CN103197320B - 船在纵摇情况下利用海底回波理论测量船速的方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种船在纵摇情况下利用海底回波理论测量船速的方法，其按如下步骤：第一步：推导船在纵摇情况下，使两回波信号双程声线长度相等，两接收器的间距与发射器的两个发射信号的时延所需要满足的条件；第二步：推导船存在纵摇时的海底被照射区域边界的表达式；第三步：分析被照射海底区域的回波信号表达式；第四步：推导两接收器回波信号的相关函数；第五步：推导相关函数取得最大值时所需满足的条件；第六步：对海底回波信号进行仿真，绘制信号相关函数曲线，对船速进行分析测量。本发明在建立海底回波模型时将船的纵摇考虑在内，将其用于船速的测量，测量误差小。

Description

船在纵摇情况下利用海底回波理论测量船速的方法

技术领域

本发明属于水声信号处理技术领域，具体涉及船在纵摇情况下声相关测速的方法。

背景技术

目前，行之有效地利用水声信号测速的计程仪有多普勒计程仪（ADL）和声相关计程仪（ACL）。ACL相关测速则是利用“波形不变性”原理，在满足同等精度的条件下，避免了ADL所需要的声速补偿问题，无需窄波束发射，可用较小的换能器，较低的工作频率和较小的功率就可以作用于更深的距离。一般的波形不变性原理分析是假设船在水平方向运动，且与海平面水平的情况下进行的。很多研究都在这种情况下建立回波理论模型及其相关函数。如朱坤于2010年撰写的论文《声相关计程仪测速技术研究》（下文称文献1）就以网格法建立的海底回波模型为基础，分别对时间、空间相关测速法进行了理论分析和仿真研究。但是，船在海面上行驶时，它存在波动和摇摆，很难保持与海平面相平行，那么，按照文献1的船速测量方法就会带来较大的误差。

发明内容

针对现有海底回波理论测量船测的不足，本发明在建立海底回波模型时将船的纵摇考虑在内，将其用于船速的测量，其提供了可靠性较好的模型，以满足船在实际行驶当中的测速，测量误差小。

本发明采取以下技术方案：船在纵摇情况下利用海底回波理论测量船速的方法，其按如下步骤：

第一步：推导船在纵摇情况下使两回波信号双程声线长度相等，接收器间距与发射信号间隔所需要满足的条件。

本步骤，确定满足船在纵摇情况下波形不变性所需的条件。发射器T，接收器R1，R2位于与船的艏艉线平行的直线上，两接收器的间距为d，接收器R₁与发射器T的间距为d'，船以速度v匀速水平向右前进，发射器与接收器所在直线与海平面的夹角为α，且接收器满足远场接收条件。

发射器先后发射两个脉冲声波即发射信号，时间间隔为τ₀，δx为第一个脉冲声波回波被接收到时发射器T所运动的距离，β为发射声线与水平方向的夹角，那么就有：

（a）若满足两条回波声线的双程长度相等，则有：

δx·cosβ≈(dcosα-δx)·cosβ   （1）

（b）将δx=vτ₀代入式（1）可得到：

v=dcosα/2τ₀   （2）

式（2）就是船在纵摇情况下满足波形不变原理的基本关系式。

第二步：推导船存在纵摇时的海底被照射区域边界的表达式。

本步骤，海底被照射区域的方程表达式推导。由于船存在纵摇，那么发射器所照射到的海底区域将是一个椭圆，椭圆的方程表达式表示为：

$\frac{x^2}{\frac{H^2{\sin }^2\mathrm{\θ}}{{\cos }^2\mathrm{\θ}-{\sin }^2\mathrm{\α}}}+\frac{{(y-\frac{1}{2}\·\frac{H\sin 2\mathrm{\α}}{{\cos }^2\mathrm{\θ}-{\sin }^2\mathrm{\α}})}^2}{\frac{H^2{\sin }^{2}2\mathrm{\θ}}{4{({\cos }^2\mathrm{\θ}-{\sin }^2\mathrm{\α})}^2}}=1---\left(3\right)$

其中，θ为发射波束半开角，α为发射器偏转角度，H为发射器到海底的垂直距离，点(x,y)为椭圆边界上的任意点。

第三步：分析被照射海底区域的回波信号表达式。

本步骤，海底回波信号的构造。在得到海底被照射区域后，就可以分析该区域的回波信号。首先是海底照射区域的划分，方法是以声线绕Z轴旋转，那么可能存在的情况有：

（a）当声线与Z轴的夹角较大时，将声线作为母线绕Z轴旋被椭圆截得的部分是一个扇环（扇环的宽度可认为无限小），此时与椭圆有两个交点；

（b）随着声线与Z轴的夹角变小，那么必定存在这种情况，即当声线与Z轴夹角达到某一临界值时声线绕Z轴旋转所得图形与椭圆仅有一个交点；

（c）若此时声线与Z轴夹角再变小，那么其绕Z轴旋转所得到的圆与椭圆无交点，也就是完全在椭圆内了。

由上述的分析，可以得知当声线与垂轴OT的夹角小于或等于θ-α时，以TL为母线绕轴OT旋转一周所对应的照射区域为圆，可以通过理论证明此圆与椭圆相切，且整个圆在椭圆区域内。

对于圆区域的回波信号，可以将其分成足够多的M个以O为圆心的同心圆环，那么圆区域的回波信号可以由这些同心圆环内的所有散射点的回波信号叠加得到。对于剩余的部分，即当夹角在区间(θ-α，θ+α]时，可将照射区域分成N个扇环。

因此，单个接收器的总回波信号可表示为：

$Y\left(t\right)=Y_1\left(t\right)+\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{r}_i\left(t\right)---\left(4\right)$

其中r_i(t)表示第i个扇环的回波信号，Y₁(t)表示照射面积为圆部分的回波信号，q_j(t)为第j个圆环内的所有散射点的总回波信号。

第四步：推导两接收器回波信号的相关函数。

本步骤，海底回波信号的相关函数推导。根据上面得到的回波信号，可以得到两个接收器所接收到的海底回波信号的相关函数可表示为：

R_s(Δ₂₁,τ_d,δ,△t₁')

其中，为所截扇环对应的圆心角的一半，γ为声线与Z轴的夹角，ω₀为发射信号的角频率，Δ₂-Δ₁+2δ=(0,D_y,D_z)。

第五步：推导相关函数取得最大值时所需满足的条件。

本步骤，相关函数最大值求解。在得到相关函数表达式后，需要讨论使相关函数达到最大值时所需满足的条件。记 得到：

那么求相关函数的最大值等价于求Q的最大值，对Q求导后可得：

于是当p=0时Q取得极值，此时又有：

故相关函数取得最大值的条件是p=0，将其代入后可知满足相关函数达到最大值的条件是：

d cosα=2vτ₀   （9）

该推导结果与步骤一得到的结论一致。

第六步：本步骤，对海底回波信号进行仿真，绘制信号相关函数曲线，对船速进行测量分析。

与现有技术相比，本发明具有如下技术效果：

1、从几何角度推导了船在纵摇情况下的波形不变性所需满足的条件，较现有的波形不变性原理更具一般性。同时，对海底回波信号的相关函数进行了推导和分析，从数学角度推导了相关函数取得最大值时所需满足的条件，其结果与几何角度分析一致。从而以多个角度分析了本发明测量方法所采用理论的正确性。

2、由于本发明测量方法采用的海底回波模型的构造考虑了船存在纵摇的情况，因而，其对任何纵摇角度α均适用，使本发明的船速测量方法更具实用性，更能满足船在实际行驶当中的测速。

3、本发明的船速测量方法可以有效地测量船速，较现有其他的方法，测速精度更高。

附图说明

图1是船纵摇情况下的相关测速原理图。

图2是发射器照射示意图。

图3是被照射的海底区域。

图4是海底区域回波散射图。

图5是照射区域为椭圆时的海底回波模型。

图6是v=10m/s两接收器的接收信号及其相关函数。

图7是v=5m/s两接收器的接收信号及其相关函数。

具体实施方式

下面结合附图对本发明实施例作详细说明。

本发明所研究的是当船存在纵摇时，建立海底回波模型，进行船速的测量，按照以下几个步骤进行：

1、确定船在纵摇情况下，若要使两回波信号双程声线长度相等，接收器间距与发射信号间隔所需要满足的关系。如图1所示为船纵摇情况下的相关测速原理图，则可以得到：

AF=d'·sinα   （1）

BE=(d+d')·sinα   （2）

BG=BE-AF=d sinα   （3）

AG=FE=x₂-d'cosα-[x₂+δx-(d+d')cosα]   （4）

=dcosα-δx

其中，α为发射器与接收器所在直线与海平面的夹角，d为两接收器R₁与R₂的间距，d'为接收器R₁与发射器T的间距，δx=vτ₀，v为船速，τ₀为两个发射信号的时间间隔。

若满足：

δx·cosβ≈(dcosα-δx)·cosβ   （5）

则两信号往返总声线长度相同。即当v=d cosα/(2τ₀)时，两条回波声线双程长度相等。

2、推导船存在纵摇时的海底被照射区域边界表达式。对于水平运动的船只，发射器垂直向下发射波束，该波束是圆锥波束，那么照射到海底的区域是一个圆面，它的大小由海深和发射器的指向性开角决定。但当船存在纵摇，发射器不处于水平状态时，即发射器所在平面与海平面存在夹角时，那么发射器照射到海底的区域将不再是圆面。本发明则是在这种情况下给予了分析，海底照射区域示意图如图2、图3所示。

T为发射点，半发射波束开角为θ，发射器偏转角度为α，发射器T到海底的垂直距离为H，TM为圆锥波束的中线，交海底平面于M点，过T点作垂直于海底平面的直线于O点，以O为原点，OT所在直线为Z轴，OM所在直线为Y轴，构造坐标系。设N点是被照射海底区域边界上的任意一点，设坐标为(x,y,0)，那么可以得到该几何区域的方程表达式为：

$\frac{x^2}{\frac{H^2{\sin }^2\mathrm{\θ}}{{\cos }^2\mathrm{\θ}-{\sin }^2\mathrm{\α}}}+\frac{{(y-\frac{1}{2}\·\frac{H\sin 2\mathrm{\α}}{{\cos }^2\mathrm{\θ}-{\sin }^2\mathrm{\α}})}^2}{\frac{H^2{\sin }^{2}2\mathrm{\θ}}{4{({\cos }^2\mathrm{\θ}-{\sin }^2\mathrm{\α})}^2}}=1---\left(6\right)$

由此可以看出该照射区域为椭圆。

3、分析被照射海底区域的回波信号表达式。Δ₁、Δ₂分别为接收器R₁、接收器R₂与发射器的相对位置矢量，r_n是散射体n相对于O₁点的距离，u_n表示从发射点指向海底散射点n的单位矢量，r_m是散射体m相对于O₂点的距离，u_m表示发射点指向海底散射点m的单位矢量，δ为O₂相对于O₁的距离矢量，△t₁'、△t₂'为接收器R₁、接收器R₂接收回波信号时刻与发射时刻的时间间隔。根据单个散射点的回波信号，发射波束宽度范围内的海底回波信号可以由照射区域范围内所有散射点散射信号的叠加得到，那么R₁接收的总回波信号可表示为：

$r_1\left({{\mathrm{\Δt}}_1}^{\′}\right)=\underset{n}{\mathrm{\Σ}}{A}_n{e}^{{\mathrm{j\φ}}_n}s[(1-{2a}_n){{\mathrm{\Δt}}_1}^{\′}+(1-a_n)(\frac{{2r}_n}{c}-u_n\·\frac{{\mathrm{\Δ}}_1}{c})---\left(2\right)$

A_n,φ_n分别表示散射点n所贡献的回波信号的幅度和相位。

R₂接收的总回波信号可表示为：

$r_2\left({{\mathrm{\Δt}}_2}^{\′}\right)=\underset{m}{\mathrm{\Σ}}{A}_m{e}^{{\mathrm{j\φ}}_m}s[(1-{2a}_m){{\mathrm{\Δt}}_2}^{\′}+(1-a_m)(\frac{{2r}_m}{c}-u_m\·\frac{{\mathrm{\Δ}}_2+2\mathrm{\δ}}{c})]---\left(8\right)$

A_m,φ_m分别表示散射点m所贡献的回波信号的幅度和相位。

当船存在纵摇时，照射区域由圆变成了椭圆，因为椭圆圆环上的各点到发射点的距离并不全相等，那么回波混响信号就不能用简单的同心圆环内的散射点散射信号叠加得到。针对这个问题，本发明将海底被照射区域分成两部分，如图4所示。θ为发射波束半开角，α为发射器偏转角度，L为椭圆与Y轴的左交点，当声线与垂轴OT的夹角小于或等于θ-α时，以TL为母线绕轴OT旋转一周所对应的照射区域为圆，可以通过理论证明此圆与椭圆相切，且整个圆在椭圆区域内。

对于圆区域的回波信号，可以将其分成足够多的M个以O为圆心的同心圆环，那么圆区域的回波信号可以由这些同心圆环内的所有散射点的回波信号叠加得到。对于剩余的部分，即当夹角在区间(θ-α，θ+α]时，可将照射区域分成N个扇环，如图5所示为其中的一个扇环，γ为回波声线与Z轴的夹角，以r_n为母线，绕Z轴旋转，与椭圆相交，若扇环的宽度够小，那么虚线扇环内的散射点到T点的距离都可认为相等。那么单个接收器的总回波信号可表示为：

$Y\left(t\right)=Y_1\left(t\right)+\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{r}_i\left(t\right)---\left(9\right)$

$Y_1\left(t\right)=\underset{j=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{q}_j\left(t\right)---\left(10\right)$

其中，r_i(t)表示第i个扇环的回波信号，Y₁(t)表示照射面积为圆部分的回波信号，q_j(t)为第j个圆环内的所有散射点的总回波信号。

4、推导两接收器回波信号的相关函数。当扇环的圆心角为2π时，那么它就是圆环，所以圆环是扇环的特殊情况，因此，分析扇环的性质时，对圆环也成立。因为各散射点是不相关的，那么任意两个不同扇环内的回波信号也是不相关的。所以要得到两接收信号相关函数的一些性质时，只需分析任意一个扇环区域内两个接收器接收到的回波信号的相关性即可，这样便简化了计算。那么根据式（7）和式（8）得到该扇环区域的两个回波信号后，就可以计算这两个信号的相关函数以具体分析两个信号的相关性，以及满足相关性最大时所需要达到的条件，相关函数如下定义：

$R_s({\mathrm{\&Delta;}}_{21},{\mathrm{\&tau;}}_d,\mathrm{\&delta;},{{\mathrm{\&Delta;t}}_1}^{\&prime;})=\frac{<r_1\left({{\mathrm{\&Delta;t}}_1}^{\&prime;}\right)r_2^{*}\left({{\mathrm{\&Delta;t}}_2}^{\&prime;}\right)>}{{{\mathrm{\&sigma;}}_s}^2}---\left(11\right)$

其中，Δ₂₁=Δ₂-Δ₁，τ_d=Δt₂'-Δt₁'，由于接收信号是所有散射点回波信号的叠加，可以视其为高斯分布，则σ_s ²为单个接收器接收回波信号的方差，符号‘*’表示共轭，<·>表示求均值。假设不同散射点彼此之间不相关，则有：

$<A_e{e}^{{\mathrm{j\&phi;}}_n}{A}_m{e}^{{-\mathrm{j\&phi;}}_m}>=<{A_n}^2>\mathrm{\&delta;}(n-m)---\left(12\right)$

即只有当n=m时相关性才为非零，则有r_n=r_m=r，u_n=u_m=u，a_n=a_m=a，以图5为参考建立坐标系，γ为声线与Z轴的夹角，为向量u在X0Y平面上的投影与Y轴所成的夹角，故可以得到单位向量则可以得到：

在此假设发射信号是单频矩形脉冲（CW）信号，即：

将s(t)代入后可得：

又有a=v·u/c<<1，且船是沿平行于Y轴方向（Y轴正上方）行驶的，发射器与接收器分布在一直线上，所以可令Δ₂-Δ₁+2δ=(0,D_y,D_z)。将其代入化简并归一化后可得：

又因为：

其中，为所截扇环对应的圆心角的一半，将式（17）代入式（16）有：

5、相关函数取得最大值时所需满足的条件。记：

可以得到：

那么求相关函数的最大值就相当于求式（19）的最大值，将式（19）对p进行求导可得：

当n≥1时，必有J_n(0)=0，可以得出当p=0时，有Re=0，Im=0，从而可以得到Q'=0，式（19）取得极值。将p=0代入式（18）可以得到相关函数的模对应的极值点的值为

又根据式（16）有：

根据式（21）可知，是相关函数有可能取到的最大值，所以由式（19）所得到的极值点就是整个相关函数的最大值点，即当p=0时，相关函数的模取到最大值当满足p=0，即时，相关函数达到最大值，亦即D_y=0时相关函数取到最大值。根据D_x=D_y=0，易知有：

${\mathrm{\&Delta;}}_2-{\mathrm{\&Delta;}}_1+2\mathrm{\&delta;}=(\mathrm{0,0},D_z)---\left(22\right)$

若船沿Y轴行驶，船纵摇角度为α，两发射脉冲时间间隔为τ₀，由接收器的分布可知：δ=(0,vτ₀,0)，Δ₁=(0,-d'cosα,-d'sinα)，Δ₂=(0,-(d+d')cosα,-(d'+d)sinα)。将其代入式（22）后可知当满足d cosα=2vτ₀时两个接收信号相关性最大。这与相关原理推导的在船纵摇情况下满足波形不变性条件是一样的，这就从数学角度上证实了几何分析的结果。上述结论是测量船速的基础。

6、对海底回波信号进行仿真，绘制信号相关函数曲线，对船速进行测量分析。

下面结合具体参数进一步描述本发明的实施例。

在本实施例中，两个接收器呈直线排列，设计参数如下：接收器间距d=0.12m，水深H=200m，发射波束半开角为15°，声速c=1500m/s，，发射信号为CW信号，频率ω₀=2πf₀，其中，f₀=100kHz，采样频率为4f₀，信噪比10dB，偏角α=5°。图6、图7分别为船速v=10m/s和船速v=5m/s时，两个接收器接收到的信号及其相关函数与时延关系的仿真曲线。从图中可以看出，接收器R₂与R₁的接收信号相似，近似于R₁接收信号的延迟，延迟的时间可以通过求相关函数得到，在得到延迟时间后就可以根据前述方法对船速进行相应的测量。

在其他仿真条件不变的情况下，改变船速和纵摇偏角的大小，利用原有海底回波模型和本发明建立的模型进行速度解算，并比较速度解算的准确性。表1与表2分别是当船速为v=10m/s和v=5m/s时，在不同模型、不同纵摇偏角情况下各自速度解算500次的统计结果。

表1：速度为10m/s时不同偏角情况下的速度解算结果

表2：速度为5m/s时不同偏角情况下的速度解算结果

从表1、表2可以看出，当偏角较小时，利用两个方法解算出来的速度大小近似；当偏角变大时，现有技术采用的回波模型的测速偏差增大，而本发明建立的模型具有较好的适应性，其能够准确地测出船速，相对误差较小。从整体上而言，本发明能够较好地解决船在纵摇情况下的速度测量。

本领域中的普通技术人员应当认识到，以上实施例仅是用来验证本发明，而并非作为对本发明的限定，只要是在本发明的范围内，对以上实施例的变化、变形都将落在本发明的保护范围内。

Claims (1)

1.船在纵摇情况下利用海底回波理论测量船速的方法，其按如下步骤：

第一步：推导船在纵摇情况下，使两回波信号双程声线长度相等，两接收器的间距与发射器的两个发射信号的时延所需要满足的条件；

根据船纵摇情况下的测速原理图，得到：

AF＝d′·sinα    (1)

BE＝(d+d′)·sinα    (2)

BG＝BE-AF＝d sinα    (3)

AG＝FE＝x₂-d′cosα-[x₂+δx-(d+d')cosα]

                                        (4)

＝d cosα-δx

其中，α为发射器偏转角度，d为两接收器R₁与R₂的间距，d'为接收器R₁与发射器T的间距，δx＝vτ₀，v为船速，τ₀为两个发射信号的时间间隔；

若满足：

δx·cosβ≈(dcosα-δx)·cosβ    (5)

则两信号往返总声线长度相同；即当v＝d cosα/(2τ₀)时，两条回波声线双程长度相等；β为发射声线与水平方向的夹角；

第二步：推导船存在纵摇时的海底被照射区域边界的表达式；

根据海底照射区域示意图，设T为发射点，半发射波束开角为θ，发射器偏转角度为α，发射器T到海底的垂直距离为H，TM为圆锥波束的中线，交海底平面于M点，过T点作垂直于海底平面的直线于O点，以O为原点，OT所在直线为Z轴，OM所在直线为Y轴，构造坐标系；设N点是被照射海底区域边界上的任意一点，设坐标为(x,y,0)，那么能得到该几何区域的方程表达式为：

$\frac{x^2}{\frac{H^2{\sin }^2\mathrm{\&theta;}}{{\cos }^2\mathrm{\&theta;}-{\sin }^2\mathrm{\&alpha;}}}+\frac{{(y-\frac{1}{2}\&CenterDot;\frac{H\sin 2\mathrm{\&alpha;}}{{\cos }^2\mathrm{\&theta;}-{\sin }^2\mathrm{\&alpha;}})}^2}{\frac{H^2{\sin }^{2}2\mathrm{\&theta;}}{4{({\cos }^2\mathrm{\&theta;}-{\sin }^2\mathrm{\&alpha;})}^2}}=1---\left(6\right)$

由此看出该照射区域为椭圆；

第三步：分析被照射海底区域的回波信号表达式；

Δ₁、Δ₂分别为接收器R₁、接收器R₂与发射器的相对位置矢量，r_n是散射体n相对于O₁点的距离，u_n表示从发射点指向海底散射点n的单位矢量，r_m是散射体m相对于O₂点的距离，u_m表示发射点指向海底散射点m的单位矢量，δ为O₂相对于O₁的距离矢量，Δt₁'、Δt₂'为接收器R₁、接收器R₂接收回波信号时刻与发射时刻的时间间隔；根据单个散射点的回波信号，发射波束宽度范围内的海底回波信号由照射区域范围内所有散射点散射信号的叠加得到，那么R₁接收的总回波信号能表示为：

$r_1\left({{\mathrm{\&Delta;t}}_1}^{\&prime;}\right)=\underset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}{A}_n{e}^{{\mathrm{j\&phi;}}_n}s[(1-{2a}_n){{\mathrm{\&Delta;t}}_1}^{\&prime;}+(1-a_n)(\frac{{2r}_n}{c}-u_n\&CenterDot;\frac{{\mathrm{\&Delta;}}_1}{c})]---\left(7\right)$

A_n,φ_n分别表示散射点n所贡献的回波信号的幅度和相位；

R₂接收的总回波信号表示为：

$r_2\left({{\mathrm{\&Delta;t}}_2}^{\&prime;}\right)=\underset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}{A}_m{e}^{{\mathrm{j\&phi;}}_m}s[(1-{2a}_m){{\mathrm{\&Delta;t}}_2}^{\&prime;}+(1-a_m)(\frac{{2r}_m}{c}-u_m\&CenterDot;\frac{{\mathrm{\&Delta;}}_2+2\mathrm{\&delta;}}{c})]---\left(8\right)$

A_m,φ_m分别表示散射点m所贡献的回波信号的幅度和相位；

当船存在纵摇时，照射区域由圆变成了椭圆，因为椭圆圆环上的各点到发射点的距离并不全相等，那么回波混响信号就不能用简单的同心圆环内的散射点散射信号叠加得到；将海底被照射区域分成两部分，θ为发射波束半开角，L为椭圆与Y轴的左交点，当声线与垂轴OT的夹角小于或等于θ-α时，以TL为母线绕轴OT旋转一周所对应的照射区域为圆，通过理论证明此圆与椭圆相切，且整个圆在椭圆区域内；

对于圆区域的回波信号，将其分成足够多的M个以O为圆心的同心圆环，那么圆区域的回波信号可以由这些同心圆环内的所有散射点的回波信号叠加得到；对于剩余的部分，即当夹角在区间(θ-α，θ+α]时，将照射区域分成N个扇环，其中的一个扇环，γ为回波声线与Z轴的夹角，以r_n为母线，绕Z轴旋转，与椭圆相交，若扇环的宽度够小，那么虚线扇环内的散射点到T点的距离都认为相等；那么单个接收器的总回波信号能表示为：

$Y\left(t\right)=Y_1\left(t\right)+\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{r}_i\left(t\right)---\left(9\right)$

$Y_1\left(t\right)=\underset{j=1}{\overset{M}{\mathrm{\&Sigma;}}}{q}_j\left(t\right)---\left(10\right)$

其中，r_i(t)表示第i个扇环的回波信号，Y₁(t)表示照射面积为圆部分的回波信号，q_j(t)为第j个圆环内的所有散射点的总回波信号；

第四步：推导两接收器回波信号的相关函数；

当扇环的圆心角为2π时，那么它就是圆环，所以圆环是扇环的特殊情况，因此，分析扇环的性质时，对圆环也成立；因为各散射点是不相关的，那么任意两个不同扇环内的回波信号也是不相关的；所以要得到两接收信号相关函数的一些性质时，只需分析任意一个扇环区域内两个接收器接收到的回波信号的相关性即可；那么根据式(7)和式(8)得到该扇环区域的两个回波信号后，就能计算这两个信号的相关函数以具体分析两个信号的相关性，以及满足相关性最大时所需要达到的条件，相关函数如下定义：

$R_s({\mathrm{\&Delta;}}_{21},{\mathrm{\&tau;}}_d,\mathrm{\&delta;},{{\mathrm{\&Delta;t}}_1}^{\&prime;})=\frac{<r_1\left({{\mathrm{\&Delta;t}}_1}^{\&prime;}\right)r_2^{*}\left({{\mathrm{\&Delta;t}}_2}^{\&prime;}\right)>}{{{\mathrm{\&sigma;}}_s}^2}---\left(11\right)$

其中，Δ₂₁＝Δ₂-Δ₁，τ_d＝Δt₂'-Δt₁'，由于接收信号是所有散射点回波信号的叠加，视其为高斯分布，则σ_s ²为单个接收器接收回波信号的方差，符号‘*’表示共轭，<·>表示求均值；假设不同散射点彼此之间不相关，则有：

$<A_n{e}^{{\mathrm{j\&phi;}}_n}{A}_m{e}^{{-\mathrm{j\&phi;}}_m}>=<{A_n}^2>\mathrm{\&delta;}(n-m)---\left(12\right)$

即只有当n＝m时相关性才为非零，则有r_n＝r_m＝r，u_n＝u_m＝u，a_n＝a_m＝a，建立坐标系，γ为声线与Z轴的夹角，为向量u在X0Y平面上的投影与Y轴所成的夹角，故得到单位向量则得到：

在此假设发射信号是单频矩形脉冲信号，即：

其中，ω₀为发射信号的角频率，

将s(t)代入后能得：

又有a＝v·u/c<<1，且船是沿平行于Y轴方向行驶的，发射器与接收器分布在一直线上，所以令Δ₂-Δ₁+2δ＝(0,D_y,D_z)；将其代入化简并归一化后可得：

又因为：

其中，为所截扇环对应的圆心角的一半，将式(17)代入式(16)有：

第五步：推导相关函数取得最大值时所需满足的条件；

记： $p=\frac{{\mathrm{\&omega;}}_0}{c}\sin \mathrm{\&gamma;}\&CenterDot;D_y,$

得到：

那么求相关函数的最大值就相当于求式(19)的最大值，将式(19)对p进行求导得：

当n≥1时，必有J_n(0)＝0，得出当p＝0时，有Re＝0，Im＝0，从而得到Q'＝0，式(19)取得极值；将p＝0代入式(18)可以得到相关函数的模对应的极值点的值为

又根据式(16)有：

根据式(21)可知，是相关函数有可能取到的最大值，所以由式(19)所得到的极值点就是整个相关函数的最大值点，即当p＝0时，相关函数的模取到最大值当满足p＝0，即时，相关函数达到最大值，亦即D_y＝0时相关函数取到最大值；根据D_x＝D_y＝0，易知有：

Δ₂-Δ₁+2δ＝(0,0,D_z)    (22)

若船沿Y轴行驶，船纵摇角度为α，两发射脉冲时间间隔为τ₀，由接收器的分布可知：δ＝(0,vτ₀,0)，Δ₁＝(0,-d'cosα,-d'sinα)，Δ₂＝(0,-(d+d')cosα,-(d'+d)sinα)；将其代入式(22)后可知当满足dcosα＝2vτ₀时两个接收信号相关性最大；

第六步：对海底回波信号进行仿真，绘制信号相关函数曲线，对船速进行分析测量。