CN104486044A - 一种大规模mimo系统中的宽带模数混合预处理方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种大规模MIMO系统中的宽带模数混合预处理方法，包括步骤1：获取最小化基站总发射功耗优化模型；步骤2：获取模拟预编码矩阵V；步骤3：获取各子载波上最优低复杂数字预编码器W_i，本发明利用上下行链路对偶性，先设计模拟预编码器，再给定模拟预编码器来设计最优的数字预编码器，不需要迭代运算，可有效降低算法复杂度,并能够兼顾宽带系统中不同用户的性能要求，获得很好的系统性能。

Description

一种大规模MIMO系统中的宽带模数混合预处理方法

技术领域

本发明涉及一种大规模MIMO系统中低成本低复杂度的宽带模数混合预处理方法，属于无线通信技术领域。

背景技术

随着信息与通信技术(ICT,Information and Communication Technology)的不断发展，为了更好的提升系统的频谱效率(SE，spectrum efficiency)和能量效率(EE，energyefficiency)，大规模多输入多输出(Massive MIMO,Massive multiple-inputmultiple-output)技术在近几年来迅速发展^[1]。Massive MIMO作为传统MIMO技术的拓展，将天线数增加到数十根甚至上百根，能够提供较大的分集和复用增益，可以将信道容量提高数十倍^[5]。通过在基站布有大量天线，Massive MIMO可以有效消除多用户间干扰，小区间干扰，并简化了多址层^[2]。

理论上，在Massive MIMO系统中采用全数字波束形成(BF，beamforming)可以产生最优的性能^[3]。在基带进行数字化处理，这就需要每个天线对应一个射频(RF，radiofrequency)链路，RF链路非常昂贵，当天线数很大时，采用和天线数相同数量的RF链路将会产生极高的费用和严重的散热问题，这在实际中是不可行的^[4]。因此，一种RF链路数少于总天线数的波束形成方案将是实用，且更符合实际的。

为了解决上述问题，一种新型的模数混合预编码的思想被相应的提出来^[5]。模数混合预编码即为在基带做一级低维度的数字预编码后，再对RF信号做一级高维度的模拟预编码。通过少量的RF链路映射全部天线，有效的减少RF链路数，相应的降低费用和信号处理复杂度。

对于模数混合预编码，[5]中提出了在Massive MIMO系统中对于单用户情况的模数混合预编码设计方案。[3]中提出了在Massive MIMO系统中对于窄带多用户情况的一种次优的模数混合预编码设计方案。然而对于多载波宽带系统，模拟预编码的设计不能针对各载波独立设计，只能在整个带宽上做一次模拟预编码，这就使问题变得更加复杂。和单级预编码相比，模数混合预编码需要进行模拟和数字预编码器的联合优化设计，传统的迭代优化算法复杂度很高，在实际系统中难以应用。

[1]Long Zhao，Hui Zhao，Fanglong Hu，Kan Zheng and Jingxing Zhang,"Energy Efficient Power AllocationAlgorithm for Downlink Massive MIMO with MRT Precoding,"Vehicular Technology Conference(VTC Fall),2013IEEE 78th,vol.,no.,pp.1,5,2-5Sept.2013.

[2]Narasimhan,T.L.,Raviteja,P.and Chockalingam,A.,"Large-scale multiuser SM-MIMO versus massiveMIMO,"Information Theory and Applications Workshop(ITA),2014,vol.,no.,pp.1,9,9-14Feb.2014.

[3]Shuangfeng Han,Chih Lin I,Rowell,C.,Zhikun Xu,Sen Wang and Zhengang Pan,"Large scale antennasystem with hybrid digital and analog beamforming structure,"Communications Workshops(ICC),2014IEEEInternational Conference on,vol.,no.,pp.842,847,10-14June 2014.

[4]Tadilo Endeshaw Bogale and Long Bao Le,“Beamforming for Multiuser Massive MIMO Systems:Digitalversus Hybrid Analog-Digital,”in proc.IEEE Global Telecommunications Conference(Globecom),2014,pp.1-6.[5]El Ayach,O.,Rajagopal,S.,Abu-Surra,S.,Zhouyue Pi and Heath,R.W.,"Spatially Sparse Precoding inMillimeter Wave MIMO Systems,"Wireless Communications,IEEE Transactions on,vol.13,no.3,pp.1499,1513,March 2014.

发明内容

本发明的目的是为了降低模数混合预编码的复杂度，并将其应用到实际的宽带系统中，提出一种大规模MIMO系统中低成本低复杂度的宽带模数混合预处理方法。在MassiveMIMO系统中满足各用户数据率需求的前提下，以最小化功率为目标，设计一种低成本低复杂度的宽带模数混合预编码方法来在实际的宽带系统中有效的减少射频链路数，降低硬件成本，解决散热问题，并降低运算复杂度。

一种大规模MIMO系统中低成本低复杂度的宽带模数混合预处理方法，包括以下几个步骤：

步骤1：获取最小化基站总发射功耗优化模型；

步骤2：获取模拟预编码矩阵V；

步骤3：获取各子载波上最优低复杂数字预编码器W_i；

本发明的优点在于：

(1)在Massive MIMO系统中，传统的单级预编码方法采用和天线数相同数目的射频链路数，会带来极高的硬件复杂度与信号处理复杂度，在实际中不可行。本发明通过采用混合模数预编码的方法来减少射频链路数，从而有效的降低硬件成本和信号处理复杂度。研究结果表明，本发明的预编码方法在较小的性能损失下，可大大降低系统成本；

(2)传统的模数混合预编码设计方法需要通过模拟预编码器和数字预编码器的多次迭代求解，具有很高的计算复杂度，难以在实际系统中应用。本发明利用上下行链路对偶性，先设计模拟预编码器，再给定模拟预编码器来设计最优的数字预编码器，不需要迭代运算，可有效降低算法复杂度；

(3)现有工作在设计模数混合预编码器时均考虑窄带系统，模拟预编码器只面向窄带上的特定用户进行优化，所得到的方法不能应用于宽带系统。本发明提出的宽带模数混合预编码器能够兼顾不同子载波(或资源块)上用户的性能要求，可以获得更好的系统性能。

附图说明

图1是本发明的方法流程图；

图2是本发明的实施例仿真场景；

图3是本发明的实施例结果曲线。

具体实施方式

下面将结合附图和实施例对本发明作进一步的详细说明。

本发明是一种大规模MIMO系统中低成本低复杂度的宽带模数混合预处理方法，如图1所示，包括以下几个步骤：

步骤1：针对单小区下行链路，基站配有M根天线，N_D个射频链路，用户配有1根天线，系统配置有n个载波(或资源块)，第i个载波上服务K_i个用户，假设基站可以获得它到所有用户的信道状态信息，例如可采用N_D个射频链路分别连接N_D条天线，通过M/N_D次信道估计来获取完整的信道状态信息。设第i个子载波上的第k各个用户的数据率需求为R_ik，模拟预编码矩阵为第i个子载波的数字预编码矩阵为第i个子载波上的第k个用户的数字预编码向量为基站到第i个子载波上的第k个用户的信道列向量为得到给定用户数据率需求时，最小化基站总发射功耗的优化模型为：

$\begin{array}{cc}\underset{V,\left\{W_i\right\}}{\min }& \underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{tr}\left(V{W}_i{\left(V{W}_i\right)}^H\right)\\ s.t& \frac{{\left|h_{\mathrm{ij}}^{H}V{w}_{\mathrm{ik}}\right|}^2}{\underset{j\≠k}{\mathrm{\Σ}}{\left|h_{\mathrm{ik}}^{H}V{w}_{\mathrm{ij}}\right|}^2+{\mathrm{\σ}}^2}\≥2^{R_{\mathrm{ik}}}-1,i=\mathrm{1,2}...n,k=\mathrm{1,2}...K_i\end{array}$

其中：表示复数域，min表示最小化，s.t表示受约束于，tr(·)表示矩阵的迹，(·)^H表示矩阵的共轭转置，σ²表示用户端高斯白噪声的方差，|·|表示模值，表示n项求和。

步骤2：以下行链路容量的下界最大化为准则，计算模拟预编码矩阵V；

优化问题可描述为：

$\underset{v}{\max }\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\frac{1}{2}\log \left(\det (\frac{P}{K_i}{H_i}^{H}V{\left(V^{H}V\right)}^{-1}{V}^H{H}_i+I_{K_i})\right)---\left(2.1\right)$

其中，P为基站在每个子载波上的最大发射功率，表示K_i×K_i维单位矩阵。

为进一步降低复杂度，限制V为正交矩阵，即定义Q＝VV^H，将优化问题(2.1)转换为如下凸优化问题：

其中：max表示最大化，det(·)表示矩阵的行列式，rank(·)表示矩阵的秩,表示基站第i个子载波的各用户的信道矩阵，表示矩阵Q为半正定矩阵。

忽略(2.2)中的rank(Q)＝N_D约束，可以采用标准凸优化算法求解该半正定规划问题，得到最优Q。

基于得到的Q，计算模拟预编码矩阵V，具体步骤如下：

(1)生成V的第一列v₁：

生成L个统计独立的服从均值为0，协方差矩阵为Q复高斯分布的随机向量x₁,x₂,...x_L。计算 $y_l=x_l^{H}Q{x}_l,l=\mathrm{1,2}...L.$ 选取 $v_1=x_{l_{\left(1\right)}},$ 其中l₍₁₎＝arg max y_l,即最大的y_l所对应的序号。

(2)生成V的第m列v_m,m＝2,...,N_D：

定义V_m-1＝[v₁,v₂,...v_m-1]。生成L个统计独立的服从均值为0，协方差矩阵为Q复高斯分布的随机向量x₁,x₂,...x_L。计算

$y_l=x_l^H{V}_{m-1}{\left(V_{m-1}^H{V}_{m-1}\right)}^{-1}{V}_{m-1}^{H}Q{V}_{m-1}{\left(V_{m-1}^H{V}_{m-1}\right)}^{-1}{V}_{m-1}^H{x}_l,l=\mathrm{1,2}...L.$ 选取 $v_m=x_{l_{\left(m\right)}},$ 其中l_(m)＝argmaxy_l,即最大的y_l所对应的序号。其中：(·)^-1表示矩阵的逆。

综上，即得到了模拟预编码矩阵

步骤3：根据已获得的模拟预编码器V，计算数字预编码器W_i，其中

$W_i=[w_{i1},w_{i2},...w_{{\mathrm{iK}}_i}],i=\mathrm{1,2}...n;$

设 $w_{\mathrm{ik}}=\sqrt{p_k^{*}}{\tilde{w}}_{\mathrm{ik}}^{*},$ 其中和由以下步骤计算。

(1)求解

${\tilde{w}}_{\mathrm{ik}}^{*}={(V^{H}V+\underset{j\≠k}{\mathrm{\Σ}}{\mathrm{\λ}}_{\mathrm{ij}}{V}^H{h}_{\mathrm{ij}}{h}_{\mathrm{ij}}^{H}V)}^{-1}{V}^H{h}_{\mathrm{ik}}$

其中λ_ik表示第i个子载波上第k个用户的拉格朗日乘子，计算方法如下：初始化为任意非零值，i＝1,...,n,k＝1,...,K_i，然后按照下式迭代计算：

${\mathrm{\λ}}_{\mathrm{ik}}^{*(n+1)}=\frac{C_{\mathrm{ik}}}{h_{\mathrm{ik}}^{H}V{(V^{H}V+\underset{j\≠k}{\mathrm{\Σ}}{\mathrm{\λ}}_{\mathrm{ij}}^{*\left(n\right)}{V}^H{h}_{\mathrm{ij}}{h}_{\mathrm{ij}}^{H}V)}^{-1}{V}^H{h}_{\mathrm{ik}}},j,k=1,...,K_i$

当迭代达到给定的最大次数或给定精度时，例如ε为给定的精度要求，停止迭代，并输出 ${\mathrm{\λ}}_{\mathrm{ik}}={\mathrm{\λ}}_{\mathrm{ik}}^{*(n+1)},i=1,...,n,k=1,...,K_i.$

其中：表示第n次迭代的拉格朗日乘子的解。

(2)已知求解 $p_k^{*},k=\mathrm{1,2},K_i:$

$[p_1^{*},p_2^{*},...,p_{K_i}^{*}]=M^{-1}\stackrel{1}{\mathrm{\σ}}$

其中为：

${\left[M\right]}_{\mathrm{kj}}=\left\{\begin{array}{cc}\frac{1}{C_{\mathrm{ik}}}{\left|h_{\mathrm{ik}}^{H}V{\tilde{w}}_{\mathrm{ik}}^{*}\right|}^2,& k=j\\ -{\left|h_{\mathrm{ik}}^{H}V{\tilde{w}}_{\mathrm{ij}}^{*}\right|}^2,& k\≠j\end{array}\right.$

其中：[M]_kj为M的第k行第j列的元素，

将和 $p_k^{*},k=\mathrm{1,2},K_i$ 带入 $w_{\mathrm{ik}}=\sqrt{p_k^{*}}{\tilde{w}}_{\mathrm{ik}}^{*},$ 即得到了最优的数字预编码器

$W_i=[w_{i1},w_{i2},...w_{{\mathrm{iK}}_i}],i=\mathrm{1,2}...n.$

实施例：

本发明提出一种大规模MIMO系统中低成本低复杂度的宽带模数混合预编码方法，其流程图如图1所示。实施例中使用matlab仿真平台，对本方法的性能进行仿真分析，仿真场景如图2所示，其中BS表示基站，配有64根天线，MSij表示第i个子载波的第j个单天线用户，各子载波用户数为3，各用户的数据率要求为3bps。

主要步骤如下：

步骤1：针对单小区下行链路，基站配有64根天线，N_D个射频链路，用户配有1根天线，基站配置有n个载波(或资源块)，每个载波上服务3个用户，假设基站可以获得它到所有用户的信道状态信息，例如可采用N_D个射频链路分别连接N_D条天线，通过64/N_D次信道估计来获取完整的信道状态信息。设第i个子载波上第k各个用户的数据率需求为3bps，模拟预编码矩阵为第i个子载波的数字预编码矩阵为第i个子载波上第k个用户的数字预编码向量为基站到第i个子载波上第k个用户的信道列向量为得到给定用户数据率需求时，最小化基站总发射功耗的优化模型为：

$\begin{array}{cc}\underset{V,\left\{W_i\right\}}{\min }& \underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{tr}\left(V{W}_i{\left(V{W}_i\right)}^H\right)\\ s.t& \frac{{\left|h_{\mathrm{ij}}^{H}V{w}_{\mathrm{ik}}\right|}^2}{\underset{j\≠k}{\mathrm{\Σ}}{\left|h_{\mathrm{ik}}^{H}V{w}_{\mathrm{ij}}\right|}^2+{\mathrm{\σ}}^2}\≥7,i=\mathrm{1,2}...n,k=\mathrm{1,2}...3\end{array}$

其中：表示复数域，min表示最小化，s.t表示受约束于，tr(·)表示矩阵的迹，(·)^H表示矩阵的共轭转置，σ²表示用户端高斯白噪声的方差，取为1，|·|表示模值，表示n项求和。

步骤2：以下行链路容量的下界最大化为准则，计算模拟预编码矩阵V；

优化问题可描述为：

$\underset{v}{\max }\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\frac{1}{2}\log \left(\det (\frac{1}{3}{H_i}^{H}V{\left(V^{H}V\right)}^{-1}{V}^H{H}_i+I_3)\right)---\left(2.1\right)$

其中，基站在每个子载波上的最大发射功率为1，I₃表示3×3维单位矩阵。

为进一步降低复杂度，限制V为正交矩阵，即定义Q＝VV^H，将优化问题

(2.1)转换为如下凸优化问题：

其中：max表示最大化，det(·)表示矩阵的行列式，rank(·)表示矩阵的秩,表示基站到第i个子载波的各用户的信道矩阵，表示矩阵Q为半正定矩阵。

忽略(2.2)中的rank(Q)＝N_D约束，可以采用标准凸优化算法求解该半正定规划问题，得到最优Q。

基于得到的Q，计算模拟预编码矩阵V，具体步骤如下：

(1)生成V的第一列v₁：

生成1000个统计独立的服从均值为0，协方差矩阵为Q复高斯分布的随机向量x₁,x₂,...x₁₀₀₀。计算 $y_l=x_l^{H}Q{x}_l,l=\mathrm{1,2}...100C.$ 选取 $v_1=x_{l_{\left(1\right)}},$ 其中l₍₁₎＝arg maxy_l,即最大的y_l所对应的序号。

(2)生成V的第m列v_m,m＝2,...,N_D：

定义V_m-1＝[v₁,v₂,...v_m-1]。生成1000个统计独立的服从均值为0，协方差矩阵为Q复高斯分布的随机向量x₁,x₂,...x₁₀₀₀。计算

$y_l=x_l^H{V}_{m-1}{\left(V_{m-1}^H{V}_{m-1}\right)}^{-1}{V}_{m-1}^{H}Q{V}_{m-1}{\left(V_{m-1}^H{V}_{m-1}\right)}^{-1}{V}_{m-1}^H{x}_l,l=\mathrm{1,2}...1000.$ 选取 $v_m=x_{l_{\left(m\right)}},$ 其中l_(m)＝argmaxy_l,即最大的y_l所对应的序号。其中：(·)^-1表示矩阵的逆。

综上，即得到了模拟预编码矩阵V＝[v₁,v₂,...v_ND]。

步骤3：根据已获得的模拟预编码器V，计算数字预编码器W_i，其中

W_i＝[w_i1,w_i2,w_i3],i＝1,2...n；

设 $w_{\mathrm{ik}}=\sqrt{p_k^{*}}{\tilde{w}}_{\mathrm{ik}}^{*},$ 其中和由以下步骤计算。

(1)求解

${\tilde{w}}_{\mathrm{ik}}^{*}={(V^{H}V+\underset{j\≠k}{\mathrm{\Σ}}{\mathrm{\λ}}_{\mathrm{ij}}{V}^H{h}_{\mathrm{ij}}{h}_{\mathrm{ij}}^{H}V)}^{-1}{V}^H{h}_{\mathrm{ik}}$

其中λ_ik表示第i个子载波上第k个用户的拉格朗日乘子，计算方法如下：初始化为任意非零值，i＝1,...,n,k＝1,...,K_i，然后按照下式迭代计算：

${\mathrm{\λ}}_{\mathrm{ik}}^{*(n+1)}=\frac{C_{\mathrm{ik}}}{h_{\mathrm{ik}}^{H}V{(V^{H}V+\underset{j\≠k}{\mathrm{\Σ}}{\mathrm{\λ}}_{\mathrm{ij}}^{*\left(n\right)}{V}^H{h}_{\mathrm{ij}}{h}_{\mathrm{ij}}^{H}V)}^{-1}{V}^H{h}_{\mathrm{ik}}},j,k=\mathrm{1,2,3}$

当迭代达到给定的最大次数或给定精度时，例如ε为给定的精度要求，停止迭代，并输出

其中:表示第n次迭代的拉格朗日乘子的解。

(2)已知求解 $p_k^{*},k=\mathrm{1,2,3}:$

$[p_1^{*},p_2^{*},...,p_{K_i}^{*}]=M^{-1}\mathrm{\σ}$

其中σ＝[σ²,σ²,σ²]，为：

${\left[M\right]}_{\mathrm{kj}}=\left\{\begin{array}{cc}\frac{1}{7}{\left|h_{\mathrm{ik}}^{H}V{\tilde{w}}_{\mathrm{ik}}^{*}\right|}^2,& k=j\\ -{\left|h_{\mathrm{ik}}^{H}V{\tilde{w}}_{\mathrm{ij}}^{*}\right|}^2,& k\≠j\end{array}\right.$

其中：[M]_kj为M的第k行第j列的元素。

将和 $p_k^{*},k=\mathrm{1,2,3}$ 带入 $w_{\mathrm{ik}}=\sqrt{p_k^{*}}{\tilde{w}}_{\mathrm{ik}}^{*},$ 即得到了最优的数字预编码器

W_i＝[w_i1,w_i2,w_i3],i＝1,2...n。

图3给出了利用本发明的预编码方法，图中横轴表示射频链路数，纵轴表示总发射功耗，基站配有64根天线，在满足各用户3bps/HZ的数据率需求时不同子载波情况下，采用不同射频链路数时所需消耗的功率的仿真曲线图。可以看出，随着射频链路数的减少或随着子载波数的增加功耗会增大，在射频链路数减半时，功耗增加的很少，却有效的减少了射频链路数，降低了硬件成本与运算复杂度。

Claims (1)

1.一种大规模MIMO系统中的宽带模数混合预处理方法，包括以下几个步骤：

步骤1：针对单小区下行链路，基站配有M根天线，N_D个射频链路，用户配有1根天线，系统配置有n个载波或资源块，第i个载波上服务K_i个用户，假设基站获得它到所有用户的信道状态信息，采用N_D个射频链路分别连接N_D条天线，通过M/N_D次信道估计来获取完整的信道状态信息；设第i个子载波上的第k个用户的数据率需求为R_ik，模拟预编码矩阵为第i个子载波的数字预编码矩阵为第i个子载波上第k个用户的数字预编码向量为基站到第i个子载波上第k个用户的信道列向量为得到给定用户数据率需求时，最小化基站总发射功耗的优化模型为：

$\begin{array}{cc}\underset{v,\left\{w_i\right\}}{\min }& \underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{tr}\left({\mathrm{vw}}_i{\left({\mathrm{vw}}_i\right)}^H\right)\end{array}$

$\begin{array}{cc}s.t& \frac{{\left|h_{\mathrm{ik}}^H{\mathrm{Vw}}_{\mathrm{ik}}\right|}^2}{\underset{j\≠k}{\mathrm{\Σ}}{\left|h_{\mathrm{ik}}^H{\mathrm{Vw}}_{\mathrm{ij}}\right|}^2+{\mathrm{\σ}}^w}\≥2^{R_{\mathrm{ik}}}-1,i=\mathrm{1,2}...n,k=\mathrm{1,2}...K_i\end{array}$

其中：表示复数域，min表示最小化，s.t表示受约束于，tr(·)表示矩阵的迹，(·)^H表示矩阵的共轭转置，σ²表示用户端高斯白噪声的方差，|·|表示模值，表示n项求和；

步骤2：以下行链路容量的下界最大化为准则，计算模拟预编码矩阵V，优化问题描述为：

$\underset{v}{\max }\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\frac{1}{2}\log \left(\det (\frac{P}{K_i}{H_i}^{H}V{\left(V^{H}V\right)}^{-1}{V}^H{H}_i+I_{K_i})\right)---\left(2.1\right)$

其中，P为基站在每个子载波上的最大发射功率，表示K_i×K_i维单位矩阵；

设V为正交矩阵，即定义Q＝VV^H，将优化问题(2.1)转换为如下凸优化问题：

$\underset{Q}{\max }\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\frac{1}{2}\log \left(\det (\frac{P}{K_i}{H_i}^{H}Q{H}_i+I_{K_i})\right)$

s.t Q≥0                                 (2.2)

tr(Q)＝N_D

rank(Q)＝N_D

其中：max表示最大化，det(·)表示矩阵的行列式，rank(·)表示矩阵的秩,表示基站到第i个子载波上K_i个用户的信道矩阵，Q≥0表示矩阵Q为半正定矩阵；

忽略(2.2)中的rank(Q)＝N_D约束，采用标准凸优化算法求解该半正定规划问题，得到最优Q；

基于得到的Q，计算模拟预编码矩阵V，具体步骤如下：

(1)生成V的第一列v₁：

生成L个统计独立的服从均值为0、协方差矩阵为Q复高斯分布的随机向量x₁,x₂,...x_L；计算l＝1,2...L；选取其中l₍₁₎＝arg max y_l，即最大的y_l所对应的序号；

(2)生成V的第m列v_m,m＝2,...,N_D：

定义V_m-1＝[v₁,v₂,...v_m-1]；生成L个统计独立的服从均值为0、协方差矩阵为Q复高斯分布的随机向量x₁,x₂,...x_L；计算

$y_l=x_l^H{V}_{m-1}{\left(V_{m-1}^H{V}_{m-1}\right)}^{-1}{V}_{m-1}^{H}Q{V}_{m-1}{\left(V_{m-1}^H{V}_{m-1}\right)}^{-1}{V}_{m-1}^H{x}_l,$ l＝1,2...L；选取其中l_(m)＝arg max y_l，即最大的y_l所对应的序号；其中：(·)^-1表示矩阵的逆；

综上，即得到了模拟预编码矩阵

步骤3：根据已获得的模拟预编码器V，计算数字预编码器W_i，其中

$W_i=[w_{i1},w_{i2},...w_{{\mathrm{iK}}_i}],i=\mathrm{1,2}...n;$

设其中和由以下步骤计算；

(1)求解

${\tilde{w}}_{\mathrm{ik}}^{*}={(V^{H}V+\underset{j\≠k}{\mathrm{\Σ}}{\mathrm{\λ}}_{\mathrm{ij}}{V}^H{h}_{\mathrm{ij}}{h}_{\mathrm{ij}}^{H}V)}^{-1}{V}^H{h}_{\mathrm{ik}}$

其中λ_ik表示第i个子载波上第k个用户的拉格朗日乘子，计算方法如下：初始化为任意非零值，i＝1,...,n,k＝1,...,K_i，然后按照下式迭代计算：

${\mathrm{\λ}}_{\mathrm{ik}}^{*(n+1)}=\frac{C_{\mathrm{ik}}}{h_{\mathrm{ik}}^{H}V{(V^{H}V+\underset{j\≠k}{\mathrm{\Σ}}{\mathrm{\λ}}_{\mathrm{ij}}^{*\left(n\right)}{V}^H{h}_{\mathrm{ij}}{h}_{\mathrm{ij}}^{H}V)}^{-1}{V}^H{h}_{\mathrm{ik}}},j,k=1,...,K_i$

当迭代达到给定的最大次数或给定精度时，例如ε为给定的精度要求，停止迭代，并输出

i＝1,...,n,k＝1,...,K_i；

(2)已知计算k＝1,2...K_i为：

$[p_1^{*},p_2^{*},...,p_{K_i}^{*}]=M^{-1}\mathrm{\σ}$

其中为：

${\left[M\right]}_{\mathrm{kj}}=\left\{\begin{array}{c}\frac{1}{C_{\mathrm{ik}}}{\left|h_{\mathrm{ik}}^{H}V{\tilde{w}}_{\mathrm{ik}}^{*}\right|}^2,k=j\\ -{\left|h_{\mathrm{ik}}^{H}V{\tilde{w}}_{\mathrm{ij}}^{*}\right|}^2,k\≠j\end{array}\right.$

其中：[M]_kj为M的第k行第j列的元素，

将和k＝1,2...K_i带入即得到了最优的数字预编码器

$W_i=[w_{i1},w_{i2},...w_{{\mathrm{iK}}_i}],i=\mathrm{1,2}...n.$