CN101653841A - 铣削过程稳定域判定方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种铣削过程稳定域判定方法，特别是含多个延时量的铣削过程中稳定切削区域判定方法。该方法先将铣刀沿轴向等距分成若干单元；第二，将一个刀具旋转周期分成若干时间段；第三，针对每一个刀齿单元，根据其所在铣削瞬态对应的延时量建立当前时间段和前一时间段的显式表达式；第四，根据第三步建立能反映每一个延时量和每一个时间段影响的转换矩阵；最后，根据Floquet理论，求解第四步得到的转换矩阵的特征值，若所有特征值的模均小于1，则该铣削系统是渐近稳定的。本发明是多延时铣削系统的通用判定方法，既适用于出现刀具偏心的多延时铣削过程也适用于不等距铣刀的铣削过程，克服了现有技术需对单个铣削系统分别进行数学推导的不足。

Description

铣削过程稳定域判定方法

技术领域

本发明涉及一种稳定域判定方法，特别是铣削过程中稳定加工区域的判定方法。

背景技术

文献1“Y.Altintas，Manufacturing Automation，Cambridge University Press，2000.”公开了一种在频域内利用零阶傅里叶级数和平均方向因子判定铣削稳定域的方法，这种方法没有考虑铣削过程的瞬时状态。

文献2“T.Insperger，G.Stepan，Updated semi-discretization method for periodicdelay-differential equations with discrete delay，International Journal for Numerical Methods inEngineering 61(2004)117-141.”公开了一种在时域内利用半离散方法判定稳定域的方法，这种方法基于Floquet理论展开，考虑了铣削过程的瞬时状态。

文献3“P.V.Bayly，J.E.Halley，B.P.Mann，M.A.Davies，Stability of interrupted cutting bytemporal finite element analysis，ASME Journal of Manufacturing Science and Engineering 125(2003)220-225.”公开了一种在时域内基于时间有限元思路判定稳定域的方法，这种方法考虑了铣削过程的瞬时状态。

以上文献的典型特点是：1)铣削过程中的延时量只有一个，且延时量的大小用刀齿切削周期进行近似；2)未考虑进给量对稳定域的影响。

发明内容

为了克服现有技术在进行铣削过程稳定域判定时，只能对具有单延时量铣削系统稳定域进行判定的不足，本发明提供一种铣削过程稳定域判定方法，通过将不同延时量与铣削瞬态相联系，并基于Floquet理论基本原理进行特征值求解，可以实现对具有多延时量铣削系统稳定域进行判定。

本发明解决其技术问题所采用的技术方案：一种铣削过程稳定域判定方法，包括下述步骤：

(a)设定铣刀的半径R、螺旋角β、刀齿数N，并将刀具安装到机床主轴后，采用标准冲击试验法测定机床主轴的模态参数，将测试得到的模态参数记为：ξ_q，ω_q，m_q；q＝X，Y；ξ_q表示阻尼系数；ω_q表示系统自然频率；m_q表示系统有效模态质量；

(b)设定基本切削参数：单齿进给量f和径向切削深度Rr；并将铣刀沿轴向等距分为有限个单元，分析确定铣削系统可能出现的延时量的大小和个数，将可能出现的延时量的大小分别用τ₁，τ₂，…，τ_M表示，其中τ₁＜τ₂＜…＜τ_M。M表示延时量的个数，铣削系统的动力控制方程表示为：

$\stackrel{\·\·}{X}\left(t\right)+C\stackrel{\·}{X}\left(t\right)+\mathrm{KX}\left(t\right)=\underset{l=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}\left[H_l\left(t\right)(X(t-{\mathrm{\τ}}_l)-X\left(t\right))\right]---\left(1\right)$

其中：

$C=\left[\begin{array}{cc}2{\mathrm{\ξ}}_x{\mathrm{\ω}}_x& 0\\ 0& 2{\mathrm{\ξ}}_y{\mathrm{\ω}}_y\end{array}\right]$

$K=\left[\begin{array}{cc}{{\mathrm{\ω}}_x}^2& 0\\ 0& {{\mathrm{\ω}}_y}^2\end{array}\right]$

$H_l\left(t\right)=\left[\begin{array}{cc}{H}_{l,\mathrm{xx}}\left(t\right)& H_{l,\mathrm{xy}}\left(t\right)\\ H_{l,\mathrm{yx}}\left(t\right)& H_{l,\mathrm{yy}}\left(t\right)\end{array}\right]$

$H_{l,\mathrm{xx}}\left(t\right)=\frac{1}{m_x}\underset{i,s}{\mathrm{\Σ}}[z_{l,i,s}g\left({\mathrm{\θ}}_{l,i,s}\left(t\right)\right)\sin {\mathrm{\θ}}_{l,i,s}\left(t\right)(K_t\cos {\mathrm{\θ}}_{l,i,s}\left(t\right)+K_r\sin {\mathrm{\θ}}_{l,i,s}\left(t\right))]$

$H_{l,\mathrm{xy}}\left(t\right)=\frac{1}{m_x}\underset{i,s}{\mathrm{\Σ}}[z_{l,i,s}g\left({\mathrm{\θ}}_{l,i,s}\left(t\right)\right)\cos {\mathrm{\θ}}_{l,i,s}\left(t\right)(K_t\cos {\mathrm{\θ}}_{l,i,s}\left(t\right)+K_r\sin {\mathrm{\θ}}_{l,i,s}\left(t\right))]$

$H_{l,\mathrm{yx}}\left(t\right)=\frac{1}{m_y}\underset{i,s}{\mathrm{\Σ}}[z_{l,i,s}g\left({\mathrm{\θ}}_{l,i,s}\left(t\right)\right)\sin {\mathrm{\θ}}_{l,i,s}\left(t\right)(-K_t\sin {\mathrm{\θ}}_{l,i,s}\left(t\right)+K_r\cos {\mathrm{\θ}}_{l,i,s}\left(t\right))]$

$H_{l,\mathrm{yy}}\left(t\right)=\frac{1}{m_y}\underset{i,s}{\mathrm{\Σ}}[z_{l,i,s}g\left({\mathrm{\θ}}_{l,i,s}\left(t\right)\right)\cos {\mathrm{\θ}}_{l,i,s}\left(t\right)({-K}_t\sin {\mathrm{\θ}}_{l,i,s}\left(t\right)+K_r\cos {\mathrm{\θ}}_{l,i,s}\left(t\right))]$

z_l，i，s和θ_l，i，s(t)表示第i个刀齿上第s个单元所对应的轴向长度和切削角度；下标l表示在时间t与第i个刀齿上第s个单元对应的延时量为τ_l；g(θ_l，i，s(t))表示窗口函数，当第i个刀齿上第s个单元参与切削时其值为1；否则，其值为0；K_t和K_r表示切向和径向切削力系数；

(c)使用Cauchy转换，将(1)式改写为：

$\stackrel{\·}{U}\left(t\right)=A\left(t\right)U\left(t\right)+\underset{l=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{B}_l\left(t\right)U(t-{\mathrm{\τ}}_l),A\left(t\right)=A(t+T),B_l\left(t\right)=B_l(t+T)---\left(2\right)$

其中：

T表示刀具旋转周期；

$A\left(t\right)=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ -{{\mathrm{\ω}}_x}^2-\underset{l=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{H}_{l,\mathrm{xx}}\left(t\right)& -\underset{l=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{H}_{l,\mathrm{xy}}\left(t\right)& -2{\mathrm{\ξ}}_x{\mathrm{\ω}}_x& 0\\ -\underset{l=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{H}_{l,\mathrm{yx}}\left(t\right)& -{{\mathrm{\ω}}_y}^2-\underset{l=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{H}_{l,\mathrm{yy}}\left(t\right)& 0& -2{\mathrm{\ξ}}_y{\mathrm{\ω}}_y\end{array}\right]$

$B_l\left(t\right)=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ H_{l,\mathrm{xx}}\left(t\right)& H_{l,\mathrm{xy}}\left(t\right)& 0& 0\\ H_{l,\mathrm{yx}}\left(t\right)& H_{l,\mathrm{yy}}\left(t\right)& 0& 0\end{array}\right]$

$U\left(t\right)={[x\left(t\right),y\left(t\right),\stackrel{\·}{x}\left(t\right),\stackrel{\·}{y}\left(t\right)]}^T;$

(d)将刀具旋转周期T分为k个有限个等距时间段，第j个时间段记为[t_j，t_j+1]，t_j表示第j个时间节点；时间段[t_j，t_j+1]的长度用 $\mathrm{\Δt}=\frac{T}{k}$ 计算；则延时量τ_l包含时间段的个数是：

$m_l=\mathrm{int}\left(\frac{{\mathrm{\τ}}_l+0.5\mathrm{\Δt}}{\mathrm{\Δt}}\right)$

int(^*)表示趋向于0的取整函数，m_M＝k；

(e)在时间段[t_j，t_j+1]内，(2)式近似为

$\stackrel{\·}{U}\left(t\right)=A_{j}U\left(t\right)+\underset{l=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{B}_{l,j}{U}_{\mathrm{\τl},j}---\left(3\right)$

其中

$A_j=\frac{1}{\mathrm{\Δt}}{\∫}_{t_j}^{t_{j+1}}A\left(t\right)\mathrm{dt}$

$B_{l,j}=\frac{1}{\mathrm{\Δt}}{\∫}_{t_j}^{t_{j+1}}{B}_l\left(t\right)\mathrm{dt}$

$U_{\mathrm{\τl},j}=U(t-{\mathrm{\τ}}_l)$

$\≈U(t_j+\mathrm{\Δt}/2-{\mathrm{\τ}}_l)$

$\≈w_{l,b}{U}_{j-m_l}+w_{l,a}{U}_{j-m_l+1}$

符号

表示

w_l，b和w_l，a是将U(t-τ_l)与时间段

两个节点相关联的权重因子；

(g)假设U(t_j)＝U_j，(2)式的解为：

$U\left(t\right)=e^{A_j(t-t_j)}[U_j+\underset{l=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{A_j}^{-1}{B}_{l,j}{U}_{{\mathrm{\τ}}_l,j}]-\underset{l=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{A_j}^{-1}{B}_{l,j}{U}_{{\mathrm{\τ}}_l,j}]---\left(4\right)$

(h)假设t＝t_j+1，将(3)得到的 $U_{{\mathrm{\τ}}_l,j}\≈w_{l,b}{U}_{j-m_l}+w_{l,a}{U}_{j-m_l+1}$ 代入(4)式，得：

$U_{j+1}=Q_j{U}_j+\underset{l=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}\left(w_{l,a}{R}_{l,j}{U}_{j-m_l+1}{+w}_{l,b}{R}_{l,j}{U}_{j-m_l}\right)---\left(5\right)$

其中

$Q_j=e^{A_j(t-t_j)}$

R_l，j＝(Q_j-I)A_j ^-1B_l，j

I是单位斜角矩阵；

(i)将(5)式用矩阵表示：

V_j+1＝Z_jV_j

式中

$V_j={[U_j,U_{j-1},\·\·\·,U_{j-m_1},\·\·\·,U_{j-m_2},\·\·\·,U_{j-m_M}]}^T$

(j)考虑刀具旋转周期T内的k个连续的时间段，可得：

V_k＝ΨV₀                (6)

其中，Ψ＝Z_k-1Z_k-2…Z₁Z₀；

(k)将式(6)中的V_j用

代换，并将Ψ中与每一个

和(d＝1，2，…，k)对应的行和列去掉，最后得到的矩阵用

表示；

${\stackrel{-}{V}}_j={[x_j,y_j,{\stackrel{\·}{x}}_j{,\stackrel{\·}{y}}_j,x_{j-1},y_{j-1},\·\·\·,x_{j-m_1},y_{j-m_1},\·\·\·,x_{j-m_2}{y}_{j-m_2},\·\·\·,x_{j-m_M,}{y}_{j-m_M}]}^T$

当矩阵

的所有特征值的模均小于1时，系统是渐进稳定的。

本发明的有益效果是：由于将不同延时量与其对应的加工状态相关联，并基Floquet理论进行稳定域求解，克服了现有技术无法对多延时铣削系统稳定性进行判定的不足；本发明是多延时铣削系统的通用判定方法，既适用于出现刀具偏心的多延时铣削过程也适用于不等距铣刀的铣削过程，克服了现有技术需对单个铣削系统分别进行数学推导的不足。

下面结合附图和实施例对本发明作详细说明。

附图说明

图1是实施例1的稳定性叶瓣图。

图2是实施例2的稳定性叶瓣图。

图中，X-采用文献4方法的预测结果，—-采用本发明的预测结果，1-按实际偏心大小采用本发明的预测结果，2-忽略实际偏心采用本发明的预测结果，3-采用文献1方法的预测结果，4-刀齿切削频率：225Hz，5-颤振频率：821.4Hz，6-刀齿切削频率：275Hz。

具体实施方式

实施例1：采用本发明方法验证文献4“Y.Altintas，S.Engin，E.Budak，analytical stabilityprediction and design of variable pitch cutters，ASME Journal of Manufacturing Science andEngineering 121(1999)173-178.”中的不等距铣刀铣削过程。

(1)刀具半径R为9.525mm、螺旋角β为30度、刀具齿数N为4；工件材料为：铝合金A1356；刀具齿间距为：70度-110度-70度-110度。铣削方式：顺铣。稳定性判定所需模态参数见下表：

	自然频率ωq(Hz)	有效模态质量mq(kg)	阻尼系数ξq(-)
				q＝X	563.6	1.4986	0.0558
q＝Y	516.21	1.199	0.025

(2)径向切削量Rr＝9.525mm，单齿进给量f＝0.05mm/齿。刀具沿轴向等距分为200个单元。

(3)由步骤(1)可知，本铣削系统存在两个延时量，也就是M＝2，其中 ${\mathrm{\τ}}_1=\frac{7}{36}T,$ ${\mathrm{\τ}}_2=\frac{11}{36}T.$ T表示刀具的旋转周期。

(4)根据步骤(1)至(3)的条件，该铣削系统的动力控制方程可表示为

$\stackrel{\·\·}{X}\left(t\right)+C\stackrel{\·}{X}\left(t\right)+\mathrm{KX}\left(t\right)=\underset{l=1}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}\left[H_l\left(t\right)(X(t-{\mathrm{\τ}}_l)-X\left(t\right))\right]$

其中：

$C=\left[\begin{array}{cc}2{\mathrm{\ξ}}_x{\mathrm{\ω}}_x& 0\\ 0& 2{\mathrm{\ξ}}_y{\mathrm{\ω}}_y\end{array}\right]$

$K=\left[\begin{array}{cc}{{\mathrm{\ω}}_x}^2& 0\\ 0& {{\mathrm{\ω}}_y}^2\end{array}\right]$

$H_l\left(t\right)=\left[\begin{array}{cc}{H}_{l,\mathrm{xx}}\left(t\right)& H_{l,\mathrm{xy}}\left(t\right)\\ H_{l,\mathrm{yx}}\left(t\right)& H_{l,\mathrm{yy}}\left(t\right)\end{array}\right]$

$H_{l,\mathrm{xx}}\left(t\right)=\frac{1}{m_x}\underset{i,s}{\mathrm{\Σ}}\left[z_{l,i,s}g\left({\mathrm{\θ}}_{l,i,s}\left(t\right)\right)\sin {\mathrm{\θ}}_{l,i,s}\left(t\right)(K_t\cos {\mathrm{\θ}}_{l,i,s}\left(t\right)+K_r\sin {\mathrm{\θ}}_{l,i,s}\left(t\right))\right]$

$H_{l,\mathrm{xy}}\left(t\right)=\frac{1}{m_x}\underset{i,s}{\mathrm{\Σ}}\left[z_{l,i,s}g\left({\mathrm{\θ}}_{l,i,s}\left(t\right)\right)\cos {\mathrm{\θ}}_{l,i,s}\left(t\right)(K_t\cos {\mathrm{\θ}}_{l,i,s}\left(t\right)+K_r\sin {\mathrm{\θ}}_{l,i,s}\left(t\right))\right]$

$H_{l,\mathrm{yx}}\left(t\right)=\frac{1}{m_y}\underset{i,s}{\mathrm{\Σ}}\left[z_{l,i,s}g\left({\mathrm{\θ}}_{l,i,s}\left(t\right)\right)\sin {\mathrm{\θ}}_{l,i,s}\left(t\right)({-K}_t\sin {\mathrm{\θ}}_{l,i,s}\left(t\right)+K_r\cos {\mathrm{\θ}}_{l,i,s}\left(t\right))\right]$

$H_{l,\mathrm{yy}}\left(t\right)=\frac{1}{m_y}\underset{i,s}{\mathrm{\Σ}}\left[z_{l,i,s}g\left({\mathrm{\θ}}_{l,i,s}\left(t\right)\right)\cos {\mathrm{\θ}}_{l,i,s}\left(t\right)({-K}_t\sin {\mathrm{\θ}}_{l,i,s}\left(t\right)+K_r\cos {\mathrm{\θ}}_{l,i,s}\left(t\right))\right]$

z_l，i，s和θ_l，i，s(t)表示第i个刀齿上第s个单元所对应的轴向长度和切削角度。下标l表示在时间t与第i个刀齿上第s个单元对应的延时量为τ_l。g(θ_l，i，s(t))表示窗口函数，当第i个刀齿上第s个单元参与切削时其值为1；否则，其值为0。K_t和K_r表示切向和径向切削力系数；其中Kt＝697Mpa，Kr＝255.8Mpa。

(5)使用Cauchy转换，将步骤(4)得到的控制方程改写为：

$\stackrel{\·}{U}\left(t\right)=A\left(t\right)U\left(t\right)+\underset{l=1}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}{B}_l\left(t\right)U(t-{\mathrm{\τ}}_l),A\left(t\right)=A(t+T),B_l\left(t\right)=B_l(t+T)$

其中：

$A\left(t\right)=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ -{{\mathrm{\ω}}_x}^2-\underset{l=1}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}{H}_{l,\mathrm{xx}}\left(t\right)& -\underset{l=1}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}{H}_{l,\mathrm{xy}}\left(t\right)& -2{\mathrm{\ξ}}_x{\mathrm{\ω}}_x& 0\\ -\underset{l=1}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}{H}_{l,\mathrm{yx}}\left(t\right)& -{{\mathrm{\ω}}_y}^2-\underset{l=1}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}{H}_{l,\mathrm{yy}}\left(t\right)& 0& -2{\mathrm{\ξ}}_y{\mathrm{\ω}}_y\end{array}\right]$

$B_l\left(t\right)=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ H_{l,\mathrm{xx}}\left(t\right)& H_{l,\mathrm{xy}}\left(t\right)& 0& 0\\ H_{l,\mathrm{yx}}\left(t\right)& H_{l,\mathrm{yy}}\left(t\right)& 0& 0\end{array}\right]$

$U\left(t\right)={[x\left(t\right),y\left(t\right),\stackrel{\·}{x}\left(t\right),\stackrel{\·}{y}\left(t\right)]}^T$

(6)将一个刀具旋转周期T分为120(也就是k＝120)个有限个等距时间段，第j个时间段记为[t_j，t_j+1]，t_j表示第j个时间节点；时间段[t_j，t_j+1]的长度可用 $\mathrm{\Δt}=\frac{T}{120}$ 计算。则延时量τ_l包含时间段的个数用下式进行计算

$m_l=\mathrm{int}\left(\frac{{\mathrm{\τ}}_l+0.5\mathrm{\Δt}}{\mathrm{\Δt}}\right)$

int(^*)表示趋向于0的取整函数，例如int(5.8)＝5。值得一提的是，m₂＝120。

(7)在时间段[t_j，t_j+1]内，步骤(5)得到的控制方程可近似为

$\stackrel{\·}{U}\left(t\right)=A_{j}U\left(t\right)+\underset{l=1}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}{B}_{l,j}{U}_{{\mathrm{\τ}}_l,j}$

其中

$A_j=\frac{1}{\mathrm{\Δt}}{\∫}_{t_j}^{t_{j+1}}A\left(t\right)\mathrm{dt}$

$B_{l,j}=\frac{1}{\mathrm{\Δt}}{\∫}_{t_j}^{t_{j+1}}{B}_l\left(t\right)\mathrm{dt}$

$U_{{\mathrm{\τ}}_l,j}=U(t-{\mathrm{\τ}}_l)$

$\≈U(t_j+\mathrm{\Δt}/2-{\mathrm{\τ}}_l)$

$\≈w_{l,b}{U}_{j-m_l}+w_{l,a}{U}_{j-m_l+1}$ 符号

表示

w_l，b和w_l，a是将U(t-τ_l)与时间段

两个节点相关联的权重因子，其值按文献2提供的方法计算得w_l，b＝0.5和w_l，a＝0.5。

(8)假设U(t_j)＝U_j，步骤(5)得到的控制方程的解可表达为

$U\left(t\right)=e^{A_j(t-t_j)}[U_j+\underset{l=1}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}{A_j}^{-1}{B}_{l,j}{U}_{{\mathrm{\τ}}_l,j}]-\underset{l=1}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}{A_j}^{-1}{B}_{l,j}{U}_{{\mathrm{\τ}}_l,j}]$

(9)假设t＝t_j+1，并将步骤(7)得到的 $U_{{\mathrm{\τ}}_{l,j}}\≈w_{l,b}{U}_{j-m_l}+w_{l,a}{U}_{j-m_l+1}$ 代入步骤(8)中的式子，

可得：

$U_{j+1}=Q_j{U}_j+\underset{l=1}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}(w_{l,a}{R}_{l,j}{U}_{j-m_l+1}+w_{l,b}{R}_{l,j}{U}_{j-m_l})$

其中

$Q_j=e^{A_j(t-t_j)}$

R_l，j＝(Q_j-I)A_j ^-1B_l，j

I是单位斜角矩阵。

(10)将步骤(9)得到的式子用矩阵表示为

V_j+1＝Z_jV_j

式中

$V_j={[U_j,U_{j-1},\·\·\·,U_{j-m_1},\·\·\·,U_{j-m_2}]}^T$

(11)考虑刀具旋转周期T内的k个连续的时间段，可得到下面的式子

V_k＝ΨV₀

其中，Ψ＝Z_k-1Z_k-2…Z₁Z₀，k＝120。

(12)将步骤(11)式子中的V_j用下式中的

代换，并将Ψ中与每一个

和

(d＝1，2，…，k)对应的行和列去掉，最后得到的矩阵用

表示。

${\stackrel{-}{V}}_j={[x_j,y_j,{\stackrel{\·}{x}}_j,{\stackrel{\·}{y}}_j,x_{j-1},y_{j-1},\·\·\·,x_{j-m_1},y_{j-m_l},\·\·\·,x_{j-m_2,}{y}_{j-m_2]}}^T$

(13)如果矩阵的所有特征值的模均小于1，则该系统是渐进稳定的。

通过上面的步骤，得到该铣削系统的稳定性叶瓣图，如图1所示，其结果与文献4从频域角度获得的相关结果吻合，验证了本发明的有效性。

实施例2：本实例应用于带刀具偏心的等距铣刀铣削过程。

(1)刀具半径R为8mm、螺旋角β为30度、刀具齿数N为3；工件材料为：铝合金Al7050；机床为立式三坐标铣床；铣削方式：顺铣。首先利用下面的切削参数测试铣削力：刀具主轴转速为2000RPM，单齿进给量0.05mm/齿，轴向切削深度Rz等于2mm，径向切削深度Rr等于8mm；然后采用文献5“M.Wan，W.H.Zhang，Systematic study oncutting force modelling methods for peripheral milling，International Journal of MachineTools and Manufacture 49(2009)424-432.”中的方法标定铣削力系数和偏心参数ρ和λ。利用标准模态试验获得该铣削系统模态参数。标定得到的铣削力系数和模态参数见下表：

	自然频率ωq(Hz)	有效模态质量mq(kg)	阻尼系数ξq(-)
				q＝X	898.22	1.576	0.040041
q＝Y	852.51	0.852	0.036768
				Kt(Mpa)	Kr(Mpa)	ρ(μm)	λ(Deg.)
1209.355	501.095	7.2	65.09

(2)径向切削量Rr＝5mm，单齿进给量f＝0.0273mm/齿。刀具沿轴向等距分为200个单元。

(3)由步骤(1)可知，本铣削系统存在3个延时量，也就是M＝3，其中τ₁＝T/3，τ₂＝2T/3，τ₃＝T。T表示刀具的旋转周期。在每一个铣削瞬时，对应于第i个刀齿上第s个单元的延时量究竟是τ₁，τ₂还是τ₃按文献6“J.-J.J.Wang，S.Y.Liang，Chip load kinematicsin milling with radial cutter runout，Transactions of the ASME Journal of Engineering forIndustry 118(1996)111-116.”中的方法确定。

(4)根据步骤(1)至(3)的条件，该铣削系统的动力控制方程可表示为

$\stackrel{\·\·}{X}\left(t\right)+C\stackrel{\·}{X}\left(t\right)+\mathrm{KX}\left(t\right)=\underset{l=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}\left[H_l\left(t\right)(X(t-{\mathrm{\τ}}_l)-X\left(t\right))\right]$

其中：

$C=\left[\begin{array}{cc}2{\mathrm{\ξ}}_x{\mathrm{\ω}}_x& 0\\ 0& 2{\mathrm{\ξ}}_y{\mathrm{\ω}}_y\end{array}\right]$

$K=\left[\begin{array}{cc}{{\mathrm{\ω}}_x}^2& 0\\ 0& {{\mathrm{\ω}}_y}^2\end{array}\right]$

$H_l\left(t\right)=\left[\begin{array}{cc}{H}_{l,\mathrm{xx}}\left(t\right)& H_{l,\mathrm{xy}}\left(t\right)\\ H_{l,\mathrm{yx}}\left(t\right)& H_{l,\mathrm{yy}}\left(t\right)\end{array}\right]$

$H_{l,\mathrm{xx}}\left(t\right)=\frac{1}{m_x}\underset{i,s}{\mathrm{\Σ}}[z_{l,i,s}g\left({\mathrm{\θ}}_{l,i,s}\left(t\right)\right)\sin {\mathrm{\θ}}_{l,i,s}\left(t\right)(K_t\cos {\mathrm{\θ}}_{l,i,s}\left(t\right)+K_r\sin {\mathrm{\θ}}_{l,i,s}\left(t\right))]$

$H_{l,\mathrm{xy}}\left(t\right)=\frac{1}{m_x}\underset{i,s}{\mathrm{\Σ}}[z_{l,i,s}g\left({\mathrm{\θ}}_{l,i,s}\left(t\right)\right)\cos {\mathrm{\θ}}_{l,i,s}\left(t\right)(K_t\cos {\mathrm{\θ}}_{l,i,s}\left(t\right)+K_r\sin {\mathrm{\θ}}_{l,i,s}\left(t\right))]$

$H_{l,\mathrm{yx}}\left(t\right)=\frac{1}{m_y}\underset{i,s}{\mathrm{\Σ}}[z_{l,i,s}g\left({\mathrm{\θ}}_{l,i,s}\left(t\right)\right)\sin {\mathrm{\θ}}_{l,i,s}\left(t\right)(-K_t\sin {\mathrm{\θ}}_{l,i,s}\left(t\right)+K_r\cos {\mathrm{\θ}}_{l,i,s}\left(t\right))]$

$H_{l,\mathrm{yy}}\left(t\right)=\frac{1}{m_y}\underset{i,s}{\mathrm{\Σ}}[z_{l,i,s}g\left({\mathrm{\θ}}_{l,i,s}\left(t\right)\right)\cos {\mathrm{\θ}}_{l,i,s}\left(t\right)({-K}_t\sin {\mathrm{\θ}}_{l,i,s}\left(t\right)+K_r\cos {\mathrm{\θ}}_{l,i,s}\left(t\right))]$

z_l，i，s和θ_l，i，s(t)表示第i个刀齿上第s个单元所对应的轴向长度和切削角度。下标l表示在时间t与第i个刀齿上第s个单元对应的延时量为τ_l。g(θ_l，i，s(t))表示窗口函数，当第i个刀齿上第s个单元参与切削时其值为1；否则，其值为0。

(5)使用Cauchy转换，将步骤(4)得到的控制方程改写为：

$\stackrel{\·}{U}\left(t\right)=A\left(t\right)U\left(t\right)+\underset{l=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}{B}_l\left(t\right)U(t-{\mathrm{\τ}}_l),A\left(t\right)=A(t+T),B_l\left(t\right)=B_l(t+T)$

其中：

$A\left(t\right)=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ -{{\mathrm{\ω}}_x}^2-\underset{l=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}{H}_{l,\mathrm{xx}}\left(t\right)& -\underset{l=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}{H}_{l,\mathrm{xy}}\left(t\right)& -2{\mathrm{\ξ}}_x{\mathrm{\ω}}_x& 0\\ -\underset{l=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}{H}_{l,\mathrm{yx}}\left(t\right)& -{{\mathrm{\ω}}_y}^2-\underset{l=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}{H}_{l,\mathrm{yy}}\left(t\right)& 0& -2{\mathrm{\ξ}}_y{\mathrm{\ω}}_y\end{array}\right]$

$B_l\left(t\right)=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ H_{l,\mathrm{xx}}\left(t\right)& H_{l,\mathrm{xy}}\left(t\right)& 0& 0\\ H_{l,\mathrm{yx}}\left(t\right)& H_{l,\mathrm{yy}}\left(t\right)& 0& 0\end{array}\right]$

$U\left(t\right)={[x\left(t\right),y\left(t\right),\stackrel{\·}{x}\left(t\right),\stackrel{\·}{y}\left(t\right)]}^T$

(6)将一个刀具旋转周期T分为120(也就是k＝120)个有限个等距时间段，第j个时间段记为[t_j，t_j+1]，t_j表示第j个时间节点；时间段[t_j，t_j+1]的长度可用 $\mathrm{\Δt}=\frac{T}{120}$ 计算。则延时量τ_l包含时间段的个数用下式进行计算

$m_l=\mathrm{int}\left(\frac{{\mathrm{\τ}}_l+0.5\mathrm{\Δt}}{\mathrm{\Δt}}\right)$

int(^*)表示趋向于0的取整函数，例如int(5.8)＝5。值得一提的是，m₃＝120。

(7)在时间段[t_j，t_j+1]内，步骤(5)得到的控制方程可近似为

$\stackrel{\·}{U}\left(t\right)=A_{j}U\left(t\right)+\underset{l=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}{B}_{l,j}{U}_{{\mathrm{\τ}}_l,j}$

其中

$A_j=\frac{1}{\mathrm{\Δt}}{\∫}_{t_j}^{t_{j+1}}A\left(t\right)\mathrm{dt}$

$B_{l,j}=\frac{1}{\mathrm{\Δt}}{\∫}_{t_j}^{t_{j+1}}{B}_l\left(t\right)\mathrm{dt}$

$U_{{\mathrm{\τ}}_l,j}=U(t-{\mathrm{\τ}}_l)$

$\≈U(t_j+\mathrm{\Δt}/2-{\mathrm{\τ}}_l)$

$\≈w_{l,b}{U}_{j-m_l}+w_{l,a}{U}_{j-m_l+1}$ 符号表示

w_l，b和w_l，a是将U(t-τ_l)与时间段两个节点相关联的权重因子，其值按文献2提供的方法计算得w_l，b＝0.5和w_l，a＝0.5。

(8)假设U(t_j)＝U_j，步骤(5)得到的控制方程的解可表达为

$U\left(t\right)=e^{A_j(t-t_j)}[U_j+\underset{l=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}{A_j}^{-1}{B}_{l,j}{U}_{{\mathrm{\τ}}_l,j}]-\underset{l=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}{A_j}^{-1}{B}_{l,j}{U}_{{\mathrm{\τ}}_l,j}]$

(9)假设t＝t_j+1，并将步骤(7)得到的 $U_{{\mathrm{\τ}}_l,j}\≈w_{l,b}{U}_{j-m_l}+w_{l,a}{U}_{j-m_l+1}$ 代入步骤(8)中的式子，

可得：

$U_{j+1}=Q_j{U}_j+\underset{l=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}(w_{l,a}{R}_{l,j}{U}_{j-m_l+1}+w_{l,a}{R}_{l,j}{U}_{j-m_l})$

其中

$Q_j=e^{A_j(t-t_j)}$

R_l，j＝(Q_j-I)A_j ^-1B_l，j

I是单位斜角矩阵。

(10)将步骤(9)得到的式子用矩阵表示为

V_j+1＝Z_jV_j

式中

$V_j={[U_j,U_{j-1},\·\·\·,U_{j-m_l},\·\·\·{,U}_{j-m_2}]}^T$

(11)考虑刀具旋转周期T内的k个连续的时间段，可得到下面的式子

V_k＝ΨV₀

其中，Ψ＝Z_k-1Z_k-2…Z₁Z₀，k＝120。

(12)将步骤(11)式子中的V_j用下式中的

代换，并将Ψ中与每一个

和

(d＝1，2，…，k)对应的行和列去掉，最后得到的矩阵用

表示。

${\stackrel{-}{V}}_j={[x_j,y_j,{\stackrel{\·}{x}}_j,{\stackrel{\·}{y}}_j,x_{j-1},y_{j-1},\·\·\·,x_{j-m_1},y_{j-m_1},\·\·\·,x_{j-m_2},y_{j-m_2},\·\·\·,x_{j-m_3},y_{j-m_3}]}^T$

(13)如果矩阵的所有特征值的模均小于1，则该系统是渐进稳定的。

通过上面的步骤，得到该铣削系统的稳定性叶瓣图，如图2所示。从图2可看出：

(I)对于考虑刀具偏心和不考虑刀具偏心两种情况，采用本发明方法预测得到的稳定性叶瓣图具有较大的差异；

(II)由于文献1的方法不能考虑刀具偏心的影响，其预测结果与采用本发明方法考虑偏心的预测结果之间的偏差较大；

(III)此外，当单齿进给量f为0.0273mm/齿、轴向切削深度Rz为13.2mm、径向切削深度Rr为5mm时，我们在主轴转速分别为4500转/分钟和5500转/分钟两种情况下进行了切削试验。从图2中可以看出，当转速为4500转/分钟时，出现了明显颤振，这一现象与三条稳定性叶瓣图的预测结果能够很好吻合；当转速为5500转/分钟时，铣削过程是稳定的，这一现象只与在考虑刀具偏心情况下利用本发明方法预测得到的结果吻合。

以上预测结果和试验结果表明：刀具偏心对稳定性叶瓣图的影响较大，当刀具偏心出现时现有技术不能准确反映实际加工情况，然而本发明方法可以反映实际铣削情况。

Claims (1)

1、一种铣削过程稳定域判定方法，其特征在于包括下述步骤：

(a)设定铣刀的半径R、螺旋角β、刀齿数N，并将刀具安装到机床主轴后，采用标准冲击试验法测定机床主轴的模态参数，将测试得到的模态参数记为：ξ_q，ω_q，m_q；q＝X，Y；ξ_q表示阻尼系数；ω_q表示系统自然频率；m_q表示系统有效模态质量；

(b)设定基本切削参数：单齿进给量f和径向切削深度Rr；并将铣刀沿轴向等距分为有限个单元，分析确定铣削系统可能出现的延时量的大小和个数，将可能出现的延时量的大小分别用τ₁，τ₂，…，τ_M表示，其中τ₁＜τ₂＜…＜τ_M。M表示延时量的个数，铣削系统的动力控制方程表示为：

$\stackrel{\·\·}{X}\left(t\right)+C\stackrel{\·}{X}\left(t\right)+\mathrm{KX}\left(t\right)=\underset{l=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}\left[H_l\left(t\right)(X(t-{\mathrm{\τ}}_l)-X\left(t\right))\right]---\left(1\right)$

其中：

$C=\left[\begin{array}{cc}2{\mathrm{\ξ}}_x{\mathrm{\ω}}_x& 0\\ 0& 2{{\mathrm{\ξ}}_y\mathrm{\ω}}_y\end{array}\right]$

$K=\left[\begin{array}{cc}{{\mathrm{\ω}}_x}^2& 0\\ 0& {{\mathrm{\ω}}_y}^2\end{array}\right]$

$H_l\left(t\right)=\left[\begin{array}{cc}{H}_{l,\mathrm{xx}}\left(t\right)& H_{l,\mathrm{xy}}\left(t\right)\\ H_{l,\mathrm{yx}}\left(t\right)& H_{l,\mathrm{yy}}\left(t\right)\end{array}\right]$

$H_{l,\mathrm{xx}}\left(t\right)=\frac{1}{m_x}\underset{i,s}{\mathrm{\Σ}}\left[z_{l,i,s}g\left({\mathrm{\θ}}_{l,i,s}\left(t\right)\right)\sin {\mathrm{\θ}}_{l,i,s}\left(t\right)(K_t\cos {\mathrm{\θ}}_{l,i,s}\left(t\right)+K_r\sin {\mathrm{\θ}}_{l,i,s}\left(t\right))\right]$

$H_{l,\mathrm{xy}}\left(t\right)=\frac{1}{m_x}\underset{i,s}{\mathrm{\Σ}}\left[z_{l,i,s}g\left({\mathrm{\θ}}_{l,i,s}\left(t\right)\right)\cos {\mathrm{\θ}}_{l,i,s}\left(t\right)(K_t\cos {\mathrm{\θ}}_{l,i,s}\left(t\right)+K_r\sin {\mathrm{\θ}}_{l,i,s}\left(t\right))\right]$

$H_{l,\mathrm{yx}}\left(t\right)=\frac{1}{m_y}\underset{i,s}{\mathrm{\Σ}}\left[z_{l,i,s}g\left({\mathrm{\θ}}_{l,i,s}\left(t\right)\right)\sin {\mathrm{\θ}}_{l,i,s}\left(t\right)(-K_t\sin {\mathrm{\θ}}_{l,i,s}\left(t\right)+K_r\cos {\mathrm{\θ}}_{l,i,s}\left(t\right))\right]$

$H_{l,\mathrm{yy}}\left(t\right)=\frac{1}{m_y}\underset{i,s}{\mathrm{\Σ}}\left[z_{l,i,s}g\left({\mathrm{\θ}}_{l,i,s}\left(t\right)\right)\cos {\mathrm{\θ}}_{l,i,s}\left(t\right)(-K_t\sin {\mathrm{\θ}}_{l,i,s}\left(t\right)+K_r\cos {\mathrm{\θ}}_{l,i,s}\left(t\right))\right]$

z_l，i，s和θ_l，i，s(t)表示第i个刀齿上第s个单元所对应的轴向长度和切削角度；下标l表示在时间t与第i个刀齿上第s个单元对应的延时量为τ_l；g(θ_l，i，s(t))表示窗口函数，当第i个刀齿上第s个单元参与切削时其值为1；否则，其值为0；K_t和K_r表示切向和径向切削力系数；

(c)使用Cauchy转换，将(1)式改写为：

$\begin{array}{ccc}\stackrel{\·}{U}\left(t\right)=A\left(t\right)U\left(t\right)+\underset{l=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{B}_l\left(t\right)U(t-{\mathrm{\τ}}_l),& A\left(t\right)=A(t+T)& B_l\left(t\right)=B_l(t+T)\end{array},---\left(2\right)$

其中：

T表示刀具旋转周期；

$A\left(t\right)=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ -{{\mathrm{\ω}}_x}^2-\underset{l=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{H}_{l,\mathrm{xx}}\left(t\right)& -\underset{l=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{H}_{l,\mathrm{xu}}\left(t\right)& -2{\mathrm{\ξ}}_x{\mathrm{\ω}}_x& 0\\ -\underset{l=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{H}_{l,\mathrm{yx}}\left(t\right)& -{{\mathrm{\ω}}_y}^2-\underset{l=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{H}_{l,\mathrm{yy}}\left(t\right)& 0& -2{\mathrm{\ξ}}_y{\mathrm{\ω}}_y\end{array}\right]$

$B_l\left(t\right)=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ H_{l,\mathrm{xx}}\left(t\right)& H_{l,\mathrm{xy}}\left(t\right)& 0& 0\\ H_{l,\mathrm{yx}}\left(t\right)& H_{l,\mathrm{yy}}\left(t\right)& 0& 0\end{array}\right]$

$U\left(t\right)={[x\left(t\right),y\left(t\right),\stackrel{\·}{x}\left(t\right),\stackrel{\·}{y}\left(t\right)]}^T;$

(d)将刀具旋转周期T分为k个有限个等距时间段，第j个时间段记为[t_j，t_j+1]，t_j表示第j个时间节点；时间段[t_j，t_j+1]的长度用 $\mathrm{\Δt}=\frac{T}{k}$ 计算；则延时量τ_l包含时间段的个数是：

$m_l=\mathrm{int}\left(\frac{{\mathrm{\τ}}_l+0.5\mathrm{\Δt}}{\mathrm{\Δt}}\right)$

int(*)表示趋向于0的取整函数，m_M＝k；

(e)在时间段[t_j，t_j+1]内，(2)式近似为

$\stackrel{\·}{U}\left(t\right)=A_{j}U\left(t\right)+\underset{l=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{B}_{l,j}{U}_{{\mathrm{\τ}}_l,j}---\left(3\right)$

其中

$A_j=\frac{1}{\mathrm{\Δt}}{\∫}_{t_j}^{t_{j+1}}A\left(t\right)\mathrm{dt}$

$B_{l,j}=\frac{1}{\mathrm{\Δt}}{\∫}_{t_j}^{t_{j+1}}{B}_l\left(t\right)\mathrm{dt}$

$U_{{\mathrm{\τ}}_l,j}=U(t-{\mathrm{\τ}}_l)$

$\≈U(t_j+\mathrm{\Δt}/2-{\mathrm{\τ}}_l)$

$\≈w_{l,b}{U}_{j-m_l}+w_{l,a}{U}_{j-m_l+1}$

符号

表示

w_l，b和w_l，a是将U(t-τ_l)与时间段两个节点相关联的权重因子；

(g)假设U(t_j)＝U_j，(2)式的解为：

$U\left(t\right)=e^{A_j(t-t_j)}[U_j+\underset{l=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{A_j}^{-1}{B}_{l,j}{U}_{{\mathrm{\τ}}_l,j}]-\underset{l=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{A_j}^{-1}{B}_{l,j}{U}_{{\mathrm{\τ}}_l,j}]---\left(4\right)$

(h)假设t＝t_j+1，将(3)得到的 $U_{{\mathrm{\τ}}_l,j}\≈w_{l,b}{U}_{j-m_l}+w_{l,a}{U}_{j-m_l+1}$ 代入(4)式，得：

$U_{j+1}=Q_j{U}_j+\underset{l=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}(w_{l,a}{R}_{l,j}{U}_{j-m_l+1}+w_{l,b}{R}_{l,j}{U}_{j-m_l})---\left(5\right)$

其中

$Q_j=e^{A_j(t-t_j)}$

R_l，j＝(Q_j-I)A_j ^-1B_l，j

I是单位斜角矩阵；

(i)将(5)式用矩阵表示：

V_j+1＝Z_jV_j

式中

$V_j={[U_j,U_{j-1},...,U_{j-m_1},...,U_{j-m_2},...,U_{j-m_M}]}^T$

(j)考虑刀具旋转周期T内的k个连续的时间段，可得：

V_k＝ΨV₀                (6)

其中，Ψ＝Z_k-1Z_k-2…Z₁Z₀；

(k)将式(6)中的V_j用V_j代换，并将Ψ中与每一个

和 ${\stackrel{\·}{y}}_{j-d}(d=1,2,...,k)$ 对应的行和列去掉，最后得到的矩阵用Ψ表示；

${\stackrel{\‾}{V}}_j={[x_j,y_j,{\stackrel{\·}{x}}_j,{\stackrel{\·}{y}}_j,x_{j-1},y_{j-1},...,x_{j-m_1},y_{j-m_1},...,x_{j-m_2}{y}_{j-m_2},...,x_{j-m_M}{y}_{j-m_M}]}^T$

当矩阵Ψ的所有特征值的模均小于1时，系统是渐进稳定的。

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