CN104217090A - 一种用泰勒级数解析计算电力系统电压稳定临界点的方法 - Google Patents

Abstract

一种用泰勒级数解析计算电力系统电压稳定临界点的方法。针对电力系统非线性的特点，提出选择负荷阻抗模、负荷电流模或节点电压模作为参变量，在任意潮流计算初始点，应用高阶泰勒级数对系统进行非线性等值。进一步提出负荷电流与电压相互补偿的原理以及终值边界条件，对系统高阶泰勒级数非线性等值模型进行精确的修正。根据非线性等值电路负荷功率极大值原理，解析计算电压稳定临界点。本发明能够快速准确预测电力系统负荷极限功率及其电压稳定临界电压，解决了电压稳定临界点潮流计算不收敛与精度损失问题。本发明在电力系统静态电压稳定分析与连续潮流计算中，有着极其广阔的应用前景。

Description

一种用泰勒级数解析计算电力系统电压稳定临界点的方法

技术领域

本发明涉及电力系统连续潮流计算方法，特别是一种用泰勒级数解析计算电力系统电压稳定临界点的方法，属于电力系统领域。

技术背景

由于电力系统的电压失稳大多是单调失稳，因而静态电压稳定分析法得到了广泛应用。知道电压是否稳定不是最终目的，在分析出系统电压稳定后，还要知道电压稳定裕度的大小，明确系统电压稳定的程度。连续潮流法是电力系统静态稳定分析的重要方法，能够比较准确地计算出系统的电压稳定裕度。

在电力系统静态电压稳定计算中，连续潮流法追踪计算负荷变化时的潮流解，直到通过临界点，可以计算达到电压崩溃点的负荷增长量，并得到负荷临界状态的潮流解。在连续潮流计算过程中，步长的选择是影响计算效率的关键因素之一。步长过小将会使计算效率大大降低，步长过大则有可能影响计算的收敛性。为了合理确定步长，一般在基态运行点附近采用较大步长以节约计算时间，随着计算的进行，逐渐缩小步长以提高计算精度。当负荷增加到接近电压稳定临界点时，潮流方程雅可比矩阵趋于奇异，导致常规潮流方程计算难以收敛，降低了计算效率。目前采用常规的预测-校正方法计算电压稳定临界点，计算工作量大，计算消耗的时间长。

发明内容

针对现有技术存在的上述缺陷，本发明的目的是提供一种用泰勒级数解析计算电力系统电压稳定临界点的方法。潮流方程是简单二次型方程组，潮流方程可以对注入系统功率参变量高阶求导。在电力系统潮流方程中，注入系统功率可以简单地表示为电流与电压的乘积。从负荷节点看进去(附图1)，选择负荷等值阻抗模(也可以选择节点电压模或者负荷电流模)作为参变量，并用高阶泰勒级数拟合节点电压与注入节点电流的非线性关系，结合电力系统极限传输功率判据，就可以在较大范围内解析计算负荷的极限功率及其对应的电压稳定临界点电压，可以大大减少连续潮流在靠近电压稳定临界点处的预测-校正次数。既提高常规连续潮流的计算精度，又加快计算效率。

本发明的解决方案如下：

步骤A：连续潮流计算时，在接近电压稳定临界点，按照常规方法计算初始潮流以及节点电压与负荷电流对注入系统功率参变量λ的1-3阶或以上阶导数；

步骤B：将PQ节点的各阶导数中的功率参变量λ置换为负荷静态等值阻抗模参变量，也可以置换为节点电压模U_i或者负荷电流模I_i参变量；

步骤C：建立节点电压与负荷电流关于负荷静态等值阻抗模k_i参变量的3阶泰勒级数：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{U}}_i={\stackrel{\·}{U}}_{i0}+{\stackrel{\·}{A}}_{i1}(k_i-1)+{\stackrel{\·}{A}}_{i2}{(k_i-1)}^2/2+{\stackrel{\·}{A}}_{i3}{(k_i-1)}^3/6\\ {\stackrel{\·}{I}}_i={\stackrel{\·}{I}}_{i0}+{\stackrel{\·}{B}}_{i1}(k_i-1)+{\stackrel{\·}{B}}_{i2}{(k_i-1)}^2/2+{\stackrel{\·}{B}}_{i3}{(k_i-1)}^3/6\end{array}\right.;$

步骤C：利用电流与电压相互补偿条件以及电流与电压终值边界条件精确修正泰勒级数：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{U}}_i={\stackrel{\·}{U}}_{i0}+{\stackrel{\·}{A}}_{i1}(k_i-1)+{\stackrel{\·}{A}}_{i2}{(k_i-1)}^2/2+{\stackrel{\·}{A}}_{i3}{(k_i-1)}^3/6+{\stackrel{\·}{A}}_{i4}{(k_i-1)}^4+{\stackrel{\·}{A}}_{i5}{(k_i-1)}^5\\ {\stackrel{\·}{I}}_i={\stackrel{\·}{I}}_{i0}+{\stackrel{\·}{B}}_{i1}(k_i-1)+{\stackrel{\·}{B}}_{i2}{(k_i-1)}^2/2+{\stackrel{\·}{B}}_{i3}{(k_i-1)}^3/6{\stackrel{\·}{+B}}_{i4}{(k_i-1)}^4+{\stackrel{\·}{B}}_{i5}{(k_i-1)}^5\end{array}\right.$

其中：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{A}}_{i4}=16[0.5\frac{{\stackrel{\·}{U}}_{i0}}{{\stackrel{\·}{I}}_{i0}}({\stackrel{\·}{I}}_{i0}-\frac{{\stackrel{\·}{B}}_{i1}}{2}+\frac{{\stackrel{\·}{B}}_{i2}}{8}-\frac{{\stackrel{\·}{B}}_{i3}}{48})-({\stackrel{\·}{U}}_{i0}-\frac{{\stackrel{\·}{A}}_{i1}}{2}+\frac{{\stackrel{\·}{A}}_{i2}}{8}-\frac{{\stackrel{\·}{A}}_{i3}}{48})]+{\stackrel{\·}{U}}_{i0}-{\stackrel{\·}{A}}_{i1}+\frac{{\stackrel{\·}{A}}_{i2}}{2}-\frac{{\stackrel{\·}{A}}_{i3}}{6}\\ {\stackrel{\·}{A}}_{i5}=16[0.5\frac{{\stackrel{\·}{U}}_{i0}}{{\stackrel{\·}{I}}_{i0}}({\stackrel{\·}{I}}_{i0}-\frac{{\stackrel{\·}{B}}_{i1}}{2}+\frac{{\stackrel{\·}{B}}_{i2}}{8}-\frac{{\stackrel{\·}{B}}_{i3}}{48})-({\stackrel{\·}{U}}_{i0}-\frac{{\stackrel{\·}{A}}_{i1}}{2}+\frac{{\stackrel{\·}{A}}_{i2}}{8}-\frac{{\stackrel{\·}{A}}_{i3}}{48})]+2({\stackrel{\·}{U}}_{i0}-{\stackrel{\·}{A}}_{i1}+\frac{{\stackrel{\·}{A}}_{i2}}{2}-\frac{{\stackrel{\·}{A}}_{i3}}{6})\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{B}}_{i4}=16[2\frac{{\stackrel{\·}{I}}_{i0}}{{\stackrel{\·}{U}}_{i0}}({\stackrel{\·}{U}}_{i0}-\frac{{\stackrel{\·}{A}}_{i1}}{2}+\frac{{\stackrel{\·}{A}}_{i2}}{8}-\frac{{\stackrel{\·}{A}}_{i3}}{48})-({\stackrel{\·}{I}}_{i0}-\frac{{\stackrel{\·}{B}}_{i1}}{2}+\frac{{\stackrel{\·}{B}}_{i2}}{8}-\frac{{\stackrel{\·}{B}}_{i3}}{48})]\\ +{\stackrel{\·}{I}}_{i0}-{\stackrel{\·}{B}}_{i1}+\frac{{\stackrel{\·}{B}}_{i2}}{2}-\frac{{\stackrel{\·}{B}}_{i3}}{6}-\frac{{\stackrel{\·}{I}}_{i0}}{{\stackrel{\·}{U}}_{i0}}({\stackrel{\·}{A}}_{i1}-{\stackrel{\·}{A}}_{i2}+\frac{{\stackrel{\·}{A}}_{i3}}{2}-4{\stackrel{\·}{A}}_{i4}+5{\stackrel{\·}{A}}_{i5})\\ {\stackrel{\·}{B}}_{i5}=16[2\frac{{\stackrel{\·}{I}}_{i0}}{{\stackrel{\·}{U}}_{i0}}({\stackrel{\·}{U}}_{i0}-\frac{{\stackrel{\·}{A}}_{i1}}{2}+\frac{{\stackrel{\·}{A}}_{i2}}{8}-\frac{{\stackrel{\·}{A}}_{i3}}{48})-({\stackrel{\·}{I}}_{i0}-\frac{{\stackrel{\·}{B}}_{i1}}{2}+\frac{{\stackrel{\·}{B}}_{i2}}{8}-\frac{{\stackrel{\·}{B}}_{i3}}{48})]\\ +2({\stackrel{\·}{I}}_{i0}-{\stackrel{\·}{B}}_{i1}+\frac{{\stackrel{\·}{B}}_{i2}}{2}-\frac{{\stackrel{\·}{B}}_{i3}}{6})-2\frac{{\stackrel{\·}{I}}_{i0}}{{\stackrel{\·}{U}}_{i0}}({\stackrel{\·}{A}}_{i1}-{\stackrel{\·}{A}}_{i2}+\frac{{\stackrel{\·}{A}}_{i3}}{2}-4{\stackrel{\·}{A}}_{i4}+5{\stackrel{\·}{A}}_{i5})\end{array}\right.$

步骤D：判断负荷节点电压稳定临界状态：应用精确修正后的泰勒级数，令解得负荷节点电压稳定临界状态的k_icr；

步骤E：将k_icr代入精确修正后的泰勒级数，计算电压稳定临界状态的节点电压与负荷电流计算节点负荷的极限功率为

其中在所述步骤B中，由初始潮流结果与 将各阶导数中的功率参变量λ置换为PQ节点的负荷静态等值阻抗模的计算方法如下：

$\begin{array}{}\end{array}\left\{\begin{array}{c}\frac{{\mathrm{dk}}_i}{\mathrm{d\λ}}=\frac{d{\stackrel{\·}{U}}_i}{\mathrm{d\λ}}/{\stackrel{\·}{U}}_{i0}-\frac{d{\stackrel{\·}{I}}_i}{\mathrm{d\λ}}/{\stackrel{\·}{I}}_{i0}\\ \frac{{d^{2}k}_i}{d{\mathrm{\λ}}^2}=\frac{d^2{\stackrel{\·}{U}}_i}{d{\mathrm{\λ}}^2}/{\stackrel{\·}{U}}_{i0}-(\frac{d^2{\stackrel{\·}{I}}_i}{d{\mathrm{\λ}}^2}+2\frac{{\mathrm{dk}}_i}{\mathrm{d\λ}}\frac{d{\stackrel{\·}{I}}_i}{\mathrm{d\λ}})/{\stackrel{\·}{I}}_{i0}\\ \frac{d^3{k}_i}{d{\mathrm{\λ}}^3}=\frac{d^3{\stackrel{\·}{U}}_i}{d{\mathrm{\λ}}^3}/{\stackrel{\·}{U}}_{i0}-\frac{d^3{\stackrel{\·}{I}}_i}{d^3\mathrm{\λ}}/{\stackrel{\·}{I}}_{i0}-3(\frac{d^2{k}_i}{d{\mathrm{\λ}}^2}\frac{d{\stackrel{\·}{I}}_i}{\mathrm{d\λ}}+\frac{{\mathrm{dk}}_i}{\mathrm{d\λ}}\frac{d^2{\stackrel{\·}{I}}_i}{d{\mathrm{\λ}}^2})/{\stackrel{\·}{I}}_{i0}\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{A}}_{i1}=\frac{d{\stackrel{\·}{U}}_i}{{\mathrm{dk}}_i}=\frac{d{\stackrel{\·}{U}}_i}{\mathrm{d\λ}}/\frac{{\mathrm{dk}}_i}{\mathrm{d\λ}}\\ {\stackrel{\·}{A}}_{i2}=\frac{d^2{\stackrel{\·}{U}}_i}{d{k_i}^2}=(\frac{d^2{\stackrel{\·}{U}}_i}{d{\mathrm{\λ}}^2}-\frac{d^2{k}_i}{d{\mathrm{\λ}}^2}{\stackrel{\·}{A}}_{i1})/{\left(\frac{{\mathrm{dk}}_i}{\mathrm{d\λ}}\right)}^2\\ {\stackrel{\·}{A}}_{i3}=\frac{d^3{\stackrel{\·}{U}}_i}{d{k_i}^3}=(\frac{d^3{\stackrel{\·}{U}}_i}{d{\mathrm{\λ}}^3}-\frac{d^3{k}_i}{d{\mathrm{\λ}}^3}{\stackrel{\·}{A}}_{i1})/{\left(\frac{{\mathrm{dk}}_i}{\mathrm{d\λ}}\right)}^3-3\frac{d^2{k}_i}{d{\mathrm{\λ}}^2}{\stackrel{\·}{A}}_{i2}/{\left(\frac{{\mathrm{dk}}_i}{\mathrm{d\λ}}\right)}^2\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{B}}_{i1}=\frac{d{\stackrel{\·}{I}}_i}{{\mathrm{dk}}_i}=\frac{d{\stackrel{\·}{I}}_i}{\mathrm{d\λ}}/\frac{{\mathrm{dk}}_i}{\mathrm{d\λ}}\\ {\stackrel{\·}{B}}_{i2}=\frac{d^2{\stackrel{\·}{I}}_i}{d{k_i}^2}=(\frac{d^2{\stackrel{\·}{I}}_i}{d{\mathrm{\λ}}^2}-\frac{d^2{k}_i}{d{\mathrm{\λ}}^2}{\stackrel{\·}{B}}_{i1})/{\left(\frac{{\mathrm{dk}}_i}{\mathrm{d\λ}}\right)}^2\\ {\stackrel{\·}{B}}_{i3}=\frac{d^3{\stackrel{\·}{I}}_i}{d{k_i}^3}=(\frac{d^3{\stackrel{\·}{I}}_i}{d{\mathrm{\λ}}^3}-\frac{d^3{k}_i}{d{\mathrm{\λ}}^3}{\stackrel{\·}{B}}_{i1})/{\left(\frac{{\mathrm{dk}}_i}{\mathrm{d\λ}}\right)}^3-3\frac{d^2{k}_i}{d{\mathrm{\λ}}^2}{\stackrel{\·}{B}}_{i2}/{\left(\frac{{\mathrm{dk}}_i}{\mathrm{d\λ}}\right)}^2\end{array}\right.$

其中在所述步骤C中，利用电流与电压相互补偿条件以及电流与电压终值边界条件精确修正泰勒级数，其中的4次项与5次项系数计算方法如下：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{A}}_{i4}=16[0.5\frac{{\stackrel{\·}{U}}_{i0}}{{\stackrel{\·}{I}}_{i0}}({\stackrel{\·}{I}}_{i0}-\frac{{\stackrel{\·}{B}}_{i1}}{2}+\frac{{\stackrel{\·}{B}}_{i2}}{8}-\frac{{\stackrel{\·}{B}}_{i3}}{48})-({\stackrel{\·}{U}}_{i0}-\frac{{\stackrel{\·}{A}}_{i1}}{2}+\frac{{\stackrel{\·}{A}}_{i2}}{8}-\frac{{\stackrel{\·}{A}}_{i3}}{48})]+{\stackrel{\·}{U}}_{i0}-{\stackrel{\·}{A}}_{i1}+\frac{{\stackrel{\·}{A}}_{i2}}{2}-\frac{{\stackrel{\·}{A}}_{i3}}{6}\\ {\stackrel{\·}{A}}_{i5}=16[0.5\frac{{\stackrel{\·}{U}}_{i0}}{{\stackrel{\·}{I}}_{i0}}({\stackrel{\·}{I}}_{i0}-\frac{{\stackrel{\·}{B}}_{i1}}{2}+\frac{{\stackrel{\·}{B}}_{i2}}{8}-\frac{{\stackrel{\·}{B}}_{i3}}{48})-({\stackrel{\·}{U}}_{i0}-\frac{{\stackrel{\·}{A}}_{i1}}{2}+\frac{{\stackrel{\·}{A}}_{i2}}{8}-\frac{{\stackrel{\·}{A}}_{i3}}{48})]+2({\stackrel{\·}{U}}_{i0}-{\stackrel{\·}{A}}_{i1}+\frac{{\stackrel{\·}{A}}_{i2}}{2}-\frac{{\stackrel{\·}{A}}_{i3}}{6})\end{array}\right.$

与

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{B}}_{i4}=16[2\frac{{\stackrel{\·}{I}}_{i0}}{{\stackrel{\·}{U}}_{i0}}({\stackrel{\·}{U}}_{i0}-\frac{{\stackrel{\·}{A}}_{i1}}{2}+\frac{{\stackrel{\·}{A}}_{i2}}{8}-\frac{{\stackrel{\·}{A}}_{i3}}{48})-({\stackrel{\·}{I}}_{i0}-\frac{{\stackrel{\·}{B}}_{i1}}{2}+\frac{{\stackrel{\·}{B}}_{i2}}{8}-\frac{{\stackrel{\·}{B}}_{i3}}{48})]\\ +{\stackrel{\·}{I}}_{i0}-{\stackrel{\·}{B}}_{i1}+\frac{{\stackrel{\·}{B}}_{i2}}{2}-\frac{{\stackrel{\·}{B}}_{i3}}{6}-\frac{{\stackrel{\·}{I}}_{i0}}{{\stackrel{\·}{U}}_{i0}}({\stackrel{\·}{A}}_{i1}-{\stackrel{\·}{A}}_{i2}+\frac{{\stackrel{\·}{A}}_{i3}}{2}-4{\stackrel{\·}{A}}_{i4}+5{\stackrel{\·}{A}}_{i5})\\ {\stackrel{\·}{B}}_{i5}=16[2\frac{{\stackrel{\·}{I}}_{i0}}{{\stackrel{\·}{U}}_{i0}}({\stackrel{\·}{U}}_{i0}-\frac{{\stackrel{\·}{A}}_{i1}}{2}+\frac{{\stackrel{\·}{A}}_{i2}}{8}-\frac{{\stackrel{\·}{A}}_{i3}}{48})-({\stackrel{\·}{I}}_{i0}-\frac{{\stackrel{\·}{B}}_{i1}}{2}+\frac{{\stackrel{\·}{B}}_{i2}}{8}-\frac{{\stackrel{\·}{B}}_{i3}}{48})]\\ +2({\stackrel{\·}{I}}_{i0}-{\stackrel{\·}{B}}_{i1}+\frac{{\stackrel{\·}{B}}_{i2}}{2}-\frac{{\stackrel{\·}{B}}_{i3}}{6})-2\frac{{\stackrel{\·}{I}}_{i0}}{{\stackrel{\·}{U}}_{i0}}({\stackrel{\·}{A}}_{i1}-{\stackrel{\·}{A}}_{i2}+\frac{{\stackrel{\·}{A}}_{i3}}{2}-4{\stackrel{\·}{A}}_{i4}+5{\stackrel{\·}{A}}_{i5})\end{array}\right..$

附图说明

图1是电力系统PQ节点动态等值示意图。

具体实施方式

第一步：电压与电流对功率参变量的导数计算

直角坐标下，电力系统潮流方程为

$W=F(U,{\stackrel{\·}{U}}_n)---\left(1\right)$

式中，为平衡节点电压，及

$W={\left[\begin{array}{ccccc}{P}_{1S}& Q_{1S}& \·\·\·& P_{(n-1)S}& U_{(n-1)S}^2\end{array}\right]}^T$

U＝[e₁ f₁ … e_n-1 f_n-1]^T

设注入系统功率参变量为λ，注入节点功率为

$\left\{\begin{array}{c}{P}_{\mathrm{is}}=P_{\mathrm{is}}\left(\mathrm{\λ}\right)\\ Q_{\mathrm{is}}=Q_{\mathrm{is}}\left(\mathrm{\λ}\right)\end{array}\right.---\left(2\right)$

式(1)对λ求1～3阶导数，并令λ＝λ₀及U＝U₀。

$\left\{\begin{array}{c}\frac{\mathrm{dW}}{\mathrm{d\λ}}=J\frac{\mathrm{dU}}{\mathrm{d\λ}}\\ \frac{d^{2}W}{d{\mathrm{\λ}}^2}=\frac{\mathrm{dJ}}{\mathrm{d\λ}}\frac{\mathrm{dU}}{\mathrm{d\λ}}+J\frac{d^{2}U}{d{\mathrm{\λ}}^2}\\ \frac{d^{3}W}{d{\mathrm{\λ}}^3}=\frac{d^{2}J}{d{\mathrm{\λ}}^2}\frac{\mathrm{dU}}{\mathrm{d\λ}}+2\frac{\mathrm{dJ}}{\mathrm{d\λ}}\frac{d^{2}U}{d{\mathrm{\λ}}^2}+J\frac{d^{3}U}{d{\mathrm{\λ}}^3}\end{array}\right.---\left(3\right)$

式中J＝dF/dU，正好是初始状态潮流计算收敛的雅可比矩阵。由于雅可比矩阵J中的元素是电压的线性函数，因而只要分别用dU/dλ与d²U/dλ²替代雅可比矩阵J中的U₀，即可得到矩阵dJ/dλ与d²J/dλ²。由式(3)解得：

$\left\{\begin{array}{c}\frac{\mathrm{dU}}{\mathrm{d\λ}}=J^{-1}\frac{\mathrm{dW}}{\mathrm{d\λ}}\\ \frac{d^{2}U}{d{\mathrm{\λ}}^2}=J^{-1}(\frac{d^{2}W}{d{\mathrm{\λ}}^2}-\frac{\mathrm{dJ}}{\mathrm{d\λ}}\frac{\mathrm{dU}}{\mathrm{d\λ}})\\ \frac{d^{3}U}{d{\mathrm{\λ}}^3}=J^{-1}(\frac{d^{3}W}{d{\mathrm{\λ}}^3}-\frac{d^{2}J}{d{\mathrm{\λ}}^2}\frac{\mathrm{dU}}{\mathrm{d\λ}}-2\frac{\mathrm{dJ}}{\mathrm{d\λ}}\frac{d^{2}U}{d{\mathrm{\λ}}^2})\end{array}\right.---\left(4\right)$

在式(4)中，求解3个方程组时，仅仅用到潮流计算已保存的雅可比矩阵分解因子表，只需要3次重复回代运算即可，故其计算量小，计算速度快。

对于PQ节点i，因为

式中S_is为注入节点复功率函数。式(5)对λ求1～3阶导数，得到

将式(4)代入式(6)，得到电流对λ的各阶导数。

第二步：将功率参变量置换为负荷阻抗模参变量

设初始状态下PQ节点i的负荷等值阻抗为

$Z_{\mathrm{iLD}0}=R_{\mathrm{iLD}0}+j{X}_{\mathrm{iLD}0}={\stackrel{\·}{U}}_{i0}/{\stackrel{\·}{I}}_{i0}---\left(7\right)$

当负荷功率变化时，假定负荷的功率因数保持不变，则节点电压与负荷电流满足如下关系

${\stackrel{\·}{U}}_i=k_i{Z}_{\mathrm{iLD}0}{\stackrel{\·}{I}}_i---\left(8\right)$

或 $\left\{\begin{array}{c}{e}_i=k_i(R_{\mathrm{iLD}0}{I}_{\mathrm{ix}}-X_{\mathrm{LD}0}{I}_{\mathrm{iy}})\\ f_i=k_i(R_{\mathrm{iLD}0}{I}_{\mathrm{iy}}+X_{\mathrm{LD}0}{I}_{\mathrm{ix}})\end{array}---\left(9\right)\right.$

式(9)的第一式对λ求1～3阶导数，令k_i＝1，有

$\left\{\begin{array}{c}\frac{{\mathrm{dk}}_i}{\mathrm{d\λ}}=(\frac{{\mathrm{de}}_i}{\mathrm{d\λ}}-R_{\mathrm{iLD}0}\frac{d{I}_{\mathrm{ix}}}{\mathrm{d\λ}}+X_{\mathrm{iLD}0}\frac{{\mathrm{dI}}_{\mathrm{iy}}}{\mathrm{d\λ}})/e_{i0}\\ \frac{d^2{k}_i}{d{\mathrm{\λ}}^2}=[\frac{d^2{e}_i}{d{\mathrm{\λ}}^2}-2\frac{{\mathrm{dk}}_i}{\mathrm{d\λ}}(R_{\mathrm{iLD}0}\frac{{\mathrm{dI}}_{\mathrm{ix}}}{\mathrm{d\λ}}-X_{\mathrm{iLD}0}\frac{{\mathrm{dI}}_{\mathrm{iy}}}{\mathrm{d\λ}})-\\ (R_{\mathrm{iLD}0}\frac{d^2{I}_{\mathrm{ix}}}{d{\mathrm{\λ}}^2}-X_{\mathrm{iLD}0}\frac{d^2{I}_{\mathrm{iy}}}{d{\mathrm{\λ}}^2})]/e_{i0}\\ \frac{d^3{k}_i}{d{\mathrm{\λ}}^3}=[\frac{d^3{e}_i}{d{\mathrm{\λ}}^3}-3\frac{d^2{k}_i}{d{\mathrm{\λ}}^2}(R_{\mathrm{iLD}0}\frac{{\mathrm{dI}}_{\mathrm{ix}}}{\mathrm{d\λ}}-X_{\mathrm{iLD}0}\frac{{\mathrm{dI}}_{\mathrm{iy}}}{\mathrm{d\λ}})-3\frac{{\mathrm{dk}}_i}{\mathrm{d\λ}}(R_{\mathrm{iLD}0}\·\\ \frac{d^2{I}_{\mathrm{ix}}}{d{\mathrm{\λ}}^2}-X_{\mathrm{iLD}0}\frac{d^2{I}_{\mathrm{iy}}}{d{\mathrm{\λ}}^2})-(R_{\mathrm{iLD}0}\frac{d^3{I}_{\mathrm{ix}}}{d{\mathrm{\λ}}^3}-X_{\mathrm{iLD}0}\frac{d^3{I}_{\mathrm{iy}}}{d{\mathrm{\λ}}^3})]/e_{i0}\end{array}\right.---\left(10\right)$

k_i对λ的导数也可以简写成复数形式。式(8)对λ求1～3阶导数，并结合式(7)，得到

比较式(10)与式(11)，因为式(10)是实数计算，计算速度快。根据复合函数求导的链式法则，将系统功率统一参变量λ置换成分散的负荷阻抗模参变量k_i。

结合式(4)与式(10)，计算如下系数：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{A}}_{i1}=\frac{d{\stackrel{\·}{U}}_i}{{\mathrm{dk}}_i}=\frac{d{\stackrel{\·}{U}}_i}{\mathrm{d\λ}}/\frac{{\mathrm{dk}}_i}{\mathrm{d\λ}}\\ {\stackrel{\·}{A}}_{i2}=\frac{d^2{\stackrel{\·}{U}}_i}{d{k_i}^2}=(\frac{d^2{\stackrel{\·}{U}}_i}{d{\mathrm{\λ}}^2}-\frac{d^2{k}_i}{d{\mathrm{\λ}}^2}{\stackrel{\·}{A}}_{i1})/{\left(\frac{{\mathrm{dk}}_i}{\mathrm{d\λ}}\right)}^2\\ {\stackrel{\·}{A}}_{i3}=\frac{d^3{\stackrel{\·}{U}}_i}{d{k_i}^3}=(\frac{d^3{\stackrel{\·}{U}}_i}{d{\mathrm{\λ}}^3}-\frac{d^3{k}_i}{d{\mathrm{\λ}}^3}{\stackrel{\·}{A}}_{i1})/{\left(\frac{{\mathrm{dk}}_i}{\mathrm{d\λ}}\right)}^3-3\frac{d^2{k}_i}{d{\mathrm{\λ}}^2}{\stackrel{\·}{A}}_{i2}/{\left(\frac{{\mathrm{dk}}_i}{\mathrm{d\λ}}\right)}^2\end{array}\right.---\left(12\right)$

结合式(6)与式(10)，计算如下系数：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{B}}_{i1}=\frac{d{\stackrel{\·}{I}}_i}{{\mathrm{dk}}_i}=\frac{d{\stackrel{\·}{I}}_i}{\mathrm{d\λ}}/\frac{{\mathrm{dk}}_i}{\mathrm{d\λ}}\\ {\stackrel{\·}{B}}_{i2}=\frac{d^2{\stackrel{\·}{I}}_i}{d{k_i}^2}=(\frac{d^2{\stackrel{\·}{I}}_i}{d{\mathrm{\λ}}^2}-\frac{d^2{k}_i}{d{\mathrm{\λ}}^2}{\stackrel{\·}{B}}_{i1})/{\left(\frac{{\mathrm{dk}}_i}{\mathrm{d\λ}}\right)}^2\\ {\stackrel{\·}{B}}_{i3}=\frac{d^3{\stackrel{\·}{I}}_i}{d{k_i}^3}=(\frac{d^3{\stackrel{\·}{I}}_i}{d{\mathrm{\λ}}^3}-\frac{d^3{k}_i}{d{\mathrm{\λ}}^3}{\stackrel{\·}{B}}_{i1})/{\left(\frac{{\mathrm{dk}}_i}{\mathrm{d\λ}}\right)}^3-3\frac{d^2{k}_i}{d{\mathrm{\λ}}^2}{\stackrel{\·}{B}}_{i2}/{\left(\frac{{\mathrm{dk}}_i}{\mathrm{d\λ}}\right)}^2\end{array}\right.---\left(13\right)$

在初始状态下，沿系统功率变化运行方向，将电压与电流分别展开为关于k_i的3阶泰勒级数。

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{U}}_i^{\′}={\stackrel{\·}{U}}_{i0}+{\stackrel{\·}{A}}_{i1}(k_i-1)+{\stackrel{\·}{A}}_{i2}{(k_i-1)}^2/2+\\ {\stackrel{\·}{A}}_{i3}{(k_i-1)}^3/6\\ {\stackrel{\·}{I}}_i^{\′}={\stackrel{\·}{I}}_{i0}+{\stackrel{\·}{B}}_{i1}(k_i-1)+{\stackrel{\·}{B}}_{i2}{(k_i-1)}^2/2+\\ {\stackrel{\·}{B}}_{i3}{(k_i-1)}^3/6\end{array}\right.---\left(14\right)$

理论上，泰勒级数阶次越高，计算精度越高。但是，4阶及其以上导数计算立即变得较为繁琐。以下充分利用非线性等值电路端口的约束条件，提出电流与电压相互补偿原理，以及电流与电压终值边界条件，可以对式(14)做简单而精确的修正。

设修正后的电流与电压为如下5阶级数：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{U}}_i={\stackrel{\·}{U}}_i^{\′}+{\stackrel{\·}{A}}_{i4}{(k_i-1)}^4+{\stackrel{\·}{A}}_{i5}{(k_i-1)}^5\\ {\stackrel{\·}{I}}_i={\stackrel{\·}{I}}_i^{\′}+{\stackrel{\·}{B}}_{i4}{(k_i-1)}^4+{\stackrel{\·}{B}}_{i5}{(k_i-1)}^5\end{array}\right.---\left(15\right)$

令k_i＝0.5及k_i＝0时，保证式(15)满足等值电路端口约束条件，确定式(15)中的修正项系数，这是补偿原理与终值条件的物理意义。

根据式(14)，取电流与电压相互补偿的平均值：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\‾}{\stackrel{\·}{U}}}_i=({\stackrel{\·}{U}}_i^{\′}+k_i{Z}_{\mathrm{iLD}0}{\stackrel{\·}{I}}_i^{\′})/2\\ {\stackrel{\‾}{\stackrel{\·}{I}}}_i=[{\stackrel{\·}{I}}_i^{\′}+{\stackrel{\·}{U}}_i^{\′}/\left(k_i{Z}_{\mathrm{iLD}0}\right)]/2\end{array}\right.---\left(16\right)$

显然，式(16)中的平均电流与平均电压满足负荷阻抗端口的约束关系，即

${\stackrel{\‾}{\stackrel{\·}{U}}}_i=k_i{Z}_{\mathrm{iLD}0}{\stackrel{\‾}{\stackrel{\·}{I}}}_i---\left(17\right)$

将式(25)代入式(27)，并令k_i＝0.5，得到负荷阻抗变化中点的电流与电压相互补偿平均值：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\‾}{\stackrel{\·}{U}}}_i\left(0.5\right)=[{\stackrel{\·}{U}}_i^{\′}\left(0.5\right)+0.5Z_{\mathrm{iLD}0}{\stackrel{\·}{I}}_i^{\′}\left(0.5\right)]/2\\ {\stackrel{\‾}{\stackrel{\·}{I}}}_i\left(0.5\right)=[{\stackrel{\·}{I}}_i^{\′}\left(0.5\right)+2{\stackrel{\·}{U}}_i^{\′}\left(0.5\right)/Z_{\mathrm{iLD}0}]/2\end{array}\right.---\left(18\right)$

式(18)中

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{U}}_i^{\′}\left(0.5\right)={\stackrel{\·}{U}}_{i0}-\frac{{\stackrel{\·}{A}}_{i1}}{2}+\frac{{\stackrel{\·}{A}}_{i2}}{8}-\frac{{\stackrel{\·}{A}}_{i3}}{48}\\ {\stackrel{\·}{I}}_i^{\′}\left(0.5\right)={\stackrel{\·}{I}}_{i0}-\frac{{\stackrel{\·}{B}}_{i1}}{2}+\frac{{\stackrel{\·}{B}}_{i2}}{8}-\frac{{\stackrel{\·}{B}}_{i3}}{48}\end{array}\right.---\left(19\right)$

在负荷阻抗变化的中点，由于电流与电压相互补偿，使得其平均值的误差大大减小。又由于平均电流与平均电压满足负荷阻抗的约束条件，也使得二者的误差方向趋于一致。

利用电流与电压相互补偿条件及终值边界条件，确定式(15)中修正项的系数。令

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{U}}_i\left(0.5\right)={\stackrel{\‾}{\stackrel{\·}{U}}}_i\left(0.5\right)\\ {\stackrel{\·}{I}}_i\left(0.5\right)={\stackrel{\‾}{\stackrel{\·}{I}}}_i\left(0.5\right)\end{array}\right.---\left(20\right)$

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{U}}_i\left(0\right)=0\\ \underset{k_i\→0}{\lim }{\stackrel{\·}{I}}_i\left(k_i\right)=\underset{k_i\→0}{\lim }{\stackrel{\·}{U}}_i\left(k_i\right)/k_i{Z}_{\mathrm{iLD}0}\end{array}\right.---\left(21\right)$

式(20)为电流与电压相互补偿条件；式(21)为电流与电压终值边界条件。分别将式(20)与式(21)代入式(15)，解得式(15)中修正项的系数：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{A}}_{i4}=16[0.5Z_{\mathrm{iLD}0}{\stackrel{\·}{I}}_i^{\′}\left(0.5\right)-{\stackrel{\·}{U}}_i^{\′}\left(0.5\right)]+{\stackrel{\·}{U}}_i^{\′}\left(0\right)\\ {\stackrel{\·}{A}}_{i5}=16[0.5Z_{\mathrm{iLD}0}{\stackrel{\·}{I}}_i^{\′}\left(0.5\right)-{\stackrel{\·}{U}}_i^{\′}\left(0.5\right)]+{2\stackrel{\·}{U}}_i^{\′}\left(0\right)\end{array}---\left(22\right)\right.$

及

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{B}}_{i4}=16[2{\stackrel{\·}{U}}_i^{\′}\left(0.5\right)/Z_{\mathrm{iLD}0}-{\stackrel{\·}{I}}_i^{\′}\left(0.5\right)]+{{\stackrel{\·}{I}}_i}^{\′}\left(0\right)-\\ ({\stackrel{\·}{A}}_{i1}-{\stackrel{\·}{A}}_{i2}+{\stackrel{\·}{A}}_{i3}/2-4{\stackrel{\·}{A}}_{i4}+5{\stackrel{\·}{A}}_{i5})/Z_{\mathrm{iLD}0}\\ {\stackrel{\·}{B}}_{i5}=16[2{\stackrel{\·}{U}}_i^{\′}\left(0.5\right)/Z_{\mathrm{iLD}0}-{\stackrel{\·}{I}}_i^{\′}\left(0.5\right)]+{2{\stackrel{\·}{I}}_i}^{\′}\left(0\right)-\\ 2({\stackrel{\·}{A}}_{i1}-{\stackrel{\·}{A}}_{i2}+{\stackrel{\·}{A}}_{i3}/2-4{\stackrel{\·}{A}}_{i4}+5{\stackrel{\·}{A}}_{i5})/Z_{\mathrm{iLD}0}\end{array}\right.---\left(23\right)$

式(22)与(23)中

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{U}}_i^{\′}\left(0\right)={\stackrel{\·}{U}}_{i0}-{\stackrel{\·}{A}}_{i1}+{\stackrel{\·}{A}}_{i2}/2-{\stackrel{\·}{A}}_{i3}/6\\ {\stackrel{\·}{I}}_i^{\′}\left(0\right)={\stackrel{\·}{I}}_{i0}-{\stackrel{\·}{B}}_{i1}+{\stackrel{\·}{B}}_{i2}/2-{\stackrel{\·}{B}}_{i3}/6\end{array}\right.---\left(24\right)$

式(15)对k_i求导得到：

$\left\{\begin{array}{c}d{\stackrel{\·}{U}}_i/{\mathrm{dk}}_i={\stackrel{\·}{A}}_{i1}+{\stackrel{\·}{A}}_{i2}(k_i-1)+{\stackrel{\·}{A}}_{i3}{(k_i-1)}^2/2+\\ 4{\stackrel{\·}{A}}_{i4}{(k_i-1)}^3+5{\stackrel{\·}{A}}_{i5}{(k_i-1)}^4\\ d{\stackrel{\·}{I}}_i/{\mathrm{dk}}_i={\stackrel{\·}{B}}_{i1}+{\stackrel{\·}{A}}_{i2}(k_i-1)+{\stackrel{\·}{B}}_{i3}{(k_i-1)}^2/2+\\ 4{\stackrel{\·}{B}}_{i4}{(k_i-1)}^3+5{\stackrel{\·}{B}}_{i5}{(k_i-1)}^4\end{array}\right.---\left(25\right)$

根据复合函数求导法则，系统动态等值阻抗为

$Z_{\mathrm{iTHEV}}\left(k_i\right)=\frac{d{\stackrel{\·}{U}}_i\left(k_i\right)}{d{\stackrel{\·}{I}}_i\left(k_i\right)}=\frac{d{\stackrel{\·}{U}}_i\left(k_i\right)/d{k}_i}{d{\stackrel{\·}{I}}_i\left(k_i\right)/{\mathrm{dk}}_i}---\left(26\right)$

负荷的静态等值阻抗为Z_iLD(k_i)＝k_iZ_iLD0。根据系统极限传输功率判据，令负荷静态等值阻抗模等于系统动态等值阻抗模：

k_i|Z_iLD0|＝|Z_iTHEV(k_i)|    (27)

为了快速求解复数方程式(27)，做迭代格式：

$\left\{\begin{array}{c}{k}_i^{(k+1)}=\left|Z_{\mathrm{iTHEV}}\left(k_i^{\left(k\right)}\right)\right|/\left|Z_{\mathrm{iLD}0}\right|\\ k_i^{\left(0\right)}=1\end{array}\right.---\left(28\right)$

由式(28)得到极限功率状态的k_icr。将k_icr代入式(15)，得到电压稳定临界电压与负荷电流：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{U}}_{\mathrm{icr}}={\stackrel{\·}{U}}_i\left(k_{\mathrm{icr}}\right)\\ {\stackrel{\·}{I}}_{\mathrm{icr}}={\stackrel{\·}{I}}_i\left(k_{\mathrm{icr}}\right)\end{array}\right.---\left(29\right)$

最后得到负荷的极限功率为

至此，既得到了PQ节点的负荷极限功率，又准确地求取了极限功率状态下电压稳定临界电压。

第三步：仿真计算分析如下

以IEEE 14节点系统为例，计算系统负荷极限功率及其相应的电压稳定临界电压。

仅研究负荷功率同步增大情形。负荷功率同步增大，负荷功率在各电源之间按初始功率比例分摊，网损变化全部由平衡节点承担，并考虑PV节点无功功率约束。注入功率约束条件如下

对于PQ节点(假定负荷功率为正)

$\left\{\begin{array}{c}{P}_{\mathrm{is}}=\mathrm{\λ}{P}_{i0}\\ Q_{\mathrm{is}}=\mathrm{\λ}{Q}_{i0}\end{array}\right.---\left(31\right)$

对于PV节点(假定负荷功率为正)

$\left\{\begin{array}{c}{P}_{\mathrm{is}}=\mathrm{\λ}{P}_{i0}\\ Q_{\mathrm{ic}\min }\≤Q_{\mathrm{ic}}\≤Q_{\mathrm{ic}\max }\\ Q_{\mathrm{is}}=\mathrm{\λ}{Q}_{i0}-Q_{\mathrm{ic}\max }\end{array}\right.---\left(32\right)$

λ为功率参变量。式(32)表明，PV节点部分无功功率负荷随功率参变量λ变化。如果Qic不越限，则该节点是PV节点；如果Q_ic越限，则PV节点转换为PQ节点，但是注入该节点的无功功率可能不是常数，即无功功率平方与有功功率平方呈减函数关系。其他指定负荷与指定电源分别组合的情形，可以通过改变注入功率函数表达式确定。表1是电压稳定临界点潮流计算的标准结果。

表1 IEEE 14节点系统λ_max＝1.78301极限潮流计算结果

用本文建立的电力系统非线性等值电路模型，可以减少连续潮流在靠近电压稳定临界点处的预测-校正次数。极限潮流预测分析如下。

取初始点λ₀＝1.7，极限潮流预测结果及其与表1中的标准结果比较的预测误差如表2所示。

表2 IEEE 14节点系统极限潮流预测结果及其误差

由表2可知，在λ₀＝1.7初始点，全部PV节点已转换为PQ节点，且初始点离极限状态距离较近，预测结果非常准确。由此验证了，将功率参变量置换成分散的系统等值电路负荷阻抗模自变量后，电压泰勒级数展开式在λ的极值点处有很好的收敛性。

由表2可知，极限功率预测误差Δλ_max≤0.61％，电压稳定临界电压预测误差ΔU_cr≤3.0％，电压相位角预测误差Δδ≤0.79°。电压稳定性强的节点预测精较度低，电压稳定性弱的节点预测精较度高，这一特点具有很强的规律性。节点14的电压稳定性最弱，该节点的负荷极限功率与电压稳定临界电压预测结果极其精确：Δλ_max14≤0.11％，ΔU_cr14≤0.06％。电压稳定性较强的节点系统动态等值阻抗非线性性较强，而电压稳定性较弱的节点系统动态等值阻抗则线性度较好，所以电压稳定性最弱的节点泰勒级数拟合精度最高，相应的负荷极限功率与电压稳定临界电压预测结果最精确。

Claims (3)

1.一种用泰勒级数解析计算电力系统电压稳定临界点的方法，其特征在于包括如下步骤：步骤A：连续潮流计算时，在接近电压稳定临界点，按照常规方法计算初始潮流以及节点电压与负荷电流对注入系统功率参变量λ的1-3阶或以上阶导数； 

步骤B：将PQ节点的各阶导数中的功率参变量λ置换为负荷静态等值阻抗模参变量，也可以置换为节点电压模U_i或者负荷电流模I_i参变量； 

步骤C：建立节点电压与负荷电流关于负荷静态等值阻抗模k_i参变量的3阶泰勒级数： 

步骤C：利用电流与电压相互补偿条件以及电流与电压终值边界条件精确修正泰勒级数： 

其中： 

步骤D：判断负荷节点电压稳定临界状态：应用精确修正后的泰勒级数，令解得负荷节点电压稳定临界状态的k_icr； 

步骤E：将k_icr代入精确修正后的泰勒级数，计算电压稳定临界状态的节点电压与负荷电流计算节点负荷的极限功率为

2.根据权利要求1所述方法，其特征在于： 

其中在所述步骤B中，由初始潮流结果与 将各阶导数中的功率参变量λ置换为PQ节点的负荷静态等值阻抗模 的计算方法如下： 

3.根据权利要求1所述方法，其特征在于： 

其中在所述步骤C中，利用电流与电压相互补偿条件以及电流与电压终值边界条件精确修正泰勒级数，其中的4次项与5次项系数计算方法如下： 

与