CN104794745A - 膛线身管三维等几何混合单元建模方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种膛线身管等几何三维混合单元建模方法，将膛线身管分为膛线和身管本体两部分，采用等几何单元建立膛线结构，身管本体选用有限元离散，得到身管本体的拉格朗日有限元网格。在膛线等几何单元中，将与身管本体配合的连接曲面进行拉格朗日变换，使膛线身管两部分有效的连接。连接曲面是指膛线与身管本体共有的曲面。连接后去除模型中坐标相同的单元节点，并对节点重新标号，得到完整的膛线身管等几何三维混合单元模型。采用本发明建立的膛线身管三维等几何混合模型，保留了膛线的精确几何形状，用于仿真计算可以得到更加精确的数值结果；而身管本体可以采用成熟的有限元框架，节约建模时间。

Description

膛线身管三维等几何混合单元建模方法

技术领域

本发明涉及膛线身管建模领域，具体涉及一种膛线身管三维等几何混合单元建模方法。

背景技术

从工程的角度，可以把身管武器视为采用特殊能源的超强功率特种动力机械，即通过迅速燃烧火药，在瞬间产生大量高能量的火药气体推动弹丸沿膛线身管高速旋进。弹丸与身管最初属于过盈配合，挤进膛线后，与身管膛线紧密贴合，运动过程中由于磨损出现微小间隙，属于间隙配合，由此可见弹丸在身管中的运动过程是一个非常复杂的接触力学问题。现有的分析方法以有限元为基础，利用接触单元描述弹丸与膛线之间的接触关系，但是由于膛线的截面几何尺寸相对于身管口径较小，且膛线绕身管轴线螺旋旋转。若需要表现出膛线的结构，则必须选用较小的网格尺寸，采用局部网格加密的措施，会造成网格数量的大幅增加，计算时间和成本的提高，并且离散后的膛线网格不能精确描述接触表面的几何形状，弹丸和膛线的网格会出现人为干涉，造成计算误差。

国外学者Hughes从统一CAD与CAE的高度，提出了等几何分析的思想（Hughes T J R,Cottrell J A,Bazilevs Y.Isogeometric analysis:CAD,finite elements,NURBS,exact geometry and mesh refinement.Computer Methods in AppliedMechanics and Engineering,2005,194(39-41):4135-4195）。它以表达CAD几何模型的NURBS（非均匀有理B样条）参数曲面块做单元，以NURBS曲面的控制顶点做节点，以NURBS曲面参数空间的（u，v）作为有限单元分析求解积分变量，从而构造了以CAD几何模型精确表达为基础的分析方法，提高了求解精度。NURBS单元可以细化，基函数的阶数也可以提高，但几何形状始终保持不变。NURBS是一种参数几何，它通过一组控制点描述结构体，移动控制点可以改变结构体的形状，力学分析的过程即是确定控制点新位置的过程。整个分析过程采用等参原理，也即独立变量的解空间与几何空间采用相同的方程描述。同几何分析方法的理论体系与有限元法一样具备非常扎实的理论基础。

有限元法和等几何分析都是基于多项式表示形式，具有分段表示的结构特点。为综合两者的优势，Lu提出了混合单元的概念（Lu Jia,Yang Guolai,Ge Jianli.Blending NURBS and Lagrangian representations in isogeometric analysis.ComputerMethods in Applied Mechanics and Engineering,2013,257:117-125）。其基本思想是将NURBS二维单元中若干条曲线的等几何控制参数变换为拉格朗日形式，作为与有限元单元连接的接口，而NURBS单元中的其他控制参数仍用等几何形式，这样的单元称为混合单元。但该方法只实现了曲线的拉格朗日变换，仅能用于简单的二维问题，没有实现三维实体结构的混合单元建模问题。

发明内容

本发明目的在于提供一种膛线身管三维等几何混合单元建模方法，本方法既能描述膛线的精确几何，又能利用标准的有限元网格，可为膛线身管的设计和仿真计算提供高效精确的混合仿真模型。

实现本发明目的的技术解决方案为：

一种膛线身管三维等几何混合单元建模方法，膛线身管包括膛线和身管本体两部分，膛线部分采用等几何方法建模，身管本体采用有限元法建模，得到膛线身管的三维等几何与有限元混合单元模型，包括以下步骤：

1.1确定膛线身管的几何参数和结构参数，参数包括药室部直径d₁，药室部长度L₁，坡膛段长度L₂，线膛部直径d₂，线膛部长度L₃，膛线的类别，缠度η及参数方程，膛线的数目n，阳线宽a，阴线宽b，膛线深t。

1.2根据步骤1.1中确定的膛线类别及参数方程建立膛线的空间曲线模型，得到空间曲线的等几何控制参数信息。

1.3应用步骤1.2中得到的控制参数及步骤1.1中确定的膛线截面形状尺寸得到膛线的三维等几何实体 $V(u,v,w)=\frac{{\mathrm{\Σ}}_{i=1}^{n+1}{\mathrm{\Σ}}_{j=1}^{m+1}{\mathrm{\Σ}}_{k=1}^{l+1}{N}_{i,p}\left(u\right)N_{j,q}\left(v\right)N_{k,r}\left(w\right){\mathrm{\ω}}_{\mathrm{ijk}}{Q}_{\mathrm{ijk}}}{{\mathrm{\Σ}}_{i=1}^{n+1}{\mathrm{\Σ}}_{j=1}^{m+1}{\mathrm{\Σ}}_{k=1}^{l+1}{N}_{i,p}\left(u\right)N_{j,q}\left(v\right)N_{k,r}\left(w\right){\mathrm{\ω}}_{\mathrm{ijk}}},$ 其中，u、v、w为参数域的三个坐标分量，N为等几何方法的基函数，Q为控制点坐标，ω为控制点权重，p、q、r分别为u、v、w三个方向上的阶次，i、j、k分别为u、v、w三个方向上的编号；将三维等几何实体表示式中参数域三个坐标分量的其中之一定为常数，得到膛线实体与身管本体的连接曲面等几何控制参数

$S(u,v)=\frac{{\mathrm{\Σ}}_{i=1}^{n+1}{\mathrm{\Σ}}_{j=1}^{m+1}{N}_{i,p}\left(u\right)N_{j,q}\left(v\right){\mathrm{\ω}}_{\mathrm{ij}}{Q}_{\mathrm{ij}}}{{\mathrm{\Σ}}_{i=1}^{n+1}{\mathrm{\Σ}}_{j=1}^{m+1}{N}_{i,p}\left(u\right)N_{j,q}\left(v\right){\mathrm{\ω}}_{\mathrm{ij}}}.$

1.4将步骤1.3中得到的连接曲面等几何控制参数变换为有限元中的拉格朗日形式其中L为有限元法的拉格朗日形函数，P为有限元节点坐标，ω为节点权重，作为连接身管有限元网格的接口。

1.5用步骤1.4中变换为拉格朗日形式的连接曲面控制参数替换步骤1.3中的三维等几何实体表示式 $V(u,v,w)=\frac{{\mathrm{\Σ}}_{i=1}^{n+1}{\mathrm{\Σ}}_{j=1}^{m+1}{\mathrm{\Σ}}_{k=1}^{l+1}{N}_{i,p}\left(u\right)N_{j,q}\left(v\right)N_{k,r}\left(w\right){\mathrm{\ω}}_{\mathrm{ijk}}{Q}_{\mathrm{ijk}}}{{\mathrm{\Σ}}_{i=1}^{n+1}{\mathrm{\Σ}}_{j=1}^{m+1}{\mathrm{\Σ}}_{k=1}^{l+1}{N}_{i,p}\left(u\right)N_{j,q}\left(v\right)N_{k,r}\left(w\right){\mathrm{\ω}}_{\mathrm{ijk}}}$ 中的相应等几何控制参数，得到三维等几何与拉格朗日有限元混合的表示式

$V(u,v,w)=\frac{{\mathrm{\Σ}}_{i=1}^{n+1}{\mathrm{\Σ}}_{j=1}^{m+1}{\mathrm{\Σ}}_{k=2}^{l+1}{N}_{i,p}\left(u\right)N_{j,q}\left(v\right)N_{k,r}\left(w\right){\mathrm{\ω}}_{\mathrm{ijk}}{Q}_{\mathrm{ijk}}+{\mathrm{\Σ}}_{i=1}^{a+1}{\mathrm{\Σ}}_{j=1}^{b+1}{L}_{i,p}\left(u\right)L_{j,q}\left(v\right)N_{1,r}\left(w\right){\mathrm{\ω}}_{\mathrm{ij}}{P}_{\mathrm{ij}}}{{\mathrm{\Σ}}_{i=1}^{n+1}{\mathrm{\Σ}}_{j=1}^{m+1}{\mathrm{\Σ}}_{k=2}^{l+1}{N}_{i,p}\left(u\right)N_{j,q}\left(v\right)N_{k,r}\left(w\right){\mathrm{\ω}}_{\mathrm{ijk}}+{\mathrm{\Σ}}_{i=1}^{a+1}{\mathrm{\Σ}}_{j=1}^{b+1}{L}_{i,p}\left(u\right)L_{j,q}\left(v\right)N_{1,r}\left(w\right){\mathrm{\ω}}_{\mathrm{ij}}}.$

1.6重复步骤1.3至步骤1.5，将每一条膛线与身管本体连接曲面上的等几何控制参数变换为有限元中的拉格朗日形式，得到所有膛线的等几何与有限元的混合模型。

1.7使用有限元中的拉格朗日单元离散身管本体，得到身管本体的有限元模型，并与步骤1.6的混合模型连接，去除坐标相同的共用单元节点后，对模型的所有节点进行重新标号并进行网格细化，获得完整的膛线身管三维等几何混合单元模型。

上述步骤1.2中空间曲线的等几何控制参数信息，包含控制点坐标Q，节点矢量U，控制点的权重ω，阶次p。

上述步骤1.4中连接曲面等几何控制参数变换为有限元中的拉格朗日形式变换过程中，始终保持几何信息不发生丢失，即等几何中的控制点坐标变化为拉格朗日节点坐标，点的权重发生相应变换，但两种表示方法所表示的曲面是完全相同的，在几何上可相互替换。

上述的变换过程中，始终保持几何信息不发生丢失，其变换方法如下：

在参数形式变换过程中，保证曲面的形状不发生改变，即S(u,v)=S_L(u,v)，应用于每一个等几何单元，得到：

$\frac{{\mathrm{\Σ}}_{i=1}^{p+1}{\mathrm{\Σ}}_{j=1}^{q+1}{N}_{i,p}\left(u\right)N_{j,q}\left(v\right){\mathrm{\ω}}_{\mathrm{ij}}{Q}_{\mathrm{ij}}}{{\mathrm{\Σ}}_{i=1}^{p+1}{\mathrm{\Σ}}_{j=1}^{q+1}{N}_{i,p}\left(u\right)N_{j,q}\left(v\right){\mathrm{\ω}}_{\mathrm{ij}}}=\frac{{\mathrm{\Σ}}_{i=1}^{p+1}{\mathrm{\Σ}}_{j=1}^{q+1}{L}_{i,p}\left(u\right)L_{j,q}\left(v\right){\mathrm{\ω}}_{i,j}{P}_{\mathrm{ij}}}{{\mathrm{\Σ}}_{i=1}^{p+1}{\mathrm{\Σ}}_{j=1}^{q+1}{L}_{i,p}\left(u\right)L_{j,q}\left(v\right){\mathrm{\ω}}_{\mathrm{ij}}}$

记Q^ω=Qω,P^ω=Pω，则上式化为

$\frac{{\mathrm{\Σ}}_{i=1}^{p+1}{\mathrm{\Σ}}_{j=1}^{q+1}{N}_{i,p}\left(u\right)N_{j,q}\left(v\right)Q_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{\ω}}}{{\mathrm{\Σ}}_{i=1}^{p+1}{\mathrm{\Σ}}_{j=1}^{q+1}{N}_{i,p}\left(u\right)N_{j,q}\left(v\right){\mathrm{\ω}}_{\mathrm{ij}}}=\frac{{\mathrm{\Σ}}_{i=1}^{p+1}{\mathrm{\Σ}}_{j=1}^{q+1}{L}_{i,p}\left(u\right)L_{j,q}\left(v\right)P_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{\ω}}}{{\mathrm{\Σ}}_{i=1}^{p+1}{\mathrm{\Σ}}_{j=1}^{q+1}{L}_{i,p}\left(u\right)L_{j,p}\left(v\right){\mathrm{\ω}}_{\mathrm{ij}}}$

令等式的分子和分母分别相等，得：

${\mathrm{\Σ}}_{i=1}^{p+1}{\mathrm{\Σ}}_{j=1}^{q+1}{N}_{i,p}\left(u\right)N_{j,q}\left(v\right)Q_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{\ω}}={\mathrm{\Σ}}_{i=1}^{p+1}{{\mathrm{\Σ}}_{j=1}^{q+1}L}_{i,p}\left(u\right)L_{j,q}\left(v\right)P_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{\ω}}$ ${\mathrm{\Σ}}_{i=1}^{p+1}{\mathrm{\Σ}}_{j=1}^{q+1}{N}_{i,p}\left(u\right)N_{j,q}\left(v\right){\mathrm{\ω}}_{\mathrm{ij}}={\mathrm{\Σ}}_{i=1}^{p+1}{\mathrm{\Σ}}_{j=1}^{q+1}{L}_{i,p}\left(u\right)L_{j,q}\left(v\right){\mathrm{\ω}}_{\mathrm{ij}}$

根据拉格朗日形函数L的插值性质，含有权重的节点就是曲面在(u_i,v_j)处的值，满足：

即含有权重的拉格朗日节点也可以通过下式得出：

$P_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{\ω}}={\mathrm{\Σ}}_{i=1}^{p+1}{\mathrm{\Σ}}_{j=1}^{q+1}{N}_{i,p}\left(u_i\right)N_{j,q}\left(v_j\right)Q_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{\ω}}$

简记为P^ω=MQ^ω。

同样，ω_P=Mω_Q，即不含权重的拉格朗日节点满足：

$P_{\mathrm{ij}}=\frac{P_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{\ω}}}{{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{ij}}},i=1,...,p+1,j=1,...,q+1.$

连接曲面上所有等几何单元逐个应用该拉格朗日变换即可得到连接曲面拉格朗日形式的控制参数，完成了连接曲面的拉格朗日变换过程。

本发明膛线身管三维等几何混合单元建模方法与现有技术相比具有以下显著优点：

（1）膛线部分选用等几何单元，由于等几何单元几何精确性等优点，可以选择较少的单元来表示膛线结构，仍能够保留原始的几何形状，而身管本体选择现今较为成熟的有限元网格来划分。膛线身管混合单元模型的单元数量相对于有限元模型少很多，且膛线的形状完全保留了原始的几何形状。

（2）由于膛线完全保留了原始的几何形状，且等几何算法的精度比有限元高，计算效率上优于有限元算法，膛线身管混合单元模型用于仿真计算可以得到更加精确的数值结果，特别是对于身管与弹丸接触问题，由于接触表面的精确表示，不会产生人为的有限元网格干涉，提高计算精度。

（3）身管本体使用有限元方法产生离散网格，简便易得。并且能够借鉴有限元方法成熟的理论基础和已有的软件程序，使等几何分析的应用范围更加广泛，减少重复编程的工作量。

（4）与现有二维混合单元相比，本发明能解决三维复杂结构的混合单元建模，工程适应性强。

附图说明

图1为本发明建立膛线身管三维等几何混合单元模型的流程图。

图2为本发明膛线身管的三维结构示意图。

图3为本发明膛线身管三维等几何混合单元模型示意图（模型中浅色线框为身管本体的有限元网格，深色线框为膛线的等几何单元网格，黑色点为膛线等几何单元的控制点）。

具体实施方式

下面结合附图对本发明作进一步详细描述。

结合图1，一种膛线身管三维等几何混合单元建模方法，膛线身管包括膛线和身管本体两部分，膛线部分采用等几何方法建模，身管本体采用有限元法建模，得到膛线身管的三维等几何与有限元混合单元模型，包括以下步骤：

（1）如图2所示，将膛线身管分为膛线和身管本体两部分，确定膛线身管的几何参数和结构参数，参数包括药室部直径d₁，药室部长度L₁，坡膛段长度L₂，线膛部直径d₂，线膛部长度L₃，膛线的类别及缠度η，膛线的数目n，阳线宽a，阴线宽b，膛线深t。

（2）根据（1）中确定的膛线类别及参数方程建立膛线的空间曲线模型，得到空间曲线的等几何控制参数信息。实施例中在Rhinoceros中建立了该膛线的空间曲线模型，并保存为iges标准格式。用文本文档打开iges文件并确定相应的NURBS控制参数，包含控制点坐标Q，节点矢量U，控制点的权重ω，阶次p。等几何中的在u方向p次的NURBS曲线可以表示为单变量分段有理形式的矢值函数：

$C\left(u\right)=\frac{{\mathrm{\Σ}}_{i=1}^{n+1}{N}_{i,p}\left(u\right){\mathrm{\ω}}_i{Q}_i}{{\mathrm{\Σ}}_{i=1}^{n+1}{N}_{i,p}\left(u\right){\mathrm{\ω}}_i},$

其中，Q_i,ω_i分别表示第i个控制点及其相应的控制点权重，N为等几何方法的NURBS基函数，定义如下：

是单调不减的实数序列，即a<u_i≤u_i+1<b,i=p+1,p+2,…,m-p-2。其中u_i称为内部节点，a、b为边界节点，U称为节点矢量，用N_i,p(u)表示第i个p次（p+1阶）B样条曲线，数值为

$N_{i,p}\left(u\right)=\frac{u-u_i}{u_{i+p}-u_i}{N}_{i,p-1}\left(u\right)+\frac{u_{i+p+1}-u}{u_{i+p+1}-u_{i+1}}{N}_{i+1,p-1}\left(u\right)$

（3）应用（2）中得到的控制参数及（1）中确定的膛线截面形状尺寸得到膛线的三维等几何实体，将三维等几何实体表示式中三个变量的其中之一定为常数，得到膛线实体与身管本体的连接曲面等几何控制参数。

等几何中的在u方向p次、v方向q次、w方向r次的NURBS三维实体可以表示为三变量分段有理形式的矢值函数：

$V(u,v,w)=\frac{{\mathrm{\&Sigma;}}_{i=1}^{n+1}{\mathrm{\&Sigma;}}_{j=1}^{m+1}{\mathrm{\&Sigma;}}_{k=1}^{l+1}{N}_{i,p}\left(u\right)N_{j,q}\left(v\right)N_{k,r}\left(w\right){\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{ijk}}{Q}_{\mathrm{ijk}}}{{\mathrm{\&Sigma;}}_{i=1}^{n+1}{\mathrm{\&Sigma;}}_{j=1}^{m+1}{\mathrm{\&Sigma;}}_{k=1}^{l+1}{N}_{i,p}\left(u\right)N_{j,q}\left(v\right)N_{k,r}\left(w\right){\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{ijk}}},$

其中，ω_ijk=ωu_i×ωv_j×ωw_k；Q_ijk为控制点坐标，该控制点在u、v、w方向上的编号分别为i、j、k。

取NURBS三维实体表示式中的w=w₁，得到连接曲面的表示式为：

$S(u,v)=V(u,v,w_1)=\frac{{\mathrm{\&Sigma;}}_{i=1}^{n+1}{\mathrm{\&Sigma;}}_{j=1}^{m+1}{\mathrm{\&Sigma;}}_{k=1}^{l+1}{N}_{i,p}\left(u\right)N_{j,q}\left(v\right)N_{k,r}\left(w_1\right){\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{ijk}}{Q}_{\mathrm{ijk}}}{{\mathrm{\&Sigma;}}_{i=1}^{n+1}{\mathrm{\&Sigma;}}_{j=1}^{m+1}{\mathrm{\&Sigma;}}_{k=1}^{l+1}{N}_{i,p}\left(u\right)N_{j,q}\left(v\right)N_{k,r}\left(w_1\right){\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{ijk}}}$

由基函数的插值特性可知：在w=w₁面上，N₁,_r(w₁)=1,N_k,_r(w₁)=0(k≠1)。即连接曲面NURBS形式可以表示为：

$S(u,v)=\frac{{\mathrm{\&Sigma;}}_{i=1}^{n+1}{\mathrm{\&Sigma;}}_{j=1}^{m+1}{N}_{i,p}\left(u\right)N_{j,q}\left(v\right){\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{ij}}{Q}_{\mathrm{ij}}}{{\mathrm{\&Sigma;}}_{i=1}^{n+1}{\mathrm{\&Sigma;}}_{j=1}^{m+1}{N}_{i,p}\left(u\right)N_{j,q}\left(v\right){\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{ij}}};$

其中，ω_ij=ωu_i×ωv_j×ωw₁；Q_ij为控制点坐标，该控制点在u、v、w方向上的编号分别为i、j、1。

通过此方法，将等几何三维的控制参数降阶为二维的控制参数。

（4）将（3）中得到的连接曲面等几何控制参数变换为有限元中的拉格朗日形式，作为连接身管有限元网格的接口。

与NURBS等几何控制参数类似，拉格朗日有限元的控制参数有：节点坐标P，拉格朗日形函数L，节点权重ω，拉格朗日曲面的表示形式为：

$S_L(u,v)=\frac{{\mathrm{\&Sigma;}}_{i=1}^{a+1}{\mathrm{\&Sigma;}}_{j=1}^{b+1}{L}_{i,p}\left(u\right)L_{j,q}\left(v\right){\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{ij}}{P}_{\mathrm{ij}}}{{\mathrm{\&Sigma;}}_{i=1}^{a+1}{\mathrm{\&Sigma;}}_{j=1}^{b+1}{L}_{i,p}\left(u\right)L_{j,q}\left(v\right){\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{ij}}}$

在参数形式变换过程中，保证曲面的形状不发生改变，即S(u,v)=S_L(u,v)，应用于每一个NURBS单元，得到：

$\frac{{\mathrm{\&Sigma;}}_{i=1}^{p+1}{\mathrm{\&Sigma;}}_{j=1}^{q+1}{N}_{i,p}\left(u\right)N_{j,q}\left(v\right){\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{ij}}{Q}_{\mathrm{ij}}}{{\mathrm{\&Sigma;}}_{i=1}^{p+1}{\mathrm{\&Sigma;}}_{j=1}^{q+1}{N}_{i,p}\left(u\right)N_{j,q}\left(v\right){\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{ij}}}=\frac{{\mathrm{\&Sigma;}}_{i=1}^{p+1}{\mathrm{\&Sigma;}}_{j=1}^{q+1}{L}_{i,p}\left(u\right)L_{j,q}\left(v\right){\mathrm{\&omega;}}_{i,j}{P}_{\mathrm{ij}}}{{\mathrm{\&Sigma;}}_{i=1}^{p+1}{\mathrm{\&Sigma;}}_{j=1}^{q+1}{L}_{i,p}\left(u\right)L_{j,q}\left(v\right){\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{ij}}}$

记Q^ω=Qω,P^ω=Pω，则上式化为

$\frac{{\mathrm{\&Sigma;}}_{i=1}^{p+1}{\mathrm{\&Sigma;}}_{j=1}^{q+1}{N}_{i,p}\left(u\right)N_{j,q}\left(v\right)Q_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{\&omega;}}}{{\mathrm{\&Sigma;}}_{i=1}^{p+1}{\mathrm{\&Sigma;}}_{j=1}^{q+1}{N}_{i,p}\left(u\right)N_{j,q}\left(v\right){\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{ij}}}=\frac{{\mathrm{\&Sigma;}}_{i=1}^{p+1}{\mathrm{\&Sigma;}}_{j=1}^{q+1}{L}_{i,p}\left(u\right)L_{j,q}\left(v\right)P_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{\&omega;}}}{{\mathrm{\&Sigma;}}_{i=1}^{p+1}{\mathrm{\&Sigma;}}_{j=1}^{q+1}{L}_{i,p}\left(u\right)L_{j,p}\left(v\right){\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{ij}}}$

令等式的分子和分母分别相等，得：

${\mathrm{\&Sigma;}}_{i=1}^{p+1}{\mathrm{\&Sigma;}}_{j=1}^{q+1}{N}_{i,p}\left(u\right)N_{j,q}\left(v\right)Q_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{\&omega;}}={\mathrm{\&Sigma;}}_{i=1}^{p+1}{{\mathrm{\&Sigma;}}_{j=1}^{q+1}L}_{i,p}\left(u\right)L_{j,q}\left(v\right)P_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{\&omega;}}$

${\mathrm{\&Sigma;}}_{i=1}^{p+1}{\mathrm{\&Sigma;}}_{j=1}^{q+1}{N}_{i,p}\left(u\right)N_{j,q}\left(v\right){\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{ij}}={\mathrm{\&Sigma;}}_{i=1}^{p+1}{\mathrm{\&Sigma;}}_{j=1}^{q+1}{L}_{i,p}\left(u\right)L_{j,q}\left(v\right){\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{ij}}$

根据拉格朗日形函数L的插值性质，含有权重的节点就是曲面在(u_i,v_j)处的值，满足：

即含有权重的拉格朗日节点也可以通过下式计算出：

$P_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{\&omega;}}={\mathrm{\&Sigma;}}_{i=1}^{p+1}{\mathrm{\&Sigma;}}_{j=1}^{q+1}{N}_{i,p}\left(u_i\right)N_{j,q}\left(v_j\right)Q_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{\&omega;}}$

简记为P^ω=MQ^ω。

同样，ω_P=Mω_Q，即不含权重的拉格朗日节点满足：

$P_{\mathrm{ij}}=\frac{P_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{\&omega;}}}{{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{ij}}},i=1,...,p+1,j=1,...,q+1.$

连接曲面上所有等几何单元逐个应用该拉格朗日变换即可得到连接曲面拉格朗日形式的控制参数，完成了连接曲面的拉格朗日变换过程。

（5）用（4）中变换为拉格朗日形式的连接曲面控制参数替换（3）中的三维等几何实体表示式中的相应等几何控制参数，得到三维等几何与拉格朗日有限元混合的表示式。

变换为拉格朗日形式的连接曲面为：

$S_L(u,v)=\frac{{\mathrm{\&Sigma;}}_{i=1}^{a+1}{\mathrm{\&Sigma;}}_{j=1}^{b+1}{L}_{i,p}\left(u\right)L_{j,q}\left(v\right){\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{ij}}{P}_{\mathrm{ij}}}{{\mathrm{\&Sigma;}}_{i=1}^{a+1}{\mathrm{\&Sigma;}}_{j=1}^{b+1}{L}_{i,p}\left(u\right)L_{j,q}\left(v\right){\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{ij}}}$

且S(u,v)=S_L(u,v)，即

${\mathrm{\&Sigma;}}_{i=1}^{n+1}{\mathrm{\&Sigma;}}_{j=1}^{m+1}{N}_{i,p}\left(u\right)N_{j,q}\left(v\right){\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{ij}}{Q}_{\mathrm{ij}}={\mathrm{\&Sigma;}}_{i=1}^{a+1}{\mathrm{\&Sigma;}}_{j=1}^{b+1}{L}_{i,p}\left(u\right)L_{j,q}\left(v\right){\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{ij}}{P}_{\mathrm{ij}}$

${\mathrm{\&Sigma;}}_{i=1}^{n+1}{\mathrm{\&Sigma;}}_{j=1}^{m+1}{N}_{i,p}\left(u\right){N_{j,q}\left(v\right)\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{ij}}={\mathrm{\&Sigma;}}_{i=1}^{a+1}{\mathrm{\&Sigma;}}_{j=1}^{b+1}{L}_{i,p}\left(u\right)L_{j,q}\left(v\right){\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{ij}}$

在w=w₁面上，N_1,r(w)=1,N_k,r(w)=0(k≠1)，

${\mathrm{\&Sigma;}}_{i=1}^{n+1}{\mathrm{\&Sigma;}}_{j=1}^{m+1}{N}_{i,p}\left(u\right)N_{j,q}\left(v\right)N_{1,r}\left(w\right){\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{ij}}{Q}_{\mathrm{ij}}={\mathrm{\&Sigma;}}_{i=1}^{a+1}{\mathrm{\&Sigma;}}_{j=1}^{b+1}{L}_{i,p}\left(u\right)L_{j,q}\left(v\right)N_{1,r}\left(w\right){\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{ij}}{P}_{\mathrm{ij}}$

${\mathrm{\&Sigma;}}_{i=1}^{n+1}{\mathrm{\&Sigma;}}_{j=1}^{m+1}{N}_{i,p}\left(u\right)N_{j,q}\left(v\right)N_{1,r}\left(w\right){\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{ij}}={\mathrm{\&Sigma;}}_{i=1}^{a+1}{\mathrm{\&Sigma;}}_{j=1}^{b+1}{L}_{i,p}\left(u\right)L_{j,q}\left(v\right)N_{1,r}\left(w\right){\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{ij}}$

三维实体可以用NURBS与拉格朗日混合表示为：

$\begin{array}{c}V(u,v,w)=\frac{{\mathrm{\&Sigma;}}_{i=1}^{n+1}{\mathrm{\&Sigma;}}_{j=1}^{m+1}{\mathrm{\&Sigma;}}_{k=1}^{l+1}{N}_{i,p}\left(u\right)N_{j,q}\left(v\right)N_{k,r}\left(w\right){\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{ijk}}{Q}_{\mathrm{ijk}}}{{\mathrm{\&Sigma;}}_{i=1}^{n+1}{\mathrm{\&Sigma;}}_{j=1}^{m+1}{\mathrm{\&Sigma;}}_{k=1}^{l+1}{N}_{i,p}\left(u\right)N_{j,q}\left(v\right)N_{k,r}\left(w\right){\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{ijk}}}\\ =\frac{{\mathrm{\&Sigma;}}_{i=1}^{n+1}{\mathrm{\&Sigma;}}_{j=1}^{m+1}{\mathrm{\&Sigma;}}_{k=2}^{l+1}{N}_{i,p}\left(u\right)N_{j,q}\left(v\right)N_{k,r}\left(w\right){\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{ijk}}{Q}_{\mathrm{ijk}}+{\mathrm{\&Sigma;}}_{i=1}^{n+1}{\mathrm{\&Sigma;}}_{j=1}^{m+1}{N}_{i,p}\left(u\right)N_{j,q}\left(v\right)N_{1,r}\left(w\right){\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{ij}}{Q}_{\mathrm{ij}}}{{\mathrm{\&Sigma;}}_{i=1}^{n+1}{\mathrm{\&Sigma;}}_{j=1}^{m+1}{\mathrm{\&Sigma;}}_{k=2}^{l+1}{N}_{i,p}\left(u\right)N_{j,q}\left(v\right)N_{k,r}\left(w\right){\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{ijk}}+{\mathrm{\&Sigma;}}_{i=1}^{n+1}{\mathrm{\&Sigma;}}_{j=1}^{m+1}{N}_{i,p}\left(u\right)N_{j,q}\left(v\right)N_{1,r}\left(w\right){\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{ij}}}\\ =\frac{{\mathrm{\&Sigma;}}_{i=1}^{n+1}{\mathrm{\&Sigma;}}_{j=1}^{m+1}{\mathrm{\&Sigma;}}_{k=2}^{l+1}{N}_{i,p}\left(u\right)N_{j,q}\left(v\right)N_{k,r}\left(w\right){\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{ijk}}{Q}_{\mathrm{ijk}}+{\mathrm{\&Sigma;}}_{i=1}^{a+1}{\mathrm{\&Sigma;}}_{j=1}^{b+1}{L}_{i,p}\left(u\right)L_{j,q}\left(v\right)N_{1,r}\left(w\right){\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{ij}}{P}_{\mathrm{ij}}}{{\mathrm{\&Sigma;}}_{i=1}^{n+1}{\mathrm{\&Sigma;}}_{j=1}^{m+1}{\mathrm{\&Sigma;}}_{k=2}^{l+1}{N}_{i,p}\left(u\right)N_{j,q}\left(v\right)N_{k,r}\left(w\right){\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{ijk}}+{\mathrm{\&Sigma;}}_{i=1}^{a+1}{\mathrm{\&Sigma;}}_{j=1}^{b+1}{L}_{i,p}\left(u\right)L_{j,q}\left(v\right)N_{1,r}\left(w\right){\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{ij}}}\end{array}$

其中，ω_ijk=ωu_i×ωv_j×ωw_k，Q_ijk为控制点坐标，该控制点在u、v、w方向上的编号分别为i、j、k；ω_ij=ωu_i×ωv_j×ωw₁，Q_ij为控制点坐标，该控制点在u、v、w方向上的编号分别为i、j、1；P_ij为节点坐标，该节点在u、v、w方向上的编号分别为i、j、1；。

（6）重复（3）至（5），将每一条膛线与身管本体的连接曲面上的等几何控制参数变换为有限元中的拉格朗日形式，得到所有膛线的等几何与有限元的混合模型。

（7）使用有限元中的拉格朗日单元离散身管本体，得到身管本体的有限元网格模型，并与（6）的混合模型连接，去除坐标相同的共用单元节点后，对模型的所有节点进行重新标号并进行网格细化，获得完整的膛线身管三维等几何混合单元模型，如图3所示,图中浅色线框为身管本体的有限元网格，深色线框为膛线的等几何单元网格，黑色点为膛线等几何单元的控制点，为清晰表示模型，膛线身管模型仅含有粗略网格，可根据实际需要做进一步细化。

Claims (4)

1.一种膛线身管三维等几何混合单元建模方法，其特征在于：膛线身管包括膛线和身管本体两部分，膛线部分采用等几何方法建模，身管本体采用有限元法建模，得到膛线身管的三维等几何与有限元混合单元模型，包括以下步骤：

1.1确定膛线身管的几何参数和结构参数，参数包括药室部直径d₁，药室部长度L₁，坡膛段长度L₂，线膛部直径d₂，线膛部长度L₃，膛线的类别，缠度η及参数方程，膛线的数目n，阳线宽a，阴线宽b，膛线深t；

1.2根据步骤1.1中确定的膛线类别及参数方程建立膛线的空间曲线模型，得到空间曲线的等几何控制参数信息；

1.3应用步骤1.2中得到的控制参数及步骤1.1中确定的膛线截面形状尺寸得到膛线的三维等几何实体 $V(u,v,w)=\frac{{\mathrm{\&Sigma;}}_{i=1}^{n+1}{\mathrm{\&Sigma;}}_{j=1}^{m+1}{\mathrm{\&Sigma;}}_{k=1}^{l+1}{N}_{i,p}\left(u\right)N_{j,q}\left(v\right)N_{k,r}\left(w\right){\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{ijk}}{Q}_{\mathrm{ijk}}}{{\mathrm{\&Sigma;}}_{i=1}^{n+1}{\mathrm{\&Sigma;}}_{j=1}^{m+1}{\mathrm{\&Sigma;}}_{k=1}^{l+1}{N}_{i,p}\left(u\right)N_{j,q}\left(v\right)N_{k,r}\left(w\right){\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{ijk}}},$ 其中，u、v、w为参数域的三个坐标分量，N为等几何方法的基函数，Q为控制点坐标，ω为控制点权重，p、q、r分别为u、v、w三个方向上的阶次，i、j、k分别为u、v、w三个方向上的编号；将三维等几何实体表示式中参数域三个坐标分量的其中之一定为常数，得到膛线实体与身管本体的连接曲面等几何控制参数

$S(u,v)=\frac{{\mathrm{\&Sigma;}}_{i=1}^{n+1}{\mathrm{\&Sigma;}}_{j=1}^{m+1}{N}_{i,p}\left(u\right)N_{j,q}\left(v\right){\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{ij}}{Q}_{\mathrm{ij}}}{{\mathrm{\&Sigma;}}_{i=1}^{n+1}{\mathrm{\&Sigma;}}_{j=1}^{m+1}{N}_{i,p}\left(u\right)N_{j,q}\left(v\right){\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{ij}}};$

1.4将步骤1.3中得到的连接曲面等几何控制参数变换为有限元中的拉格朗日形式其中L为有限元法的拉格朗日形函数，P为有限元节点坐标，ω为节点权重，作为连接身管有限元网格的接口；

1.5用步骤1.4中变换为拉格朗日形式的连接曲面控制参数替换步骤1.3中的三维等几何实体表示式 $V(u,v,w)=\frac{{\mathrm{\&Sigma;}}_{i=1}^{n+1}{\mathrm{\&Sigma;}}_{j=1}^{m+1}{\mathrm{\&Sigma;}}_{k=1}^{l+1}{N}_{i,p}\left(u\right)N_{j,q}\left(v\right)N_{k,r}\left(w\right){\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{ijk}}{Q}_{\mathrm{ijk}}}{{\mathrm{\&Sigma;}}_{i=1}^{n+1}{\mathrm{\&Sigma;}}_{j=1}^{m+1}{\mathrm{\&Sigma;}}_{k=1}^{l+1}{N}_{i,p}\left(u\right)N_{j,q}\left(v\right)N_{k,r}\left(w\right){\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{ijk}}}$ 中的相应等几何控制参数，得到三维等几何与拉格朗日有限元混合的表示式

$V(u,v,w)=\frac{{\mathrm{\&Sigma;}}_{i=1}^{n+1}{\mathrm{\&Sigma;}}_{j=1}^{m+1}{\mathrm{\&Sigma;}}_{k=2}^{l+1}{N}_{i,p}\left(u\right)N_{j,q}\left(v\right)N_{k,r}\left(w\right){\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{ijk}}{Q}_{\mathrm{ijk}}+{\mathrm{\&Sigma;}}_{i=1}^{a+1}{\mathrm{\&Sigma;}}_{j=1}^{b+1}{L}_{i,p}\left(u\right)L_{j,q}\left(v\right)N_{1,r}\left(w\right){\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{ij}}{P}_{\mathrm{ij}}}{{\mathrm{\&Sigma;}}_{i=1}^{n+1}{\mathrm{\&Sigma;}}_{j=1}^{m+1}{\mathrm{\&Sigma;}}_{k=2}^{l+1}{N}_{i,p}\left(u\right)N_{j,q}\left(v\right)N_{k,r}\left(w\right){\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{ijk}}+{\mathrm{\&Sigma;}}_{i=1}^{a+1}{\mathrm{\&Sigma;}}_{j=1}^{b+1}{L}_{i,p}\left(u\right)L_{j,q}\left(v\right)N_{1,r}\left(w\right){\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{ij}}};$

1.6重复步骤1.3至步骤1.5，将每一条膛线与身管本体连接曲面上的等几何控制参数变换为有限元中的拉格朗日形式，得到所有膛线的等几何与有限元的混合模型；

1.7使用有限元中的拉格朗日单元离散身管本体，得到身管本体的有限元模型，并与步骤1.6的混合模型连接，去除坐标相同的共用单元节点后，对模型的所有节点进行重新标号并进行网格细化，获得完整的膛线身管三维等几何混合单元模型。

2.根据权利要求1所述的膛线身管三维等几何混合单元建模方法，其特征在于：步骤1.2中空间曲线的等几何控制参数信息，包含控制点坐标Q，节点矢量U，控制点的权重ω，阶次p。

3.根据权利要求1所述的膛线身管三维等几何混合单元建模方法，其特征在于：步骤1.4中连接曲面等几何控制参数变换为有限元中的拉格朗日形式变换过程中，始终保持几何信息不发生丢失，即等几何中的控制点坐标变化为拉格朗日节点坐标，点的权重发生相应变换，但两种表示方法所表示的曲面是完全相同的，在几何上可相互替换。

4.根据权利要求3所述的变换过程中，始终保持几何信息不发生丢失，其变换方法如下：

在参数形式变换过程中，保证曲面的形状不发生改变，即S(u,v)=S_L(u,v)，应用于每一个等几何单元，得到：

$\frac{{\mathrm{\&Sigma;}}_{i=1}^{p+1}{\mathrm{\&Sigma;}}_{j=1}^{q+1}{N}_{i,p}\left(u\right)N_{j,q}\left(v\right){\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{ij}}{Q}_{\mathrm{ij}}}{{\mathrm{\&Sigma;}}_{i=1}^{p+1}{\mathrm{\&Sigma;}}_{j=1}^{q+1}{N}_{i,p}\left(u\right)N_{j,q}\left(v\right){\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{ij}}}=\frac{{\mathrm{\&Sigma;}}_{i=1}^{p+1}{\mathrm{\&Sigma;}}_{j=1}^{q+1}{L}_{i,p}\left(u\right)L_{j,q}\left(v\right){\mathrm{\&omega;}}_{i,j}{P}_{\mathrm{ij}}}{{\mathrm{\&Sigma;}}_{i=1}^{p+1}{\mathrm{\&Sigma;}}_{j=1}^{q+1}{L}_{i,p}\left(u\right)L_{j,q}\left(v\right){\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{ij}}}$

记Q^ω=Qω,P^ω=Pω，则上式化为

$\frac{{\mathrm{\&Sigma;}}_{i=1}^{p+1}{\mathrm{\&Sigma;}}_{j=1}^{q+1}{N}_{i,p}\left(u\right)N_{j,q}\left(v\right)Q_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{\&omega;}}}{{\mathrm{\&Sigma;}}_{i=1}^{p+1}{\mathrm{\&Sigma;}}_{j=1}^{q+1}{N}_{i,p}\left(u\right)N_{j,q}\left(v\right){\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{ij}}}=\frac{{\mathrm{\&Sigma;}}_{i=1}^{p+1}{\mathrm{\&Sigma;}}_{j=1}^{q+1}{L}_{i,p}\left(u\right)L_{j,q}\left(v\right)P_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{\&omega;}}}{{\mathrm{\&Sigma;}}_{i=1}^{p+1}{\mathrm{\&Sigma;}}_{j=1}^{q+1}{L}_{i,p}\left(u\right)L_{j,p}\left(v\right){\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{ij}}}$

令等式的分子和分母分别相等，得：

${\mathrm{\&Sigma;}}_{i=1}^{p+1}{\mathrm{\&Sigma;}}_{j=1}^{q+1}{N}_{i,p}\left(u\right)N_{j,q}\left(v\right)Q_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{\&omega;}}={\mathrm{\&Sigma;}}_{i=1}^{p+1}{{\mathrm{\&Sigma;}}_{j=1}^{q+1}L}_{i,p}\left(u\right)L_{j,q}\left(v\right)P_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{\&omega;}}$

${\mathrm{\&Sigma;}}_{i=1}^{p+1}{\mathrm{\&Sigma;}}_{j=1}^{q+1}{N}_{i,p}\left(u\right)N_{j,q}\left(v\right){\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{ij}}={\mathrm{\&Sigma;}}_{i=1}^{p+1}{\mathrm{\&Sigma;}}_{j=1}^{q+1}{L}_{i,p}\left(u\right)L_{j,q}\left(v\right){\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{ij}}$

根据拉格朗日形函数L的插值性质，含有权重的节点就是曲面在(u_i,v_j)处的值，满足：

即含有权重的拉格朗日节点也可以通过下式得出：

$P_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{\&omega;}}={\mathrm{\&Sigma;}}_{i=1}^{p+1}{\mathrm{\&Sigma;}}_{j=1}^{q+1}{N}_{i,p}\left(u_i\right)N_{j,q}\left(v_j\right)Q_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{\&omega;}}$

简记为P^ω=MQ^ω；

同样，ω_P=Mω_Q，即不含权重的拉格朗日节点满足：

$P_{\mathrm{ij}}=\frac{P_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{\&omega;}}}{{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{ij}}},i=1,...,p+1,j=1,...,q+1.$

连接曲面上所有等几何单元逐个应用该拉格朗日变换即可得到连接曲面拉格朗日形式的控制参数，完成了连接曲面的拉格朗日变换过程。