CN104778333A - 一种螺旋立铣刀正交车铣加工三维稳定性建模方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种螺旋立铣刀正交车铣加工三维稳定性建模方法，包括以下步骤：(1)将机床-刀具-工件系统简化为质块-弹簧-阻尼器连接的振动系统，建立坐标系x_Fy_Fz_F，建立振动系统动力学方程；(2)利用锤击法模态试验分别得到振动系统分别在x_F，y_F，z_F每个方向的频响函数，辨识出振动系统的模态质量、刚度和阻尼，计算振动系统的惯性力、弹簧力、阻尼力；(3)计算螺旋立铣刀的动态切削力；(4)求解振动系统动力学方程得到振动系统的稳定性叶瓣图。本发明考虑了螺旋立铣刀圆周刃和底刃三维动态切削力，同时考虑了刀具端与工件端的动态特性，使得稳定性建模方法更加准确。

Description

一种螺旋立铣刀正交车铣加工三维稳定性建模方法

技术领域

本发明属于数控机床加工参数优化方法领域，更具体地，涉及一种螺旋立铣刀正交车铣加工三维稳定性建模方法。

背景技术

随着装备制造业的不断发展，机床以及主轴性能的不断提升，高速加工在制造业中的应用越来越广泛，特别是在航空制造领域。在高速切削过程中，为了提高加工效率而尽量增大材料去除率，这样同时也带来了加工过程中不稳定的危险。这种不稳定即颤振的发生将会直接导致差的表面质量并且加速刀具、主轴以及机床部件的磨损。避免不稳定现象发生的最有效方法之一是借助稳定性叶瓣图来确定稳定切削参数。稳定性叶瓣图是主轴转速和切深的函数，对螺旋立铣刀正交车铣加工系统进行加工动力学分析，得到系统的动力学方程，求解该动力学方程即可得到稳定性叶瓣图。利用稳定性叶瓣图可以得到优化加工参数，提高加工效率。

由于正交车铣的瞬时切削深度和切削厚度，沿刀具轴线方向和回转方向总是变化的，具有变切深、变切厚的特点，应用于普通铣削的稳定性边界预测不一定适用于正交车铣复合加工，因此需要重新建立针对正交车铣复合加工的稳定性预报模型。由于Altintas在铣削过程中发现了球头铣刀、牛鼻铣刀或斜切削刃铣刀铣削工件时，在刀具和工件接触区会产生不均匀的切削厚度分布，从而在每个方向上产生切削力。螺旋立铣刀在正交车铣加工中底刃和圆周刃同时参与切削，所以系统将受到底刃切削和圆周刃切削引起的三个方向的切削力之和，针对螺旋立铣刀正交车铣加工过程可以建立一个三维稳定性模型，从而能够更准确的实现稳定性预报。

发明内容

针对现有技术的以上缺陷或改进需求，本发明提供了一种螺旋立铣刀正交车铣加工三维稳定性建模方法，考虑了刀具端和工件端的柔性，同时结合正交车铣加工的变切深变切厚特点，从而获得更准确的稳定性叶瓣图。

为实现上述目的，按照本发明的一个方面，提供了一种螺旋立铣刀正交车铣加工三维稳定性建模方法，包括以下步骤：

(1)将机床-刀具-工件系统简化为质块-弹簧-阻尼器连接的振动系统，建立坐标系x_Fy_Fz_F，取刀具轴线远离工件的方向为+z_F方向，与工件轴线平行且水平向右的方向为+x_F方向，由右手螺旋法则得到+y_F方向，建立振动系统动力学方程；

(2)利用锤击法模态试验分别得到振动系统分别在x_F，y_F，z_F每个方向的频响函数，由频响函数辨识出振动系统的模态质量、刚度和阻尼，计算振动系统在x_F，y_F，z_F每个方向上的惯性力、弹簧力、阻尼力；

(3)计算振动系统在x_F，y_F，z_F每个方向上的动态切削力；

(4)利用时域法求解振动系统动力学方程，得到振动系统的稳定性叶瓣图。

优选地，步骤(1)中，振动系统的动力学方程为

$M\left[\begin{array}{c}\stackrel{\·\·}{x}\\ \stackrel{\·\·}{y}\\ \stackrel{\·\·}{z}\end{array}\right]+C\left[\begin{array}{c}\stackrel{\·}{x}\\ \stackrel{\·}{y}\\ \stackrel{\·}{z}\end{array}\right]+K\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\left(t\right)-x(t-T)\\ y\left(t\right)-y(y-T)\\ z\left(t\right)-z(t-T)\end{array}\right],$

其中，

x，y，z分别为振动系统在+x_F，+y_F，+z_F每个方向的振动位移， 分别为振动位移x，y，z的一阶导数，分别为振动位移x，y，z的二阶导数；

质量矩阵 $M=\left[\begin{array}{ccc}{m}_x& 0& 0\\ 0& m_y& 0\\ 0& 0& m_z\end{array}\right],$ 其中m_x，m_y和m_z为振动系统的模态质 量；

阻尼矩阵 $C=\left[\begin{array}{ccc}{c}_x& 0& 0\\ 0& c_y& 0\\ 0& 0& c_z\end{array}\right],$ 其中c_x，c_y和c_z为振动系统的阻尼；

刚度矩阵 $K=\left[\begin{array}{ccc}{k}_x& 0& 0\\ 0& k_y& 0\\ 0& 0& k_z\end{array}\right],$ 其中k_x，k_y和k_z为振动系统的刚度；

x(t)，y(t)，z(t)分别为当前时刻t振动系统沿x_F，y_F，z_F方向的动态位移，x(t-T)，y(t-T)，z(t-T)分别为前一刀齿周期t-T振动系统沿x_F，y_F，z_F方向的动态位移；

a₁₁、a₁₂、a₁₃、a₂₁、a₂₂、a₂₃、a₃₁、a₃₂、a₃₃为总切削力矩阵系数。

优选地， $\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11\_p}& a_{12\_p}& a_{13\_p}\\ a_{21\_p}& a_{22\_p}& a_{23\_p}\\ a_{31\_p}& a_{32\_p}& a_{33\_p}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11\_e}& a_{12\_e}& a_{13\_e}\\ a_{21\_e}& a_{22\_e}& a_{23\_e}\\ a_{31\_e}& a_{32\_e}& a_{33\_e}\end{array}\right],$

其中a_{11_p}、a_{12_p}、a_{13_p}、a_{21_p}、a_{22_p}、a_{23_p}、a_{31_p}、a_{32_p}、a_{33_p}为圆周刃切削力矩阵系数，a_{11_e}、a_{12_e}、a_{13_e}、a_{21_e}、a_{22_e}、a_{23_e}、a_{31_e}、a_{32_e}、a_{33_e}为底刃切削力矩阵系数。

优选地， $M\left[\begin{array}{c}\stackrel{\·\·}{x}\\ \stackrel{\·\·}{y}\\ \stackrel{\·\·}{z}\end{array}\right]+C\left[\begin{array}{c}\stackrel{\·}{x}\\ \stackrel{\·}{y}\\ \stackrel{\·}{z}\end{array}\right]+K\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{F}_x\\ F_y\\ F_z\end{array}\right],$ 其中F_x，F_y，F_z分别为振动系统受到的x_F，y_F，z_F方向的动态切削力，其由螺旋立铣刀圆周刃的动态切削力和底刃的动态切削力相加得到，即 $\left[\begin{array}{c}{F}_x\\ F_y\\ F_z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{F}_{x\_p}\\ F_{y\_p}\\ F_{z\_p}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{F}_{x\_e}\\ F_{y\_e}\\ F_{z\_f}\end{array}\right],$ 其中F_{x_p}，F_{y_p}，F_{z_p}分别为螺旋立铣刀圆周刃受到的x_F，y_F，z_F方向的动态切削力，F_{x_e}，F_{y_e}，F_{z_e}分别螺旋立铣刀底刃受到的x_F，y_F，z_F方向的动态切削力。

优选地，圆周刃动态切削力F_{x_p}，F_{y_p}，F_{z_p}计算如下：

(a)将螺旋立铣刀圆周刃沿轴向划分n个微元，微元切深为dz，圆周刃微元切向切削力dF_{t_p}、径向切削力dF_{r_p}、轴向切削力dF_{a_p}满足以下条件：

其中K_{t_p}，K_{r_p}，K_{a_p}分别为圆周刃切向切削力系数、径向切削力系数和轴向切削力系数，三者由螺旋立铣刀侧铣加工实验基于机械力学模型标定得到；为圆周刃的第j个刀齿的第i个微元的瞬时切削角，dz为圆周刃微元切深，为第j个刀齿的第i个微元切削厚度，为判定圆周刃第j个刀齿的第i个微元是否参与切削的单位阶跃函数；

其中为螺旋刃j底部端点的瞬时参考接触角，z_i为第i个微元的z_F向坐标，n_T为刀具转速，β为刀具螺旋角，r为铣刀半径，N为刀齿数； 

其中为圆周刃切入角， 为圆周刃切出角；螺旋立铣刀圆周刃切入角和切出角的计算分为两种情况：

当时， 其中r为螺旋立铣刀半径，R为工件半径，a_p为切深；建立局部坐标系x_F′y_F′z_F′，其中轴x_F′与刀具螺旋线相互垂直，与x_F轴之间的夹角为Ψ，其中β为刀具螺旋角；在局部坐标系x_F′y_F′z_F′中，考虑切厚计算的圆周刃切入角 其中f_z为每齿进给量，考虑切厚计算的圆周刃切出角 其中a_e为切宽，r为螺旋立铣刀半径；将局部坐标系x_F′y_F′z_F′中的切入切出角变换到x_Fy_Fz_F坐标系中，得到 x_Fy_Fz_F坐标系中切厚计算的圆周刃切入角和圆周刃切出角其中a_e为切宽，r为螺旋立铣刀半径，f_z为每齿进给量；考虑切深计算的圆周刃切入角 考虑切深计算的圆周刃切出角其中R为工件半径，a_p为切深，z_i为第i个微元的z向坐标；

当时，建立局部坐标系x_F′y_F′z_F′，其中轴x_F′与螺旋线相互垂直，其与坐标系x_Fy_Fz_F的x_F轴之间的夹角为Ψ，在局部坐标系x_F′y_F′z_F′中，考虑切厚计算的圆周刃切入角 其中f_z为每齿进给量；考虑切厚计算的圆周刃切出角 中a_e为切宽；将局部坐标系x_F′y_F′z_F′中的切入切出角变换到x_Fy_Fz_F坐标系中，分别得到x_Fy_Fz_F坐标系中的圆周刃切入角为以及圆周刃切出角为 其中r为螺旋立铣刀半径，R为工件半径，a_e为切宽；

(b)将圆周刃微元切向切削力dF_{t_p}、径向切削力dF_{r_p}和轴向切削力dF_{a_p}分别投影到x_F，y_F，z_F方向，得到切削力dF_{x_p}，dF_{y_p}，dF_{z_p}：

(c)将所有参与切削的圆周刃微元切削力dF_{x_p}，dF_{y_p}，dF_{z_p}累加得到圆周刃动态切削力F_{x_p}，F_{y_p}，F_{z_p}：

优选地，

则圆周刃切削力矩阵系数a_{11_p}、a_{12_p}、a_{13_p}、a_{21_p}、a_{22_p}、a_{23_p}、a_{31_p}、a_{32_p}、a_{33_p}为：

优选地，底刃动态切削力F_{x_e}，F_{y_e}，F_{z_e}计算如下：

(d)将刀具底刃沿径向即底刃切深方向划分为刀具微元，微元切深为dr；底刃微元切向切削力dF_{t_e}、径向切削力dF_{r_e}、轴向切削力dF_{a_e}计算如下：

其中K_{t_e}，K_{r_e}，K_{a_e}分别为底刃的切向切削力系数、径向切削力系数和轴向切削力系数，K_{t_e}，K_{r_e}，K_{a_e}为利用已经标定的圆周刃切削力系数K_{t_p}，K_{r_p}，K_{a_p}得到正交车铣加工中圆周刃切削力P_x，P_y，P_z，将测量得到的x_F，y_F，z_F每个方向总的切削力S_x，S_y，S_z减掉圆周刃切削力P_x，P_y，P_z得到底刃切削力E_x，E_y，E_z，基于机械力学模型反算得到；dr为底刃微元切深，为底刃的第j个刀齿的第i个微元切削厚度， 为判定底刃第j个刀齿的第i个微元是否参与切削的单位阶跃函数；

其中为底刃切入角， 为底刃切出角， 和的 计算如下：

(d1)O_F为坐标原点，令D点为前一刀齿周期刀具轮廓与未加工工件表面的交点，B点为当前刀齿周期刀具轮廓与未加工表面的交点，P点为前一刀齿周期与当前刀齿周期刀具底面中心线的交点，E点为y_F轴坐标值等于y_FP的直线与前一刀齿周期刀具轮廓的交点，y_FP为P点在坐标轴y_F上的坐标值， 为PO_F与坐标轴y_F之间的劣角，为BO_F与坐标轴y_F之间的劣角，为DO_F与坐标轴y_F之间的劣角；

(d2)设点G在线段PE上，点G到铣刀中心O_F的距离为 其中y_FG和y_FE分别为点G和E在坐标系x_Fy_Fz_F中y_F轴的坐标值，Δθ_z是铣刀转过一个刀齿时工件转过的角度， n_w为工件转速，n_F为铣刀转速，在P点有 则

(d3)在B点有则 

(d4)其中l为三角形BO_FA中最长边的长度，

(e)将底刃微元切向切削力dF_{t_e}、径向切削力dF_{r_e}、轴向切削力dF_{a_e}投影到x_F，y_F，z_F方向得到底刃微元切削力dF_{x_e}，dF_{y_e}，dF_{z_e}如下：

(f)将所有参与切削的底刃微元切削力累加得到底刃动态切削力F_{x_e}，F_{y_e}，F_{z_e}如下：

优选地，

则底刃切削力矩阵系数a_{11_e}、a_{12_e}、a_{13_e}、a_{21_e}、a_{22_e}、a_{23_e}、a_{31_e}、a_{32_e}、a_{33_e}计算如下：

a_{11_e}＝0，

a_{12_e}＝0，

a_{21_e}＝0，

a_{22_e}＝0，

a_{31_e}＝0，

a_{32_e}＝0，

优选地，步骤(2)中振动系统的模态质量、刚度和阻尼的辨识步骤如下：

(2.1)进行锤击法模态试验得到刀尖点频响函数G_xx、G_tyy和工件端频响函数G_wyy、G_zz；所述刀尖点频响函数G_xx、G_tyy通过对机床刀尖点进行锤击法模态试验得到，工件端频响函数G_wyy、G_zz通过对工件进行锤击法模态试验得到；

(2.2)将刀尖点频响函数G_tyy和工件端频响函数G_wyy在频域叠加得到振动系统在y_F方向的频响函数G_yy；

(2.3)通过PolyMAX方法对频响函数G_xx、G_yy、G_zz进行拟合得到振动系统的有阻尼固有频率w_dx、w_dy、w_dz，阻尼比ξ_x、ξ_y、ξ_z以及留数A_rx、A_ry、A_rz；

(2.4)通过得到振动系统的模态质量m_x，m_y和m_z，其中w_di为i方向有阻尼固有频率，A_ri为i方向留数，i＝x，y，z；通过k_i＝m_iw_ni ²得到振动系统的刚度k_x，k_y和k_z，其中w_ni为振动系统的固有频率，ξ_i为i方向阻尼比，i＝x，y，z；通过c_i＝2ξ_iw_ni得到振动系统的阻尼c_x，c_y，c_z，其中ξ_i为i方向阻尼比，w_ni为振动系统的固有频率，i＝x，y，z。

优选地，步骤(2.1)中，进行锤击模态实验的具体方法如下：

在机床刀尖点沿x_F方向进行锤击，并在该点该方向上采集振动位移响应，得到机床刀尖点在x_F方向的频响函数G_xx；在机床刀尖点沿y_F方向进行锤击，并在该点该方向上采集振动位移响应，得到机床刀尖点在y_F方向的频响函数G_tyy；在工件端末端处沿y_F方向锤击并在该处y_F方向采集振动位移响应，得到工件端在y_F方向的频响函数G_wyy，沿z_F方向锤击并在该处z_F方向采集振动位移响应，得到工件端在z_F方向的频响函数G_zz。

总体而言，通过本发明所构思的以上技术方案与现有技术相比，能够 取得下列有益效果：

1)本发明考虑正交车铣加工工艺变切深变切厚的特点，为车铣复合加工工艺稳定性建模提供指导；

2)本发明同时考虑螺旋立铣刀圆周刃和底刃切削力的影响，更符合实际加工情况，得到了更精确的建模方法；

3)本发明同时考虑了刀具端与工件端的动态特性，对于刀具端和工件端的刚性基本处于同一数量级的情况，使得稳定性建模方法更加准确；

4)本发明给出了一种标定圆周刃切削力系数和底刃切削力系数的方法，为螺旋立铣刀进行其他分析比如稳定性、表面质量等提供基础。

附图说明

图1为螺旋立铣刀正交车铣加工三维稳定性建模流程图；

图2a、图2b为机床-刀具-工件系统等效的振动系统示意图；

图3a、图3b为螺旋立铣刀圆周刃微元划分示意图；

图4a、图4b为螺旋立铣刀底刃微元划分示意图；

图5a、图5b为无偏心正交车铣动态切削厚度示意图；

图6a、图6b为无偏心正交车铣工件-刀具直径比情况划分示意图；

图7为圆周刃切厚方向切入切出角示意图；

图8a、图8b为圆周刃切深方向切入切出角示意图；

图9为底刃切入切出角示意图。

具体实施方式

为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图及实施例，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。此外，下面所描述的本发明各个实施方式中所涉及到的技术特征只要彼此之间未构成冲突就可以相互组合。

螺旋立铣刀正交车铣加工三维稳定性建模流程如图1所示，包括如下 步骤：

1)将机床-刀具-工件系统等效为用质块-弹簧-阻尼器连接的振动系统，如图2a、图2b所示：

建立振动系统的坐标系x_Fy_Fz_F，取刀具轴线远离工件方向为+z_F方向，与工件轴线平行且水平向右为+x_F方向，由右手螺旋法则得到+y_F方向，系统可以在x_F，y_F，z_F三个方向上振动。

2)建立振动系统的动力学方程如下：

$M\left[\begin{array}{c}\stackrel{\·\·}{x}\\ \stackrel{\·\·}{y}\\ \stackrel{\·\·}{z}\end{array}\right]+C\left[\begin{array}{c}\stackrel{\·}{x}\\ \stackrel{\·}{y}\\ \stackrel{\·}{z}\end{array}\right]+K\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\left(t\right)-x(t-T)\\ y\left(t\right)-y(y-T)\\ z\left(t\right)-z(t-T)\end{array}\right],$

其中模态矩阵 $M=\left[\begin{array}{ccc}{m}_x& 0& 0\\ 0& m_y& 0\\ 0& 0& m_z\end{array}\right],$ 阻尼矩阵 $C=\left[\begin{array}{ccc}{c}_x& 0& 0\\ 0& c_y& 0\\ 0& 0& c_z\end{array}\right],$ 刚度矩阵 $K=\left[\begin{array}{ccc}{k}_x& 0& 0\\ 0& k_y& 0\\ 0& 0& k_z\end{array}\right].$

3)辨识振动系统x_F，y_F，z_F每个方向上的模态质量、刚度、阻尼，系统模态质量、刚度、阻尼的计算过程如下：

3.1)利用锤击法模态试验测量得到刀尖点频响函数G_xx、G_tyy和工件端频响函数G_wyy、G_zz；在机床刀尖点沿x_F方向进行锤击，并在该点该方向上采集振动位移响应，得到机床刀尖点x_F方向的频响函数G_xx；在机床刀尖点沿y_F方向进行锤击，并在该点该方向上采集振动位移响应，得到机床刀尖点y_F方向的频响函数G_tyy；在工件端末端处沿y_F方向锤击并在该处y_F方向采集振动位移响应，得到工件端沿y_F方向的频响函数G_wzz，沿z_F方向锤击并在该处z_F方向采集振动位移响应，得到工件端沿z_F方向的频响函数G_zz。

3.2)将刀尖点频响函数G_tyy和工件端频响函数G_wyy在频域叠加可以得到振动系统y_F方向的频响函数G_yy；

3.3)利用PolyMAX方法对得到的频响函数G_xx、G_yy、G_zz进行拟合分别得到系统的x_F，y_F，z_F每个方向的有阻尼固有频率w_dx、w_dy、w_dz，阻尼比ξ_x、ξ_y、ξ_z以及留数A_rx、A_ry、A_rz；

3.4)通过得到振动系统的模态质量m_x，m_y和m_z，其中w_di为i方向有阻尼固有频率，A_ri为i方向留数，i＝x，y，z；通过k_i＝m_iw_ni ²得到振动系统的刚度k_x，k_y和k_z，其中w_ni为振动系统的固有频率，ξ_i为i方向阻尼比，i＝x，y，z；通过c_i＝2ξ_iw_ni得到振动系统的阻尼c_x，c_y，c_z，其中ξ_i为i方向阻尼比，w_ni为振动系统的固有频率，＝x，y，z；

4)计算振动系统分别在x_F，y_F，z_F每个方向上受到的惯性力、弹簧力、阻尼力、动态切削力。假设振动系统在+x_F，+y_F，+z_F每个方向的振动位移分别为x，y，z，振动系统x_F，y_F，z_F方向受到的惯性力F_mx，F_my，F_mz、弹簧力F_kx，F_ky，F_kz、阻尼力F_cx，F_cy，F_cz和动态切削力F_x，F_y，F_z大小具体计算过程如下：

4.1)振动系统受到的x_F，y_F，z_F方向的惯性力F_mx，F_my，F_mz计算如下： $\left[\begin{array}{c}{F}_{\mathrm{mx}}\\ F_{\mathrm{my}}\\ F_{\mathrm{mz}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{m}_x& 0& 0\\ 0& m_y& 0\\ 0& 0& m_z\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\stackrel{\·\·}{x}\\ \stackrel{\·\·}{y}\\ \stackrel{\·\·}{z}\end{array}\right],$ 其中分别为振动位移x，y，z的二阶导数；

4.2)振动系统受到的x_F，y_F，z_F方向的弹簧力F_kx，F_ky，F_kz计算如下：  $\left[\begin{array}{c}{F}_{\mathrm{kx}}\\ F_{\mathrm{ky}}\\ F_{\mathrm{kz}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{k}_x& 0& 0\\ 0& k_y& 0\\ 0& 0& k_z\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right],$ 其中x，y，z分别为振动系统在+x_F，+y_F，+z_F每个方向的振动位移；

4.3)振动系统受到的x_F，y_F，z_F每个方向的阻尼力分别为F_cx，F_cy，F_cz计算如下： $\left[\begin{array}{c}{F}_{\mathrm{cx}}\\ F_{\mathrm{cy}}\\ F_{\mathrm{cz}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{c}_x& 0& 0\\ 0& c_y& 0\\ 0& 0& c_z\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\stackrel{\·}{x}\\ \stackrel{\·}{y}\\ \stackrel{\·}{z}\end{array}\right],$ 其中分别为振动位移x，y，z的一阶导数；

4.4)振动系统受到的x_F，y_F，z_F方向的动态切削力F_x，F_y，F_z由螺旋立铣刀圆周刃动态切削力F_{x_p}，F_{y_p}，F_{z_p}和底刃动态切削力F_{x_e}，F_{y_e}，F_{z_e}两部分相加得到，即：

$\left[\begin{array}{c}{F}_x\\ F_y\\ F_z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{F}_{x\_p}\\ F_{y\_p}\\ F_{z\_p}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{F}_{x\_e}\\ F_{y\_e}\\ F_{z\_f}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{\Δx}\\ \mathrm{\Δy}\\ \mathrm{\Δz}\end{array}\right]$

其中 $\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11\_p}& a_{12\_p}& a_{13\_p}\\ a_{21\_p}& a_{22\_p}& a_{23\_p}\\ a_{31\_p}& a_{32\_p}& a_{33\_p}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11\_e}& a_{12\_e}& a_{13\_e}\\ a_{21\_e}& a_{22\_e}& a_{23\_e}\\ a_{31\_e}& a_{32\_e}& a_{33\_e}\end{array}\right],$ a₁₁、a₁₂、a₁₃、a₂₁、a₂₂、a₂₃、a₃₁、a₃₂、a₃₃为总切削力矩阵系数,a_{11_p}、a_{12_p}、a_{13_p}、a_{21_p}、a_{22_p}、a_{23_p}、a_{31_p}、a_{32_p}、a_{33_p}为圆周刃切削力矩阵系数，a_{11_e}、a_{12_e}、a_{13_e}、a_{21_e}、a_{22_e}、a_{23_e}、a_{31_e}、a_{32_e}、a_{33_e}为底刃切削力矩阵系数。

5)螺旋立铣刀圆周刃动态切削力F_{x_p}，F_{y_p}，F_{z_p}计算如下：

5.1)由于正交车铣加工中切深与切厚不断变化，圆周刃的动态切削力不能直接计算，将螺旋立铣刀圆周刃沿轴向即圆周刃切削深度方向划分n个微元，微元切深为dz，圆周刃微元切向切削力dF_{t_p}、径向切削力dF_{r_p}、轴向切削力dF_{a_p}可以分别表示为圆周刃切削力系数K_{t_p}、K_{r_p}、K_{a_p}、圆周刃微元切深dz与微元切厚的函数，圆周刃微元切削力大小可以由以下公式计算得到，如图3a、图3b所示：

5.2)将圆周刃微元切向切削力dF_{t_p}、径向切削力dF_{r_p}、轴向切削力dF_{a_p}投影到x_F，y_F，z_F方向得到dF_{x_p}，dF_{y_p}，dF_{z_p}，具体计算如下：

其中K_{t_p}，K_{r_p}，K_{a_p}分别为圆周刃切向、径向、轴向切削力系数，为第j个刀齿的第i个微元的径向接触角，dz为圆周刃微元切深，为第j个刀齿的第i个微元动态切削厚度，为判定圆周刃第j个刀齿的第i个微元是否参与切削的阶跃函数。

5.3)第j个刀齿的第i个微元的动态切削厚度 如图5a、5b所示，其中x(t)，y(t)分别为当前时刻t系统沿x_F，y_F方向的动态位移，x(t-T，yt-T分别为前一周期t-T系统沿xF，yF方向的动态位移。

5.4)将所有参与切削的微元动态切削力dF_{x_p}、dF_{y_p}、dF_{z_p}累加得到圆周刃动态切削力F_{x_p}、F_{y_p}、F_{z_p}如下：

将圆周刃动态切削力F_{x_p}、F_{y_p}、F_{z_p}改写矩阵形式如下：

其中圆周刃动态切削力矩阵系数a_{11_p}、a_{12_p}、a_{13_p}、 a_{21_p}、a_{22_p}、a_{23_p}、a_{31_p}、a_{32_p}、a_{33_p}计算如下：

6)螺旋立铣刀圆周刃动态切削力F_{x_e}，F_{y_e}，F_{z_e}计算如下：

6.1)将螺旋立铣刀底刃沿径向即底刃切深方向划分为刀具微元，微元切深为dr，底刃微元切向切削力dF_{t_e}、径向切削力dF_{r_e}、轴向切削力dF_{a_e}可以表示为底刃切削力系数K_{t_e}，K_{r_e}，K_{a_e}、底刃微元切深dr与切厚的函数，底刃微元切向切削力dF_{t_e}、径向切削力dF_{r_e}、轴向切削力dF_{a_e}大 小由以下公式计算得到，如图4a、图4b所示，：

6.2)将底刃微元切向切削力dF_{t_e}、径向切削力dF_{r_e}、轴向切削力dF_{a_e}投影到x_F，y_F，z_F方向得到底刃微元切削力dF_{x_e}，dF_{y_e}，dF_{z_e}，具体计算如下：

其中K_{t_e}，K_{r_e}，K_{a_e}分别为底刃切向、径向、轴向切削力系数，为第j个刀齿的第i个微元的瞬时切削角，dr为底刃微元切深，为第j个刀齿的第i个微元动态切削厚度，为判定底刃第j个刀齿的第i个微元是否参与切削的单位阶跃函数。

6.3)第j个刀齿的第i个微元的动态切削厚度其中z(t)分别为当前时刻t系统沿z_F方向的动态位移，z(t-T)分别为前一周期t-T系统沿z_F方向的动态位移。

6.4)将所有参与切削的底刃微元动态切削力dF_{x_e}，dF_{y_e}，dF_{z_e}累计得到底刃刃动态切削力F_{x_e}，F_{y_e}，F_{z_e}如下：

将底刃动态切削力F_{x_e}，F_{y_e}，F_{z_e}改写为矩阵形式表达如下：

其中底刃切削力矩阵系数a_{11_e}、a_{12_e}、a_{13_e}、a_{21_e}、a_{22_e}、a_{23_e}、a_{31_e}、a_{32_e}、a_{33_e}计算如下：

a_11e＝0

a_{12_e}＝0

a_{21_e}＝0

a_{22_e}＝0

a_{31_e}＝0

a_{32_e}＝0

7)确定螺旋立铣刀圆周刃第j个刀齿的第i个微元是否参与切削的单位阶跃函数由于铣刀螺旋角β的影响，不同微元的瞬间接触角随着切深的变化而变化，假定螺旋刃j底部端点的瞬时参考接触角被定为则第j个刀齿的第i个微元的瞬时切削角为：其中z_i为第i个微元的z_F向坐标，n_T为刀具转速，β为刀具螺旋角，N为刀齿数，r为铣刀半径。

考虑到正交车铣加工中工件-刀具直径比的变化，计算正交车铣圆周刃切入和切出角可以分为两种情况，参照图6a、图6b，圆周刃第j个刀齿的第i个微元是否参与切削的阶跃函数确定过程如下：

7.1)当时， 其中r为螺旋立铣刀半径，R为工件半径，a_p为切深；建立局部坐标系x_F′y_F′z_F′，其中轴x_F′与刀具螺旋线相互垂直，与x_F轴之间的夹角为Ψ，其中β为刀具螺旋角。

如图7所示，在局部坐标系x_F′y_F′z_F′中，考虑切厚计算的圆周刃切入角其中f_z为每齿进给量，考虑切厚计算的圆周刃切出角其中a_e为切宽，r为螺旋立铣刀半径；将局部坐标系x_F′y_F′z_F′中的切入切出角变换到x_Fy_Fz_F坐标系中，得到x_Fy_Fz_F坐标系中切厚计算的圆周刃切入角和圆周刃切出角其中a_e为切宽，r为螺旋立铣刀半径，f_z为每齿进给量；如图8a、图8b所示，考虑切深计算的圆周刃切入角考虑切深计算的圆周刃切出角其中R为工件半径，a_p为切深，z_i为第i个微元的z向坐标。

7.2)当时，建立局部坐标系x_F′y_F′z_F′，其中轴x_F′与螺旋线相互垂直，其与坐标系x_Fy_Fz_F的x_F轴之间的夹角为Ψ，在局部坐标系x_F′y_F′z_F′中，考虑切厚计算的圆周刃切入角 其中f_z为每齿进给量；考虑切厚计算的圆周刃切出角 其中a_e为切宽；将局部坐标系x_F′y_F′z_F′中的切入切出角变换到x_Fy_Fz_F坐标系中，分别得到x_Fy_Fz_F坐标系中的圆周刃切入角为以及圆周刃切出角为 其中r为螺旋立铣刀半径，R为工件半径，a_e为切宽；

7.3)综合以上两种情况，可以给出判定圆周刃刀具微元是否参与切削的阶跃函数的表达式：

8)确定螺旋立铣刀底刃第j个刀齿的第i个微元是否参与切削的单位阶跃函数如图9所示，由于采用不同的工件直径与铣刀直径比、不同的轴向进给量等工艺参数时，和之间的大小关系会发生变化，底刃切入角底刃切出角 和的计算如下：O_F为坐标原点，令D点为前一刀齿周期刀具轮廓与未加工工件表面的交点，B点为当前刀齿周期刀具轮廓与未加工表面的交点，P点为前一刀齿周期与当前刀齿周期刀具底面的交点，E点为y_F轴坐标值等于y_FP的直线与前一刀齿周期的交点，y_FP为P点在坐标轴y_F上的坐标值，为PO_F与坐标轴y_F之间的劣角，为BO_F与坐标轴y_F之间的劣角，为DO_F与坐标轴y_F之间的劣角；

假设点G在线段PE上，点G到铣刀中心O_F的距离可由下式确定： 其中y_FG和y_FE分别为点G和E在坐标系x_Fy_Fz_F中y_F轴的坐标值，Δθ_z是铣刀转过一个刀齿时工件转过的角度， n_w为工件转速，n_F为铣刀转速；

在P点有所以可由如下公式计算： 在B点有所以可由如下公式计算： 其中l为三角形BO_FA中最长边的长度，所以底刃的切入角为：切出 角为：下面给出判定底刃刀具微元是否参与切削的单位阶跃函数的表达式：

9)获取圆周刃切削力系数K_{t_p}，K_{r_p}，K_{a_p}和底刃切削系数K_{t_e}，K_{r_e}，K_{a_e}。螺旋立铣刀圆周刃切削力系数K_{t_p}，K_{r_p}，K_{a_p}和底刃切削系数K_{t_e}，K_{r_e}，K_{a_e}标定过程如下：

9.1)侧铣加工实验标定得到圆周刃切削力系数K_{t_p}，K_{r_p}，K_{a_p}；正确的安装刀具与工件，在给定的刀具转速、进给速度、切削宽度和切削厚度参数下进行侧铣切削加工实验，利用测力仪测量分别得到切削过程x_F，y_F，z_F每个方向的圆周刃切削力P_x，P_y，P_z，基于机械力学模型反算得到圆周刃切削力系数K_{t_p}，K_{r_p}，K_{a_p}。

9.2)正交车铣加工实验标定得到底刃切削力系数K_{t_e}，K_{r_e}，K_{a_e}；采用与侧铣加工相同的工件材料与刀具，在给定的刀具转速、工件转速、进给速度和切削宽度参数下进行正交车铣加工实验，利用旋转测力仪测量得到切削过程中总的切削力S_xt，S_yt，S_zt，通过坐标系变换可以分别得到切削过程x_F，y_F，z_F每个方向的切削力S_x，S_y，S_z，由于旋转测力仪测量得到的切削力是由底刃切削力E_x，E_y，E_z和圆周刃切削力P_x，P_y，P_z两部分组成的，利用已经标定的圆周刃切削力系数K_{t_p}，K_{r_p}，K_{a_p}计算得到正交车铣加工中圆周刃切削力P_x，P_y，P_z，将测量得到的x_F，y_F，z_F每个方向总的切削力S_x，S_y，S_z减掉圆周刃切削力P_x，P_y，P_z即可得到底刃切削力E_x，E_y，E_z，基于机械力学模型可以反算得到底刃切削力系数K_{t_e}，K_{r_e}，K_{a_e}。

振动系统动力学方程为二阶时滞周期方程，利用时域法求解得到加工 系统的稳定性叶瓣图。

本领域的技术人员容易理解，以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换和改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (10)

1.一种螺旋立铣刀正交车铣加工三维稳定性建模方法，其特征在于：包括以下步骤：

(1)将机床-刀具-工件系统简化为质块-弹簧-阻尼器连接的振动系统，建立坐标系x_Fy_Fz_F，取刀具轴线远离工件的方向为+z_F方向，与工件轴线平行且水平向右的方向为+x_F方向，由右手螺旋法则得到+y_F方向，建立振动系统动力学方程；

(2)利用锤击法模态试验分别得到振动系统分别在x_F，y_F，z_F每个方向的频响函数，由频响函数辨识出振动系统的模态质量、刚度和阻尼，计算振动系统在x_F，y_F，z_F每个方向上的惯性力、弹簧力、阻尼力；

(3)计算振动系统在x_F，y_F，z_F每个方向上的动态切削力；

(4)利用时域法求解振动系统动力学方程，得到振动系统的稳定性叶瓣图。

2.根据权利要求1所述的一种螺旋立铣刀正交车铣加工三维稳定性建模方法，其特征在于：步骤(1)中，振动系统的动力学方程为

其中，

x，y，z分别为振动系统在+x_F，+y_F，+z_F每个方向的振动位移， 分别为振动位移x，y，z的一阶导数，分别为振动位移x，y，z的二阶导数；

质量矩阵其中m_x，m_y和m_z为振动系统的模态质量；

阻尼矩阵其中c_x，c_y和c_z为振动系统的阻尼；

刚度矩阵其中k_x，k_y和k_z为振动系统的刚度；

x(t)，y(t)，z(t)分别为当前时刻t振动系统沿x_F，y_F，z_F方向的动态位移，x(t-T)，y(t-T)，z(t-T)分别为前一刀齿周期t-T振动系统沿x_F，y_F，z_F方向的动态位移；

a₁₁、a₁₂、a₁₃、a₂₁、a₂₂、a₂₃、a₃₁、a₃₂、a₃₃为总切削力矩阵系数。

3.根据权利要求1所述的一种螺旋立铣刀正交车铣加工三维稳定性建模方法，其特征在于：步骤(2)中振动系统的模态质量、刚度和阻尼的辨识步骤如下：

(3.1)进行锤击法模态试验得到刀尖点频响函数G_xx、G_tyy和工件端频响函数G_wyy、G_zz；所述刀尖点频响函数G_xx、G_tyy通过对机床刀尖点进行锤击法模态试验得到，工件端频响函数G_wyy、G_zz通过对工件进行锤击法模态试验得到；

(3.2)将刀尖点频响函数G_tyy和工件端频响函数G_wyy在频域叠加得到振动系统在y_F方向的频响函数G_yy；

(3.3)通过PolyMAX方法对频响函数G_xx、G_yy、G_zz进行拟合得到振动系统的有阻尼固有频率w_dx、w_dy、w_dz，阻尼比ξ_x、ξ_y、ξ_z以及留数A_rx、A_ry、A_rz；

(3.4)通过得到振动系统的模态质量m_x，m_y和m_z，其中w_di为i方向有阻尼固有频率，A_ri为i方向留数，i＝x，y，z；通过k_i＝m_iw_ni ²得到振动系统的刚度k_x，k_y和k_z，其中w_ni为振动系统的固 有频率，ξ_i为i方向阻尼比，i＝x，y，z；通过c_i＝2ξ_iw_ni得到振动系统的阻尼c_x，c_y，c_z，其中ξ_i为i方向阻尼比，w_ni为振动系统的固有频率，i＝x，y，z。

4.根据权利要求2所述的一种螺旋立铣刀正交车铣加工三维稳定性建模方法，其特征在于： 其中a_{11_p}、a_{12_p}、a_{13_p}、a_{21_p}、a_{22_p}、a_{23_p}、a_{31_p}、a_{32_p}、a_{33_p}为圆周刃切削力矩阵系数，a_{11_e}、a_{12_e}、a_{13_e}、a_{21_e}、a_{22_e}、a_{23_e}、a_{31_e}、a_{32_e}、a_{33_e}为底刃切削力矩阵系数。

5.根据权利要求2所述的一种螺旋立铣刀正交车铣加工三维稳定性建模方法，其特征在于：其中F_x，F_y，F_z分别为振动系统受到的x_F，y_F，z_F方向的动态切削力，其由螺旋立铣刀圆周刃的动态切削力和底刃的动态切削力相加得到，即其中F_{x_p}，F_{y_p}，F_{z_p}分别为螺旋立铣刀圆周刃受到的x_F，y_F，z_F方向的动态切削力，F_{x_e}，F_{y_e}，F_{z_e}分别螺旋立铣刀底刃受到的x_F，y_F，z_F方向的动态切削力。

6.根据权利要求5所述的一种螺旋立铣刀正交车铣加工三维稳定性建模方法，其特征在于：圆周刃动态切削力F_{x_p}，F_{y_p}，F_{z_p}计算如下：

(a)将螺旋立铣刀圆周刃沿轴向划分n个微元，微元切深为dz，圆周刃微元切向切削力dF_{t_p}、径向切削力dF_{r_p}、轴向切削力dF_{a_p}满足以下条件：

其中K_{t_p}，K_{r_p}，K_{a_p}分别为圆周刃切向切削力系数、径向切削力系数和轴向切削力系数，三者由螺旋立铣刀侧铣加工实验基于机械力学模型标定得到；为圆周刃的第j个刀齿的第i个微元的径向接触角，dz为圆周刃微元切深，为第j个刀齿的第i个微元切削厚度，为判定圆周刃第j个刀齿的第i个微元是否参与切削的单位阶跃函数；

其中为螺旋刃j底部端点的径向接触角，z_i为第i个微元的z_F向坐标，n_T为刀具转速，β为刀具螺旋角，r为铣刀半径，N为刀齿数；

其中为圆周刃切入角， 为圆周刃切出角；螺旋立铣刀圆周刃切入角和切出角的计算分为两种情况：

当时, 其中r为螺旋立铣刀半径，R为工件半径，a_p为切深；建立局部坐标系x_F′y_F′z_F′，其中轴x_F′与刀具螺旋线相互垂直，与x_F轴之间的夹角为Ψ，其中β为刀具螺旋角；在局部坐标系x_F′y_F′z_F′中，考虑切厚计算的圆周刃切入角其中f_z为每齿进给量，考虑切厚计算的圆周刃切出角 其中a_e为切宽，r为螺旋立铣刀半径；将局部坐标系x_F′y_F′z_F′中的切入切出角变换到x_Fy_Fz_F坐标系中，得到x_Fy_Fz_F坐标系中 切厚计算的圆周刃切入角和圆周刃切出角 其中a_e为切宽，r为螺旋立铣刀半径，f_z为每齿进给量；考虑切深计算的圆周刃切入角 考虑切深计算的圆周刃切出角 其中R为工件半径，a_p为切深，z_i为第i个微元的z向坐标；

当时，建立局部坐标系x_F′y_F′z_F′，其中轴x_F′与螺旋线相互垂直，其与坐标系x_Fy_Fz_F的x_F轴之间的夹角为Ψ，在局部坐标系x_F′y_F′z_F′中，考虑切厚计算的圆周刃切入角 其中f_z为每齿进给量；考虑切厚计算的圆周刃切出角 其中a_e为切宽；将局部坐标系x_F′y_F′z_F′中的切入切出角变换到x_Fy_Fz_F坐标系中，分别得到x_Fy_Fz_F坐标系中的圆周刃切入角为以及圆周刃切出角为 其中r为螺旋立铣刀半径，R为工件半径，a_e为切宽；

(b)将圆周刃微元切向切削力dF_{t_p}、径向切削力dF_{r_p}和轴向切削力dF_{a_p}分别投影到x_F，y_F，z_F方向，得到切削力dF_{x_p}，dF_{y_p}，dF_{z_p}：

(c)将所有参与切削的圆周刃微元切削力累加得到圆周刃动态切削力F_{x_p}，F_{y_p}，F_{z_p}：

。

7.根据权利要求6所述的一种螺旋立铣刀正交车铣加工三维稳定性建模方法，其特征在于：

则圆周刃切削力矩阵系数a_{11_p}、a_{12_p}、a_{13_p}、a_{21_p}、a_{22_p}、a_{23_p}、a_{31_p}、a_{32_p}、a_{33_p}为：

8.根据权利要求6所述的一种螺旋立铣刀正交车铣加工三维稳定性建模方法，其特征在于：底刃动态切削力F_{x_e}，F_{y_e}，F_{z_e}计算如下：

(d)将刀具底刃沿径向即底刃切深方向划分为刀具微元，微元切深为dr；底刃微元切向切削力dF_{t_e}、径向切削力dF_{r_e}、轴向切削力dF_{a_e}计算如下：

其中K_{t_e}，K_{r_e}，K_{a_e}分别为底刃的切向切削力系数、径向切削力系数和轴向切削力系数，K_{t_e}，K_{r_e}，K_{a_e}为利用已经标定的圆周刃切削力系数K_{t_p}，K_{r_p}，K_{a_p}得到正交车铣加工中圆周刃切削力P_x，P_y，P_z，将测量得到的x_F，y_F，z_F每个方向总的切削力S_x，S_y，S_z减掉圆周刃切削力P_x，P_y，P_z得到底刃切削力E_x，E_y，E_z，基于机械力学模型反算得到；dr为底刃微元切深，为底刃的第j个刀齿的第i个微元切削厚度， 为判定底刃第j个刀齿的第i个微元是否参与切削的单位阶跃函数； 

其中为底刃切入角，  为底刃切出角， 和的计算如下：

(d1)O_F为坐标原点，令D点为前一刀齿周期刀具轮廓与未加工工件表面的交点，B点为当前刀齿周期刀具轮廓与未加工表面的交点，P点为前一刀齿周期与当前刀齿周期刀具底面中心线的交点，E点为y_F轴坐标值等于y_FP的直线与前一刀齿周期刀具轮廓的交点，y_FP为P点在坐标轴y_F上的坐标值， 为PO_F与坐标轴y_F之间的劣角，为BO_F与坐标轴y_F之间的劣角，为DO_F与坐标轴y_F之间的劣角；

(d2)设点G在线段PE上，点G到铣刀中心O_F的距离为 其中y_FG和y_FE分别为点G和E在坐标系x_Fy_Fz_F中y_F轴的坐标值，Δθ_z是铣刀转过一个刀齿时工件转过的角度， n_w为工件转速，n_F为铣刀转速，在P点有则

(d3)在B点有则 

(d4)其中l为三角形BO_FA中最长边的长度，

(e)将底刃微元切向切削力dF_{t_e}、径向切削力dF_{r_e}、轴向切削力dF_{a_e}投影到x_F，y_F，z_F方向得到底刃微元切削力dF_{x_e}，dF_{y_e}，dF_{z_e}如下：

(f)将所有参与切削的底刃微元切削力累加得到底刃动态切削力F_{x_e}，F_{y_e}，F_{z_e}如下：

。

9.根据权利要求8所述的一种螺旋立铣刀正交车铣加工三维稳定性建模方法，其特征在于：

则底刃切削力矩阵系数a_{11_e}、a_{12_e}、a_{13_e}、a_{21_e}、a_{22_e}、a_{23_e}、a_{31_e}、a_{32_e}、a_{33_e}计算如下：

a_{11_e}＝0，

a_{12_e}＝0，

a_{21_e}＝0，

a_{22_e}＝0，

a_{31_e}＝0，

a_{32_e}＝0，

10.根据权利要求3所述的一种螺旋立铣刀正交车铣加工三维稳定性建模方法，其特征在于：步骤(3.2)中，进行锤击模态实验的具体方法如下：

在机床刀尖点沿x_F方向进行锤击，并在该点该方向上采集振动位移响应，得到机床刀尖点在x_F方向的频响函数G_xx；在机床刀尖点沿y_F方向进行锤击，并在该点该方向上采集振动位移响应，得到机床刀尖点在y_F方向的频响函数G_tyy；在工件端末端处沿y_F方向锤击并在该处y_F方向采集振动位移响应，得到工件端在y_F方向的频响函数G_wyy，沿z_F方向锤击并在该处z_F方向采集振动位移响应，得到工件端在z_F方向的频响函数G_zz。