CN103441789A - 一种用于多小区多用户多天线系统的波束成形方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种在多小区多用户多天线系统中的鲁棒性协同波束成形方法。该方法同时考虑了信道系数非理想性和收发机损伤这两种不利因素，以给定用户信干噪比下最小化发射功率为优化目标，利用信道系数误差方差矩阵的半正定性及拉格朗日对偶法，将原始的非凸优化约束转换为凸优化约束的等效优化问题，最后，利用二阶锥规划方法(SOCP)对等效问题进行求解，从而获得对非理想条件具有鲁棒性的协同波束成形。

Description

一种用于多小区多用户多天线系统的波束成形方法

技术领域

本发明属于无线通信技术领域，具体涉及一种用于多小区多用户多天线系统的波束成形方法。

背景技术

近些年来，理想信道条件下的单/多小区多用户多天线蜂窝系统的线性/非线性波束成形技术已得到了深入的研究和应用。在实际无线通信系统中，基站一般无法获取精确的信道系数信息，因此，确保非理想信道系数信息条件下的用户质量服务需求(QoS：Quality of Service)的鲁棒波束设计引起了人们广泛关注并得到了大量的研究与探讨。针对不同的信道系数误差模型，比如球形约束、椭球形约束及概率约束，人们提出了相应的鲁棒波束成形方法。

无线通信系统中除了信道系数误差影响系统性能外，射频卡中放大器的非线性、硬件的量化误差以及发射天线中失真噪声的互相关性等因素所造成的收发机损伤也是影响无线通信系统性能的因素之一。

发明内容

基于上述提出的问题，本发明提供了一种同时考虑信道系数误差和收发机损伤的用于多小区多用户系统的波束成形方法。核心思想是，根据不同的QoS约束，将原始的非凸优化约束转换为凸优化约束的等效优化问题。

具体方法步骤见具体实施方式部分。

本发明的方法同时考虑信道系数误差和收发机损伤两种不利因素，以给定用户信干噪比下最小化发射功率为优化目标，利用信道系数误差方差矩阵的半正定性及拉格朗日对偶法，根据不同的QoS约束，将原始的非凸优化约束转换为凸优化约束的等效优化问题，最后，利用二阶锥规划方法(SOCP：Second Order Conic Programming)对等效问题进行求解，从而获得对非理想条件下具有鲁棒性的协同波束成形。

附图说明

图1为本发明实施例提供的一种用于多小区多用户多天线系统的波束成形方法的应用场景；

图2为本发明实施例提供的一种用于多小区多用户多天线系统的波束成形方法的流程图；

图3为本发明实施例提供的一种用于多小区多用户多天线系统的波束成形方法的固定信道误差系数时损伤系数与实际SINR的对比图；

图4为本发明实施例提供的一种用于多小区多用户多天线系统的波束成形方法的目标SINR为2dB时损伤系数k1与目标SINR实现比例对比图；

图5为本发明实施例提供的一种用于多小区多用户多天线系统的波束成形方法的固定损伤时目标SINR与最小发射功率的对比图；

图6为本发明实施例提供的一种用于多小区多用户多天线系统的波束成形方法的固定目标SINR时损伤系数k1与最小发射功率的对比图。

具体实施方式

本发明考虑信道系数估计误差和收发机损伤的多小区多用户多天线的优化波束成形算法，具体步骤如下：

1)根据收发机的硬件状况估计出接收机损伤函数η(P_t)和发射机损伤函数υ(P_r)；

具体表达式为：

$\mathrm{\η}\left(P_t\right)=\frac{k_1}{100}{P}_t(1+{\left(\frac{P_t}{k_2}\right)}^4)\left[\sqrt{\mathrm{mW}}\right],$

P_t为发射端天线的信号强度(单位为)，

k₁、k₂根据具体的发射端硬件条件来确定。

$\mathrm{\υ}\left(P_r\right)=\frac{k_3}{100}{P}_r\left[\sqrt{\mathrm{mW}}\right],$

P_r表示接收端天线所接收到的信号强度(单位为)，

k₃根据实际的接收端硬件条件来确定。

2)初始化波束成形矩阵

表示用户MU(k，n)的波束成形矩阵的自相关矩阵，即 $W_n^k=w_n^k{\left(w_n^k\right)}^H$

表示

的共轭转置；

k为用户编号，K为用户数量；

n为基站编号，N为基站数量。

3)初始化发射端损伤矩阵

约束条件为

表示单根发射天线的信号强度；

n_t为发射天线的编号，N_t为基站的发射天线数。

4)根据统计信息，估计出信道系数误差方差矩阵的上限ε，即||Δ||≤ε，Δ为信道系数误差方差矩阵。同时根据当前的接收机反馈到发射机的信息，估计出信道系数 ${\left({\tilde{h}}_{m,n}^k\right)}_{k=1,m=1,n=1}^{\mathrm{KNN}},$

令表示估计信道系数方差矩阵；

为

的共轭转置；

m为小区编号，N表示小区数(因为假定是单基站小区，所以小区数跟基站数一样)；

5)对于问题：

$\underset{\left\{w_m^k\right\}}{\min }\underset{m,k}{\mathrm{\Σ}}{\left|\right|w_m^k\left|\right|}^2$

$s.t.\underset{\left\{{\mathrm{\Δ}}_{m,n}^k\right\}}{\min }\frac{{\left(w_m^k\right)}^H({\tilde{R}}_{m,m}^k+{\mathrm{\Δ}}_{m,m}^k)\left(w_m^k\right)}{I_1(k,m)+I_2(k,m)+I_3(k,m)+I_4(k,m)+{\mathrm{\σ}}^2}\≥{\mathrm{\γ}}_m^k$

$\left|\right|{\mathrm{\Δ}}_{m,n}^k\left|\right|\≤\mathrm{\ϵ},{\tilde{R}}_{m,n}^k+{\mathrm{\Δ}}_{m,n}^k\≥0$

$\∀k=1,...,K,\∀m,n=1,...,N.$

表示QoS约束中的SINR下限；

SINR为Signal-to-Interference-Ratio，信干噪比；

σ²表示热噪声系数；

${\tilde{R}}_{m,n}^k+{\mathrm{\Δ}}_{m,n}^k\≥0$ 表示矩阵 ${\tilde{R}}_{m,n}^k+{\mathrm{\Δ}}_{m,n}^k$ 为半正定矩阵；

其中：

$I_1(k,m)=\underset{l=1,l\≠k}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}{\left(w_m^l\right)}^H({\tilde{R}}_{m,m}^k+{\mathrm{\Δ}}_{m,m}^k)\left(w_m^l\right)$

$I_2(k,m)=\underset{n=1,n\≠m}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\underset{l=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}{\left(w_n^l\right)}^H({\tilde{R}}_{m,n}^k+{\mathrm{\Δ}}_{m,n}^k)\left(w_n^l\right)$

$I_3(k,m)=\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{\left(h_{m,n}^k\right)}^H{C}_n\left(h_{m,n}^k\right)$

$I_4(k,m)={\left(\frac{k3}{100}\right)}^2\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\underset{l=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}{\left(w_n^l\right)}^H({\tilde{R}}_{m,n}^k+{\mathrm{\Δ}}_{m,n}^k)\left(w_n^l\right)$

可以转换为以下优化方程(P1)：

给定 ${\left({\tilde{h}}_{m,n}^k\right)}_{k=1,m=1,n=1}^{\mathrm{KNN}}.$ ε、 ${\left({\mathrm{\γ}}_m^k\right)}_{k=1,m=1}^{\mathrm{KN}},$ 令 $A_n^k=W_n^k-{\mathrm{\γ}}_n^k\underset{l=1,l\≠k}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}{W}_n^l,$

$\underset{\{w_m^k,s_m^k\}}{\min }\underset{m,k}{\mathrm{\Σ}}\mathrm{tr}\left(W_m^k\right)$

$s.t.-\mathrm{tr}\left({\tilde{R}}_{m,m}^k(S_m^k-A_m^k)\right)-\mathrm{\ϵ}\left|\right|S_m^k-A_m^k\left|\right|\≥$

${\mathrm{\γ}}_m^k(\underset{n=1,n\≠m}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\underset{l=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{tr}\left({\tilde{R}}_{m,n}^k{W}_n^l\right)+\mathrm{\ϵ}|\left|W_n^l\right|\left|\right)+$

${\mathrm{\γ}}_m^k(\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{tr}\left({\tilde{R}}_{m,n}^k{C}_n\right)+\mathrm{\ϵ}|\left|C_n\right|\left|\right)+{\mathrm{\γ}}_m^k{\mathrm{\σ}}^2+---\left(P1\right)$

${\mathrm{\γ}}_m^k({\left(\frac{k_3}{100}\right)}^2\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\underset{l=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{tr}\left({\tilde{R}}_{m,n}^k{W}_n^l\right)+\mathrm{\ϵ}|\left|W_n^l\right|\left|\right),\∀m,n,k$

$t_{n,n_t}\≥{\mathrm{\η}}^2\left(X_{n,n_t}\right),\∀n,n_t$

$S_m^k\≥0,W_m^k\≥0,\∀m,k$

根据求解出的

的秩，如果

则

的主特征向量就是最优解；如果

则需要利用标准随机化法构造一个秩为1并且近似于

的矩阵，进而获得最优解；

下面对优化方程P1给出相应的说明和推导：

考虑有N个小区的蜂窝网络，其中每小区包含一个N_t根发射天线的基站和K个单天线用户。不妨假设，MU(k，m)表示第m个小区的第k个用户；，BS(m)表示第m个小区的基站。MU(k，m)接收信号表示为：

$z_m^k=\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{\left(h_{m,n}^k\right)}^H(\underset{l=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}{w}_n^l{s}_n^l+z_n^{\left(t\right)})+n_m^{k\left(r\right)}---\left(1\right)$

其中表示发送给MU(l，n)的零均值、单位方差的信号，

表示相应的波束成形向量；

表示MU(k，m)和BS(n)之间信道；

是发射机损伤所造成的加性“发射失真”，“失真”是由符合高斯分布或者累加和为高斯分布的残余损伤组成。通常，人们将其每个元素的分布模拟成循环对称复高斯分布，且其方差与相应的发射能量相关，

服从均值为0，方差为C_n的复高斯分布，即其中：

其中

为第n个基站的波束成形矩阵；||·||_F表示Frobenius范数；矩阵

表示除了第n_t个对角线元素为1外、其余所有元素均为0的矩阵；所以

这里利用SOCP的技巧，将C_n重新定义为：

假设基站只能获得不精确信道系数方差信息，即基站所获得的信道系数方差信息存在一定误差(主要是受反馈链路限制的量化误差、信道系数误差等因素引起)。令

表示MU(k，m)和BS(n)之间精确信道系数方差矩阵，

表示MU(k，m)和BS(n)之间的估计信道系数方差矩阵，他们之间的相应关系表示为：

$R_{m,n}^k={\tilde{R}}_{m,n}^k+{\mathrm{\Δ}}_{m,n}^k---\left(3\right)$

其中，

表示MU(k，m)和BS(n)之间的信道系数误差方差矩阵且

这样，MU(k，m)的SINR表示为：

${\mathrm{SINR}}_m^k=\frac{{\left(w_m^k\right)}^H({\tilde{R}}_{m,m}^k+{\mathrm{\Δ}}_{m,m}^k)\left(w_m^k\right)}{I_1(k,m)+I_2(k,m)+I_3(k,m)+I_4(k,m)+{\mathrm{\σ}}^2}---\left(4\right)$

其中：

$I_1(k,m)=\underset{l=1,l\≠k}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}{\left(w_m^l\right)}^H({\tilde{R}}_{m,m}^k+{\mathrm{\Δ}}_{m,m}^k)\left(w_m^l\right)$

$I_2(k,m)=\underset{n=1,n\≠m}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\underset{l=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}{\left(w_n^l\right)}^H({\tilde{R}}_{m,n}^k+{\mathrm{\Δ}}_{m,n}^k)\left(w_n^l\right)$

$I_3(k,m)=\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{\left(h_{m,n}^k\right)}^H{C}_n\left(h_{m,n}^k\right)$

$I_4(k,m)={\left(\frac{k3}{100}\right)}^2\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\underset{l=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}{\left(w_n^l\right)}^H({\tilde{R}}_{m,n}^k+{\mathrm{\Δ}}_{m,n}^k)\left(w_n^l\right)$

I₁(k，m)和I₂(k，m)分别是MU(k，m)的小区内干扰和小区间干扰；I₃(k，m)和I₄(k，m)分别是MU(k，m)的发射端损伤和接收端损伤。

本发明采用满足一定用户QoS要求的最小化总下行发射功率为优化目标；即数学表达式描述为以下两种形式：

$\underset{\left\{w_m^K\right\}}{\min }\underset{m,k}{\mathrm{\Σ}}{\left|\right|w_m^k\left|\right|}^2$

$s.t.\underset{\left\{{\mathrm{\Δ}}_{m,n}^k\right\}}{\min }\frac{{\left(w_m^k\right)}^H({\tilde{R}}_{m,m}^k+{\mathrm{\Δ}}_{m,m}^k)\left(w_m^k\right)}{I_1(k,m)+I_2(k,m)+I_3(k,m)+I_4(k,m)+{\mathrm{\σ}}^2}\≥{\mathrm{\γ}}_m^k---\left(5\right)$

$\left|\right|{\mathrm{\Δ}}_{m,n}^k\left|\right|\≤\mathrm{\ϵ},{\tilde{R}}_{m,n}^k+{\mathrm{\Δ}}_{m,n}^k\≥0$

$\∀k=1,...,K,\∀m,n=1,...,N.$

和

$\underset{\left\{w_m^K\right\}}{\min }\underset{m,k}{\mathrm{\Σ}}{\left|\right|w_m^k\left|\right|}^2$

$s.t.\frac{\underset{\left\{{\mathrm{\Δ}}_{m,n}^k\right\}}{\min }{\left(w_m^k\right)}^H({\tilde{R}}_{m,m}^k+{\mathrm{\Δ}}_{m,m}^k)\left(w_m^k\right)}{\underset{\left\{{\mathrm{\Δ}}_{m,n}^k\right\}}{\max }{I}_1(k,m)+I_2(k,m)+I_3(k,m)+I_4(k,m)+{\mathrm{\σ}}^2}\≥{\mathrm{\γ}}_m^k---\left(6\right)$

$\left|\right|{\mathrm{\Δ}}_{m,n}^k\left|\right|\≤\mathrm{\ϵ},\∀k=1,...,K,\∀m,n=1,...,N$

优化问题(5)和优化问题(6)中的非凸鲁棒约束条件使这两个优化问题成为非凸优化问题，而且二者均是NP优化问题，通常人们很难获得其最优解。为了有效求解上述问题，下面，我们先将上述两个优化问题中的非凸约束转换成凸约束，然后将原始优化问题转换成相对比较容易求解的形式。

优化问题(5)中的优化目标是在确保每个用户在所有可能的信道系数估计方差矩阵都能满足一定QoS要求条件下，最小化发射功率的同时考虑了

的半正定性。定义

并且利用等式w^HAw=tr(Aww^H)，优化目标可以改写为

优化问题(5)的QoS约束可以写成如下：

$\underset{\left\{{\mathrm{\Δ}}_{m,n}^k\right\}}{\min }\frac{\mathrm{tr}\left(({\tilde{R}}_{m,m}^k+{\mathrm{\Δ}}_{m,m}^k)\left(w_m^l\right)\right)}{I_{\mathrm{total}}(k,m)+{\mathrm{\σ}}^2}\≥{\mathrm{\γ}}_m^k---\left(7\right)$

其中：

$I_{\mathrm{total}}(k,m)=I_1(k,m)+I_2(k,m)+I_3(k,m)+I_4(k,m)$

$=\underset{l=1,l\≠k}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{tr}\left(({\tilde{R}}_{m,m}^k+{\mathrm{\Δ}}_{m,m}^k)W_m^l\right)+\underset{n=1,n\≠m}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\underset{l=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{tr}\left(({\tilde{R}}_{m,n}^k+{\mathrm{\Δ}}_{m,n}^k)W_n^l\right)+---\left(8\right)$

$\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{tr}\left(({\tilde{R}}_{m,n}^k+{\mathrm{\Δ}}_{m,n}^k)C_n\right)+{\left(\frac{k_3}{100}\right)}^2\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\underset{l=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{tr}\left(({\tilde{R}}_{m,n}^k+{\mathrm{\Δ}}_{m,n}^k)W_n^l\right)$

方程(8)可以写成如下：

$\underset{\left\{{\mathrm{\Δ}}_{m,n}^k\right\}}{\min }\mathrm{tr}\left(({\tilde{R}}_{m,m}^k+{\mathrm{\Δ}}_{m,m}^k)(W_m^k-{\mathrm{\γ}}_m^k\underset{l=1,l\≠k}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}{W}_m^l)\right)\≥$

${\mathrm{\γ}}_m^k\underset{n=1,n\≠m}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\underset{l=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}\underset{\left\{{\mathrm{\Δ}}_{m,n}^k\right\}}{\max }\mathrm{tr}\left(({\tilde{R}}_{m,n}^k+{\mathrm{\Δ}}_{m,n}^k)\left(W_n^l\right)\right)+$          (9)

${\mathrm{\γ}}_m^k\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\underset{\left\{{\mathrm{\Δ}}_{m,n}^k\right\}}{\max }\mathrm{tr}\left(({\tilde{R}}_{m,n}^k+{\mathrm{\Δ}}_{m,n}^k)\left(C_n\right)\right)+{\mathrm{\γ}}_m^k{\mathrm{\σ}}^2+$

${\mathrm{\γ}}_m^k{\left(\frac{k_3}{100}\right)}^2\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\underset{l=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}\underset{\left\{{\mathrm{\Δ}}_{m,n}^k\right\}}{\max }\mathrm{tr}\left(({\tilde{R}}_{m,n}^k+{\mathrm{\Δ}}_{m,n}^k)\left(W_n^l\right)\right)$

为了继续简化(9)引用以下两个引理：

引理1：优化问题

$\underset{\left\{\mathrm{\Δ}\right\}}{\min }\mathrm{tr}\left(A(R+\mathrm{\Δ})\right)$                   （10）

$s.t.\left|\right|\mathrm{\Δ}\left|\right|\≤\mathrm{\ϵ},R+\mathrm{\Δ}\≥0$

等价于优化问题

$\underset{\left\{s\right\}}{\max }-\mathrm{tr}\left(R(S-A)\right)-\mathrm{\ϵ}\left|\right|(S-A)\left|\right|,?S\≥0---\left(11\right)$

引理2：优化问题

$\underset{\mathrm{\Δ}}{\max }\mathrm{tr}\left(B(R+\mathrm{\Δ})\right)$                （12）

$s.t.\left|\right|\mathrm{\Δ}\left|\right|\≤\mathrm{\ϵ},R+\mathrm{\Δ}\≥0,B\≥0$

的解为：

tr(RB)+ε||B||    (13)

由上述两个引理可知，方程(9)等价于如下方程：

$\underset{\{S_m^k\≥0\}}{\max }-\mathrm{tr}\left({\tilde{R}}_{m,m}^k(S_m^k-A_m^k)\right)-\mathrm{\ϵ}\left|\right|S_m^k-A_m^k\left|\right|\≥$

${\mathrm{\γ}}_m^k(\underset{n=1,n\≠m}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\underset{l=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{tr}\left({\tilde{R}}_{m,n}^k{W}_n^l\right)+\mathrm{\ϵ}|\left|W_n^l\right|\left|\right)+$         (14)

${\mathrm{\γ}}_m^k(\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{tr}\left({\tilde{R}}_{m,n}^k{C}_n\right)+\mathrm{\ϵ}|\left|C_n\right|\left|\right)+{\mathrm{\γ}}_m^k{\mathrm{\σ}}^2+$

${\mathrm{\γ}}_m^k({\left(\frac{k_3}{100}\right)}^2\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\underset{l=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{tr}\left({\tilde{R}}_{m,n}^k{W}_n^l\right)+\mathrm{\ϵ}|\left|W_n^l\right|\left|\right)$

其中：

而且，方程(14)成立的条件是当且仅当存在一个

使得

$-\mathrm{tr}\left({\tilde{R}}_{m,m}^k(S_m^k-A_m^k)\right)-\mathrm{\ϵ}\left|\right|S_m^k-A_m^k\left|\right|\≥$

${\mathrm{\γ}}_m^k(\underset{n=1,n\≠m}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\underset{l=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{tr}\left({\tilde{R}}_{m,n}^k{W}_n^l\right)+\mathrm{\ϵ}|\left|W_n^l\right|\left|\right)+$

${\mathrm{\γ}}_m^k(\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{tr}\left({\tilde{R}}_{m,n}^k{C}_n\right)+\mathrm{\ϵ}|\left|C_n\right|\left|\right)+{\mathrm{\γ}}_m^k{\mathrm{\σ}}^2+$        (15)

${\mathrm{\γ}}_m^k({\left(\frac{k_3}{100}\right)}^2\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\underset{l=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{tr}\left({\tilde{R}}_{m,n}^k{W}_n^l\right)+\mathrm{\ϵ}|\left|W_n^l\right|\left|\right)$

成立。这样，非凸问题QoS约束可转换成凸约束(15)，进而优化问题(5)可以写成如下形式：

$\underset{\{w_m^k,s_m^k\}}{\min }\underset{m,k}{\mathrm{\Σ}}\mathrm{tr}\left(W_m^k\right)$

$s.t.\mathrm{Constraint}\left(15\right),S_m^k\≥0,W_m^k\≥0,$                      (16)

$\mathrm{Rank}\left(W_m^k\right)=1,k=1,...,K,m=1,...,N$

虽然上述优化问题(16)中的QoS约束是凸约束，但秩约束仍是非凸约束，即优化问题(16)也是非凸优化问题。为了有效求解上述优化问题，我们通过释放秩约束把优化问题(16)转化成如下凸优化问题：

$\underset{\{w_m^k,s_m^k\}}{\min }\underset{m,k}{\mathrm{\Σ}}\mathrm{tr}\left(W_m^k\right)$

$s.t.\mathrm{Constraint}\left(15\right),\∀n,m,k$

$t_{n,n_t}\≥{\mathrm{\η}}^2\left(\sqrt{\underset{k=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}{W}_n^k(n_t,n_t)}\right)\∀n,n_t,k$         (17)

$S_m^k\≥0,W_m^k\≥0,\∀m,k$

这样，优化问题(17)可以利用经典的二阶锥规划方法(SOCP：Second Order ConicProgramming)求解，此求解方法即为本发明的第一种方法，称为方法一。如果利用SOCP求解所获得的解

秩不为1，则需要利用标准随机化法构造一个秩为1并且近似于

的矩阵，进而获得原始优化问题(17)的解；如果利用SOCP求解所获得的解

秩为1，则

的主特征向量就是原始优化问题(5)的最优解。

综上所述，方法一的步骤可以概括如下：

1)根据收发机的硬件状况估计出接收机损伤函数η(P_t)和发射机损伤函数υ(P_r)，如图2①；

2)初始化波束成形矩阵

表示用户MU(k，n)的波束成形矩阵

的自相关矩阵，即 $W_n^k=w_n^k{\left(w_n^k\right)}^H,$ 如图2②

3)初始化发射端损伤矩阵

约束条件为

表示单根发射天线的信号强度，如图2③；

4)根据统计信息，估计出信道系数误差方差矩阵的上限ε，即||Δ||≤ε，Δ为信道系数误差方差矩阵。同时根据当前的接收机反馈到发射机的信息，估计出信道系数 ${\left({\tilde{h}}_{m,n}^k\right)}_{k=1,m=1,n=1}^{\begin{array}{ccc}K& N& N\end{array}},$ 令 ${\tilde{R}}_{m,n}^k={\tilde{h}}_{m,n}^k{\left({\tilde{h}}_{m,n}^k\right)}^H,$ 如图2④；

5)给定 ${\left({\tilde{h}}_{m,n}^k\right)}_{k=1,m=1,n=1}^{\begin{array}{ccc}K& N& N\end{array}},$ ε、 ${\left\{{\mathrm{\γ}}_m^k\right\}}_{k=1,m=1}^{\begin{array}{cc}K& N\end{array}}$ 令 $A_n^k=W_n^k-{\mathrm{\γ}}_n^k\underset{l=1,l\≠k}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}{W}_n^l,$

$\underset{\{w_m^k,s_m^k\}}{\min }\underset{m,k}{\mathrm{\Σ}}\mathrm{tr}\left(W_m^k\right)$

$s.t.-\mathrm{tr}\left({\tilde{R}}_{m,m}^k(S_m^k-A_m^k)\right)-\mathrm{\ϵ}\left|\right|S_m^k-A_m^k\left|\right|\≥$

${\mathrm{\γ}}_m^k(\underset{n=1,n\≠m}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\underset{l=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{tr}\left({\tilde{R}}_{m,n}^k{W}_n^l\right)+\mathrm{\ϵ}|\left|W_n^l\right|\left|\right)+$

${\mathrm{\γ}}_m^k(\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{tr}\left({\tilde{R}}_{m,n}^k{C}_n\right)+\mathrm{\ϵ}|\left|C_n\right|\left|\right)+{\mathrm{\γ}}_m^k{\mathrm{\σ}}^2+$

${\mathrm{\γ}}_m^k({\left(\frac{k_3}{100}\right)}^2\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\underset{l=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{tr}\left({\tilde{R}}_{m,n}^k{W}_n^l\right)+\mathrm{\ϵ}|\left|W_n^l\right|\left|\right),\∀m,n,k$

$t_{n,n_t}\≥{\mathrm{\η}}^2\left(X_{n,n_t}\right),\∀n,n_t$

$S_m^k\≥0,W_m^k\≥0,\∀m,k$

如图2⑤

根据求解出的

的秩，如果

则

的主特征向量就是最优解；如果

则需要利用标准随机化法构造一个秩为1并且近似于

的矩阵，进而获得最优解，如图2⑥⑦⑧。

下面就优化方程P2给出相应的说明和推导：

类似于优化问题(5)中的QoS约束，优化问题(6)中的QoS约束也是非凸约束，因此，这里，我们也采用相似的思路将这个非凸约束转化成凸约束形式。方程(6)可等价如下形式：

$\frac{\underset{\left\{{\mathrm{\Δ}}_{m,n}^k\right\}}{\min }\mathrm{tr}\left(({\tilde{R}}_{m,m}^k+{\mathrm{\Δ}}_{m,m}^k)\left(W_m^l\right)\right)}{\underset{\left\{{\mathrm{\Δ}}_{m,n}^k\right\}}{\max }{I}_{\mathrm{total}}(k,m)+{\mathrm{\σ}}^2}\≥{\mathrm{\γ}}_m^k---\left(18\right)$

其中I_total(k，m)如式(8)定义；为了进一步简化式(18)，引用以下两个引理：

引理3：

$\underset{\left|\right|{\mathrm{\Δ}}_{m,n}^k\left|\right|\≤\mathrm{\α}}{\min }\mathrm{tr}\left((R_{m,n}^k+{\mathrm{\Δ}}_{m,n}^k)\left(W_m^l\right)\right)=\mathrm{tr}\left((R_{m,n}^k-\mathrm{\αI})\left(W_m^l\right)\right)---\left(19\right)$

引理4：

$\underset{\left|\right|{\mathrm{\Δ}}_{m,n}^k\left|\right|\≤\mathrm{\β}}{\max }\mathrm{tr}\left((R_{m,n}^k+{\mathrm{\Δ}}_{m,n}^k)\left(W_m^l\right)\right)=\mathrm{tr}\left((R_{m,n}^k+\mathrm{\βI})\left(W_m^l\right)\right)$

利用上述两个引理，方程(18)可以转化为：

$\mathrm{tr}\left((R_{m,m}^k-\mathrm{\ϵI})\left(W_m^l\right)\right)\≥{\mathrm{\γ}}_m^k(I_{\mathrm{total}}^{\′}(k,m)+{\mathrm{\σ}}^2)---\left(20\right)$

其中：

I′_total(k，m)=I′₁(k，m)+I′₂(k，m)+I′₃(k，m)+I′₄(k，m)

$=\underset{l=1,l\≠k}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{tr}\left(({\tilde{R}}_{m,m}^k+\mathrm{\ϵI})W_m^l\right)+\underset{n=1,n\≠m}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\underset{l=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{tr}\left(({\tilde{R}}_{m,n}^k+\mathrm{\ϵI})W_n^l\right)+---\left(21\right)$

$\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{tr}\left(({\tilde{R}}_{m,n}^k+\mathrm{\ϵI})C_n\right)+{\left(\frac{k_3}{100}\right)}^2\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\underset{l=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{tr}\left(({\tilde{R}}_{m,n}^k+\mathrm{\ϵI})W_n^l\right)$

这样，优化问题(6)可以写成如下形式：

$\underset{\left\{w_m^k\right\}}{\min }\underset{m,k}{\mathrm{\Σ}}\mathrm{tr}\left(W_m^k\right)$

$s.t.\mathrm{tr}\left((R_{m,m}^k-\mathrm{\αI})\left(W_m^l\right)\right)\≥{\mathrm{\γ}}_m^k(\underset{l=1,l\≠k}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{tr}\left(({\tilde{R}}_{m,m}^k+\mathrm{\ϵI})W_m^l\right)+$

${\mathrm{\γ}}_m^k\left(\underset{n=1,n\≠m}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\underset{l=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{tr}\left(({\tilde{R}}_{m,n}^k+\mathrm{\ϵI})W_n^l\right)\right)+{\mathrm{\γ}}_m^k\left(\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{tr}\left(({\tilde{R}}_{m,n}^k+\mathrm{\ϵI})C_n\right)\right)+---\left(22\right)$

${\mathrm{\γ}}_m^k({\left(\frac{k_3}{100}\right)}^2\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\underset{l=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{tr}\left(({\tilde{R}}_{m,n}^k+\mathrm{\ϵI})W_n^l\right)+{\mathrm{\σ}}^2),\∀n,m,k$

$t_{n,n_t}\≥{\mathrm{\η}}^2\left(X_{n,n_t}\right),\∀n,n_t$

$W_m^k\≥0,\∀n,m,k$

根据求解出的的秩，如果

则

的主特征向量就是最优解；如果

则需要利用标准随机化法构造一个秩为1并且近似于

的矩阵，进而获得最优解。

类似优化问题(16)，上述优化问题可以采用相似的方法求解，此求解方法即为本发明的第二种方法，称为方法二。

类似于方法一，方法二的步骤可以概括如下：

1)根据收发机的硬件状况估计出接收机损伤函数η(P_t)和发射机损伤函数υ(P_r)；

2)初始化波束成形矩阵

表示用户MU(k，n)的波束成形矩阵

的自相关矩阵，即 $W_n^k=w_n^k{\left(w_n^k\right)}^H$

3)初始化发射端损伤矩阵

约束条件为

表示单根发射天线的信号强度；

4)根据统计信息，估计出信道系数误差方差矩阵的上限ε，即||Δ||≤ε，Δ为信道系数误差方差矩阵。同时根据当前的接收机反馈到发射机的信息，估计出信道系数 ${\left({\tilde{h}}_{m,n}^k\right)}_{k=1,m=1,n=1}^{\mathrm{KNN}},$ 令 ${\tilde{R}}_{m,n}^k={\tilde{h}}_{m,n}^k{\left({\tilde{h}}_{m,n}^k\right)}^H;$

5)给定 ${\left({\tilde{h}}_{m,n}^k\right)}_{k=1,m=1n=1}^{\mathrm{KNN}},$ ${\left\{{\mathrm{\γ}}_m^k\right\}}_{k=1,m=1}^{\mathrm{KN}},$ 令 $A_n^k=W_n^k-{\mathrm{\γ}}_n^k\underset{l=1,l\≠k}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}{W}_n^l,$

$\underset{\left\{w_m^k\right\}}{\min }\underset{m,k}{\mathrm{\Σ}}\mathrm{tr}\left(W_m^k\right)$

$s.t.\mathrm{tr}\left((R_{m,m}^k-\mathrm{\αI})\left(W_m^l\right)\right)\≥{\mathrm{\γ}}_m^k\left(\underset{l=1,l\≠k}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{tr}\left(({\tilde{R}}_{m,m}^k+\mathrm{\ϵI})W_m^l\right)\right)+$

${\mathrm{\γ}}_m^k\left(\underset{n=1,n\≠m}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\underset{l=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{tr}\left(({\tilde{R}}_{m,n}^k+\mathrm{\ϵI})W_n^l\right)\right)+{\mathrm{\γ}}_m^k\left(\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{tr}\left(({\tilde{R}}_{m,n}^k+\mathrm{\ϵI})C_n\right)\right)+---\left(P2\right)$

${\mathrm{\γ}}_m^k({\left(\frac{k_3}{100}\right)}^2\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\underset{l=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{tr}\left(({\tilde{R}}_{m,n}^k+\mathrm{\ϵI})W_n^l\right)+{\mathrm{\σ}}^2),\∀n,m,k$

$t_{n,n_t}\≥{\mathrm{\η}}^2\left(X_{n,n_t}\right),\∀n,n_t$

$W_m^k\≥0,\∀n,m,k$

根据求解出的

的秩，如果

则

的主特征向量就是最优解；如果

则需要利用标准随机化法构造一个秩为1并且近似于

的矩阵，进而获得最优解。

相对优化问题(6)的鲁棒约束凸转化方法，在优化问题(5)的鲁棒约束凸转化过程中多引入了正定矩阵变量，从SOCP复杂度分析可以知道方法一的复杂度要比方法二的复杂度高；但是方法一比方法二能获得更好的性能。图3-5给出了上述两种方法和不考虑信道误差以及不考虑收发机损伤的情况下的性能对比图。所采用的仿真参数如表1。

表1：仿真参数

参数	值	参数	值
				小尺度衰落分布	CN(0，I)	阴影衰落的标准偏差	8dB
接收天线增益	0dB	距离d(Km)的路径损失	128.1+37.61og10(d)
				载频/下行链路带宽	2GHz/10MHz	穿入损失(室内用户)	20dB
子载波数/带宽	600/15kHz	噪声功率σ2	-127dBm

Claims (2)

1.一种用于多小区多用户多天线系统的波束成形方法，其包括以下步骤：

1)根据收发机的硬件状况估计出接收机损伤函数η(P_t)和发射机损伤函数υ(P_r)；

具体表达式为：

$\mathrm{\η}\left(P_t\right)=\frac{k_1}{100}{P}_t(1+{\left(\frac{P_t}{k_2}\right)}^4)\left[\sqrt{\mathrm{mW}}\right],$

P_t为发射端天线的信号强度(单位为

)，

k₁、k₂根据具体的发射端硬件条件来确定。

$\mathrm{\υ}\left(P_r\right)=\frac{k_3}{100}{P}_r,\left[\sqrt{\mathrm{mW}}\right],$

P_r表示接收端天线所接收到的信号强度(单位为

)，

k₃根据实际的接收端硬件条件来确定。

2)初始化波束成形矩阵

表示用户MU(k，n)的波束成形矩阵

的自相关矩阵，即 $W_n^k=w_n^k{\left(w_n^k\right)}^H$

MU(k，n)表示第n个小区的第k个用户；

表示

的共轭转置；

k为用户编号，K为用户数量；

n为基站编号，N为基站数量。

3)初始化发射端损伤矩阵

约束条件为

表示单根发射天线的信号强度；

n_t为发射天线的编号，N_t为基站的发射天线数。

4)根据统计信息，估计出信道系数误差方差矩阵的上限ε，即||Δ||≤ε，Δ为信道系数误差方差矩阵。同时根据当前的接收机反馈到发射机的信息，估计出信道系数 ${\left({\tilde{h}}_{m,n}^k\right)}_{k=1,m=1,n=1}^{\mathrm{KNN}},$

令

表示估计信道系数方差矩阵；

为

的共轭转置；

m为小区编号，N表示小区数(因为假定是单基站小区，所以小区数跟基站数一样)；

5)对于问题：

$\underset{\left\{w_m^k\right\}}{\min }\underset{m,k}{\mathrm{\Σ}}{\left|\right|w_m^k\left|\right|}^2$

$s.t.\underset{\left\{{\mathrm{\Δ}}_{m,n}^k\right\}}{\min }\frac{{\left(w_m^k\right)}^H({\tilde{R}}_{m,m}^k+{\mathrm{\Δ}}_{m,m}^k)\left(w_m^k\right)}{I_1(k,m)+I_2(k,m)+I_3(k,m)+I_4(k,m)+{\mathrm{\σ}}^2}\≥{\mathrm{\γ}}_m^k$

$\left|\right|{\mathrm{\Δ}}_{m,n}^k\left|\right|\≤\mathrm{\ϵ},{\tilde{R}}_{m,n}^k+{\mathrm{\Δ}}_{m,n}^k\≥0$

$\∀k=1,...,K,\∀m,n=1,...,N.$

表示QoS约束中的SINR下限；

SINR为Signal-to-Interfefence-Ratio，信干噪比；

σ²表示热噪声系数；

${\tilde{R}}_{m,n}^k+{\mathrm{\Δ}}_{m,n}^k\≥0$ 表示矩阵 ${\tilde{R}}_{m,n}^k+{\mathrm{\Δ}}_{m,n}^k$ 为半正定矩阵；

其中：

$I_1(k,m)=\underset{l=1,l\≠k}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}{\left(w_m^l\right)}^H({\tilde{R}}_{m,m}^k+{\mathrm{\Δ}}_{m,m}^k)\left(w_m^l\right)$

$I_2(k,m)=\underset{n=1,n\≠m}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\underset{l=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}{\left(w_n^l\right)}^H({\tilde{R}}_{m,n}^k+{\mathrm{\Δ}}_{m,n}^k)\left(w_n^l\right)$

$I_3(k,m)=\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{\left(h_{m,n}^k\right)}^H{C}_n\left(h_{m,n}^k\right)$

$I_4(k,m)={\left(\frac{k3}{100}\right)}^2\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\underset{l=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}{\left(w_n^l\right)}^H({\tilde{R}}_{m,n}^k+{\mathrm{\Δ}}_{m,n}^k)\left(w_n^l\right)$

可以转换为以下优化方程(P1)：

给定 ${\left({\tilde{h}}_{m,n}^k\right)}_{k=1,m=1,n=1}^{\mathrm{KNN}}$ 、ε、 ${\left\{{\mathrm{\γ}}_m^k\right\}}_{k=1,m=1}^{\mathrm{KN}},$ 令 $A_n^k=W_n^k-{\mathrm{\γ}}_n^k\underset{l=1,l\≠k}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}{W}_n^l,$

$\underset{\{w_m^k,s_m^k\}}{\min }\underset{m,k}{\mathrm{\Σ}}\mathrm{tr}\left(W_m^k\right)$

$s.t.-\mathrm{tr}\left({\tilde{R}}_{m,m}^k(S_m^k-A_m^k)\right)-\mathrm{\ϵ}\left|\right|S_m^k-A_m^k\left|\right|\≥$

${\mathrm{\γ}}_m^k(\underset{n=1,n\≠m}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\underset{l=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{tr}\left({\tilde{R}}_{m,n}^k{W}_n^l\right)+\mathrm{\ϵ}|\left|W_n^l\right|\left|\right)+$

${\mathrm{\γ}}_m^k(\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{tr}\left({\tilde{R}}_{m,n}^k{C}_n\right)+\mathrm{\ϵ}|\left|C_n\right|\left|\right)+{\mathrm{\γ}}_m^k{\mathrm{\σ}}^2+---\left(P1\right)$

${\mathrm{\γ}}_m^k({\left(\frac{k_3}{100}\right)}^2\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\underset{l=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{tr}\left({\tilde{R}}_{m,n}^k{W}_n^l\right)+\mathrm{\ϵ}|\left|W_n^l\right|\left|\right),\∀m,n,k$

${t_{n,n}}_t\≥{\mathrm{\η}}^2\left({X_{n,n}}_t\right),\∀n,n_t$

$S_m^k\≥0,W_m^k\≥0,\∀m,k$

根据求解出的的秩，如果

则

的主特征向量就是最优解；如果

则需要利用标准随机化法构造一个秩为1并且近似于

的矩阵，进而获得最优解。

2.根据权利要求1所述的用于多小区多用户多天线系统的波束成形方法，其中步骤5)中可以对所述问题转化为以下优化方程(P2)：

给定 ${\left({\tilde{h}}_{m,n}^k\right)}_{k=1,m=1,n=1}^{\mathrm{KNN}}$ 、ε、 ${\left\{{\mathrm{\γ}}_m^k\right\}}_{k=1,m=1}^{\mathrm{KN}},$ 令 $A_n^k=W_n^k-{\mathrm{\γ}}_n^k\underset{l=1,l\≠k}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}{W}_n^l,$

$\underset{\left\{w_m^k\right\}}{\min }\underset{m,k}{\mathrm{\Σ}}\mathrm{tr}\left(W_m^k\right)$

$s.t.\mathrm{tr}\left((R_{m,m}^k-\mathrm{\αI})\left(W_m^l\right)\right)\≥{\mathrm{\γ}}_m^k\left(\underset{l=1,l\≠k}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{tr}\left(({\tilde{R}}_{m,m}^k+\mathrm{\ϵI})W_m^l\right)\right)+$

${\mathrm{\γ}}_m^k\left(\underset{n=1,n\≠m}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\underset{l=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{tr}\left(({\tilde{R}}_{m,n}^k+\mathrm{\ϵI})W_n^l\right)\right)+{\mathrm{\γ}}_m^k\left(\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{tr}\left(({\tilde{R}}_{m,n}^k+\mathrm{\ϵI})C_n\right)\right)+---\left(P2\right)$

${\mathrm{\γ}}_m^k({\left(\frac{k_3}{100}\right)}^2\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\underset{l=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{tr}\left(({\tilde{R}}_{m,n}^k+\mathrm{\ϵI})W_n^l\right)+{\mathrm{\σ}}^2),\∀m,n,k$

${t_{n,n}}_t\≥{\mathrm{\η}}^2\left({X_{n,n}}_t\right),\∀n,n_t$

$W_m^k\≥0,\∀n,m,k$

根据求解出的

的秩，如果

则

的主特征向量就是最优解；如果

则需要利用标准随机化法构造一个秩为1并且近似于的矩阵，进而获得最优解。

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