CN104881874A - 基于二元四次多项式畸变误差补偿的双远心镜头标定方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于二元四次多项式畸变误差补偿的双远心镜头标定方法，用于解决现有双远心镜头标定方法精度低的技术问题。技术方案是采用双远心镜头和CCD相机搭建远心测量系统，调整棋盘格标定板以获得清晰地标定板图像，应用Harris算法获得棋盘格图像的亚像素角点坐标；考虑到畸变中心会对标定精度产生影响，在建立双远心镜头的平行投影模型时引入了u₀和v₀；根据现有的畸变模型，采用二元四次多项式进行畸变误差补偿；标定求解过程中根据所建立模型的特点采用三步法，并且以标定参数线性求解结果作为非线性优化输入参数的初值，提高了优化的效率。本发明方法标定过程简单，无需其他特殊的实验设备，提高了双远心镜头的标定精度。

Description

基于二元四次多项式畸变误差补偿的双远心镜头标定方法

技术领域

本发明涉及一种双远心镜头标定方法，特别是涉及一种基于二元四次多项式畸变误差补偿的双远心镜头标定方法。

背景技术

工程领域中，具有复杂外形曲线、曲面特征的零件发挥着举足轻重的作用，因此精确高效地评定其轮廓曲线、曲面等外形特征具有重要意义。传统测量技术对这些零件的测量具有很大的局限性，视觉测量技术作为一门新兴的测量技术具有测量速度快、精度高等特点，已经获得了迅速的发展，并在逆向工程、产品质量检测、精密制造等领域得到了广泛的应用。近年来，随着光学器件的发展，视觉测量中越来越多的采用双远心镜头进行场景获取和检测。这是由于双远心镜头较普通镜头具有更低的畸变，且在实际测量中，得益于其平行投影的工作原理，平行于相机光轴的零件平面特征在成像平面上能够成像为清晰的直线特征，使零件测量和检测变得方便快捷。但随着我们对零件测量精度的要求越来越高，对双远心镜头进行标定就成为了获得高精度测量结果必不可少的关键技术步骤。

到目前为止，人们对相机标定技术的研究已经相当成熟，提出了一些实用、高效的标定方法。这些相机标定方法的研究绝大多数都是基于针孔成像模型的标准镜头。由于双远心镜头的平行投影原理不同于标准镜头，所以标准镜头的标定方法也不适用于双远心镜头的标定。

近几年，随着双远心镜头在高精度测量中扮演着越来越重要的角色，人们也开始研究双远心镜头的标定技术。文献“Telecentric stereo micro-vision system:Calibrationmethod and experiments.Optics and Lasers in Engineering,2014(57):82-92”提出了一种基于平面模板的标定方法，建立了远心测量系统的几何模型，但在标定过程中忽略了畸变中心对标定精度的影响，并且只考虑了径向畸变对远心镜头的畸变影响，从而影响了双远心镜头最终的标定精度。目前并没有一个准确、成熟的双远心镜头标定方法，且在实验中发现采用现有的标定方法得到的标定精度并不理想，究其原因主要为：现有的标定方法在建立双远心镜头的标定模型时并没有考虑相机光轴与成像平面的交点(畸变中心)的标定，而是直接将其认定为图像的中心；另外现有的标定方法在进行双远心镜头的畸变误差补偿时一般只考虑了径向畸变或直接忽略畸变的影响，从而影响了最终的标定精度。

发明内容

为了克服现有双远心镜头标定方法精度低的不足，本发明提供一种基于二元四次多项式畸变误差补偿的双远心镜头标定方法。该方法采用双远心镜头和CCD相机搭建远心测量系统，调整棋盘格标定板在试验台上的位置以获得清晰地标定板图像，应用Harris算法获得棋盘格图像的亚像素角点坐标；考虑到畸变中心会对标定精度产生影响，在建立双远心镜头的平行投影模型时引入了u₀和v₀；根据现有的畸变模型，采用二元四次多项式进行畸变误差补偿；标定求解过程中根据所建立模型的特点采用三步法，并且以标定参数线性求解结果作为非线性优化输入参数的初值，提高了优化的效率。本发明方法标定过程简单，无需其他特殊的实验设备，提高了双远心镜头的标定精度。

本发明解决其技术问题所采用的技术方案是：一种基于二元四次多项式畸变误差补偿的双远心镜头标定方法，其特点是采用以下步骤：

步骤1、采用CCD相机和双远心镜头搭建远心测量系统；

步骤2、调整远心测量系统和棋盘格标定板，利用步骤1搭建的远心测量系统采集若干幅棋盘格标定板的平面图像；

步骤3、对步骤2采集的棋盘格标定板图像进行处理，提取棋盘格角点的亚像素坐标(u_di,v_dj)；

步骤4、根据双远心镜头的工作原理，建立双远心镜头的平行投影模型；

$\left[\begin{array}{c}{u}_u\\ v_u\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1/d_u& 0& u_0\\ 0& 1/d_v& v_0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}m& 0& 0& 0\\ 0& m& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}{r}_{11}& r_{12}& r_{13}& t_x\\ r_{21}& r_{22}& r_{23}& t_y\\ r_{31}& r_{32}& r_{33}& t_z\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{X}_w\\ Y_w\\ Z_w\\ 1\end{array}\right]---\left(1\right)$

其中，(u_u,v_u)为用像素表示的物点理论图像坐标，X_W,Y_W,Z_W为物点在世界坐标系中的坐标，d_u和d_v分别为x和y方向上的像素尺寸，(u₀,v₀)为畸变中心点的坐标，即CCD相机光轴与图像平面的交点，m为双远心镜头的放大倍率，R＝[r_ij]为旋转矩阵，T＝[t_x,t_y,t_z]^T为平移矩阵。

双远心镜头在标定时，物点从世界坐标系到摄像机坐标系的变换表示为：

$\left[\begin{array}{c}{X}_c\\ Y_c\\ Z_c\\ 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}{r}_{11}& r_{12}& r_{13}& t_x\\ r_{21}& r_{22}& r_{23}& t_y\\ r_{31}& r_{32}& r_{33}& t_z\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{X}_w\\ Y_w\\ Z_w\\ 1\end{array}\right]---\left(2\right)$

其中，X_C,Y_C,Z_C为物点在摄像机坐标系中的坐标。

由于双远心镜头的平行投影，则从摄像机坐标系到无畸变的图像坐标系的变换表示为：

$\left[\begin{array}{c}{x}_u\\ y_u\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}m& 0& 0& 0\\ 0& m& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{X}_c\\ Y_c\\ Z_c\\ 1\end{array}\right]---\left(3\right)$

其中，(x_u,y_u)为物点的理想图像坐标。

考虑畸变中心坐标参数对畸变影响，则从用毫米表示的图像坐标到用像素表示的图像坐标的变换表示为：

$\left[\begin{array}{c}{u}_u\\ v_u\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1/d_u& 0& u_0\\ 0& 1/d_v& v_0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_u\\ y_u\\ 1\end{array}\right]---\left(4\right)$

得到双远心镜头的平行投影模型式(1)。

步骤5、考虑在标定中采用二元四次多项式进行畸变误差补偿，建立如下所示的双远心镜头的畸变模型：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\δ}}_x=a_1{x_u}^4+a_2{y_u}^4+a_3{x_u}^3{y}_u+a_4{x_u}^2{y_u}^2+a_5{x}_u{y_u}^3+a_6{x_u}^3+a_7{y_u}^3+\\ a_8{x_u}^2{y}_u+a_9{x}_u{y_u}^2+a_{10}{x_u}^2+a_{11}{y_u}^2+a_{12}{x}_u{y}_u+a_{13}{x}_u+a_{14}{y}_u+a_{15}\\ {\mathrm{\δ}}_y=b_1{x_u}^4+b_2{y_u}^4+b_3{x_u}^3{y}_u+b_4{x_u}^2{y_u}^2+b_5{x}_u{y_u}^3+b_6{x_u}^3+b_7{y_u}^3+\\ b_8{x_u}^2{y}_u+b_9{x}_u{y_u}^2+b_{10}{x_u}^2+b_{11}{y_u}^2+b_{12}{x}_u{y}_u+b_{13}{x}_u+b_{14}{y}_u+b_{15}\end{array}\right.---\left(5\right)$

其中，δ_x和δ_y分别为x和y方向上的畸变，a_i和b_j为畸变系数i＝1,2,…,15；j＝1,2,…,15。

步骤6、根据步骤4和步骤5建立的双远心镜头的平行投影模型以及畸变模型，采用三步法进行参数的求解；

6.1、不考虑双远心镜头的镜头畸变，按理想的平行投影进行求解，初步求得放大倍率m以及旋转矩阵R和平移矩阵T；

6.2、完成步骤6.1后，考虑双远心镜头的畸变，初步求得畸变系数；

6.3、在完成步骤6.1和6.2的求解后，以求解的参数值作为他们的初值，通过MATLAB优化工具箱中的Levenberg–Marquardt算法对其进行优化求解，以获得更高的标定精度。

本发明的有益效果是：该方法采用双远心镜头和CCD相机搭建远心测量系统，调整棋盘格标定板在试验台上的位置以获得清晰地标定板图像，应用Harris算法获得棋盘格图像的亚像素角点坐标；考虑到畸变中心会对标定精度产生影响，在建立双远心镜头的平行投影模型时引入了u₀和v₀；根据现有的畸变模型，采用二元四次多项式进行畸变误差补偿；标定求解过程中根据所建立模型的特点采用三步法，并且以标定参数线性求解结果作为非线性优化输入参数的初值，提高了优化的效率。本发明方法标定过程简单，无需其他特殊的实验设备，提高了双远心镜头的标定精度。

从图3可以看出，采用本发明方法较背景技术方法获得了更高的标定精度。采用二元四次多项式表示的畸变模型进行标定求解时，其标定残差在u向和v向的最大值(绝对值/像素)分别为0.16120和0.14510，小于采用背景技术方法的0.72280和0.60189；其标定残差在u向和v向的均方差分别为0.07274和0.06543，小于采用背景技术方法的0.25093和0.21196。与背景技术方法相比，本发明方法具有较大的优势。即采用本发明方法对远心镜头进行标定时，远心测量系统的标定残差的最大值和标准差较现有方法分别减少了75％和67％，标定精度更高。

下面结合附图和具体实施方式对本发明作详细说明。

附图说明

图1是本发明基于二元四次多项式畸变误差补偿的双远心镜头标定方法的流程图。

图2是本发明方法所标定双远心镜头的投影模型。

图3是本发明方法和背景技术方法优化后标定角点的残差对比图。

具体实施方式

参照图1-3。本发明基于二元四次多项式畸变误差补偿的双远心镜头标定方法具体步骤如下：

步骤1：本实施例选择BTOS的BT-2364双远心镜头以及维视图像的MV—VD500SM高分辨率相机。由于双远心镜头较重，为了避免相机与镜头连接处断裂，将双远心镜头与相机连接后安装在双远心镜头固定架上，然后将其固定到由精密旋转台、精密角位台以及导轨装置等组成的光学调整台上，以方便调节相机的拍摄角度和位置。安装完成后将相机连接到PC端，打开相机控制软件，准备进行图像采集。

步骤2：选择AFT-MCT-OV100高精度标定板，将该棋盘格标定板放置在光学测量平台上，调节标定板的位置，使其在相机上成像为清晰的标定板图像，然后利用步骤1搭建的远心测量系统采集棋盘格标定板的平面图像。

步骤3：在MATLAB平台上，对采集的棋盘格标定板图像进行滤波、锐化等预处理，然后应用Harris角点提取算法对预处理后的图像提取角点的亚像素(u_di,v_dj)坐标，提取的部分角点坐标如表1所示。

表1 部分角点坐标

步骤4：由于双远心镜头的平行投影不同于标准镜头的透视投影，且现有方法在建立双远心镜头的标定模型时都忽略了畸变中心坐标参数的影响。所以，重新建立了双远心镜头的投影模型。

$\left[\begin{array}{c}{u}_u\\ v_u\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1/d_u& 0& u_0\\ 0& 1/d_v& v_0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}m& 0& 0& 0\\ 0& m& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}{r}_{11}& r_{12}& r_{13}& t_x\\ r_{21}& r_{22}& r_{23}& t_y\\ r_{31}& r_{32}& r_{33}& t_z\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{X}_w\\ Y_w\\ Z_w\\ 1\end{array}\right]---\left(1\right)$

其中(u_u,v_u)为用像素表示的物点理论图像坐标，(X_W,Y_W,Z_W)为物点在世界坐标系中的坐标，d_u和d_v分别为x和y方向上的像素尺寸，(u₀,v₀)为畸变中心点的坐标(即相机光轴与图像平面的交点)，m为双远心镜头的放大倍率，R＝[r_ij]为旋转矩阵，T＝[t_x,t_y,t_z]^T为平移矩阵。

步骤5：通过对双远心镜头畸变的分析，考虑在标定中采用二元四次多项式进行畸变误差补偿，建立如下所示的双远心镜头的畸变模型：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\δ}}_x=a_1{x_u}^4+a_2{y_u}^4+a_3{x_u}^3{y}_u+a_4{x_u}^2{y_u}^2+a_5{x}_u{y_u}^3+a_6{x_u}^3+a_7{y_u}^3+\\ a_8{x_u}^2{y}_u+a_9{x}_u{y_u}^2+a_{10}{x_u}^2+a_{11}{y_u}^2+a_{12}{x}_u{y}_u+a_{13}{x}_u+a_{14}{y}_u+a_{15}\\ {\mathrm{\δ}}_y=b_1{x_u}^4+b_2{y_u}^4+b_3{x_u}^3{y}_u+b_4{x_u}^2{y_u}^2+b_5{x}_u{y_u}^3+b_6{x_u}^3+b_7{y_u}^3+\\ b_8{x_u}^2{y}_u+b_9{x}_u{y_u}^2+b_{10}{x_u}^2+b_{11}{y_u}^2+b_{12}{x}_u{y}_u+b_{13}{x}_u+b_{14}{y}_u+b_{15}\end{array}\right.---\left(2\right)$

其中a_i和b_j为畸变系数(i＝1,2,…,15；j＝1,2,…,15)

步骤6：根据步骤4和步骤5建立的双远心镜头的平行投影模型以及畸变模型，采用一种三步法进行参数的求解；

6.1不考虑双远心镜头的镜头畸变，按理想的平行投影进行求解

假设标定板所在的平面位于世界坐标系的X-Y平面，则Z_w＝0。从而得到：

$\left[\begin{array}{c}u\\ v\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{mr}}_{11}{X}_w/d_u+{\mathrm{mr}}_{12}{Y}_w/d_u+{\mathrm{mt}}_x/d_u+u_0\\ {\mathrm{mr}}_{21}{X}_w/d_v+{\mathrm{mr}}_{22}{Y}_w/d_v+{\mathrm{mt}}_y/d_v+v_0\\ 1\end{array}\right]---\left(3\right)$

整理(3)式得：

r₁₁X_w+r₁₂Y_w+t_x-kr₂₁X_w-kr₂₂Y_w-kt_y＝0   (4)其中 $k=\frac{(u-u_0)d_u}{(v-v_0)d_v}$

将(4)式转化为矩阵形式：

$(X_w,Y_w,1,{-\mathrm{kX}}_w,{-\mathrm{kY}}_w)\left[\begin{array}{c}{r}_{11}/t_y\\ r_{12}/t_y\\ t_x/t_y\\ r_{21}/t_y\\ r_{22}/t_y\end{array}\right]=k---\left(5\right)$

(5)式可以记作AL＝B。

用远心镜头对标定板进行拍照，提取标定板角点的亚像素坐标，由标定板角点的世界坐标和对应角点的图像坐标可得A和B，然后利用最小二乘原理解得L，从而得到r₁₁/t_y,r₁₂/t_y,t_x/t_y,r₂₁/t_y,r₂₂/t_y的值。

根据r₁₁/t_y,r₁₂/t_y,t_x/t_y,r₂₁/t_y,r₂₂/t_y的值求解旋转矩阵和平移矩阵的各个元素。在求得旋转矩阵和平移矩阵后，可以根据式(3)求得双远心镜头的放大倍率m。

6.2 完成步骤6.1后，考虑双远心镜头的畸变，初步求得畸变系数

根据所求得旋转矩阵和平移矩阵、双远心镜头的放大倍率以及点p的世界坐标，可以求得点p的理想图像坐标(x_u,y_u)以及用像素表示的理论图像坐标(u_u,v_u)，则：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_d=x_u+{\mathrm{\δ}}_x\\ y_d=y_u+{\mathrm{\δ}}_y\end{array}\right.---\left(6\right)$

其中(x_d,y_d)为点p的实际图像坐标

结合(2)式可得：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\δ}}_x=x_d-x_u=(u_d-u_u)/d_u\\ {\mathrm{\δ}}_y=y_d-y_u=(v_d-v_u)/d_v\end{array}\right.---\left(7\right)$

将式(2)与式(7)联合求解。分别带入若干对点p的世界坐标与其对应的图像坐标，一般情况下，由于带入点对的个数较多(即方程的个数多于待求畸变系数的个数)，可以利用最小二乘法对方程进行求解，可以求得该畸变模型的畸变系数a、b。6.3在完成步骤6.1和6.2的求解后，以求解的参数值作为他们的初值，通过MATLAB优化工具箱的Levenberg–Marquardt算法对其进行优化求解，以获得更高的标定精度

求得各参数的初值后，为了获得更高的标定精度，我们可以对求得的参数进行优化。对于我们的标定结果，若标定精度越高，则通过我们建立的数学模型所求得的角点坐标与实际角点坐标的差越小，所以我们建立如下的目标函数。目标函数取值越小，则最终的标定精度越高。

$F=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{(p_{\mathrm{di}}-p_{\mathrm{ui}})}^2---\left(8\right)$

式中n为所需要的角点数，p_di为角点p_i的实际图像坐标，p_ui为角点p_i用式(1)、(2)和式(6)表示的图像坐标，可以表示为p_ui(m,R,T,t)，t为畸变系数、m为双远心镜头的放大倍率、R为旋转矩阵、T为平移矩阵，它们的初值取上述求解的结果。通过最小化目标函数F来求解各参数的优化结果，本实施例通过MATLAB优化工具箱对其进行优化求解，得到各标定参数的优化值，完成双远心镜头的标定。本实施例中，远心测量系统各参数的标定结果如表2所示。

表2 远心测量系统标定结果

从图3可以看出，采用本发明方法较背景技术方法获得了更高的标定精度。采用二元四次多项式表示的畸变模型进行标定求解时，其标定残差在u向和v向的最大值(绝对值/像素)分别为0.16120和0.14510，小于采用背景技术方法的0.72280和0.60189；其标定残差在u向和v向的均方差分别为0.07274和0.06543，小于采用背景技术方法的0.25093和0.21196。与背景技术方法相比，本发明方法具有较大的优势。即采用本发明方法对远心镜头进行标定时，远心测量系统的标定残差的最大值和标准差较现有方法分别减少了75％和67％，标定精度更高。

Claims (1)

1.一种基于二元四次多项式畸变误差补偿的双远心镜头标定方法，其特征在于包括以下步骤：

步骤1、采用CCD相机和双远心镜头搭建远心测量系统；

步骤2、调整远心测量系统和棋盘格标定板，利用步骤1搭建的远心测量系统采集若干幅棋盘格标定板的平面图像；

步骤3、对步骤2采集的棋盘格标定板图像进行处理，提取棋盘格角点的亚像素坐标(u_di,v_dj)；

步骤4、根据双远心镜头的工作原理，建立双远心镜头的平行投影模型；

$\left[\begin{array}{c}{u}_u\\ v_u\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1/d_u& 0& u_0\\ 0& 1/d_v& v_0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}m& 0& 0& 0\\ 0& m& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}{r}_{11}& r_{12}& r_{13}& t_x\\ r_{21}& r_{22}& r_{23}& t_y\\ r_{31}& r_{32}& r_{33}& t_z\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{X}_w\\ Y_w\\ Z_w\\ 1\end{array}\right]---\left(1\right)$

其中，(u_u,v_u)为用像素表示的物点理论图像坐标，X_W,Y_W,Z_W为物点在世界坐标系中的坐标，d_u和d_v分别为x和y方向上的像素尺寸，(u₀,v₀)为畸变中心点的坐标，即CCD相机光轴与图像平面的交点，m为双远心镜头的放大倍率，R＝[r_ij]为旋转矩阵，T＝[t_x,t_y,t_z]^T为平移矩阵；

双远心镜头在标定时，物点从世界坐标系到摄像机坐标系的变换表示为：

$\left[\begin{array}{c}{X}_c\\ Y_c\\ Z_c\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}{r}_{11}& r_{12}& r_{13}& t_x\\ r_{21}& r_{22}& r_{23}& t_y\\ r_{31}& r_{32}& r_{33}& t_z\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{X}_w\\ Y_w\\ Z_w\\ 1\end{array}\right]---\left(2\right)$

其中，X_C,Y_C,Z_C为物点在摄像机坐标系中的坐标；

由于双远心镜头的平行投影，则从摄像机坐标系到无畸变的图像坐标系的变换表示为：

$\left[\begin{array}{c}{x}_u\\ y_u\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}m& 0& 0& 0\\ 0& m& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{X}_c\\ Y_c\\ Z_c\\ 1\end{array}\right]---\left(3\right)$

其中，(x_u,y_u)为物点的理想图像坐标；

考虑畸变中心坐标参数对畸变影响，则从用毫米表示的图像坐标到用像素表示的图像坐标的变换表示为：

$\left[\begin{array}{c}{u}_u\\ v_u\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1/d_u& 0& u_0\\ 0& 1/d_v& v_0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_u\\ y_u\\ 1\end{array}\right]---\left(4\right)$

得到双远心镜头的平行投影模型式(1)；

步骤5、考虑在标定中采用二元四次多项式进行畸变误差补偿，建立如下所示的双远心镜头的畸变模型：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\δ}}_x=a_1{x_u}^4+a_2{y_u}^4+a_3{x_u}^3{y}_u+a_4{x_u}^2{y_u}^2+a_5{x}_u{y_u}^3+a_6{x_u}^3+a_7{y_u}^3+\\ a_8{x_u}^2{y}_u+a_9{x}_u{y_u}^2+a_{10}{x_u}^2+a_{11}{y_u}^2+a_{12}{x}_u{y}_u+a_{13}{x}_u+a_{14}{y}_u+a_{15}\\ {\mathrm{\δ}}_y=b_1{x_u}^4+b_2{y_u}^4+b_3{x_u}^3{y}_u+b_4{x_u}^2{y_u}^2+b_5{x}_u{y_u}^3+b_6{x_u}^3+b_7{y_u}^3+\\ b_8{x_u}^2{y}_u+b_9{x}_u{y_u}^2+b_{10}{x_u}^2+b_{11}{y_u}^2+b_{12}{x}_u{y}_u+b_{13}{x}_u+b_{14}{y}_u+b_{15}\end{array}\right.---\left(5\right)$

其中，δ_x和δ_y分别为x和y方向上的畸变，a_i和b_j为畸变系数i＝1,2,…,15；j＝1,2,…,15；

步骤6、根据步骤4和步骤5建立的双远心镜头的平行投影模型以及畸变模型，采用三步法进行参数的求解；

6.1、不考虑双远心镜头的镜头畸变，按理想的平行投影进行求解，初步求得放大倍率m以及旋转矩阵R和平移矩阵T；

6.2、完成步骤6.1后，考虑双远心镜头的畸变，初步求得畸变系数；

6.3、在完成步骤6.1和6.2的求解后，以求解的参数值作为他们的初值，通过MATLAB优化工具箱中的Levenberg–Marquardt算法对其进行优化求解，以获得更高的标定精度。