CN104734766B - 一种基于QoS的多小区下行MIMO鲁棒波束成形方法 - Google Patents

一种基于QoS的多小区下行MIMO鲁棒波束成形方法 Download PDF

Info

Publication number
CN104734766B
CN104734766B CN201510174723.8A CN201510174723A CN104734766B CN 104734766 B CN104734766 B CN 104734766B CN 201510174723 A CN201510174723 A CN 201510174723A CN 104734766 B CN104734766 B CN 104734766B
Authority
CN
China
Prior art keywords
mrow
msup
msubsup
mover
mtd
Prior art date
Legal status (The legal status is an assumption and is not a legal conclusion. Google has not performed a legal analysis and makes no representation as to the accuracy of the status listed.)
Active
Application number
CN201510174723.8A
Other languages
English (en)
Other versions
CN104734766A (zh
Inventor
张涉应
Current Assignee (The listed assignees may be inaccurate. Google has not performed a legal analysis and makes no representation or warranty as to the accuracy of the list.)
ChinaComm Design & Consulting Co., Ltd.
Original Assignee
Chinacomm Design & Consulting Co Ltd
Priority date (The priority date is an assumption and is not a legal conclusion. Google has not performed a legal analysis and makes no representation as to the accuracy of the date listed.)
Filing date
Publication date
Application filed by Chinacomm Design & Consulting Co Ltd filed Critical Chinacomm Design & Consulting Co Ltd
Priority to CN201510174723.8A priority Critical patent/CN104734766B/zh
Publication of CN104734766A publication Critical patent/CN104734766A/zh
Application granted granted Critical
Publication of CN104734766B publication Critical patent/CN104734766B/zh
Active legal-status Critical Current
Anticipated expiration legal-status Critical

Links

Classifications

    • Y—GENERAL TAGGING OF NEW TECHNOLOGICAL DEVELOPMENTS; GENERAL TAGGING OF CROSS-SECTIONAL TECHNOLOGIES SPANNING OVER SEVERAL SECTIONS OF THE IPC; TECHNICAL SUBJECTS COVERED BY FORMER USPC CROSS-REFERENCE ART COLLECTIONS [XRACs] AND DIGESTS
    • Y02—TECHNOLOGIES OR APPLICATIONS FOR MITIGATION OR ADAPTATION AGAINST CLIMATE CHANGE
    • Y02D—CLIMATE CHANGE MITIGATION TECHNOLOGIES IN INFORMATION AND COMMUNICATION TECHNOLOGIES [ICT], I.E. INFORMATION AND COMMUNICATION TECHNOLOGIES AIMING AT THE REDUCTION OF THEIR OWN ENERGY USE
    • Y02D30/00—Reducing energy consumption in communication networks
    • Y02D30/70—Reducing energy consumption in communication networks in wireless communication networks

Landscapes

  • Medicines Containing Antibodies Or Antigens For Use As Internal Diagnostic Agents (AREA)
  • Mobile Radio Communication Systems (AREA)

Abstract

本发明提出一种基于QoS的多小区下行MIMO鲁棒波束成形方法，该方法以给定QoS约束条件下最小化发射总功率以及小区间泄露总功率之和为优化目标，同时考虑非理想CSI对系统的影响。为了充分保证用户QoS需求，该方法考虑最差估计CSI下的波束成形问题，首先近似原波束成形问题，然后利用上下行链路对偶性，将下行链路发送波束成形问题转换为上行链路接收波束成形问题，通过求解简单的上行链路波束成形问题，得到上行链路接收波束成形最优解，并将其转换到下行链路发射波束成形最优解，从而获得多小区下行MIMO波束成形解。

Description

一种基于QoS的多小区下行MIMO鲁棒波束成形方法
技术领域
本发明涉及多入多出(Multiple Input Multiple Output,MIMO)通信系统，特别涉及基于QoS的多小区下行MIMO鲁棒波束成形。
背景技术
下一代蜂窝无线通信MIMO系统中，基站(Base Station,BS)间趋向于采用全频率复用方式组网，用户受到严重的小区间干扰。多小区协作下行MIMO波束成形技术可以有效消除小区间干扰，极大的提升信道容量。但是在设计多小区下行MIMO波束成形时，待优化的波束成形变量之间相互耦合，求解复杂度极高，这给求解带来了极大的困难。而上下行链路对偶性被认为是解决多小区协作波束成形算法的主要工具，其能够把复杂的多小区下行链路发射波束成形问题转换到较简单的上行链路接收问题，从而消除多小区下行MIMO波束成形变量之间的耦合性，极大降低复杂度。
鲁棒性的多小区下行MIMO波束成形设计标准中，保证用户QoS需求是其中非常重要的一种标准。传统的基于用户服务质量(Quality of Service,QoS)下多小区下行MIMO波束成形设计标准为：QoS约束下最小化总发送功率。该设计能够有效地保证满足用户的QoS需求，但是其只考虑最小化发射功率，这会导致某些信道环境较差的小区为了达到QoS条件，极大增加该小区发射信号功率，从而使得其他协作小区受到的小区间干扰加大，而影响整个多小区协作MIMO 系统的性能。
为了解决这个问题，将小区间信号泄露功率引入优化函数中，优化问题目标函数为发射功率以及小区间信号泄露功率之和，约束条件为用户的QoS约束。此设计将总发射功率作为效应函数，小区间泄露功率作为惩罚函数，优化目标函数为效应函数和惩罚函数之和，其能够获得总发射功率以及小区间泄露功率之间的某种平衡，从而最大限度地优化系统性能。已经有研究者针对这种改进设计下的多小区下行MIMO波束成形，根据上下行链路对偶性提出一种基于标准功率分配算法，但是其只适用于理想CSI的信道环境中。另外在非理想CSI环境中，研究者提出利用半定规划(Semi Definite Programming,SDP)以及二阶锥规划(Second-Order Cone Programming,SOCP)工具包求解这种改进设计下的多小区下行MIMO波束成形，但是直接利用凸优化工具包的求解方法，优化变量之间相互耦合，计算复杂度极高。
发明内容
本发明旨在解决现有技术中存在的技术问题，本方法以给定QoS约束条件下最小化发射总功率以及小区间泄露总功率之和为优化目标，并通过上行性链路的对偶性，从而得到一种多小区MIMO下行鲁棒波束成形的迭代求解算法。
为了实现本发明的上述目的，本发明提出一种基于QoS的多小区下行MIMO 鲁棒波束成形方法，其特征在于，包括：
S1，基于QoS的多小区下行MIMO鲁棒波束成形的新型设计；
S2，基于QoS的多小区下行MIMO鲁棒波束成形新型设计问题的近似估计；
S3，迭代算法，求解估计后的波束成形新型设计问题的算法。
所述的一种 基于QoS的多小区下行MIMO鲁棒波束成形方法，优选的，所述S1中基于QoS的多小区下行MIMO鲁棒波束成形的新型设计包括：
考虑由C个小区组成的多小区协作下行MIMO系统，BS之间共享CSI以协作进行波束成形设计，不共享用户数据信号。假设BS均配置M根天线，用户均配置单根天线，每个BS有K个激活用户。由BSi到用户(k,j)的信道矩阵表示为信道经历时间和频率平稳衰弱，信道系数相互独立，且为零均值单位方差的复高斯随机变量。用户(k,i)接收到的信号表示为：
其中：为BSi为其小区内用户(l,i)设置的的发送波束成形向量；x(l,i)为BSi对用户(l,i)发送的数据信号，满足E(|x(l,i)x(l,i)|)＝1；n(k,i)是用户(k,i)接收到的噪声，其为零均值方差为σ2的复高斯白噪声；ρ(k,i)是用户(k,i)接收到的小区间干扰信号，即其它协作小区泄露到用户(k,i)的干扰信号，假设用户能够测量此值，并通过上行链路回传给BS，因此对于BS，小区间干扰值已知。
用户(k,i)的SINR(用γ(k,i)表示)为：
其中：ε(k,i)＝E(|ρ(k,i)|2)为其它协作小区泄露到用户(k,i)的干扰信号功率。
考虑非理想CSI对性能的影响，采用球形信道估计模型，真实信道与估计信道关系表示如下：
是进行信道估计以后得到的CSI，是真实CSI，是信道估计误差，假定即信道估计不确定性区域满足半径为的球形约束。
在满足用户QoS的情况下，将小区间信号泄露功率引入优化函数中，优化问题目标函数为发射功率以及小区间信号泄露功率和，总发射功率作为效应函数，小区间泄露功率作为惩罚函数，其能够获得总发射功率以及小区间泄露功率之间的平衡，从而最大限度地优化系统性能。由于CSI不理想，为了充分保证每个服务用户的QoS，考虑最差情况下的鲁棒波束成形，多小区下行MIMO波束成形问题描述为：
所述的一种 基于QoS的多小区下行MIMO鲁棒波束成形方法，优选的，所述S2中基于QoS的多小区下行MIMO鲁棒波束成形新型设计问题的近似估计包括：
从(4)式可知，由于考虑最差情况而导致约束项中出现min和目标函数中出现max，从而加大了优化问题的复杂性，下面通过引入三角不等式和矩阵的迹相关知识，近似优化原波束成形问题。
(3)式代入(4)式的目标函数中，且利用三角不等式，简化过程如下：
(3)式代入(4)式约束项的分子和分母中，(4)式约束项的分母近似为：
(4)式约束项的分子近似为：
把(5)式、(6)式和(7)式代入到(4)式中，得到：
为描述简洁起见，假设
将(9)式代入(8)式中，得到基于QoS的多小区下行MIMO鲁棒波束成形新型设计问题的近似问题为：
所述的一种 基于QoS的多小区下行MIMO鲁棒波束成形方法，优选的，所述S3中迭代算法包括：步骤1、上下行链路波束成形问题转换
下行多小区MIMO协作发送波束成形优化问题(10)与上行对偶链路接收波束成形问题(11)等价，(11)式表示如下：
其中Λ(k,i)表示为：
注：表示对偶上行链路接收波束成形向量，λ(k,i)是拉格朗日乘子，可以理解为上行链路中用户(k,i)的发射信号功率。
证明：(10)式可以变换为标准SOCP问题，并利用标准凸优化工具包求解，因此对于问题(10)而言，强对偶性成立。强对偶性能够确保原问题与其拉格朗日对偶问题具有相同的最优值，因此可以利用拉格朗日对偶理论，证明上述对偶性。
首先对(10)式建立拉格朗日函数：
其中，λ(k,i)为拉格朗日乘子，其满足λ(k,i)≥0，A(k,i)表示如下：
对偶问题的目标函数为在无约束条件下拉格朗日函数的最小值，即求得：
仅当A(k,i)为半正定矩阵时，拉格朗日函数具有最小值，且最小值为所以(10)式的拉格朗日对偶优化问题为
下面将(16)式转换为对偶上行链路的接收波束成形问题，假设上行链路最优的接收波束成形向量为根据半正定矩阵的定义：
将(17)式做适当变形，写成分式形式，表示为：
可以得到对偶优化问题：
而对于问题(11)，使得上下链路SINR最大的必定是最优接收波束成形向量问题(11)重写为：
问题(19)和(20)中只有优化函数中max、min和约束项中≤、≥不相同，根据凸优化对偶知识可知，问题(19)和(20)是等价的，即拥有相同的最优值。证明完毕。
步骤2、求解上行对偶问题
若上行链路接收波束成形向量确定，则使得问题(11)获得最优值的λ(k,i)必然使得问题(11)的约束项等式成立，即：
这样可以获得C×K个等式组成的线性方程组，通过求解这个线性方程组就能够得到λ(k,i)的解，(21)式变形如下：
把上述C×K等式组成的线性方程组写成由C个矩阵等式组成的线性方程组形式：
其中Ei∈CK×K，λi∈C1×K，fi∈C1×K，定义分别如下：
λi＝[(λ(1,i))T,...,(λ(K,i))T]T (26)
根据(23)式可以得到：
接下来来优化若拉格朗日乘子λ(k,i)固定，则问题(11)变化为求解最大的从而使得输出SINR最大，因此：
其中，D为：
至此，获得了上行链接收路波束成形问题(11)的求解算法。步骤3、将上行链路波束成形解转换到下行链路波束成形解
下行链路最优发送波束成形v*(k,i)与对偶上行链路最优接收波束成形满足如下关系：
(30)式表明，v*(k,i)与为线性关系，若获得μ(k,i)，则即可获得原下行波束成形问题的解。下面来求解获得μ(k,i)同理，问题(10)获得最优值时，其约束条件等号成立，将(25)式代入(10)中的SINR中，并且取等式，得到：
把上述C×K个等式组成的线性方程组写成由C个矩阵等式组成的线性方程组形式：
其中定义分别如下：
gi＝[(ε(1,i)+σ2)T,...,(ε(K,i)+σ2)T]T (34)
ui＝[(u(1,i))T,...,(u(K,i))T]T (35)
根据(27)式可以得到：
综上所述，多小区下行波束成形问题的求解算法过程如下：
(A)初始化，令迭代计数n＝0，拉格朗日乘子并根据式(28)得到
(B)迭代：令n＝n+1，根据(27)式计算若满足ξ＞0 任意小，则转到步骤(C)；否则，根据(28)式计算回到步骤(B)；
(C)根据(36)式计算μi，根据(30)式计算
附图说明
本发明的上述和/或附加的方面和优点从结合下面附图对实施例的描述中将变得明显和容易理解，其中：
图1为本发明多小区协作下行MIMO系统示意图；
图2为本发明基于QoS的多小区下行MIMO鲁棒波束成形算法流程图。
具体实施方式
下面详细描述本发明的实施例，所述实施例的示例在附图中示出，其中自始至终相同或类似的标号表示相同或类似的元件或具有相同或类似功能的元件。下面通过参考附图描述的实施例是示例性的，仅用于解释本发明，而不能理解为对本发明的限制。
在本发明的描述中，需要理解的是，术语“纵向”、“横向”、“上”、“下”、“前”、“后”、“左”、“右”、“竖直”、“水平”、“顶”、“底”“内”、“外”等指示的方位或位置关系为基于附图所示的方位或位置关系，仅是为了便于描述本发明和简化描述，而不是指示或暗示所指的装置或元件必须具有特定的方位、以特定的方位构造和操作，因此不能理解为对本发明的限制。
在本发明的描述中，除非另有规定和限定，需要说明的是，术语“安装”、“相连”、“连接”应做广义理解，例如，可以是机械连接或电连接，也可以是两个元件内部的连通，可以是直接相连，也可以通过中间媒介间接相连，对于本领域的普通技术人员而言，可以根据具体情况理解上述术语的具体含义。
基于QoS的多小区下行MIMO鲁棒波束成形方法流程如图2，实施对象为用户(k,i)，
步骤10，开始；
步骤20，根据信号泄露功率和发射功率，推出基于QoS的多小区下行MIMO 鲁棒波束成形的新型设计问题；
步骤30，运用三角不等式和矩阵的迹相关知识，近似优化原波束成形问题；
步骤40，根据上下行链路对偶性获得对偶上行链路波束成形问题；
步骤50，运用迭代算法求解对偶上行链路波束成形问题；
步骤60，将上行链路波束成形解转换到下行链路波束成形解；
步骤70，结束。
在此说明书中，本发明已参照特定的实施实例做了描述。但是，很显然仍可以做出各种修改和变换而不背离本发明的精神和范围。因此，说明书和附图应被认为是说明性的而非限制性的。

Claims (1)

1.一种基于QoS的多小区下行MIMO鲁棒波束成形方法，该方法包括：
S1，基于QoS的多小区下行MIMO鲁棒波束成形的设计；
由C个小区组成的多小区协作下行MIMO系统，BS之间共享CSI以协作进行波束成形设计，不共享用户数据信号；假设BS均配置M根天线，用户均配置单根天线，每个BS有K个激活用户；由BSi到用户(k,j)的信道矩阵表示为信道经历时间和频率平稳衰弱，信道系数相互独立，且为零均值单位方差的复高斯随机变量；用户(k,i)接收到的信号表示为：
<mrow> <msup> <mi>z</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>h</mi> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <msup> <mi>v</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <msup> <mi>x</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>l</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mi>l</mi> <mo>&amp;NotEqual;</mo> <mi>k</mi> </mrow> <mi>K</mi> </munderover> <msubsup> <mi>h</mi> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <msup> <mi>v</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>l</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <msup> <mi>x</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>l</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>&amp;rho;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>,</mo> </mrow>
其中：为BSi为其小区内用户(l,i)设置的的发送波束成形向量；x(l,i)为BSi对用户(l,i)发送的数据信号，满足E(|x(l,i)x(l,i)|)＝1；n(k,i)是用户(k,i)接收到的噪声，其为零均值方差为σ2的复高斯白噪声；ρ(k,i)是用户(k,i)接收到的小区间干扰信号，即其它协作小区泄露到用户(k,i)的干扰信号，假设用户能够测量此值，并通过上行链路回传给BS，因此对于BS，小区间干扰值已知；用户(k,i)的SINR为：
其中：ε(k,i)＝E(|ρ(k,i)|2)为其它协作小区泄露到用户(k,i)的干扰信号功率；
考虑非理想CSI对性能的影响；采用球形信道估计模型，真实信道与估计信道关系表示如下：
<mrow> <msubsup> <mi>h</mi> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>j</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <msubsup> <mover> <mi>h</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>j</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>j</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>,</mo> </mrow>
是进行信道估计以后得到的CSI，是真实CSI，是信道估计误差，假定即信道估计不确定性区域满足半径为的球形约束；
在满足用户QoS的情况下，将小区间信号泄露功率引入优化函数中，优化问题目标函数为发射功率以及小区间信号泄露功率和，总发射功率作为效应函数，小区间泄露功率作为惩罚函数，其能够获得总发射功率以及小区间泄露功率之间的平衡，从而最大限度地优化系统性能；由于CSI不理想，为了充分保证每个服务用户的QoS，本发明考虑最差情况下的鲁棒波束成形；多小区下行MIMO波束成形问题描述为：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mi>min</mi> </mtd> <mtd> <mrow> <munder> <mi>max</mi> <mrow> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msubsup> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>j</mi> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> </msubsup> <mo>|</mo> <msubsup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>&amp;le;</mo> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mi>j</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> </mrow> </munder> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>C</mi> </munderover> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mrow> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>K</mi> </munderover> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msup> <mi>v</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>|</mo> <msup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <munderover> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>q</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munder> <mrow> <mi>t</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>&amp;NotEqual;</mo> <mi>i</mi> </mrow> <mrow> <mi>q</mi> <mo>=</mo> <mi>K</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>=</mo> <mi>C</mi> </mrow> </munderover> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>C</mi> </munderover> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>v</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mi>H</mi> </msup> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>h</mi> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mi>H</mi> </msup> <msubsup> <mi>h</mi> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <msup> <mi>v</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>s</mi> <mo>.</mo> <mi>t</mi> <mo>.</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <munder> <mi>max</mi> <mrow> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msubsup> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>j</mi> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> </msubsup> <mo>|</mo> <msubsup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>&amp;le;</mo> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mi>j</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> </mrow> </munder> <msup> <mi>&amp;gamma;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>&amp;GreaterEqual;</mo> <msup> <mi>&amp;tau;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>;</mo> </mrow>
S2，基于QoS的多小区下行MIMO鲁棒波束成形设计问题的近似估计；
该波束成形问题中，由于考虑最差情况而导致约束项中出现min和目标函数中出现max，从而加大了问题求解的复杂性；下面通过引入三角不等式和矩阵的迹相关知识，近似优化该波束成形问题；
信道估计模型代入该波束成形问题的目标函数中，且利用三角不等式，简化过程如下：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <munder> <mi>max</mi> <mrow> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msubsup> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>j</mi> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> </msubsup> <mo>|</mo> <msub> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mi>j</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> </mrow> </munder> <mo>|</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mover> <mi>h</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <msup> <mi>v</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <msup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>&amp;le;</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mo>|</mo> <msubsup> <mover> <mi>h</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <msup> <mi>v</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>|</mo> <mo>+</mo> <mo>|</mo> <msubsup> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <msup> <mi>v</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>|</mo> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>&amp;le;</mo> <mo>|</mo> <msubsup> <mover> <mi>h</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <msup> <mi>v</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <msup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <mo>|</mo> <msubsup> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <msup> <mi>v</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <msup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mo>|</mo> <msubsup> <mover> <mi>h</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <msup> <mi>v</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msubsup> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <msup> <mi>v</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>|</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>&amp;le;</mo> <mo>|</mo> <msubsup> <mover> <mi>h</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <msup> <mi>v</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <msup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msubsup> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>|</mo> <msubsup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msup> <mi>v</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>|</mo> <msubsup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msubsup> <mover> <mi>h</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>|</mo> <msub> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msub> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msubsup> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>|</mo> <msub> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msub> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msup> <mi>v</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>|</mo> <msubsup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>&amp;le;</mo> <mo>|</mo> <msubsup> <mover> <mi>h</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <msup> <mi>v</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <msup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msup> <mi>v</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>|</mo> <msubsup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msubsup> <mover> <mi>h</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>|</mo> <msub> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msub> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>;</mo> </mrow>
同样，信道估计模型代入该波束成形问题的约束项中，约束项的分母近似为：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <munder> <mi>max</mi> <mrow> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msubsup> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>j</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>|</mo> <msub> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mi>j</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> </mrow> </munder> <mo>|</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msubsup> <mover> <mi>h</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <msup> <mi>v</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>l</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <msup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>&amp;le;</mo> <mo>|</mo> <msubsup> <mover> <mi>h</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <msup> <mi>v</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>l</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <msup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msup> <mi>v</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>l</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>|</mo> <msup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msup> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msubsup> <mover> <mi>h</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>|</mo> <msub> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msub> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>;</mo> </mrow>
约束项的分子近似为：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <munder> <mi>max</mi> <mrow> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msubsup> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>j</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>|</mo> <msub> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mi>j</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> </mrow> </munder> <mo>|</mo> <msubsup> <mover> <mi>h</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <msup> <mi>v</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <msup> <mi>v</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <msup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>&amp;le;</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mo>|</mo> <msubsup> <mover> <mi>h</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <msup> <mi>v</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>|</mo> <mo>-</mo> <mo>|</mo> <msubsup> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <msup> <mi>v</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>|</mo> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>&amp;le;</mo> <mo>|</mo> <msubsup> <mover> <mi>h</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <msup> <mi>v</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <msup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msup> <mi>v</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>|</mo> <msubsup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <mn>2</mn> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msubsup> <mover> <mi>h</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>|</mo> <msub> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msub> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>;</mo> </mrow>
该波束成形问题化简为：
<mfenced open = "" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mi>min</mi> </mtd> <mtd> <mrow> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>C</mi> </munderover> <mrow> <mo>{</mo> <mrow> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>K</mi> </munderover> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msup> <mi>v</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>|</mo> <msup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <munderover> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>q</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munder> <mrow> <mi>t</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>&amp;NotEqual;</mo> <mi>i</mi> </mrow> <mrow> <mi>q</mi> <mo>=</mo> <mi>K</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>=</mo> <mi>C</mi> </mrow> </munderover> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>K</mi> </munderover> <mo>|</mo> <msubsup> <mover> <mi>h</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <msup> <mi>v</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <msup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <munderover> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>q</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munder> <mrow> <mi>t</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>&amp;NotEqual;</mo> <mi>i</mi> </mrow> <mrow> <mi>q</mi> <mo>=</mo> <mi>K</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>=</mo> <mi>C</mi> </mrow> </munderover> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>K</mi> </munderover> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msup> <mi>v</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>|</mo> <msubsup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msubsup> <mover> <mi>h</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>|</mo> <msub> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msub> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>
<mfenced open = "" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>s</mi> <mo>.</mo> <mi>t</mi> <mo>.</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mfrac> <mrow> <mo>|</mo> <msubsup> <mover> <mi>h</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <msup> <mi>v</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <msup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msup> <mi>v</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>|</mo> <msubsup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <mn>2</mn> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msubsup> <mover> <mi>h</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>|</mo> <msub> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msub> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> <mrow> <munderover> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>l</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munder> <mrow> <mi>l</mi> <mo>&amp;NotEqual;</mo> <mi>k</mi> </mrow> <msub> <mi>K</mi> <mi>i</mi> </msub> </munderover> <mo>|</mo> <msubsup> <mover> <mi>h</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <msup> <mi>v</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>l</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <msup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <munderover> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>l</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munder> <mrow> <mi>l</mi> <mo>&amp;NotEqual;</mo> <mi>k</mi> </mrow> <msub> <mi>K</mi> <mi>i</mi> </msub> </munderover> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msup> <mi>v</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>l</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>|</mo> <msubsup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msubsup> <mover> <mi>h</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>|</mo> <msub> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msub> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>+</mo> <msup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>&amp;sigma;</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>&amp;GreaterEqual;</mo> <msup> <mi>&amp;tau;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>
假设
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msubsup> <mi>&amp;alpha;</mi> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <mn>2</mn> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msubsup> <mi>h</mi> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>|</mo> <msub> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msub> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msubsup> <mi>&amp;beta;</mi> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <mn>2</mn> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msubsup> <mi>h</mi> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>|</mo> <msub> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msub> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>,</mo> </mrow>
得到近似问题为：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mi>min</mi> </mtd> <mtd> <mrow> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>C</mi> </munderover> <mrow> <mo>{</mo> <mrow> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>K</mi> </munderover> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msup> <mi>v</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>|</mo> <msup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <munderover> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>q</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munder> <mrow> <mi>t</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>&amp;NotEqual;</mo> <mi>i</mi> </mrow> <mrow> <mi>q</mi> <mo>=</mo> <mi>K</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>=</mo> <mi>C</mi> </mrow> </munderover> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>K</mi> </munderover> <mo>|</mo> <msubsup> <mover> <mi>h</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <msup> <mi>v</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <msup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <munderover> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>q</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munder> <mrow> <mi>t</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>&amp;NotEqual;</mo> <mi>i</mi> </mrow> <mrow> <mi>q</mi> <mo>=</mo> <mi>K</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>=</mo> <mi>C</mi> </mrow> </munderover> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>K</mi> </munderover> <msubsup> <mi>&amp;alpha;</mi> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msup> <mi>v</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>|</mo> <msubsup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>s</mi> <mo>.</mo> <mi>t</mi> <mo>.</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mfrac> <mrow> <mo>|</mo> <msubsup> <mover> <mi>h</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <msup> <mi>v</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <msup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>&amp;beta;</mi> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msup> <mi>v</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>|</mo> <msubsup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> <mrow> <munderover> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>l</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munder> <mrow> <mi>l</mi> <mo>&amp;NotEqual;</mo> <mi>k</mi> </mrow> <mi>K</mi> </munderover> <mo>|</mo> <msubsup> <mi>h</mi> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <msup> <mi>v</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>l</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <msup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <munderover> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>l</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munder> <mrow> <mi>l</mi> <mo>&amp;NotEqual;</mo> <mi>k</mi> </mrow> <mi>K</mi> </munderover> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msup> <mi>v</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>l</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>|</mo> <msubsup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <msubsup> <mi>&amp;alpha;</mi> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <msup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>&amp;sigma;</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>&amp;GreaterEqual;</mo> <msup> <mi>&amp;tau;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>;</mo> </mrow>
S3，迭代算法，求解估计后的波束成形设计问题的算法；
所述S3中，迭代算法为：
步骤1、上下行链路波束成形问题转换；
下行多小区MIMO协作发送波束成形问题与上行对偶链路接收波束成形问题等价，上行问题表示如下：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <munder> <mi>min</mi> <msup> <mi>&amp;lambda;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> </munder> </mtd> <mtd> <mrow> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> </mrow> </munder> <msup> <mi>&amp;lambda;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>&amp;sigma;</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>s</mi> <mo>.</mo> <mi>t</mi> <mo>.</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&amp;Lambda;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msub> <mo>&amp;GreaterEqual;</mo> <msup> <mi>&amp;tau;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msup> <mi>&amp;lambda;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>&amp;GreaterEqual;</mo> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>,</mo> </mrow>
其中Λ(k,i)表示为：
<mrow> <msub> <mi>&amp;Lambda;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <munder> <mrow> <mi>m</mi> <mi>a</mi> <mi>x</mi> </mrow> <msup> <mover> <mi>v</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> </munder> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>&amp;lambda;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mover> <mi>v</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mi>H</mi> </msup> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mover> <mi>h</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mi>H</mi> </msup> <msubsup> <mover> <mi>h</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>&amp;beta;</mi> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>&amp;rsqb;</mo> <msup> <mover> <mi>v</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mover> <mi>v</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mi>H</mi> </msup> <mo>{</mo> <mi>I</mi> <mo>+</mo> <munderover> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>q</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munder> <mrow> <mi>t</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>&amp;NotEqual;</mo> <mi>i</mi> </mrow> <mrow> <mi>q</mi> <mo>=</mo> <mi>K</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>=</mo> <mi>C</mi> </mrow> </munderover> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mover> <mi>h</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mi>H</mi> </msup> <msubsup> <mover> <mi>h</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>&amp;alpha;</mi> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>+</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>l</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>K</mi> </munderover> <msup> <mi>&amp;lambda;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>l</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mover> <mi>h</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>l</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mi>H</mi> </msup> <msubsup> <mover> <mi>h</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>l</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>&amp;alpha;</mi> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>l</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>-</mo> <msup> <mi>&amp;lambda;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msubsup> <mi>&amp;alpha;</mi> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mover> <mi>h</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mi>H</mi> </msup> <msubsup> <mover> <mi>h</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>}</mo> <msup> <mover> <mi>v</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow>
注：表示对偶上行链路接收波束成形向量，λ(k,i)是拉格朗日乘子，可以理解为上行链路中用户(k,i)的发射信号功率；
证明：下行多小区MIMO协作发送波束成形问题变换为标准SOCP问题，并利用标准凸优化工具包求解，因此对于下行波束成形问题而言，强对偶性成立；强对偶性能够确保原问题与其拉格朗日对偶问题具有相同的最优值，因此可以利用拉格朗日对偶理论，证明上述对偶性；
首先对下行问题建立拉格朗日函数：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>L</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>,</mo> <mi>&amp;lambda;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>C</mi> </munderover> <mo>{</mo> <mrow> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>K</mi> </munderover> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msup> <mi>v</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>|</mo> <msup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <munderover> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>q</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munder> <mrow> <mi>t</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>&amp;NotEqual;</mo> <mi>i</mi> </mrow> <mrow> <mi>q</mi> <mo>=</mo> <mi>K</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>=</mo> <mi>C</mi> </mrow> </munderover> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>K</mi> </munderover> <mo>|</mo> <msubsup> <mover> <mi>h</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <msup> <mi>v</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <msup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <munderover> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>q</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munder> <mrow> <mi>t</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>&amp;NotEqual;</mo> <mi>i</mi> </mrow> <mrow> <mi>q</mi> <mo>=</mo> <mi>K</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>=</mo> <mi>C</mi> </mrow> </munderover> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>K</mi> </munderover> <msubsup> <mi>&amp;alpha;</mi> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msup> <mi>v</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>|</mo> <msubsup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> <mo>}</mo> <mo>+</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> </mrow> </munder> <msup> <mi>&amp;lambda;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mrow> <msup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>&amp;sigma;</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <munderover> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>l</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munder> <mrow> <mi>l</mi> <mo>&amp;NotEqual;</mo> <mi>k</mi> </mrow> <mi>K</mi> </munderover> <mo>|</mo> <msubsup> <mover> <mi>h</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <msup> <mi>v</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>l</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <msup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <munderover> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>l</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munder> <mrow> <mi>l</mi> <mo>&amp;NotEqual;</mo> <mi>k</mi> </mrow> <mi>K</mi> </munderover> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msup> <mi>v</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>l</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>|</mo> <msubsup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <msubsup> <mi>&amp;alpha;</mi> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <msup> <mi>&amp;tau;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mo>|</mo> <msubsup> <mover> <mi>h</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <msup> <mi>v</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <msup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>&amp;beta;</mi> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msup> <mi>v</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>|</mo> <msubsup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> </mrow> </munder> <msup> <mi>&amp;lambda;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>&amp;sigma;</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> </mrow> </munder> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>v</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mi>H</mi> </msup> <msup> <mi>A</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <msup> <mi>v</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>,</mo> </mrow>
其中，λ(k,i)为拉格朗日乘子，其满足λ(k,i)≥0，A(k,i)表示如下：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msup> <mi>A</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mi>I</mi> <mo>+</mo> <munderover> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>q</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mi>t</mi> <mo>=</mo> <mi>C</mi> </mrow> </munderover> <mrow> <mi>t</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>&amp;NotEqual;</mo> <mi>i</mi> </mrow> <mrow> <mi>q</mi> <mo>=</mo> <mi>K</mi> </mrow> </munderover> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mover> <mi>h</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mi>H</mi> </msup> <msubsup> <mover> <mi>h</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>&amp;alpha;</mi> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>+</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>l</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>K</mi> </munderover> <msup> <mi>&amp;lambda;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>l</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mover> <mi>h</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>l</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mi>H</mi> </msup> <msubsup> <mover> <mi>h</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>l</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>&amp;alpha;</mi> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>l</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <msup> <mi>&amp;lambda;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mrow> <msubsup> <mi>&amp;alpha;</mi> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <msup> <mi>&amp;tau;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mover> <mi>h</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mi>H</mi> </msup> <msubsup> <mover> <mi>h</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <msup> <mi>&amp;tau;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> </mfrac> <msubsup> <mi>&amp;beta;</mi> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>;</mo> </mrow>
对偶问题的目标函数为在无约束条件下拉格朗日函数的最小值，即求得：
仅当A(k,i)为半正定矩阵时，拉格朗日函数具有最小值，且最小值为所以下行问题的拉格朗日对偶优化问题为，
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <munder> <mrow> <mi>m</mi> <mi>a</mi> <mi>x</mi> </mrow> <msup> <mi>&amp;lambda;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> </munder> </mtd> <mtd> <mrow> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> </mrow> </munder> <msup> <mi>&amp;lambda;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>&amp;sigma;</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>s</mi> <mo>.</mo> <mi>t</mi> <mo>.</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msup> <mi>A</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>&amp;GreaterEqual;</mo> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msup> <mi>&amp;lambda;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>&amp;GreaterEqual;</mo> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>;</mo> </mrow>
下面将上式转换为对偶上行链路的接收波束成形问题，假设上行链路最优的接收波束成形向量为根据半正定矩阵的定义：
<mrow> <msup> <mi>A</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>&amp;GreaterEqual;</mo> <mn>0</mn> <mo>&amp;DoubleLeftRightArrow;</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mover> <mi>v</mi> <mo>^</mo> </mover> <msup> <mo>*</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mi>H</mi> </msup> <msup> <mi>A</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mover> <mi>v</mi> <mo>^</mo> </mover> <msup> <mo>*</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>&amp;GreaterEqual;</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> </mrow>
将上式做适当变形，写成分式形式，表示为：
<mrow> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>&amp;lambda;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mover> <mi>v</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mo>*</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mi>H</mi> </msup> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mover> <mi>h</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mi>H</mi> </msup> <msubsup> <mover> <mi>h</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>&amp;beta;</mi> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>&amp;rsqb;</mo> <msup> <mover> <mi>v</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mo>*</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mover> <mi>v</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mo>*</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mi>H</mi> </msup> <mo>{</mo> <mi>I</mi> <mo>+</mo> <munderover> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>q</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munder> <mrow> <mi>t</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>&amp;NotEqual;</mo> <mi>i</mi> </mrow> <mrow> <mi>q</mi> <mo>=</mo> <mi>K</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>=</mo> <mi>C</mi> </mrow> </munderover> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mover> <mi>h</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mi>H</mi> </msup> <msubsup> <mover> <mi>h</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>&amp;alpha;</mi> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>+</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>l</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>K</mi> </munderover> <msup> <mi>&amp;lambda;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>l</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mover> <mi>h</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>l</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mi>H</mi> </msup> <msubsup> <mover> <mi>h</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>l</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>&amp;alpha;</mi> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>l</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>-</mo> <msup> <mi>&amp;lambda;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msubsup> <mi>&amp;alpha;</mi> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mover> <mi>h</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mi>H</mi> </msup> <msubsup> <mover> <mi>h</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>}</mo> <msup> <mover> <mi>v</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mo>*</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>&amp;le;</mo> <msup> <mi>&amp;tau;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> </mrow>
可以得到对偶优化问题：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <munder> <mrow> <mi>m</mi> <mi>a</mi> <mi>x</mi> </mrow> <msup> <mi>&amp;lambda;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> </munder> </mtd> <mtd> <mrow> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> </mrow> </munder> <msup> <mi>&amp;lambda;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>&amp;sigma;</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>s</mi> <mo>.</mo> <mi>t</mi> <mo>.</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mover> <mi>v</mi> <mo>^</mo> </mover> <msup> <mo>*</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mi>H</mi> </msup> <msup> <mi>A</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mover> <mi>v</mi> <mo>^</mo> </mover> <msup> <mo>*</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>&amp;GreaterEqual;</mo> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msup> <mi>&amp;lambda;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>&amp;GreaterEqual;</mo> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>,</mo> </mrow>
而对于上行波束成形问题，使得上下链路SINR最大的必定是最优接收波束成形向量上行波束成形问题重写为：
<mfenced open = "" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <munder> <mi>min</mi> <msup> <mi>&amp;lambda;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> </munder> </mtd> <mtd> <mrow> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> </mrow> </munder> <msup> <mi>&amp;lambda;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>&amp;sigma;</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>
<mfenced open = "" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>s</mi> <mo>.</mo> <mi>t</mi> <mo>.</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>&amp;lambda;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mover> <mi>v</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mo>*</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mi>H</mi> </msup> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mover> <mi>h</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mi>H</mi> </msup> <msubsup> <mover> <mi>h</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>&amp;beta;</mi> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>&amp;rsqb;</mo> <msup> <mover> <mi>v</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mo>*</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mover> <mi>v</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mo>*</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mi>H</mi> </msup> <mo>{</mo> <mi>I</mi> <mo>+</mo> <munderover> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>q</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munder> <mrow> <mi>t</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>&amp;NotEqual;</mo> <mi>i</mi> </mrow> <mrow> <mi>q</mi> <mo>=</mo> <mi>K</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>=</mo> <mi>C</mi> </mrow> </munderover> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mover> <mi>h</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mi>H</mi> </msup> <msubsup> <mover> <mi>h</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>&amp;alpha;</mi> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>+</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>l</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>K</mi> </munderover> <msup> <mi>&amp;lambda;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>l</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mover> <mi>h</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>l</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mi>H</mi> </msup> <msubsup> <mover> <mi>h</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>l</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>&amp;alpha;</mi> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>l</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>-</mo> <msup> <mi>&amp;lambda;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msubsup> <mi>&amp;alpha;</mi> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mover> <mi>h</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mi>H</mi> </msup> <msubsup> <mover> <mi>h</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>}</mo> <msup> <mover> <mi>v</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mo>*</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>
<mfenced open = "" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>&amp;GreaterEqual;</mo> <msup> <mi>&amp;tau;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>
<mfenced open = "" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msup> <mi>&amp;lambda;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>&amp;GreaterEqual;</mo> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>
上行波束成形问题和下行波束成形问题中只有优化函数中max、min和约束项中≤、≥不相同，根据凸优化对偶知识可知，上述两个问题是等价的，即拥有相同的最优值；证明完毕；
步骤2、求解上行对偶问题；
若上行链路接收波束成形向量确定，则使得上行链路接收波束成形问题获得最优值的λ(k,i)必然使得该问题的约束项等式成立，即：
<mfenced open = "" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&amp;Lambda;</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msup> <mi>&amp;tau;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>
这样可以获得C×K个等式组成的线性方程组，通过求解这个线性方程组就能够得到λ(k,i)的解，上式变形如下：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msup> <mi>&amp;lambda;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mover> <mi>v</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mi>H</mi> </msup> <mfrac> <mn>1</mn> <msup> <mi>&amp;tau;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> </mfrac> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mover> <mi>h</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mi>H</mi> </msup> <msubsup> <mover> <mi>h</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>&amp;beta;</mi> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> <msup> <mover> <mi>v</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>-</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mover> <mi>v</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mi>H</mi> </msup> <mrow> <mo>{</mo> <mrow> <munderover> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>l</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munder> <mrow> <mi>l</mi> <mo>&amp;NotEqual;</mo> <mi>k</mi> </mrow> <mi>K</mi> </munderover> <msup> <mi>&amp;lambda;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>l</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mover> <mi>h</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>l</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mi>H</mi> </msup> <msubsup> <mover> <mi>h</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>l</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>&amp;alpha;</mi> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>l</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> <msup> <mover> <mi>v</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mover> <mi>v</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mi>H</mi> </msup> <mrow> <mo>{</mo> <mrow> <mi>I</mi> <mo>+</mo> <munderover> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>q</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munder> <mrow> <mi>t</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>&amp;NotEqual;</mo> <mi>i</mi> </mrow> <mrow> <mi>q</mi> <mo>=</mo> <mi>K</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>=</mo> <mi>C</mi> </mrow> </munderover> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mover> <mi>h</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mi>H</mi> </msup> <msubsup> <mover> <mi>h</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>&amp;alpha;</mi> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> <msup> <mover> <mi>v</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>;</mo> </mrow>
把上述C×K等式组成的线性方程组写成由C个矩阵等式组成的线性方程组形式：
<mfenced open = "" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>E</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>i</mi> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>
其中Ei∈CK×K，λi∈C1×K，fi∈C1×K，定义分别如下：
<mrow> <msub> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msub> <mi>E</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> <mrow> <mi>m</mi> <mo>,</mo> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mover> <mi>v</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>m</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mi>H</mi> </msup> <mfrac> <mn>1</mn> <msup> <mi>&amp;tau;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>m</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> </mfrac> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mover> <mi>h</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>m</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mi>H</mi> </msup> <msubsup> <mover> <mi>h</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>m</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>&amp;beta;</mi> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>m</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>&amp;rsqb;</mo> <msup> <mover> <mi>v</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>m</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>m</mi> <mo>=</mo> <mi>n</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mover> <mi>v</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>m</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mi>H</mi> </msup> <mo>{</mo> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mover> <mi>h</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mi>H</mi> </msup> <msubsup> <mover> <mi>h</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>&amp;alpha;</mi> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>}</mo> <msup> <mover> <mi>v</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>m</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>m</mi> <mo>&amp;NotEqual;</mo> <mi>n</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>,</mo> </mrow>
<mrow> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>=</mo> <msup> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msup> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mover> <mi>v</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mi>H</mi> </msup> <mrow> <mo>{</mo> <mrow> <mi>I</mi> <mo>+</mo> <munderover> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>q</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munder> <mrow> <mi>t</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>&amp;NotEqual;</mo> <mi>i</mi> </mrow> <mrow> <mi>q</mi> <mo>=</mo> <mi>K</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>=</mo> <mi>C</mi> </mrow> </munderover> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mover> <mi>h</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mi>H</mi> </msup> <msubsup> <mover> <mi>h</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>&amp;alpha;</mi> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> <msup> <mover> <mi>v</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> <mi>H</mi> </msup> <mo>,</mo> <mn>...</mn> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msup> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mover> <mi>v</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>K</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mi>H</mi> </msup> <mrow> <mo>{</mo> <mrow> <mi>I</mi> <mo>+</mo> <munderover> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>q</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munder> <mrow> <mi>t</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>&amp;NotEqual;</mo> <mi>i</mi> </mrow> <mrow> <mi>q</mi> <mo>=</mo> <mi>K</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>=</mo> <mi>C</mi> </mrow> </munderover> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mover> <mi>h</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mi>H</mi> </msup> <msubsup> <mover> <mi>h</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>&amp;alpha;</mi> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> <msup> <mover> <mi>v</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>K</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> <mi>H</mi> </msup> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mi>H</mi> </msup> <mo>,</mo> </mrow>
λi＝[(λ(1,i))T,...,(λ(K,i))T]T，
因此：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msub> <mi>E</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>i</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>;</mo> </mrow>
接下来来优化若拉格朗日乘子λ(k,i)固定，则上行链路接收波束成形问题变化为求解最大的从而使得输出SINR最大，因此：
<mrow> <msup> <mover> <mi>v</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>&amp;lambda;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <msub> <mi>&amp;Phi;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>a</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msup> <mi>D</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mover> <mi>h</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mi>H</mi> </msup> <msubsup> <mover> <mi>h</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>&amp;beta;</mi> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>,</mo> </mrow>
其中，D为：
<mrow> <mi>D</mi> <mo>=</mo> <mi>I</mi> <mo>+</mo> <munderover> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>q</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munder> <mrow> <mi>t</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mi>t</mi> <mo>&amp;NotEqual;</mo> <mi>i</mi> </mrow> <mrow> <mi>q</mi> <mo>=</mo> <mi>K</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>=</mo> <mi>C</mi> </mrow> </munderover> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mover> <mi>h</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mi>H</mi> </msup> <msubsup> <mover> <mi>h</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>&amp;alpha;</mi> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> <mo>+</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>l</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>K</mi> </munderover> <msup> <mi>&amp;lambda;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>l</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mover> <mi>h</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>l</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mi>H</mi> </msup> <msubsup> <mover> <mi>h</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>l</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>&amp;alpha;</mi> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>l</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msup> <mi>&amp;lambda;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mrow> <msubsup> <mi>&amp;alpha;</mi> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mover> <mi>h</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mi>H</mi> </msup> <msubsup> <mover> <mi>h</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> </mrow>
至此，获得了上行链接收路波束成形问题的求解算法；
步骤3、将上行链路波束成形解转换到下行链路波束成形解；
下行链路最优发送波束成形v*(k,i)与对偶上行链路最优接收波束成形满足如下关系：
<mrow> <msup> <mi>v</mi> <mrow> <mo>*</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>&amp;mu;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <msup> <mover> <mi>v</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mo>*</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>&amp;mu;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>&gt;</mo> <mn>0</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mrow>
上式表明，v*(k,i)与为线性关系，若获得μ(k,i)，则即可获得原下行波束成形问题的解；下面来求解获得μ(k,i)同理，下行波束成形问题获得最优值时，其约束条件等号成立，将SINR代入到上式中，并且取等式，得到：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mo>|</mo> <msubsup> <mover> <mi>h</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <msup> <mover> <mi>v</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mo>*</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msup> <msup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>&amp;beta;</mi> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msup> <mover> <mi>v</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mo>*</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msup> <mo>|</mo> <msubsup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <msup> <mi>&amp;mu;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>-</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <munderover> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>l</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munder> <mrow> <mi>l</mi> <mo>&amp;NotEqual;</mo> <mi>k</mi> </mrow> <msub> <mi>K</mi> <mi>i</mi> </msub> </munderover> <mo>|</mo> <msubsup> <mover> <mi>h</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <msup> <mover> <mi>v</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mo>*</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mi>l</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msup> <msup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <munderover> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>l</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munder> <mrow> <mi>l</mi> <mo>&amp;NotEqual;</mo> <mi>k</mi> </mrow> <msub> <mi>K</mi> <mi>i</mi> </msub> </munderover> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msup> <mover> <mi>v</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mo>*</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mi>l</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msup> <mo>|</mo> <msubsup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <msubsup> <mi>&amp;alpha;</mi> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <msup> <mi>&amp;mu;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>&amp;sigma;</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>,</mo> </mrow>
把上述C×K个等式组成的线性方程组写成由C个矩阵等式组成的线性方程组形式：
<mfenced open = "" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>B</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>u</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>g</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>i</mi> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>
其中定义分别如下：
<mrow> <msub> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msub> <mi>B</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> <mrow> <mi>m</mi> <mo>,</mo> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>|</mo> <msubsup> <mover> <mi>h</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>m</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <msup> <mover> <mi>v</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <msup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>&amp;beta;</mi> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>m</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msup> <mover> <mi>v</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>m</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>|</mo> <msubsup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>m</mi> <mo>=</mo> <mi>n</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <munderover> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>l</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munder> <mrow> <mi>l</mi> <mo>&amp;NotEqual;</mo> <mi>k</mi> </mrow> <mi>K</mi> </munderover> <mo>|</mo> <msubsup> <mover> <mi>h</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>m</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <msup> <mover> <mi>v</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <msup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <munderover> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>l</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munder> <mrow> <mi>l</mi> <mo>&amp;NotEqual;</mo> <mi>k</mi> </mrow> <mi>K</mi> </munderover> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msup> <mover> <mi>v</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>m</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>|</mo> <msubsup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <msubsup> <mi>&amp;alpha;</mi> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>m</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>m</mi> <mo>&amp;NotEqual;</mo> <mi>n</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>,</mo> </mrow>
gi＝[(ε(1,i)+σ2)T,...,(ε(K,i)+σ2)T]T，
ui＝[(u(1,i))T,...,(u(K,i))T]T，
因此：
<mfenced open = "" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&amp;mu;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>B</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <msub> <mi>g</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>i</mi> <mo>.</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>
CN201510174723.8A 2015-04-14 2015-04-14 一种基于QoS的多小区下行MIMO鲁棒波束成形方法 Active CN104734766B (zh)

Priority Applications (1)

Application Number Priority Date Filing Date Title
CN201510174723.8A CN104734766B (zh) 2015-04-14 2015-04-14 一种基于QoS的多小区下行MIMO鲁棒波束成形方法

Applications Claiming Priority (1)

Application Number Priority Date Filing Date Title
CN201510174723.8A CN104734766B (zh) 2015-04-14 2015-04-14 一种基于QoS的多小区下行MIMO鲁棒波束成形方法

Publications (2)

Publication Number Publication Date
CN104734766A CN104734766A (zh) 2015-06-24
CN104734766B true CN104734766B (zh) 2018-05-04

Family

ID=53458249

Family Applications (1)

Application Number Title Priority Date Filing Date
CN201510174723.8A Active CN104734766B (zh) 2015-04-14 2015-04-14 一种基于QoS的多小区下行MIMO鲁棒波束成形方法

Country Status (1)

Country Link
CN (1) CN104734766B (zh)

Families Citing this family (6)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Publication number Priority date Publication date Assignee Title
WO2018027677A1 (en) * 2016-08-10 2018-02-15 Telefonaktiebolaget Lm Ericsson (Publ) Technique for data transmission in a radio access network
CN106788634A (zh) * 2017-01-13 2017-05-31 上海海事大学 多小区mimo干扰信道中的鲁棒收发机设计方法
CN107634790B (zh) * 2017-09-07 2020-11-10 深圳清华大学研究院 基于admm的多天线全双工系统分布式波束成形方法
US10523300B2 (en) 2017-09-19 2019-12-31 Qualcomm Incorporated Beam refinement techniques in millimeter wave systems
CN111181612B (zh) * 2019-12-31 2021-03-30 内蒙古大学 一种大规模mimo系统的协作波束赋型方法
CN111328144B (zh) * 2020-01-20 2023-04-18 赣江新区智慧物联研究院有限公司 无线资源分配方法、装置、可读存储介质及计算机设备

Non-Patent Citations (5)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Title
Downlink Optimization with Interference Pricing and Statistical CSI;T Le, M Nakhai;《IEEE TRANSACTIONS ON COMMUNICATIONS》;20130430;第61卷(第6期);第三节 *
Robust interference management via outage-constrained downlink beamforming in multicell networks;S Nasseri, M Nakhai;《Global Telecommunications Conference》;20131213;3470-3475 *
Robust transceiver based on worst-case SINR optimization for MIMO interfering broadcast channels with imperfect channel knowledge;L Hyun等;《Signal Processing and Communication Systems（ICSPCS）》;20131218;1-4 *
Second-Order Cone Programming For Robust Downlink Beamforming With Imperfect CSI;M Tshangini,M Nakhai;《Global Telecommunications Conference》;20131213;第3452-3457页 *
基于上下行对偶性的多用户MIMO下行链路鲁棒收发机设计;于斌等;《电子与信息学报》;20130331;第34卷(第3期);657-663 *

Also Published As

Publication number Publication date
CN104734766A (zh) 2015-06-24

Similar Documents

Publication Publication Date Title
CN104734766B (zh) 一种基于QoS的多小区下行MIMO鲁棒波束成形方法
CN105611633B (zh) 基于swipt的波束赋形方法的接收机资源分配方法
CN101807978B (zh) 基于收发机天线校准误差的多点协作鲁棒预编码方法
CN109617583B (zh) 一种预编码与功率分配联合优化方法
EP3373462A1 (en) Wireless communication method and wireless communication device
CN110169142B (zh) 上行信号发射功率控制
TW202010355A (zh) 資料傳輸方法、終端、網路設備及電腦可讀存儲介質
CN105306174B (zh) 一种基于码本设计和选择的干扰对齐实现方法及装置
US9136917B2 (en) System for controlling inter cell interference in cellular mobile system
CN102457951B (zh) 一种多小区协作通信中链路联合波束成形的方法和基站
CN102215186A (zh) 基于ls-svm的时变tdd-mimo信道互易性补偿方法
US9258785B2 (en) Uplink signal transmitting and receiving method and device in a wireless communication system
CN102882570B (zh) 移动通信网络下设备间通信的最优收发联合处理方法
US9072116B2 (en) Systems and methods for reducing complexity in modulation coding scheme (MCS) adaptation
US8891643B2 (en) Method and apparatus for allocating transmission power in multi input multi output system
CN105049100A (zh) 一种多小区mimo系统双层预编码方法
JP2017175207A (ja) 基地局、無線通信システムおよび無線通信システムのキャリブレーション方法
CN102291727B (zh) 一种分布式协作波束成形设计方法
CN104601257A (zh) 一种时分双工通信模式下多天线系统的互易性校准方法
WO2015182890A1 (ko) 에너지 효율성의 최적화를 통한 신호 전송 방법 및 기지국
Sun et al. Weighted MMSE beamforming design for weighted sum-rate maximization in coordinated multi-cell MIMO systems
CN103441789A (zh) 一种用于多小区多用户多天线系统的波束成形方法
Khoshnevis et al. Bit allocation law for multiantenna channel feedback quantization: Single-user case
CN106982085B (zh) 多小区mimo系统中块对角化辅助的鲁棒收发机设计方法
CN111726172B (zh) 通道校正的方法和装置

Legal Events

Date Code Title Description
C06 Publication
PB01 Publication
C10 Entry into substantive examination
SE01 Entry into force of request for substantive examination
CB03 Change of inventor or designer information

Inventor after: Zhang Sheying

Inventor before: Liao Yong

Inventor before: Cao Jie

Inventor before: Zhou Cuan

Inventor before: Li Yufeng

Inventor before: Zhang Shumin

CB03 Change of inventor or designer information
TA01 Transfer of patent application right

Effective date of registration: 20171222

Address after: 100000 Beijing city Chaoyang District Beiyuan Road 19, building 3, 612 square of railway construction

Applicant after: Zhang Sheying

Address before: 400044 Shapingba District Sha Street, No. 174, Chongqing

Applicant before: Chongqing University

TA01 Transfer of patent application right
TA01 Transfer of patent application right

Effective date of registration: 20180410

Address after: 100089 tower 802, No. 33, Fuxing Road, Haidian District, Beijing

Applicant after: ChinaComm Design & Consulting Co., Ltd.

Address before: 100000 Beijing city Chaoyang District Beiyuan Road 19, building 3, 612 square of railway construction

Applicant before: Zhang Sheying

TA01 Transfer of patent application right
GR01 Patent grant
GR01 Patent grant