CN104462757A - 基于监测数据的Weibull分布可靠性序贯验证试验方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开一种基于监测数据的Weibull寿命型产品可靠性序贯验证试验方法。首先利用相似产品或历史使用数据用贝叶斯方法估计Weibull分布的形状参数m，并计算可靠性验证指标检验上限θ₀对应的尺度参数η₀(θ₀)和检验下限θ₁对应的尺度参数η₁(θ₁)；然后将Weibull分布转化为指数分布的形式；接着利用指数分布的序贯验证试验方法推导Weibull分布序贯验证试验方法，由生产方风险α、使用方风险β、MTBF检验上限θ₀、检验下限θ₁以及尺度参数η₀(θ₀)及η₁(θ₁)即可制订试验方案，试验中每出现一次故障将累计失效时间T_r,n(t)与判决边界作比较，即可得出接收判决、拒收判决或者继续试验；最后，针对试验结束后仍不能作出接收或拒收判决的情况，充分利用已有的监测数据进行未故障试验产品的剩余寿命预测，作为新的故障时间进而进行判决。

Description

基于监测数据的Weibull分布可靠性序贯验证试验方法

技术领域

本发明涉及一种评定Weibull寿命型产品可靠性验证指标的序贯验证试验方法。

背景技术

在可靠性验证试验方案中，概率比序贯抽样试验方案可以充分利用每一个故障信息，每发生一次故障就作出一次判决。对于很高或很低MTBF(平均故障间隔时间)的产品，概率比序贯抽样试验方案要比相同风险和鉴别比的定时截尾或定数截尾试验方案作出接收或拒收判决的时间要短，因此，在计划费用和时间内采用序贯抽样试验方案。目前国内外关于概率比序贯抽样试验方案的标准如GJB899A-2009(可靠性鉴定和验收试验)、MIL-STD-781D(MilitaryStandard Reliability Testing for Engineering Development,Qualification,andProduction)等都是基于产品故障前工作时间服从指数分布这一假设而制定的。然而，对于大多数非电子产品而言，事实上仅有10％服从指数分布,多数服从或近似服从Weibull分布。将指数分布的概率比序贯试验方案应用于故障服从Weibull分布的非电子产品，结果将过于保守。

寿命服从指数分布的概率比序贯验证试验方法如下：设随机变量X的分布密度函数记为f(x,θ),θ为表征产品寿命的分布参数。假定产品的MFBF检验上限为θ₀,检验下限为θ₁，对于样本总体为f(x,θ)的样本(x₁,x₂,...,x_n),随机变量X₁,X₂,...,X_n的联合概率密度函数为P_θ＝f(x₁,x₂,...,x_n；θ)

如果θ＝θ₀，则联合概率密度为

$P_{{\mathrm{\θ}}_0}=f(x_1,x_2,...,x_n;{\mathrm{\θ}}_0)=1-\mathrm{\α},$ 高概率接收；

如果θ＝θ₁，则联合概率密度为

$P_{{\mathrm{\θ}}_1}=f(x_1,x_2,...,x_n;{\mathrm{\θ}}_1)=\mathrm{\β},$ 高概率拒收；

其中，α：生产方风险；β：使用方风险。

那么，概率比为根据序贯抽样试验规则：预先选择两个常数A和B，试验中充分利用每一个故障信息，试验中每发生一次故障，就用概率比和两个常数进行比较，从而作出判决。Wald提出序贯试验的判断界限：令

a.若则θ＝θ₀，作出接收判决(大，发生概率为(1-α)，高概率接收)；

b.若则θ＝θ₁,作出拒收判决(大,发生概率为(1-β)，高概率拒收)；

c.若则不能判断，继续试验。

对于指数分布，其概率密度函数为：

f(t)＝θ^-1e^-t/θ

若投入n个试样进行非替换的序贯验证试验，在时刻t以前有r个试样失效，t_(i)为第i个试样失效的时间，那么在非替换情况下定时截尾子样t₍₁₎,t₍₂₎,...,t_(r)的联合概率密度函数为：

$f(t_{\left(1\right)},t_{\left(2\right)},...,t_{\left(r\right)};\mathrm{\θ})=\frac{n!}{(n-r)!}{\mathrm{\θ}}^{-r}{e}^{-T_{r,n}\left(t\right)/\mathrm{\θ}}$

式中：那么根据序贯验证试验的思想方法可得，如果：

$\frac{\mathrm{\&beta;}}{1-\mathrm{\&alpha;}}<\frac{{{\mathrm{\&theta;}}_1}^{-r}{e}^{-T_{r,n}\left(t\right)/{\mathrm{\&theta;}}_1}}{{{\mathrm{\&theta;}}_0}^{-r}{e}^{-T_{r,n}\left(t\right)/{\mathrm{\&theta;}}_0}}<\frac{1-\mathrm{\&beta;}}{\mathrm{\&alpha;}}$

则不能作出判断，寿命试验应继续进行。对不等式两边取自然对数，可化为：

-h₁+rs＜T_r,n(t)＜h₀+rs

式中： $s=\frac{\ln ({\mathrm{\&theta;}}_0/{\mathrm{\&theta;}}_1)}{1/{\mathrm{\&theta;}}_1-1/{\mathrm{\&theta;}}_0},h_0=\frac{-\ln [\mathrm{\&beta;}/(1-\mathrm{\&alpha;})]}{1/{\mathrm{\&theta;}}_1-1/{\mathrm{\&theta;}}_0},h_1=\frac{\ln [(1-\mathrm{\&beta;})/\mathrm{\&alpha;}]}{1/{\mathrm{\&theta;}}_1-1/{\mathrm{\&theta;}}_0}$

若T_r,n(t)≥h₀+rs，则作出接收判决；若T_r,n(t)≤-h₁+rs，则作出拒收判决；若-h₁+rs＜T_r,n(t)＜h₀+rs，则继续试验。

对于指数分布，计算时，只需将已知的α、β、θ₀、θ₁代入上式，即可制定序贯试验方案。试验时将每次故障的数据代入计算，直到作出接收或者拒收判决，停止试验。对于Weibull分布，则不能直接将试验数据直接代入指数分布的序贯试验方案中计算，需要将其转化为指数分布的形式并推导其序贯验证试验方案。

发明内容

鉴于可靠性验证试验标准(GJB899A-2009、MIL-STD-781D)都只给出了寿命服从指数分布的产品的序贯验证试验方案，而寿命服从Weibull分布的可靠性验证试验在工程中无法实施，本发明的目的是提供一种评定Weibull寿命型产品可靠性验证指标的序贯验证试验方法。

为了达到上述目的，本发明采用的技术方案如下：基于监测数据的Weibull分布可靠性序贯验证试验方法，具体步骤如下：

1)对于两参数Weibull分布，概率密度函数f(t|z)和概率分布函数F(t|z)分别为：

$f\left(t\right|z)=\frac{m}{\mathrm{\&eta;}\left(z\right)}{\left(\frac{t}{\mathrm{\&eta;}\left(z\right)}\right)}^{m-1}\exp [-{\left(\frac{t}{\mathrm{\&eta;}\left(z\right)}\right)}^m]---\left(1\right)$

$F\left(t\right|z)=1-\exp [-{\left(\frac{t}{\mathrm{\&eta;}\left(z\right)}\right)}^m]---\left(2\right)$

其中：m表示威布尔分布的形状参数，η(z)表示威布尔分布的尺度参数；

以产品的MTBF来验证设备是否符合其规定的可靠性要求：

$\mathrm{MTBF}={\&Integral;}_0^{\&infin;}f\left(t\right)\&CenterDot;\mathrm{tdt}={\&Integral;}_0^{\&infin;}R\left(t\right)\mathrm{dt}={\&Integral;}_0^{\&infin;}\exp [-{\left(\frac{t}{\mathrm{\&eta;}\left(z\right)}\right)}^m]\mathrm{dt}---\left(3\right)$

通过贝叶斯方法估计得到形状参数m，并根据MTBF检验上限θ₀和检验下限θ₁：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\&theta;}}_0={\&Integral;}_0^{\&infin;}f\left(t\right)\&CenterDot;\mathrm{tdt}={\&Integral;}_0^{\&infin;}R\left(t\right)\mathrm{dt}={\&Integral;}_0^{\&infin;}\exp [-{\left(\frac{t}{{\mathrm{\&eta;}}_0\left({\mathrm{\&theta;}}_0\right)}\right)}^m]\mathrm{dt}\\ {\mathrm{\&theta;}}_1={\&Integral;}_0^{\&infin;}f\left(t\right)\&CenterDot;\mathrm{tdt}={\&Integral;}_0^{\&infin;}R\left(t\right)\mathrm{dt}={\&Integral;}_0^{\&infin;}\exp [-{\left(\frac{t}{{\mathrm{\&eta;}}_1\left({\mathrm{\&theta;}}_1\right)}\right)}^m]\mathrm{dt}\end{array}\right.---\left(4\right)$

计算得到θ₀和θ₁下的不同的η(z)值，分别为η₀(θ₀)和η₁(θ₁)；

2)令(2)式中的y＝t^m，δ＝η(z)^m，则(2)式可改写为：

$F\left(y\right)=1-\exp [-\frac{y}{\mathrm{\&delta;}}]---\left(5\right)$

在累积工作时间t内发生r次故障的概率为：

$\mathrm{Pt}\left(r\right)={\left(\frac{y}{\mathrm{\&delta;}}\right)}^r\left(\frac{e^{-y/\mathrm{\&delta;}}}{r!}\right)---\left(6\right)$

则y服从指数分布，从而将Weibull分布转化成指数分布的情形；

3)不同MTBF要求下，在累积工作时间t内发生r次故障的概率比为：

$P\left(r\right)=\frac{P_1\left(r\right)}{P_0\left(r\right)}={\left(\frac{{\mathrm{\&delta;}}_0}{{\mathrm{\&delta;}}_1}\right)}^r\exp [(1/{\mathrm{\&delta;}}_0-1/{\mathrm{\&delta;}}_1)\&CenterDot;y]---\left(7\right)$

其中：δ₀＝η₀(θ₀)^m，δ₁＝η₁(θ₁)^m；

根据序贯试验的判断界限：

$A<{\left(\frac{{\mathrm{\&delta;}}_0}{{\mathrm{\&delta;}}_1}\right)}^r\exp [(1/{\mathrm{\&delta;}}_0-1/{\mathrm{\&delta;}}_1)\&CenterDot;y]<B---\left(8\right)$

其中：可得Weibull寿命型非替换序贯验证方案继续试验的判断条件为：-h₁+s·r＜T_r,N(t)＜h₀+s·r    (9)

其中：为累积失效时间，r为失效数；

$s=\frac{\ln ({\mathrm{\&delta;}}_0/{\mathrm{\&delta;}}_1)}{1/{\mathrm{\&delta;}}_1-1/{\mathrm{\&delta;}}_0};h_0=\frac{-\ln B}{(1/{\mathrm{\&delta;}}_1-1/{\mathrm{\&delta;}}_0)};h_1=\frac{\ln A}{(1/{\mathrm{\&delta;}}_1-1/{\mathrm{\&delta;}}_0)}$

令T₁(r)＝h₀+s·r，T₂(r)＝-h₁+s·r，若T_r,N(t)≤T₁(r)，则作出拒收判决；若T_r,N(t)≥T₂(r)，则作出接收判决；若T₁(r)≤T_r,N(t)≤T₂(r)，继续试验；

4)如果到试验停止时利用已有的故障信息仍不能得到接收或者拒收判决，可充分利用已有的监测数据进行未故障试验产品的剩余寿命预测，作为新的故障时间进而进行判决。

进一步的，步骤1)中所述通过贝叶斯方法估计得到形状参数m，具体步骤如下：

对于两参数Weibull分布，概率密度函数为：

$f\left(t\right)=\frac{m}{\mathrm{\&eta;}}{\left(\frac{t}{\mathrm{\&eta;}}\right)}^{m-1}\exp [-{\left(\frac{t}{\mathrm{\&eta;}}\right)}^m]---\left(10\right)$

令θ＝η^m，则密度函数为：

$f\left(t\right)=\left(\frac{{\mathrm{mt}}^{m-1}}{\mathrm{\&theta;}}\right)\exp (-\frac{t^m}{\mathrm{\&theta;}})---\left(11\right)$

设随机变量X的分布函数为双参数Weibull分布，X₁,X₂,...,X_n为总体的独立同分布样本，参数θ和m未知，假设未知参数θ的先验分布为IG(α,λ)，参数m的密度函数为g(m)，并且θ和m相互独立，则联合概率密度函数为：

$\mathrm{\&pi;}(\mathrm{\&theta;},m)=\frac{{\mathrm{\&lambda;}}^{\mathrm{\&alpha;}}{e}^{-\frac{\mathrm{\&lambda;}}{\mathrm{\&theta;}}}}{\mathrm{\&Gamma;}\left(\mathrm{\&alpha;}\right){\mathrm{\&theta;}}^{\mathrm{\&alpha;}+1}}g\left(m\right)---\left(12\right)$

由此得θ和m的后验分布密度为：

$\mathrm{\&pi;}(\mathrm{\&theta;},m|x_1,...,x_n)\&Proportional;\frac{e^{-\frac{\mathrm{\&lambda;}}{\mathrm{\&theta;}}}}{{\mathrm{\&theta;}}^{\mathrm{\&alpha;}+1}}g\left(m\right)\frac{m^n}{{\mathrm{\&theta;}}^n}\left(\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Pi;}}}{x_i}^{(m-1)}\right)\exp (-\frac{\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{x_i}^m}{\mathrm{\&theta;}})---\left(13\right)$

未知参数θ和m的贝叶斯估计为后验均值向量，通过积分计算可得：

$\widehat{\mathrm{\&theta;}}=\frac{{\&Integral;}_0^{\&infin;}g\left(m\right)m^n\left(\mathrm{\&Pi;}{x_i}^{(m-1)}\right){(\mathrm{\&lambda;}+\mathrm{\&Sigma;}{x_i}^m)}^{-(n+\mathrm{\&alpha;}-1)}\mathrm{dm}}{(n+\mathrm{\&alpha;}-1){\&Integral;}_0^{\&infin;}g\left(m\right)m^n\left(\mathrm{\&Pi;}{x_i}^{(m-1)}\right){(\mathrm{\&lambda;}+\mathrm{\&Sigma;}{x_i}^m)}^{-(n+\mathrm{\&alpha;})}\mathrm{dm}}---\left(14\right)$

$\hat{m}=\frac{{\&Integral;}_0^{\&infin;}g\left(m\right)m^{n+1}\left(\mathrm{\&Pi;}{x_i}^{(m-1)}\right){(\mathrm{\&lambda;}+\mathrm{\&Sigma;}{x_i}^m)}^{-(n+\mathrm{\&alpha;})}\mathrm{dm}}{{\&Integral;}_0^{\&infin;}g\left(m\right)m^n\left(\mathrm{\&Pi;}{x_i}^{(m-1)}\right){(\mathrm{\&lambda;}+\mathrm{\&Sigma;}{x_i}^m)}^{-(n+\mathrm{\&alpha;})}\mathrm{dm}}---\left(15\right)$

从而计算得出m的估计。

进一步的，步骤4)的具体步骤如下：

若试验在t时刻停止时仍有产品未发生故障，那么具有年龄t的产品从t时刻开始继续使用下去直到失效为止所经历的时间，称为具有年龄t的产品的剩余寿命，记为T_t，其概率分布函数记为F_t(x)，那么根据条件概率公式可得：

$F_t\left(x\right)=P(T_t\&le;x)=P(T\&le;t+x|T>t)=\frac{F(t+x)-F\left(t\right)}{1-F\left(t\right)}---\left(16\right)$

进一步可得：

$F_t\left(x\right)=\frac{[1-R(t+x)]-[1-R\left(t\right)]}{1-F\left(t\right)}=\frac{R\left(t\right)-R(t+x)}{R\left(t\right)}=1-\frac{R(t+x)}{R\left(t\right)}---\left(17\right)$

则在一定年龄t条件下产品的剩余寿命分布函数为：

$F_t\left(x\right)=1-\exp [{\left(\frac{t}{\mathrm{\&eta;}}\right)}^m-{\left(\frac{t+x}{\mathrm{\&eta;}}\right)}^m]---\left(18\right)$

在一定年龄t条件下产品的剩余寿命概率密度函数为：

$f_t\left(x\right)=\frac{m}{\mathrm{\&eta;}}{\left(\frac{t+x}{\mathrm{\&eta;}}\right)}^{m-1}\exp [{\left(\frac{t}{\mathrm{\&eta;}}\right)}^m-{\left(\frac{t+x}{\mathrm{\&eta;}}\right)}^m]---\left(19\right)$

根据疲劳寿命样本的分布参数，可获取其剩余寿命的分布规律；具有年龄t的产品，其剩余寿命T_t能达到x的概率为：

$R_t\left(x\right)=\exp [{\left(\frac{t}{\mathrm{\&eta;}}\right)}^m-{\left(\frac{t+x}{\mathrm{\&eta;}}\right)}^m]---\left(20\right).$

由此可见，对于Weibull分布寿命型产品的可靠性序贯验证试验方法，只需估计出形状参数m和尺度参数η₀(θ₀)及η₁(θ₁)即可制订验证试验方案，如果到试验停止时仍不能得到接收或者拒收判决，可充分利用已有的监测数据进行未故障试验产品的剩余寿命预测，作为新的故障时间进而进行判决。

本发明具有的有益效果是，代替传统的比较保守的指数分布可靠性序贯验证试验方案，推导出的Weibull分布序贯验证试验可有效作出接收或拒收判决，从而避免由于分布假设错误导致判决结果错误。

附图说明

图1为序贯验证试验示意图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明做进一步的说明。

在Weibull分布可靠性序贯验证试验方案中，有必要事先确定试验产品的形状参数m和尺度参数η₀(θ₀)、η₁(θ₁)。

Weibull分布模型的参数用贝叶斯方法估计。两参数Weibull分布的概率密度函数为

$f\left(t\right)=\frac{m}{\mathrm{\&eta;}}{\left(\frac{t}{\mathrm{\&eta;}}\right)}^{m-1}\exp [-{\left(\frac{t}{\mathrm{\&eta;}}\right)}^m]---\left(1\right)$

令θ＝η^m，则密度函数为

$f\left(t\right)=\left(\frac{{\mathrm{mt}}^{m-1}}{\mathrm{\&theta;}}\right)\exp (-\frac{t^m}{\mathrm{\&theta;}})---\left(2\right)$

设随机变量X的分布函数为双参数Weibull分布，X₁,X₂,...,X_n为总体的独立同分布样本，参数θ和m未知，假设未知参数θ的先验分布为IG(α,λ)，参数m的密度函数为g(m)，并且θ和m相互独立，则联合概率密度函数为

$\mathrm{\&pi;}(\mathrm{\&theta;},m)=\frac{{\mathrm{\&lambda;}}^{\mathrm{\&alpha;}}{e}^{-\frac{\mathrm{\&lambda;}}{\mathrm{\&theta;}}}}{\mathrm{\&Gamma;}\left(\mathrm{\&alpha;}\right){\mathrm{\&theta;}}^{\mathrm{\&alpha;}+1}}g\left(m\right)---\left(3\right)$

由此得θ和m的后验分布密度为

$\mathrm{\&pi;}(\mathrm{\&theta;},m|x_1,...,x_n)\&Proportional;\frac{e^{-\frac{\mathrm{\&lambda;}}{\mathrm{\&theta;}}}}{{\mathrm{\&theta;}}^{\mathrm{\&alpha;}+1}}g\left(m\right)\frac{m^n}{{\mathrm{\&theta;}}^n}\left(\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Pi;}}}{x_i}^{(m-1)}\right)\exp (-\frac{\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{x_i}^m}{\mathrm{\&theta;}})---\left(4\right)$

未知参数θ和m的贝叶斯估计为后验均值向量，通过积分计算可得

$\widehat{\mathrm{\&theta;}}=\frac{{\&Integral;}_0^{\&infin;}g\left(m\right)m^n\left(\mathrm{\&Pi;}{x_i}^{(m-1)}\right){(\mathrm{\&lambda;}+\mathrm{\&Sigma;}{x_i}^m)}^{-(n+\mathrm{\&alpha;}-1)}\mathrm{dm}}{(n+\mathrm{\&alpha;}-1){\&Integral;}_0^{\&infin;}g\left(m\right)m^n\left(\mathrm{\&Pi;}{x_i}^{(m-1)}\right){(\mathrm{\&lambda;}+\mathrm{\&Sigma;}{x_i}^m)}^{-(n+\mathrm{\&alpha;})}\mathrm{dm}}---\left(5\right)$

$\hat{m}=\frac{{\&Integral;}_0^{\&infin;}g\left(m\right)m^{n+1}\left(\mathrm{\&Pi;}{x_i}^{(m-1)}\right){(\mathrm{\&lambda;}+\mathrm{\&Sigma;}{x_i}^m)}^{-(n+\mathrm{\&alpha;})}\mathrm{dm}}{{\&Integral;}_0^{\&infin;}g\left(m\right)m^n\left(\mathrm{\&Pi;}{x_i}^{(m-1)}\right){(\mathrm{\&lambda;}+\mathrm{\&Sigma;}{x_i}^m)}^{-(n+\mathrm{\&alpha;})}\mathrm{dm}}---\left(6\right)$

由上式可以得出θ和m的估计。形状参数m确定后，由

$\mathrm{MTBF}={\&Integral;}_0^{\&infin;}f\left(t\right)\&CenterDot;\mathrm{tdt}={\&Integral;}_0^{\&infin;}R\left(t\right)\mathrm{dt}={\&Integral;}_0^{\&infin;}\exp [-{\left(\frac{t}{\mathrm{\&eta;}}\right)}^m]\mathrm{dt}---\left(7\right)$

可得

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\&theta;}}_0={\&Integral;}_0^{\&infin;}f\left(t\right)\&CenterDot;\mathrm{tdt}={\&Integral;}_0^{\&infin;}R\left(t\right)\mathrm{dt}={\&Integral;}_0^{\&infin;}\exp [-{\left(\frac{t}{{\mathrm{\&eta;}}_0\left({\mathrm{\&theta;}}_0\right)}\right)}^m]\mathrm{dt}\\ {\mathrm{\&theta;}}_1={\&Integral;}_0^{\&infin;}f\left(t\right)\&CenterDot;\mathrm{tdt}={\&Integral;}_0^{\&infin;}R\left(t\right)\mathrm{dt}={\&Integral;}_0^{\&infin;}\exp [-{\left(\frac{t}{{\mathrm{\&eta;}}_1\left({\mathrm{\&theta;}}_1\right)}\right)}^m]\mathrm{dt}\end{array}\right.---\left(8\right)$

从而解出η₀(θ₀)、η₁(θ₁)。

Weibull寿命型产品可靠性序贯验证试验方法，具体步骤如下：

1)对于两参数Weibull分布，概率密度函数f(t|z)和概率分布函数F(t|z)分别为：

$f\left(t\right|z)=\frac{m}{\mathrm{\&eta;}\left(z\right)}{\left(\frac{t}{\mathrm{\&eta;}\left(z\right)}\right)}^{m-1}\exp [-{\left(\frac{t}{\mathrm{\&eta;}\left(z\right)}\right)}^m]---\left(9\right)$

$F\left(t\right|z)=1-\exp [-{\left(\frac{t}{\mathrm{\&eta;}\left(z\right)}\right)}^m]---\left(10\right)$

其中：m表示威布尔分布的形状参数，η(z)表示威布尔分布的尺度参数；

2)令(10)式中的y＝t^m，δ＝η(z)^m，则(2)式可改写为：

$F\left(y\right)=1-\exp [-\frac{y}{\mathrm{\&delta;}}]---\left(11\right)$

在累积工作时间^t内发生r次故障的概率为：

$\mathrm{Pt}\left(r\right)={\left(\frac{y}{\mathrm{\&delta;}}\right)}^r\left(\frac{e^{-y/\mathrm{\&delta;}}}{r!}\right)---\left(12\right)$

则y服从指数分布，从而将Weibull分布转化成指数分布的情形；

3)不同MTBF要求下，在累积工作时间t内发生r次故障的概率比为：

$P\left(r\right)=\frac{P_1\left(r\right)}{P_0\left(r\right)}={\left(\frac{{\mathrm{\&delta;}}_0}{{\mathrm{\&delta;}}_1}\right)}^r\exp [(1/{\mathrm{\&delta;}}_0-1/{\mathrm{\&delta;}}_1)\&CenterDot;y]---\left(13\right)$

其中：δ₀＝η₀(θ₀)^m，δ₁＝η₁(θ₁)^m；

根据序贯试验的判断界限：

$A<{\left(\frac{{\mathrm{\&delta;}}_0}{{\mathrm{\&delta;}}_1}\right)}^r\exp [(1/{\mathrm{\&delta;}}_0-1/{\mathrm{\&delta;}}_1)\&CenterDot;y]<B---\left(14\right)$

其中：可得Weibull寿命型非替换序贯验证方案继续试验的判断条件为：

-h₁+s·r＜T_r,N(t)＜h₀+s·r    (15)

其中：为累积失效时间，r为失效数；

$s=\frac{\ln ({\mathrm{\&delta;}}_0/{\mathrm{\&delta;}}_1)}{1/{\mathrm{\&delta;}}_1-1/{\mathrm{\&delta;}}_0};h_0=\frac{-\ln B}{(1/{\mathrm{\&delta;}}_1-1/{\mathrm{\&delta;}}_0)};h_1=\frac{\ln A}{(1/{\mathrm{\&delta;}}_1-1/{\mathrm{\&delta;}}_0)}$

令T₁(r)＝h₀+s·r，T₂(r)＝-h₁+s·r，以总试验时间为横轴、总故障数为纵轴画出T₁(r)，T₂(r)的图像如图1所示。若T_r,N(t)≤T₁(r)，则作出拒收判决；若T_r,N(t)≥T₂(r)，则作出接收判决；若T₁(r)≤T_r,N(t)≤T₂(r)，继续试验。

4)如果到试验停止时利用已有的故障信息仍不能得到接收或者拒收判决，可充分利用已有的监测数据进行未故障试验产品的剩余寿命预测，作为新的故障时间进而进行判决。

若试验在t时刻停止时仍有产品未发生故障，那么具有年龄t的产品从t时刻开始继续使用下去直到失效为止所经历的时间，称为具有年龄t的产品的剩余寿命，记为T_t，其概率分布函数记为F_t(x)，那么根据条件概率公式可得：

$F_t\left(x\right)=P(T_t\&le;x)=P(T\&le;t+x|T>t)=\frac{F(t+x)-F\left(t\right)}{1-F\left(t\right)}---\left(16\right)$

进一步可得：

$F_t\left(x\right)=\frac{[1-R(t+x)]-[1-R\left(t\right)]}{1-F\left(t\right)}=\frac{R\left(t\right)-R(t+x)}{R\left(t\right)}=1-\frac{R(t+x)}{R\left(t\right)}---\left(17\right)$

则在一定年龄t条件下产品的剩余寿命分布函数为：

$F_t\left(x\right)=1-\exp [{\left(\frac{t}{\mathrm{\&eta;}}\right)}^m-{\left(\frac{t+x}{\mathrm{\&eta;}}\right)}^m]---\left(18\right)$

在一定年龄t条件下产品的剩余寿命概率密度函数为：

$f_t\left(x\right)=\frac{m}{\mathrm{\&eta;}}{\left(\frac{t+x}{\mathrm{\&eta;}}\right)}^{m-1}\exp [{\left(\frac{t}{\mathrm{\&eta;}}\right)}^m-{\left(\frac{t+x}{\mathrm{\&eta;}}\right)}^m]---\left(19\right)$

根据疲劳寿命样本的分布参数，可获取其剩余寿命的分布规律；具有年龄t的产品，其剩余寿命T_t能达到x的概率为：

$R_t\left(x\right)=\exp [{\left(\frac{t}{\mathrm{\&eta;}}\right)}^m-{\left(\frac{t+x}{\mathrm{\&eta;}}\right)}^m]---\left(20\right).$

从而在t时刻试验停止时仍不能作出判决的情况下，将(t+x)作为新的故障时间进一步作出判决。

虽然本发明已以较佳实施例揭露如上，然其并非用以限定本发明。本发明所属技术领域中具有通常知识者，在不脱离本发明的精神和范围内，当可作各种的更动与润饰。因此，本发明的保护范围当视权利要求书所界定者为准。

Claims (3)

1.基于监测数据的Weibull分布可靠性序贯验证试验方法，其特征在于：具体步骤如下：

1)对于两参数Weibull分布，概率密度函数f(t|z)和概率分布函数F(t|z)分别为：

$f\left(t\right|z)=\frac{m}{\mathrm{\&eta;}\left(z\right)}{\left(\frac{t}{\mathrm{\&eta;}\left(z\right)}\right)}^{m-1}\exp [-{\left(\frac{t}{\mathrm{\&eta;}\left(z\right)}\right)}^m]---\left(1\right)$

$F\left(t\right|z)=1-\exp [-{\left(\frac{t}{\mathrm{\&eta;}\left(z\right)}\right)}^m]---\left(2\right)$

其中：m表示威布尔分布的形状参数，η(z)表示威布尔分布的尺度参数；

以产品的MTBF来验证设备是否符合其规定的可靠性要求：

$\mathrm{MTBF}={\&Integral;}_0^{\&infin;}f\left(t\right)\&CenterDot;\mathrm{tdt}={\&Integral;}_0^{\&infin;}R\left(t\right)\mathrm{dt}={\&Integral;}_0^{\&infin;}\exp [-{\left(\frac{t}{\mathrm{\&eta;}\left(z\right)}\right)}^m]\mathrm{dt}---\left(3\right)$

通过贝叶斯方法估计得到形状参数m，并根据MTBF检验上限θ₀和检验下限θ₁：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\&theta;}}_0={\&Integral;}_0^{\&infin;}f\left(t\right)\&CenterDot;\mathrm{tdt}={\&Integral;}_0^{\&infin;}R\left(t\right)\mathrm{dt}={\&Integral;}_0^{\&infin;}\exp [-{\left(\frac{t}{{\mathrm{\&eta;}}_0\left({\mathrm{\&theta;}}_0\right)}\right)}^m]\mathrm{dt}\\ {\mathrm{\&theta;}}_1={\&Integral;}_0^{\&infin;}f\left(t\right)\&CenterDot;\mathrm{tdt}={\&Integral;}_0^{\&infin;}R\left(t\right)\mathrm{dt}={\&Integral;}_0^{\&infin;}\exp [-{\left(\frac{t}{{\mathrm{\&eta;}}_1\left({\mathrm{\&theta;}}_1\right)}\right)}^m]\mathrm{dt}\end{array}\right.---\left(4\right)$

计算得到θ₀和θ₁下的不同的η(z)值，分别为η₀(θ₀)和η₁(θ₁)；

2)令(2)式中的y＝t^m，δ＝η(z)^m，则(2)式可改写为：

$F\left(y\right)=1-\exp [-\frac{y}{\mathrm{\&delta;}}]---\left(5\right)$

在累积工作时间t内发生r次故障的概率为：

$\mathrm{Pt}\left(r\right)={\left(\frac{y}{\mathrm{\&delta;}}\right)}^r\left(\frac{e^{-y/\mathrm{\&delta;}}}{r!}\right)---\left(6\right)$

则y服从指数分布，从而将Weibull分布转化成指数分布的情形；

3)不同MTBF要求下，在累积工作时间t内发生r次故障的概率比为：

$P\left(r\right)=\frac{P_1\left(r\right)}{P_0\left(r\right)}={\left(\frac{{\mathrm{\&delta;}}_0}{{\mathrm{\&delta;}}_1}\right)}^r\exp [(1/{\mathrm{\&delta;}}_0-1/{\mathrm{\&delta;}}_1)\&CenterDot;y]---\left(7\right)$

其中：δ₀＝η₀(θ₀)^m，δ₁＝η₁(θ₁)^m；

根据序贯试验的判断界限：

$A<{\left(\frac{{\mathrm{\&delta;}}_0}{{\mathrm{\&delta;}}_1}\right)}^r\exp [(1/{\mathrm{\&delta;}}_0-1/{\mathrm{\&delta;}}_1)\&CenterDot;y]<B---\left(8\right)$

其中：可得Weibull寿命型非替换序贯验证方案继续试验的判断条件为：-h₁+s·r＜T_r,N(t)＜h₀+s·r            (9)

其中：为累积失效时间，r为失效数；

$s=\frac{\ln ({\mathrm{\&delta;}}_0/{\mathrm{\&delta;}}_1)}{1/{\mathrm{\&delta;}}_1-1/{\mathrm{\&delta;}}_0};h_0=\frac{-\ln B}{(1/{\mathrm{\&delta;}}_1-1/{\mathrm{\&delta;}}_0)};h_1=\frac{\ln A}{(1/{\mathrm{\&delta;}}_1-1/{\mathrm{\&delta;}}_0)}$

令T₁(r)＝h₀+s·r，T₂(r)＝-h₁+s·r，若T_r,N(t)≤T₁(r)，则作出拒收判决；若T_r,N(t)≥T₂(r)，则作出接收判决；若T₁(r)≤T_r,N(t)≤T₂(r)，继续试验；

4)如果到试验停止时利用已有的故障信息仍不能得到接收或者拒收判决，可充分利用已有的监测数据进行未故障试验产品的剩余寿命预测，作为新的故障时间进而进行判决。

2.根据权利要求1所述的基于监测数据的Weibull分布可靠性序贯验证试验方法，其特征在于：步骤1)中所述通过贝叶斯方法估计得到形状参数m，具体步骤如下：

对于两参数Weibull分布，概率密度函数为：

$f\left(t\right)=\frac{m}{\mathrm{\&eta;}}{\left(\frac{t}{\mathrm{\&eta;}}\right)}^{m-1}\exp [-{\left(\frac{t}{\mathrm{\&eta;}}\right)}^m]---\left(10\right)$

令θ＝η^m，则密度函数为：

$f\left(t\right)=\left(\frac{{\mathrm{mt}}^{m-1}}{\mathrm{\&theta;}}\right)\exp (-\frac{t^m}{\mathrm{\&theta;}})---\left(11\right)$

设随机变量X的分布函数为双参数Weibull分布，X₁,X₂,...,X_n为总体的独立同分布样本，参数θ和m未知，假设未知参数θ的先验分布为IG(α,λ)，参数m的密度函数为g(m)，并且θ和m相互独立，则联合概率密度函数为：

$\mathrm{\&pi;}(\mathrm{\&theta;},m)=\frac{{\mathrm{\&lambda;}}^{\mathrm{\&alpha;}}{e}^{-\frac{\mathrm{\&lambda;}}{\mathrm{\&theta;}}}}{\mathrm{\&Gamma;}\left(\mathrm{\&alpha;}\right){\mathrm{\&theta;}}^{\mathrm{\&alpha;}+1}}g\left(m\right)---\left(12\right)$

由此得θ和m的后验分布密度为：

$\mathrm{\&pi;}(\mathrm{\&theta;},m|x_1,...,x_n)\&Proportional;\frac{e^{-\frac{\mathrm{\&lambda;}}{\mathrm{\&theta;}}}}{{\mathrm{\&theta;}}^{\mathrm{\&alpha;}+1}}g\left(m\right)\frac{m^n}{{\mathrm{\&theta;}}^n}\left(\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Pi;}}}{x}_i^{(m-1)}\right)\exp (-\frac{\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{x}_i^m}{\mathrm{\&theta;}})---\left(13\right)$

未知参数θ和m的贝叶斯估计为后验均值向量，通过积分计算可得：

$\widehat{\mathrm{\&theta;}}=\frac{{\&Integral;}_0^{\&infin;}g\left(m\right)m^n\left(\mathrm{\&Pi;}{x}_i^{(m-1)}{(\mathrm{\&lambda;}+\mathrm{\&Sigma;}{x}_i^m)}^{-(n+\mathrm{\&alpha;}-1)}\mathrm{dm}\right)}{(n+\mathrm{\&alpha;}-1){\&Integral;}_0^{\&infin;}g\left(m\right)m^n\left(\mathrm{\&Pi;}{x}_i^{(m-1)}\right){(\mathrm{\&lambda;}+\mathrm{\&Sigma;}{x}_i^m)}^{-(n+\mathrm{\&alpha;})}\mathrm{dm}}---\left(14\right)$

$\hat{m}=\frac{{\&Integral;}_0^{\&infin;}g\left(m\right)m^{n+1}\left(\mathrm{\&Pi;}{x}_i^{(m-1)}{(\mathrm{\&lambda;}+\mathrm{\&Sigma;}{x}_i^m)}^{-(n+\mathrm{\&alpha;})}\mathrm{dm}\right)}{{\&Integral;}_0^{\&infin;}g\left(m\right)m^n\left(\mathrm{\&Pi;}{x}_i^{(m-1)}\right){(\mathrm{\&lambda;}+\mathrm{\&Sigma;}{x}_i^m)}^{-(n+\mathrm{\&alpha;})}\mathrm{dm}}---\left(15\right)$

从而计算得出m的估计。

3.根据权利要求1所述的基于监测数据的Weibull分布可靠性序贯验证试验方法，其特征在于：步骤4)的具体步骤如下：

若试验在t时刻停止时仍有产品未发生故障，那么具有年龄t的产品从t时刻开始继续使用下去直到失效为止所经历的时间，称为具有年龄t的产品的剩余寿命，记为T_t，其概率分布函数记为F_t(x)，那么根据条件概率公式可得：

$F_t\left(x\right)=P(T_t\&le;x)=P(T\&le;t+x|T>t)=\frac{F(t+x)-F\left(t\right)}{1-F\left(t\right)}---\left(16\right)$

进一步可得：

$F_t\left(x\right)=\frac{[1-R(t+x)]-[1-R\left(t\right)]}{1-F\left(t\right)}=\frac{R\left(t\right)-R(t+x)}{R\left(t\right)}=1-\frac{R(t+x)}{R\left(t\right)}---\left(17\right)$

则在一定年龄t条件下产品的剩余寿命分布函数为：

$F_t\left(x\right)=1-\exp [{\left(\frac{t}{\mathrm{\&eta;}}\right)}^m-{\left(\frac{t+x}{\mathrm{\&eta;}}\right)}^m]---\left(18\right)$

在一定年龄t条件下产品的剩余寿命概率密度函数为：

$f_t\left(x\right)=\frac{m}{\mathrm{\&eta;}}{\left(\frac{t+x}{\mathrm{\&eta;}}\right)}^{m-1}\exp [{\left(\frac{t}{\mathrm{\&eta;}}\right)}^m-{\left(\frac{t+x}{\mathrm{\&eta;}}\right)}^m]---\left(19\right)$

根据疲劳寿命样本的分布参数，可获取其剩余寿命的分布规律；具有年龄t的产品，其剩余寿命T_t能达到x的概率为：

$R_t\left(x\right)=\exp [{\left(\frac{t}{\mathrm{\&eta;}}\right)}^m-{\left(\frac{t+x}{\mathrm{\&eta;}}\right)}^m]---\left(20\right).$