

步骤2：分别对电熔镁炉的历史正常数据和历史故障数据进行相同方法的预处理；

预处理方法如下：

$x_{i,j}=\frac{x_{i,j}-{\stackrel{\‾}{x}}_j}{s_j}(i=1,L,N;j=1,L,M)---\left(1\right)$

其中，x_i,j表示中心化处理后的第i个采样时刻的第j类数据，为均值，所有采样时刻的第j类数据的方差

核主元分析是主元分析的一种改进算法，其基本思想是通过非线性映射Φ把原始数据X∈R^N×M映射到高维的特征空间F上，然后在特征空间中进行线性的PCA分析。

首先，对输入空间进行非线性映射得到：Φ(X)＝[Φ(x₁),Φ(x₂),...,Φ(x_N)]。在F空间中进行主元分析，协方差矩阵表示为：

$S_{\mathrm{\Φ}}=\frac{1}{N}\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{\Φ}\left(x_i\right)\mathrm{\Φ}{\left(x_i\right)}^T---\left(2\right)$

为了得到核主元分析法的主元负载向量，首先求解S_Φ的特征向量得到

S_Φp＝λp       (3)

当特征值λ≠0时，等式两边同时左乘Φ(x_k)(k＝1,2,...,N)：

Φ(x_k)·S_Φp＝λ＜Φ(x_k),p＞       (4)

上式中的p可以由Φ(x_i)(i＝1,2,...,N)线性表示：

$p=\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{v}_j\mathrm{\Φ}\left(x_j\right)---\left(5\right)$

将公式(5)带入到公式(4)中得到：

$\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{v}_i<\mathrm{\&Phi;}\left(x_k\right),\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}\mathrm{\&Phi;}\left(x_i\right)><\mathrm{\&Phi;}\left(x_i\right),\mathrm{\&Phi;}\left(x_j\right)>=\mathrm{N\&lambda;}\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\&Sigma;}}}{v}_i<\mathrm{\&Phi;}\left(x_i\right),\mathrm{\&Phi;}\left(x_j\right)>---\left(6\right)$

定义一个N×N的矩阵K：

K_i,j＝＜Φ(x_i),Φ(x_j)＞     (7)

则公式(6)简化为：

Kv＝Nλv       (8)

在利用以上推导方式进行KPCA分解之前，需要对核函数K进行中心化：

$\tilde{K}=K-I_{N}K-{\mathrm{KI}}_N+I_N{\mathrm{KI}}_N---\left(9\right)$

其中I_N∈R^N×N的每个元素都等于1/N。

向量x的主元t可以通过将Φ(x)映射到F空间中的特征向量p_k(k＝1,2,...,d)上，得到:

$t_k=<p_k,\mathrm{\&Phi;}\left(x\right)>=\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{v}_i^{k}K(x_i,X)---\left(10\right)$

对数据集进行KPCA分解以后，仍然利用T²和SPE统计量进行故障检测。其中，T²统计量的计算方法与PCA相似：

T²＝[t₁,t₂,...,t_d]Λ^-1[t₁,t₂,...,t_d]^T      (11)

其中t_k由公式(10)得到，Λ是保留的主成分的特征值构成的对角阵。

KPCA方法中的SPE统计量的计算比PCA中复杂一些。

$\mathrm{SPE}={\left|\right|\mathrm{\&Phi;}\left(X\right)-\widehat{\mathrm{\&Phi;}}\left(X\right)\left|\right|}^2=\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{t}_i^2-\underset{i=1}{\overset{p}{\mathrm{\&Sigma;}}}{t}_i^2---\left(12\right)$

步骤3：利用核主元分析法对电熔镁炉的历史正常数据进行高维映射再PCA分解，得到电熔镁炉的历史正常数据对应高维历史正常数据的主元子空间的主元负载矩阵和主元得分矩阵、电熔镁炉的历史正常数据对应高维历史正常数据的残差子空间的残差负载矩阵和残差得分矩阵，分别利用上述两个得分矩阵分别得到高维历史故障数据的主元子空间及其主元得分矩阵、残差子空间及其残差得分矩阵；

具体过程如图3所示：

步骤3.1：定义核函数；

定义核函数为[K]_i,j＝＜Φ(x_i)，Φ(x_k)＞，k＝1,2,...N且K∈R^N×N，该核函数为中心化处理后的核函数；

步骤3.2：利用核函数将电熔镁炉的历史正常数据X∈R^N×M映射到高维特征空间Φ(X)，即F:X→Φ(X)，其中Φ(X)＝[Φ(x₁),Φ(x₂),...Φ(x_N)]，得到高维历史正常数据；

步骤3.3：利用核主元分析法对高维历史正常数据进行PCA分解，得到电熔镁炉的高维历史正常数据的主元子空间(PCS)及其主元负载矩阵、残差子空间(RS)及其对应的残差负载矩阵；

200个历史正常数据X的高维特征空间Φ(X)的表达式为：

$\mathrm{\&Phi;}\left(X\right)=\widehat{\mathrm{\&Phi;}}\left(X\right)+\widetilde{\mathrm{\&Phi;}}\left(X\right)---\left(13\right)$

其中，为Φ(X)的估计即高维历史故障数据的主元子空间，为高维历史故障数据的残差子空间；

步骤3.4：将含有故障的400个高维历史故障数据映射到高维历史正常数据的主元负载矩阵上得到高维历史故障数据的主元子空间及其主元得分矩阵；将高维历史故障数据映射到高维历史正常数据的残差负载矩阵上得到高维历史故障数据的残差子空间及其残差得分矩阵。

T＝Φ(X)P＝Φ(X)Φ(X)^TV＝KV      (14)

$\widehat{\mathrm{\&Phi;}}\left(X\right)=\mathrm{\&Phi;}\left(X\right){\mathrm{PP}}^T={\mathrm{KVV}}^T\mathrm{\&Phi;}\left(X\right)---\left(15\right)$

$\widetilde{\mathrm{\&Phi;}}\left(X\right)=\mathrm{\&Phi;}\left(X\right)P_e{P_e}^T={\mathrm{KV}}_e{V_e}^T\mathrm{\&Phi;}\left(X\right)---\left(16\right)$

其中，T∈R^N×d是高维历史正常数据的主元得分矩阵；

P是高维正常历史数据的主元子空间的主元负载矩阵，P＝Φ(X)^TV，V∈R^N×d，d为高维历史正常数据的主元个数；

P_e是高维历史正常数据的残差子空间的残差负载矩阵，P_e＝Φ(X)^TV_e，V_e∈R^N×(N-d)；

正常历史数据高维特征空间表示为：

$\mathrm{\&Phi;}\left(X\right)=\mathrm{\&Phi;}\left(X\right){\mathrm{PP}}^T+\mathrm{\&Phi;}\left(X\right)P_e{P_e}^T=\mathrm{\&Phi;}\left(X\right)\widehat{\mathrm{\&Omega;}}+\mathrm{\&Phi;}\left(X\right)\widetilde{\mathrm{\&Omega;}}---\left(17\right)$

其中， $\widehat{\mathrm{\&Omega;}}={\mathrm{PP}}^T,\widetilde{\mathrm{\&Omega;}}=P_e{P_e}^T;$

历史故障数据X_f通过核映射到高维空间得到Φ(X_f)，称为高维历史故障数据，将Φ(X_f)映射到P上得到的Φ(X_f)的主元子空间将Φ(X_f)映射到P_e上得到Φ(X_f)的残差子空间即 $\mathrm{\&Phi;}\left(X_f\right)=\widehat{\mathrm{\&Phi;}}\left(X_f\right)+\widetilde{\mathrm{\&Phi;}}\left(X_f\right);$

将Φ(X_f)映射到主元负载矩阵P上得到Φ(X_f)的主元子空间的得分矩阵T_f：

T_f＝Φ(X_f)P＝Φ(X_f)Φ(X)^TV＝K_fV      (18)

其中，Φ(X_f)的核函数[K_f]_i,j＝＜Φ(x_f,i)，Φ(x_j)＞，并进行中心化处理， $K_f\&Element;R^{N_f\&times;N};$

步骤4：设定高维历史故障数据Φ(X_f)的T²统计量阈值和SPE统计量阈值；

电熔镁炉有故障发生时，400个含有故障信息的历史故障数据，其前后200个采样数据，都表示为在高维特征空间中Φ(X_f)可以表示为：

Φ(X_f)＝Φ(X_f)^*+Σf     (19)

其中，Σ为故障系统子空间，f表示故障幅值，其表达式均为在特征空间的表达式。

T²统计量和SPE统计量表示为：

$\begin{array}{c}{T}^2=\mathrm{\&Phi;}{\left(X_f\right)}^T{\mathrm{P\&Lambda;}}^{-1}{P}^T\mathrm{\&Phi;}\left(X_f\right)\\ -\left|\right|{\mathrm{\&Lambda;}}^{-1/2}{P}^T(\mathrm{\&Phi;}{\left(X_f\right)}^{*}+\mathrm{\&Sigma;f})\left|\right|=\left|\right|{\mathrm{\&Lambda;}}^{-1/2}{P}^T\mathrm{\&Phi;}{\left(X_f\right)}^{*}+{\mathrm{\&Lambda;}}^{-1/2}{P}^T\mathrm{\&Sigma;f}\left|\right|\end{array}---\left(20\right)$

$\mathrm{SPE}={\left|\right|\widetilde{\mathrm{\&Omega;}}\mathrm{\&Phi;}\left(X_f\right)\left|\right|}^2={\left|\right|\widetilde{\mathrm{\&Omega;}}(\mathrm{\&Phi;}{\left(X_f\right)}^{*}+\mathrm{\&Sigma;f})\left|\right|}^2={\left|\right|\widetilde{\mathrm{\&Omega;}}\mathrm{\&Phi;}{\left(X_f\right)}^{*}+\widetilde{\mathrm{\&Omega;}}\mathrm{\&Sigma;f}\left|\right|}^2---\left(21\right)$

其中，Λ是X进行KPCA分解时的特征值构成的对角矩阵。

Hotelling-T²多元统计指标计算方式如下：

$T^2=t^T{\mathrm{\&Lambda;}}^{-1}t~\frac{d(N^2-d)}{N(N-d)}F(d,N-d)---\left(22\right)$

其中，Λ同上，d主成分个数，F(d,N-d)为自由度为d和N-d的F分布。置信度为α的T²统计量的上限UCL为：

$\mathrm{UCL}=\frac{d(N^2-d)}{N(N-d)}{F}_{\mathrm{\&alpha;}}(d,N-d)---\left(23\right)$

如果检测过程中发现有超出控制限的现象则说明有异常现象发生，反之过程运行正常。

平方预测误差(SPE)统计量计算方式如下：

SPE＝e^Te＝||e||²＝x^T(I-PP^T)x     (24)

在正常工况下SPE应满足其控制限SPE＜Q_α，Q_α表示置信度为α的SPE的控制上限即阈值，Q_α计算方式如：

$Q_{\mathrm{\&alpha;}}={\mathrm{\&theta;}}_1{[\frac{C_{\mathrm{\&alpha;}}{\left(2{\mathrm{\&theta;}}_2{h_0}^2\right)}^{1/2}}{{\mathrm{\&theta;}}_1}+1+\frac{{\mathrm{\&theta;}}_2{h}_0(h_0-1)}{{{\mathrm{\&theta;}}_1}^2}]}^{\frac{1}{h_0}}---\left(25\right)$

其中，C_α是一个高斯分布的(1-α)％的置信极限， j＝1,2,3。当SPE>Q_α时，说明过程中出现了异常的情况。

步骤5：提取高维历史故障数据Φ(X_f)的主元子空间中导致T²统计量超限的故障数据，并分离导致这些故障数据的故障负载向量集即主元故障负载向量集；

具体步骤如图4所示：

步骤5.1：定义400个含有故障信息的采样数据的高维历史故障数据相对于电熔镁炉无故障时高维历史正常数据关系的变化率矩阵Ratio，变化率矩阵中的最大值代表该数值对应的故障负载对T²统计量超限起到的作用最大；

确定电熔镁炉发生故障时高维历史故障数据Φ(X_f)相对于电熔镁炉无故障时高维历史正常数据关系的变化率矩阵Ratio；

确定变化率矩阵Ratio；

${\mathrm{Ratio}}_i=\frac{\mathrm{var}(T_f:,i)}{\mathrm{var}(T:,i)}(i=\mathrm{1,2},...d)---\left(26\right)$

其中，var(*)是协方差运算，(:,i)表示第i列，Ratio是一个d维的矩阵，由于T²统计量是由得分矩阵计算得到，因此该变化率能够充分体现故障数据与正常数据的统计量之间的变化。Ratio中的最大值代表该数值对应的负载方向对统计量超出控制限起到的作用最大。当Ratio远大于1时，对应的统计量远比正常值大，而这些信息就是导致超限的原因。

本实施方式的故障1主元子空间中变化率矩阵Ratio值如图7所示。本实施方式的故障2主元子空间中变化率矩阵Ratio值如图9所示。

步骤5.2：设定变化率矩阵阈值η，令变化率矩阵中的向量元素不小于该阈值η，则从高维历史故障数据的主元子空间选出满足条件的主元得分矩阵，从高维历史故障数据的主元子空间中的主元得分矩阵T_f中，提取对应导致变化率矩阵超限的故障负载向量集

利用本方法对故障1数据进行分解，过程中的子空间分解结果如表1所示。

表1故障1重构建模过程中的子空间分解结果(单位：个)

对正常数据进行核主元分析，提取出的主元个数为3个，对应有三个负载向量p₁、p₂和p₃，负载向量的排序是按照对应特征值的降序进行排序的。提取与故障相关的负载向量时引入了一个变化率Ratio，η＝1.0这里我们通过柱状图来间接反映这个变化率，如图7所示。显然，第一个和第三个负载向量对应的正常数据和故障数据的得分向量协方差存在较大差异。因此将选择p₁和p₃作为引起统计量超限的故障负载向量集。

对故障2数据进行分解，过程中的子空间分解结果如表2所示。

表2故障2重构建模过程中的子空间分解结果(单位：个)

变化率Ratio如图9所示。Ratio的阈值η＝0.03，显然，第一个负载向量对应的正常数据和故障数据的得分向量协方差存在较大差异。因此将选择p₁作为引起统计量超限的故障负载向量集。

反映出在故障影响下的历史故障数据与正常数据之间产生较大差异的原因。其余的矩阵组成与故障无关的负载记为相应的将V也分成和 此时，将P中引起T²统计量超限的负载矩阵和不引起T²统计量超限的负载隔离了。这里和是垂直的。

步骤5.3：将400个含有故障信息的采样数据高维历史故障数据Φ(X_f)映射到步骤5.2中提取的故障负载向量集上，得到导致T²统计量超限的主元故障数据；

将Φ(X_f)利用进行重构，得到主元故障数据

$\widehat{\mathrm{\&Phi;}}\left(X_{f,r}\right)=\mathrm{\&Phi;}\left(X_f\right)P_{T^2,r}{P_{T^2,r}}^T=K_f{V}_{T^2,r}{V_{T^2,r}}^T\mathrm{\&Phi;}\left(X\right)---\left(27\right)$

这样400个含有故障信息的采样数据的主元子空间中导致T²统计量超限的故障偏差就与正常的数据分离开了。T²统计量中的超限报警就是由引起的。

步骤5.4：对步骤5.3中主元故障数据进行核主元分析法分解，得到引起T²统计量超限的主元故障负载向量集即主元故障负载向量集，这样就找到了含有故障1的200个采样数据中的主元故障负载向量集，含有故障2的200个采样数据中的主元故障负载向量集。

对主元故障数据进行KPCA分解，提取其主元负载矩阵P_r，令 $K_f{V}_{T^2,r}{V_{T^2,r}}^T=Q_{T^2,r},$ 则 $\widehat{\mathrm{\&Phi;}}\left(X_{f,r}\right)=Q_{T^2,r}\mathrm{\&Phi;}\left(X\right),$ KPCA分解过程如下：

$S=\frac{1}{N_f}\widehat{\mathrm{\&Phi;}}{\left(X_{f,r}\right)}^T\widehat{\mathrm{\&Phi;}}\left(X_{f,r}\right)=\frac{1}{N_f}{\left(Q_{T^2,r}\mathrm{\&Phi;}\left(X\right)\right)}^T\left(Q_{T^2,r}\mathrm{\&Phi;}\left(X\right)\right)---\left(28\right)$

$p_r=\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{b}_{r,i}\mathrm{\&Phi;}\left(x_i\right)---\left(29\right)$

则问题转换为求以下式子的特征值和特征向量。

${Q_{T^2,r}}^T{Q}_{T^2,r}K{b}_r={\mathrm{\&lambda;}}_r{b}_r---\left(30\right)$

求得上式的特征值特征向量，提取满足条件的d_r个b_r，记作则P_r＝Φ(X)^TB_r；

P_r被认为是最能反映相对于正常数据的故障数据的主元方向，称为主元故障负载向量集，含有故障1的200个采样数据和含有故障2的200个采样数据的主元负载向量集就分别找到了；

步骤6：提取高维历史故障数据(含有故障1的200个采样数据，含有故障2的200个采样数据)的残差子空间中导致SPE统计量超限的故障数据并分离导致这些故障的故障负载向量集；

具体步骤如图5所示：

步骤6.1：定义提取含有故障1的200个采样数据，含有故障2的200个采样数据的高维历史正常数据Φ(X)残差子空间与高维历史故障数据Φ(X_f)残差子空间的差异值矩阵Δ_e，最大差异值对应的高维历史故障数据残差子空间中故障载向量，对SPE统计量中超限作用最大；

将Φ(X_f)映射到残差子空间得到残差：

$E_f=\widetilde{\mathrm{\&Phi;}}\left(X_f\right)=T_e{P_e}^T=K_f{V}_e{V_e}^T\mathrm{\&Phi;}\left(X\right)---\left(31\right)$

定义正常数据与故障数据在残差子空间的差异值Δ_e，其中元素的计算表达式为：

Δ_e,i＝||Φ(X_f)p_e,ip_e,i ^T||²-||Φ(X)p_e,ip_e,i ^T||²       (32)

其中|| ||表示欧几里得距离。Δ_e是由Δ_e,i组成的d_e维矩阵。

Δ_e中具有最大值的元素Δ_e,i表示其对应的故障数据的残差方向p_e,i对SPE统计量中超限部分作用最大。如果Δ_e,i远大于0，则表示对应故障数据的残差远大于正常数据的残差。而这些较大的残差就引起了SPE统计量的超限报警。

步骤6.2：设定差异值的阈值，从两个含有故障1，故障2的采样数据的高维历史故障数据残差子空间的残差负载矩阵中，分别提取导致差异值超限的故障负载向量集；

定义差异值的阈值θ，令Δ_e,i＞θ，则可以从由此可以从负载向量P_e中选择出残差子空间中与故障有关的负载记为故障负载向量集P_spe,r。P_spe,r可以反映出在故障的影响下的残差与正常数据的残差之间产生较大差异的原因。其余的向量组成与故障无关的负载记P_spe,o。相应的将V_e也分成和d_spe,r+d_spe,o＝d_e。

故障1的Δ_e的阈值θ＝2×10^-4，见图8，残差子空间中的负载矩阵P_e的个数为197个。由于较大的值都集中在前6个，其余的都很小。因此用前20个数据就能反映出数据的Δ_e的特性。我们选取p_e,1、p_e,2、p_e,3、p_e,4、p_e,5、p_e,6作为与统计量超限相关的故障负载向量集。

故障2的Δ_e的阈值θ＝0.01，见图10，残差子空间中的负载矩阵P_e的个数为197个。我们选取p_e,1、p_e,4、p_e,7、作为与统计量超限相关的故障负载向量集。

此时，将P_e中引起SPE统计量超限的负载和不引起SPE统计量超限的负载隔离了。

步骤6.3：将高维历史故障数据映射到步骤6.2中的故障负载向量集上，得到导致SPE统计量超限的残差故障数据；

将Φ(X_f)映射到P_spe,r上，得到与故障相关的估计量即导致SPE统计量超限的残差故障数据；

$E_{f,r}=\mathrm{\&Phi;}\left(X_f\right)P_{\mathrm{spe},r}{P}_{\mathrm{spe},r}^T=K_f{V}_{\mathrm{spe},r}{V}_{\mathrm{spe},r}^T\mathrm{\&Phi;}\left(X\right)---\left(33\right)$

这样残差子空间中导致SPE统计量超限的故障偏差就与正常的数据分离SPE统计量中的超限报警就是由E_f,r引起的。

步骤6.4：对步骤6.3中残差故障数据进行核主元分析法分解，得到引起SPE统计量超限的残差故障负载向量集即残差故障负载向量集。

对导致SPE统计量超限的残差故障数据E_f,r进行KPCA分解，得到隔离出来的故障方向的矩阵P_e,r；

为使重构更有效，对E_f,r进行KPCA分解，提取其主元负载矩阵P_e,r。提取满足条件的d_e,r个b_e，r，记作则P_e,r＝Φ(X)^TB_e,r。P_e,r被认为是最能反映相对于正常数据的故障偏差的残差方向。其余的记为P_e,o，表示与故障无关的方向。

然后在残差子空间中利用P_e,r重构出主要系统故障偏差：

T_e,r＝E_f,rP_e,r＝Q_spe,rΦ(X)Φ(X)^TB_e,r＝Q_spe,rKB_e,r     (34)

E_f,t＝E_f,rP_e,r(P_e,r ^TP_e,r)^-1P_e,r ^T＝T_e,rP_e,r ^T     (35)

其中K_fV_spe,rV_spe,r ^T＝Q_spe,r。

T_e,r为残差子空间中的重构得分矩阵。E_f,t是利用P_e,r重构得到的残差子空间中主要的故障偏差。则(E_f-E(X_f,t))将会分布在正常区域内，其对应的SPE统计量也会在根据正常数据设定的控制限以下。

步骤7：利用步骤5、步骤6中的故障负载向量集对在线监测到故障发生时的测试数据进行诊断和故障重构，确定故障类型，恢复故障数据为对应的正常数据，实现故障消除。

具体步骤如图6所示：

步骤7.1：分别利用步骤5中，故障1的200个采样数据，含有故障2的200个采样数据的主元故障负载向量集中的某个负载向量对故障发生时的测试数据进行重构，得到主元重构数据Φ(x_new)^*，利用步骤6中残差故障负载向量集中某个负载向量对故障发生时的测试数据进行重构，得到残差重构数据Φ(x_new)^·；

重构后数据：

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\&Phi;}{\left(x_{\mathrm{new}}\right)}^{*}=(I-P_r^g{P_r^g}^T)\mathrm{\&Phi;}\left(x_{\mathrm{new}}\right)\\ \mathrm{\&Phi;}{\left(x_{\mathrm{new}}\right)}^{\&CenterDot;}=(I-P_{e,r}^g{P_{e,r}^g}^T)\mathrm{\&Phi;}\left(x_{\mathrm{new}}\right)\end{array}\right.---\left(36\right)$

表示主元故障负载向量集中的第g类故障向量，表示残差负载向量集中第g类故障向量；

步骤7.2：将步骤7.1中主元空间重构数据Φ(x_new)^*和残差重构数据Φ(x_new)^·分别映射到高维历史正常数据的负载矩阵上得到测试数据的修正主元得分矩阵t_new ^*和测试数据的修正残差得分矩阵e_new ^*；

$\begin{array}{c}{t_{\mathrm{new}}}^{*}=P^T\mathrm{\&Phi;}{\left(x_{\mathrm{new}}\right)}^{*}\\ {e_{\mathrm{new}}}^{*}=(I-{\mathrm{PP}}^T)\mathrm{\&Phi;}{\left(x_{\mathrm{new}}\right)}^{\&CenterDot;}\end{array}---\left(37\right)$

步骤7.3：利用步骤7.2的公式23计算修正主元得分矩阵t_new ^*算修正T²统计量，利用修正残差得分矩阵e_new ^*计算修正SPE统计量，并判断修正T²统计量和修正SPE统计量是否超限：若无超限，则故障消除，即高维历史故障数据中的故障由该负载向量造成；若超限，则故障没有消除，尚有新故障，返回步骤7.1选取步骤5中的主元故障负载向量集中的其他负载向量和步骤6中残差故障负载向量集中的其他负载向量按照步骤7.1～步骤7.3继续进行故障重构，直至查找到故障和重构消除故障。

重构后的统计量表示为：

$\left\{\begin{array}{c}{T}_{\mathrm{new}}^{{*}^2}={(t_{\mathrm{new}}^T-\stackrel{\&OverBar;}{t})}^T{\mathrm{\&Sigma;}}^{-1}(t_{\mathrm{new}}^{*}-\stackrel{\&OverBar;}{t})\\ {{\mathrm{SPE}}_{\mathrm{new}}}^{*}={e_{\mathrm{new}}^{*}}^T{e}_{\mathrm{new}}^{*}\end{array}\right.---\left(38\right)$

本实施过程是采用400个含有故障的信息的历史故障数据重构的，故障数据中前200个故障数据属于故障1，其余200个故障数据属于故障2。

首先用故障1和故障2中的负载向量集对测试数据1进行测试和诊断。

其中图11是本发明具体实施方式利用故障1的主元故障负载向量集对测试数据1进行检测的T²统计量，图12为利用故障1的重构模型对测试数据1进行检测SPE统计量图。用到了公式显然，图中显示两种统计量都大约从第147个采样点开始出现超限报警现象。

图13是本发明具体实施方式利用故障1的主元故障负载向量集对测试数据1进行故障重构后的T²统计量，图14是本发明具体实施方式利用故障1的残差故障负载向量集对测试数据1进行故障重构后的SPE统计量。重构过程都是应用步骤6.3公式34、公式35、公式36，步骤7.1公式36，步骤7.2公式37，步骤7.3公式38进行计算。发现故障重构后测试数据1的T²和SPE统计量中消除了超限现象，图15是本发明具体实施方式利用故障2的主元故障负载向量集对测试数据1进行故障重构后的T²统计量。T²和SPE统计量中消除发现故障重构后测试数据1的T²和SPE统计量没有消除。

由图11,图12,图13,图14结果确定测试数据1中故障是由故障1的而不是故障2的故障负载向量集中向量造成，从而确定故障类型。

利用故障1和故障2中的负载向量集对测试数据2进行测试和诊断。

图17是本发明具体实施方式利用故障2的主元故障负载向量集对测试数据2进行检测的T²统计量，图18是本发明具体实施方式利用故障2的残差故障负载向量集对测试数据2进行检测的SPE统计量，图中显示两种统计量都大约从第141个采样点开始出现超限报警现象。

图19是本发明具体实施方式利用故障2的主元故障负载向量集对测试数据2进行故障重构后的T²统计量，图20是本发明具体实施方式利用故障2的残差故障负载向量集对测试数据2进行故障重构后的SPE统计量。重构过程都是应用步骤6.3公式34、公式35、公式36，步骤7.1公式36，步骤7.2公式37，步骤7.3公式38进行计算。显然，重构后数据T²和SPE统计量中消除了超限现象。

而图21是本发明具体实施方式利用故障1的主元故障负载向量集对测试数据2进行故障重构后的T²统计量，图22是本发明具体实施方式利用故障1的残差故障负载向量集对测试数据2进行故障重构后的SPE统计量。重构过程都是应用步骤6.3公式34、公式35、公式36，步骤7.1公式36，步骤7.2公式37，步骤7.3公式38进行计算。发现T²和SPE统计量没有消除。

由图19,图20,图21,图22结果确定测试数据2中故障是由故障2的而不是故障1的故障负载向量集中向量造成，从而确定故障类型。

Claims (5)

1.一种基于KPCA进行故障分离与重构的电熔镁炉故障诊断方法，其特征在于：包括以下步骤：

步骤1：采集电熔镁炉的历史正常数据、电熔镁炉发生故障时的历史故障数据、在线监测发生故障时的测试数据；

电熔镁炉的历史正常数据、电熔镁炉发生故障时的历史故障数据、在线监测发生故障时的测试数据，均包括：电熔镁炉内的变压器二次侧电压、电流、炉内温度、电极位置和炉体温度；

步骤2：对电熔镁炉的历史正常数据和历史故障数据进预处理；

步骤3：利用核主元分析法对电熔镁炉的历史正常数据进行高维映射再PCA分解，得到电熔镁炉的历史正常数据对应高维历史正常数据的主元子空间的主元负载矩阵和主元得分矩阵、电熔镁炉的历史正常数据对应高维历史正常数据的残差子空间的残差负载矩阵和残差得分矩阵，分别利用上述两个得分矩阵分别得到高维历史故障数据的主元子空间及其主元得分矩阵、残差子空间及其残差得分矩阵；

步骤4：设定高维历史故障数据的T²统计量阈值及SPE统计量阈值；

步骤5：提取高维历史故障数据的主元子空间中导致T²统计量超限的故障数据并分离导致这些故障的故障负载向量集；

步骤6：提取高维历史故障数据的残差子空间中导致SPE统计量超限的故障数据并分离导致这些故障的故障负载向量集；

步骤7：利用步骤5、步骤6中的故障负载向量集对在线监测时发生故障的测试故障数据进行诊断和故障重构，确定故障类型，恢复故障数据为对应的正常数据，实现故障消除。

2.根据权利要求1所述的基于KPCA进行故障分离与重构的电熔镁炉故障诊断方法，其特征在于：步骤3按如下步骤进行：

步骤3.1：定义核函数；

步骤3.2：利用核函数将电熔镁炉的历史正常数据映射到高维特征空间得到高维历史正常数据；

步骤3.3：利用核主元分析法对高维历史正常数据进行PCA分解，得到电熔镁炉的高维历史正常数据的主元子空间及其主元负载矩阵、残差子空间及其对应的残差负载矩阵；

步骤3.4：将高维历史故障数据映射到高维历史正常数据的主元负载矩阵上得到高维历史故障数据的主元子空间及其主元得分矩阵；将高维历史故障数据映射到高维历史正常数据的残差负载矩阵上得到高维历史故障数据的残差空间及其残差得分矩阵。

3.根据权利要求1所述的基于KPCA进行故障分离与重构的电熔镁炉故障诊断方法，其特征在于：步骤5按如下步骤进行：

步骤5.1：定义表示电熔镁炉发生故障时高维历史故障数据相对于电熔镁炉无故障时高维历史正常数据关系的变化率矩阵；

步骤5.2：设定变化率矩阵阈值，从高维历史故障数据主元子空间中的主元得分矩阵中，提取对应导致变化率矩阵超限的故障负载向量集；

步骤5.3：将高维历史故障数据映射到步骤5.2中的故障负载向量集上，得到导致T²统计量超限的主元故障数据；

步骤5.4：对步骤5.3中主元故障数据进行核主元分析法分解，得到引起T²统计量超限的主元故障负载向量集。

4.根据权利要求1所述的基于KPCA进行故障分离与重构的电熔镁炉故障诊断方法，其特征在于：步骤6按如下步骤进行：

步骤6.1：定义高维历史正常数据残差子空间与高维历史故障数据残差子空间的差异值矩阵，矩阵的最大差异值对应的高维历史故障数据残差子空间中故障载向量，对SPE统计量中超限作用最大；

步骤6.2：设定差异值的阈值，从高维历史故障数据残差子空间的残差负载矩阵中，提取导致差异值超限的故障负载向量集；

步骤6.3：将高维历史故障数据映射到步骤6.2中的故障负载向量集上，得到导致SPE统计量超限的残差故障数据；

步骤6.4：对步骤6.3中残差故障数据进行核主元分析法分解，得到引起SPE统计量超限的残差故障负载向量集。

5.根据权利要求1所述的基于KPCA进行故障分离与重构的电熔镁炉故障诊断方法，其特征在于：步骤7按如下步骤进行：

步骤7.1：利用步骤5中主元故障负载向量集中某个负载向量，对高维测试故障数据进行重构，得到测试故障数据的主元重构数据，利用步骤6中残差故障负载向量集中某个负载向量，对测试故障数据进行重构，得到测试故障数据的残差重构数据；

步骤7.2：将高维测试故障数据的主元重构数据和高维测试故障数据的残差重构数据分别映射到高维历史正常数据的负载矩阵上，得到高维测试故障数据的修正主元得分矩阵和高维测试故障数据的修正残差得分矩阵；

步骤7.3：利用步骤7.2的修正主元得分矩阵计算修正T²统计量，利用修正残差得分矩阵计算修正SPE统计量，并判断T²和SPE是否超限：若无超限，说明高维测试故障数据中的故障由该负载向量造成，从而确定故障类型；若超限，说明故障没有消除，尚有新故障，更换故障负载向量集中其他负载向量按照步骤7.1、步骤7.2，步骤7.3继续诊断，查找故障和重构消除故障。