CN104103058A - 图像匹配系统及方法 - Google Patents

Abstract

一种图像匹配方法，其包括：接收用户光栅的频率种类数、每种频率光栅的周期数、及相移次数；控制投影仪将M种不同频率的光栅依次根据相移次数投影到待测物体的表面，并记录在每一种频率及每一次平移下由两个摄像机各拍摄的N幅光栅图像；计算每个像素点在每幅光栅图像中的光强；根据N步相移法计算像素点在每一种频率光栅下的相位主值θ(x,y)；根据像素点在M种不同频率的光栅下的相位主值计算每个像素点的相位以得到第一相位灰度图及第二相位灰度图；匹配第一相位灰度图及第二相位灰度图中的所有像素点以得到所需的图像。本发明还提供一种图像匹配系统，其可以在图像匹配的时候不需要外部的约束就可以完成，同时也提高了计算速度。

Description

图像匹配系统及方法

技术领域

本发明涉及一种图像匹配系统及方法。

背景技术

目前，结构光三维测量系统是一种迅速发展的技术。将结构光照射在物体上，利用摄像机拍到的图片进行编码和匹配是系统的重要部分，是获得高精度三维测量的基础。基于一维正弦光栅的相移解相位编码方法，如格雷码，多频外差法等广泛应用于各种扫描测量系统之中。一维正弦光栅只在一个方向有变化，解出相位后不能直接用相位匹配图像，还需要外部条件，如极线约束。这样给计算带来很大的不便。

发明内容

鉴于以上内容，有必要提供图像匹配系统及方法，其可以在图像匹配的时候不需要外部的约束就可以完成，而且计算速度也提高很多。

一种图像匹配系统，其包括：接收模块，用于接收用户光栅的频率种类数、每种频率光栅的周期数、及相移次数；投影模块，用于投影仪将M种不同频率的光栅依次根据相移次数投影到待测物体的表面，并记录在每种频率及每次平移下由两个摄像机各拍摄的N幅光栅图像；光强计算模块，用于计算每个像素点在每幅光栅图像中的光强；相位主值计算模块，用于根据N步相移法计算每个像素点在每种频率光栅下的相位主值θ(x,y)；相位计算模块，用于根据每个像素点在M种不同频率光栅下的相位主值计算每个像素点的相位以得到第一相位灰度图及第二相位灰度图，所述第一相位灰度图为第一个摄像机所拍摄的光栅图像计算得到的相位灰度图，所述第二相位灰度图为第二个摄像机所拍摄的光栅图像计算得到的相位灰度图；匹配模块，用于匹配第一相位灰度图及第二相位灰度图中的所有像素点以得到所需的图像。

一种图像匹配方法，该方法包括：接收步骤，接收用户输入光栅的频率种类数、每种频率光栅的周期数、及相移次数；投影步骤，使投影仪将M种不同频率的光栅依次根据相移次数投影到待测物体的表面，并记录在每种频率及每次平移下由两个摄像机各拍摄的N幅光栅图像；光强计算步骤，计算每个像素点在每幅光栅图像中的光强；相位主值计算步骤，根据N步相移法计算每个像素点在每种频率光栅下的相位主值θ(x,y)；相位计算步骤，根据每个像素点在M种不同频率光栅下的相位主值计算每个像素点的相位以得到第一相位灰度图及第二相位灰度图，所述第一相位灰度图为第一个摄像机所拍摄的光栅图像计算得到的相位灰度图，所述第二相位灰度图为第二个摄像机所拍摄的光栅图像计算得到的相位灰度图；匹配步骤，匹配第一相位灰度图及第二相位灰度图中的所有像素点以得到所需的图像。

相较于现有技术，所述图像匹配系统及方法使得每个像素点对应唯一的一个相位，使每个像素点的编码都是唯一的，从而在图像匹配的时候不需要外部的约束，直接利用像素点的相位进行插值匹配就可以完成，同时也提高了计算速度。

附图说明

图1是本发明图像匹配系统的应用环境图。

图2是本发明图像匹配系统的模块图。

图3是本发明图像匹配方法的较佳实施例的流程图。

图4是本发明双线性插值的示意图。

主要元件符号说明

测量设备	1
		投影仪	11
摄像机	10
		待测物体	13
工作台	12
		计算机	2
图像匹配系统	20
		接收模块	200
投影模块	201
		光强计算模块	202
相位主值计算模块	203
		相位计算模块	204
匹配模块	205
		存储器	25
微处理器	26
		显示设备	27

如下具体实施方式将结合上述附图进一步说明本发明。

具体实施方式

如图1所示，是本发明图像匹配系统的应用环境图。所述图像匹配系统20安装于计算机2中，所述计算机2与测量设备1通讯连接。所述测量设备包括投影仪11及位于投影仪11左右的两个摄像机10。所述投影仪11用于将光栅投影到工作台12上的待测物体13的表面。所述光栅在投影到待测物体13的表面后会发生变形。所述摄像机10用于拍摄光栅在待测物体13的表面上发生变形的图像，摄像机10所拍摄的图像记为光栅图像。

所述投影仪11可根据测量的需要将M种不同频率的光栅投影到待测物体13的表面。

所述图像匹配系统20用于匹配两个视角下的相位灰度图以得到所需的图像。所述每个相位灰度图被数字化为P*Q个像素点，每个像素点的像素值为像素点的相位。在M种不同频率的光栅下，每个像素点对应M个不同的绝对相位。但所述每个像素点只有一个相位。所述像素点的相位为像素点在频率最大的光栅下对应的绝对相位。

所述相位灰度图包括第一相位灰度图及第二相位灰度图。所述第一相位灰度图由位于投影仪11左面的摄像机10所拍摄的光栅图像计算而得到的相位灰度图。所述第二相位灰度图由位于投影仪11右面的摄像机10所拍摄的光栅图像计算而得到的相位灰度图。

像素点在每种频率的光栅下对应的绝对相位是根据像素点在每种频率的光栅下的相位主值计算得到的。所述像素点在每种频率光栅下对应的绝对相位的计算步骤在后续详述。

所述像素点在每一种频率光栅下的相位主值由该像素点在每一种频率光栅下所对应的N幅光栅图像根据N步相移法计算得到的。在每种频率的光栅下，每个像素点对应N幅光栅图像。第一相位灰度图中的每个像素点在每种频率光栅下所对应的N幅光栅图像包括每种频率的光栅投影到待测物体13上时，位于投影仪11左面的摄像机10所拍摄的N幅光栅图像。第二相位灰度图中每个像素点在每种频率光栅下所对应的N幅光栅图像包括每种频率的光栅投影到待测物体13上时，位于投影仪11右面的摄像机10所拍摄的N幅光栅图像。所述N步相移法将在后续中详述。

在本实施例中，在M取3，N取4的情况下，在第一相位灰度图及第二相位灰度图中的每个像素点均对应一个相位、三个绝对相位及三个相位主值。

如图2所示，是本发明光栅图像匹配系统的模块图。在本实施例中，所述光栅图像匹配系统20包括接收模块200、投影模块201、光强计算模块202、相位主值计算模块203、相位计算模块204及匹配模块205。本发明所称的模块是指一种能够被微处理器26所执行并且能够完成固定功能的一系列计算机程序段，其存储在存储器25中。在本实施例中，关于各模块的功能将在图3的流程图中具体描述。

如图3所示，是本发明光栅图像匹配方法的较佳实施例的流程图。根据不同的需求，该流程图中步骤的顺序可以改变，某些步骤可以省略。

步骤S10，接收模块200接收用户输入光栅的频率种类数、每种频率光栅的周期数、及相移次数N。

所述光栅的频率种类数为所采用的光栅的几种不同的频率的数量。在本实施例中，采用三种不同频率的光栅依次投影到待测物体13的表面。

所述相移次数为在应用N步相移法计算像素点在每种频率光栅下的相位主值时N的取值。所述N步相移法指当光栅在栅线的垂直方向上平移栅距的1/N时，对应的光栅图像中每个像素点的相位将移动2π/N。在N步相移法中，当投影仪11等距离平移N－1次时，左右两个摄像机10各会拍摄N幅光栅图像。在本实施例中，N取4，即采用四步相移法。关于N步相移法的应用将在后续详述。

步骤S11，投影模块201控制投影仪11将M种不同频率的光栅依次根据相移次数投影到待测物体13的表面，并记录在每一种频率及每一次平移下由两个摄像机10各拍摄的N幅光栅图像。在本实施例，M取3，N取4，在每种频率的光栅下，投影仪11会移动三次位置将光栅投影到待测物体13的表面。即每个像素点在每种频率的光栅下对应四幅光栅图像，左右两个摄像机10各拍摄四幅光栅图像。

步骤S12，光强计算模块202计算每个像素点在每幅光栅图像中的光强。详细地，在第m种频率的光栅下，像素点在第i幅光栅图像中的光强为：

$I_i(x,y)=a(1+\cos (\frac{2\mathrm{\πx}}{{\mathrm{\φ}}_m}+\frac{2(i-1)\mathrm{\π}}{N})(1+\cos (x+\frac{2\mathrm{\πy}}{{\mathrm{\φ}}_m}+\frac{2(i-1)\mathrm{\π}}{N})),$ 其中a为系数，x，y为像素点的在光栅图像中的横、纵坐标，φ_m为第m种光栅的周期数。在本实施例中，对每个像素点而言，在每种频率的光栅下，光强计算模块202需计算像素点在该频率的光栅对应的四幅光栅图像中的光强。其中，m和i是大于0的整数，m≤M，i≤N。

步骤S13，相位主值计算模块203根据N步相移法计算像素点在每一种频率光栅下的相位主值θ(x,y)。根据N步相移法的原理，像素点在第m种频率的光栅下的相位主值 $\mathrm{\θ}(x,y)=-\arctan \left(\frac{\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{I}_i(x,y)\·\sin \left(\frac{2(i-1)\mathrm{\π}}{N}\right)}{\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{I}_i(x,y)\·\cos \left(\frac{2(i-1)\mathrm{\π}}{N}\right)}\right).$ 在本实施例中，当为四步相移法时，像素点在第m种频率的光栅下的相位主值其中I₁、I₂、I₃及I₄是根据光强计算公式计算得到的。

步骤S14，相位计算模块204根据像素点在M种不同频率的光栅下的相位主值计算每个像素点的相位。当两个相位灰度图中的所有像素点的相位计算完毕后即可得到第一相位灰度图及第二相位灰度图。

详细地，所述每个像素点的相位为像素点在频率最大的光栅下的绝对相位。所述M种不同频率的光栅的频率从小到大依次为第一种频率λ₁、第二种频率λ₂…及第M种频率λ_M。像素点在第一种频率λ₁、第二种频率λ₂…及第M种频率λ_M光栅下的相位主值依次为θ₁，θ₂…θ_M。即计算出像素点在第M种频率λ_M光栅下的绝对相位即为像素点的相位，计算步骤如下：

由于第一种频率的光栅的频率最小，则第一种频率的光栅周期数最大，即像素点在第一种频率λ₁光栅下的绝对相位Φ₁为其相位主值θ₁。

所述像素点在第二种频率λ₂光栅下的绝对相位Φ₂为像素点在第一种频率λ₁光栅下的绝对相位Φ₁及像素点在第二种频率λ₂光栅下的相位主值叠加得到的。所述 ${\mathrm{\Φ}}_2={\mathrm{\θ}}_2+2\mathrm{\π}\·\left(\mathrm{INT}\right){\left(\frac{{\mathrm{\Φ}}_1{\mathrm{\λ}}_1/{\mathrm{\λ}}_2-{\mathrm{\θ}}_2}{2\mathrm{\π}}\right)}^2,$ 依次类推可以算出所述像素点在第M种频率λ_M光栅下的绝对相位Φ_M为像素点在第M-1种频率λ_M-1光栅下的绝对相位Φ_M-1及第M种频率λ_M光栅下的相位主值叠加得到的。所述 ${\mathrm{\Φ}}_M={\mathrm{\θ}}_M+2\mathrm{\π}\·\left(\mathrm{INT}\right){\left(\frac{{\mathrm{\Φ}}_{M-1}{\mathrm{\λ}}_{M-1}/{\mathrm{\λ}}_M-{\mathrm{\θ}}_M}{2\mathrm{\π}}\right)}^2.$ 所述INT表示对所算的结果取整。

步骤S15，匹配模块205匹配第一相位灰度图及第二相位灰度图中的所有像素点以得到所需的图像。

详细地，（1）若第一相位灰度图的任意一个像素点的相位为P₀，在第二相位灰度图中找到四个位置相邻的像素点，且四个像素点的相位分别为P₀₀、P₀₁、P₁₀、P₁₁，满足：P₀>P₀₀，P₀<P₀₁，P₀<P₁₀，P₀<P₁₁，如图4所示，设在第二相位灰度图中，相位为P₀₀的像素点的坐标为(x₀,y₀)，那么与该相位为P₀₀的像素点的位置相邻的相位为P₀₁、P₁₀、P₁₁的像素点对应的坐标为(x₀,y₀+1)、(x₀+1,y₀)、(x₀+1,y₀+1)。

（2）利用双线性插值计算出在第二相位灰度图中与第一相位灰度图中相位为P₀的像素点相匹配的像素点的坐标。

如图4所示，在第二相位灰度图中与第一相位灰度图中相位P₀相匹配的相位P'的像素点坐标(x′,y′)为：

$x^{\&prime;}=x_0+\frac{1}{2}(\frac{P_0-P_{00}}{P_{01}-P_{00}}+\frac{P_0-P_{10}}{P_{11}-P_{10}})$

$y^{\&prime;}=y_0+\frac{1}{2}(\frac{P_0-P_{00}}{P_{10}-P_{00}}+\frac{P_0-P_{01}}{P_{11}-P_{01}}).$

通过本发明，所述图像匹配系统及方法，采用二维正弦光栅，每个像素点对应唯一的一个相位，使每个像素点的编码都是唯一的。在图像匹配的时候不需要外部的约束，直接利用像素点的相位进行插值匹配就可以完成，同时也提高了计算速度。

最后应说明的是，以上实施例仅用以说明本发明的技术方案而非限制，尽管参照较佳实施例对本发明进行了详细说明，本领域的普通技术人员应当理解，可以对本发明的技术方案进行修改或等同替换，而不脱离本发明技术方案的精神和范围。

Claims (12)

1.一种图像匹配系统，其特征在于，该系统包括：

接收模块，用于接收用户输入光栅的频率种类数、每种频率光栅的周期数、及相移次数N；

投影模块，用于投影仪将M种不同频率的光栅依次根据相移次数投影到待测物体的表面，并记录在每种频率及每次平移下由两个摄像机各拍摄的N幅光栅图像；

光强计算模块，用于计算每个像素点在每幅光栅图像中的光强；

相位主值计算模块，用于根据N步相移法计算每个像素点在每种频率光栅下的相位主值θ(x,y)；

相位计算模块，用于根据每个像素点在M种不同频率光栅下的相位主值计算每个像素点的相位以得到第一相位灰度图及第二相位灰度图，所述第一相位灰度图为第一个摄像机所拍摄的光栅图像计算得到的相位灰度图，所述第二相位灰度图为第二个摄像机所拍摄的光栅图像计算得到的相位灰度图；

匹配模块，用于匹配第一相位灰度图及第二相位灰度图中的所有像素点以得到所需的图像。

2.如权利要求1所述的图像匹配系统，其特征在于，在第m种频率的光栅下，像素点在第i幅光栅图像中的光强为：

$I_i(x,y)=a(1+\cos (\frac{2\mathrm{\&pi;x}}{{\mathrm{\&phi;}}_m}+\frac{2(i-1)\mathrm{\&pi;}}{N})(1+\cos (x+\frac{2\mathrm{\&pi;y}}{{\mathrm{\&phi;}}_m}+\frac{2(i-1)\mathrm{\&pi;}}{N}))$

其中a为系数，x，y为像素点在光栅图像中的横、纵坐标，φ_m为第m种光栅的周期数，m和i是大于0的整数，m≤M，i≤N。

3.如权利要求2所述的图像匹配系统，其特征在于，所述像素点在第m种频率的光栅下的相位主值：

$\mathrm{\&theta;}(x,y)=-\arctan \left(\frac{\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{I}_i(x,y)\&CenterDot;\sin \left(\frac{2(i-1)\mathrm{\&pi;}}{N}\right)}{\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{I}_i(x,y)\&CenterDot;\cos \left(\frac{2(i-1)\mathrm{\&pi;}}{N}\right)}\right).$

4.如权利要求1所述的图像匹配系统，其特征在于，每个像素点的相位为像素点在频率最大的光栅下的绝对相位。

5.如权利要求4所述的图像匹配系统，其特征在于，所述M种不同频率的光栅按照频率的大小从小到大依次为频率为λ₁的光栅、频率为λ₂的光栅…及频率为λ_M的光栅，像素点在频率λ₁、频率λ₂…及频率λ_M光栅下的相位主值依次为θ₁，θ₂…θ_M；

频率为λ₁的光栅的周期数最大，则像素点在频率为λ₁光栅下的绝对相位Φ₁为其相位主值θ₁；

所述像素点在频率λ₂光栅下的绝对相位Φ₂为像素点在频率λ₁光栅下的绝对相位Φ₁及像素点在频率λ₂光栅下的相位主值叠加得到的，所述 ${\mathrm{\&Phi;}}_2={\mathrm{\&theta;}}_2+2\mathrm{\&pi;}\&CenterDot;\left(\mathrm{INT}\right){\left(\frac{{\mathrm{\&Phi;}}_1{\mathrm{\&lambda;}}_1/{\mathrm{\&lambda;}}_2-{\mathrm{\&theta;}}_2}{2\mathrm{\&pi;}}\right)}^2;$

所述像素点在频率为λ_M的光栅下的绝对相位Φ_M为像素点在频率为λ_M-1光栅下的绝对相位Φ_M-1及频率为λ_M光栅下的相位主值叠加得到的，所述 ${\mathrm{\&Phi;}}_M={\mathrm{\&theta;}}_M+2\mathrm{\&pi;}\&CenterDot;\left(\mathrm{INT}\right){\left(\frac{{\mathrm{\&Phi;}}_{M-1}{\mathrm{\&lambda;}}_{M-1}/{\mathrm{\&lambda;}}_M-{\mathrm{\&theta;}}_M}{2\mathrm{\&pi;}}\right)}^2,$ 所述INT表示对所算的结果取整。

6.如权利要求1所述的图像匹配系统，其特征在于，所述匹配模块匹配第一相位灰度图及第二相位灰度图的步骤包括：

若第一相位灰度图的任意一个像素点的相位为P₀，在第二相位灰度图中找到四个位置相邻的像素点，且四个像素点的相位分别为P₀₀、P₀₁、P₁₀、P₁₁，满足：P₀>P₀₀，P₀<P₀₁，P₀<P₁₀，P₀<P₁₁；

利用双线性插值计算出在第二相位灰度图中与相位为P₀的像素点相匹配的像素点P'的坐标；

设相位为P₀₀的像素点的坐标为(x₀,y₀)，则与P₀相位相匹配的相位P'的像素点坐标(x′,y′)为：

$x^{\&prime;}=x_0+\frac{1}{2}(\frac{P_0-P_{00}}{P_{01}-P_{00}}+\frac{P_0-P_{10}}{P_{11}-P_{10}})$

$y^{\&prime;}=y_0+\frac{1}{2}(\frac{P_0-P_{00}}{P_{10}-P_{00}}+\frac{P_0-P_{01}}{P_{11}-P_{01}}).$

7.一种图像匹配方法，其特征在于，该方法包括：

接收步骤，接收用户输入光栅的频率种类数、每种频率光栅的周期数、及相移次数N；

投影步骤，使投影仪将M种不同频率的光栅依次根据相移次数投影到待测物体的表面，并记录在每种频率及每次平移下由两个摄像机各拍摄的N幅光栅图像；

光强计算步骤，计算每个像素点在每幅光栅图像中的光强；

相位主值计算步骤，根据N步相移法计算每个像素点在每种频率光栅下的相位主值θ(x,y)；

相位计算步骤，根据每个像素点在M种不同频率光栅下的相位主值计算每个像素点的相位以得到第一相位灰度图及第二相位灰度图，所述第一相位灰度图为第一个摄像机所拍摄的光栅图像计算得到的相位灰度图，所述第二相位灰度图为第二个摄像机所拍摄的光栅图像计算得到的相位灰度图；

匹配步骤，匹配第一相位灰度图及第二相位灰度图中的所有像素点以得到所需的图像。

8.如权利要求7所述的图像匹配方法，其特征在于，在第m种频率的光栅下，像素点在第i幅光栅图像中的光强为：

$I_i(x,y)=a(1+\cos (\frac{2\mathrm{\&pi;x}}{{\mathrm{\&phi;}}_m}+\frac{2(i-1)\mathrm{\&pi;}}{N})(1+\cos (x+\frac{2\mathrm{\&pi;y}}{{\mathrm{\&phi;}}_m}+\frac{2(i-1)\mathrm{\&pi;}}{N}))$

其中a为系数，x，y为像素点在光栅图像中的横、纵坐标，φ_m为第m种光栅的周期数，m和i是大于0的整数，m≤M，i≤N。

9.如权利要求8所述的图像匹配方法，其特征在于，所述像素点在第m种频率的光栅下的相位主值：

$\mathrm{\&theta;}(x,y)=-\arctan \left(\frac{\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{I}_i(x,y)\&CenterDot;\sin \left(\frac{2(i-1)\mathrm{\&pi;}}{N}\right)}{\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{I}_i(x,y)\&CenterDot;\cos \left(\frac{2(i-1)\mathrm{\&pi;}}{N}\right)}\right).$

10.如权利要求7所述的图像匹配方法，其特征在于，每个像素点的相位为像素点在频率最大的光栅下的绝对相位。

11.如权利要求10所述的图像匹配方法，其特征在于，所述M种不同频率的光栅按照频率的大小从小到大依次为频率为λ₁的光栅、频率为λ₂的光栅…及频率为λ_M的光栅，像素点在频率λ₁、频率λ₂…及频率λ_M光栅下的相位主值依次为θ₁，θ₂…θ_M；

频率为λ₁的光栅的周期数最大，则像素点在频率为λ₁光栅下的绝对相位Φ₁为其相位主值θ₁；

所述像素点在频率λ₂光栅下的绝对相位Φ₂为像素点在频率λ₁光栅下的绝对相位Φ₁及像素点在频率λ₂光栅下的相位主值叠加得到的，所述 ${\mathrm{\&Phi;}}_2={\mathrm{\&theta;}}_2+2\mathrm{\&pi;}\&CenterDot;\left(\mathrm{INT}\right){\left(\frac{{\mathrm{\&Phi;}}_1{\mathrm{\&lambda;}}_1/{\mathrm{\&lambda;}}_2-{\mathrm{\&theta;}}_2}{2\mathrm{\&pi;}}\right)}^2;$

所述像素点在频率为λ_M的光栅下的绝对相位Φ_M为像素点在频率为λ_M-1光栅下的绝对相位Φ_M-1及频率为λ_M光栅下的相位主值叠加得到的，所述 ${\mathrm{\&Phi;}}_M={\mathrm{\&theta;}}_M+2\mathrm{\&pi;}\&CenterDot;\left(\mathrm{INT}\right){\left(\frac{{\mathrm{\&Phi;}}_{M-1}{\mathrm{\&lambda;}}_{M-1}/{\mathrm{\&lambda;}}_M-{\mathrm{\&theta;}}_M}{2\mathrm{\&pi;}}\right)}^2,$ 所述INT表示对所算的结果取整。

12.如权利要求7所述的图像匹配方法，其特征在于，所述匹配第一相位灰度图及第二相位灰度图的步骤包括：

若第一相位灰度图的任意一个像素点的相位为P₀，在第二相位灰度图中找到四个位置相邻的像素点，且四个像素点的相位分别为P₀₀、P₀₁、P₁₀、P₁₁，满足：P₀>P₀₀，P₀<P₀₁，P₀<P₁₀，P₀<P₁₁；

利用双线性插值计算出在第二相位灰度图中与相位为P₀的像素点相匹配的像素点P'的坐标；

设相位为P₀₀的像素点的坐标为(x₀,y₀)，则与P₀相位相匹配的相位P'的像素点坐标(x′,y′)为：

$x^{\&prime;}=x_0+\frac{1}{2}(\frac{P_0-P_{00}}{P_{01}-P_{00}}+\frac{P_0-P_{10}}{P_{11}-P_{10}})$

$y^{\&prime;}=y_0+\frac{1}{2}(\frac{P_0-P_{00}}{P_{10}-P_{00}}+\frac{P_0-P_{01}}{P_{11}-P_{01}}).$