CN104270046A - 一种基于转速-电流二维模糊模型自学习的电机控制方法 - Google Patents

Abstract

一种基于转速-电流二维模糊模型自学习的电机控制方法，包括以下步骤：(1)双闭环反馈控制过程，得到反馈占空比d_b(t)；(2)模糊模型前馈控制过程，包括当前网格点p(含速度和电流)在模糊曲面模型S上的映射并获取四个顶点信息，以及根据隶属度和重心法得到点p对应的前馈占空比；(3)自学习过程，包括根据t时刻速度误差来修正t-1时刻网格点p的前馈占空比值，并根据隶属度和反重心法修正点p四周四个顶点信息。本发明有效兼顾稳定性和快速性、自学习能力较好。

Description

一种基于转速-电流二维模糊模型自学习的电机控制方法

技术领域

本发明涉及一种电机控制方法。

背景技术

直流无刷电机和普通电机相比具有明显的高效率、小体积，同时又具备了无极调速等优点，在节能环保经济大为提倡的今日，在诸多领域得到广泛的应用。本文所提的算法是在工业缝纫机专用直流无刷伺服驱动器的研制过程中实践得出，同时能够广泛应用于各种宽转速、变转速、变负载的场合。

直流无刷电机的应用过程中，核心问题之一是驱动器的设计，而驱动器的核心技术主要包括了硬件电路设计和软件控制算法设计。其中软件控制算法目前市面上普遍采用的为基于PID控制器的速度外环——电流内环算法，亦称为双闭环控制算法，其中速度外环确保了速度误差的收敛性而电流内环则提高了算法的响应速度以及大电流保护等。双闭环控制算法结构简单，参数易于调试，且具有一定的鲁棒性和适应性，被广大技术产品开发人员所接受。

然而，这类算法也具有一些不足之处。首先，该算法是基于反馈的，因此误差产生在前、占空比响应在后，速度跟踪存在一定程度的滞后。速度外环的比例控制容易引起超调而积分控制容易引起振荡，难以在稳定性和快速性之间获得更好的平衡；其次，该算法的参数是初始化设定的，随着使用年限驱动器的电解电容容量变化明显、电机也发生一定程度老化，另外不同负载工况下其传递函数零极点发生显著偏移，这些因素都导致采用同一组控制参数的驱动器表现性能差异较大。

发明内容

为了克服已有电机控制方法的无法兼顾稳定性和快速性、无自学习能力的不足，本发明提供了一种有效兼顾稳定性和快速性、自学习能力较好的基于转速-电流二维模糊模型自学习的电机控制方法。

本发明解决其技术问题所采用的技术方案是：

一种基于转速-电流二维模糊模型自学习的电机控制方法，包括以下步骤：

(1)双闭环反馈控制过程，具体如下：

(1.1)根据t时刻霍尔传感器获得的电机实测角速度w_s(t)与目标速度值w_t(t)，得到角速度误差e_w(t)和角速度误差积分e_{w_sum}(t)，输入外环比例积分控制器得到内环电流目标值i_t(t)，以(t)代表某变量为t时刻对应的值；

(1.2)内环电流目标值i_t(t)与采样电流值i_s(t)做差得到电流误差e_i(t)和电流误差积分e_{i_sum}(t)，输入内环比例积分控制器，得到双闭环反馈控制器的输出反馈占空比d_b(t)；

(2)模糊模型前馈控制过程，具体如下：

(2.1)将t时刻目标速度值w_t(t)和采样电流值i_s(t)映射到二维模糊曲面模型S(t)，模型S(t)为笛卡尔坐标系下的非线性曲面，其中w_t(t)对应x轴，i_s(t)对应y轴，输出的前馈占空比d_f(t)对应z轴；

(2.2)按照设定的步长和分辨率，对x轴和y轴进行网格化划分，x轴表示角速度w，y轴表示电流i，其上每个网格点p^[i,j]代表x轴第j个角速度点和y轴第i个电流点对应的xy平面上位置，以上角标[i,j]来表示该位置网格点的参数；

(2.3)根据网格点p＝[w_t(t),i_s(t)]在xy平面上的位置，检索到该点所处四边形顶点上的四个点p^[i,j]，p^[i+1,j]，p^[i,j+1]，p^[i+1,j+1]，并获取这四个点对应的前馈占空比d_f ^[i,j](t)，d_f ^[i+1,j](t)，d_f ^[i,j+1](t)，d_f ^[i+1,j+1](t)；

(2.4)将顶点信息输入模糊隶属度函数，并采用重心法得到网格点p的前馈占空比d_f(t)；其中隶属度值μ^[i,j](t),μ^[i+1,j](t),μ^[i,j+1](t),μ^[i+1,j+1](t)计算如下：

${\mathrm{\μ}}^{[i,j]}\left(t\right)=\frac{w_s\left(t\right)-w^{\left[i\right]}}{w^{[i+1]}-w^{\left[i\right]}}\frac{i_s\left(t\right)-i^{\left[j\right]}}{i^{[j+1]}-i^{\left[j\right]}}$

${\mathrm{\μ}}^{[i+1,j]}\left(t\right)=\frac{w^{[i+1]}-w_s\left(t\right)}{w^{[i+1]}-w^{\left[i\right]}}\frac{i_s\left(t\right)-i^{\left[j\right]}}{i^{[j+1]}-i^{\left[j\right]}}$

${\mathrm{\μ}}^{[i,j+1]}\left(t\right)=\frac{w_s\left(t\right)-w^{\left[i\right]}}{w^{[i+1]}-w^{\left[i\right]}}\frac{i^{[j+1]}-i_s\left(t\right)}{i^{[j+1]}-i^{\left[j\right]}}$

${\mathrm{\μ}}^{[i+1,j+1]}\left(t\right)=\frac{w^{[i+1]}-w_s\left(t\right)}{w^{[i+1]}-w^{\left[i\right]}}\frac{i^{[j+1]}-i_s\left(t\right)}{i^{[j+1]}-i^{\left[j\right]}}$

其中，w^[i]，w^[i+1]分别是x轴对应的第i个和第i+1个角速度值，i^[j]，i^[j+1]分别是y轴上对应的第j个和第j+1个电流值；

(2.5)根据四个定点的信息和隶属度值按如下公式计算出前馈占空比d_f(t)，

$d_f\left(t\right)={\mathrm{\μ}}^{[i,j]}\left(t\right)d_f^{[i,j]}\left(t\right)+{\mathrm{\μ}}^{[i+1,j]}\left(t\right)d_f^{[i+1,j]}\left(t\right)+{\mathrm{\μ}}^{[i,j+1]}\left(t\right)d_f^{[i,j+1]}\left(t\right)+{\mathrm{\μ}}^{[i+1,j+1]}\left(t\right)d_f^{[i+1,j+1]}\left(t\right)$

并叠加到反馈占空比d_b(t)上，作为最终的控制器输出占空比。

进一步，所述电机控制方法还包括如下自学习步骤：

(3)模糊模型自学习过程：

(3.1)在t时刻，采样获得角速度w_s(t)及角速度误差e_w(t)，将误差e_w(t)输入自学习控制器；

(3.2)设定学习因子η，根据误差e_w(t)计算t时刻p点的修正值Δd_f(t)＝ηe_w(t)；

(3.3)根据隶属度值μ^[i,j](t-1),μ^[i+1,j](t-1),μ^[i,j+1](t-1),μ^[i+1,j+1](t-1)，将修正值Δd_f(t)解耦为四个网格点的修正值 解耦公式如下：

$\mathrm{\Δ}{d}_f^{[i,j]}\left(t\right)=\mathrm{\Δ}{d}_f\left(t\right){\mathrm{\μ}}^{[i,j]}(t-1)$

$\mathrm{\Δ}{d}_f^{[i+1,j]}\left(t\right)=\mathrm{\Δ}{d}_f\left(t\right){\mathrm{\μ}}^{[i+1,j]}(t-1)$

$\mathrm{\Δ}{d}_f^{[i,j+1]}\left(t\right)=\mathrm{\Δ}{d}_f\left(t\right){\mathrm{\μ}}^{[i,j+1]}(t-1)$

$\mathrm{\Δ}{d}_f^{[i+1,j+1]}\left(t\right)=\mathrm{\Δ}{d}_f\left(t\right){\mathrm{\μ}}^{[i+1,j+1]}(t-1)$

(3.4)将t时刻修正值叠加到对应网格点的t-1时刻前馈占空比值d_f ^[i,j]，d_f ^[i+1,j]，d_f ^[i,j+1]，d_f ^[i+1,j+1]上，并以此作为步骤(2.3)的前馈占空比值。网格点p的最近范围四个顶点的对应前馈值学习结果如下公式：

$d_f^{[i,j]}\left(t\right)=d_f^{[i,j]}(t-1)+\mathrm{\Δ}{d}_f^{[i,j]}\left(t\right)$

$d_f^{[i+1,j]}\left(t\right)=d_f^{[i+1,j]}(t-1)+\mathrm{\Δ}{d}_f^{[i+1,j]}\left(t\right)$

$d_f^{[i,j+1]}\left(t\right)=d_f^{[i,j+1]}(t-1)+\mathrm{\Δ}{d}_f^{[i,j+1]}\left(t\right)$

$d_f^{[i+1,j+1]}\left(t\right)=d_f^{[i+1,j+1]}(t-1)+\mathrm{\Δ}{d}_f^{[i+1,j+1]}\left(t\right).$

本发明的技术构思为：为了提高驱动器的响应速度、降低稳态误差并提高各类参数时延引起的影响，有必要对控制算法进行前馈控制改进以及参数自学习的改进。考虑到解析模型较难适合单片机数字化处理，本发明提出采用简单的二维模糊模型来逼近驱动及电机系统的模糊模型，从而降低反馈控制器的调整量负担；本发明重点还在于设计了自学习算法来在线修正二维模糊模型的隶属度函数输出结果，从而实现对不同电机类型、不同负载方式的客户端自适应。

本发明的有益效果主要表现在：有效兼顾稳定性和快速性、自学习能力良好。

附图说明

图1为本发明所述控制系统的结构框图；

图2为本发明所述二维模糊模型隶属度空间的示意图；

图3为本发明所述控制系统在周期性变速跟踪过程体现的性能的示意图；

图4为本发明所述控制系统在周期性变速跟踪过程经自学习形成的前馈模型的示意图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明作进一步描述。

参照图1～图4，一种基于转速-电流二维模糊模型自学习的电机控制方法，包括以下步骤：

如图1所示，为本专利所述控制系统的结构示意图。整体上包括双闭环反馈控制器和模糊模型前馈控制器以及硬件系统。

其中双闭环反馈控制器由外环角速度PI控制器和内环电流PI控制器组成，输入量为目标角速度w_t、实测角速度w_s以及采样电流i_s，输出量为反馈占空比d_b；具体步骤如下：

(1.1)根据t时刻霍尔传感器获得的电机实测角速度w_s(t)与目标速度值w_t(t)，得到角速度误差e_w(t)和角速度误差积分e_{w_sum}(t)，输入外环比例积分控制器得到内环电流目标值i_t(t)，以(t)代表某变量为t时刻对应的值；

(1.2)内环电流目标值i_t(t)与采样电流值i_s(t)做差得到电流误差e_i(t)和电流误差积分e_{i_sum}(t)，输入内环比例积分控制器，得到双闭环反馈控制器的输出反馈占空比d_b(t)；

其中模糊模型前馈控制器由模糊模型(替代电机驱动系统的解析模型)和自学习控制器组成，输入量为实测角速度w_s、采样电流i_s以及速度误差e_w，输出量为前馈占空比d_f。具体步骤如下：

(2.1)将t时刻目标速度值w_t(t)和采样电流值i_s(t)映射到二维模糊曲面模型S(t)，模型S(t)为笛卡尔坐标系下的非线性曲面，其中w_t(t)对应x轴，i_s(t)对应y轴，输出的前馈占空比d_f(t)对应z轴；

(2.2)按照设定的步长和分辨率，对x轴和y轴进行网格化划分，x轴表示角速度w，y轴表示电流i，其上每个网格点p^[i,j]代表x轴第j个角速度点和y轴第i个电流点对应的xy平面上位置，以上角标[i,j]来表示该位置网格点的参数；

(2.3)根据网格点p＝[w_t(t),i_s(t)]在xy平面上的位置，检索到该点所处四边形顶点上的四个点p^[i,j]，p^[i+1,j]，p^[i,j+1]，p^[i+1,j+1]，并获取这四个点对应的前馈占空比d_f ^[i,j](t)，d_f ^[i+1,j](t)，d_f ^[i,j+1](t)，d_f ^[i+1,j+1](t)；

(2.4)将顶点信息输入模糊隶属度函数，并采用重心法得到网格点p的前馈占空比d_f(t)；其中隶属度值μ^[i,j](t),μ^[i+1,j](t),μ^[i,j+1](t),μ^[i+1,j+1](t)计算如下：

${\mathrm{\μ}}^{[i,j]}\left(t\right)=\frac{w_s\left(t\right)-w^{\left[i\right]}}{w^{[i+1]}-w^{\left[i\right]}}\frac{i_s\left(t\right)-i^{\left[j\right]}}{i^{[j+1]}-i^{\left[j\right]}}$

${\mathrm{\μ}}^{[i+1,j]}\left(t\right)=\frac{w^{[i+1]}-w_s\left(t\right)}{w^{[i+1]}-w^{\left[i\right]}}\frac{i_s\left(t\right)-i^{\left[j\right]}}{i^{[j+1]}-i^{\left[j\right]}}$

${\mathrm{\μ}}^{[i,j+1]}\left(t\right)=\frac{w_s\left(t\right)-w^{\left[i\right]}}{w^{[i+1]}-w^{\left[i\right]}}\frac{i^{[j+1]}-i_s\left(t\right)}{i^{[j+1]}-i^{\left[j\right]}}$

${\mathrm{\μ}}^{[i+1,j+1]}\left(t\right)=\frac{w^{[i+1]}-w_s\left(t\right)}{w^{[i+1]}-w^{\left[i\right]}}\frac{i^{[j+1]}-i_s\left(t\right)}{i^{[j+1]}-i^{\left[j\right]}}$

其中，w^[i]，w^[i+1]分别是x轴对应的第i个和第i+1个角速度值，i^[j]，i^[j+1]分别是y轴上对应的第j个和第j+1个电流值；

(2.5)根据四个定点的信息和隶属度值按如下公式计算出前馈占空比d_f(t)，

$d_f\left(t\right)={\mathrm{\μ}}^{[i,j]}\left(t\right)d_f^{[i,j]}\left(t\right)+{\mathrm{\μ}}^{[i+1,j]}\left(t\right)d_f^{[i+1,j]}\left(t\right)+{\mathrm{\μ}}^{[i,j+1]}\left(t\right)d_f^{[i,j+1]}\left(t\right)+{\mathrm{\μ}}^{[i+1,j+1]}\left(t\right)d_f^{[i+1,j+1]}\left(t\right)$

并叠加到反馈占空比d_b(t)上，作为最终的控制器输出占空比。所述电机控制方法还包括如下自学习步骤：

(3)模糊模型自学习过程：

(3.1)在t时刻，采样获得角速度w_s(t)及角速度误差e_w(t)，将误差e_w(t)输入自学习控制器；

(3.2)设定学习因子η，根据误差e_w(t)计算t时刻p点的修正值Δd_f(t)＝ηe_w(t)；

(3.3)根据隶属度值μ^[i,j](t-1),μ^[i+1,j](t-1),μ^[i,j+1](t-1),μ^[i+1,j+1](t-1)，将修正值Δd_f(t)解耦为四个网格点的修正值 解耦公式如下：

$\mathrm{\Δ}{d}_f^{[i,j]}\left(t\right)=\mathrm{\Δ}{d}_f\left(t\right){\mathrm{\μ}}^{[i,j]}(t-1)$

$\mathrm{\Δ}{d}_f^{[i+1,j]}\left(t\right)=\mathrm{\Δ}{d}_f\left(t\right){\mathrm{\μ}}^{[i+1,j]}(t-1)$

$\mathrm{\Δ}{d}_f^{[i,j+1]}\left(t\right)=\mathrm{\Δ}{d}_f\left(t\right){\mathrm{\μ}}^{[i,j+1]}(t-1)$

$\mathrm{\Δ}{d}_f^{[i+1,j+1]}\left(t\right)=\mathrm{\Δ}{d}_f\left(t\right){\mathrm{\μ}}^{[i+1,j+1]}(t-1)$

(3.4)将t时刻修正值叠加到对应网格点的t-1时刻前馈占空比值d_f ^[i,j]，d_f ^[i+1,j]，d_f ^[i,j+1]，d_f ^[i+1,j+1]上，并以此作为步骤(2.3)的前馈占空比值。网格点p的最近范围四个顶点的对应前馈值学习结果如下公式：

$d_f^{[i,j]}\left(t\right)=d_f^{[i,j]}(t-1)+\mathrm{\Δ}{d}_f^{[i,j]}\left(t\right)$

$d_f^{[i+1,j]}\left(t\right)=d_f^{[i+1,j]}(t-1)+\mathrm{\Δ}{d}_f^{[i+1,j]}\left(t\right)$

$d_f^{[i,j+1]}\left(t\right)=d_f^{[i,j+1]}(t-1)+\mathrm{\Δ}{d}_f^{[i,j+1]}\left(t\right)$

$d_f^{[i+1,j+1]}\left(t\right)=d_f^{[i+1,j+1]}(t-1)+\mathrm{\Δ}{d}_f^{[i+1,j+1]}\left(t\right).$

硬件系统较为典型，主要包括将占空比脉宽调制信号放大的驱动电路、全桥逆变电路、直流无刷电机以及负载等组成。

如图2所示，为本专利所述S曲面的xy平面，其中横轴为采样电流i_s，纵轴为实测速度w_s；按照一定的分辨率和步长将两轴划分成n和m个等步长部分，从而在平面上得到nm个网格点；而当前实测点p＝[w_s,i_s]必然被上述网格点当中的四个所包围，即处于一个四边形当中，从而可根据二维模糊化规则进行曲面非线性建模。

如图3所示，为本专利所述算法在时间轴下的仿真学习过程，图3(a)为起始阶段，实际速度跟踪曲线和目标速度曲线之间存在较大差异，即误差较大；而到了图3(b)的阶段，误差显著缩小。

如图4所示，为本专利所述的S曲面学习进化过程，图4(a)为初始阶段任意设定的曲面(实际上采用线性平面替代)，经过与图3同步的时间学习后，得到图4(b)的非线性曲面，显示了良好的学习效果。该曲面的物理意义是逼近电机及其负载和驱动系统的非线性模型。

Claims (2)

1.一种基于转速-电流二维模糊模型自学习的电机控制方法，包括以下步骤：

(1)双闭环反馈控制过程，具体如下：

(1.1)根据t时刻霍尔传感器获得的电机实测角速度w_s(t)与目标速度值w_t(t)，得到角速度误差e_w(t)和角速度误差积分e_{w_sum}(t)，输入外环比例积分控制器得到内环电流目标值i_t(t)，以(t)代表某变量为t时刻对应的值；

(1.2)内环电流目标值i_t(t)与采样电流值i_s(t)做差得到电流误差e_i(t)和电流误差积分e_{i_sum}(t)，输入内环比例积分控制器，得到双闭环反馈控制器的输出反馈占空比d_b(t)；

其特征在于：所述电机控制方法还包括如下步骤：

(2)模糊模型前馈控制过程，具体如下：

(2.1)将t时刻目标速度值w_t(t)和采样电流值i_s(t)映射到二维模糊曲面模型S(t)，模型S(t)为笛卡尔坐标系下的非线性曲面，其中w_t(t)对应x轴，i_s(t)对应y轴，输出的前馈占空比d_f(t)对应z轴；

(2.2)按照设定的步长和分辨率，对x轴和y轴进行网格化划分，x轴表示角速度w，y轴表示电流i，其上每个网格点p^[i,j]代表x轴第j个角速度点和y轴第i个电流点对应的xy平面上位置，以上角标[i,j]来表示该位置网格点的参数；

(2.3)根据网格点p＝[w_t(t),i_s(t)]在xy平面上的位置，检索到该点所处四边形顶点上的四个点p^[i,j]，p^[i+1,j]，p^[i,j+1]，p^[i+1,j+1]，并获取这四个点对应的前馈占空比d_f ^[i,j](t)，d_f ^[i+1,j](t)，d_f ^[i,j+1](t)，d_f ^[i+1,j+1](t)；

(2.4)将顶点信息输入模糊隶属度函数，并采用重心法得到网格点p的前馈占空比d_f(t)；其中隶属度值μ^[i,j](t),μ^[i+1,j](t),μ^[i,j+1](t),μ^[i+1,j+1](t)计算如下：

${\mathrm{\μ}}^{[i,j]}\left(t\right)=\frac{w_s\left(t\right)-w^{\left[i\right]}}{w^{[i+1]}-w^{\left[i\right]}}\frac{i_s\left(t\right)-i^{\left[j\right]}}{i^{[j+1]}-i^{\left[j\right]}}$

${\mathrm{\μ}}^{[i+1,j]}\left(t\right)=\frac{w^{[i+1]}-w_s\left(t\right)}{w^{[i+1]}-w^{\left[i\right]}}\frac{i_s\left(t\right)-i^{\left[j\right]}}{i^{[j+1]}-i^{\left[j\right]}}$

${\mathrm{\μ}}^{[i,j+1]}\left(t\right)=\frac{w_s\left(t\right)-w^{\left[i\right]}}{w^{[i+1]}-w^{\left[i\right]}}\frac{i^{[j+1]}-i_s\left(t\right)}{i^{[j+1]}-i^{\left[j\right]}}$

${\mathrm{\μ}}^{[i+1,j+1]}\left(t\right)=\frac{w^{[i+1]}-w_s\left(t\right)}{w^{[i+1]}-w^{\left[i\right]}}\frac{i^{[j+1]}-i_s\left(t\right)}{i^{[j+1]}-i^{\left[j\right]}}$

其中，w^[i]，w^[i+1]分别是x轴对应的第i个和第i+1个角速度值，i^[j]，i^[j+1]分别是y轴上对应的第j个和第j+1个电流值；

(2.5)根据四个定点的信息和隶属度值按如下公式计算出前馈占空比d_f(t)，

$d_f\left(t\right)={\mathrm{\μ}}^{[i,j]}\left(t\right)d_f^{[i,j]}\left(t\right)+{\mathrm{\μ}}^{[i+1,j]}\left(t\right)d_f^{[i+1,j]}\left(t\right)+{\mathrm{\μ}}^{[i,j+1]}\left(t\right)d_f^{[i,j+1]}\left(t\right)+{\mathrm{\μ}}^{[i+1,j+1]}\left(t\right)d_f^{[i+1,j+1]}\left(t\right)$

并叠加到反馈占空比d_b(t)上，作为最终的控制器输出占空比。

2.如权利要求1所述的一种基于转速-电流二维模糊模型自学习的电机控制方法，其特征在于：所述电机控制方法还包括如下自学习步骤：

(3)模糊模型自学习过程：

(3.1)在t时刻，采样获得角速度w_s(t)及角速度误差e_w(t)，将误差e_w(t)输入自学习控制器；

(3.2)设定学习因子η，根据误差e_w(t)计算t时刻p点的修正值Δd_f(t)＝ηe_w(t)；

(3.3)根据隶属度值μ^[i,j](t-1),μ^[i+1,j](t-1),μ^[i,j+1](t-1),μ^[i+1,j+1](t-1)，将修正值Δd_f(t)解耦为四个网格点的修正值 解耦公式如下：

$\mathrm{\Δ}{d}_f^{[i,j]}\left(t\right)=\mathrm{\Δ}{d}_f\left(t\right){\mathrm{\μ}}^{[i,j]}(t-1)$

$\mathrm{\Δ}{d}_f^{[i+1,j]}\left(t\right)=\mathrm{\Δ}{d}_f\left(t\right){\mathrm{\μ}}^{[i+1,j]}(t-1)$

$\mathrm{\Δ}{d}_f^{[i,j+1]}\left(t\right)=\mathrm{\Δ}{d}_f\left(t\right){\mathrm{\μ}}^{[i,j+1]}(t-1)$

$\mathrm{\Δ}{d}_f^{[i+1,j+1]}\left(t\right)=\mathrm{\Δ}{d}_f\left(t\right){\mathrm{\μ}}^{[i+1,j+1]}(t-1)$

(3.4)将t时刻修正值叠加到对应网格点的t-1时刻前馈占空比值d_f ^[i,j]，d_f ^[i+1,j]，d_f ^[i,j+1]，d_f ^[i+1,j+1]上，并以此作为步骤(2.3)的前馈占空比值，网格点p的最近范围四个顶点的对应前馈值学习结果如下公式：

$d_f^{[i,j]}\left(t\right)=d_f^{[i,j]}(t-1)+\mathrm{\Δ}{d}_f^{[i,j]}\left(t\right)$

$d_f^{[i+1,j]}\left(t\right)=d_f^{[i+1,j]}(t-1)+\mathrm{\Δ}{d}_f^{[i+1,j]}\left(t\right)$

$d_f^{[i,j+1]}\left(t\right)=d_f^{[i,j+1]}(t-1)+\mathrm{\Δ}{d}_f^{[i,j+1]}\left(t\right)$

$d_f^{[i+1,j+1]}\left(t\right)=d_f^{[i+1,j+1]}(t-1)+\mathrm{\Δ}{d}_f^{[i+1,j+1]}\left(t\right).$