CN104833375B - 一种借助星敏感器的imu两位置对准方法 - Google Patents

Abstract

一种借助星敏感器的IMU两位置对准方法，将星敏感器和IMU捷联安装在一个两轴旋转机构上，在对准过程中将惯导姿态误差、星敏感器与IMU之间的安装误差、IMU中三个陀螺的常漂和加速度计的零偏均作为状态量进行估计，为了增加可观性，星敏感器和IMU整体指向一个方向后再由旋转机构调整到另一个方向，由此实现了全部的状态量可观，估计出的误差因素更多，能够得到更高的对准精度。

Description

一种借助星敏感器的IMU两位置对准方法

技术领域

本发明属于月球和深空探测自主导航领域，涉及一种IMU的对准方法。

背景技术

与地球火箭类似，探测器从地外天体表面起飞上升一般依靠的也是惯性导航。惯性导航是一种递推式导航方法，在导航开始前需要建立惯导的姿态基准。地球上进行惯导对准的基本方法是自对准，即利用加速度计获得的重力方向建立水平基准，利用陀螺获得的地球自转角速度方向确定方位基准，必要时还可以通过光学瞄准设备进一步提高方位对准精度。对于地外天体来说，由于引力和自转速度与地球可能差别很大，因此地球上常用的自对准技术不完全适用。

从地外天体表面起飞时，惯导系统需要完成自身的对准。目前国际上唯一一次完成了地外天体起飞前对准的是美国的“阿波罗”登月飞船，它采用的是手动光学瞄准技术。该技术利用一种光学瞄准望远镜来实施。首先由宇航员手动瞄准某颗已知恒星，然后从望远镜上的刻度读出该恒星的方位信息，之后对另一颗恒星再次进行同样测量就可以解算出登月飞船的姿态，最后通过电路系统驱动IMU(惯性测量单元，其中包括三个正交的陀螺和三个正交的加速度计)完成对准。

星敏感器是一种基于导航恒星星图的姿态敏感器，它可以用于取代光学瞄准望远镜完成惯导对准。我国的探月工程中提出了一种基于星敏感器的惯导对准方法。这种方法首先借助星敏感器的惯性姿态测量，滤波修正陀螺积分的姿态，从而确定惯性基准并估计出陀螺的常值漂移；然后利用天体引力场信息估计出天向加速度计的零偏。这种方法存在如下不足之处：首先星敏感器和IMU之间存在的安装/结构变形误差会降低对准精度。当起飞平台固定在月球上时，星敏感器和IMU之间的安装误差通过月球自转角速度耦合到陀螺常值漂移估计中，造成星敏感器和IMU之间的安装误差不可估计。其结果是对准后惯导的基准建立在星敏感器上，对准的精度在很大程度上取决于星敏感器和IMU之间安装误差的大小。其次是只有一个方向的加速度计零偏可观，另外两个方向的加速度计零偏不能得到估计。

发明内容

本发明解决的技术问题是：克服现有技术的不足，提供了一种借助星敏感器的IMU两位置惯导对准新方法，将星敏感器和IMU捷联安装在一个两轴旋转机构上，在对准过程中将惯导姿态误差、星敏感器与IMU之间的安装误差、IMU中三个陀螺的常漂和加速度计的零偏均作为状态量进行估计，为了增加可观性，星敏感器和IMU整体指向一个方向后再由旋转机构调整到另一个方向，由此实现了全部的状态量可观，估计出的误差因素更多，能够得到更高的对准精度。

本发明的技术解决方案是：一种借助星敏感器的IMU两位置对准方法，包括如下步骤：

(1)将星敏感器和IMU捷联安装在同一个旋转机构上，并保证星敏感器和IMU的相对位置关系始终保持不变，同时将所述旋转机构安装在地外天体探测器上；

(2)将所述旋转机构锁定在一个初始位置上，初始位置应保证星敏感器指向天空且正常输出测量数据；

(3)启动惯性导航，利用IMU中的加速度计和陀螺进行非引力加速度、角速度测量，递推获得IMU本体相对地外天体表面的速度和姿态的计算数据；将惯性导航的速度计算误差、姿态计算误差、加速度计的零偏、陀螺的常漂以及星敏感器相对IMU的安装误差作为状态量，将惯性导航计算出的IMU本体相对地外天体表面的速度作为观测量，构建如下的状态方程和量测方程进行卡尔波滤波，

状态量为：量测量为：

状态方程为：

观测方程为：

其中，导航参考坐标系用n表示，三个坐标轴指向当地的东向、北向和天向，分别用下标E、N、U表示；IMU本体系用b表示，三个坐标轴平行于其内部安装的三个陀螺和加速度计；为惯导计算的相对天体表面速度；δVⁿ＝[δV_E δV_N δV_U]^T为惯导速度的计算误差；为惯导姿态的计算误差；为IMU中三个加速度计的零偏误差；ε＝[ε_x ε_y ε_z]^T为IMU中三个陀螺的常漂；α＝[α_x α_y α_z]^T为星敏感器的三个安装误差角；w_A是加速度计测量噪声，w_G是陀螺测量噪声；为由惯导计算的IMU本体坐标系到导航参考坐标系的姿态转换矩阵，且有

和分别为星敏感器三轴相对于IMU本体坐标系的理论指向，和分别为星敏感器实际测量的三个轴的指向，为由惯性坐标系到导航参考坐标系的姿态转换矩阵，L是探测器在地外天体的纬度，ω_im是地外天体的自转角速度，g_m是天体重力加速度的大小；

(4)步骤(3)执行一定时间滤波输出稳定后，将旋转机构旋转到另一个位置上，使得星敏感器指向不同的天区，同时使得IMU对天体表面的姿态发生变化，然后再次执行步骤(3)一定时间滤波输出稳定后进入下一步；

(5)用姿态误差滤波值修正惯导解算姿态，同时用陀螺常值漂移滤波值和加速度计零偏滤波值取代原装订值，并用星敏感器安装误差角滤波值修订星敏感器安装装订值，完成惯导的对准。

本发明与现有技术相比的优点在于：

1)本发明方法将星敏感器和IMU捷联安装在同一旋转机构上组成敏感器系统，这一系统可以使得星敏感器与IMU同步旋转，相比一般空间飞行器星敏感器和IMU分别固定安装在飞行器上的作法，这种敏感器系统通过旋转机构可以调整星敏感器和IMU的指向，扩大了星敏感器的使用范围，可以避免出现探测器在地外天体表面因地形原因，星敏感器受到遮挡或杂光干扰，不能输出测量数据的问题；

2)本发明方法在对准过程中采用了星敏感器和IMU先指向一个方位，再指向另一方位的两位置对准方法。相比以往星敏感器和IMU不能调整指向时的单一静基座对准方法，两位置增加了对准过程的信息量和可观性，使得星敏感器和IMU之间的安装误差、三个陀螺常漂和三个加速度计零偏均可估计，提高了对准的精度。

附图说明

图1为本发明方法的流程框图；

图2为本发明星敏感器与IMU捷联安装的结构示意图；

图3为本发明实施例中对准过程中星敏感器与IMU的转动序列；

图4为本发明实施例中对准过程惯导误差角的估计误差；

图5为本发明实施例中对准过程中陀螺常漂的估值；

图6为本发明实施例中对准过程中加速度计零偏的估值；

图7为本发明实施例中对准过程中星敏感器安装误差角的估值。

具体实施方式

本发明提出的这种借助星敏感器的IMU两位置对准方法。其原理是将IMU和星敏感器固联安装在一个两轴旋转机构上，该机构可以实现IMU和星敏感器的同步旋转。对准过程中通过调整旋转机构转轴，将星敏感器和IMU先指向一个方向，停留一段时间后再指向另一个方向。在这期间，将惯导姿态误差、星敏感器和IMU之间的安装误差、三个陀螺常漂和三个加速度计的零偏均作为状态量进行估计。这样，通过在两个方向上的连续观测，可以估计出全部的被估状态。由于星敏感器和IMU之间的安装误差、陀螺常漂和加速度计的零偏都得到了估计，因此可以将惯导对准的基准由星敏感器转回到IMU上，并剔除掉惯性器件的主要误差，从而提高了惯导对准的精度。

如图1所示，为本发明方法的流程框图，主要步骤如下：

一、星敏感器和IMU的捷联安装

将星敏感器和IMU捷联安装在同一个旋转平台上，保证星敏感器和IMU的相对位置关系在旋转平台转动过程中始终不变。为了扩大星敏感器在地外天体表面的工作范围，可以将该旋转平台设计为一个两轴旋转机构，如图2所示。两轴旋转机构有两个独立的旋转轴，分别称为偏航轴和俯仰轴。其中偏航轴有360°旋转的能力，俯仰轴有±90°的旋转能力。这样通过这个两轴旋转机构上的两个旋转轴旋转角的组合，旋转平台上安装的星敏感器和IMU就具有了覆盖上半个天球的能力，有利于提高星敏感器的可用性。在对准开始前，两轴旋转机构停留在某个固定角度上(使得俯仰轴和偏航轴都偏离零位，并保证在这一姿态下星敏感器能够有有效输出)，保持对天体表面的静止。

二、惯导解算和对准滤波

对准过程包括惯导解算和对准滤波两个部分。

a)惯导解算

停留在天体表面时的惯导解算包括初始化、姿态更新和速度更新三个部分。导航参考坐标系选为天体表面的固联坐标系，不失一般性，设该坐标系指向为东-北-天，即坐标原点在探测器所处的地外天体表面，X轴指向地外天体当地东向，Y轴指向地外天体当地北向，Z轴指向地外天体当地天向。

◆初始化

惯导的初始化指姿态、位置和速度的初值。

惯导在地外天体表面的位置，例如经度λ和纬度L，由其他手段得到，是本发明对准过程的前提。

由于探测器在对准过程中停留在地外天体表面不动，因此惯导系统中探测器相对地外天体表面的速度初值为Vⁿ(t₀)＝0。

IMU本体坐标系(固联在IMU上，其上三个轴分别平行于IMU内部三个正交的陀螺和加速度计)相对导航参考系的姿态用四元数Q表示。在初始时刻t₀，IMU本体系相对导航参考系的姿态用四元数Q₀表示，它可以用星敏感器测量值计算。

星敏感器有三个正交的敏感轴，设它们相对于IMU本体坐标系的理论指向分别为和在t₀时刻，星敏感器获得三个敏感轴在惯性空间中指向的测量值分别为和由此，可以根据对应时刻导航参考系与惯性系的转换矩阵计算出IMU本体系相对导航参考系的初值

其中可以根据探测器在地外天体表面的位置以及地外天体的天文历表求取。它的具体的计算公式根据不同的地外天体以及坐标系选择而有所不同。在本发明中视其为已知量。

根据可以计算出姿态四元数Q的初值，即

Qa(·)是将姿态矩阵转换为四元数的函数。令

那么

其中，函数sgn(x)表示取符号，即

◆姿态更新

从t₀时刻开始，惯导按照采样周期进行递推解算。设当前时间为t_k(k≥1)，而从t_k-1到t_k时刻IMU中的陀螺获得IMU本体相对惯性空间旋转的角度增量为(上标“～”表示测量值)，那么IMU本体相对惯性空间的旋转角速度在IMU本体系中的表示可如下计算

其中，上标“^”表示惯导的计算值。

设t_k-1时刻惯导解算的姿态四元数为根据该值可以求解出t_k-1时刻由导航参考坐标系到本体坐标系的姿态转换矩阵且有

其中，Aq()是由四元数Q到姿态矩阵的变换函数，令Q＝[Q₁,Q₂,Q₃,Q₄]^T，那么

由此，可以计算出t_k-1到t_k时刻本体坐标系相对导航参考坐标系的旋转角速度为

是探测器所在的天体相对于惯性空间旋转的角速度矢量(表示在导航参考坐标系下)，它可以如下计算

其中L是探测器在地外天体的纬度(已知)，ω_im是天体自转角速度的大小(已知)。

根据式(9)可以得到从t_k-1到t_k时刻的旋转矢量为

于是可以计算出从t_k-1到t_k时刻的旋转四元数q为

其中符号||·||是向量的范数。根据该旋转四元数可以外推计算出t_k时刻的姿态四元数为

式中符号表示四元数乘法。

◆速度更新

导航参考坐标系下探测器(也是IMU本体)对天体表面的速度方程为

其中Vⁿ＝[V_E V_N V_U]^T是导航参考坐标系下探测器相对天体表面的速度，gⁿ＝[0 0-g_m]^T是导航参考坐标系下的天体的重力加速度矢量，而g_m是天体重力加速度的大小(在位置已知的前提下g_m可由天体引力场模型计算出来，是已知量)，是的转置，f^b是非引力加速度(即比力)。

将该式离散化后就可以进行惯导速度外推

其中，是由加速度计获得的从t_k-1到t_k时刻比力积分的测量值，与f^b的关系如下

是由天体引力和探测器随天体自旋引起的速度增量，它可如下计算

b)对准滤波

首先根据惯导的速度误差方程、姿态误差方程以及星敏感器的测量模型建立滤波方程，然后使用卡尔曼滤波进行状态估计。

◆速度误差方程

根据惯导速度方程(14)，可建立静基座条件(所谓静基座是指探测器在天体表面没有移动)下的速度误差方程为

其中δVⁿ＝[δV_E δV_N δV_U]^T(下标E、N、U分别表示东向、北向和天向)是惯性导航的速度误差，即Vⁿ表示探测器相对天体表面的真实速度，对于静基座来说Vⁿ＝0；是IMU本体系下三个坐标轴，即IMU中三个正交加速度计的零偏误差；w_A＝[w_Ax,w_Ay,w_Az]^T是三个正交加速度计的加速度测量噪声；是惯性导航按照式(13)递推解算得到的姿态相对真值的误差角(下标E、N、U分别表示东向、北向和天向)。惯导解算的姿态矩阵(按照式(7)由计算，该式对任意计算时刻都成立，故省略时间标志t_k-1)与真值的关系可以用表示为

其中，I_3×3是3×3单位矩阵，为

由于方程(18)中的真实姿态矩阵并不确知，因此滤波中用取代则式(18)写成分量形式，为

其中，

◆姿态误差方程

静基座条件下惯导姿态误差方程为

其中ε^b＝[ε_x,ε_y,ε_z]^T是IMU本体坐标系下三个坐标轴，即三个正交陀螺的常漂；w_G＝[w_Gx,w_Gy,w_Gz]^T是三个正交陀螺的角速度测量噪声。

用取代后，式(23)写成分量形式为

◆星敏的误差方程

星敏感器有三个正交的敏感轴(xyz)，设它们相对于IMU本体坐标系的理论指向分别为和实际值为 和它们之间可以用安装误差角α表示。

其中，α＝[α_x,α_y,α_z]^T，且

星敏感器能够获得三个轴惯性指向的测量值分别为和将它们通过惯导计算的姿态矩阵和导航参考坐标系与惯性坐标系的转换矩阵转到本体坐标系下，即

其中可以根据探测器在地外天体表面的位置以及地外天体的天文历表求取，是已知量。

将星敏感器中三个正交敏感器轴指向在IMU本体系的理论值(和)与根据实测结果计算出的指向(和)分别做差乘，三个差乘的和与星敏安装误差角和惯导姿态误差角有如下关系

其中，β是与惯导姿态误差有关的项，即

另外记它实际表示的是星敏测量姿态与惯导外推姿态的差。

◆卡尔曼滤波

将惯导速度误差δVⁿ、姿态误差加速度计零偏陀螺常漂ε^b以及星敏感器安装误差α均取为状态变量，令

取测量量为惯导解算的相对天体表面速度(由于对准过程探测器在天体表面未移动，因此惯导解算出的速度就是速度误差)和星敏测量姿态与惯导解算姿态的误差角δθ，即

那么根据式(21)、(24)、(32)、(33)可以建立卡尔曼滤波方程

其中，

针对式(34)、(35)构成的滤波系统，可以使用卡尔曼滤波方法对全部状态变量进行估计。卡尔曼滤波方法是现代估计理论的通用技术，本发明不在此展开。

当在初始固定姿态下使用该方法进行滤波估计一段时间后(具体时长与星敏、IMU测量噪声大小以及卡尔曼滤波的状态估计误差方差阵初值有关，一般可以取为5～10分钟)，则转到下一步。

三、旋转机构转向另一位置继续对准

将两轴旋转机构的转角改变，转动到另一个指向位置后(例如，该位置上双轴旋转机构的俯仰角和偏航角均为0)保持相对天体表面静止。在新的位置，地外天体重力加速度与自转角速度矢量在IMU中三个加计和陀螺上的分量相比初始位置时均发生改变，且星敏感器依然指向上半个天球，能够稳定输出测量数据。在这一过程中，继续使用上一步骤的惯导解算和对准滤波解算直到在新的位置下停留了足够长的时间(使得滤波稳定)，则滤波停止并转向下一步。

四、惯导重置

滤波结束后，需要对惯导重置，完成对准，以提高后续任务，例如地外天体起飞上升中惯性导航的精度。惯导的重置包括三个方面：一是姿态的重置，即修正惯导外推姿态的误差；二是IMU器件误差参数的更新，即用滤波估计出的陀螺常漂和加速度计零偏作为参数，后续惯导解算中陀螺和加计的测量应减去相应的误差；三是星敏安装的修正，即用滤波估计得到的星敏安装误差角修正装订在探测器上的星敏标称安装矩阵。

a)姿态重置

设t_m时刻对准结束。该时刻下，由式(13)计算的探测器本体相对导航参考坐标系的姿态四元数为采用与(7)一样的计算方法，由四元数可以得到由本体系到导航参考坐标系的姿态转换矩阵的计算值同时刻，经由式(34)和(35)组成的卡尔曼滤波器给出的姿态角估计值为那么可以根据式(19)校正本体坐标系相对导航参考坐标系的姿态。校正公式为

然后按照式(4)反算四元数Q，并作为后续任务惯性导航的初值。

b)IMU器件误差处理

IMU中器件误差处理比较简单，对准结束后，将陀螺的常值漂移估计值和加计零偏估计值作为参数从陀螺和加计测量量中减去即可。即后续惯性导航中，对于陀螺测量用式(37)取代式(6)；对于加计测量用式(38)计算出的取代式(15)中的

c)星敏感器安装修正

在对准结束，获得α_x，α_y和α_z估值后，将星敏感器的安装根据式(25)～(27)修正。

实施例

以下通过一个仿真例子对本发明提出的借助星敏感器的IMU两位置对准方法进行验证。设探测器在月面的位置为北纬0.67°、东经23.47°、高度0m。

探测器上装备有一个两轴旋转机构，该机构上固联安装有星敏感器和IMU，三者构成敏感器系统。其中，星敏感器三个敏感轴在IMU本体系下的标称指向为

实际指向与真实值有1′的误差，另外星敏本身的测量误差为光轴(Z轴)误差3″、横轴(X轴)误差24″(3σ)；IMU包含三个陀螺和三个加速度计，它们的输入轴指向相同且分别平行于IMU本体系中的三个坐标轴。陀螺的常值漂移为0.2°/h，角度随机游走系数0.003°/h^0.5；加速度计的零偏为5×10^-4g(g为地球重力加速度常数9.8m/s²)，加速度测量噪声5×10^-3g。

对准过程开始前，两轴旋转机构转动到一个初始位置，该初始位置中IMU的x轴指向东、y轴指向北、z轴指向天。在该初始位置下开始对准，前10分钟整个敏感器系统保持静止，之后以0.1°/s的角速度先绕双轴调整机构的偏航轴(平行于IMU本体系z轴)旋转45°再绕双轴调整机构的俯仰轴(平行于IMU本体系y轴)旋转45°，到达第二个静止位置后保持稳定5分钟。整个过程敏感器在探测器本体系下的旋转速度如图3所示。

在整个对准过程，运行惯性导航，同时使用对准滤波器估计惯导的姿态误差角、陀螺常值漂移、加速度计零偏以及星敏感器的安装误差角。图4给出了对准滤波器给出的惯导姿态误差角估计相对实际值的误差曲线，可以看到，在初始位置下惯导误差角估值还存在误差，当两轴旋转机构开始转向第二个位置后，惯导误差角的估计误差(即对准误差)逐渐收敛为0。图5给出的是对准滤波器对陀螺常值漂移的估计结果，由于有星敏的存在，陀螺常值漂移估值很快都收敛到真值0.2°/h附近。图6给出的是对准滤波器对加速度计零偏的估计结果，在第一个位置下加速度计零偏估值并没有收敛；直到两轴旋转机构旋转到第二个位置后，三个加速度计零偏估计才逐渐稳定。图7给出的是星敏安装误差角的估值曲线。从曲线看，当两轴旋转机构从第一个静止位置转向第二个静止位置开始，星敏安装误差角的估计迅速收敛到真值附近。这表明，本发明提出的方法是有效的，相比单一位置下使用星敏辅助进行IMU对准的方法，能够大幅提高惯导对准中姿态估计的精度，还可以对IMU中所有三个陀螺的常漂、所有三个加计的零偏以及星敏与IMU之间的安装误差进行校准。

本发明说明书中未作详细描述的内容属本领域技术人员的公知技术。

Claims (1)

1.一种借助星敏感器的IMU两位置对准方法，其特征在于包括如下步骤：

(1)将星敏感器和IMU捷联安装在同一个旋转机构上，并保证星敏感器和IMU的相对位置关系始终保持不变，同时将所述旋转机构安装在地外天体探测器上；

(2)将所述旋转机构锁定在一个初始位置上，初始位置应保证星敏感器指向天空且正常输出测量数据；

(3)启动惯性导航，利用IMU中的加速度计和陀螺进行非引力加速度、角速度测量，递推获得IMU本体相对地外天体表面的速度和姿态的计算数据；将惯性导航的速度计算误差、姿态计算误差、加速度计的零偏、陀螺的常值漂移以及星敏感器相对IMU的安装误差作为状态量，将惯性导航计算出的IMU本体相对地外天体表面的速度作为观测量，构建如下的状态方程和量测方程进行卡尔波滤波，

状态量为：

量测量为：

状态方程为：

观测方程为：

其中，导航参考坐标系用n表示，三个坐标轴指向当地的东向、北向和天向，分别用下标E、N、U表示；IMU本体系用b表示，三个坐标轴分别平行于其内部安装的三个陀螺和加速度计；为惯导计算的相对天体表面速度；δVⁿ＝[δV_E δV_N δV_U]^T为惯导速度的计算误差；为惯导姿态的计算误差；为IMU中三个加速度计的零偏误差；ε^b＝[ε_x ε_y ε_z]^T为IMU中三个陀螺的常值漂移；α＝[α_x α_y α_z]^T为星敏感器的三个安装误差角；w_A是加速度计测量噪声，w_G是陀螺测量噪声；为由惯导计算的IMU本体坐标系到导航参考坐标系的姿态转换矩阵，且有

${\hat{C}}_b^n=\left[\begin{array}{ccc}{T}_{11}& T_{12}& T_{13}\\ T_{21}& T_{22}& T_{23}\\ T_{31}& T_{32}& T_{33}\end{array}\right]$

星敏感器测量姿态与惯导外推姿态的差

${\tilde{X}}_s^b={\left({\hat{C}}_n^b\right)}^T{C}_i^n{\tilde{X}}_s^i,{\tilde{Y}}_s^b={\left({\hat{C}}_n^b\right)}^T{C}_i^n{\tilde{Y}}_s^i,{\tilde{Z}}_s^b={\left({\hat{C}}_n^b\right)}^T{C}_i^n{\tilde{Z}}_s^i$

$A_{11}=\left[\begin{array}{ccc}0& 2{\mathrm{\ω}}_{im}\sin L& -2{\mathrm{\ω}}_{im}\cos L\\ -2{\mathrm{\ω}}_{im}\sin L& 0& 0\\ 2{\mathrm{\ω}}_{im}\cos L& 0& 0\end{array}\right]$

$A_{12}=\left[\begin{array}{ccc}0& -g_m& 0\\ g_m& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$

$A_{22}=\left[\begin{array}{ccc}0& {\mathrm{\ω}}_{im}\sin L& -{\mathrm{\ω}}_{im}\cos L\\ -{\mathrm{\ω}}_{im}\sin L& 0& 0\\ {\mathrm{\ω}}_{im}\cos L& 0& 0\end{array}\right]$

$C_{22}=\left[\begin{array}{ccc}{T}_{22}{T}_{33}-T_{23}{T}_{32}& T_{13}{T}_{32}-T_{12}{T}_{33}& T_{12}{T}_{23}-T_{13}{T}_{22}\\ T_{23}{T}_{31}-T_{21}{T}_{33}& T_{11}{T}_{33}-T_{13}{T}_{31}& T_{13}{T}_{21}-T_{11}{T}_{23}\\ T_{21}{T}_{32}-T_{22}{T}_{31}& T_{12}{T}_{31}-T_{11}{T}_{32}& T_{11}{T}_{22}-T_{12}{T}_{21}\end{array}\right]$

和分别为星敏感器三轴相对于IMU本体坐标系的理论指向，和分别为星敏感器实际测量的三个轴的指向，为由惯性坐标系到导航参考坐标系的姿态转换矩阵，L是探测器在地外天体的纬度，ω_im是地外天体的自转角速度，g_m是天体重力加速度的大小；

(4)步骤(3)执行一定时间滤波输出稳定后，将旋转机构旋转到另一个位置上，使得星敏感器指向不同的天区，同时使得IMU对天体表面的姿态发生变化，然后再次执行步骤(3)一定时间滤波输出稳定后进入下一步；

(5)用姿态误差滤波值修正惯导解算姿态，同时用陀螺常值漂移滤波值和加速度计零偏滤波值取代原装订值，并用星敏感器安装误差角滤波值修订星敏感器安装装订值，完成惯导的对准。