CN104680586A - 空间任意位置椭球面最小区域拟合方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及空间曲面的拟合方法，具体涉及空间任意位置椭球面最小区域拟合方法。首先，依据测量点的坐标确定出待拟合椭球面两个焦点的大致坐标，并以这两个特征点为基准点、以一定边长创建正方体、以正方体顶点构造一系列的辅助焦点；然后以两个焦点周围的辅助焦点构造一系列的辅助椭球面，计算测量点相对于这些辅助抛物面的距离极差；通过比较、判定和重新设定基准点和辅助点来逐步逼近理想焦点，实现被测椭球面的最小区域拟合，得到被测椭球面的方程、空间位姿和最小区域误差。本发明拟合过程简单，拟合精度高，能够有效的实现椭球面轮廓的最小区域拟合和最小区域误差的评定。

Description

空间任意位置椭球面最小区域拟合方法

技术领域

本发明涉及空间内椭球面的拟合方法，具体涉及空间任意位置椭球面最小区域拟合方法。

背景技术

椭球面由于其良好的聚焦性能及承载性，广泛应用于光学设备和建筑外壳，如椭球面反射镜、太阳模拟器设备中的椭球面聚光镜、椭球形蜗杆螺旋面及大型建筑外壳等。这些具有椭球面轮廓的产品无论在设计过程还是在制造、检测过程中都存在数据拟合问题，拟合质量的优劣会直接影响到设计和产品的质量。目前的三坐标测量机、反求设备仪器及图像处理技术中还没有公认的、权威的椭球面拟合方法及拟合误差评价方法。采用符合最小区域原则的椭球面拟合技术对测量数据予以重建，从测量数据中获取精确的椭球面形状特征信息，对理解原设计意图，对提高椭球表面重建的精度、质量，进而达到设计与制造的目的具有十分重要的应用价值。

椭球面属于复杂的二次曲面，其拟合问题可归结为从散乱数据中提取椭球曲面的理论问题，其关键与难点在于提供高效稳定的椭球面拟合方法。目前的椭球面拟合方法可归纳为使用线性最小二乘技术的代数拟合与各种使用非线性最小二乘技术的拟合方法两大类，上述方法会产生如下问题：①对测量数据中的噪声十分敏感；②对测量数据的覆盖区域尤其敏感，随着采样区域覆盖面范围的降低，求解精度严重下降。因此上述方法不能适用于精确的测量和拟合。

发明内容

本发明结合椭球面的几何特性，提供一种基于最小区域的空间任意位置椭球面的拟合方法，以克服现有拟合方法中存在的拟合精度低、拟合方法复杂、效率低的问题。

为实现上述目的，本发明的技术方案为：空间任意位置椭球面最小区域拟合方法，包括如下步骤：

（1）、在测量点包围的范围内任取2个测量点作为初始参考焦点；

（2）、通过坐标变换使两个初始参考焦点的连线与坐标轴重合，并使两个初始参考焦点连线的中点与坐标原点重合，然后计算各个测量点到以两个初始参考焦点所构造的椭球面的法向距离，并用                                                表示各测量点至椭球面法向距离的极差值；

（3）、分别以两个初始参考焦点为基准中心点，以步骤（2）计算出的极差值为边长设置两个正方体以构造辅助点，将两个正方体的各顶点作为辅助焦点，不同初始参考焦点所构造的辅助焦点之间一一配合，进而可构造出64个辅助椭球面，然后计算各个测量点到每一个辅助椭球面的法向距离，则得到64个极差值，用表示最小极差值；

（4）、将步骤（3）所得的最小极差值与步骤（2）计算出的极差值作比较：若，则两个基准中心点不变，即新的极差值不变，边长缩小为原来的0.5倍重新设置两个正方体以构造新的辅助点，再次求解新的最小极差值；若，则取与对应的辅助椭球面的两个辅助焦点为新的基准中心点，计算新的极差值，边长不变重新设置两个正方体以构造新的辅助点，再次求解新的最小极差值；

（5）、将所得的新的最小极差值与新的极差值按照步骤（4）的方法作比较，重新求解新的最小极差值与新的极差值，如此重复，直至所建立的正方体的边长小于0.0001mm时，此时所得到的极差值和最小极差值中的最小者即为最小区域椭球面轮廓度误差，与极差值和最小极差值中的最小者相对应的辅助椭球面的两个辅助焦点、长轴半径和短轴半径即为符合最小区域拟合的椭球面的参数信息，然后通过原坐标变换的逆变换得到被拟合椭球面的最小区域拟合方程及其位置和姿态。

有益效果：本发明依据椭球面轮廓度误差的几何特征，提出了基于几何优化逼近搜索的任意位置椭球面最小区域拟合方法，能够将三维空间的椭球面轮廓度误差评定转化为平面内标准位置椭圆轮廓度误差的评定，并能够快速、精确地得到被测椭球面的最小区域轮廓度误差及符合最小区域原则拟合的椭球面方程，为逆向工程中空间任意位置椭球面轮廓精确拟合和误差的精确评定提供了一种新方法。

本发明方法中初始参考焦点的选取及拟合过程简单，实施过程中无需小误差、小偏差假设，拟合精度高，易于编程，所用方法绝对收敛，可以有效的实现椭球面轮廓的最小区域拟合和最小区域误差的评定。

附图说明

图1为本发明的拟合原理图。

图2为经坐标变换后实际测量椭球面和坐标轴的关系图。

图中标记为：1代表其中一个辅助椭球面的中心轴线，2代表实际测量椭球面，3代表拟合的椭球面，代表由初始参考焦点所构造的辅助焦点，代表由初始参考焦点所构造的辅助焦点，和分别代表初始参考焦点和经坐标转换后的坐标。

具体实施方式

基于最小区域的空间任意位置椭球面的拟合方法，步骤如下：

步骤一、选取初始参考焦点

设椭球面上测量点的坐标为 ，在测量点包围的范围内任取2个点即可，分别记为和。为加快收敛的速度，2个初始参考焦点的坐标应满足式（1）但不能重合。

                       (1)

步骤二、计算拟合误差

通过坐标变换使两个初始参考焦点和的连线与坐标轴重合，并使两个初始参考焦点连线的中点与坐标原点重合。

1、坐标变换后的测量点坐标

坐标变换后的测量点坐标用表示，其计算过程如下：

                        (2)

式中：

      

2、坐标变换后的初始参考焦点坐标

坐标变换后，2个初始参考焦点用点和表示，其中：

                (3)

3、测量点的二次坐标变换

在上述坐标变换后，使两个初始参考焦点位于Y坐标轴上，此时，测量点与依据两个初始参考焦点坐标所构造的椭球面之间的法向距离，相当于测量点绕Y轴旋转到YOZ平面内与依据两个初始参考焦点坐标所构造的在YOZ平面内的椭圆曲线之间的法向距离，以此将空间测量点至椭球面之间关系转化为平面内测量点与椭圆曲线之间的关系。此时，测量点的坐标用表示，其坐标值由式（4）得出。

                       (4)

4、确定YOZ平面内的椭圆方程

（1）长轴半径的确定

由椭圆定义可知，椭圆上的点到两焦点坐标的距离之和为长轴半径的2倍，因此经过两次坐标变换后，初始拟合的椭圆的长轴半径由式(5)计算。

                    (5)

（2）短轴半径的确定：

由椭圆的性质可知，椭圆的焦距为两焦点之间的距离，长轴半径、短轴半径和焦距的关系为，所以，所拟合的椭圆的短轴半径为：

                           (6)

由此，可得到所拟合的椭圆的方程  。

5、计算拟合误差

设点为过测量点的椭圆法线与椭圆的交点，由于交点既在法线上又在辅助椭圆上，则点满足方程组(7)：

                   (7)

解方程组（7）即可求出交点的坐标值，交点与测量点为一一对应的关系。那么测量点至椭圆的法向距离即为测量点与交点之间的距离，其中，交点取与测量点最近的交点，亦即：

                   (8)

式（8）中，测量点在椭圆外侧时，取正直，反之，取负值。若用表示各测量点至空间椭球面法向距离的极差值，那么各个测量点到以两个初始参考焦点所构造的椭球面的法向距离的值（即初始拟合误差）可以由测量点至椭圆距离的极差求出，则：

                         (9)

步骤三、构造辅助点和计算辅助点构造的椭球面的拟合误差

以初始参考焦点坐标和为基准中心点，分别以步骤二计算出的初始拟合误差值为边长构造正方体，则两个正方体的各个顶点即为辅助焦点，两个正方体所构造的辅助焦点分别记为和，根据正方体几何关系，辅助点的坐标为：

                     (10)

                    (11)

以辅助焦点之一和辅助焦点之一为所拟合的椭球面的2个焦点，辅助焦点和各有8个，那么两两配合就可以组合成64对椭球面的焦点，按照前述方法就可以得到64个拟合的辅助椭球面和64个极差值（即所有测量点至辅助椭球面之间的法向距离的最大值与最小值之差），用表示最小极差值，与最小极差值（即拟合误差最小者）所对应的辅助椭球面的2个焦点（亦即辅助焦点中的一个点和辅助焦点中的一个点）分别记为和。

步骤四、优化搜索拟合

将步骤三所得的最小极差值与步骤二计算出的极差值（也即初始拟合误差值）作比较：若，则两个基准中心点不变，即新的极差值不变，边长缩小为原来的0.5倍重新设置两个正方体以构造新的辅助点，再次求解新的最小极差值；若，则取与对应的辅助椭球面的两个辅助焦点（即和）为新的基准中心点，计算新的极差值，边长不变重新设置两个正方体以构造新的辅助点，再次求解新的最小极差值。

所述新的极差值是指将上一轮的和作比较后，各个测量点至以重新确定的两个新的基准中心点所构造的辅助椭球面的法向距离的极差值，所以，若重新确定的两个基准点不变，则新的极差值与上一轮的极差值相同，也不变；若重新确定的两个基准点改变，则新的极差值与上一轮的极差值不同。

然后将所得的新的最小极差值与新的极差值按照上述方法作比较，重新求解新的最小极差值与新的极差值，如此重复，直至所构造的正方体的边长很小时，例如边长小于0.0001mm，可以认为搜索到的辅助椭球面已经十分接近实际理想椭球面，此时所得到的极差值和最小极差值中的最小者即为被测椭球面的最小区域拟合误差；记录与所对应的辅助椭球面在标准位置时的焦点坐标、长轴半径和短轴半径，得到其在标准位置时的标准方程，然后按曾经的坐标变换进行逆变换即可得到在测量位置时的被测椭球面的最小区域拟合方程及其位置和姿态。

Claims (1)

1.空间任意位置椭球面最小区域拟合方法，其特征在于：包括如下步骤：

（1）、在测量点包围的范围内任取2个测量点作为初始参考焦点；

（2）、通过坐标变换使两个初始参考焦点的连线与坐标轴重合，并使两个初始参考焦点连线的中点与坐标原点重合，然后计算各个测量点到以两个初始参考焦点所构造的椭球面的法向距离，并用                                                表示各测量点至椭球面法向距离的极差值；

（3）、分别以两个初始参考焦点为基准中心点，以步骤（2）计算出的极差值为边长设置两个正方体以构造辅助点，将两个正方体的各顶点作为辅助焦点，不同初始参考焦点所构造的辅助焦点之间一一配合，进而可构造出64个辅助椭球面，然后计算各个测量点到每一个辅助椭球面的法向距离，则得到64个极差值，用表示最小极差值；

（4）、将步骤（3）所得的最小极差值与步骤（2）计算出的极差值作比较：若，则两个基准中心点不变，即新的极差值不变，边长缩小为原来的0.5倍重新设置两个正方体以构造新的辅助点，再次求解新的最小极差值；若，则取与对应的辅助椭球面的两个辅助焦点为新的基准中心点，计算新的极差值，边长不变重新设置两个正方体以构造新的辅助点，再次求解新的最小极差值；

（5）、将所得的新的最小极差值与新的极差值按照步骤（4）的方法作比较，重新求解新的最小极差值与新的极差值，如此重复，直至所建立的正方体的边长小于0.0001mm时，此时所得到的极差值和最小极差值中的最小者即为最小区域椭球面轮廓度误差，与极差值和最小极差值中的最小者相对应的辅助椭球面的两个辅助焦点、长轴半径和短轴半径即为符合最小区域拟合的椭球面的参数信息，然后通过原坐标变换的逆变换得到被拟合椭球面的最小区域拟合方程及其位置和姿态。