CN102446229A - 基于b样条的功能梯度材料零件建模方法 - Google Patents

Abstract

功能梯度材料FGM(Functionally Gradient Material)零件建模技术包括几何建模和材料建模，其中材料建模是关键。B样条几何建模技术已广泛应用，将B样条扩展到材料建模领域则是一项创新技术。以B样条放样理论为基础，从线、面、体三个层次构建完整的功能梯度材料零件信息表述方法，实现功能梯度材料零件几何建模与材料建模的统一。

Description

基于B样条的功能梯度材料零件建模方法

技术领域

本发明为涉及功能梯度材料零件建模方法，具体为基于B样条的功能梯度材料零件材料建模方法。 

技术背景

功能梯度材料FGM(Functionally Gradient Materials)属于非均质材料，其材料组成要素呈梯度连续变化，使材料性质和功能也相应改变。功能梯度材料在机械性能、热力学性能和导电性等方面表现出优良的性质，甚至达到意想不到的效果，同时还克服了传统复合材料由于不同相的材料突变引起的应力集中以及非均匀热力学膨胀引起的性能不稳定等缺陷。因此，作为一种新型材料，广泛用于高效发动机、复合陶瓷涡轮、生物材料、工业模具等领域。 

随着功能梯度材料应用领域的不断扩展，功能梯度材料零件建模技术成为其设计方法与制造技术研究中亟待解决的基础性问题。 

按照建模理念和方法的区别，已有的功能梯度材料零件建模方法主要分为四类： 

(1)基于r_m-object模型的功能梯度材料零件建模方法：该方法用传统的边界表述方法描述零件几何信息，材料信息作为定义在几何空间上的丛空间存在，将零件的材料设计统一到其几何设计过程中。零件中的每个点P可表示为P(x∈E³，v∈vⁿ)，三维几何空间E³中的点x通过材料函数F(x)映射到材料空间Vⁿ中，同时表征零件几何和材料特征。该模型继承了传统CAD模型的成果，通用性好，存储需求少，便于实现，并且能与现存的CAD模型相兼容，但该模型所定义的布尔运算不满足结合率，因此受造型顺序制 约。 

(2)基于体素的功能梯度材料零件建模方法：该方法在八叉树结构的基础上，将CAD模型离散化为精确的26-邻接体素模型，计算材料组成采用了基于梯度源模型的方法。该方法用体素表示模型，容易将CAD模型离散得到材料赋值单元节点，后续的物性计算很方便，而且每一个体素单元相互独立，可单独操作体素，因此可设计出更理想的材料。但是这种方法的缺点是数据量很大，计算效率低，而且几何设计和材料设计相互脱离，带来修改上的不便。 

(3)基于梯度源的功能梯度材料零件建模方法：该方法把零件的几何元素(可以是点、线或面)作为梯度源，记录该梯度源下材料成分方程f(d)及材料数组M，其中材料成分方程f(d)是由各点到梯度源的垂直距离记录零件内部材料分布情况。最后对各梯度源进行布尔运算得到整个零件的CAD模型。该模型零件的材料数据独立于零件的几何数据，而依赖于“梯度源”存在，因此在理想材料零件的设计过程中，可以在不改变零件几何形状的情况下很容易修改材料分布，但对于内部材料分布复杂的零件，多个梯度源的布尔运算较为复杂。 

(4)基于有限元网格离散化模型的功能梯度材料零件建模方法：该方法把材料和几何设计相分离，首先用四面体单元对非均质零件的数学模型进行单纯剖分，记录其几何特征；对每个四面体单元，根据内部各点到边界的距离确定四个定点的材料值；最后用伯恩斯坦多相式计算出每个单元内部的材料分布特征。这种模型数据格式统一，处理简便而且便于利用均匀化理论对零件进行拓扑优化，得到最优材料分布特征。但这种模型的缺点是数据存储量巨大，系统开销较大。 

发明内容

为了克服背景技术中所述算法几何设计和材料设计相互脱离、数据存 储量巨大、占用系统资源较多等问题，本发明提出基于B样条的功能梯度材料零件材料建模方法。具体技术方案如下： 

B样条方法已被广泛用于计算机辅助设计和计算机图形学领域，B样条放样建模方法既可表示功能梯度材料零件的几何信息也可表达其材料信息。 

首先，实现功能梯度材料零件基于B样条方法的几何建模。给定n个控制顶点，利用控制顶点函数加权的线性组合，即可得到逐段插值的B样条曲线。 

$C\left(u\right)=\underset{i=0}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{N}_{i,p}\left(u\right)P_i---\left(1\right)$

其中 

为功能梯度B样条曲线的控制顶点。N_i，p(u)为p次B样条函数，定义如下： 

$N_{i,0}\left(u\right)=\left\{\begin{array}{c}1..\mathrm{if}.u_i\≤u\≤u_{i+1}\\ 0..\mathrm{otherwise}\end{array}\right.$

$N_{i,p}\left(u\right)=\frac{u-u_i}{u_{i+p}-u_i}{N}_{i,p-1}\left(u\right)+\frac{u_{i+p+1}-u}{u_{i+p+1}-u_{i+1}}{N}_{i+1,p-1}\left(u\right)---\left(2\right)$

其中U＝{u₀，u₁，..，u_p+n+1}为节点向量，如果n₁＝2，这个B样条曲线即为二维功能梯度曲线，如果n₁＝3，这个B样条曲线即为三维功能梯度曲线。 

基于B样条曲线可构建B样条曲面和实体。通过张量积方法，由双向网格的(n+1)×(m+1)个控制顶点和节点矢量，即可构造B样条曲面。 

$S(u,v)=\underset{i}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{N}_{i,p}\left(u\right)N_{j,q}\left(v\right)P_{i,j}---\left(3\right)$

得到的曲面是一个由u和v两个独立参数构造的二次曲面，其中P_i，j为功能梯度曲面的控制顶点，N_i，p(u)和N_j，q(v)为p次和q次在u，v方向上定义的B样条基函数，同样，三次B样条体也可通过三个向量积的方法构造： 

$S(u,v)=\underset{i}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{N}_{i,p}\left(u\right)N_{j,q}\left(v\right)N_{k,r}\left(w\right)P_{i,j,k}---\left(4\right)$

其中P_i，j，k为控制顶点，N_i，p(u)，N_j，q(v)和N_k，r(w)为类似于二次B样条曲面，由节点矢量U＝{u₀，u₁，…u_p+n+1}，V＝{v₀，v₁，…v_q+n+1}和W＝{w₀，w₁，…w_r+n+1}定义B样条基函数。 

在功能梯度材料零件几何建模的基础上，利用B样条放样方法实现功能梯度材料建模。功能梯度材料放样方法定义如下： 

给定n+1条轮廓线C₀(u)，C₁(u)，…C_n(u)∈E³，构造通过所有这些曲线的曲面，存在如下关系：S(u，v_i)＝C_i(u)(0＝v₀＜v₁＜...＜v_n＝1) 

功能梯度放样可以由均质放样方法直接导出，定义如下： 

功能梯度放样：给定n+1条几何或者材料信息的轮廓特征，通过几何以及材料所有轮廓特征就可以构造功能梯度材料。 

单变量放样中，有 

其中C_i(u)为功能梯度放样曲线，q_i为功能梯度轮廓特征点。 

双变量放样中，有 

其中S(u，v)为功能梯度放样曲面，C_i(u)为功能梯度轮廓曲线。 

三变量功能梯度放样中，有 

(0＝w₀＜w₁＜...＜w_n＝1)，其中M(u，v，w_i)为功能梯度放样体，S_i(u，v)为放样曲面。 

为了使用均质曲面放样算法，假设所有的n+1条曲线均为p次曲线，且节点矢量都为U(否则，可以采用升阶方法和节点插入算法来使其满足上述条件)。选择q次v向，计算可得出参数t_k，k＝0，1，...，n，利用积累弦长参数化法可得到节点矢量U。假设q_i，j∈E³为第j条曲线的第i个控制顶点和q_i，j∈E³为放样曲面S(u，v)的第i，j个控制顶点。S(u，v)的控制顶点由下面线性方程计算： 

$\left[\begin{array}{cccccc}1& 0& 0& 0& ...& 0\\ N_{0,q}\left(t1\right)& N_{1,q}\left(t1\right)& N_{2,q}\left(t1\right)& N_{3,q}\left(t1\right)& ...& N_{n,q}\left(t1\right)\\ N_{0,q}\left(t2\right)& N_{1,q}\left(t2\right)& N_{2,q}\left(t2\right)& N_{3,q}\left(t2\right)& ...& N_{n,q}\left(t2\right)\\ .& .& .& .& ...& .\\ .& .& .& .& ...& .\\ 0& 0& 0& 0& ...& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{P}_{i0}\\ P_{i1}\\ P_{i2}\\ .\\ .\\ P_{\mathrm{in}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{q}_{i0}\\ q_{i1}\\ q_{i2}\\ .\\ .\\ q_{\mathrm{in}}\end{array}\right]---\left(5\right)$

方程5可简写为NP＝Q，由此得到(p，q)次的放样曲面，节点矢量U，V和控制顶点p＝{p_i，j∈E³}。 

图1所示为一个均质放样建模方法构造曲面的例子。如果将E³建模空间转化为E²×M¹，将所有控制顶点的Z坐标值作为材料信息的值，便可得到如图2所示新的轮廓线。功能梯度放样方法的不同之处主要是第三坐标值的物理意义不同，由于其表示不同材料组成所占的比例，所以其值必须为小于1的正值。 

由前述可知，本发明具有如下效果：基于B样条的功能梯度材料零件材料建模方法，创新地将功能梯度材料零件的几何信息与材料信息相结合，利用B样条放样的方式构建并简洁的表达完整的几何以及材料信息。并可适应复杂模型，以及直观的完成模型局部修改。 

附图说明

图1，功能梯度材料零件几何放样。 

图1示出以均质放样建模方法构造曲面。图1(a)为几何轮廓线，图1(b)为几何放样后获得的几何变化曲面。 

图2，功能梯度材料零件材料放样。 

图2示出以均质放样建模方法构造曲面。图2(a)为材料轮廓线，图2(b)为材料放样后获得的材料变化曲面。 

Claims (2)

1.功能梯度材料FGM(Functionally Gradient Material)零件建模技术包括几何建模和材料建模，其中材料建模是关键。B样条几何建模技术已广泛应用，将B样条扩展到材料建模领域则是一项创新技术。以B样条放样理论为基础，从线、面、体三个层次构建完整的功能梯度材料零件信息表述方法，实现功能梯度材料零件几何建模与材料建模的统一。

2.根据权利1所述的基于B样条的功能梯度材料零件材料建模方法，其特征为：创新地将功能梯度材料零件的几何信息与材料信息相结合，利用B样条放样的方式构建并简洁的表达完整的几何以及材料信息。并可适应复杂模型，以及直观的完成模型的局部修改。

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