CN104657606A - 一种基于三次多项式的铣削稳定性预测方法 - Google Patents
一种基于三次多项式的铣削稳定性预测方法 Download PDFInfo
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Abstract
本发明涉及先进制造领域，具体涉及一种基于三次多项式的铣削稳定性预测方法，本发明采用三次多项式来逼近动力学方程中的状态项、时滞项和周期系数项，采用多个已知时间点及其响应来拟合所需项，减小了计算方法的局部误差，从而提高了预测方法的精度；同时在获得稳定性叶瓣图的过程中，引入H矩阵，而不是直接代入F矩阵进行计算，减小了F矩阵计算过程中的迭代次数，从而节约计算方法的时间，提高计算效率。
Description
技术领域
本发明涉及先进制造领域，具体涉及一种基于三次多项式的铣削稳定性预测方法。
背景技术
随着我国航空航天、运载和能源等领域的不断发展，高速切削技术应运而生，并已广泛应用于复杂零件的制造中。铣削过程中的颤振严重影响工件的表面质量，并有可能造成机床的破坏。对铣削过程的颤振稳定性进行预测，选择合适的加工条件，提高加工效率，降低加工成本。
国际出版集团ELSEVIER出版的《Journal of Sound and Vibration》杂志2008年第313期上的“On the higher-order semi-discretizations for periodic delayed systems” 一文中公开了一种基于高阶半离散法的铣削颤振稳定性预测方法，该方法具有较高的计算精度，但计算方法的计算效率较低。
发明内容
本发明要解决的技术问题是提供一种高计算效率、高计算精度适用于多种零部件的基于三次多项式的铣削稳定性预测方法。
为解决上述技术问题，本发明采用如下技术方案：
本发明包括以下步骤：
① 建立铣刀在单自由度铣削过程中的动力学方程：
(1)
其中，为常系数矩阵，为随时间周期变化的系数矩阵，表示刀具在时刻的状态响应，表示刀尖点的固有频率，表示相对阻尼，表示模态质量，表示轴向切削深度，表示时滞；
表示瞬时切屑厚度，其表达式为：
(2)
式(2)中，表示铣刀的刀齿数目，和分别为切向和法向的切削力系数，为第刀齿的角位移，表达式为，窗函数定义式为：
(3)
式(3)中，和分别为第刀齿的切入和切出角，当采用顺铣时，；当采用逆铣时，，为径向浸入比，即径向切深/刀具直径的比值；
②将单自由度的铣削过程动力学方程(1)的时滞项平均分为个小区间，则时间步长为，其中任意一个时间小区间表示为
将方程（1）在时间小区间上进行积分，得到
(4)
③通过构建三次勒让德多项式来拟合步骤②中式（4）的状态项、时滞状态项和随时间变化的周期系数项，具体过程如下：
在构建三次勒让德多项式的过程中，需要用到前四项勒让德多项式：
(5)
(6)
(7)
（8）
在区间上构建三次勒让德多项式，是区间上关于权函数的正交函数系，在应用勒让德多项式的过程中，需要将区间变换到上，再利用勒让德多项式进行拟合，
令，当在区间上变化时，对应的在上变化，变换后的表达式为：
(9)
变换后的个体表达式为：
(10)
(11)
(12)
(13)
针对时域区间，利用该区间上的四个时间点及其对应的响应对状态项进行拟合，可以表示为： (14)
各项的系数表达式为
(15)
令，分别代入（11）、（12）、（13）式得
（16）
（17）
（18）
再分别将、（16）、（17）、（18）式代入（15）式得
（19）
（20）
（21）
（22）
将（16）-（22）式代入（14）式，整理得：
（23）
将时滞项和周期系数项分别用一次勒让德多项式拟合的多项式来表示，拟合过程中将时间区间变换到区间上，具体形式如下：
（24）
（25）
④构建Floquet转移矩阵，将（23）、（24）、（25）式代入（4）式得：
(26)
其中
(27a)
(27b)
(27c)
(27d)
(27e)
(27f)
(28a)
(28b)
(28c)
(28d)
(28e)
(28f)
(28g)
(28h)
(28i)
(28j)
(28k)
方程(19)可写为
(29)
其中
(30)
通过方程 ，可以得到各时间点振动位移映射关系，通过矩阵表示如下：
(31)
其中
(32a)
(32b)
(32c)
(32d)
(32e)
系统的离散映射可以表示为
即为系统的Floquet转移矩阵，
其中
(33)
⑤计算Floquet转移矩阵的特征值，通过特征值的模判定系统的稳定性，具体的判定准则如下：
(34) 。
本发明所述步骤③中也可以采用基于构建三次正交多项式的方法来拟合步骤②中式（4）的状态项、时滞状态项和随时间变化的周期系数项，具体过程如下：
1）适当的选取，使得
（35）
其系数可由式(36)推出
（36）
其中
（37）
（38）
所拟合的多项式可以表示为： （39）
其中 （40）
取和，通过点及其对应的响应来拟合方程(4)中的状态项
通过（36）、（37）、（38）式计算，并令计算过程中的，可得：
所以
（41a）
（41b）
（41c）
（41d）
将（41a）、（41b）、（41c）、（41d）式代入（40）式，并令，可得：
(42a)
(42b)
(42c)
(42d)
将（41）、（42）式代入（39）式，并整理得：
(43)
将时滞项和周期系数项分别用构建一次正交多项式来拟合，如下式所示：
（44）
（45）
2）基于步骤1） 构建Floquet转移矩阵，
将（43）、（44）、（45）式代入（4）式，，可得
(46)
其中
(47a)
(47b)
(47c)
(47d)
(47e)
(47f)
(47g)
(47h)
方程(46)可写为
(48)
其中
(49)
通过方程 ，可以得到各时间点振动位移映射关系，通过矩阵表示如下：
(50)
其中
(51a)
(51b)
(51c)
(51d)
(51e)
系统的离散映射可以表示为
即为系统的Floquet转移矩阵，
其中
(52)
3）计算Floquet转移矩阵的特征值，通过特征值的模判定系统的稳定性，具体的判定准则如（34）式所示。
本发明为了准确获得步骤①中的模态参数，需采用支撑装置；
所述支撑装置包括支撑台、第一环道、第二环道、X向滑道、设有通孔的配合扣、第一滑道、第二滑道、第三滑道、第四滑道以及用于固定支撑薄壁件的支撑机构；
所述第一环道和第二环道同心并依次设置在支撑台上，所述X向滑道设置在支撑台上并通过第一环道与第二环道的圆心，所述第一滑道与第二滑道对称设置在X向滑道两侧，所述第三滑道与第四滑道对称设置在X向滑道两侧，所述配合扣设于第一环道、第二环道与第一滑道、第二滑道、第三滑道、第四滑道的交汇处；
所述支撑机构包括上夹板、下夹板、弹簧以及支杆，所述下夹板设置在支杆上，所述上夹板通过弹簧与上夹板连接，所述支杆下端设有台肩，所述支杆通过下端台肩与配合扣连接。
本发明的积极效果如下：本发明通过配合扣与环道、滑道配合可以在支撑台上完成不同空间形状的支撑姿态，能够有效的完成对薄壁件的支撑固定，利用支撑装置进行夹持能够获得更精确的模态参数从而使得通过利用三次多项式函数预测的稳定性极限更加准确；本发明采用三次多项式来逼近动力学方程中的状态项、时滞项和周期系数项，采用多个已知时间点及其响应来拟合所需项，减小了计算方法的局部误差，从而提高了预测方法的精度；同时在获得稳定性叶瓣图的过程中，引入H矩阵，而不是直接代入F矩阵进行计算，减小了F矩阵计算过程中的迭代次数，从而节约计算方法的时间，提高计算效率。
附图说明
图1为本发明径向浸入比为0.05时的稳定性图；
图2 为本发明径向浸入比为0.5时的稳定性图；
图3 为本发明径向浸入比为1时的稳定性图；
图4 为本发明支撑台结构示意图；
图5 为本发明下夹板结构示意图；
在图中：1第一环道、2第二环道、3支撑台、4配合扣、5X向滑道、6通孔、7-1第一滑道、7-2第二滑道、8-1第三滑道、8-2第四滑道、9-1上夹板、9-2下夹板、10弹簧、11支杆。
具体实施方式
本发明通过以下步骤实施：
①建立铣刀在单自由度铣削过程中的动力学方程：
(1)
其中，为常系数矩阵，为随时间周期变化的系数矩阵，
表示刀具在时刻的状态响应，表示刀尖点的固有频率，表示相对阻尼，表示模态质量，表示轴向切削深度，表示时滞；
表示瞬时切屑厚度，其表达式为：
(2)
式(2)中，表示铣刀的刀齿数目，和分别为切向和法向的切削力系数，为第刀齿的角位移，表达式为，窗函数定义式为：
(3)
式(3)中，和分别为第刀齿的切入和切出角，当采用顺铣时，；当采用逆铣时，，为径向浸入比，即径向切深/刀具直径的比值；
②将单自由度的铣削过程动力学方程(1)的时滞项平均分为个小区间，则时间步长为，其中任意一个时间小区间表示为
将方程（1）在时间小区间上进行积分，得到
(4)
③通过构建三次勒让德多项式来拟合步骤②中式（4）的状态项、时滞状态项和随时间变化的周期系数项，具体过程如下：
在构建三次勒让德多项式的过程中，需要用到前四项勒让德多项式：
(5)
(6)
(7)
（8）
在区间上构建三次勒让德多项式，是区间上关于权函数的正交函数系，在应用勒让德多项式的过程中，需要将区间变换到上，再利用勒让德多项式进行拟合，
令，当在区间上变化时，对应的在上变化，变换后的表达式为：
(9)
变换后的个体表达式为：
(10)
(11)
(12)
(13)
针对时域区间，利用该区间上的四个时间点及其对应的响应对状态项进行拟合，可以表示为： (14)
各项的系数表达式为
(15)
令，分别代入（11）、（12）、（13）式得
（16）
（17）
（18）
再分别将、（16）、（17）、（18）式代入（15）式得
（19）
（20）
（21）
（22）
将（16）-（22）式代入（14）式，整理得：
（23）
将时滞项和周期系数项分别用一次勒让德多项式拟合的多项式来表示，拟合过程中将时间区间变换到区间上，具体形式如下：
（24）
（25）
④构建Floquet转移矩阵，将（23）、（24）、（25）式代入（4）式得：
(26)
其中
(27a)
(27b)
(27c)
(27d)
(27e)
(27f)
(28a)
(28b)
(28c)
(28d)
(28e)
(28f)
(28g)
(28h)
(28i)
(28j)
(28k)
方程(19)可写为
(29)
其中
(30)
通过方程 ，可以得到各时间点振动位移映射关系，通过矩阵表示如下：
(31)
其中
(32a)
(32b)
(32c)
(32d)
(32e)
系统的离散映射可以表示为
即为系统的Floquet转移矩阵，
其中
(33)
⑤计算Floquet转移矩阵的特征值，通过特征值的模判定系统的稳定性，具体的判定准则如下：
(34) 。
本发明步骤③中也可以采用基于构建三次正交多项式的方法来拟合步骤②中式（4）的状态项、时滞状态项和随时间变化的周期系数项，具体过程如下：
1）适当的选取，使得
（35）
其系数可由式(36)推出
（36）
其中
（37）
（38）
所拟合的多项式可以表示为： （39）
其中 （40）
取和，通过点及其对应的响应来拟合方程(4)中的状态项
通过（36）、（37）、（38）式计算，并令计算过程中的，可得：
所以
（41a）
（41b）
（41c）
（41d）
将（41a）、（41b）、（41c）、（41d）式代入（40）式，并令，可得：
(42a)
(42b)
(42c)
(42d)
将（41）、（42）式代入（39）式，并整理得：
(43)
将时滞项和周期系数项分别用构建一次正交多项式来拟合，如下式所示：
（44）
（45）
2）基于步骤1） 构建Floquet转移矩阵，
将（43）、（44）、（45）式代入（4）式，，可得
(46)
其中
(47a)
(47b)
(47c)
(47d)
(47e)
(47f)
(47g)
(47h)
方程(46)可写为
(48)
其中
(49)
通过方程 ，可以得到各时间点振动位移映射关系，通过矩阵表示如下：
(50)
其中
(51a)
(51b)
(51c)
(51d)
(51e)
系统的离散映射可以表示为
即为系统的Floquet转移矩阵，
其中
(52)
3）计算Floquet转移矩阵的特征值，通过特征值的模判定系统的稳定性，具体的判定准则如（34）式所示。
本发明为了准确获得步骤①中的模态参数，需采用支撑装置，如图4、5所示，所述支撑装置包括支撑台3、第一环道1、第二环道2、X向滑道5、设有通孔6的配合扣4、第一滑道7-1、第二滑道7-2、第三滑道8-1、第四滑道8-2以及用于固定支撑薄壁件的支撑机构；
所述第一环道1和第二环道2同心并依次设置在支撑台3上，所述X向滑道5设置在支撑台3上并通过第一环道1与第二环道2的圆心，所述第一滑道7-1与第二滑道7-2对称设置在X向滑道5两侧，所述第三滑道8-1与第四滑道8-2对称设置在X向滑道5两侧，所述配合扣4设于第一环道1、第二环道2与第一滑道7-1、第二滑道7-2、第三滑道8-1、第四滑道8-2的交汇处；所述支撑机构包括上夹板9-1、下夹板9-2、弹簧10以及支杆11，所述下夹板9-2设置在支杆11上，所述上夹板9-1通过弹簧10与上夹板9-1连接，所述支杆11下端设有台肩，所述支杆11通过其下端台肩与配合扣4连接。
本发明通过配合扣4与环道、滑道配合可以在支撑台3上完成不同空间形状的支撑姿态，能够有效的完成对薄壁件的支撑固定，利用支撑装置进行夹持能够获得更精确的模态参数从而使得通过利用三次多项式预测的稳定性极限更加准确。
当给定相应参数：铣刀刀齿数目为2，径向力系数和法向力系数分别为和，刀尖点的一阶固有频率为，模态阻尼为0.011，模态质量为0.03993，顺铣。将时滞划分为40个小区间，将由主轴转速与径向切削深度构成的平面划分为网格。
将上述步骤和参数通过Matlab软件进行编程画出稳定性Lobe图，通过稳定性图来预测铣削过程中的稳定性，选取不同的径向浸入比，为别取0.05、0.5、1得到稳定性图如图1、2、3所示。
以上所述实施方式仅为本发明的优选实施例，而并非本发明可行实施的穷举。对于本领域一般技术人员而言，在不背离本发明原理和精神的前提下对其所作出的任何显而易见的改动，都应当被认为包含在本发明的权利要求保护范围之内。
Claims (3)
1.一种基于三次多项式的铣削稳定性预测方法，其特征在于其包括以下步骤：
①建立铣刀在单自由度铣削过程中的动力学方程：
(1)
其中，为常系数矩阵，为随时间周期变化的系数矩阵，表示刀具在时刻的状态响应，表示刀尖点的固有频率，表示相对阻尼，表示模态质量，表示轴向切削深度，表示时滞；
表示瞬时切屑厚度，其表达式为：
(2)
式(2)中，表示铣刀的刀齿数目，和分别为切向和法向的切削力系数，为第刀齿的角位移，表达式为，窗函数定义式为：
(3)
式(3)中，和分别为第刀齿的切入和切出角，当采用顺铣时，；当采用逆铣时，，为径向浸入比，即径向切深/刀具直径的比值；
②将单自由度的铣削过程动力学方程(1)的时滞项平均分为个小区间，则时间步长为，其中任意一个时间小区间表示为
将方程（1）在时间小区间上进行积分，得到
(4)
③通过构建三次勒让德多项式来拟合步骤②中式（4）的状态项、时滞状态项和随时间变化的周期系数项，具体过程如下：
在构建三次勒让德多项式的过程中，需要用到前四项勒让德多项式：
(5)
(6)
(7)
（8）
在区间上构建三次勒让德多项式，是区间上关于权函数的正交函数系，在应用勒让德多项式的过程中，需要将区间变换到上，再利用勒让德多项式进行拟合，
令，当在区间上变化时，对应的在上变化，变换后的表达式为：
(9)
变换后的个体表达式为：
(10)
(11)
(12)
(13)
针对时域区间，利用该区间上的四个时间点及其对应的响应对状态项进行拟合，可以表示为： (14)
各项的系数表达式为
(15)
令，分别代入（11）、（12）、（13）式得
（16）
（17）
（18）
再分别将、（16）、（17）、（18）式代入（15）式得
（19）
（20）
（21）
（22）
将（16）-（22）式代入（14）式，整理得：
（23）
将时滞项和周期系数项分别用一次勒让德多项式拟合的多项式来表示，拟合过程中将时间区间变换到区间上，具体形式如下：
（24）
（25）
④构建Floquet转移矩阵，将（23）、（24）、（25）式代入（4）式得：
(26)
其中
(27a)
(27b)
(27c)
(27d)
(27e)
(27f)
(28a)
(28b)
(28c)
(28d)
(28e)
(28f)
(28g)
(28h)
(28i)
(28j)
(28k)
方程(19)可写为
(29)
其中
(30)
通过方程 ，可以得到各时间点振动位移映射关系，通过矩阵表示如下：
(31)
其中
(32a)
(32b)
(32c)
(32d)
(32e)
系统的离散映射可以表示为
即为系统的Floquet转移矩阵，
其中
(33)
⑤计算Floquet转移矩阵的特征值，通过特征值的模判定系统的稳定性，具体的判定准则如下：
(34) 。
2.根据权利要求1所述的一种基于三次多项式的铣削稳定性预测方法，其特征在于：所述步骤③中也可以采用基于构建三次正交多项式的方法来拟合步骤②中式（4）的状态项、时滞状态项和随时间变化的周期系数项，具体过程如下：
1）适当的选取，使得
（35）
其系数可由式(36)推出
（36）
其中
（37）
（38）
所拟合的多项式可以表示为： （39）
其中 （40）
取和，通过点及其对应的响应来拟合方程(4)中的状态项
通过（36）、（37）、（38）式计算，并令计算过程中的，可得：
所以
（41a）
（41b）
（41c）
（41d）
将（41a）、（41b）、（41c）、（41d）式代入（40）式，并令，可得：
(42a)
(42b)
(42c)
(42d)
将（41）、（42）式代入（39）式，并整理得：
(43)
将时滞项和周期系数项分别用构建一次正交多项式来拟合，如下式所示：
（44）
（45）
2）基于步骤1） 构建Floquet转移矩阵，
将（43）、（44）、（45）式代入（4）式，，可得
(46)
其中
(47a)
(47b)
(47c)
(47d)
(47e)
(47f)
(47g)
(47h)
方程(46)可写为
(48)
其中
(49)
通过方程 ，可以得到各时间点振动位移映射关系，通过矩阵表示如下：
(50)
其中
(51a)
(51b)
(51c)
(51d)
(51e)
系统的离散映射可以表示为
即为系统的Floquet转移矩阵，
其中
(52)
3）计算Floquet转移矩阵的特征值，通过特征值的模判定系统的稳定性，具体的判定准则如（34）式所示。
3.根据权利要求1所述的一种基于三次多项式的铣削稳定性预测方法，其特征在于：为了准确获得步骤①中的模态参数，需采用支撑装置；
所述支撑装置包括支撑台（3）、第一环道（1）、第二环道（2）、X向滑道（5）、设有通孔（6）的配合扣（4）、第一滑道（7-1）、第二滑道（7-2）、第三滑道（8-1）、第四滑道（8-2）以及用于固定支撑薄壁件的支撑机构；
所述第一环道（1）和第二环道（2）同心并依次设置在支撑台（3）上，所述X向滑道（5）设置在支撑台（3）上并通过第一环道（1）与第二环道（2）的圆心，所述第一滑道（7-1）与第二滑道（7-2）对称设置在X向滑道（5）两侧，所述第三滑道（8-1）与第四滑道（8-2）对称设置在X向滑道（5）两侧，所述配合扣（4）设于第一环道（1）、第二环道（2）与第一滑道（7-1）、第二滑道（7-2）、第三滑道（8-1）、第四滑道（8-2）的交汇处；
所述支撑机构包括上夹板（9-1）、下夹板（9-2）、弹簧（10）以及支杆（11），所述下夹板（9-2）设置在支杆（11）上，所述上夹板（9-1）通过弹簧（10）与上夹板（9-1）连接，所述支杆（11）下端设有台肩，所述支杆（11）通过其下端台肩与配合扣（4）连接。
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