CN104504197B - 一种阿基米德螺旋线平面螺纹的偏心参量修正方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种阿基米德螺旋线平面螺纹测量模型与其偏心参量修正方法。将被测平面螺纹与光栅盘中心对准放置，在平面螺纹测量点所在的平面上建立直角坐标系，测量获取一系列采样点；将各个采样点代入目标函数，采用泰勒级数展开方法对目标函数分解，再用Levenberg—Marquardt计算方法进行迭代处理，求得偏心参量、阿基米德螺旋线速率以及修正后的采样点。本发明提出的测量模型能够完整地反映偏心参量对阿基米德螺旋线平面螺纹测量的影响，其修正方法克服了目前普遍使用的测量模型存在的原理缺陷以及参数估计精度低的问题，降低了回转测量装置调心的准确度要求。

Description

一种阿基米德螺旋线平面螺纹的偏心参量修正方法

技术领域

本发明涉及一种螺纹工件的测量模型与修正方法，特别涉及表面形状测量技术领域的一种阿基米德螺旋线平面螺纹测量模型与其偏心参量修正方法。

背景技术

现有的平面螺纹测量装置，其基本结构图如图1所示：光栅盘3与回转中心4同轴固定连接；被测平面螺纹2安装在光栅盘3上方，并与回转中心4同心；与光栅盘3配合的光栅尺1位于被测平面螺纹2上。

而在该测量装置中，主要有三种误差：

(1)由光栅尺不经过回转中心引起的极径测量误差；

(2)由光栅盘中心与回转中心不重合引起的极角测量误差；

(3)由被测工件中心与回转中心不重合引起的偏心误差。

尤其是对于由被测工件中心与回转中心不重合引起的偏心误差，是影响阿基米德螺旋线平面螺纹测量的重要误差源，目前国内外对这种几何中心与回转中心不重合产生的误差所广泛使用的测量模型是由英国Spragg提出并证明的Limacon模型，该模型针对圆的偏心参量修正，认为在满足条件e<<r₀(r₀为圆半径)时，采用最小二乘拟合方法得到偏心参量。然而该方法的测量模型是在e<<r₀情况下推导的近似的测量模型，在测量精度要求较高情况下，或者在偏心量较大的情况下，Limacon模型的缺陷将凸显出来。

发明内容

针对上述已有技术存在的问题，本发明的目的是提出一种阿基米德螺旋线平面螺纹测量模型与其偏心参量修正方法，针对于由被测工件中心与回转中心不重合引起的偏心参量，能够精确完整地反映偏心参量对整个测量装置测量造成的影响，对平面螺纹的型面质量进行更准确的评价，从而进一步提高平面螺纹的测量精度。

本发明目的通过以下技术方案实现：

一、一种含偏心参量的阿基米德螺旋线平面螺纹测量模型：

在阿基米德螺旋线平面螺纹测量点所在的平面上建立直角坐标系，直角坐标系以回转中心为原点，所述测量模型包含被测试平面螺纹的偏心参量(Δx,Δy)、阿基米德螺旋线速率A与极角为0°时的极径B，具体为：

式中，(x_i,y_i)表示阿基米德螺旋线的采样点，(Δx,Δy)为直角坐标系下阿基米德螺旋线平面螺纹相对测量装置回转中心的偏心参量，A为阿基米德螺旋线速率，B为平面螺纹螺旋线在极角0°时的极径；k为采样点位于阿基米德螺旋线的圈数扣数，θ为极角。

二、一种阿基米德螺旋线平面螺纹测量模型与其偏心参量的修正方法，包括以下步骤：

1)将被测的阿基米德螺旋线平面螺纹与光栅盘中心对准放置，在阿基米德螺旋线平面螺纹测量点所在的平面上建立直角坐标系，直角坐标系以回转中心为原点，对阿基米德螺旋线平面螺纹的螺旋线进行采样，获取一系列采样点(x_i,y_i)，x_i,y_i分别为采样点直角坐标形式的横、纵坐标，即(x_i,y_i)是(ρ_i,θ_i)的直角坐标形式，x_i＝ρ_icosθ_i，y_i＝ρ_isinθ_i，i为采样点的序号；

2)将各个采样点(x_i,y_i)代入以下目标函数采用泰勒级数展开的方法对目标函数进行分解，以(0,0,A₀,B₀)作为初值，A₀,B₀分别为在无偏心的条件下阿基米德螺旋线速率和极角为0°时极径的最小二乘拟合值，采用泰勒级数展开的方式处理目标函数，再采用Levenberg—Marquardt(L-M)计算方法进行迭代处理，使得逐步逼近至最小值，求得直角坐标系下阿基米德螺旋线平面螺纹相对于测量装置回转中心的偏心参量(Δx,Δy)、阿基米德螺旋线速率A以及螺旋线在极角为0°时的极径B：

其中，k为采样点位于阿基米德螺旋线的圈数扣数。

3)使用偏心参量(Δx,Δy)采用以下公式对各个采样点p_i(x_i,y_i)进行修正，得到阿基米德螺旋线平面螺纹偏心参量修正后的采样点p₁(x_i1,y_i1)：

x_i1＝x_i-Δx,y_i1＝y_i-Δy。

所述的(A₀,B₀)分别为通过一系列采样点(ρ_i,θ_i)以阿基米德螺旋线极坐标下的标准方程ρ_i＝A₀θ_i+B₀拟合二乘得到的斜率A₀和截距B₀，其中(ρ_i,θ_i)为采样点(x_i,y_i)的极坐标形式。

所述的采样点的数量为至少4个。

本发明具有以下特点及有益效果：

1、本发明针对于在本测量装置下的偏心误差Δx＝ecosα,Δy＝esinα，能够完整地反应偏心误差对阿基米德螺旋线平面螺纹测量的影响，进一步完善测量模型，避免了现有Limacon模型存在的原理缺陷，这是区别于现有技术的创新点之一；

2、常规的测量以阿基米德螺旋线平面螺纹上的定位孔假设为阿基米德螺旋线中心，故会引入测量误差，而本发明通过阿基米德螺旋线平面螺纹直接获得真正的中心，这是区别于现有技术的创新点之二；

3、本发明利用泰勒级数展开，对未知数分离，再采用L-M计算方法进行迭代处理，可实现不对测量模型和参数估计进行任何简化的前提下，完成对偏心参量的估计和模型中其他参量的直接求解，显著提高的参数估计的精确性，能够获得被测试件的精确阿基米德螺旋线平面螺纹，解决了现有偏心问题测量模型简化导致的原理缺陷，这是区别于现有技术的创新点之三；

4、本发明直接给出直角坐标系下的偏心参量(Δx,Δy)，为回转测量装置调平调心过程提供了指导性依据。

附图说明

图1为本发明涉及的测量装置结构示意图。

图2为测量模型原理图。

图中：O--测量装置的回转中心，O₁--平面螺纹的几何中心，(Δx,Δy)--螺纹偏心参量，p_i(x_i,y_i)--采样点，A--阿基米德螺旋线速率，B为极角为0°时的极径。

图3为实施例步骤过程a)计算得到的阿基米德平面螺纹误差曲线。

图中：横坐标为拟合点角度值，纵坐标为阿基米德平面螺纹综合误差量。

图4为实施例步骤过程b)偏心修正后计算得到的平面螺纹误差曲线。

图中：横坐标为拟合点角度值，纵坐标为阿基米德平面螺纹误差量综合误差量。

图5为实施例步骤过程c)偏心修正后计算得到的平面螺纹误差曲线。

图中：横坐标为拟合点角度值，纵坐标为阿基米德螺旋线平面螺纹综合误差量。

图中：1、光栅尺，2、被测平面螺纹，3、光栅盘，4、回转中心，5、加工孔。

具体实施方式

下面结合附图及具体实施例对本发明作进一步详细说明。

如图1所示，本发明将被测平面螺纹2放在光栅盘3上，被测平面螺纹2中心有加工孔5，通过回转中心的转动带动安装在转轴上的被测工件(阿基米德螺旋线平面螺纹)以及光栅盘同时旋转，利用光栅盘的读数θ_i和光栅尺的读数ρ_i，测量获得i个采样点p_i(ρ_i,θ_i)，由x_i＝ρ_icosθ_i，y_i＝ρ_isinθ_i转化为p_i(x_i,y_i)，建立在直角坐标系下的阿基米德螺旋线平面螺纹测量模型。并基于该测量模型，采用泰勒级数展开方法对目标函数分解，再用L-M计算方法进行迭代处理，求得偏心参量、阿基米德螺旋线速率以及修正后的采样点。

本发明测量模型能够完整精确地反应偏心参量对螺旋线轮廓的影响；通过泰勒级数展开分离变量，通过L-M迭代计算方法逐步分离出偏心参量，并且进一步提高阿基米德螺旋线平面螺纹参数的测量精度。

如图2所示，本发明的原理如下：

阿基米德螺旋线又称之为等速螺旋线，其公式如下所示：

ρ＝Aθ+B (1)

其中ρ为极径，A为阿基米德螺旋线速率，θ为极角，B为极角为0°时的极径。根据以上测量模型，通过一些列采样点p_i(ρ_i,θ_i)进行最小二乘拟合，计算得到初值(0,0,A₀,B₀)。

考虑实际测量中的偏心参量，首先将极坐标下的阿基米德螺旋线方程转换到直角坐标系下：

式2中(x_i,y_i)为阿基米德螺旋线平面螺纹的采样点，且x_i＝ρ_icosθ_i，y_i＝ρ_isinθ_i，A为阿基米德螺旋线速率，B为极角为0°时的极径，k为阿基米德螺旋线平面螺纹圈数扣数。

如图2所示，在式2中引入平面螺纹的偏心参量(Δx,Δy)得到式3如下：

将式3等号两边的等式相减，构造以极径为评价指标的目标函数：

通过式1为测量模型的最小二乘拟合给定(Δx,Δy,A,B)的初值(0,0,A₀,B₀)，将在(Δx⁰,Δy⁰,A⁰,B⁰)处按照泰勒级数展开，其中(Δx⁰,Δy⁰)分别表示逐步逼近过程中横、纵坐标的偏心参量，A⁰和B⁰分别表示逐步逼近过程中阿基米德螺旋线速率和极径为0°时极角在上一轮计算时的估算值，并且略去二次项以上的系数：

其中，为偏导数符号。

将式5作为目标函数，令L-M逼近函数Q：

其中，Q表示L-M逼近函数，λ为L-M逼近步长系数。

故欲使Q值达到极小值，求Q得偏导数使其为0，整理后得式6：

等式6的左边是Hesse矩阵与迭代步长向量矩阵相乘，记Hesse矩阵为H，等式右边为Jacobi矩阵的转置矩阵与螺纹误差向量矩阵相乘,记Jacobi矩阵为J。

整理公式7得：

其中，T表示矩阵的转置，E为单位矩阵。

整理公式7即可得到以下公式8，即为迭代通式：

当时，迭代终止，得到的(Δx,Δy,A,B)即为最终求得的偏心参量、阿基米德螺旋线速率和极角0°时的极径，其中ε为设定的阈值，ε越小(Δx,Δy,A,B)精确度越高，但是迭代次数越多，运算速度越慢，反之ε越大(Δx,Δy,A,B)精确度越低，但是迭代次数越少，运算速度越快。若当螺纹质量较差时ε可能无法达到，则需要设置一个迭代终止上限防止死循环。

本发明的实施例如下：

采用本发明方法对一个理论螺距为12mm的阿基米德螺旋线平面螺纹进行测量。对采样数据直接进行二乘处理和偏心消除之后的数据处理进行比较，同时将阿基米德螺旋线平面螺纹在不同偏心情况下测量得到的参数进行比较，以验证偏心参量消除的有效性和测量的重复性。

a)偏置较大、数据修正前的测量结果：

如图1所示，首先将待测工件摆放在偏心较大的位置并测量一系列采样点，图中圆心O为回转中心的中心点，圆心O₁为平面螺纹工件的中心点，数据如以下表1中a)未修正数据所示，使用这组数据在未消除偏心误差情况下采用式1进行最小二乘拟合，计算得到

其中，和分别表示阿基米德螺旋线速率A和极角为0°时的极径B在本次实施例过程a)中的估算值。

在这组参数下的螺纹误差如图3所示，观察到明显的以2π为周期的周期性变化，因此如图3所示螺纹误差主要影响因素为螺纹偏心引起的周期性误差，最终计算得到误差的二范数为：13.8065。

b)基于上述过程a)，偏置较大并进行数据修正后的测量结果：

使用本发明方法，利用式8，针对上述步骤a)中的同一系列采样点数据，数据如以下表1中a)未修正数据所示，逐步对螺纹偏心参量进行修正，分离出偏心参量后逐步对数据进行处理，消除偏心参量的数据如以下表1中b)修正后数据所示，计算得到：

其中，为偏心参量(Δx,Δy)在本次实施例过程b)中的估算值，和分别表示阿基米德螺旋线速率A和极角为0°时的极径B在本次实施例过程b)中的估算值。

使用对如以下表1中a)未修正数据进行偏心修正后，对所得修正后的如以下表1中b)修正后数据再次由式1进行拟合，计算得到的螺纹误差如图4所示，图4对比图3可以发现周期性变化已经消失，而且螺纹误差明显变小。说明偏心问题得到了大幅度改善，并且最终计算得到的螺纹误差二范数为：0.5688，相比直接拟合的方式螺纹误差向量二范数大幅度缩小，同时平面螺纹的螺距数据也有了较大的偏差。这从侧面说明本方法对偏心参量的修正是有效的。

表1步骤过程a)、b)、c)的数据

c)偏置较小、数据修正后的测量结果

重新摆放，通过调整三爪卡盘将平面螺纹工件调整到一个偏置较小的位置并且用百分表记录平面螺纹的双轴偏心调整量为(2.149，-0.305)，重新对平面螺纹采样测量并通过本方法进行处理，处理前后数据分别如以上表1中c)修正前数据、c)修正后数据所示，由于偏心参量十分小，修正效果并不明显，计算得到：

其中，为偏心参量(Δx,Δy)在本次实施例过程c)中的估算值，和分别表示阿基米德螺旋线速率A和极角为0°时的极径B在本次实施例过程c)中的估算值。

由步骤b)和步骤c)中所获得两次实验的偏心参量相减得到：

与使用百分表打得的偏心参量相比数据吻合，同时对步骤c)中的螺纹误差进行分析如图5所示，可以计算得到步骤c)中的螺纹误差和步骤b)中的螺纹误差在同一数量级，并且消除了2π为周期的正弦变动，其螺纹误差的二范数为：0.6892。

上述实施例数据结果如表2所示：

表2实施例数据总结

本发明方法在平面直角坐标系下，建立了带偏心参量的平面螺纹的回转测量装置的测量模型，并且针对其测量模型，利用泰勒级数展开的方法分离变量，避免Limacon模型在处理过程中由于近似计算忽略小数据而引入的原理性误差。同时在未知数分离之后采用二乘迭代的方式逐步分离求解出螺纹参量以及偏心参量使用偏心参量对测量点p_i(x_i,y_i)进行修正拟合，并且与未修正之前的拟合数据进行比较，可以看到明显的修正效果。

同时人为地给螺纹施加一个偏心参量后测得新的螺纹偏心参量和螺纹参量可看到与施加的偏心参量吻合，与螺纹参量吻合，理论和实际地验证了本方法的实际有效，由此本发明切实可行，具有明显的技术效果。

Claims (3)

1.一种阿基米德螺旋线平面螺纹的偏心参量修正方法，其特征在于包括以下步骤：

1)将被测的阿基米德螺旋线平面螺纹与光栅盘中心对准放置，在阿基米德螺旋线平面螺纹测量点所在的平面上建立直角坐标系，直角坐标系以回转中心为原点，对阿基米德螺旋线平面螺纹的螺旋线进行采样，测量获取一系列采样点(x_i,y_i)，x_i,y_i分别为采样点直角坐标形式的横、纵坐标，i为采样点的序号；

2)将各个采样点(x_i,y_i)代入以下目标函数采用泰勒级数展开的方法对目标函数进行分解，以(0,0,A₀,B₀)作为初值，A₀,B₀分别为在无偏心的条件下阿基米德螺旋线速率和极角为0°时极径的最小二乘拟合值，采用泰勒级数展开的方式处理目标函数，再采用Levenberg—Marquardt(L-M)计算方法进行迭代处理，使得逐步逼近至最小值，求得直角坐标系下阿基米德螺旋线平面螺纹相对于测量装置回转中心的偏心参量(Δx,Δy)、阿基米德螺旋线速率A以及螺旋线在极角为0°时的极径B：

式中，k为采样点位于阿基米德螺旋线的圈数扣数；

3)使用偏心参量(Δx,Δy)采用以下公式对各个采样点(x_i,y_i)进行修正，得到修正后的采样点(x_i1,y_i1)：

x_i1＝x_i-Δx,y_i1＝y_i-Δy。

2.根据权利要求1所述的一种阿基米德螺旋线平面螺纹的偏心参量修正方法，其特征在于：所述的(A₀,B₀)分别为通过一系列采样点(ρ_i,θ_i)以阿基米德螺旋线极坐标下的标准方程ρ_i＝A₀θ_i+B₀最小二乘法拟合得到的斜率A₀和截距B₀，其中(ρ_i,θ_i)为采样点(x_i,y_i)的极坐标形式。

3.根据权利要求1所述的一种阿基米德螺旋线平面螺纹的偏心参量修正方法，其特征在于：所述的采样点的数量为至少4个。