CN104462680A - 静电驱动阶梯型微悬臂梁吸合电压的预测方法和系统 - Google Patents

Abstract

本发明提供一种静电驱动阶梯型微悬臂梁吸合电压的预测方法和系统，其方法包括步骤：建立阶梯型微悬臂梁与衬底固定电极之间的间隙模型；建立所述阶梯型微悬臂梁在静电力作用下发生的变形的试函数模型；按照阶梯型微悬臂梁的横截面大小对其进行区域划分，得到多个梁单元，根据所述梁单元的结构参数以及所述阶梯型微悬臂梁的材料参数确定所述阶梯型微悬臂梁的加权刚度，其中，所述材料参数包括材料特征长度参数；根据所述间隙模型以及所述试函数模型计算所述阶梯型微悬臂梁的吸合位置系数；根据所述吸合位置系数以及所述加权刚度确定所述阶梯型微悬臂梁的吸合电压，可以在提高预测结果的精确性的同时减少计算量，而且可以体现尺度效应的影响。

Description

静电驱动阶梯型微悬臂梁吸合电压的预测方法和系统

技术领域

本发明涉及微机电技术领域，特别是涉及一种静电驱动阶梯型微悬臂梁吸合电压的预测方法和系统。 

背景技术

阶梯型微悬臂梁是静电驱动微机电系统(Micro Electro Mechanical System，以下简称MEMS)中的一种常见结构，广泛应用于射频微开关、微传感器、微执行器等。吸合电压(pull in voltage)，又叫下拉电压(pull down voltage)或驱动电压(actuation voltage)，是静电驱动MEMS产品性能改进、新产品研发的一个重要技术参数，决定着MEMS产品的性能、可靠性及应用范围。在阶梯型微悬臂梁与衬底之间施加偏置电压，使阶梯型微悬臂梁与衬底之间产生静电力，静电力作用下，阶梯型微悬臂梁向衬底方向发生弯曲变形。偏置电压越大，变形就越大，当变形超过一定的值，阶梯型微悬臂梁就失去稳定而突然倒向衬底方向，最后与衬底发生接触。这时的偏置电压就称为吸合电压，发生吸合时阶梯型微悬臂梁的自由端的变形称为吸合位置。 

MEMS产品中的结构、电场、温度等多场耦合作用使得微结构表现出复杂的非线性行为，同时，随着MEMS产品的制造工艺的日益成熟，许多MEMS产品结构尺寸越来越小，小尺寸带来的尺度效应对其吸合电压的影响已经不容忽视，准确预测吸合电压至今仍是微机电技术领域的一个重要问题。其中，当金属材料的尺寸进入微米量级时，试验得到的刚度较按传统理论分析的结果明显增大，这种现象被称为尺度效应。在微机电系统(MEMS)中，微梁的特征尺寸均在微米或亚微米量级。近年来大量的微观试验表明，当构件特征尺寸在微米量级上时，会表现出明显的尺度效应。这种现象无法用宏观力学(经典弹性力学理论)对其解释。 

目前，对于阶梯型微悬臂梁结构的MEMS产品吸合电压预测方法主要有两种，一种是模型预测法，另一种是有限元预测法。模型预测法主要是将阶梯型 微悬臂梁简化为质量-弹簧模型，通过估算等效的弹簧常数来预测吸合电压，这方法基于线性模型，与微结构实际的非线性行为相比，模型过于简化，计算误差较大，计算中考虑的影响因素较少，是一种粗略的估计方式。第二种是利用商业化有限元软件预测吸合电压，如CoventorWare、Intellisuite、ANSYS、COSMOL等。这种方法存在着建模过程复杂、计算工作量大，计算结果的精度受有限元单元类型、网格大小影响等缺点，需要一定经验的专业技术人员才能完成。 

大量研究表明，当微悬臂梁厚度与材料特征长度参数接近时，忽略尺度效应的预测结果将会与实际相差甚远，而以上两种方法都是基于宏观力学理论体系，都没有考虑尺度效应效应对预测结果的影响。 

发明内容

本发明的目的在于提供一种静电驱动阶梯型微悬臂梁吸合电压的预测方法和系统，可以在提高预测结果的精确性的同时减少计算量，而且可以体现尺度效应的影响。 

本发明的目的通过如下方案实现： 

一种静电驱动阶梯型微悬臂梁吸合电压的预测方法，包括如下步骤： 

建立阶梯型微悬臂梁与衬底固定电极之间的间隙模型； 

建立所述阶梯型微悬臂梁在静电力作用下发生的变形的试函数模型； 

按照所述阶梯型微悬臂梁的横截面大小对所述阶梯型微悬臂梁进行区域划分，得到多个梁单元，根据划分的梁单元的结构参数以及所述阶梯型微悬臂梁的材料参数确定所述阶梯型微悬臂梁的加权刚度，其中，所述材料参数包括材料特征长度参数； 

根据所述间隙模型以及所述试函数模型计算所述阶梯型微悬臂梁的吸合位置系数； 

根据所述吸合位置系数以及所述加权刚度确定所述阶梯型微悬臂梁的吸合电压。 

一种静电驱动阶梯型微悬臂梁吸合电压的预测系统，包括： 

第一建模模块，用于建立阶梯型微悬臂梁与衬底固定电极之间的间隙模型； 

第二建模模块，用于建立所述阶梯型微悬臂梁在静电力作用下发生变形的试函数模型； 

刚度确定模块，用于按照所述阶梯型微悬臂梁的横截面大小对所述阶梯型微悬臂梁进行区域划分，得到多个梁单元，根据所述梁单元的结构参数以及所述阶梯型微悬臂梁的材料参数确定所述阶梯型微悬臂梁的加权刚度，其中，所述材料参数包括材料特征长度参数； 

系数计算模块，用于根据所述间隙模型以及所述试函数模型计算所述阶梯型微悬臂梁的吸合位置系数； 

电压确定模块，用于根据所述吸合位置系数以及所述加权刚度确定所述阶梯型微悬臂梁的吸合电压。 

根据上述本发明的方案，其是建立阶梯型微悬臂梁与衬底固定电极之间的间隙模型，建立所述阶梯型微悬臂梁在静电力作用下发生的变形的试函数模型，按照所述阶梯型微悬臂梁的横截面大小对所述阶梯型微悬臂梁进行区域划分，得到多个梁单元，根据划分的梁单元的结构参数以及所述阶梯型微悬臂梁的材料参数确定所述阶梯型微悬臂梁的加权刚度，其中，所述材料参数包括材料特征长度参数，根据所述间隙模型以及所述试函数模型计算所述阶梯型微悬臂梁的吸合位置系数，根据所述吸合位置系数以及所述加权刚度确定所述阶梯型微悬臂梁的吸合电压，由于不需要复杂的建模过程，计算量小，可以在数秒内完成复杂结构的吸合电压高精度预测，且由于是依据阶梯型微悬臂梁的加权刚度确定的阶梯型微悬臂梁的吸合电压，而加权刚度的确定是基于材料特征长度参数，即考虑了尺度效应的影响，使得吸合电压的预测结果更加准确。 

附图说明

图1为本发明的静电驱动阶梯型微悬臂梁吸合电压的预测方法实施例的流程示意图； 

图2为本发明的静电驱动阶梯型微悬臂梁吸合电压的预测系统的一个实施例的结构示意图； 

图3为本发明的静电驱动阶梯型微悬臂梁吸合电压的预测系统的另一个实施例的结构示意图； 

图4为阶梯型微悬臂梁结构的射频MEMS开关1的示意图； 

图5为射频MEMS开关1的有限元模型的示意图； 

图6为阶梯型微悬臂梁结构的射频MEMS开关2的示意图； 

图7为射频MEMS开关2的有限元模型的示意图。 

具体实施方式

为使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图及实施例，对本发明进行进一步的详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施方式仅仅用以解释本发明，并不限定本发明的保护范围。 

在下述说明中，首先针对本发明的静电驱动阶梯型微悬臂梁吸合电压的预测方法的实施例进行说明，再对本发明的静电驱动阶梯型微悬臂梁吸合电压的预测系统的各实施例进行说明，最后根据几个具体的应用示例阐述本发明方案。 

参见图1所示，为本发明的静电驱动阶梯型微悬臂梁吸合电压的预测方法实施例的流程示意图。如图1所示，本实施例的静电驱动阶梯型微悬臂梁吸合电压的预测方法包括如下步骤： 

步骤S101：建立阶梯型微悬臂梁与衬底固定电极之间的间隙模型； 

所述间隙模型可以包括如下公式(1)的形式，或者也可以包括如下公式(2)的形式： 

g(x)＝g₀                     (1) 

g(x)＝g₀+ρ(1-cosx/ρ)+θx   (2) 

式中，g₀为所述阶梯型微悬臂梁的固定端到所述衬底固定电极的初始间隙，ρ为所述述阶梯型微悬臂梁的中心线挠曲的曲率半径，θ为所述中心线的倾斜角度，其中，所述述阶梯型微悬臂梁的垂直于阶梯型微悬臂梁的固定端到自由端的延伸方向(梁的长度方向)的各横截面的中心构成了所述中心线； 

上述公式(1)适用于中心线为直线的阶梯型微悬臂梁，即初始间隙沿梁(本实施例中所描述的梁即为阶梯型微悬臂梁)的长度方向不变； 

上述公式(2)适用于中心线为曲线的阶梯型微悬臂梁，一般有两种情况会导致中心线为曲线出现：一是专门设计的挠曲型的阶梯型微悬臂梁，二是制造过程中存在的残余应力梯度和平均应力的影响，使阶梯型微悬臂梁发生整体倾斜和挠曲； 

步骤S102：建立所述阶梯型微悬臂梁在静电力作用下发生的变形的试函数模型； 

在静电力作用下阶梯型微悬臂梁变形的试函数模型应满足阶梯型微悬臂梁的边界条件，一般选取阶梯型微悬臂梁的第一阶振型函数，或者单位载荷作用下阶梯型微悬臂梁的归一化的变形函数； 

步骤S103：按照所述阶梯型微悬臂梁的横截面大小对所述阶梯型微悬臂梁进行区域划分，得到多个梁单元，根据划分的梁单元的结构参数以及所述阶梯型微悬臂梁的材料参数确定所述阶梯型微悬臂梁的加权刚度，其中，所述材料参数包括材料特征长度参数； 

本实施例中的横截面是垂直于阶梯型微悬臂梁的固定端到自由端的延伸方向的，在横截面大小发生变化的地方为区域划分的界面，例如，对于“T”字形阶梯型微悬臂梁，包括一个横截面较小的区域，一个横截面较大的区域，可以将该T”字形阶梯型微悬臂梁进行区域划分，得到两个梁单元，这两个梁单元分别对应横截面较小的区域、横截面较大的区域； 

本步骤中的根据划分的梁单元的结构参数以及所述阶梯型微悬臂梁的材料参数确定所述阶梯型微悬臂梁的加权刚度的过程进一步可以包括步骤：根据所述结构参数以及所述材料参数分别确定各所述梁单元抗弯刚度；将各所述抗弯刚度加权求和得到所述加权刚度；具体地，梁单元抗弯刚度k_j可以通过如下的公式(3)进行计算，加权刚度K可以通过如下的公式(4)进行计算； 

k_j＝EI_j+μA_jl²   (3) 

其中，m为梁单元的个数，梁单元的宽度、长度和厚度分别记为b_j、L_j、h_j，梁单元两端的沿梁的长度方向的坐标记为x_j1、x_j2，其中，j＝1，2，...m，E为材料弹性模量，μ为材料剪切模量，l为材料特征长度参数，I_j和A_j为第j个梁单元 的惯性矩和横截面面积，为第j单元的加权系数，表示上述试函数模型

步骤S104：根据所述间隙模型以及所述试函数模型计算所述阶梯型微悬臂梁的吸合位置系数； 

计算吸合位置系数可以有多种方式，本实施例中详细介绍三种方式： 

方式一：根据所述间隙模型以及所述试函数模型建立用于求解所述吸合位置系数的非线性方程，该非线性方程如公式(5)所示； 

ηQ(η)-P(η)＝0   (5) 

其中，P(η)、Q(η)分另为： 

其中，ε₀为真空介电常数，ε_r为介质的相对介电常数，b_s、x_s1、x_s2分别为有静电力作用的第s梁单元的宽度、左端点和右端点的坐标，通过求解所述公式(5)的实数根，得到吸合位置系数，吸合位置系数即为公式(5)的实数根； 

方式二：在方式一的基础上，给出了一种具体求解公式(5)的实数根的方式，具体地，将公式(5)中的P(η)、Q(η)分别进行泰勒展开，得到一个多项式方程，该多项式方程如公式(8)所示； 

$q_n{\mathrm{\η}}^{n+1}+\underset{i0}{\overset{n-1}{\mathrm{\Σ}}}(q_i-p_{i+1}){\mathrm{\η}}^{i+1}-p_0=0---\left(8\right)$

其中，p_i、q_i分别为： 

其中，n为泰勒展开的阶数，n为不小于4的正整数，在n取8时，计算结果的截断误差可以忽略，i=0，1，...，n，通过求解所述公式(8)的实数根，得到吸合位置系数，吸合位置系数即为公式(8)的实数根； 

方式三：方式三是基于方式二的，将求解所述公式(8)的实数根的过程转化为求解公式(8)的伴随矩阵的过程，具体地，根据公式(8)的多项式方程确定该多项式方程的伴随矩阵，伴随矩阵如公式(11)所示，求解所述伴随矩阵的实特征值，得到所述吸合位置系数，即所述吸合位置系数为求解得到的实特征值； 

此外，考虑到吸合位置也是反应静电驱动微机电系统性能的一个重要技术参数，而在得到吸合位置系数时，可以快速的求取吸合位置，具体地，可以通过如下公式(12)求取； 

式中，L为阶梯型微悬臂梁的总长度，η_p为吸合位置系数，w_p为吸合位置； 

步骤S105：根据所述吸合位置系数以及所述加权刚度确定所述阶梯型微悬臂梁的吸合电压，具体可以通过如下的公式(13)进行计算。 

$V_p=\sqrt{2K/Q\left({\mathrm{\η}}_p\right)}---\left(13\right)$

本实施例的方案的原理是：基于修正的偶应力理论和Euler-Bernoulli梁模型的，利用能量法建立的预测模型。静电驱动微悬臂梁在某一偏置电压作用下的总势能为微悬臂梁的应变能和电势能之和，微悬臂梁处于静态平衡状态时。根据最小势能原理有：总势能的一阶变分为零，可建立关于电压和变形的一个平衡方程。随着偏置电压的增大，微悬臂梁变形增大。当偏置电压增大到吸合电压时，微悬臂梁处于由静态平衡向失稳状态的过渡的临界状态，总势能的二阶变分为零，可建立关于电压和变形的一个临界平衡方程，联合方程即可以求解发生吸合时对应的吸合电压和吸合位置。 

据此，根据上述本实施例的方案，其是建立阶梯型微悬臂梁与衬底固定电极之间的间隙模型，建立所述阶梯型微悬臂梁在静电力作用下发生的变形的试 函数模型，按照所述阶梯型微悬臂梁的横截面大小对所述阶梯型微悬臂梁进行区域划分，得到多个梁单元，根据划分的梁单元的结构参数以及所述阶梯型微悬臂梁的材料参数确定所述阶梯型微悬臂梁的加权刚度，根据所述间隙模型以及所述试函数模型计算所述阶梯型微悬臂梁的吸合位置系数，根据所述吸合位置系数以及所述加权刚度确定所述阶梯型微悬臂梁的吸合电压，由于本发明方案不需要复杂的建模过程，计算量小，可以在数秒内完成复杂结构的吸合电压高精度预测，且由于是依据阶梯型微悬臂梁的加权刚度确定的阶梯型微悬臂梁的吸合电压，确定加权刚度时需要用到材料特征长度参数，即考虑了尺度效应的影响，使得吸合电压的预测结构更加准确。 

根据上述本发明的静电驱动阶梯型微悬臂梁吸合电压的预测方法，本发明还提供一种静电驱动阶梯型微悬臂梁吸合电压的预测系统，以下就本发明的静电驱动阶梯型微悬臂梁吸合电压的预测系统的实施例进行详细说明。图2中示出了本发明的静电驱动阶梯型微悬臂梁吸合电压的预测系统的实施例的结构示意图。为了便于说明，在图2中只示出了与本发明相关的部分。 

如图2所示，本实施例中的静电驱动阶梯型微悬臂梁吸合电压的预测系统，包括第一建模模块201、第二建模模块202、刚度确定模块203、系数计算模块204、电压确定模块205，其中： 

第一建模模块201，用于建立阶梯型微悬臂梁与衬底固定电极之间的间隙模型； 

第二建模模块202，用于建立所述阶梯型微悬臂梁在静电力作用下发生的变形的试函数模型； 

刚度确定模块203，用于按照所述阶梯型微悬臂梁的横截面大小对所述阶梯型微悬臂梁进行区域划分，得到多个梁单元，根据所述梁单元的结构参数以及所述阶梯型微悬臂梁的材料参数确定所述阶梯型微悬臂梁的加权刚度，其中，所述材料参数包括材料特征长度参数； 

系数计算模块204，用于根据所述间隙模型以及所述试函数模型计算所述阶梯型微悬臂梁的吸合位置系数； 

电压确定模块205，用于根据所述吸合位置系数以及所述加权刚度确定所述 阶梯型微悬臂梁的吸合电压。 

在其中一个实施例中，上述的间隙模型可以包括g(x)＝g₀，或者也可以包括g(x)＝g₀+ρ(1-cosx/ρ)+θx，其中，g₀为所述阶梯型微悬臂梁的固定端到所述衬底固定电极的初始间隙，ρ为所述述阶梯型微悬臂梁的中心线挠曲的曲率半径，θ为所述中心线的倾斜角度。 

在其中一个实施例中，上述的试函数模型可以包括所述阶梯型微悬臂梁的第一阶振型函数、或者单位载荷作用下所述阶梯型微悬臂梁的归一化的变形函数。 

在其中一个实施例中，刚度确定模块203可以根据所述结构参数以及所述材料参数分别确定各所述梁单元抗弯刚度，将各所述抗弯刚度加权求和得到所述加权刚度。 

在其中一个实施例中，系数计算模块204可以根据所述间隙模型以及所述试函数模型建立用于求解所述吸合位置系数的非线性方程ηQ(η)-P(η)＝0，求解所述非线性方程ηQ(η)-P(η)＝0的实数根，得到所述吸合位置系数，其中，P(η)、Q(η)分别参见上述的公式(6)、公式(7)所示。 

在其中一个实施例中，在上一个实施例的基础上，系数计算模块204可以将所述非线性方程ηQ(η)-P(η)＝0中的P(η)、Q(η)按照泰勒展开得到多项式方程  $q_n{\mathrm{\η}}^{n+1}+\underset{i=0}{\overset{n-1}{\mathrm{\Σ}}}(q_i-p_{i+1}){\mathrm{\η}}^{i+1}-p_0=0,$ 求解所述多项式方程 $q_n{\mathrm{\η}}^{n+1}+\underset{i=0}{\overset{n-1}{\mathrm{\Σ}}}(q_i-p_{i+1}){\mathrm{\η}}^{i+1}-p_0=0$ 的实数根，得到所述吸合位置系数，其中，p_i、q_i分别参见上述的公式(9)、公式(10)所示。 

在其中一个实施例中，在上一个实施例的基础上，系数计算模块204可以根据所述多项式方程确定该多项式方程 的伴随矩阵，求解所述伴随矩阵的实特征值，得到所述吸合位置系数； 

其中，ε₀为真空介电常数，ε_r为介质的相对介电常数，b_s、x_s1、x_s2分别为有静电力作用的第s梁单元的宽度、左端点和右端点的坐标，n为泰勒展开的阶数。 

在其中一个实施例中本发明的静电驱动阶梯型微悬臂梁吸合电压的预测系 统，如图3所示，还可以包括： 

位置确定模块206，用于根据所述吸合位置系数、所述试函数模型确定所述阶梯型微悬臂梁的吸合位置。 

本发明的静电驱动阶梯型微悬臂梁吸合电压的预测系统与本发明的静电驱动阶梯型微悬臂梁吸合电压的预测方法一一对应，在上述静电驱动阶梯型微悬臂梁吸合电压的预测方法的实施例阐述的技术特征及其有益效果均适用于静电驱动阶梯型微悬臂梁吸合电压的预测系统的实施例中，特此声明。 

为了便于理解本发明方案，下面将结合图4至图7，以某两个阶梯型悬臂梁结构的射频MEMS开关为例，对本技术发明方案的具体实施过程和带来的有效果作进一步说明。 

应用实施例1 

对本发明的计算精度、计算速度、尺度效应功能作进一步阐述。 

射频MEMS开关1的结构如图4所示，结构参数与材料参数见表1。 

表1开关1结构与材料参数 

参数	数值
		L1	96μm
b1	100μm
		L2	64μm
b2	163μm
		h	2μm
g0	2μm
		E	169.2GPa
v	0.22
		l	0.592μm
ε0	8.854E-12F/m
		εr	1

1)建立阶梯型微悬臂梁与衬底固定电极之间的初始间隙模型为g(x)＝g₀； 

2)建立在静电力作用下阶梯型微悬臂梁变形的试函数模型为单元载荷作用下的归一化变形函数； 

3)按照阶梯型微悬臂梁横截面大小划分为2个梁单元，分别计算各梁单元的抗弯刚度、加权系数，最后计算加权刚度K，结果见表2所列； 

4)根据如上获得的初始间隙模型和试函数模型，在按照如上的泰勒展开时， 取n＝8，计算参数p_i和q_i如下结果见表3所列，组建多项式伴随矩阵B，计算其特征值得到变形系数η_p=-9.8463，进一步计算吸合位置w_p＝0.8327； 

5)根据的q_i和η_p，计算Q(η_p)＝2.2345e^-6，再结合K，计算吸合电压V_p＝23.4844，单位为伏特。 

表2梁单元的相关数据 

表3参数计算结果 

i	pi	qi
			0	-1.4363e-03	9.2293e-05
1	9.2293e-05	-9.2730e-06
			2	-4.6365e-06	6.4235e-07
3	2.1412e-07	-3.8113e-08
			4	-9.5283e-09	2.0811e-09
5	4.1622e-10	-1.0799e-10
			6	-1.7998e-11	5.4153e-12
7	7.7361e-13	-2.6501e-13
			8	-3.3126e-14	1.2734E-14

以下在同一计算机平台上，采用有限元方法、质量-弹簧模型以及本发明，三种方法分别进行同一结构的吸合电压预测。其中，本发明和质量-弹簧模型是基于MATLAB平台编程计算，有限元方法是基于ANSYS平台计算。结果见表4。图5为射频MEMS开关1的有限元模型。 

表4不同方法吸合电压预测结果对比 

	本发明	ANSYS	质量-弹簧模型
				吸合电压预测结果V	19.63	19.59	17.3

[0104] 

相对误差	/	-0.2％	-11.8％
				计算耗时	0.9s	约15min	0.0002s

备注：由于其它两种方法无法考虑尺度效应的影响，为方便对比，采用本发明计算时将材料特征长度参数设置为0，即为无尺度效应的预测结果。 

可以看出，本发明结果在精度、计算耗时方面具有明显优势。同时需要指出的是，ANSYS计算耗时是与有限元网格数成正比，也就是与实际结构尺寸、网格大小等相关，本次ANSYS耗时中不包括建模过程。而本发明不受此方面的影响。 

本例中考虑尺度效应前后，吸合电压预测结果相差19.6％，说明尺度效应的影响较大，不可忽略。忽略以后的预测结果会与实际值相差较大。 

应用实施例2 

对本发明的适用性、计算精度、计算速度做进一步阐述。 

射频MEMS开关2的结构如图6所示，结构参数与材料参数见表5。 

表5开关2的结构参数与材料参数 

参数	数值
		L1	46μm
b1	20μm
		L2	114μm
b2	163μm
		h	7μm
g0	2μm
		E	78.5GPa
v	0.22
		l	0
ε0	8.854e-12F/m
		εr	1

1)建立阶梯型微悬臂梁与衬底固定电极之间的初始间隙模型为g(x)＝g₀； 

2)建立在静电力作用下阶梯型微悬臂梁变形的试函数模型为单元载荷作用下的归一化变形函数； 

3)按照阶梯型微悬臂梁横截面大小划分为3个梁单元，分别计算各梁单元的抗弯刚度、加权系数，最后计算加权刚度K，结果见表6所列。 

4)根据如上获得的初始间隙模型和试函数模型，取n＝8，计算参数p_i和q_i如 下结果见表3所列，组建多项式伴随矩阵B，计算其特征值得到变形系数η_p＝-141.7653，进一步计算吸合位置w_p＝0.8809； 

5)根据的q_i和η_p，计算Q(η_p)＝2.2345e^-6，再结合K，计算吸合电压V_p＝56.5520，单位为伏特。 

表6梁单元的相关数据 

表7参数计算结果 

i	pi	qi
			0	-1.4811e-04	6.2075e-07
1	6.2075e-07	-4.3325e-09
			2	-2.1662e-09	2.1490e-11
3	7.1633e-12	-9.2594e-14
			4	-2.3148e-14	3.6952e-16
5	7.3905e-17	-1.4055e-18
			6	-2.3425e-19	5.1733e-21
7	7.3905e-22	-1.8593e-23
			8	-2.3242e-24	6.5632e-26

表8不同方法吸合电压预测结果对比 

	本发明	ANSYS
			吸合电压预测结果V	56.552	54.97
相对误差	/	-2.87％
			计算耗时	0.9s	约35min

备注：本发明计算时将材料特征长度参数设置为0，即为无尺度效应的预测结果。 

基于按本发明的技术方案实施步骤编写MATLAB程序，将表4中的开关结 构参数输入，可得到吸合电压预测结果为V_p＝56.55V，利用ANSYS计算结果为54.97V，与本发明预测结果相对误差为-2.87％，质量-弹簧模型的弹簧常数计算公式不能直接应用于本案例的开关结构，需要重新推导，在此不作对比。 

图7为射频MEMS开关2的有限元模型。 

以上两个应用示例进一步说明了本发明技术方法所带来的有益效果： 

本发明解决了复杂的阶梯型微悬臂梁结构的MEMS产品吸合电压快速准确预测的问题；本发明不需要复杂的建模过程，计算量非常小，利用计算机可以在数秒内完成复杂结构的吸合电压高精度预测；本发明具有质量-弹簧模型、商业化有限元软件所不具有的功能——能考虑尺度效应影响。 

以上所述实施例仅表达了本发明的几种实施方式，其描述较为具体和详细，但并不能因此而理解为对本发明专利范围的限制。应当指出的是，对于本领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明构思的前提下，还可以做出若干变形和改进，这些都属于本发明的保护范围。因此，本发明专利的保护范围应以所附权利要求为准。 

Claims (10)

1.一种静电驱动阶梯型微悬臂梁吸合电压的预测方法，其特征在于，包括如下步骤：

建立阶梯型微悬臂梁与衬底固定电极之间的间隙模型；

建立所述阶梯型微悬臂梁在静电力作用下发生的变形的试函数模型；

按照所述阶梯型微悬臂梁的横截面大小对所述阶梯型微悬臂梁进行区域划分，得到多个梁单元，根据所述梁单元的结构参数以及所述阶梯型微悬臂梁的材料参数确定所述阶梯型微悬臂梁的加权刚度，其中，所述材料参数包括材料特征长度参数；

根据所述间隙模型以及所述试函数模型计算所述阶梯型微悬臂梁的吸合位置系数；

根据所述吸合位置系数以及所述加权刚度确定所述阶梯型微悬臂梁的吸合电压。

2.根据权利要求1所述的静电驱动阶梯型微悬臂梁吸合电压的预测方法，其特征在于：

所述间隙模型包括g(x)＝g₀、或者g(x)＝g₀+ρ(1-cos x/ρ)+θx，其中，g₀为所述阶梯型微悬臂梁的固定端到所述衬底固定电极的初始间隙，ρ为所述阶梯型微悬臂梁的中心线挠曲的曲率半径，θ为所述中心线的倾斜角度；

或者/和

所述试函数模型为所述阶梯型微悬臂梁的第一阶振型函数、或者单位载荷作用下所述阶梯型微悬臂梁的归一化的变形函数。

3.根据权利要求1所述的静电驱动阶梯型微悬臂梁吸合电压的预测方法，其特征在于，根据所述梁单元的结构参数以及所述阶梯型微悬臂梁的材料参数确定所述阶梯型微悬臂梁的加权刚度的步骤包括步骤：

根据所述结构参数以及所述材料参数分别确定各所述梁单元的抗弯刚度；

将各所述抗弯刚度加权求和得到所述加权刚度。

4.根据权利要求1所述的静电驱动阶梯型微悬臂梁吸合电压的预测方法，其特征在于，根据所述间隙模型以及所述试函数模型计算所述阶梯型微悬臂梁的吸合位置系数的步骤包括步骤：

根据所述间隙模型以及所述试函数模型建立用于求解所述吸合位置系数的非线性方程ηQ(η)-P(η)＝0，求解所述非线性方程ηQ(η)-P(η)＝0的实数根，得到所述吸合位置系数，其中：

或者

将所述非线性方程ηQ(η)-P(η)＝0中的P(η)、Q(η)按照泰勒展开得到多项式方程 $q_n{\mathrm{\η}}^{n+1}+\underset{i=0}{\overset{n-1}{\mathrm{\Σ}}}(q_i-p_{i+1}){\mathrm{\η}}^{i+1}-p_0=0,$ 求解所述多项式方程 $q_n{\mathrm{\η}}^{n+1}+\underset{i=0}{\overset{n-1}{\mathrm{\Σ}}}(q_i-p_{i+1}){\mathrm{\η}}^{i+1}-p_0=0$ 的实数根，得到所述吸合位置系数，其中：

或者

根据所述多项式方程确定该多项式方程的伴随矩阵，求解所述伴随矩阵的实特征值，得到所述吸合位置系数；

其中，ε₀为真空介电常数，ε_r为介质的相对介电常数，b_s、x_s1、x_s2分别为有静电力作用的第s梁单元的宽度、左端点和右端点的坐标，n为泰勒展开的阶数。

5.根据权利要求1或4所述的静电驱动阶梯型微悬臂梁吸合电压的预测方法，其特征在于，还包括步骤：根据所述吸合位置系数、所述试函数模型确定所述阶梯型微悬臂梁的吸合位置。

6.一种静电驱动阶梯型微悬臂梁吸合电压的预测系统，其特征在于，包括：

第一建模模块，用于建立阶梯型微悬臂梁与衬底固定电极之间的间隙模型；

第二建模模块，用于建立所述阶梯型微悬臂梁在静电力作用下发生变形的试函数模型；

刚度确定模块，用于按照所述阶梯型微悬臂梁的横截面大小对所述阶梯型微悬臂梁进行区域划分，得到多个梁单元，根据所述梁单元的结构参数以及所述阶梯型微悬臂梁的材料参数确定所述阶梯型微悬臂梁的加权刚度，其中，所述材料参数包括材料特征长度参数；

系数计算模块，用于根据所述间隙模型以及所述试函数模型计算所述阶梯型微悬臂梁的吸合位置系数；

电压确定模块，用于根据所述吸合位置系数以及所述加权刚度确定所述阶梯型微悬臂梁的吸合电压。

7.根据权利要求6所述的静电驱动阶梯型微悬臂梁吸合电压的预测系统，其特征在于：

所述间隙模型包括g(x)＝g₀、或者g(x)＝g₀+ρ(1-cos x/ρ)+θx，其中，g₀为所述阶梯型微悬臂梁的固定端到所述衬底固定电极的初始间隙，ρ为所述阶梯型微悬臂梁的中心线挠曲的曲率半径，θ为所述中心线的倾斜角度；

或者/和

所述试函数模型包括所述阶梯型微悬臂梁的第一阶振型函数、或者单位载荷作用下所述阶梯型微悬臂梁的归一化的变形函数。

8.根据权利要求6所述的静电驱动阶梯型微悬臂梁吸合电压的预测系统，其特征在于：

所述刚度确定模块根据所述结构参数以及所述材料参数分别确定各所述梁单元的抗弯刚度，将各所述抗弯刚度加权求和得到所述加权刚度。

9.根据权利要求6所述的静电驱动阶梯型微悬臂梁吸合电压的预测系统，其特征在于：

所述系数计算模块根据所述间隙模型以及所述试函数模型建立用于求解所述吸合位置系数的非线性方程ηQ(η)-P(η)＝0，求解所述非线性方程ηQ(η)-P(η)＝0的实数根，得到所述吸合位置系数，其中：

或者

所述系数计算模块将所述非线性方程ηQ(η)-P(η)＝0中的P(η)、Q(η)按照泰勒展开得到多项式方程求解所述多项式方程的实数根，得到所述吸合位置系数，其中：

或者

所述系数计算模块根据所述多项式方程确定该多项式方程的伴随矩阵，求解所述伴随矩阵的实特征值，得到所述吸合位置系数；

其中，ε₀为真空介电常数，ε_r为介质的相对介电常数，b_s、x_s1、x_s2分别为有静电力作用的第s梁单元的宽度、左端点和右端点的坐标，n为泰勒展开的阶数。

10.根据权利要求6或9所述的静电驱动阶梯型微悬臂梁吸合电压的预测系统，其特征在于，还包括：

位置确定模块，用于根据所述吸合位置系数、所述试函数模型确定所述阶梯型微悬臂梁的吸合位置。