CN104181905A - 基于期望闭环传递函数的伺服系统控制器优化方法 - Google Patents

Abstract

基于期望闭环传递函数的伺服系统控制器优化方法，本发明涉及基于期望闭环传递函数的伺服系统控制器优化方法。本发明的目的是为了解决目前提供的控制器没有建立频响指标和控制器参数之间的定量关系，设计结果的好坏很大程度上取决于设计者的经验，不能保证闭环系统性能是最优的，对于双十控制器优化方法较少报道。基于期望闭环传递函数的伺服系统控制器优化方法具体为：步骤一、确定被控对象的传递函数；步骤二、构造期望闭环传递函数的结构形式；步骤三、建立系统频响指标、剪切频率和稳定裕度约束条件与期望闭环传递函数参数之间的数学关系；步骤四、得到优化的期望闭环传递函数的参数；步骤五、求解出控制器。本发明属于控制器优化技术领域。

Description

基于期望闭环传递函数的伺服系统控制器优化方法

技术领域

本发明涉及基于期望闭环传递函数的伺服系统控制器优化方法。

背景技术

随着自动化技术及其相关的信息科学、系统科学的高度发展，伺服系统在工业、航空、航天、航海等领域发挥着越来越重要的作用，对其控制器设计方法的研究自然成为一个备受关注的课题。在控制系统的设计中，最重要的工作就是设计出使闭环系统稳定,同时满足一定的性能指标要求的控制器。频率响应是伺服系统一个非常重要的性能指标，伺服系统的控制器设计一般都是围绕这一指标进行的。该指标反映了系统的跟踪性能,常见的频响指标包括"双十"、-3dB、-90度相移等。在伺服系统控制设计中,通常都是先根据频响指标要求并借助经验公式来选择剪切频率,然后再加入校正环节使剪切频率处的幅值和相位余量满足要求。由于这种传统的串联校正方法并没有建立校正后的开环系统特性与闭环系统性能之间的量化关系,很难保证一次性的设计结果使系统性能达到最优，还需要根据测试结果反复修改和调整控制器的结构和参数,以使系统获得更好的性能。显然,这种以试凑为主的传统设计方法效率很低,而且设计结果的好坏在很大程度上依赖于设计者的经验。目前，虽然也有文献提出了控制器综合设计法，例如“PID Controller DesignBased on Two-Degrees-of-Freedom Direct Synthesis”,W.Hu,G.Xiao,W.Jian，2011ChineseControl and Decision Conference(CCDC),201123-25May,MianYang,SiChuan，针对几种典型过程模型构造了不同形式的闭环传递函数,通过运用泰勒级数展开和帕德近似,得到了结构局限于PI或PID形式的控制器的解析表达式,虽然经过调节闭环传递函数参数可以使系统获得较好的性能,但是由于没有建立频响指标和控制器参数之间的定量关系,调试时仍需要经验,存在一定的试凑性，不能保证闭环系统性能是最优的。此外,对于"双十"频响指标的控制器优化方法目前还鲜见报道。

发明内容

本发明的目的是为了解决目前提供的控制器没有建立频响指标和控制器参数之间的定量关系，设计结果的好坏很大程度上取决于设计者的经验，不能保证闭环系统性能是最优的，并且对于"双十"频响指标的控制器优化方法较少报道，而提出了基于期望闭环传递函数的伺服系统控制器优化方法。上述的发明目的是通过以下技术方案实现的：

步骤一、系统辨识，确定被控对象的传递函数；

步骤二、构造期望闭环传递函数的结构形式；

步骤三、建立系统频响指标、剪切频率和稳定裕度约束条件与期望闭环传递函数参数之间的数学关系；

步骤四、运用MATLAB工具箱求解优化问题，得到优化的期望闭环传递函数的参数；

步骤五、运用被控对象传递函数及期望闭环传递函数求解出控制器。

发明效果

相较于现有技术，本发明基于期望闭环传递函数的伺服系统控制器优化方法是根据频响指标及其它约束条件设计出期望闭环传递函数，再利用期望闭环传递函数、被控对象与控制器三者之间的数学关系来直接求取相应的控制器，对于"双十"频响指标的控制器设计方法进行优化，这样得到的控制器必然可以更大限度的挖掘系统的潜能，使系统获得更好的性能。避免了传统控制器设计中结果的好坏很大程度上依赖于设计者经验这一弊端。如图6A从曲线上可以读取剪切频率为50Hz，幅值裕度k_g＝8.5dB，相位裕度γ＝37°，均满足约束条件；如图6B可以读取闭环系统的双十频率w_s＝60rad/s≈9.5Hz，该频率由相角首次达到-10°的频率确定，这与发明内容中的分析完全一致。

附图说明

图1是本发明的基本的框图，G(s)为被控对象，K(s)为控制器，r和y分别为闭环系统的输入和输出，—为负反馈；

图2是具体实施方式一基于期望闭环传递函数的伺服系统控制器优化方法的流程图；

图3A是具体实施方式四w_A0.9随w_n,ξ单调性示意图，w_n轴是自然角频率，ξ轴是阻尼比，rad/s是角频率的单位(弧度/秒)，deg是度，dB是分贝数，竖轴w_A0.9为期望闭环传递函数的幅值首次变为0.9的频率；

图3B是具体实施方式四w_A1.1随w_n,ξ单调性示意图，竖轴w_A1.1为期望闭环传递函数的幅值首次变为1.1的频率；

图3C是具体实施方式四w_P10随w_n,ξ单调性示意图，竖轴w_P1.0为期望闭环传递函数的相位首次变为-10°的频率；

图3D是具体实施方式四剪切频率w_c随w_n,ξ单调性示意图，竖轴w_c为剪切频率；

图3E是具体实施方式四相位裕度γ随w_n和ξ的单调性示意图，竖轴γ为相位裕度；

图3F是具体实施方式四幅值裕度k_g随w_n和ξ的变化趋势图，竖轴k_g为幅值裕度；

图4A是具体实施方式四w_A1.1与w_P10随ξ和w_n的变化的比较图，w_n轴代表自然角频率，ξ轴代表阻尼比，rad/s是角频率的单位(弧度/秒)，w_A1.1为期望闭环传递函数的幅值首次变为1.1的频率，w_P10为期望闭环传递函数的相位首次变为-10°的频率；

图4B是具体实施方式四w_A0.9与w_P10随ξ和w_n的变化的比较图，w_A0.9为期望闭环传递函数的幅值首次变为0.9的频率；

图5是本发明实施例被控对象拟合Bode图，纵轴Mag为被控对象的幅值，dB是幅值的单位(分贝)，纵轴Pha为被控对象的相角，deg是相角的单位(度)，横轴w为角频率，rad/s是角频率的单位(弧度/秒)，Real Object代表实线是实际被控对象，Fitting Object代表虚线是拟合被控对象；

图6A是本发明实施例开环仿真Bode图，纵轴Mag为系统的幅值，Pha为系统的相角，rad/sec是角频率的单位(弧度/秒)，dB是幅值的单位(分贝)，deg是相角的单位(度)，横轴w为角频率；

图6B是本发明实施例闭环仿真Bode图；

图7A是本发明实施例闭环系统跟踪频率为1Hz，幅值为0.5度正弦指令的实验曲线，横轴t为运行时间，纵轴Mag表示正弦运动的位置，deg是位置的单位(度)，command代表虚线是给定的正弦指令，position代表实线是实验用的转台系统的实际位置输出；

图7B是本发明实施例闭环系统跟踪频率为3Hz，幅值为0.5度正弦指令的实验曲线；

图7C是本发明实施例闭环系统跟踪频率为6Hz，幅值为0.5度正弦指令的实验曲线；

图7D是本发明实施例闭环系统跟踪频率为9Hz，幅值为0.5度正弦指令的实验曲线。

具体实施方式

具体实施方式一：本实施方式的基于期望闭环传递函数的伺服系统控制器优化方法，结合图2具体是按照以下步骤制备的：

步骤一、系统辨识，确定被控对象的传递函数；

步骤二、构造期望闭环传递函数的结构形式；

步骤三、建立系统频响指标、剪切频率和稳定裕度约束条件与期望闭环传递函数参数之间的数学关系；

步骤四、运用MATLAB工具箱求解优化问题，得到优化的期望闭环传递函数的参数；

步骤五、运用被控对象传递函数及期望闭环传递函数求解出控制器。

具体实施方式二：本实施方式与具体实施方式一不同的是：所述步骤一中被控对象的传递函数选取为式中，k_G为系统增益，τ_e为电气时间常数，τ_m为机电时间常数，s为Laplace算子；

通过代入标称参数或者参数辨识的方法测得实际被控对象传递函数中的参数k_G、τ_e和τ_m，从而确定被控对象的传递函数。

具体实施方式三：本实施方式与具体实施方式一或二不同的是：所述步骤二中期望闭环传递函数的结构形式为式中Φ_E(s)为构造的期望闭环传递函数，ξ为阻尼比，w_n为自然角频率，s为Laplace算子，T为辅助惯性环节时间常数；其中，ξ和w_n为待优化的参数，而T用于保证控制器的物理可实现性，将其取为常值，通常其取值要小于w_c为剪切频率。

具体实施方式四：本实施方式与具体实施方式一至三不同的是：所述步骤三中建立系统频响指标、剪切频率和稳定裕度约束条件与期望闭环传递函数参数之间的数学关系分别由下列解析关系式给出：

1)双十频响指标

“双十”频响指标是高性能伺服系统的一个典型的性能指标，该指标要求闭环系统跟踪给定频段内正弦信号的幅值误差小于10％，相角误差小于10°；

i幅值误差

对于权利要求三中给定的期望闭环传递函数Φ_E(s)，定义w_A1.1为其幅频特性首次大于1.1的频率点，定义w_A0.9为其幅频特性首次小于0.9的频率点；对于期望闭环传递函数Φ_E(s)，随参数阻尼比ξ，自然角频率w_n，辅助惯性时间常数T的变化，从单调性方面考虑幅频特性会出现先增后减、先减后增再减以及单调递减三种情况，相应地，幅值误差首次超过10％的频率点可分以下2种情况进行求取，一种为由w_A1.1决定的情况，另一种为由w_A0.9决定的情况；

首先给出几个关键判别式的定义

a. $M_r=\frac{{w_n}^2}{\sqrt{[{({w_n}^2-x_r)}^2+{\left(2\mathrm{\ξ}{w}_n\right)}^2{x}_r](\frac{\sqrt{{\mathrm{\Δ}}_r}}{6}+\mathrm{\Ω})}},$

其中， $\left\{\begin{array}{c}{a}_r=3T^2\\ b_r=2-4T^2{w_n}^2(1-2{\mathrm{\ξ}}^2)\\ {\mathrm{\Δ}}_r={[4T^2{w_n}^2(1-2{\mathrm{\ξ}}^2)+1]}^2-3(4T^4{w_n}^4-1)\\ \mathrm{\Ω}=[2T^2{w_n}^2(1-2{\mathrm{\ξ}}^2)+2]/3\\ x_r=(-b_r+\sqrt{{\mathrm{\Δ}}_r})/\left(2a_r\right)\end{array}\right.$

b. $A_{\min }=\frac{{w_n}^2}{\sqrt{[{({w_n}^2-x_{r\min })}^2+{\left(2\mathrm{\ξ}{w}_n\right)}^2{x}_{r\min }](-\frac{\sqrt{{\mathrm{\Δ}}_r}}{6}+\mathrm{\Ω})}},$ 其中， $x_{r\min }=\frac{-b_r-\sqrt{{\mathrm{\Δ}}_r}}{2a_r}$

c.△_A0.9＝B_s ²-4A_sC_s，

其中，和 $\left\{\begin{array}{c}{A}_s={b_s}^2-3a_s{c}_s\\ B_s=b_s{c}_s-9a_s{d}_s\\ C_s={c_s}^2-3b_s{d}_s\\ {\mathrm{\Ψ}}_s=\frac{2A_s{b}_s-3a_s{B}_s}{2{\left(\sqrt{A_s}\right)}^3}\\ {\mathrm{\θ}}_s=\arccos {\mathrm{\Ψ}}_s\end{array}\right.$

A.当A_min≤0.9；A_min>0.9且M_r<1.1； $2(1-2{\mathrm{\&xi;}}^2)\&le;T^2{w_n}^2<\frac{1}{2(1-2{\mathrm{\&xi;}}^2)};\mathrm{\&xi;}\&GreaterEqual;\frac{1}{\sqrt{2}};$ $\left\{\begin{array}{c}{T}^2{w_n}^2>2(1-2{\mathrm{\&xi;}}^2)\\ 0<\mathrm{\&xi;}<\frac{1}{2}\\ 1-2{\mathrm{\&xi;}}^2\&le;\frac{\sqrt{3(4T^4{w_n}^4-1)}-1}{4T^2{w_n}^2}\end{array}\right.;$ 或 $\left\{\begin{array}{c}{T}^2{w_n}^2>\frac{1}{2(1-2{\mathrm{\&xi;}}^2)}\\ T^2{w_n}^2\&GreaterEqual;\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}\&le;\mathrm{\&xi;}<\frac{1}{\sqrt{2}}\\ (1-2{\mathrm{\&xi;}}^2)\&le;\frac{\sqrt{3(4T^4{w_n}^4-1)}-1}{4T^2{w_n}^2}\end{array}\right.$ 时，幅值误差小于10％的最高频率点由幅值首次变为0.9时的频率w_A0.9决定，具体解析表达式分三种情况，分别为：

a)若 $\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\&Delta;}}_{A0.9}\&GreaterEqual;0\\ A_s\&GreaterEqual;0\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\&Delta;}}_{A0.9}<0\\ A_{\min }>0.9\end{array}\right.,$ 则 $w_{A0.9}=\sqrt{\frac{-b_s+\sqrt{A_s}(\cos \left(\frac{{\mathrm{\&theta;}}_s}{3}\right)+\sqrt{3}\sin \left(\frac{{\mathrm{\&theta;}}_s}{3}\right))}{3a_s}};$

b)若△_A0.9≥0，A_s＜0，则 $w_{A0.9}=\sqrt{\frac{-b_s+\sqrt{A_s}(\cos \left(\frac{{\mathrm{\&theta;}}_s}{3}\right)-\sqrt{3}\sin \left(\frac{{\mathrm{\&theta;}}_s}{3}\right))}{3a_s}};$

c)若△_A0.9<0，A_min≤0.9，则 $w_{A0.9}=\sqrt{\frac{-b_s-2\sqrt{A_s}\cos \left(\frac{{\mathrm{\&theta;}}_s}{3}\right)}{3a_s}};$

结合图3A是w_A0.9随w_n,ξ单调性示意图，其中辅助惯性时间常数选取为T＝0.0014，可以看出在给定的区域，w_A0.9随w_n单调递增，而随ξ单调递减，竖轴w_A0.9为期望闭环传递函数的幅值首次变为0.9的频率；

B.A_min>0.9且M_r≥1.1时，其幅值误差小于10％的最高频率点由幅值首次变为1.1时的频率点w_A1.1决定，计算公式为： $w_{A1.1}=\sqrt{\frac{-b_s+\sqrt{A_s}(\cos \left(\frac{{\mathrm{\&theta;}}_s}{3}\right)-\sqrt{3}\sin \left(\frac{{\mathrm{\&theta;}}_s}{3}\right))}{3a_s}};$ 结合图3B是w_A1.1随w_n，ξ单调性示意图，其中辅助惯性时间常数选取为T＝0.0014，可以看出在给定区域内，w_A1.1随w_n和ξ均单调递增，图中存在的断面是由于对于每个给定w_n都会存在一个ξ使得ξ>ξw_A1.1不能存在，；

ii.相角误差

对于权利要求三中所述的期望闭环传递函数Φ_E(s)，其相频特性的数学表达式为由于其具有单调递减特性，只定义相位首次变为-10°的频率为w_P10；由于w_P10<<w_n，忽略w²，令得w_P10的解析表达式为

$w_{P10}=\frac{\sqrt{{(T{w}_n+2\mathrm{\&xi;})}^2+8\mathrm{T\&xi;}{w}_n{\tan }^2\left(\frac{\mathrm{\&pi;}}{18}\right)}-({\mathrm{Tw}}_n+2\mathrm{\&xi;})}{4\mathrm{T\&xi;}\tan \left(\frac{\mathrm{\&pi;}}{18}\right)};$

结合图3C是w_P10随w_n,ξ单调性示意图，其中辅助惯性时间常数选取为T＝0.0014，可以看出w_P1.0随w_n单调递增，而随ξ单调递减；

图4是w_A1.1与w_P10和w_A0.9与w_P10随ξ和w_n的变化的比较图；

图4A是w_A1.1与w_P10随ξ和w_n的变化的比较图，在w_A1.1存在的空间内，除了ξ和w_n较小的区域内，满足双十指标的最高频率全部由w_P10决定，深色三维曲面的竖轴为w_A1.1(期望闭环传递函数的幅值首次变为1.1的频率)，浅色三维曲面的竖轴为w_P10(期望闭环传递函数的相位首次变为-10°的频率)；

图4B是w_A0.9与w_P10随ξ和w_n的变化的比较图，在给定的整个参数空间，满足双十指标的最高频率几乎全部由w_P10决定。从而，大多数情况下系统双十频率w_fr由相角首次达到-10°的频率点w_P10决定，另外通过证明可知，w_P10随单调递增，浅色三维曲面的竖轴为w_P10(期望闭环传递函数的相位首次变为-10°的频率)，深色三维曲面的竖轴为w_A0.9(期望闭环传递函数的幅值首次变为0.9的频率)；

本发明内容中对频响指标的分析虽然只是针对双十频响指标展开的，但对于更为严格的双五或者双三指标，甚至幅值和频率要求不同的频响指标，如-3dB和-90度相移等情况也同样适用，只要对结果进行适当地调整即可；

综合幅值误差与相角误差的分析结果可知，若要满足双十频响指标，则必须满足min{w_A1.1,w_P10}≥w_fr或min{w_A0.9,w_P10}≥w_fr，w_fr为满足双十频响指标要求的最高频率；

2)剪切频率

剪切频率也是控制系统约束条件之一，下面给出了剪切频率与期望闭环传递函数参数之间的数学关系：

定义 $\left\{\begin{array}{c}{a}_c=T^2\\ b_c=4{\mathrm{\&xi;}}^2{T}^2{w_n}^2-2T^2{w_n}^2+1\\ c_c={w_n}^2{(2\mathrm{\&xi;}+T{w}_n)}^2\\ d_c=-{w_n}^4\end{array}\right.,$ 令 $\left\{\begin{array}{c}{A}_c=b_c^2-3a_c{c}_c\\ B_c=b_c{c}_c-9a_c{d}_c\\ C_c=c_c^2-3b_c{d}_c\\ M_c=\frac{2A_c{b}_c-3a_c{B}_c}{2{\left(\sqrt{A_c}\right)}^3}\\ {\mathrm{\&theta;}}_c=\arccos M_c\end{array}\right.,$ 并定义判别式 ${\mathrm{\&Delta;}}_c=B_c^2-4A_c{C}_c,$

则剪切频率w_c的解析表达式分为三种情况，分别为：

i)若△_c≥0，A_c≥0，则 $w_c=\sqrt{\frac{-b_c-2\sqrt{A_c}\cos \left(\frac{{\mathrm{\&theta;}}_c}{3}\right)}{3a_c}};$

ii)若△_c≥0，A_c<0，则 $w_c=\sqrt{\frac{-b_c+\sqrt{A_c}(\cos \left(\frac{{\mathrm{\&theta;}}_c}{3}\right)-\sqrt{3}\sin \left(\frac{{\mathrm{\&theta;}}_c}{3}\right))}{3a_c}};$

iii)若△_c<0，则 $w_c=\sqrt{\frac{-b_c+\sqrt{A_c}(\cos \left(\frac{{\mathrm{\&theta;}}_c}{3}\right)+\sqrt{3}\sin \left(\frac{{\mathrm{\&theta;}}_c}{3}\right))}{3a_c}};$

结合图3D，剪切频率随w_n,ξ单调性示意图，其中辅助惯性时间常数选取为T＝0.0014，可以看出w_c随w_n单调递增，而随ξ单调递减；

3)稳定裕度

相位裕度和幅值裕度是衡量闭环控制系统鲁棒稳定性的重要性能指标；它们分别表示控制系统保持稳定条件下所能承受的最大相位扰动和最大增益扰动,以克服控制回路中存在的干扰和对象不确定性；

i相位裕度

根据相位裕度的定义，代入前述剪切频率w_c的表达式，即可得到相位裕度γ与闭环传递函数参数的关系为：结合图3E，相位裕度γ随w_n和ξ的单调性示意图，其中辅助惯性时间常数选取为T＝0.0014，可看出相位裕度对w_n变化不敏感，主要由ξ决定，随ξ增大而增大；

ii幅值裕度

根据幅值裕度的物理意义，并利用劳斯稳定判据，可得幅值裕度k_g与期望闭环传递函数参数的解析表达式为：结合图3F是幅值裕度k_g随w_n和ξ的变化趋势，其中辅助惯性时间常数选取为T＝0.0014，可见幅值裕度随w_n单调递减，随ξ单调递增。

进一步，结合步骤三对频响指标和其它约束条件与期望闭环传递函数参数的关系分析，若要增大双十频率，应该增大而若要得到较大的相位裕度，在固定w_n时，应增大ξ；显然，双十频率和相位裕度是相互制约的。

具体实施方式五：本实施方式与具体实施方式一至四不同的是：在给定剪切频率、幅值裕度和相位裕度的前提下，对双十频响指标进行优化来提高系统的跟踪性能；此时，可将此优化问题描述如下：

$\underset{{\mathrm{\&lambda;}}_m\&le;\mathrm{\&lambda;}\&le;{\mathrm{\&lambda;}}_M}{\min }\{-w_{\mathrm{fr}}\left(\mathrm{\&lambda;}\right)\}$

$s.t.\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\&gamma;}}_r-\mathrm{\&gamma;}\left(\mathrm{\&lambda;}\right)\\ k_{\mathrm{gr}}-k_g\left(\mathrm{\&lambda;}\right)\\ w_c\left(\mathrm{\&lambda;}\right)-w_{c\max }\end{array}\right]\&le;0$

其中，λ＝[w_n ξ]为自变量，λ_m＝[0 0]为下边界，λ_M＝[1000 1]为上边界，w_fr(λ)为目标函数，即待优化的双十频响指标；w_c(λ)为剪切频率的数学表达式，w_cmax为给定的噪声、高频谐振限制下所允许的最大剪切频率，k_g(λ)为幅值裕度数学表达式，k_gr为给定的幅值裕度约束；γ(λ)为相位裕度数学表达式，γ_r为给定的相位裕度约束。

具体实施方式六：本实施方式与具体实施方式一至五不同的是：步骤四中所述运用MATLAB工具箱求解优化问题，得到优化的期望闭环传递函数的参数具体的方法为：

期望闭环传递函数的自然角频率w_n和阻尼比ξ可以利用MATLAB工具箱求解优化问题的fmincon函数来求取。

具体实施方式七：本实施方式与具体实施方式一至六不同的是：步骤五中所述求解出控制器的方法为：

G(s)为被控对象的传递函数，Φ_E(s)为期望闭环传递函数，K(s)为控制器，根据 ${\mathrm{\&Phi;}}_E\left(s\right)=\frac{K\left(s\right)G\left(s\right)}{1+K\left(s\right)G\left(s\right)},$ 可以求得控制器 $K\left(s\right)=\frac{{\mathrm{\&Phi;}}_E\left(s\right)}{G\left(s\right)(1-{\mathrm{\&Phi;}}_E\left(s\right))}.$

采用以下实施例验证本发明的有益效果：

实施例一：

为验证本发明的有效性，以某型三轴电动仿真转台的内框为被控对象，给定如下性能指标要求：

1)相位裕度：35°；

2)幅值裕度：5dB；

3)最高剪切频率：50Hz；

利用本发明来实现其控制器的优化，具体步骤如下：

(a)选择对系统动态描述更为准确的三阶模型作为被控对象的传递函数，即为了获得准确的模型参数，利用扫频的方式获得了频率特性曲线，如图5中的虚线所示，然后利用最小二乘拟合方法获得了相应的模型参数，被控对象的数学模型可以描述为由该传递函数绘制的Bode图如图5中实线所示，可以看出，两组曲线拟合的很好。

(b)考虑到伺服系统设计时都希望系统的输出能够快速、准确地复现系统的给定输入信号，同时，为保证当被控对象为3阶时，求得的控制器仍然是物理可实现的，构造期望闭环传递函数的结构形式为 ${\mathrm{\&Phi;}}_E\left(s\right)=\frac{{w_n}^2}{(s^2+2\mathrm{\&xi;}{w}_{n}s+{w_n}^2)(\mathrm{Ts}+1)}.$

(c)建立系统频响指标以及剪切频率、稳定裕度约束条件与期望闭环传递函数参数之间的数学关系。

(d)在给定剪切频率、幅值裕度和相位裕度的前提下，对双十频响指标进行优化来提高系统的跟踪性能；此时，可将此优化问题描述如下：

$\underset{{\mathrm{\&lambda;}}_m\&le;\mathrm{\&lambda;}\&le;{\mathrm{\&lambda;}}_M}{\min }\{-w_{\mathrm{fr}}\left(\mathrm{\&lambda;}\right)\}$

$s.t.\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\&gamma;}}_r-\mathrm{\&gamma;}\left(\mathrm{\&lambda;}\right)\\ k_{\mathrm{gr}}-k_g\left(\mathrm{\&lambda;}\right)\\ w_c\left(\mathrm{\&lambda;}\right)-w_{c\max }\end{array}\right]\&le;0$

其中，λ＝[w_n ξ]为自变量，λ_m＝[0 0]为下边界，λ_M＝[1000 1]为上边界，γ(λ)为相位裕度数学表达式，k_g(λ)为幅值裕度数学表达式，w_c(λ)为剪切频率的数学表达式，w_cmax＝50Hz为噪声、高频谐振等限制下的所允许的最大剪切频率，γ_r＝35°为要求的相位裕度，k_gr＝5dB为要求的幅值裕度。

(e)选取惯性环节时间常数为T＝0.0014，其对应的转折频率为100Hz，给定初始值λ₀＝[312 0.6]可以求得一组最优解ξ^*＝0.2807使得双十频率达到9.5Hz，最终确定的期望闭环传递函数为

${\mathrm{\&Phi;}}_E\left(s\right)=\frac{164375.2706}{(s^2+227.61s+164368.05)(0.0014s+1)}$

(f)将得到的G(s)和Φ_E(s)代入式中，求得控制器为

$K\left(s\right)=\frac{164375.2706(0.0035s+1)(0.67s+1)}{434\left(0.0014s^2\right)+13.187s+457.7607}$

为验证设计结果，绘制了相应的开环Bode图，如图6A所示，从曲线上可以读取剪切频率为50Hz，幅值裕度k_g＝8.5dB，相位裕度γ＝37°，均满足约束条件；进一步绘制闭环系统的Bode图，如图6B所示，以检验双十频响指标，从图6B可以读取闭环系统的双十频率w_s＝60rad/s≈9.5Hz，该频率由相角首次达到-10°的频率确定，这与发明内容中的分析完全一致。

为了充分验证设计方法的实用性，将得到的连续域设计的控制器K(s)进行离散化并嵌入到转台的控制程序中(采样周期为0.5ms，采用双线性离散化方法)，然后，在实际系统中进行各项指标的测试。表1给出了1-9Hz闭环系统频率响应特性的理论值和实验值，利用FFT对每组实验的指令和反馈数据分析得到，FFT(Fast Fourier Transformation)即为快速傅氏变换，是离散傅氏变换的快速算法，图7A-图7D则分别给出了闭环系统跟踪频率为1Hz、3Hz、6Hz和9Hz,幅值为0.5度正弦指令的实验曲线。

表1 双十频率响应的理论值与实验结果比较

从表1中的数据可以看出，在给定频段闭环系统的跟踪性能都满足双十指标要求，但是在低频段，实验结果与理论分析还存在一定偏差，经分析可知，主要是由于实际系统中存在的摩擦死区导致的，另外，设计用标称模型与实际系统存在的偏差，以及控制器的离散化等因素也会引起一定的偏差。但总的来说，这些偏差仍然在可接受的范围之内。

根据上述，本发明通过构造期望闭环传递函数的结构形式，建立系统频响指标以及剪切频率、稳定裕度约束条件与期望闭环传递函数参数之间的数学关系，并根据给定的设计要求，将控制器设计问题转化为一组不等式约束下的参数优化问题，通过求解出最优参数，确定期望闭环传递函数，再利用闭环传递函数、被控对象与控制器三者之间的数学关系来直接求取相应的控制器。由于在期望闭环传递函数参数的确定中运用了优化算法，这样得到的控制器必然可以更大限度的挖掘系统的潜能，使系统获得更好的性能。

Claims (7)

1.基于期望闭环传递函数的伺服系统控制器优化方法，其特征在于：基于期望闭环传递函数的伺服系统控制器优化方法具体是按照以下步骤进行的：

步骤一、系统辨识，确定被控对象的传递函数；

步骤二、构造期望闭环传递函数的结构形式；

步骤三、建立系统频响指标、剪切频率和稳定裕度约束条件与期望闭环传递函数参数之间的数学关系；

步骤四、运用MATLAB工具箱求解优化问题，得到优化的期望闭环传递函数的参数；

步骤五、运用被控对象传递函数及期望闭环传递函数求解出控制器。

2.根据权利要求1所述基于期望闭环传递函数的伺服系统控制器优化方法，其特征在于：所述步骤一中被控对象的传递函数选取为式中，k_G为系统增益，τ_e为电气时间常数，τ_m为机电时间常数，s为Laplace算子；

通过代入标称参数或者参数辨识的方法测得实际被控对象传递函数中的参数k_G、τ_e和τ_m，从而确定被控对象的传递函数。

3.根据权利要求2所述基于期望闭环传递函数的伺服系统控制器优化方法，其特征在于：所述步骤二中期望闭环传递函数的结构形式为式中Φ_E(s)为构造的期望闭环传递函数，ξ为阻尼比，w_n为自然角频率，s为Laplace算子，T为辅助惯性环节时间常数；其中，ξ和w_n为待优化的参数，而T用于保证控制器的物理可实现性，将其取为常值，通常其取值要小于w_c为剪切频率。

4.根据权利要求3所述基于期望闭环传递函数的伺服系统控制器优化方法，其特征在于：所述步骤三中建立系统频响指标以及剪切频率、稳定裕度约束条件与期望闭环传递函数参数之间的数学关系分别由下列解析关系式给出：

1)双十频响指标

i)幅值误差

对于权利要求三中给定的期望闭环传递函数Φ_E(s)，定义w_A1.1为其幅频特性首次大于1.1的频率点，定义w_A0.9为其幅频特性首次小于0.9的频率点；对于期望闭环传递函数Φ_E(s)，随参数阻尼比ξ，自然角频率w_n，辅助惯性时间常数T的变化，从单调性方面考虑幅频特性会出现先增后减、先减后增再减以及单调递减三种情况，相应地，幅值误差首次超过10％的频率点可分以下2种情况进行求取，一种为由w_A1.1决定的情况，另一种为由w_A0.9决定的情况；

首先给出几个关键判别式的定义

a. $M_r=\frac{{w_n}^2}{\sqrt{[{({w_n}^2-x_r)}^2+{\left(2\mathrm{\&xi;}{w}_n\right)}^2{x}_r](\frac{\sqrt{{\mathrm{\&Delta;}}_r}}{6}+\mathrm{\&Omega;})}},$

其中， $\left\{\begin{array}{c}{a}_r=3T^2\\ b_r=2-4T^2{w_n}^2(1-2{\mathrm{\&xi;}}^2)\\ {\mathrm{\&Delta;}}_r={[4T^2{w_n}^2(1-2{\mathrm{\&xi;}}^2)+1]}^2-3(4T^4{w_n}^4-1)\\ \mathrm{\&Omega;}=[2T^2{w_n}^2(1-2{\mathrm{\&xi;}}^2)+2]/3\\ x_r=(-b_r+\sqrt{{\mathrm{\&Delta;}}_r})/\left(2a_r\right)\end{array}\right.$

b. $A_{\min }=\frac{{w_n}^2}{\sqrt{[{({w_n}^2-x_{r\min })}^2+{\left(2\mathrm{\&xi;}{w}_n\right)}^2{x}_{r\min }](-\frac{\sqrt{{\mathrm{\&Delta;}}_r}}{6}+\mathrm{\&Omega;})}},$ 其中， $x_{r\min }=\frac{-b_r-\sqrt{{\mathrm{\&Delta;}}_r}}{2a_r}$

c.△_A0.9＝B_s ²-4A_sC_s，

其中，和 $\left\{\begin{array}{c}{A}_s={b_s}^2-3a_s{c}_s\\ B_s=b_s{c}_s-9a_s{d}_s\\ C_s={c_s}^2-3b_s{d}_s\\ {\mathrm{\&Psi;}}_s=\frac{2A_s{b}_s-3a_s{B}_s}{2{\left(\sqrt{A_s}\right)}^3}\\ {\mathrm{\&theta;}}_s=\arccos {\mathrm{\&Psi;}}_s\end{array}\right.$

A.当A_min≤0.9；A_min>0.9且M_r<1.1； $2(1-2{\mathrm{\&xi;}}^2)\&le;T^2{w_n}^2<\frac{1}{2(1-2{\mathrm{\&xi;}}^2)};\mathrm{\&xi;}\&GreaterEqual;\frac{1}{\sqrt{2}};$ $\left\{\begin{array}{c}{T}^2{w_n}^2>2(1-2{\mathrm{\&xi;}}^2)\\ 0<\mathrm{\&xi;}<\frac{1}{2}\\ 1-2{\mathrm{\&xi;}}^2\&le;\frac{\sqrt{3(4T^4{w_n}^4-1)}-1}{4T^2{w_n}^2}\end{array}\right.;$ 或 $\left\{\begin{array}{c}{T}^2{w_n}^2>\frac{1}{2(1-2{\mathrm{\&xi;}}^2)}\\ T^2{w_n}^2\&GreaterEqual;\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}\&le;\mathrm{\&xi;}<\frac{1}{\sqrt{2}}\\ (1-2{\mathrm{\&xi;}}^2)\&le;\frac{\sqrt{3(4T^4{w_n}^4-1)}-1}{4T^2{w_n}^2}\end{array}\right.$ 时，幅值误差小于10％的最高频率点由幅值首次变为0.9时的频率w_A0.9决定，具体解析表达式分三种情况，分别为：

a)若 $\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\&Delta;}}_{A0.9}\&GreaterEqual;0\\ A_s\&GreaterEqual;0\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\&Delta;}}_{A0.9}<0\\ A_{\min }>0.9\end{array}\right.,$ 则 $w_{A0.9}=\sqrt{\frac{-b_s+\sqrt{A_s}(\cos \left(\frac{{\mathrm{\&theta;}}_s}{3}\right)+\sqrt{3}\sin \left(\frac{{\mathrm{\&theta;}}_s}{3}\right))}{3a_s}};$

b)若△_A0.9≥0，A_s<0，则 $w_{A0.9}=\sqrt{\frac{-b_s+\sqrt{A_s}(\cos \left(\frac{{\mathrm{\&theta;}}_s}{3}\right)-\sqrt{3}\sin \left(\frac{{\mathrm{\&theta;}}_s}{3}\right))}{3a_s}};$

c)若△_A0.9<0，A_min≤0.9，则 $w_{A0.9}=\sqrt{\frac{-b_s-2\sqrt{A_s}\cos \left(\frac{{\mathrm{\&theta;}}_s}{3}\right)}{3a_s}};$

B.A_min>0.9且M_r≥1.1时，其幅值误差小于10％的最高频率点由幅值首次变为1.1时的频率点w_A1.1决定，计算公式为： $w_{A1.1}=\sqrt{\frac{-b_s+\sqrt{A_s}(\cos \left(\frac{{\mathrm{\&theta;}}_s}{3}\right)-\sqrt{3}\sin \left(\frac{{\mathrm{\&theta;}}_s}{3}\right))}{3a_s}};$

ii)相角误差

对于权利要求三中所述的期望闭环传递函数Φ_E(s)，其相频特性的数学表达式为由于其具有单调递减特性，只定义相位首次变为-10°的频率为w_P10；由于w_P10<<w_n，忽略w²，令得w_P10的解析表达式为

$w_{P10}=\frac{\sqrt{{(T{w}_n+2\mathrm{\&xi;})}^2+8\mathrm{T\&xi;}{w}_n{\tan }^2\left(\frac{\mathrm{\&pi;}}{18}\right)}-({\mathrm{Tw}}_n+2\mathrm{\&xi;})}{4\mathrm{T\&xi;}\tan \left(\frac{\mathrm{\&pi;}}{18}\right)}$

综合幅值误差与相角误差的分析结果可知，若要满足双十频响指标，则必须满足min{w_A1.1,w_P10}≥w_fr或min{w_A0.9,w_P10}≥w_fr，w_fr为满足双十频响指标要求的最高频率；

2)剪切频率

剪切频率也是控制系统的约束条件之一，下面给出了剪切频率与期望闭环传递函数参数之间的数学关系：

定义 $\left\{\begin{array}{c}{a}_c=T^2\\ b_c=4{\mathrm{\&xi;}}^2{T}^2{w_n}^2-2T^2{w_n}^2+1\\ c_c={w_n}^2{(2\mathrm{\&xi;}+T{w}_n)}^2\\ d_c=-{w_n}^4\end{array}\right.,$ 令 $\left\{\begin{array}{c}{A}_c=b_c^2-3a_c{c}_c\\ B_c=b_c{c}_c-9a_c{d}_c\\ C_c=c_c^2-3b_c{d}_c\\ M_c=\frac{2A_c{b}_c-3a_c{B}_c}{2{\left(\sqrt{A_c}\right)}^3}\\ {\mathrm{\&theta;}}_c=\arccos M_c\end{array}\right.,$ 并定义判别式 ${\mathrm{\&Delta;}}_c=B_c^2-4A_c{C}_c,$ 则剪切频率w_c的解析表达式分为三种情况，分别为：

i)若△_c≥0，A_c≥0，则 $w_c=\sqrt{\frac{-b_c-2\sqrt{A_c}\cos \left(\frac{{\mathrm{\&theta;}}_c}{3}\right)}{3a_c}};$

ii)若△_c≥0，A_c<0，则 $w_c=\sqrt{\frac{-b_c+\sqrt{A_c}(\cos \left(\frac{{\mathrm{\&theta;}}_c}{3}\right)-\sqrt{3}\sin \left(\frac{{\mathrm{\&theta;}}_c}{3}\right))}{3a_c}};$

iii)若△_c<0，则 $w_c=\sqrt{\frac{-b_c+\sqrt{A_c}(\cos \left(\frac{{\mathrm{\&theta;}}_c}{3}\right)+\sqrt{3}\sin \left(\frac{{\mathrm{\&theta;}}_c}{3}\right))}{3a_c}};$

3)稳定裕度

i)相位裕度

根据相位裕度的定义，代入剪切频率w_c的表达式，即可得到相位裕度γ与期望闭环传递函数参数的关系为：

ii)幅值裕度

根据幅值裕度的物理意义，并利用劳斯稳定判据，可得幅值裕度k_g与期望闭环传递函数参数的解析表达式为：

$k_g=\frac{(2\mathrm{T\&xi;}{w}_n+1)(T{w}_n+2\mathrm{\&xi;})}{T{w}_n}.$

5.根据权利要求4所述基于期望闭环传递函数的伺服系统控制器优化方法，其特征在于：在给定剪切频率、幅值裕度和相位裕度的前提下，对双十频响指标进行优化来提高系统的跟踪性能；此时，可将此优化问题描述如下：

$\underset{{\mathrm{\&lambda;}}_m\&le;\mathrm{\&lambda;}\&le;{\mathrm{\&lambda;}}_M}{\min }\{-w_{\mathrm{fr}}\left(\mathrm{\&lambda;}\right)\}$

$s.t.\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\&gamma;}}_r-\mathrm{\&gamma;}\left(\mathrm{\&lambda;}\right)\\ k_{\mathrm{gr}}-k_g\left(\mathrm{\&lambda;}\right)\\ w_c\left(\mathrm{\&lambda;}\right)-w_{c\max }\end{array}\right]\&le;0$

其中，λ＝[w_n ξ]为自变量，λ_m＝[0 0]为下边界，λ_M＝[1000 1]为上边界，w_fr(λ)为目标函数，即待优化的双十频响指标；w_c(λ)为剪切频率的数学表达式，w_cmax为给定的噪声、高频谐振限制下所允许的最大剪切频率，k_g(λ)为幅值裕度数学表达式，k_gr为给定的幅值裕度约束；γ(λ)为相位裕度数学表达式，γ_r为给定的相位裕度约束。

6.根据权利要求5所述基于期望闭环传递函数的伺服系统控制器优化方法，其特征在于：步骤四中所述运用MATLAB工具箱求解优化问题，得到优化的期望闭环传递函数的参数，具体的方法为：

期望闭环传递函数的自然角频率w_n和阻尼比ξ可以利用MATLAB工具箱求解优化问题的fmincon函数来求取。

7.根据权利要求6所述基于期望闭环传递函数的伺服系统控制器优化方法，其特征在于：步骤五中所述求解出控制器的方法为：

G(s)为被控对象的传递函数，Φ_E(s)为期望闭环传递函数，K(s)为控制器，根据 ${\mathrm{\&Phi;}}_E\left(s\right)=\frac{K\left(s\right)G\left(s\right)}{1+K\left(s\right)G\left(s\right)},$ 可以求得控制器 $K\left(s\right)=\frac{{\mathrm{\&Phi;}}_E\left(s\right)}{G\left(s\right)(1-{\mathrm{\&Phi;}}_E\left(s\right))}.$