CN104765028A - 一种高斯随机起伏海底界面混响信号仿真方法 - Google Patents

Abstract

本发明属于混响信号仿真领域，具体涉及一种仿真高斯随机起伏海底界面混响信号仿真方法。本发明包括：导入声源的位置、指向性、发射信号波形参数以及起伏界面相关长度、均方根高度参数；利用蒙特卡洛方法建立三维高斯随机起伏界面模型。本发明由具体的随机起伏界面得到对应的仿真混响信号，考虑了界面的随机起伏因素，更符合混响产生的物理过程，物理意义更加明确；可以通过改变随机起伏界面的相关长度、均方根高度等参数，得到不同起伏界面的仿真混响信号；对于同一个随机起伏界面，可以通过改变发射信号调制方式，得到同一起伏界面、不同发射信号时的仿真混响信号。

Description

一种高斯随机起伏海底界面混响信号仿真方法

技术领域

本发明属于混响信号仿真领域，具体涉及一种仿真高斯随机起伏海底界面混响信号仿真方法。

背景技术

海底混响是影响主动声纳工作性能的重要干扰因素之一，海底混响的仿真预报对声纳的使用和设计有重要意义。对海底混响信号仿真的研究主要包括混响强度仿真和混响时间序列仿真。当声纳系统所采用的信号处理方法主要依赖能量时，常用混响强度对其进行估计和评价。随着声纳系统的发展，如多波束和复杂的相干信号处理技术的应用，就需要对混响时间序列进行仿真。

目前混响时间序列仿真的方法主要有两种，一种根据混响信号的概率分布，仿真所需分布的混响信号；另一种是以点散射模型为基础的仿真方法，即通过计算散射体或通过网格划分海底为小散射元的散射信号在接收点的叠加得到混响信号，例如郭熙业等人将点散射模型与单元散射模型混合使用仿真混响信号(郭熙业，苏绍璟，王跃科等，收发合置情况下海底混响仿真，国防科技大学学报，2010，第32卷第2期)。海底混响主要是由于海底界面的随机起伏引起的，但以上海底混响信号仿真方法都没有考虑界面的随机起伏因素。本发明针对高斯随机起伏海底界面，发明一种可以得到不同起伏参数海底界面混响信号的仿真方法。

发明内容

本发明的目的在于提供一种可以通过建立不同起伏参数的随机起伏海底界面，得到对应起伏海底的混响信号的仿真高斯随机起伏海底界面混响信号方法。

本发明的目的是这样实现的：

(1)导入声源的位置、指向性、发射信号波形参数以及起伏界面相关长度、均方根高度参数；

(2)利用蒙特卡洛方法建立三维高斯随机起伏界面模型：

三维高斯随机起伏界面上每一点处的高度由下式得到

$z(x_m,y_n)=\frac{1}{L_x{L}_y}\underset{m_k=-M/2+1}{\overset{M/2}{\mathrm{\Σ}}}\underset{n_k=-N/2+1}{\overset{N/2}{\mathrm{\Σ}}}F(k_{m_k},k_{n_k})\exp \left[i(k_{m_k}{x}_m+k_{n_k}{y}_n)\right]$

其中z(x_m,y_n)为(x_m,y_n)处的高度，x_m＝mΔx，y_n＝nΔy，m、n为x、y方向的点的序号，m＝-M/2+1,…,M/2，n＝-N/2+1,…,N/2，M、N为x、y方向等间隔离散点数，Δx、Δy分别表示x、y方向两点之间的间隔，L_x、L_y分别表示随机起伏界面在x、y方向的长度， $k_{m_k}=2{\mathrm{\πm}}_k/L_x,k_{n_k}=2{\mathrm{\πn}}_k/L_y,$ i表示虚数单位，由下式得到

其中N(0,1)表示均值为0，方差为1的正态分布的随机数，为三维高斯随机起伏界面的功率谱密度：

$S(k_{m_k},k_{n_k})={\mathrm{\δ}}^2\frac{l_x{l}_y}{4\mathrm{\π}}\exp (-\frac{k_{m_k}^2{l}_x^2+k_{n_k}^2{l}_y^2}{4})$

其中δ为高度起伏的均方根高度，l_x和l_y为起伏界面x方向和y方向的相关长度，得到三维空间中的M×N个点，每一点的坐标为(x_m,y_n,z(x_m,y_n))；

(3)利用Delaunay三角剖分方法对xoy平面上的M×N个点进行三角面元划分，每一点的坐标为(x_m,y_n)，得到xoy平面上每一个面元的三个顶点信息；

(4)将xoy平面上的三角面元映射到三维空间中的z(x_m,y_n)随机起伏界面上，得到随机起伏界面的三角面元划分的每个面元的顶点信息；

(5)根据声源的位置以及指向性信息，计算声波照射海底的区域，判断面元是否在照射区域内，这里面元中心点在照射区域内则认为整个面元都被声波照射，得到声波照射区域所包含的共M_m个面元；

(6)对于步骤(5)中得到的M_m个面元中的第s个面元，1≤s≤M_m，连接声源与第s个面元中心点，计算连线与M_m个面元中的第w个面元所在平面的交点P，1≤w≤M_m且w≠s，求得β_i

其中r_I(I＝1,2,3,r₄＝r₁)为第w个面元的第I个顶点位置矢量，r_p为交点P的位置矢量，v_w为第w个面元的法向矢量，β_i为求得的判断参数，如果所有的β_i＞0，则第s个面元被第w个面元遮挡，反之未被第w个面元遮挡；

(7)重复步骤(6)，遍历所有w∈[1,M_m]且w≠s个面元，如果第s个面元均为被遮挡，则保留第s个面元，反之删除；

(8)重复以上步骤(6)和(7)，遍历所有s∈[1,M_m]个面元，所有保留下来的共M_m'个面元即为入射声波照亮的面元；

(9)采用Gordon面元积分法得到M_m'个面元中每个面元在接收点的散射声场：

${\left({\mathrm{\φ}}_s\right)}_{m^{\′}}=-\frac{1}{4\mathrm{\π}}\frac{e^{\mathrm{ik}(r_q+r_m)}}{r_q{r}_m}[\frac{{\mathrm{ikr}}_q-1}{{\mathrm{ikr}}_q}{w}_{q0}+\frac{{\mathrm{ikr}}_m-1}{{\mathrm{ikr}}_m}{w}_{m0}]S$

其中， $S=-\frac{i}{k\sqrt{t_x^2+t_y^2}}\underset{n=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}(\stackrel{\‾}{P}\·{\mathrm{\Δb}}_n)e^{-\mathrm{ik}\stackrel{\‾}{T}\·\frac{b_{n+1}+b_n}{2}}\frac{\sin (-\frac{1}{2}k\stackrel{\‾}{T}\·{\mathrm{\Δb}}_n)}{-\frac{1}{2}k\stackrel{\‾}{T}\·{\mathrm{\Δb}}_n},$ (φ_s)_m'是第m'个面元的声散射势函数，r_q为声源坐标矢径，r_m为接收点的坐标矢径，k为波数，w_q0为声源坐标矢量的z方向分量，w_m0为接收点坐标矢量的z方向分量，b_n为第n个顶点的位置矢量，1≤n≤3，且b₄＝b₁，Δb_n＝b_n+1-b_n，符号中上横线表示矢量，和分别表示x和y方向， 为声源的单位坐标矢量，为观察点的单位坐标矢量，t_x和t_y分别是和在x方向和y方向分量之和；

(10)计算所有M_m'个面元的声散射势函数，得到仿真的混响信号：

$S_R=\underset{m^{\′}=1}{\overset{M_{m^{\′}}}{\mathrm{\Σ}}}\left|{\left({\mathrm{\φ}}_s\right)}_{m^{\′}}\right|\·X(t-{\mathrm{\τ}}_{m^{\′}})$

其中，S_R为仿真的混响信号，M_m'表示总的需要求和的面元个数，(φ_s)_m'表示第m'个面元的声散射势函数，X(t)为发射信号，τ_m'为第m'个面元对应的传播时延。

本发明的有益效果在于：

1、由具体的随机起伏界面得到对应的仿真混响信号，考虑了界面的随机起伏因素，更符合混响产生的物理过程，物理意义更加明确；

2、可以通过改变随机起伏界面的相关长度、均方根高度等参数，得到不同起伏界面的仿真混响信号；

3、对于同一个随机起伏界面，可以通过改变发射信号调制方式，得到同一起伏界面、不同发射信号时的仿真混响信号。

附图说明

图1是平面上等间隔离散点。

图2是三维高斯随机起伏界面上的离散点。

图3是平面上等间隔离散点进行三角面元划分结果。

图4是三维高斯随机起伏界面上的离散点进行三角面元划分结果。

图5是声波照射区域的三角面元。

图6是声波照射区域进行遮挡判断之后的面元。

图7是仿真的混响信号。

具体实施方式

下面结合附图1～7和实例对本发明作进一步详细说明。

本发明属于混响信号仿真领域，主要是仿真高斯随机起伏海底界面混响信号。本发明包括：利用蒙特卡洛方法建立三维高斯随机起伏界面模型；利用Delaunay三角剖分方法对xoy平面上的离散点进行三角面元划分；将xoy平面上的三角面元映射到三维空间中的随机起伏界面上，得到随机起伏界面的三角面元划分结果；判断随机起伏界面的三角面元是否在照射区域内；判断随机起伏界面的三角面元是否被其它面元遮挡；采用Gordon面元积分法得到每个面元在接收点的散射声场势函数；叠加所有面元在接收点的散射信号得到仿真混响信号。

本发明采用以下技术方案：

1、导入声源的位置、指向性、发射信号波形参数，以及起伏界面相关长度、均方根高度等参数。

2、利用蒙特卡洛方法建立三维高斯随机起伏界面模型。三维高斯随机起伏界面上每一点处的高度由下式得到

$z(x_m,y_n)=\frac{1}{L_x{L}_y}\underset{m_k=-M/2+1}{\overset{M/2}{\mathrm{\Σ}}}\underset{n_k=-N/2+1}{\overset{N/2}{\mathrm{\Σ}}}F(k_{m_k},k_{n_k})\exp \left[i(k_{m_k}{x}_m+k_{n_k}{y}_n)\right]$

其中z(x_m,y_n)为(x_m,y_n)处的高度，x_m＝mΔx，y_n＝nΔy，m、n为x、y方向的点的序号，m＝-M/2+1,…,M/2，n＝-N/2+1,…,N/2，M、N为x、y方向等间隔离散点数，Δx、Δy分别表示x、y方向两点之间的间隔，L_x、L_y分别表示随机起伏界面在x、y方向的长度， $k_{m_k}=2{\mathrm{\πm}}_k/L_x,k_{n_k}=2{\mathrm{\πn}}_k/L_y,$ i表示虚数单位，由下式得到

其中N(0,1)表示均值为0，方差为1的正态分布的随机数，为三维高斯随机起伏界面的功率谱密度，由下式得到

$S(k_{m_k},k_{n_k})={\mathrm{\δ}}^2\frac{l_x{l}_y}{4\mathrm{\π}}\exp (-\frac{k_{m_k}^2{l}_x^2+k_{n_k}^2{l}_y^2}{4})$

其中δ为高度起伏的均方根高度，l_x和l_y为起伏界面x方向和y方向的相关长度。

由以上公式可以得到三维空间中的M×N个点，每一点的坐标为(x_m,y_n,z(x_m,y_n))。

3、利用Delaunay三角剖分方法对xoy平面上的M×N个点进行三角面元划分，每一点的坐标为(x_m,y_n)，得到xoy平面上每一个面元的三个顶点信息。

4、将xoy平面上的三角面元映射到三维空间中的z(x_m,y_n)随机起伏界面上，得到随机起伏界面的三角面元划分的每个面元的顶点信息。

5、根据声源的位置以及指向性等信息，计算声波照射海底的区域，判断面元是否在照射区域内，这里面元中心点在照射区域内则认为整个面元都被声波照射。得到声波照射区域所包含的共M_m个面元。

6、对于5中得到的M_m个面元中的第s个面元，1≤s≤M_m，连接声源与第s个面元中心点，计算连线与M_m个面元中的第w个面元所在平面的交点P，1≤w≤M_m且w≠s，由下式求得β_i

其中r_I(I＝1,2,3,r₄＝r₁)为第w个面元的第I个顶点位置矢量，r_p为交点P的位置矢量，v_w为第w个面元的法向矢量，β_i为求得的判断参数。如果所有的β_i＞0，则第s个面元被第w个面元遮挡，反之未被第w个面元遮挡。

7、重复步骤6，遍历所有w∈[1,M_m]且w≠s个面元，如果第s个面元均为被遮挡，则保留第s个面元，反之删除。

8、重复以上步骤6和7，遍历所有s∈[1,M_m]个面元，所有保留下来的共M_m'个面元即为入射声波照亮的面元。

9、采用Gordon面元积分法得到M_m'个面元中每个面元在接收点的散射声场，所述Gordon面元积分法的计算公式为

${\left({\mathrm{\φ}}_s\right)}_{m^{\′}}=-\frac{1}{4\mathrm{\π}}\frac{e^{\mathrm{ik}(r_q+r_m)}}{r_q{r}_m}[\frac{{\mathrm{ikr}}_q-1}{{\mathrm{ikr}}_q}{w}_{q0}+\frac{{\mathrm{ikr}}_m-1}{{\mathrm{ikr}}_m}{w}_{m0}]S$

其中， $S=-\frac{i}{k\sqrt{t_x^2+t_y^2}}\underset{n=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}(\stackrel{\‾}{P}\·{\mathrm{\Δb}}_n)e^{-\mathrm{ik}\stackrel{\‾}{T}\·\frac{b_{n+1}+b_n}{2}}\frac{\sin (-\frac{1}{2}k\stackrel{\‾}{T}\·{\mathrm{\Δb}}_n)}{-\frac{1}{2}k\stackrel{\‾}{T}\·{\mathrm{\Δb}}_n},$ (φ_s)_m'是第m'个面元的声散射势函数，r_q为声源坐标矢径，r_m为接收点的坐标矢径，k为波数，w_q0为声源坐标矢量的z方向分量，w_m0为接收点坐标矢量的z方向分量，b_n为第n个顶点的位置矢量，1≤n≤3，且b₄＝b₁，Δb_n＝b_n+1-b_n，符号中上横线表示矢量，和分别表示x和y方向， 为声源的单位坐标矢量，为观察点的单位坐标矢量，t_x和t_y分别是和在x方向和y方向分量之和。

10、计算所有M_m'个面元的声散射势函数，由下式得到仿真的混响信号

$S_R=\underset{m^{\′}=1}{\overset{M_{m^{\′}}}{\mathrm{\Σ}}}\left|{\left({\mathrm{\φ}}_s\right)}_{m^{\′}}\right|\·X(t-{\mathrm{\τ}}_{m^{\′}})$

其中，S_R为仿真的混响信号，M_m'表示总的需要求和的面元个数，(φ_s)_m'表示第m'个面元的声散射势函数，X(t)为发射信号，τ_m'为第m'个面元对应的传播时延。

实施例：

第一步，取x和y方向的长度均为5m，单位距离内等间隔离散点数均为5，则两点之间的间隔为0.2m，在xy平面上得到M×N＝25×25个点，如图1所示。取随机起伏界面高度起伏的均方根高度δ＝0.2m为，起伏界面x方向和y方向的相关长度l_x＝l_y＝0.2m，由下式得到xy平面上每一点对应的高度z(x_m,y_n)，如图2所示。

$z(x_m,y_n)=\frac{1}{L_x{L}_y}\underset{m_k=-M/2+1}{\overset{M/2}{\mathrm{\Σ}}}\underset{n_k=-N/2+1}{\overset{N/2}{\mathrm{\Σ}}}F(k_{m_k},k_{n_k})\exp \left[i(k_{m_k}{x}_m+k_{n_k}{y}_n)\right]$

其中z(x_m,y_n)为(x_m,y_n)处的高度，x_m＝mΔx，y_n＝nΔy，m、n为x、y方向的点的序号，m＝-M/2+1,…,M/2，n＝-N/2+1,…,N/2，M、N为x、y方向等间隔离散点数，Δx、Δy分别表示x、y方向两点之间的间隔，L_x、L_y分别表示随机起伏界面在x、y方向的长度， $k_{m_k}=2{\mathrm{\πm}}_k/L_x,k_{n_k}=2{\mathrm{\πn}}_k/L_y,$ i表示虚数单位，由下式得到

其中N(0,1)表示均值为0，方差为1的正态分布的随机数，为三维高斯随机起伏界面的功率谱密度，由下式得到

$S(k_{m_k},k_{n_k})={\mathrm{\δ}}^2\frac{l_x{l}_y}{4\mathrm{\π}}\exp (-\frac{k_{m_k}^2{l}_x^2+k_{n_k}^2{l}_y^2}{4})$

其中δ为高度起伏的均方根高度，l_x和l_y为起伏界面x方向和y方向的相关长度。

第二步，利用Delaunay三角剖分方法对xoy平面上的M×N个点进行三角面元划分，得到1682个三角面元，如图3所示。

第三步，将xoy平面上的三角面元映射到三维空间中的z(x_m,y_n)随机起伏界面上，得到随机起伏界面的三角面元划分结果，如图4所示。

第四步，声源位置为(0,-2.5,2)，垂直无指向性，水平指向性约53度，可以得到声波照射的区域的共M_m个面元，如图5所示。

第五步，对于图5中M_m个面元中的第s个面元，1≤s≤M_m，连接声源与第s个面元中心点，计算连线与M_m个面元中的第w个面元所在平面的交点P，1≤w≤M_m且w≠s，由下式求得β_i

其中r_I(I＝1,2,3,r₄＝r₁)为第w个面元的第I个顶点位置矢量，r_p为交点P的位置矢量，v_w为第w个面元的法向矢量，β_i为求得的判断参数。如果所有的β_i＞0，则第s个面元被第w个面元遮挡，反之未被第w个面元遮挡。遍历所有w∈[1,M_m]且w≠s个面元，如果第s个面元均为被遮挡，则保留第s个面元，反之删除。遍历所有s∈[1,M_m]个面元，所有保留下来的共M_m'个面元即为入射声波照亮的面元，如图6所示。

第六步，采用Gordon面元积分法得到M_m'个面元中每个面元在接收点的散射声场，所述Gordon面元积分法的计算公式为

${\left({\mathrm{\φ}}_s\right)}_{m^{\′}}=-\frac{1}{4\mathrm{\π}}\frac{e^{\mathrm{ik}(r_q+r_m)}}{r_q{r}_m}[\frac{{\mathrm{ikr}}_q-1}{{\mathrm{ikr}}_q}{w}_{q0}+\frac{{\mathrm{ikr}}_m-1}{{\mathrm{ikr}}_m}{w}_{m0}]S$

其中， $S=-\frac{i}{k\sqrt{t_x^2+t_y^2}}\underset{n=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}(\stackrel{\‾}{P}\·{\mathrm{\Δb}}_n)e^{-\mathrm{ik}\stackrel{\‾}{T}\·\frac{b_{n+1}+b_n}{2}}\frac{\sin (-\frac{1}{2}k\stackrel{\‾}{T}\·{\mathrm{\Δb}}_n)}{-\frac{1}{2}k\stackrel{\‾}{T}\·{\mathrm{\Δb}}_n},$ (φ_s)_m'是第m'个面元的声散射势函数，r_q为声源坐标矢径，r_m为接收点的坐标矢径，k为波数，w_q0为声源坐标矢量的z方向分量，w_m0为接收点坐标矢量的z方向分量，b_n为第n个顶点的位置矢量，1≤n≤3，且b₄＝b₁，Δb_n＝b_n+1-b_n，符号中上横线表示矢量，和分别表示x和y方向， 为声源的单位坐标矢量，为观察点的单位坐标矢量，t_x和t_y分别是和在x方向和y方向分量之和。计算所有M_m'个面元的声散射势函数，由下式得到仿真的混响信号

$S_R=\underset{m^{\′}=1}{\overset{M_{m^{\′}}}{\mathrm{\Σ}}}\left|{\left({\mathrm{\φ}}_s\right)}_{m^{\′}}\right|\·X(t-{\mathrm{\τ}}_{m^{\′}})$

其中，S_R为仿真的混响信号，M_m'表示总的需要求和的面元个数，(φ_s)_m'表示第m'个面元的声散射势函数，X(t)为发射信号，τ_m'为第m'个面元对应的传播时延。

以上图1～图6是为了图形显示清晰所取的参数。图7为一个仿真混响信号，所取得具体参数为：x和y方向的长度分别为54m和200m，单位距离内等间隔离散点数均为12，随机起伏界面高度起伏的均方根高度δ＝0.4m为，起伏界面x方向和y方向的相关长度l_x＝l_y＝0.2m。声源位置为(0,-100,30)，发射信号为CW脉冲信号，频率为5kHz，脉冲长度为4ms。接收信号采样频率200kHz。

Claims (1)

1.一种高斯随机起伏海底界面混响信号仿真方法，其特征在于，包括如下步骤：

(1)导入声源的位置、指向性、发射信号波形参数以及起伏界面相关长度、均方根高度等参数；

(2)利用蒙特卡洛方法建立三维高斯随机起伏界面模型：

三维高斯随机起伏界面上每一点处的高度由下式得到

$z(x_m,y_n)=\frac{1}{L_x{L}_y}\underset{m_k=-M/2+1}{\overset{M/2}{\mathrm{\Σ}}}\underset{n_k=-N/2+1}{\overset{N/2}{\mathrm{\Σ}}}F(k_{m_k},k_{n_k})\exp \left[i(k_{m_k}{x}_m+k_{n_y}{y}_n)\right]$

其中z(x_m,y_n)为(x_m,y_n)处的高度，x_m＝mΔx，y_n＝nΔy，m、n为x、y方向的点的序号，m＝-M/2+1,…,M/2，n＝-N/2+1,…,N/2，M、N为x、y方向等间隔离散点数，Δx、Δy分别表示x、y方向两点之间的间隔，L_x、L_y分别表示随机起伏界面在x、y方向的长度， $k_{m_k}={2\mathrm{\πm}}_k/L_x,$ $k_{n_k}={2\mathrm{\πn}}_k/L_y,$ i表示虚数单位，由下式得到

其中N(0,1)表示均值为0，方差为1的正态分布的随机数，为三维高斯随机起伏界面的功率谱密度：

$S(k_{m_k},k_{n_k})={\mathrm{\δ}}^2\frac{l_x{l}_y}{4\mathrm{\π}}\exp (-\frac{k_{m_k}^2{l}_x^2+k_{n_k}^2{l}_y^2}{4})$

其中δ为高度起伏的均方根高度，l_x和l_y为起伏界面x方向和y方向的相关长度，得到三维空间中的M×N个点，每一点的坐标为(x_m,y_n,z(x_m,y_n))；

(3)利用Delaunay三角剖分方法对xoy平面上的M×N个点进行三角面元划分，每一点的坐标为(x_m,y_n)，得到xoy平面上每一个面元的三个顶点信息；

(4)将xoy平面上的三角面元映射到三维空间中的z(x_m,y_n)随机起伏界面上，得到随机起伏界面的三角面元划分的每个面元的顶点信息；

(5)根据声源的位置以及指向性信息，计算声波照射海底的区域，判断面元是否在照射区域内，这里面元中心点在照射区域内则认为整个面元都被声波照射，得到声波照射区域所包含的共M_m个面元；

(6)对于步骤(5)中得到的M_m个面元中的第s个面元，1≤s≤M_m，连接声源与第s个面元中心点，计算连线与M_m个面元中的第w个面元所在平面的交点P，1≤w≤M_m且w≠s，求得β_i

β_i＝[(r_I-r_P)(r_I+1-r_p)]·v_w

其中r_I(I＝1,2,3,r₄＝r₁)为第w个面元的第I个顶点位置矢量，r_p为交点P的位置矢量，v_w为第w个面元的法向矢量，β_i为求得的判断参数，如果所有的β_i＞0，则第s个面元被第w个面元遮挡，反之未被第w个面元遮挡；

(7)重复步骤(6)，遍历所有w∈[1,M_m]且w≠s个面元，如果第s个面元均为被遮挡，则保留第s个面元，反之删除；

(8)重复以上步骤(6)和(7)，遍历所有s∈[1,M_m]个面元，所有保留下来的共M_m'个面元即为入射声波照亮的面元；

(9)采用Gordon面元积分法得到M_m'个面元中每个面元在接收点的散射声场：

${\left({\mathrm{\φ}}_s\right)}_{m^{\′}}=-\frac{1}{4\mathrm{\π}}\frac{e^{\mathrm{ik}(r_q+r_m)}}{r_q{r}_m}[\frac{{\mathrm{ikr}}_q-1}{{\mathrm{ikr}}_q}{w}_{q0}+\frac{{\mathrm{ikr}}_m-1}{{\mathrm{ikr}}_m}{w}_{m0}]S$

其中， $S=-\frac{i}{k\sqrt{t_x^2+t_y^2}}\underset{n=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}(\stackrel{\‾}{P}\·{\mathrm{\Δb}}_n)e^{-\mathrm{ik}\stackrel{\‾}{T}\·\frac{b_{n+1}+b_n}{2}}\frac{\sin (-\frac{1}{2}k\stackrel{\‾}{T}\·{\mathrm{\Δb}}_n)}{-\frac{1}{2}k\stackrel{\‾}{T}\·{\mathrm{\Δb}}_n},$ (φ_s)_m'是第m'个面元的声散射势函数，r_q为声源坐标矢径，r_m为接收点的坐标矢径，k为波数，w_q0为声源坐标矢量的z方向分量，w_m0为接收点坐标矢量的z方向分量，b_n为第n个顶点的位置矢量，1≤n≤3，且b₄＝b₁，Δb_n＝b_n+1-b_n，符号中上横线表示矢量，和分别表示x和y方向， 为声源的单位坐标矢量，为观察点的单位坐标矢量，t_x和t_y分别是和在x方向和y方向分量之和；

(10)计算所有M_m'个面元的声散射势函数，得到仿真的混响信号：

$S_R=\underset{m^{\′}=1}{\overset{M_{m^{\′}}}{\mathrm{\Σ}}}\left|{\left({\mathrm{\φ}}_s\right)}_{m^{\′}}\right|\·X(t-{\mathrm{\τ}}_{m^{\′}})$

其中，S_R为仿真的混响信号，M_m'表示总的需要求和的面元个数，(φ_s)_m'表示第m'个面元的声散射势函数，X(t)为发射信号，τ_m'为第m'个面元对应的传播时延。