CN104898093A - 基于gs算法的mimo雷达正交相位编码信号设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于GS算法的MIMO雷达正交相位编码信号设计，其主要实现思路是：先对多输入多输出(MIMO)雷达天线的发射信号构造代价函数，再把该代价函数转化为适合求解的极小化函数，最后利用改进的盖师贝格-撒克斯通(GS)算法求解该极小化函数，得到要求解的发射信号矩阵；具体来说，首先对多输入多输出(MIMO)雷达的发射信号集构造正交相位编码信号的代价函数，其次利用傅立叶变化将该代价函数转化为适合求解的极小化函数，最后利用改进的盖师贝格-撒克斯通(GS)算法求解其极小化函数，得到多输入多输出(MIMO)雷达天线发射正交相位编码信号矩阵。

Description

基于GS算法的MIMO雷达正交相位编码信号设计方法

技术领域

本发明属于雷达信号设计技术领域，特别涉及一种基于GS算法的MIMO雷达正交相位编码信号设计方法，即基于盖师贝格-撒克斯通(Gerchberg-Saxton，GS)算法的多输入多输出(Multiple Input Multiple Output,MIMO)雷达正交相位编码信号设计方法，适合用于多输入多输出(MIMO)雷达正交相位编码信号的设计。

背景技术

多输入多输出(Multiple Input Multiple Output，MIMO)雷达是一种新兴的有源探测技术，是近年来雷达领域提出的一种全新的雷达体制，它能使雷达系统通过独特的时间-能量管理技术实现多个独立宽波束同时照射，同时采用多信号发射、多信号接收，并且多信号之间可以是时域、空域或极化域分离的。该技术具有处理维数极高、收发孔径利用更充分、角分辨率更高的优点，目前已成为雷达技术领域的一个研究热点。

根据雷达天线的间距大小，多输入多输出(MIMO)雷达可以分为分布式和集中式两类。对于分布式多输入多输出(MIMO)雷达来说，由于各个雷达天线对目标有不同的观测视角以及目标回波的独立性，使其具有空间分集的能力。在统计意义下，这类多输入多输出(MIMO)雷达可以通过大间距布阵形式获得空间分集增益，提高对起伏目标的检测性能；集中式多输入多输出(MIMO)雷达的天线间距较小，相对于相控阵雷达，其自由度明显增加，可以利用波形分集进行处理，具有更高的角度分辨率，提高了雷达的抗截获性能和杂波背景中探测低速、弱目标的能力，同时也可根据先验信息，灵活地设计发射方向图，提高雷达资源利用率。

由于多输入多输出(MIMO)雷达发射信号是正交的，所以采用相位编码信号设计多输入多输出(MIMO)雷达信号波形，即雷达发射信号之间满足正交性；关于雷达正交相位编码信号的设计方法，已有的方法有文献[Deng H.Polyphase code design for orthogonalnetted radar systems[J].IEEE Transactions on Signal Processing,2004,52(11):3126-3135.]中应用的混合模拟退火算法，文献[Liu B,He Z S,Zeng J K,et al..Polyphase orthogonal codedesign for MIMO radar systems[C].Proceedings of the International Conference on Radar,Shanghai,2006:1-4.]中应用的混合遗传算法和文献[Hu Liang-bing,Liu Hong-wei,and WuShun-jun.Orthogonal waveform design for MIMO radar via constrained nonlinearprogramming[J].Systems Engineering and Electronics,2011,33(1):64-68.]中应用的序列二次规划方法。这些文献采用算法设计均能够得到性能较好的正交信号集，但是由于这些算法本身的限制，使得所得码集的非周期自相关峰值旁瓣(Autocorrelation Sidelobe Peak,ASP)、互相关峰值(Crosscorrelation Peak,CP)和积分旁瓣电平(Integrated Sidelobe Level,ISL)仍然较高。此外，由于这些算法的复杂度较大，使得所得相位编码信号集大小受到一定限制，并且计算的存储量较大，求解信号集所需时间较长，不利于工程中的实际应用。

发明内容

本发明的目的在于克服上述已有方法的不足，提出一种基于GS算法的MIMO雷达正交相位编码信号设计方法，即基于盖师贝格-撒克斯通(Gerchberg-Saxton，GS)算法的多输入多输出(Multiple Input Multiple Output,MIMO)雷达正交相位编码信号设计方法，该方法对集中式多输入多输出(MIMO)雷达和分布式多输入多输出(MIMO)雷达均有效。

本发明的实现思路是：先对多输入多输出(Multiple Input Multiple Output,MIMO)雷达天线的发射信号构造代价函数，再把该代价函数转化为适合求解的极小化函数，最后利用改进的盖师贝格-撒克斯通(GS)算法求解该极小化函数，得到要求解的发射信号矩阵；具体来说，首先对多输入多输出(MIMO)雷达的发射信号集构造正交相位编码信号的代价函数，其次利用傅立叶变化将该代价函数转化为适合求解的极小化函数，最后利用改进的盖师贝格-撒克斯通(GS)算法求解其极小化函数，得到多输入多输出(MIMO)雷达天线发射相位编码信号矩阵。

为实现上述技术目的，本发明采用如下技术方案予以实现。

一种基于GS算法的MIMO雷达正交相位编码信号设计方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1，构造MIMO雷达M个天线发射正交相位编码信号的代价函数E，

$E=\left|\right|R_0-NI|{|}^2+2\underset{n=0}{\overset{N-1}{\Σ}}|\left|R_n\right|{|}^2$

其中，R₀表示MIMO雷达M个天线发射正交相位编码信号的二阶中心矩，N表示MIMO雷达每个天线发射正交相位编码信号的码长，I为单位矩阵，R_n表示MIMO雷达M个天线发射正交相位编码信号的协方差矩阵，||||表示矩阵范数；

步骤2，将MIMO雷达M个天线发射正交相位编码信号的代价函数E先转化为原始极

$\underset{S,{\left\{a_k\right\}}_{k=1}^{2N}}{min}\underset{k=1}{\overset{2N}{\Σ}}\left|\right|z\left({\mathrm{\ω}}_k\right)-a_k|{|}^2$

小化函数s.t.|s_m(n)|＝1,m∈{1,2,…,M},n∈{1,2,…,N}，并将该原始极小化函数转化为||a_k||²＝1,k∈{1,2,…,2N}

适合求解的极小化函数||DS′-Q||²， $S^{\′}={\left[\begin{array}{c}S\\ 0\end{array}\right]}_{2N\×M},$ Q＝[a₁,a₂,...,a_2N]^T，

其中，D表示2N×2N维离散傅里叶变换矩阵，S′表示MIMO雷达M个天线发射正交相位编码信号矩阵的扩展矩阵，||||表示矩阵范数，Q表示辅助变量矩阵，a_k表示辅助变量，且a_k是满足||z(ω_k)||²＝1的所有解的集合，z(ω_k)表示MIMO雷达M个天线发射正交相位编码信号的第n个码元y_n的傅里叶变换，s_m(n)表示MIMO雷达第m个天线发射正交相位编码信号的第n个码元的具体码元值；

步骤3，利用GS算法求解步骤2中适合求解的极小化函数||DS′-Q||²，得到MIMO雷达M个天线发射正交相位编码信号矩阵的扩展矩阵S′，进而得到MIMO雷达M个天线发射正交相位编码信号矩阵S。

优选的，步骤3中，所述GS算法求解步骤2中适合求解的极小化函数||DS′-Q||²，其具体子步骤如下：

3.1求解频谱面输出函数Q′⁽ⁱ⁾：

利用[0,2π]之间均匀分布的相位初始化N×M维的MIMO雷达M个天线发射正交相位编码信号矩阵S⁽ⁱ⁾，并将该正交相位编码信号矩阵S⁽ⁱ⁾扩展为 ${S^{\′}}^{\left(i\right)}={\left[\begin{array}{c}{S}^{\left(i\right)}\\ 0\end{array}\right]}_{2N\×M},$ 得到频谱面输出函数Q′⁽ⁱ⁾＝DS′⁽ⁱ⁾，其中，D表示2N×2N维离散傅里叶变换矩阵，i表示迭代次数；

3.2确定频谱面的幅度约束：

通过限定离散傅里叶变换矩阵D的每一个行向量对应的2N个通道系数向量的模值平方和为1，使得满足求解需要的约束条件成立，即频谱面施加的幅度约束为：

$\left|\right|{\tilde{a}}_k^{\left(i\right)}|{|}^2=\underset{m=1}{\overset{M}{\Σ}}|{\tilde{a}}_k^{\left(i\right)}\left(m\right){|}^2=1,k\∈\{1,2,...,2N\}$

其中，表示MIMO雷达第m个天线的第k个通道的幅度归一化系数向量，m∈{1,2,…,M}，M表示MIMO雷达天线数，N表示MIMO雷达每个天线发射的正交相位编码信号码长，N也表示MIMO雷达每个天线的通道系数个数，i表示迭代次数。使用改进的约束条件更适合求解本发明中的极小化函数；

3.3求解物面输入函数S”⁽ⁱ⁾：

对频谱面输出函数Q′⁽ⁱ⁾的每一列进行逆离散傅里叶变换，得到物面输入函数S”⁽ⁱ⁾，即S”⁽ⁱ⁾＝D^HQ′⁽ⁱ⁾，其中，D表示2N×2N维离散傅里叶变换(DFT)矩阵，{}^H表示共轭转置，i表示迭代次数，Q′⁽ⁱ⁾表示频谱面输出函数；

3.4求解物面的幅度约束：

物面的幅度约束即为所求的MIMO雷达M个天线发射正交相位编码信号矩阵S，代价函数E转化式中的约束条件|s_m(n)|＝1，s_m(n)表示MIMO雷达第m个天线发射正交相位编码信号的第n个码元的具体码元值，m∈{1,2,…,M},n∈{1,2,…,N}；

约束条件|s_m(n)|＝1表明MIMO雷达每个天线发射正交相位编码信号为恒模信号，将MIMO雷达M个天线发射正交相位编码信号矩阵S⁽ⁱ⁾中的每个元素幅度限定为1，此处定义A为N×M维全1矩阵，且截取矩阵 $J={\left[\begin{array}{c}A\\ 0\end{array}\right]}_{2N\×M},$ 则得到更新的MIMO雷达M个天线发射正交相位编码信号矩阵的扩展矩阵S'⁽ⁱ⁺¹⁾：

S'⁽ⁱ⁺¹⁾＝J⊙exp(jarg(S”⁽ⁱ⁾))

其中，⊙表示Hadamard积，D表示2N×2N维离散傅里叶变换(DFT)矩阵，arg(S”⁽ⁱ⁾)表示取S”⁽ⁱ⁾的角度值，S”⁽ⁱ⁾表示物面输入函数，i表示迭代次数；

3.5重复子步骤3.1～3.4，对MIMO雷达M个天线发射正交相位编码信号矩阵S⁽ⁱ⁾进行迭代计算，直到两次迭代之间的误差小于预先设定值ε，即||S⁽ⁱ⁾-S⁽ⁱ⁺¹⁾||＜ε，停止迭代，该第i次迭代所得的MIMO雷达M个天线发射正交相位编码信号矩阵S⁽ⁱ⁾就是所求的MIMO雷达M个天线发射正交相位编码信号矩阵S。

本发明具有以下有益效果：

(1)本发明设计的多输入多输出(MIMO)雷达正交相位编码信号所得码集的平均自相关峰值旁瓣、平均互相关峰值和积分旁瓣电平较低，而且该所得码集的积分旁瓣电平接近于积分旁瓣电平的下界。

(2)本发明的主要步骤是基于快速傅里叶变换(FFT)和逆快速傅里叶变换(IFFT)完成，效率较高，且优化过程耗时较短，比现有算法(比如混合遗传算法、混合模拟退火算法)的效率高两个数量级(10²)，而且计算存储量较小，可以设计较大的雷达信号波形集，如雷达天线个数M最大可以设计到200，每个雷达天线发射的相位编码信号码长N最大可以设计到10⁴，有利于工程实现。

(3)本发明可以用于设计单个序列，且所设计单个序列的峰值旁瓣电平和积分旁瓣电平比m序列、p4序列更低。

附图说明

下面结合附图和具体实施方式对本发明作进一步详细说明。

图1是本发明的基于盖师贝格-撒克斯通(GS)算法的多输入多输出(MIMO)雷达正交相位编码信号设计方法流程图；

图2是本发明中改进的盖师贝格-撒克斯通(GS)算法流程图；

图3是使用本发明所得发射正交相位编码信号波形集的自相关函数图；

图4是使用本发明所得发射正交相位编码信号波形集的互相关函数图；

图5是使用本发明所得发射正交相位编码信号波形集的平均自相关峰值旁瓣(ASP)和平均互相关峰值(CP)随多输入多输出(MIMO)雷达天线数目M的变化关系示意图；

图6是使用本发明所得发射正交相位编码信号波形集的平均自相关峰值旁瓣(ASP)和平均互相关峰值(CP)随每个天线发射相位编码信号的码长N的变化关系示意图；

图7是使用本发明所得单个序列分别与m序列、p4序列和随机相位序列的峰值旁瓣电平的对比示意图；

图8是使用本发明所得单个序列分别与m序列、p4序列和随机相位序列的积分旁瓣电平的对比示意图；

具体实施方式

参照图1，为本发明的基于GS算法的MIMO雷达正交相位编码信号设计方法流程图，该基于基于GS算法的MIMO雷达正交相位编码信号设计方法包括以下步骤：

步骤1，构造MIMO雷达M个天线发射正交相位编码信号的代价函数E，

$E=\left|\right|R_0-NI|{|}^2+2\underset{n=0}{\overset{N-1}{\Σ}}|\left|R_n\right|{|}^2$

其中，R₀表示MIMO雷达M个天线发射正交编码信号的二阶中心矩，N表示MIMO雷达每个天线发射正交相位编码信号的码长，I为单位矩阵，R_n表示MIMO雷达M个天线发射相位编码信号的协方差矩阵，||||表示矩阵范数；

步骤1的具体构造过程为：

假定一个MIMO雷达具有M个天线，M为自然数，每个天线发射码长为N的正交相位编码信号，MIMO雷达M个天线发射正交相位编码信号矩阵S可以表示为：

S＝[s₁,s₂,…,s_m,…,s_M]_N×M＝[y₁,y₂,…,y_n,…,y_N]^T     <1>

其中，s_m＝[s_m(1),s_m(2),…,s_m(N)]^T表示MIMO雷达第m个天线发射正交相位编码信号，y_n＝[s₁(n),s₂(n),…s_m(n),…,s_M(n)]^T表示MIMO雷达M个天线发射正交相位编码信号的第n个码元，表示MIMO雷达第m个雷达天线发射正交相位编码信号的第n个码元的具体码元值，φ_m(n)表示MIMO雷达的每个天线发射正交相位编码信号的相位，且0≤φ_m(n)≤2π。

进而，MIMO雷达M个天线发射正交相位编码信号的协方差矩阵R_n表示为：

$R_n=\underset{k=n+1}{\overset{N}{\&Sigma;}}{y}_k{y}_{k-n}^H=R_{-n}^H{R}_n=\underset{k=n+1}{\overset{N}{\&Sigma;}}{y}_k{y}_{k-n}^H=R_{-n}^H,n=0,...,N-1---<2>$

其中，{}^H表示共轭转置，n∈{1,2,…,N},m∈{1,2,…,M}，k∈{1,2,…,2N}，y_k＝[s₁(k),s₂(k),…,s_m(k),…,s_M(k)]^T表示M个雷达天线发射正交相位编码信号的第k个码元。

然后，得到MIMO雷达M个天线发射正交相位编码信号的代价函数E，其表示式如下所示：

$E=\left|\right|R_0-NI|{|}^2+2\underset{n=0}{\overset{N-1}{\&Sigma;}}|\left|R_n\right|{|}^2---<3>$

其中，R₀表示MIMO雷达M个天线发射正交相位编码信号的二阶中心矩，N表示MIMO雷达每个天线发射正交相位编码信号的码长，I为单位矩阵，R_n表示MIMO雷达M个天线发射正交相位编码信号的协方差矩阵，||||表示矩阵范数，此处的矩阵范数为F-范数。如无特别说明，本专利中矩阵范数为F-范数，向量范数为2-范数。

步骤2，将MIMO雷达M个天线发射正交相位编码信号的代价函数E先转化为原始极

$\underset{S,{\left\{a_k\right\}}_{k=1}^{2N}}{min}\underset{k=1}{\overset{2N}{\&Sigma;}}\left|\right|z\left({\mathrm{\&omega;}}_k\right)-a_k|{|}^2$

小化函数s.t.|s_m(n)|＝1,m∈{1,2,…,M},n∈{1,2,…,N}，并将该原始极小化函数转化为||a_k||²＝1,k∈{1,2,…,2N}

适合求解的极小化函数||DS′-Q||²， $S^{\&prime;}={\left[\begin{array}{c}S\\ 0\end{array}\right]}_{2N\&times;M},$ Q＝[a₁,a₂,...,a_2N]^T，

其中，D表示2N×2N维离散傅里叶变换矩阵，S′表示MIMO雷达M个天线发射正交相位编码信号矩阵的扩展矩阵，||||表示矩阵范数，Q表示辅助变量矩阵，a_k表示辅助变量，且a_k是满足||z(ω_k)||²＝1的所有解的集合，z(ω_k)表示MIMO雷达M个天线发射正交发射正交相位编码信号的第n个码元y_n的傅里叶变换，s_m(n)表示MIMO雷达第m个天线发射正交相位编码信号的第n个码元的具体码元值；

步骤2的具体过程为：

定义MIMO雷达M个天线发射正交发射相位编码信号的第n个码元y_n的傅里叶变换为z(ω)，且得到MIMO雷达M个天线发射正交相位编码信号的第n个码元的功率谱密度矩阵S(ω)：

$S\left(\mathrm{\&omega;}\right)=\frac{1}{N}z\left(\mathrm{\&omega;}\right)z^H\left(\mathrm{\&omega;}\right)=\frac{1}{N}\underset{n=-N+1}{\overset{N-1}{\&Sigma;}}{R}_n{e}^{-j\mathrm{\&omega;}n}---<4>$

由式<3>和式<4>得出如下两式等价：

$E=0\&DoubleLeftRightArrow;S\left(\mathrm{\&omega;}\right)=I---<5>$

即MIMO雷达M个天线发射正交相位编码信号的代价函数E＝0与功率谱密度矩阵S(ω)＝I是等价的，其中I为单位矩阵。

因此，MIMO雷达M个天线发射正交相位编码信号的代价函数E可以转化为等价代价函数ε₁：

${\mathrm{\&epsiv;}}_1=\frac{1}{2N}\underset{k=1}{\overset{2N}{\&Sigma;}}\left|\right|S\left({\mathrm{\&omega;}}_k\right)-I|{|}^2---<6>$

将 $S\left({\mathrm{\&omega;}}_k\right)=\frac{1}{N}z\left({\mathrm{\&omega;}}_k\right)z^H\left({\mathrm{\&omega;}}_k\right)$ 代入式<6>，得到：

${\mathrm{\&epsiv;}}_2=\frac{1}{2N}\underset{k=1}{\overset{2N}{\&Sigma;}}{\left(\right|\left|z\left({\mathrm{\&omega;}}_k\right)\right|{|}^2-1)}^2+M-1---<7>$

忽略与变量无关的常数，式<7>可以转化为原始的极小化函数：

$\underset{S,{\left\{a_k\right\}}_{k=1}^{2N}}{min}\underset{k=1}{\overset{2N}{\&Sigma;}}\left|\right|z\left({\mathrm{\&omega;}}_k\right)-a_k|{|}^2$

s.t.|s_m(n)|＝1,m∈{1,2,…,M},n∈{1,2,…,N}.     <8>

||a_k||²＝1,k∈{1,2,…,2N}

其中，表示MIMO雷达第m个天线发射正交相位编码信号的第n个码元的具体码元值，z(ω_k)表示MIMO雷达M个天线发射正交相位编码信号的第n个码元y_n的傅里叶变换，S(ω_k)表示功率谱密度矩阵，a_k表示辅助变量，为满足||z(ω_k)||²＝1的所有解的集合，下标k表示第几个辅助变量，||||表示F-范数，M表示MIMO雷达发射天线数目，N表示每个天线发射正交相位编码信号的码长。

为表示方便，定义2N×2N维离散傅里叶变换(DFT)矩阵D的第(k,n)个元素为其中，令并将N×M维的MIMO雷达发射正交相位编码信号矩阵S扩展为 $S^{\&prime;}={\left[\begin{array}{c}S\\ 0\end{array}\right]}_{2N\&times;M},$ 辅助变量矩阵Q＝[a₁,a₂,…,a_k,…,a_2N]^T，则式<8>中的原始的极小化函数可转化为适合求解的极小化函数，即：

||DS′-Q||²     <9>

步骤3，利用GS算法求解步骤2中适合求解的极小化函数||DS′-Q||²，得到MIMO雷达M个天线发射正交相位编码信号矩阵的扩展矩阵S′，进而得到MIMO雷达M个天线发射正交相位编码信号矩阵S。

本发明利用GS算法求解步骤2中适合求解的极小化函数||DS′-Q||²。由于原始盖师贝格-撒克斯通GS算法的极小化函数是物面和频谱面的一维变换，而本发明中的极小化函数是多维的，故先将GS算法扩展至多维，并将其物面和频谱面的约束条件进行改进，以满足本发明优化问题的求解条件。

参照图2，式<9>的求解过程可以分为以下循环迭代的四个子步骤：

3.1求解频谱面输出函数Q′⁽ⁱ⁾：

利用[0,2π]之间均匀分布的相位初始化N×M维的MIMO雷达M个天线发射正交相位编码信号矩阵S⁽ⁱ⁾，并将该正交相位编码信号矩阵S⁽ⁱ⁾扩展为 ${S^{\&prime;}}^{\left(i\right)}={\left[\begin{array}{c}{S}^{\left(i\right)}\\ 0\end{array}\right]}_{2N\&times;M},$ 得到频谱面输出函数Q′⁽ⁱ⁾＝DS′⁽ⁱ⁾，其中，D表示2N×2N维离散傅里叶变换矩阵，i表示迭代次数；

具体地，

原始盖师贝格-撒克斯通(GS)算法利用交替进行傅里叶变换和傅里叶逆变换，对物面和频谱面的一维函数进行求解；而本发明中的所求的MIMO雷达M个天线发射正交相位编码信号矩阵S为N×M维，如果要使用利用盖师贝格-撒克斯通(GS)算法求解该极小化函数，必须将其物面和频谱面的约束条件进行改进，以满足本发明的求解条件。

利用[0,2π]之间均匀分布的相位初始化N×M维的MIMO雷达M个天线发射正交相位编码信号矩阵S⁽ⁱ⁾(以后每次迭代保留步骤3.1MIMO雷达M个天线发射正交相位编码信号矩阵S⁽ⁱ⁾)，然后将其扩展为 ${S^{\&prime;}}^{\left(i\right)}={\left[\begin{array}{c}{S}^{\left(i\right)}\\ 0\end{array}\right]}_{2N\&times;M};$ 区别于原始GS算法进行的一维傅里叶变换，本发明对MIMO雷达M个天线发射正交相位编码信号矩阵的扩展矩阵S′⁽ⁱ⁾的每一列进行离散傅立叶变换(DFT)(相当于M维)，得到频谱面的输出函数Q′⁽ⁱ⁾＝DS′⁽ⁱ⁾；其中，D表示2N×2N维离散傅里叶变换矩阵，i表示迭代次数。

3.2确定频谱面的幅度约束：

通过限定离散傅里叶变换矩阵D的每一个行向量对应的2N个通道系数向量的模值平方和为1，使得满足求解需要的约束条件成立，即频谱面施加的幅度约束为：

$\left|\right|{\tilde{a}}_k^{\left(i\right)}|{|}^2=\underset{m=1}{\overset{M}{\&Sigma;}}|{\tilde{a}}_k^{\left(i\right)}\left(m\right){|}^2=1,k\&Element;\{1,2,...,2N\}$

其中，表示MIMO雷达第m个天线的第k个通道的幅度归一化系数向量，m∈{1,2,…,M}，M表示MIMO雷达天线个数，N表示MIMO雷达每个天线发射正交相位编码信号码长，N也表示MIMO雷达每个天线的通道系数个数，i表示迭代次数。使用改进的约束条件更适合求解本发明中的极小化函数；

具体地，

令频谱面的输出函数其中，频谱面的输出函数Q′⁽ⁱ⁾的行向量为M列，k∈{1,2,...,2N}，M表示MIMO雷达天线个数，i表示迭代次数。

对M列的行向量进行幅度归一化得：

${\tilde{a}}_k^{\left(i\right)}=\frac{{a^{\&prime;}}_k^{\left(i\right)}}{\left|\right|{a^{\&prime;}}_k^{\left(i\right)}\left|\right|}---<10>$

其中，表示行向量中第k个通道的幅度归一化系数向量,k∈{1,2,…,2N}，i表示迭代次数。

频谱面的输出函数Q′⁽ⁱ⁾的列向量的2N个元素与离散傅里叶变换(DFT)矩阵D的2N个通道系数向量一一对应；2N×2N维离散傅里叶变换矩阵D表示行数为2N、列数为2N的矩阵，且该离散傅里叶变换矩阵D的每一个行向量对应2N个通道系数向量。

此时，MIMO雷达每个天线发射码长为2N的正交相位编码信号，同时，MIMO雷达每个天线也对应2N个通道系数向量，通过限定离散傅里叶变换(DFT)矩阵D的每一个行向量对应的2N个通道系数向量的模值平方和为1，使得满足求解需要的约束条件成立，即频谱面施加的幅度约束为：

$\left|\right|{\tilde{a}}_k^{\left(i\right)}|{|}^2=\underset{m=1}{\overset{M}{\&Sigma;}}|{\tilde{a}}_k^{\left(i\right)}\left(m\right){|}^2=1,k\&Element;\{1,2,...,2N\}---<11>$

其中，表示MIMO雷达第m个天线的第k个通道的幅度归一化系数向量，m∈{1,2,…,M}，M表示MIMO雷达天线数，N表示MIMO雷达每个天线发射正交相位编码信号码长，N也表示MIMO雷达每个天线的通道系数个数，i表示迭代次数。使用改进的约束条件更适合求解本发明中的极小化函数。

3.3求解物面输入函数S”⁽ⁱ⁾：

对频谱面输出函数Q′⁽ⁱ⁾的每一列进行逆离散傅里叶变换，得到物面输入函数S”⁽ⁱ⁾，即S”⁽ⁱ⁾＝D^HQ′⁽ⁱ⁾，其中，D表示2N×2N维离散傅里叶变换(DFT)矩阵，{}^H表示共轭转置，i表示迭代次数，Q′⁽ⁱ⁾表示频谱面输出函数；

3.4求解物面的幅度约束：

物面的幅度约束即为所求的MIMO雷达M个天线发射正交相位编码信号矩阵S，代价函数E转化式中的约束条件|s_m(n)|＝1，s_m(n)表示MIMO雷达第m个天线发射正交相位编码信号的第n个码元的具体码元值，m∈{1,2,…,M},n∈{1,2,…,N}；

约束条件|s_m(n)|＝1表明MIMO雷达每个天线发射正交相位编码信号为恒模信号，将MIMO雷达M个天线发射正交相位编码信号矩阵S⁽ⁱ⁾中的每个元素幅度限定为1，此处定义A为N×M维全1矩阵，且截取矩阵 $J={\left[\begin{array}{c}A\\ 0\end{array}\right]}_{2N\&times;M},$ 则得到更新的MIMO雷达M个天线发射正交相位编码信号矩阵的扩展矩阵S'⁽ⁱ⁺¹⁾：

S'⁽ⁱ⁺¹⁾＝J⊙exp(jarg(S”⁽ⁱ⁾))

其中，⊙表示Hadamard积，D表示2N×2N维离散傅里叶变换(DFT)矩阵，arg(S”⁽ⁱ⁾)表示取S”⁽ⁱ⁾的角度值，S”⁽ⁱ⁾表示物面输入函数，i表示迭代次数；

具体地，

由于MIMO雷达M个天线发射正交相位编码信号矩阵S⁽ⁱ⁾是N×M维矩阵，而MIMO雷达M个天线发射正交相位编码信号矩阵的扩展矩阵S'⁽ⁱ⁺¹⁾是2N×M维矩阵，因此需要对更新的MIMO雷达M个天线发射正交相位编码信号矩阵的扩展矩阵S'⁽ⁱ⁺¹⁾的维数进行调整，得到更新的MIMO雷达M个天线发射正交相位编码信号矩阵S⁽ⁱ⁺¹⁾。

并且，将MIMO雷达M个天线发射正交相位编码信号矩阵S⁽ⁱ⁾中的每个元素幅度限定为1，此处定义A为N×M维全1矩阵，且截取矩阵 $J={\left[\begin{array}{c}A\\ 0\end{array}\right]}_{2N\&times;M}.$

3.5重复子步骤3.1～3.4，对MIMO雷达M个天线发射正交相位编码信号矩阵S⁽ⁱ⁾进行迭代计算，直到两次迭代之间的误差小于预先设定值ε，即||S⁽ⁱ⁾-S⁽ⁱ⁺¹⁾||＜ε，停止迭代，该第i次迭代所得的MIMO雷达M个天线发射正交相位编码信号矩阵S⁽ⁱ⁾就是所求的MIMO雷达M个天线发射正交相位编码信号矩阵S。

本发明的效果通过以下仿真对比试验进一步说明：

(1)仿真条件：

本发明仿真采用收发共置的集中式MIMO雷达系统，假定目标雷达散射截面(RadarCross Section,RCS)在积累周期内保持恒定，并忽略MIMO雷达M个天线发射编码信号内的多普勒频移和距离走动问题，仿真中如无特别说明，采用MIMO雷达天线数为3，每个天线发射正交相位编码信号的码长为40，即M＝3,N＝40。

(2)仿真内容：

MIMO雷达天线个数为M，每个天线发射正交相位编码信号的码长为N的正交相位编码信号的积分旁瓣电平(Integrated Sidelobe Level,ISL)下界为：

ISL≥N²M(M-1)＝B_ISL。

其中，B_ISL表示平均积分旁瓣电平(ISL)的下界值。

表1给出了本发明所得MIMO雷达M个天线发射正交相位编码信号的波形和随机相位序列信号波形的平均积分旁瓣电平(ISL)与平均积分旁瓣电平(ISL)下界的比较。

由表1可以看出，对于各种不同大小的信号波形集，本发明所得多输入多输出(MIMO)雷达M个天线发射正交相位编码信号波形的平均积分旁瓣电平(ISL)均接近于平均积分旁瓣电平(ISL)的下界，而随机相位序列信号波形的平均积分旁瓣电平(ISL)则远远高于平均积分旁瓣电平(ISL)的下界。

表1本发明所得波形和随机相位序列的ISL与ISL下界的比较

ISL	M＝2,N＝40	M＝2,N＝128	M＝4,N＝500	M＝4,N＝1024
					ISL下界	3200	32768	3000000	12582912
本发明波形	3202	32776	3000027	12582973
					随机相位序列	6037	64923	3956140	16806330

图3为MIMO雷达天线数为3，每个天线发射正交相位编码信号的码长为40时，采用本发明方案而产生的波形集自相关函数示意图，横坐标为时间/采样序号，纵坐标为归一化幅度；图4为MIMO雷达天线数为3，每个天线发射正交相位编码信号的码长为40时，采用本发明方案而产生的波形集互相关函数示意图，横坐标为时间/采样序号，纵坐标为归一化幅度。

由图3和图4可以看出，该波形集的平均自相关旁瓣峰值为-16.6dB，平均互相关峰值为-14.3dB；可见本发明所得波形集的平均自相关旁瓣峰值和平均互相关峰值较低，相关性能较好。

在算法执行效率方面，由于本发明算法采用的离散傅里叶变换(DFT)和逆离散傅里叶变换(IDFT)，是基于快速傅里叶变换(FFT)和逆快速傅里叶变换(IFFT)进行处理的，故本发明算法的效率较高，优化耗时较短。而且，当波形集较大时本发明算法仍然适用，如MIMO雷达天线个数M最大可设计到200，每个雷达天线发射正交相位编码信号的码长N最大可设计到10⁴。

此外，已有文献中提出的混合模拟退火算法、混合遗传算法和序列二次规划算法的复杂度都较高，优化耗时较长，计算存储量较大，仅适用于波形集较小的情况。

表2给出了本发明算法和上述几种算法的执行时间对比，其所得时间均为波形集大小为M＝3,N＝40时执行10次算法所需的时间平均值。为了使所述几种算法执行时间对比具有说服力，本文仅列出时间的数量级(计算机硬件条件为：Pentium(R)双核处理器，主频分别是2.50GHz和2.29GHz，内存1.98GB，采用Matlab语言编写程序)。

由表2可知，已有算法中执行时间最少的是混合遗传算法，而设计同样大小的波形集，本发明所需时间是混合遗传算法所需时间的1/100；由此可见，本发明算法在执行效率上较已有算法具有很强的优势，这在工程应用中极为有利。

表2本发明算法与文献[Deng Liu Hu]算法的执行时间对比

算法	本发明	混合模拟退火	混合遗传算法	序列二次规划
					时间(秒)	10-1	103	101	102

图5给出了每个雷达天线发射正交相位编码信号的码长N固定为128时，波形集自相关峰值旁瓣(Autocorrelation Sidelobe Peak,ASP)、互相关峰值(Crosscorrelation Peak,CP)随MIMO雷达天线个数M的变化关系示意图；图6为MIMO雷达天线个数M固定为4时，波形集平均自相关峰值旁瓣(ASP)和平均互相关峰值(CP)随每个雷达天线发射正交相位编码信号的码长N变化的关系示意图。从图5可以看出，当码长固定时，波形集自相关峰值旁瓣(ASP)和互相关峰值(CP)随MIMO雷达天线个数M的增加而增大，并且当MIMO雷达天线个数M增大到一定程度时，波形集自相关峰值旁瓣(ASP)和互相关峰值(CP)的增大变得不明显；由图6可知，当MIMO雷达天线个数M固定时，波形集自相关峰值旁瓣(ASP)和互相关峰值(CP)与log₂N近似成负线性关系，M表示MIMO雷达天线数，N表示每个天线发射正交相位编码信号的码长。

当MIMO雷达天线个数M＝1时，使用本发明算法获得的正交相位编码信号矩阵为单个序列，因为m序列、p4序列的相关性能较好，而且已经广泛应用于工程领域中，而随机序列是未经算法优化涉及的序列，因此，使用m序列、p4序列与和随机序列与本发明算法所得单个序列做对比可以说明本算法的优化性能。图7和图8分别给出了本发明算法所得单个序列与m序列波形、p4序列波形和随机相位序列波形的峰值旁瓣电平和积分旁瓣电平的对比。

由图7和图8得，本发明算法所得单个序列分别比m序列、p4序列和随机相位序列的自相关峰值旁瓣电平和积分旁瓣电平都要低，随机相位序列波形的自相关峰值旁瓣电平和积分旁瓣电平最高，p4序列波形比m序列波形的要低。而且，随着MIMO雷达天线个数的增加，使用本发明算法所得发射正交相位编码信号波形、m序列波形、p4序列波形和随机相位序列波形的自相关峰值旁瓣电平均逐渐减小，且积分旁瓣电平也均逐渐增大。

Claims (2)

1.一种基于GS算法的MIMO雷达正交相位编码信号设计方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1，构造MIMO雷达M个天线发射正交相位编码信号的代价函数E，

$E=\left|\right|R_0-NI|{|}^2+2\underset{n=0}{\overset{N-1}{\&Sigma;}}|\left|R_n\right|{|}^2$

其中，R₀表示MIMO雷达M个天线发射正交相位编码信号的二阶中心矩，N表示MIMO雷达每个天线发射正交相位编码信号的码长，I表示单位矩阵，R_n表示MIMO雷达M个天线发射正交相位编码信号的协方差矩阵，||||表示矩阵范数；

步骤2，将MIMO雷达M个天线发射正交相位编码信号的代价函数E先转化为原始极小化函数 $\begin{array}{c}\underset{s,{\left\{a_k\right\}}_{k=1}^{2N}}{\min }\underset{k=1}{\overset{2N}{\&Sigma;}}\left|\right|z\left({\mathrm{\&omega;}}_k\right)-a_k|{|}^2\\ s.t.\left|s_m\left(n\right)\right|=1,m\&Element;\{1,2,...,M\},n\&Element;\{1,2,...,N\}\\ \left|\right|a_k|{|}^2=1,k\&Element;\{1,2,...,2N\}\end{array},$ 并将该原始极小化函数转化为适合求解的极小化函数||DS′-Q||²， $S^{\&prime;}={\left[\begin{array}{c}S\\ 0\end{array}\right]}_{2N\&times;M},$ Q＝[a₁,a₂,...,a_2N]^T，

其中，D表示2N×2N维离散傅里叶变换矩阵，S′表示MIMO雷达M个天线发射正交相位编码信号矩阵的扩展矩阵，||||表示矩阵范数，Q表示辅助变量矩阵，a_k表示辅助变量，且a_k是满足||z(ω_k)||²＝1的所有解的集合，z(ω_k)表示MIMO雷达M个天线发射相位编码信号的第n个码元y_n的傅里叶变换，s_m(n)表示MIMO雷达第m个天线发射正交相位编码信号的第n个码元的具体码元值；

步骤3，利用GS算法求解步骤2中适合求解的极小化函数||DS′-Q||²，得到MIMO雷达M个天线发射正交相位编码信号矩阵的扩展矩阵S′，进而得到MIMO雷达M个天线发射正交相位编码信号矩阵S。

2.根据权利要求1所述的基于GS算法的MIMO雷达正交相位编码信号设计方法，其特征在于，步骤3中，所述GS算法求解步骤2中适合求解的极小化函数||DS′-Q||²，其具体子步骤如下：

3.1求解频谱面输出函数Q′⁽ⁱ⁾：

利用[0,2π]之间均匀分布的相位初始化N×M维的MIMO雷达M个天线发射正交相位编码信号矩阵S⁽ⁱ⁾，并将该正交相位编码信号矩阵S⁽ⁱ⁾扩展为 ${S^{\&prime;}}^{\left(i\right)}={\left[\begin{array}{c}{S}^{\left(i\right)}\\ 0\end{array}\right]}_{2N\&times;M},$ 得到频谱面输出函数Q′⁽ⁱ⁾＝DS′⁽ⁱ⁾，其中，D表示2N×2N维离散傅里叶变换矩阵，i表示迭代次数；

3.2确定频谱面的幅度约束：

通过限定离散傅里叶变换矩阵D的每一个行向量对应的2N个通道系数向量的模值平方和为1，使得满足求解需要的约束条件成立，即频谱面施加的幅度约束为：

$\left|\right|{\tilde{a}}_k^{\left(i\right)}|{|}^2=\underset{m=1}{\overset{M}{\&Sigma;}}|{\tilde{a}}_k^{\left(i\right)}\left(m\right){|}^2=1,k\&Element;\{1,2,...,2N\}$

其中，表示MIMO雷达第m个天线的第k个通道的幅度归一化系数向量，m∈{1,2,…,M}，M表示MIMO雷达天线数，N表示MIMO雷达每个天线发射正交相位编码信号码长，N也表示MIMO雷达每个天线的通道系数个数，i表示迭代次数。使用改进的约束条件更适合求解本发明中的极小化函数；

3.3求解物面输入函数S”⁽ⁱ⁾：

对频谱面输出函数Q′⁽ⁱ⁾的每一列进行逆离散傅里叶变换，得到物面输入函数S”⁽ⁱ⁾，即S”⁽ⁱ⁾＝D^HQ′⁽ⁱ⁾，其中，D表示2N×2N维离散傅里叶变换(DFT)矩阵，{}^H表示共轭转置，i表示迭代次数，Q′⁽ⁱ⁾表示频谱面输出函数；

3.4求解物面的幅度约束：

物面的幅度约束即为所求的MIMO雷达M个天线发射正交相位编码信号矩阵S，代价函数E转化式中的约束条件|s_m(n)|＝1，s_m(n)表示MIMO雷达第m个天线发射正交相位编码信号的第n个码元的具体码元值，m∈{1,2,…,M},n∈{1,2,…,N}；

约束条件|s_m(n)|＝1表明MIMO雷达每个天线发射正交相位编码信号为恒模信号，将MIMO雷达M个天线发射正交相位编码信号矩阵S⁽ⁱ⁾中的每个元素幅度限定为1，此处定义A为N×M维全1矩阵，且截取矩阵 $J={\left[\begin{array}{c}A\\ 0\end{array}\right]}_{2N\&times;M},$ 则得到更新的MIMO雷达M个天线发射正交相位编码信号矩阵的扩展矩阵S'⁽ⁱ⁺¹⁾：

S′⁽ⁱ⁺¹⁾＝J⊙exp(jarg(S″⁽ⁱ⁾))

其中，⊙表示Hadamard积，D表示2N×2N维离散傅里叶变换(DFT)矩阵，arg(S”⁽ⁱ⁾)表示取S”⁽ⁱ⁾的角度值，S”⁽ⁱ⁾表示物面输入函数，i表示迭代次数；

3.5重复子步骤3.1～3.4，对MIMO雷达M个天线发射正交相位编码信号矩阵S⁽ⁱ⁾进行迭代计算，直到两次迭代之间的误差小于预先设定值ε，即||S⁽ⁱ⁾-S⁽ⁱ⁺¹⁾||＜ε，停止迭代，该第i次迭代所得的MIMO雷达M个天线发射正交相位编码信号矩阵S⁽ⁱ⁾就是所求的MIMO雷达M个天线发射正交相位编码信号矩阵S。