CN104834785A - 基于单纯形样条函数的航空发动机稳态模型的建模方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于单纯形样条函数的航空发动机稳态模型建模方法，根据给定发动机的飞行参数和控制参数，对航空发动机稳定状态进行实时估计，建立航空发动机的稳态模型，包括以下步骤：获取航空发动机稳态模型的训练和测试数据；进行发动机工作区域的三角划分，并计算工作点所在单纯形的重心坐标；计算单纯形样条的基函数；求解单纯形样条函数的系数；利用所述的测试数据对模型泛化能力进行验证，若精度差则返回上述步骤二，重新进行三角划分，并调节单纯形样条的基函数的阶数；若精度好，则建立航空发动机稳态模型。本发明方法算法复杂度低、存储数据量小、实时性好，拟合效果优，有效避免了支持向量回归机不能拟合大样本数据的缺点。

Description

基于单纯形样条函数的航空发动机稳态模型的建模方法

技术领域

本发明属于航空宇航推进理论与工程中的系统控制与仿真技术领域，涉及航空发动机稳态模型的构建方法，尤其是涉及一种基于单纯形样条函数的航空发动机稳态模型的建模方法。

背景技术

航空发动机是多变量、强非线性和时变的复杂系统，其稳定安全运行对发动机控制系统提出了很高的要求。航空发动机非线性数学模型是发动机数值仿真的基础，也是建立发动机自适应实时模型的基础。要充分挖掘发动机性能潜力或进行故障诊断，首先就必须建立反映全飞行包线发动机状态的高精度、实时性好的机载发动机数学模型，保证计算出的各发动机参数不会偏离实际发动机参数，从而保证优化或故障诊断效果。而航空发动机稳态模型是机载发动机模型的关键，本发明主要针对航空发动机稳态建模的问题。

目前航空发动机稳态模型的方法主要有：分段线性插值、神经网络和支持向量机等建模方法。分段线性插值建模方法的优点是简单且实时性好，但其需要存储的足够的插值表，随着模型的维数的增加，为了提高模型精度，它的存储量会呈指数爆发式增长；然而，对于航空发动机往往试验样本数据有限，或样本数据较为稀疏，此时通过分段线性插值得到的模型精度则难以保证。神经网络方法，虽然一定程度上避免了分段线性插值模型拟合精度不高的缺点，但其本质是用梯度算法导出的，因此优化训练过程极易陷入局部极值。而且，神经网络的结构设计(例如隐含层节点数目的选择)依赖于设计者的先验知识和经验，缺乏严格的数学推导，这导致它容易出现过拟合现象，从而影响模型精度。支持向量机方法，如多输入多输出约简迭代最小二次支持向量机(MRR-LSSVR)方法，虽然克服了神经网络陷入局部极值并且有效改善了过拟合问题，然而随着模型维数的增加和精度要求的提高，就必须增加样本采集量；而且为了提高模型的实时性，就必须增加支持向量机的稀疏性，而由于算法特点，支持向量机稀疏性问题一直未得到良好的解决，这使得即使当输入变量维数不变时，随着样本数据增加，其实时性将难以得到保证。

发明内容

本发明所要解决的技术问题在于克服现有技术的不足，提供一种基于单纯形样条函数的航空发动机稳态模型的建模方法，能够避免现有技术的支持向量机方法如多输入多输出约简迭代最小二次支持向量机(MRR-LSSVR)在大样本数据情况下模型训练实时性较差的问题，有效地降低了算法复杂度及提升训练实时性。

为了解决上述技术问题，本发明采取以下技术方案：

一种基于单纯形样条函数的航空发动机稳态模型的建模方法，根据给定发动机的飞行参数和控制参数，对航空发动机稳定状态进行实时估计，建立航空发动机的稳态模型，其特征在于包括以下步骤：

步骤一、获取航空发动机稳态模型的训练和测试数据；

步骤二、进行发动机工作区域的三角划分，并计算工作点所在单纯形的重心坐标；

步骤三、计算单纯形样条的基函数；

步骤四、求解单纯形样条函数的系数；

步骤五、利用所述的测试数据对模型泛化能力进行验证，若精度差则返回上述步骤二，重新进行三角划分，并调节单纯形样条的基函数的阶数；若精度好，则建立航空发动机稳态模型。

在所述步骤一中，所述的获取航空发动机稳态模型的训练和测试数据是指：根据所述发动机的飞行参数和控制参数，进行发动机试车试验或根据航空发动机部件模型得到数据。

在所述步骤二中，所述的发动机工作区域的三角划分采用Delaunay三角划分算法进行；所述的计算工作点所在单纯形的重心坐标是指单纯形内的点x对应单纯形的重心坐标：b(x)＝(b₀,b₁,…,b_n)，其中，b_i为x对应单纯形顶点的重心坐标，因此，x可以表示为：

$x=\underset{i=0}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{b}_i{v}_{p_i}$

其中，为单纯形的顶点，p_i为顶点指数的排序即p_i＜p_i+1。

在所述步骤三中，所述的求解单纯形样条函数的系数，其计算公式如下：

$B_k^d\left(b\right)=\frac{d!}{k!}{b}^k$

其中，k称为多维系k＝(k₀,k₁,…,k_n)∈Nⁿ⁺¹,k！为多维系数的阶乘积k！＝k₀！k₁！…k_n！，b为单纯形样条的重心坐标，b^k等于d表示基函数多项式的阶数。

在所述步骤四中，所述的单纯形样条函数的系数的求解为线性回归问题：

$y\left(i\right)=\underset{j=1}{\overset{J}{\mathrm{\Σ}}}\underset{\left|k\right|=d}{\mathrm{\Σ}}{c}_k^{t_j}{B}_k^d\left(b\right)+r\left(i\right)$

式中,b(i)为发动机工作点所对应的单纯形区域t_j的重心坐标，为单纯形样条的基函数，单纯形样条函数的系数的求解可进一步转换为求解残差平方和最小的最优化问题即

min J＝(Y-Xc)^T(Y-Xc)

Hc＝0

式中，c为单纯形样条函数的系数，X为单纯形样条的基函数，Y为航空发动机输出数据，J＝(Y-Xc)^T(Y-Xc)为广义最小二乘的目标函数，Hc＝0为单纯形样条函数的光滑条件，上式称为带有等式约束的广义最小二乘问题；对于上述问题，运用格朗日乘子得到 Karush-Kuhn-Tucher条件：

$\left[\begin{array}{cc}{X}^{T}X& H^T\\ H& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}c\\ v\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{X}^{T}Y\\ 0\end{array}\right]$

式中，v为拉格朗日乘子，最终把单纯形样条函数的系数求解问题转化为线性方程的求解。

相比现有技术，本发明具有以下优点和有益效果：

(1)本发明所采用的纯形样条函数的算法复杂度与样本点个数无关，只与输入维数和自身结构有关，而MRR-LSSVR的算法复杂度与样本数据量正相关，因此，随着建模时样本数据量的增加或采用大样本数据时，单纯形样条建模所需的训练时间远小于后者。且仿真结果同时表明，单纯形样条的模型拟合精度要高于MRR-LSSVR。

(2)单纯形样条函数能够避免了神经网络容易陷入局部极值和过拟合现象等缺点。

附图说明

图1是本发明方法的航空发动机稳态模型建模原理图。

图2为涡扇发动机截面的示意图。其中，1截面为发动机进口，2截面为风扇进口，22截面为风扇出口，13和23截面分别为外涵道、内涵道进口，25截面为压气机进口，3截面为燃烧室进口，4截面为高压涡轮进口，42截面为高压涡轮出口，45截面为低压涡轮转子进口，46截面为低压涡轮出口，16截面为外涵道出口，6截面为内涵道出口及掺混室进口，7截面为加力燃烧室进口，75截面为加力燃烧室出口，8截面为尾喷管喉道，9截面为尾喷管出口。

图3为图2所示发动机的推力F随尾喷管喉道面积A₈和主燃油流量WFB变化的单纯形样条拟合曲面。其中，X轴为WFB，Y轴为A₈，Z轴为F，“单纯形样条”为单纯形样条拟合曲面，“测试点”为已知数据点。

图4是当高度H、飞行马赫数Ma、A₈和WFB作为输入时，MRR-LSSVR和单纯形样条在不同样本个数下的训练时间曲线。其中，横坐标为样本个数，纵坐标为训练时间，图中的MRR-LSSVR为多输入多输出约简迭代最小二次支持向量机，单纯形样条为单纯形样条。

图5是当H、Ma、A₈和WFB作为输入时，MRR-LSSVR和单纯形样条在不同样本个数下的测试时间曲线。

具体实施方式

下面结合附图和实施例对本发明进行详细说明。

如图1所示是本发明方法的航空发动机稳态模型建模原理图，包括数据流模块、三角划分及单纯形重心计算模块、单纯形样条的基函数计算模块、单纯形样条系数求解模块及模型验证模块。其中，数据流模块为测试数据和训练数据，它为航空发动机已知实验或者仿真数据；三角划分及单纯形重心计算模块主要是对定义域进行三角划分并计算工作点对应的单纯 形重心，本发明方法采用Delaunay三角划分算法；单纯形样条的系数求解模块主要对单纯形样条函数的系数进行求解；模型验证模块主要对已求的单纯形样条函数进行验证。即，根据训练数据中的输入参数个数及变化区间，对变化区间进行Delaunay三角划分，求出航空发动机已知工作点的重心，并求出单纯形样条的基函数，由于该函数求解问题为线性回归问题，因此本发明可以利用广义最小二乘对单纯形样条的系数进行求解，初步求出单纯形样条函数。利用测试数据对已经建立起来的单纯形样条函数进行测试，泛化效果差则对单纯区域重新三角划分，并调节单纯形样条基函数的次数，重新求解单纯形样条函数；泛化效果好则输出单纯形样条的系数。由此可以建立基于单纯形样条函数的航空发动机稳态模型。

具体而言，本发明的一种基于单纯形样条函数的航空发动机稳态模型的建模方法，根据给定发动机的飞行参数和控制参数，对航空发动机稳定状态进行实时估计，建立航空发动机的稳态模型，其特征在于包括以下步骤：

步骤一、获取航空发动机稳态模型的训练和测试数据；

步骤二、进行发动机工作区域的三角划分，并计算工作点所在单纯形的重心坐标；

步骤三、计算单纯形样条的基函数；

步骤四、求解单纯形样条函数的系数；

步骤五、利用所述的测试数据对模型泛化能力进行验证，若精度差则返回上述步骤二，重新进行三角划分，并调节单纯形样条的基函数的阶数；若精度好，则建立航空发动机稳态模型。

在所述步骤一中，所述的获取航空发动机稳态模型的训练和测试数据是指：根据所述发动机的飞行参数和控制参数，进行发动机试车试验或根据航空发动机部件模型得到数据。

在所述步骤二中，所述的发动机工作区域的三角划分采用Delaunay三角划分算法进行；

所述的计算工作点所在单纯形的重心坐标是指单纯形内的点x对应单纯形的重心坐标：b(x)＝(b₀,b₁,…,b_n)，其中，b_i为x对应单纯形顶点的重心坐标，因此，x可以表示为：

$x=\underset{i=0}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{b}_i{v}_{p_i}$

其中，为单纯形的顶点，p_i为顶点指数的排序即p_i＜p_i+1。

在所述步骤三中，所述的求解单纯形样条函数的系数，其计算公式如下：

$B_k^d\left(b\right)=\frac{d!}{k!}{b}^k$

其中，k称为多维系k＝(k₀,k₁,…,k_n)∈Nⁿ⁺¹,k！为多维系数的阶乘积k！＝k₀！k₁！…k_n！，b为单纯形样条的重心坐标，b^k等于d表示基函数多项式的阶数。

在所述步骤四中，所述的单纯形样条函数的系数的求解为线性回归问题：

$y\left(i\right)=\underset{j=1}{\overset{J}{\mathrm{\Σ}}}\underset{\left|k\right|=d}{\mathrm{\Σ}}{c}_k^{t_j}{B}_k^d\left(b\right)+r\left(i\right)$

式中,b(i)为发动机工作点所对应的单纯形区域t_j的重心坐标，为单纯形样条的基函数，单纯形样条函数的系数的求解可进一步转换为求解残差平方和最小的最优化问题即

min J＝(Y-Xc)^T(Y-Xc)

Hc＝0

式中，c为单纯形样条函数的系数，X为单纯形样条的基函数，Y为航空发动机输出数据，J＝(Y-Xc)^T(Y-Xc)为广义最小二乘的目标函数，Hc＝0为单纯形样条函数的光滑条件，上式称为带有等式约束的广义最小二乘问题；对于上述问题，运用格朗日乘子得到Karush-Kuhn-Tucher条件：

$\left[\begin{array}{cc}{X}^{T}X& H^T\\ H& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}c\\ v\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{X}^{T}Y\\ 0\end{array}\right]$

式中，v为拉格朗日乘子，最终把单纯形样条函数的系数求解问题转化为线性方程的求解。

本发明具体实施例以某涡扇混合排气发动机的部件级模型为仿真对象，利用单纯形样条建立二维和四维涡扇发动机稳态模型，并与支持向量机所建立的对应模型进行比较，MRR-LSSVR算法能够将约简技术及迭代策略与标准最小二乘支持向量回归机结合起来。

因此，本发明主要与MRR-LSSVR方法建立的涡扇发动机稳态模型作比较，该稳态模型的建立主要包括以下步骤：

步骤一、获得训练和测试数据：

根据发动机的飞行参数和控制参数，进行发动机试车实验或根据航空发动机部件模型得到的训练和测试数据，由于试车实验成本高，而航空发动机非线性部件级模型是依据气动热力学基本原理建立，该模型的采用部件法建立起来，即先构造发动机各部件的模型，然后根据各部件的共同工作条件组合成整台发动机模型，发动机截面和各个部件位置如图2所述。由于部件级模型仿真成本低，而且精度高，为此，在实验条件有限的情况下，利用部件级模型进行获得测试和训练数据为一个好选择。

步骤二、发动机工作区域的三角划分并计算工作点所在单纯形的重心坐标：

根据航空发动机的飞行参数和控制量的控制区间来确定定义域，例如飞行参数为高度H和飞行马赫数Ma，控制参数为燃油流量WFB和喷管喉道面积A₈，对于定义域可以找到一组不重复覆盖的单纯形组

本发明利用最常用的不重复覆盖三角划分方法的Delaunay算法。上式(1)中，t_i和t_j称为单纯形，它的几何结构是n维空间的非退化子集，例如2-单纯形是三角形结构，3-单纯形是四面体，单纯形的定义如下：

让V是由一组非退化的n+1个点生成的n维空间

V＝{v₀,v₁,…,v_n}∈Rⁿ   (2) 

因此，称凸包V为n-单纯形t

t＝<V>   (3)

因为单纯形是凸包，所以对于单纯形内的每个点都可以由单纯形的顶点线性表示，因此可以将重心坐标定义为：

对于单纯形内的任意点x，可以表示为：

$x=\underset{i=0}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{b}_i{v}_{p_i}---\left(4\right)$

式(4)中，称b(x)＝(b₀,b₁,…,b_n)是单纯形内的点x对于单纯形的重心坐标，p_i为顶点指数的排序即p_i＜p_i+1。

步骤三、计算单纯形样条的基函数：

单纯形样条基函数的计算公式如下：

$B_k^d\left(b\right)=\frac{d!}{k!}{b}^k---\left(5\right)$

其中k称为多维系k＝(k₀,k₁,…,k_n)∈Nⁿ⁺¹,它的一范数|k|＝k₀+k₁+…+k_n＝d，k！为多维系数的阶乘积k！＝k₀！k₁！…k_n！，b^k等于d表示基函数多项式的阶数。

单纯形样条基函数是定义在单纯形区域内，它可以组成样条空间，样条空间是给定的阶数d和连续阶数C^r并且定义在三角划分区域的样条函数s所生成的函数空间，由Lai和Schumaker的定义即：

$S_d^r=\{s\&Element;C^r\left(\mathrm{\&tau;}\right):s{|}_t\&Element;P_d,\&ForAll;t\&Element;\mathrm{\&tau;}\}---\left(6\right)$

式(6)中，P_d表示d阶多项式，如表示为一阶连续的三阶样条空间。

Lai和Schumaker给出了一个非常重要的多维系数排序：

k_d,0,…,0＞k_d-1,1,…,0＞…＞k_{0,0,…,1,d-1}＞k_0,0,…,d

它的总排序数为 $\hat{d}=\frac{(d+n)!}{d!n!}.$

De Boor在1987年证明了任何d阶多项式p(b)都可以写成由线性表示即：

$p\left(b\right)=\underset{\left|k\right|=d}{\mathrm{\&Sigma;}}{c}_k{B}_k^d\left(b\right)---\left(7\right)$

式(7)中，c_k称为多维单纯形样条的系数，简称为B系数。

步骤四、求解单纯形样条函数的系数；

已知根据已知数据(x(i),y(i))，则输出可以写成

y(i)＝f(x(i))+r(i),i＝1,2,…,N   (8)

式(8)中，f为未知函数，r为残差，由式(8)可知，f可由B样条函数表示，故式(8)可以改写成：

$y\left(i\right)=\underset{j=1}{\overset{J}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{\left|k\right|=d}{\mathrm{\&Sigma;}}{c}_k^{t_j}{B}_k^d\left(b\right)+r\left(i\right)---\left(9\right)$

式(9)中,b(i)为x(i)所对应的单纯形区域t_j的重心坐标。定义如(5)的基函数，观察式(9)可知，单纯形样条函数是由基函数线性组成，因此，此问题为线性回归问题，将式(9)可进一步简化为：

Y＝Xc+r∈R^N×1   (10)

对于线性回归问题式(10)可以转换为求解其残差最小即

minJ＝(Y-Xc)^T(Y-Xc)

(11)

Hc＝0

式(11)中，J＝(Y-Xc)^T(Y-Xc)为广义最小二乘的目标函数，Hc＝0为单纯形样条函数的光滑条件，式(11)称为带有等式约束的广义最小二乘问题。对于问题(11)，运用格朗日乘子得到Karush-Kuhn-Tucher(KKT)条件：

$\left[\begin{array}{cc}{X}^{T}X& H^T\\ H& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}c\\ v\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{X}^{T}Y\\ 0\end{array}\right]---\left(12\right)$

式(12)中，c为单纯形样条的系数，v为拉格朗日乘子，综上所述，单纯形样条逼近问题如式(9)，其问题本质为线性回归问题式(9)，它可以通过一般的广义最小二乘方法式(11)和式(12)求解。

步骤五、利用测试数据对模型泛化能力进行验证，精度差则返回步骤二，重新三角划分，并调节单纯形样条的基函数的阶数。效果好则建立航空发动机稳态模型。

至此，单纯形样条函数就此建立起来。该方法是由基函数线性组成，基函数的局部多项式性质使得基函数具有良好的非线性拟合能力；该函数的求解为线性回归问题，可以运用广义最小二乘来求解单纯形样条的系数，因此不存在陷入局部极值和过拟合现象。

为了验证本发明航空发动机稳态建模方法的有效性，本具体实施方式采用单纯形样条建立二维和四维涡扇发动机稳态模型，并与支持向量机所建立的对应模型进行比较。多输入多输出约简迭代最小二次支持向量机(MRR-LSSVR)算法能够将约简技术及迭代策略与标准 最小二乘支持向量回归机结合起来，并考虑多个输出变量对选择支持向量的综合影响，以对多输出目标贡献最大为筛选准则，选择更少且更优的支持向量来解决多输出问题，可以有效地缩短预测时间和增强稀疏性，因此，以下将与MRR-LSSVR方法建立的涡扇发动机稳态模型作比较。

两维涡扇发动机稳态模型：

二维发动机稳态模型输入量取WFB和A₈，输出变量为风扇转速PNF、压气机转速PNC、风扇喘振裕度SML、压气机喘振裕度SMH、发动机推力F、涡轮前温度T₄和风扇进口流量WA₂，因此一个样本数据含有2输入7输出共9个参量。建模所需的样本数据是在H＝9km,Ma＝0.8时通过涡扇发动机部件级模型获取，WFB为油门杆角度PLA＝40°～60°对应的稳态燃油流量，A₈变化范围为设计点值的95％～115％，并获取相应的部件级模型的稳态输出量PNF、PNC、SML、SMH、F、T₄和WA₂，以此作为样本数据。稳态建模时，从拟合样本区域随机采集500个测试点和500个训练点。

利用delaunay三角划分算法将定义域三角划分，经过试验，确定定义在单纯形域上的局部多项式为5次。MRR-LSSVR算法中支持向量机个数Q需要事先确定，经过试验最终筛选支持向量机个数Q为250个，此外，训练时还需训练样本中的输入量进行归一化处理，最后采用Gaussian核函数建立输入量与输出量之间的非线性关系，经调试相关算法参数设置如下：正则化参数γ＝2¹⁸，高斯核参数υ＝1.4。

表1给出了训练数据和测试数据都为500个数据点时测试和训练的最大相对误差(MRE，maximum relative error)与平均相对误差(ARE，average relative error)，从表1可以看出，单纯形样条的最大训练和测试误差均小于0.01。从训练和测试结果可知，其拟合效果明显优于MRR-LSSVR，其中只有SMH的最大测试和训练误差比MRR-LSSVR稍大，而其它的效果均小于MRR-LSSVR。

图3为F随A₈和WFB变化的单纯形样条拟合曲面。在图3中，X轴为WFB，Y轴为A₈，Z轴为F。使用Delaunay算法把定义域划分为四个不重复覆盖的单纯形区域。在每个单纯形区域上定义一个B样条函数，相邻的单纯形区域之间有个连续约束条件，再由广义最小二乘求出B样条系数，由此可求出单纯形形样条函数。

四维涡扇发动机稳态模型：

四维模型以H、Ma、A₈和WFB为输入量，输出变量与二维涡扇发动机稳态模型输出变量相同，样本数据也是通过涡扇发动机非线性部件级模型来获取。该稳态模型的输入量H和Ma在高空亚音速飞行包线内取值，即H为9～13千米，Ma为0.7～0.9马赫数，WFB和A₈的输入范围与二维模型相同，即WFB为PLA＝40°～60°对应的燃油流量，A₈为设计点值的 95％～115％，并获取相应的部件级模型的稳态输出量PNF、PNC、SML、SMH、F、T₄和WA₂，以此作为样本数据。

在上述样本空间中随机采集样本数量分别为2000、5000和10000各两组作为训练和测试样本，经过优选，单纯形样条的局部多项式为3阶多项式。经过反复试验，确定支持向量机个数分别为500、700、1000个，训练样本的输入量进行归一化处理，采用Gaussian核函数建立输入量与输出量之间的非线性关系，经调试相关算法参数设置如下：正则参数为γ＝2²⁰，高斯核参数为υ＝1.5。

图4为MRR-LSSVR和单纯形样条在不同样本个数(分别为2000、5000和10000个样本)下的训练时间，从图中可得，随着训练样本的增加，MRR-LSSVR所需训练时间快速增加，而单纯形样条的训练时间基本不变，这是因为MRR-LSSVR的算法复杂度与样本数据量相关，而单纯形样条的算法复杂度仅与自身结构相关。如以m个输入参数、n个输出参数，N个样本点为例，MRR-LSSVR算法复杂度为O(2mN)，而单纯形样条的算法复杂度为O(N_c)，其中N_c为单纯形样条的系数的数量，它只与单纯形样条函数的结构相关，因此，单纯形样条避免了MRR-LSSVR在样本数量增加时其训练时间快速增加的缺点。

图5为MRR-LSSVR和单纯形样条在不同样本个数(分别为2000、5000和10000个样本)下的测试时间，它是衡量所建立模型实时性或机载性能的最重要指标，是算法复杂度与存储量的综合表现。从图中可得，MRR-LSSVR的测试时间比单纯形样条的测试时间要长，而且随着样本数量的增加，单纯形样条测试实时性的优越性越明显，这主要由于MRR-LSSVR在测试计算过程要计算核矩阵，核矩阵计算与样本个数和支持向量机个数相关，随着样本个数的增加，要保证精度支持向量机的个数必然要增加，而单纯形样条在测试计算过程中，其计算复杂度主要由求解基函数矩阵的维数相关，该簇系数仅与单纯形样条函数的结构相关，与样本个数无关，因此，随着样本的增加，MRR-LSSVR的数据存储量必然要大于单纯形样条的存储量。此外，由于单纯形样条是由局部多项式基函数组成，因此在基函数矩阵计算过程中，只需计算该行样本对应单纯形区域的基函数，从而减小了算法的计算复杂度。综上所述，随着样本的增加，单纯形样条比MRR-LSSVR数据存储量小且测试计算复杂度低。

下表1--4分别给出了在500、2000、5000和10000个样本数据点下的训练误差和测试误差。表中，Simplex表示单纯形样条，MRE表示最大相对误差，ARE表示平均相对误差，PNF为风扇转速，PNC为压气机转速，SML为风扇喘振裕度，SMH为压气机喘振遇到，T₄为涡轮前温度，WA₂为风扇进口流量。

表1为A₈和WFB作为模型输入时，MRR-LSSVR和单纯形样条的数据均为500个数据点时的训练和测试误差。

表2为H、Ma、A₈和WFB作为输入时，MRR-LSSVR和单纯形样条的数据均为2000个时的 训练误差和测试误差。

表3为H、Ma、A₈和WFB作为输入时，MRR-LSSVR和单纯形样条的数据均为5000个时的训练误差和测试误差。

表4为H、Ma、A₈和WFB作为输入时，MRR-LSSVR和单纯形样条的数据均为10000个时的训练误差和测试误差.

表1、MRR-LSSVR和单纯形样条的训练和测试误差(500个数据点)

表2 MRR-LSSVR和单纯形样条的训练和测试误差(2000个数据点)

表3 MRR-LSSVR和单纯形样条的训练和测试误差(5000个数据点)

表4 MRR-LSSVR和单纯形样条的训练和测试误差(10000个数据点)

从以上1-4表中可得，单纯形样条的训练误差和测试误差除在个别点外，如表2中F的最大相对测试误差比MRR-LSSVR大，其它的均小于MRR-LSSVR，而且随着样本点的增加，两种方法的拟合精度均提高，但样本的增加将导致MRR-LSSVR算法复杂度的增加，因此， 这将导致该方法通过增加样本来提高精度的具有局限性，而单纯形样条就不存在此类问题。

本发明的原理是：单纯形样条由局部多项式基函数组成，这意味着在参数计算和评估时，只需要计算多项式基函数对应的部分参数，从而提高单纯形样条的计算效率；单纯形样条是由多项式基函数线性组合构成，而基函数定义在单纯区域上，这使得它可以基于任意区域的随机样本数据进行模型拟合；单纯形样条具有参数模型的特点，其算法复杂度只与其单纯形样条的系数相关，而单纯形样条的系数只与函数结构相关，这让它对于大规模样本数据量同样计算效率高。因此，采用该方法可以提高模型精度和实时性，且具有更好的适应任意样本数据区域和大样本数据的拟合或建模能力。

Claims (5)

1.一种基于单纯形样条函数的航空发动机稳态模型的建模方法，根据给定发动机的飞行参数和控制参数，对航空发动机稳定状态进行实时估计，建立航空发动机的稳态模型，其特征在于包括以下步骤：

步骤一、获取航空发动机稳态模型的训练和测试数据；

步骤二、进行发动机工作区域的三角划分，并计算工作点所在单纯形的重心坐标；

步骤三、计算单纯形样条的基函数；

步骤四、求解单纯形样条函数的系数；

步骤五、利用所述的测试数据对模型泛化能力进行验证，若精度差则返回上述步骤二，重新进行三角划分，并调节单纯形样条的基函数的阶数；若精度好，则建立航空发动机稳态模型。

2.根据权利要求1所述的基于单纯形样条函数的航空发动机稳态模型的建模方法，其特征在于：在所述步骤一中，所述的获取航空发动机稳态模型的训练和测试数据是指：根据所述发动机的飞行参数和控制参数，进行发动机试车试验或根据航空发动机部件模型得到数据。

3.根据权利要求1所述的基于单纯形样条函数的航空发动机稳态模型的建模方法，其特征在于：

在所述步骤二中，所述的发动机工作区域的三角划分采用Delaunay三角划分算法进行；

所述的计算工作点所在单纯形的重心坐标是指单纯形内的点x对应单纯形的重心坐标：b(x)＝(b₀,b₁,…,b_n)，其中，b_i为x对应单纯形顶点的重心坐标，因此，x可以表示为：

$x=\underset{i=0}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{b}_i{v}_{p_i}$

其中，为单纯形的顶点，p_i为顶点指数的排序即p_i＜p_i+1。

4.根据权利要求1所述的基于单纯形样条函数的航空发动机稳态模型的建模方法，其特征在于：在所述步骤三中，所述的求解单纯形样条函数的系数，其计算公式如下：

$B_k^d\left(b\right)=\frac{d!}{k!}{b}^k$

其中，k称为多维系k＝(k₀,k₁,…,k_n)∈Nⁿ⁺¹,k！为多维系数的阶乘积k！＝k₀！k₁！…k_n！，b为单纯形样条的重心坐标，b^k等于d表示基函数多项式的阶数。

5.根据权利要求1所述的基于单纯形样条函数的航空发动机稳态模型的建模方法，其特征在于：在所述步骤四中，所述的单纯形样条函数的系数的求解为线性回归问题：

$y\left(i\right)=\underset{j=1}{\overset{J}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{\left|k\right|=d}{\mathrm{\&Sigma;}}{c}_k^{t_j}{B}_k^d\left(b\right)+r\left(i\right)$

式中,b(i)为发动机工作点所对应的单纯形区域t_j的重心坐标，为单纯形样条的基函数，单纯形样条函数的系数的求解可进一步转换为求解残差平方和最小的最优化问题即

min J＝(Y-Xc)^T(Y-Xc)

Hc＝0

式中，c为单纯形样条函数的系数，X为单纯形样条的基函数，Y为航空发动机输出数据，J＝(Y-Xc)^T(Y-Xc)为广义最小二乘的目标函数，Hc＝0为单纯形样条函数的光滑条件，上式称为带有等式约束的广义最小二乘问题；对于上述问题，运用格朗日乘子得到Karush-Kuhn-Tucher条件：

$\left[\begin{array}{cc}{X}^{T}X& H^T\\ H& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}c\\ v\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{X}^{T}Y\\ 0\end{array}\right]$

式中，v为拉格朗日乘子，最终把单纯形样条函数的系数求解问题转化为线性方程的求解。