CN104079303A - 一种多进制ldpc码辅助的迭代载波同步方法 - Google Patents

Abstract

一种多进制LDPC码辅助的迭代载波同步方法，属数字通信中信道编码及载波同步技术领域。多进制LDPC码具有接近理想香农限的性能，但是其译码器对相位噪声十分敏感，在载波出现相位偏移的情况下，其性能会极具恶化。本发明方法采用联合译码和估计，在多进制LDPC码译码过程加入对相位偏移估计的部分。在译码过程中译码器每进行一次译码迭代，便对相偏进行一次估计，估计时要用到LDPC译码中产生的软信息，然后再用估计的参数对译码器的输入进行修正，修正的输入经过LDPC码译码处理又可得到新的软信息，这些软信息又可用来得到新的估计参数，通过多次迭代，该方法可使参数的估计值收敛到实际取值，从而使LDPC码接近理论上的性能。

Description

一种多进制LDPC码辅助的迭代载波同步方法

技术领域

本发明涉及一种多进制LDPC码辅助的迭代载波同步方法，属数字通信中信道编码及载波同步技术领域。

背景技术

LDPC码是一种具有接近香农极限的优秀信道编解码方案。在采用高阶伽罗华域时可以构造出多进制LDPC码，与二进制LDPC码相比，多进制LDPC码具有更好的纠错性能，能与高阶调制方式进行无缝连接且具有更好的抗突发错误能力。在采用置信传播(Belief Propagation，BP)译码的条件下，多进制LDPC码可以达到接近香农极限的优良性能。虽然理论上多进制LDPC码具有接近香农限的性能，但是这是在理想相干检测的前提下得出来的，实际应用中载波同步不理想会引入相偏，而LDPC码译码算法对相偏十分敏感，这使得实际系统中LDPC码的性能和理论性能有很大的差距。文献“残留频偏条件下码辅助的迭代载波同步算法”<见[系统仿真学报]，2008，20(2)：p404-409，作者潘小飞、刘爱军、张邦宁等>披露了使用码辅助的LDPC码迭代载波同步方式，可以在不使用辅助数据的条件下对接收信息序列的相偏进行纠正，但是该论文中只针对二进制LDPC码以及BPSK(二进制移相键控法)调制方式。而本专利将这种码辅助迭代载波同步算法扩展到四进制LDPC码以及QPSK(四相位移相键控法)调制方式下，能够纠正多进制LDPC码载波同步不理想所引起的相偏，提高载波同步的精度对整个系统的性能会有很大的提高。

发明内容

为了克服载波同步不理想引起的相偏对LDPC码迭代译码器的影响，本发明提供了一种多进制LDPC码辅助的迭代载波同步方法。该方法将译码和同步相结合，在标准多进制LDPC译码的基础上，增加了对同步参数估计的步骤。在每次迭代译码中，用LDPC译码中的判决消息估计相偏，再用估计的相偏对译码器变量节点消息进行修正，通过LDPC译码算法和同步算法的相互影响、相互修正达到精确同步、提高译码性能，以实现精确估计同步不理想引起的相偏，提高整个系统的性能。

为了实现上述发明目的，本发明采用的技术方案如下：

一种多进制LDPC码辅助的迭代载波同步方法，应用于多进制LDPC码译码器，在多进制LDPC码译码器当中预先设c为由四进制m×n维校验矩阵H＝{h_j，i}确定的长为n的四元LDPC码，其中校验矩阵H内的元素和LDPC的码元取值取自伽罗华域GF(4)，GF(4)＝{0，α，α²，1}其中α为伽罗华域的乘法本原元，且在GF(4)域中有α³＝1，m为多进制LDPC码校验位长度、n为多进制LDPC码码长、h_j，i为校验矩阵H第j行第i列的元素，其中1≤j≤m，1≤i≤n，M_j表示同第j个校验节点相连的变量节点的集合，即M_j＝{i|h_j，i≠0}，M_j\i表示从M_j中除去第i个变量节点的集合，其中M表示变量节点的集合；N_i表示同第i个变量节点相连的校验节点的集合，即N_i＝{j|h_i，j≠0}，N_i\j表示从N_i中除去第j个校验节点的集合，其中N表示变量节点的集合，表示第l次迭代第i个变量节点满足除j外所有其他校验方程时c_i＝β的后验概率，c_i为多进制LDPC码中第i个码元，β∈GF(4)，校验节点消息分量表示第l次迭代时在校验矩阵H第j行第i列为β时第j个校验方程成立的概率；a表示码c中的码字经过QPSK调制后的发送信息序列，r表示a经过信道后的接收信息序列，也即LDPC译码器的输入，r中第i个分量对应码c的第i个变量节点；该方法的步骤如下：

1)初始化

假设QPSK将0映射到α映射到α²映射到1映射到则发送序列经过均值为0方差为σ²白高斯噪声信道后 $p_i\left(0\right)=\frac{1}{\sqrt{2\mathrm{\&pi;}}\mathrm{\&sigma;}}{e}^{\frac{-{|r_i-\frac{\sqrt{2}}{2}(1+j)|}^2}{{2\mathrm{\&sigma;}}^2}},$ $p_i\left(\mathrm{\&alpha;}\right)=\frac{1}{\sqrt{2\mathrm{\&pi;}}\mathrm{\&sigma;}}{e}^{\frac{-{|r_i-\frac{\sqrt{2}}{2}(1-j)|}^2}{{2\mathrm{\&sigma;}}^2}},p_i\left({\mathrm{\&alpha;}}^2\right)=\frac{1}{\sqrt{2\mathrm{\&pi;}}\mathrm{\&sigma;}}{e}^{\frac{-{|r_i-\frac{\sqrt{2}}{2}(-1+j)|}^2}{{2\mathrm{\&sigma;}}^2}},p_i\left(1\right)=\frac{1}{\sqrt{2\mathrm{\&pi;}}\mathrm{\&sigma;}}{e}^{\frac{{-|r_i+\frac{\sqrt{2}}{2}(1+j)|}^2}{{2\mathrm{\&sigma;}}^2}},$ r_i是r的第i个分量，p_i(0)、p_i(α)、p_i(α²)、p_i(1)分别为多进制LDPC码第i个码元为0、α、α²、1的后验概率，σ²加性高斯白噪声的噪声方差，σ为加性高斯白噪声的标准差，所以有假定c_i＝β时的第i个信道似然概率为

$f_i^{\mathrm{\&beta;}}=k_i{p}_i\left(\mathrm{\&beta;}\right),\mathrm{\&beta;}\&Element;\{0,\mathrm{\&alpha;},{\mathrm{\&alpha;}}^2,1\}$

k_i为归一化因子使p_i(β)第i个码元为β的后验概率，β为伽罗华域GF(4)中的某个元素，表示为β∈{0，α，α²，1}；

利用第i个信道似然消息初始化第i个变量节点消息

$Q_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{\&beta;}}\left(0\right)=f_i^{\mathrm{\&beta;}}$

表示第i个变量节点满足除j外所有其他校验方程给定接收值为r_i时c_i＝β的初始化概率，表示假定c_i＝β时的第i个信道似然概率；

2)校验节点消息更新

第l次迭代时在校验矩阵H第j行第i列为β时第j个校验方程成立的概率

$R_{\mathrm{ji}}^{\mathrm{\&beta;}}\left(l\right)=\underset{C:c_i=\mathrm{\&beta;}}{\mathrm{\&Sigma;}}\mathrm{\&delta;}(\underset{i^{\&prime;}\&Element;N_j}{\mathrm{\&Sigma;}}{h}_{j{i}^{\&prime;}}{c}_{i^{\&prime;}}=0|c)\underset{i^{\&prime;}\&Element;N_j\backslash i}{\mathrm{\&Pi;}}{Q}_{i^{\&prime;}j}^{c_{i^{\&prime;}}}$

其中C表示多进制LDPC码所有码字的集合，N_j表示同第j个变量节点相连的校验节点的集合，N_j\i表示从N_j中除去第i个校验节点的集合，δ(x)为冲击函数，除δ(0)＝1之外，x取其他值冲击函数都为0，表示第l次迭代第i′个变量节点满足除j外所有其他校验方程的后验概率，符号表示对右边元素做联乘；

3)变量节点消息更新

第l次迭代第i个变量节点满足除j外所有其他校验方程给定接收值为r_i时c_i＝β的后验概率

$Q_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{\&beta;}}\left(l\right)=a_{\mathrm{ij}}{f}_i^{\mathrm{\&beta;}}\underset{j^{\&prime;}\&Element;M_j\backslash i}{\mathrm{\&Pi;}}{R}_{j^{\&prime;}i}^{\mathrm{\&beta;}}\left(l\right)$

其中为假定c_i＝β时的第i个信道似然概率，M_j\i表示从M_j中除去第i个变量节点的集合，a_ij为归一化系数其目的是使表示第l次迭代时在校验矩阵H第j′行第i列为β时第j′个校验方程成立的概率；

4)计算判决消息并做判决

第i个变量节点满足所有校验方程给定接收值为r_i时c_i＝β的概率

$Q_i^{\mathrm{\&beta;}}=u_i{f}_i^{\mathrm{\&beta;}}\underset{j\&Element;M\left(i\right)}{\mathrm{\&Pi;}}{R}_{ji}^{\mathrm{\&beta;}}\left(l\right)$

其中u_i为归一化系数，其目的是使表示第l次迭代时在校验矩阵H第j行第i列为β时第j个校验方程成立的概率，为第i个码元的判决结果；

根据译码软消息对译码结果做硬判决

${\hat{c}}_i=\arg \underset{\mathrm{\&beta;}\&Element;\mathrm{GF}\left(q\right)}{\max }{Q}_i^{\mathrm{\&beta;}}$

表示i个变量节点满足所有校验方程给定接收值为r_i时c_i＝β的概率，表示从集合中寻找最大评分的参量，为译码器对第i个码元的译码结果；

5)判断译码是否结束

满足以下条件之一即表示译码结束：

A.H是LDPC码的校验矩阵，表示的转置；

B.l＝imax，imax为指定的最大迭代次数，

否则转入下一步；

6)对同步参数进行一次估计；

用θ表示相偏，使用最大对数似然概率的方法估计θ，并用期望-最大(EM)算法求解该最大对数似然概率估计问题，EM迭代求解中要用到多进制LDPC译码中产生的软信息；

θ的最大对数似然概率估计是指找到使对数似然概率密度函数lnp(r|θ)最大的θ作为其估计值，记作即符号表示求使括号内参数取最大值的θ，EM算法通过引进先验分布已知的隐藏变量来达到简化计算的目的；取发送信息序列a作为先验分布已知的随机变量，则标准EM算法求解最大对数似然估计的迭代计算公式表示为

${\mathrm{\&theta;}}^{(l+1)}=\arg \underset{\mathrm{\&theta;}}{\max }\left\{\underset{a}{\mathrm{\&Sigma;}}p\left(a\right|r,{\mathrm{\&theta;}}^{\left(l\right)})\ln p\left(r\right|a,\mathrm{\&theta;})\right\}---\left(1\right)$

其中θ^(l)表示第l次迭代中的θ估计值，θ^(l+1)表示在θ的当前估计值为θ^(l)时下一次相偏估计的估计值，p(r|a，θ)表示a和θ已知的条件下r的条件概率密度函数，p(a|r，θ^(l))表示已知r和θ^(l)的条件下a的条件概率密度函数，是求和符号，在已知发送信息序列a和相偏θ的条件下，译码器输入r的对数条件概率表示为：

$\begin{array}{c}\ln p\left(r\right|a,\mathrm{\&theta;})=-\frac{1}{2{\mathrm{\&sigma;}}^2}\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{|a_i{e}^{\mathrm{j\&theta;}}-r_i|}^2\\ =-\frac{1}{2{\mathrm{\&sigma;}}^2}\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}({\left|a_i\right|}^2+{\left|r_i\right|}^2)+\frac{1}{{\mathrm{\&sigma;}}^2}\mathrm{Re}\left\{\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}{r}_i{a}_i^{*}{e}^{-\mathrm{j\&theta;}}\right\}\end{array}---\left(2\right)$

其中n是码字的长度，a_i和r_i分别是发送和接收信息序列中第i个分量的取值，σ²是噪声方差，Re{·}表示取复数的实部，表示a_i的复共轭；公式(2)分成两部分，前一部分与估计参数θ无关，它只影响公式(1)所能取的最大值，而不能影响使(1)式取得最大值的参数θ，所以这一部分忽略；同理，公式(2)后一部分的比例因子也去掉，所以对(1)式求解简化为

$\begin{array}{c}{\mathrm{\&theta;}}^{(l+1)}=\arg \underset{\mathrm{\&theta;}}{\max }\left\{\underset{a}{\mathrm{\&Sigma;}}p\left(a\right|r,{\mathrm{\&theta;}}^{\left(l\right)})\mathrm{Re}\right\{\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{r}_i{a}_i^{*}{e}^{-\mathrm{j\&theta;}}\left\}\right\}\\ =\arg \underset{\mathrm{\&theta;}}{\max }\left\{\mathrm{Re}\right\{\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{r}_i{E}_a\left[a_i^{*}\right|r,{\mathrm{\&theta;}}^{\left(l\right)}\left]e^{-\mathrm{j\&theta;}}\right\}\}\end{array}---\left(3\right)$

其中表示在给定r和θ^(l)的条件下的条件期望；式(3)的最大值为：

$\widehat{\mathrm{\&theta;}}=\mathrm{angle}\left\{\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{r}_i{E}_a\right[a_i^{*}|r,{\mathrm{\&theta;}}^{\left(l\right)}]\}$

其中angle{·}表示取复数的幅角，表示第l次EM迭代时θ的估计值，对于QPSK调制，a中各信息位取和因此

$\begin{array}{c}{E}_a\left[a_i^{*}\right|r,{\mathrm{\&theta;}}^{\left(l\right)}]=\frac{\sqrt{2}}{2}(1-j)p(a_i=0|r,{\mathrm{\&theta;}}^{\left(l\right)})+\frac{\sqrt{2}}{2}(1+j)p(a_i=\mathrm{\&alpha;}|r,{\mathrm{\&theta;}}^{\left(l\right)})\\ +\frac{\sqrt{2}}{2}(-1-j)p(a_i={\mathrm{\&alpha;}}^2|r,{\mathrm{\&theta;}}^{\left(l\right)})+\frac{\sqrt{2}}{2}(-1+j)p(a_i=1|r,{\mathrm{\&theta;}}^{\left(l\right)})\end{array}---\left(4\right)$

上式中p(a_i＝0|r，θ^(l))、p(a_i＝α|r，θ^(l))、p(a_i＝α²|r，θ^(l))和p(a_i＝1|r，θ^(l))分别表示已知r和θ^(l)的条件下a_i取0、α、α²和1的概率，所以估计Δfθ需知道a中信息a_i的联合统计p(a_i＝0|r，θ^(l))、p(a_i＝α|r，θ^(l))、p(a_i＝α²|r，θ^(l))和p(a_i＝1|r，θ^(l))，当迭代次数足够大时，第l次迭代中产生的判决信息和p(a_i|r，θ^(l))的联合统计满足如下关系

$Q_i^{\mathrm{\&beta;}}=p(a_i=\mathrm{\&beta;}|r,{\mathrm{\&theta;}}^{\left(l\right)})$

代入公式(4)得到

$E_a\left[a_i^{*}\right|r,{\mathrm{\&theta;}}^{\left(N\right)}]=\frac{\sqrt{2}}{2}(1-j)Q_j^0+\frac{\sqrt{2}}{2}(1+j)Q_i^{\mathrm{\&alpha;}}+\frac{\sqrt{2}}{2}(-1-j)Q_i^{{\mathrm{\&alpha;}}^2}+\frac{\sqrt{2}}{2}(-1+j)Q_i^1$

上式就把LDPC迭代译码中获得的判决信息应用到了同步参数相偏的估计；

7)修正接收信息序列r

用当前频偏和相偏估计值对接收信息序列r进行修正；用r′表示修正后的接收信息序列，其第i个分量用r_i′表示，r_i表示r中第i个分量；修正公式为

$r_i^{\&prime;}=r_i{e}^{-j\widehat{\mathrm{\&theta;}}}$

8)计算变量节点初始对数似然比消息

用修正后的接收信息序列r′计算各变量节点的初始似然比消息；在信道噪声方差为σ²的情况下， $p_i\left(0\right)=\frac{1}{\sqrt{2\mathrm{\&pi;}}\mathrm{\&sigma;}}{e}^{\frac{-{|r_i^{\&prime;}-\frac{\sqrt{2}}{2}(1+j)|}^2}{{2\mathrm{\&sigma;}}^2}},p_i\left(\mathrm{\&alpha;}\right)=\frac{1}{\sqrt{2\mathrm{\&pi;}}\mathrm{\&sigma;}}{e}^{\frac{-{|r_i^{\&prime;}-\frac{\sqrt{2}}{2}(1-j)|}^2}{{2\mathrm{\&sigma;}}^2}},p_i\left({\mathrm{\&alpha;}}^2\right)=\frac{1}{\sqrt{2\mathrm{\&pi;}}\mathrm{\&sigma;}}{e}^{\frac{-{|r_i^{\&prime;}-\frac{\sqrt{2}}{2}(-1+j)|}^2}{{2\mathrm{\&sigma;}}^2}},$ r_i′足接收符号修正后的第i个分量，所以第i个信道似然消息为

f_i ^β＝k_ip_i(β)，β∈{0，α，α²，1}

9)变量节点消息更新

变量节点收集与它相邻的校验节点及信道的消息，第l次迭代第i个变量节点满足除j外所有其他校验方程给定接收值为r_i时c_i＝β的后验概率

$Q_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{\&beta;}}\left(l\right)=a_{\mathrm{ji}}{f}_i^{\mathrm{\&beta;}}\underset{j^{\&prime;}\&Element;M_j\backslash i}{\mathrm{\&Pi;}}{R}_{j^{\&prime;}i}^{\mathrm{\&beta;}}\left(l\right)$

其中f_iβ为假定c_i＝β时的第i个信道似然概率，M_j\i表示从M_j中除去第i个变量节点的集合，a_ij为归一化系数其目的是使 表示第l次迭代时在校验矩阵H第j′行第i列为β时第j′个校验方程成立的概率；

10)返回到步骤2)更新校验节点消息，进行下一次迭代。

上述LDPC码是一种线性分组奇偶校验码，是麻省理工学院Robert Gallager于1962年在博士论文中提出的一种具有稀疏校验矩阵的分组纠错码，具有译码复杂度低、结构灵活、性能优良等特点。多进制LDPC码是基于高阶伽罗华域构造的一种线性奇偶校验码，由Mackay和Neal提出，具有抗突发错误和高阶调制无缝连接的优点。

上述QPSK全称为Quadrature Phase Shift Keying，意为四相位移相键控法。它是把模拟信号转换成数据值的转换方式之一。是利用偏离相位的复数波浪组合来表现信息键控移相方式的一种。

上述EM算法是最大期望算法(Expectation-maximization algorithm，又译为期望最大化算法)，是在概率模型中寻找参数最大似然估计或者最大后验估计的算法，其中概率模型依赖于无法观测的隐藏变量。最大期望经常用在机器学习和计算机视觉的数据聚类领域。

本发明方法的原理如下：该方法以迭代的方式对同步参数进行估计，并将迭代过程和LDPC的译码相结合，即每进行一次LDPC译码迭代的同时，也进行一次参数估计，估计参数时要用到LDPC译码时产生的软信息，估计出的参数再对译码器的输入进行修正，LDPC译码器又根据修正后的输入重新计算信道的初始对数似然比消息，通过这种互相影响的方式，达到用LDPC码辅助载波同步的目的。

本发明方法的优点如下：

本发明使用LDPC迭代译码中产生的软信息来辅助系统中的载波同步，将对同步参数的估计放在LDPC码的译码器，从而可以在解调器不需做任何修改的条件下和任何传统同步算法相结合，对传统同步算法估计的相偏进行精细估计。

附图说明

具体实施方式

下面结合实施例对本发明作进一步说明，但不限于此。

实施例：

本发明实施例如下，一种多进制LDPC码辅助的迭代载波同步方法，应用于多进制LDPC码译码器，在多进制LDPC码译码器当中预先设c为由四进制m×n维校验矩阵H＝{h_j，i}确定的长为n的四元LDPC码，其中校验矩阵H内的元素和LDPC的码元取值取自伽罗华域GF(4)，GF(4)＝{0，α，α²，1}其中α为伽罗华域的乘法本原元，且在GF(4)域中有α³＝1，m为多进制LDPC码校验位长度、n为多进制LDPC码码长、h_j，i为校验矩阵H第j行第i列的元素，其中1≤j≤m，1≤i≤n，M_j表示同第j个校验节点相连的变量节点的集合，即M_j＝{i|h_j，i≠0}，M_j\i表示从M_j中除去第i个变量节点的集合，其中M表示变量节点的集合；N_i表示同第i个变量节点相连的校验节点的集合，即N_i＝{j|h_i，j≠0}，N_i\j表示从N_i中除去第j个校验节点的集合，其中N表示变量节点的集合，表示第l次迭代第i个变量节点满足除j外所有其他校验方程时c_i＝β的后验概率，c_i为多进制LDPC码中第i个码元，β∈GF(4)，校验节点消息分量表示第l次迭代时在校验矩阵H第j行第i列为β时第j个校验方程成立的概率；a表示码c中的码字经过QPSK调制后的发送信息序列，r表示a经过信道后的接收信息序列，也即LDPC译码器的输入，r中第i个分量对应码c的第i个变量节点；该方法的步骤如下：

1)初始化

假设QPSK将0映射到α映射到α²映射到1映射到则发送序列经过均值为0方差为σ²白高斯噪声信道后 $p_i\left(\mathrm{\&alpha;}\right)=\frac{1}{\sqrt{2\mathrm{\&pi;}}\mathrm{\&sigma;}}{e}^{\frac{-{|r_i-\frac{\sqrt{2}}{2}(1-j)|}^2}{2{\mathrm{\&sigma;}}^2}},p_i\left({\mathrm{\&alpha;}}^2\right)=\frac{1}{\sqrt{2\mathrm{\&pi;}}\mathrm{\&sigma;}}{e}^{\frac{-|r_i-\frac{\sqrt{2}}{2}(-1+j){|}^2}{{2\mathrm{\&sigma;}}^2}},p_i\left(1\right)=\frac{1}{\sqrt{2\mathrm{\&pi;}}\mathrm{\&sigma;}}{e}^{\frac{{-|r_i+\frac{\sqrt{2}}{2}(1+j)|}^2}{{2\mathrm{\&sigma;}}^2}},$ r_i是r的第i个分量，p_i(0)、p_i(α)、p_i(α²)、p_i(1)分别为多进制LDPC码第i个码元为0、α、α²、1的后验概率，σ²加性高斯白噪声的噪声方差，σ为加性高斯白噪声的标准差，所以有假定c_i＝β时的第i个信道似然概率为

$f_i^{\mathrm{\&beta;}}=k_i{p}_i\left(\mathrm{\&beta;}\right),\mathrm{\&beta;}\&Element;\{0,\mathrm{\&alpha;},{\mathrm{\&alpha;}}^2,1\}$

k_i为归一化因子使p_i(β)第i个码元为β的后验概率，β为伽罗华域GF(4)中的某个元素，表示为β∈{0，α，α²，1}；

利用第i个信道似然消息初始化第i个变量节点消息

$Q_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{\&beta;}}\left(0\right)=f_i^{\mathrm{\&beta;}}$

表示第i个变量节点满足除j外所有其他校验方程给定接收值为r_i时c_i＝β的初始化概率，表示假定c_i＝β时的第i个信道似然概率；

2)校验节点消息更新

第l次迭代时在校验矩阵H第j行第i列为β时第j个校验方程成立的概率

$R_{\mathrm{ji}}^{\mathrm{\&beta;}}\left(l\right)=\underset{C:c_i=\mathrm{\&beta;}}{\mathrm{\&Sigma;}}\mathrm{\&delta;}(\underset{i^{\&prime;}\&Element;N_j}{\mathrm{\&Sigma;}}{h}_{{\mathrm{ji}}^{\&prime;}}{c}_{i^{\&prime;}}=0|c)\underset{i^{\&prime;}\&Element;N_j\backslash i}{\mathrm{\&Pi;}}{Q}_{i^{\&prime;}j}^{c_{i^{\&prime;}}}$

其中C表示多进制LDPC码所有码字的集合，N_j表示同第j个变量节点相连的校验节点的集合，N_j\i表示从N_j中除去第i个校验节点的集合，δ(x)为冲击函数，除δ(0)＝1之外，x取其他值冲击函数都为0，表示第l次迭代第i′个变量节点满足除j外所有其他校验方程的后验概率，符号表示对右边元素做联乘；

3)变量节点消息更新

第l次迭代第i个变量节点满足除j外所有其他校验方程给定接收值为r_i时c_i＝β的后验概率

$Q_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{\&beta;}}\left(l\right)=a_{\mathrm{ij}}{f}_i^{\mathrm{\&beta;}}\underset{j^{\&prime;}\&Element;M_j\backslash i}{\mathrm{\&Pi;}}{R}_{j^{\&prime;}i}^{\mathrm{\&beta;}}\left(l\right)$

其中为假定c_i＝β时的第i个信道似然概率，M_j\i表示从M_j中除去第i个变量节点的集合，a_ij为归一化系数其目的是使 表示第l次迭代时在校验矩阵H第j′行第i列为β时第j′个校验方程成立的概率；

4)计算判决消息并做判决

第i个变量节点满足所有校验方程给定接收值为r_i时c_i＝β的概率

$Q_i^{\mathrm{\&beta;}}=u_i{f}_i^{\mathrm{\&beta;}}\underset{j\&Element;M\left(i\right)}{\mathrm{\&Pi;}}{R}_{\mathrm{ji}}^{\mathrm{\&beta;}}\left(l\right)$

其中u_i为归一化系数，其目的是使 表示第l次迭代时在校验矩阵H第j行第i列为β时第j个校验方程成立的概率，为第i个码元的判决结果；

根据译码软消息对译码结果做硬判决

${\hat{c}}_i=\arg \underset{\mathrm{\&beta;}\&Element;\mathrm{GF}\left(q\right)}{\max }{Q}_i^{\mathrm{\&beta;}}$

表示i个变量节点满足所有校验方程给定接收值为r_i时c_i＝β的概率，表示从集合中寻找最大评分的参量，为译码器对第i个码元的译码结果；

5)判断译码是否结束

满足以下条件之一即表示译码结束：

A.H是LDPC码的校验矩阵，表示的转置；

B.l＝i max，i max为指定的最大迭代次数，

否则转入下一步；

6)对同步参数进行一次估计；

用θ表示相偏，使用最大对数似然概率的方法估计θ，并用期望-最大(EM)算法求解该最大对数似然概率估计问题，EM迭代求解中要用到多进制LDPC译码中产生的软信息；

θ的最大对数似然概率估计是指找到使对数似然概率密度函数ln p(r|θ)最大的θ作为其估计值，记作即符号表示求使括号内参数取最大值的θ，EM算法通过引进先验分布己知的隐藏变量来达到简化计算的目的；取发送信息序列a作为先验分布己知的随机变量，则标准EM算法求解最大对数似然估计的迭代计算公式表示为

${\mathrm{\&theta;}}^{(l+1)}=\arg \underset{\mathrm{\&theta;}}{\max }\left\{\underset{a}{\mathrm{\&Sigma;}}p\left(a\right|r,{\mathrm{\&theta;}}^{\left(l\right)})\ln p\left(r\right|a,\mathrm{\&theta;})\right\}---\left(5\right)$

其中θ^(l)表示第l次迭代中的θ估计值，θ^(l+1)表示在θ的当前估计值为θ^(l)时下一次相偏估计的估计值，p(r|a，θ)表示a和θ已知的条件下r的条件概率密度函数，p(a|r，θ^(l))表示已知r和θ^(l)的条件下a的条件概率密度函数，是求和符号，在已知发送信息序列a和相偏θ的条件下，译码器输入r的对数条件概率表示为：

$\begin{array}{c}\ln p\left(r\right|a,\mathrm{\&theta;})=-\frac{1}{2{\mathrm{\&sigma;}}^2}\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{|a_i{e}^{\mathrm{j\&theta;}}-r_i|}^2\\ =-\frac{1}{2{\mathrm{\&sigma;}}^2}\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}({\left|a_i\right|}^2+{\left|r_i\right|}^2)+\frac{1}{{\mathrm{\&sigma;}}^2}\mathrm{Re}\left\{\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{r}_i{a}_i^{*}{e}^{-\mathrm{j\&theta;}}\right\}\end{array}---\left(6\right)$

其中n是码字的长度，a_i和r_i分别是发送和接收信息序列中第i个分量的取值，σ²是噪声方差，Re{·}表示取复数的实部，表示a_i的复共轭；公式(2)分成两部分，前一部分与估计参数θ无关，它只影响公式(1)所能取的最大值，而不能影响使(1)式取得最大值的参数θ，所以这一部分忽略；同理，公式(2)后一部分的比例因子也去掉，所以对(1)式求解简化为

$\begin{array}{c}{\mathrm{\&theta;}}^{(l+1)}=\arg \underset{\mathrm{\&theta;}}{\max }\left\{\underset{a}{\mathrm{\&Sigma;}}p\left(a\right|r,{\mathrm{\&theta;}}^{\left(l\right)})\mathrm{Re}\right\{\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{r}_i{a}_i^{*}{e}^{-\mathrm{j\&theta;}}\left\}\right\}\\ =\arg \underset{\mathrm{\&theta;}}{\max }\left\{\mathrm{Re}\right\{\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{r}_i{E}_a\left[a_i^{*}\right|r,{\mathrm{\&theta;}}^{\left(l\right)}\left]e^{-\mathrm{j\&theta;}}\right\}\}\end{array}---\left(7\right)$

其中表示在给定r和θ^(l)的条件下的条件期望；式(3)的最大值为：

$\widehat{\mathrm{\&theta;}}=\mathrm{angle}\left\{\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{r}_i{E}_a\right[a_i^{*}|r,{\mathrm{\&theta;}}^{\left(l\right)}]\}$

其中angle{·}表示取复数的幅角，表示第l次EM迭代时θ的估计值，对于QPSK调制，a中各信息位取和因此

$\begin{array}{c}{E}_a\left[a_i^{*}\right|r,{\mathrm{\&theta;}}^{\left(l\right)}]=\frac{\sqrt{2}}{2}(1-j)p(a_i=0|r,{\mathrm{\&theta;}}^{\left(l\right)})+\frac{\sqrt{2}}{2}(1+j)p(a_i=\mathrm{\&alpha;}|r,{\mathrm{\&theta;}}^{\left(l\right)})\\ +\frac{\sqrt{2}}{2}(-1-j)p(a_i={\mathrm{\&alpha;}}^2|r,{\mathrm{\&theta;}}^{\left(l\right)})+\frac{\sqrt{2}}{2}(-1+j)p(a_i=1|r,{\mathrm{\&theta;}}^{\left(l\right)})\end{array}---\left(8\right)$

上式中p(a_i＝0|r，θ^(l))、p(a_i＝α|r，θ^(l))、p(a_i＝α²|r，θ^(l))和p(a_i＝1|r，θ^(l))分别表示已知r和θ^(l)的条件下a_i取0、α、α²和1的概率，所以估计Δfθ需知道a中信息a_i的联合统计p(a_i＝0|r，θ^(l))、p(a_i＝α|r，θ^(l))、p(a_i＝α²|r，θ^(l))和p(a_i＝1|r，θ^(l))，当迭代次数足够大时，第l次迭代中产生的判决信息和p(a_i|r，θ^(l))的联合统计满足如下关系

$Q_i^{\mathrm{\&beta;}}=p(a_i=\mathrm{\&beta;}|r,{\mathrm{\&theta;}}^{\left(l\right)})$

代入公式(4)得到

$E_a\left[a_i^{*}\right|r,{\mathrm{\&theta;}}^{\left(N\right)}]=\frac{\sqrt{2}}{2}(1-j)Q_i^0+\frac{\sqrt{2}}{2}(1+j)Q_i^{\mathrm{\&alpha;}}+\frac{\sqrt{2}}{2}(-1-j)Q_i^{{\mathrm{\&alpha;}}^2}+\frac{\sqrt{2}}{2}(-1+j)Q_i^1$

上式就把LDPC迭代译码中获得的判决信息应用到了同步参数相偏的估计；

7)修正接收信息序列r

用当前频偏和相偏估计值对接收信息序列r进行修正；用r′表示修正后的接收信息序列，其第i个分量用r′_i表示，r_i表示r中第i个分量；修正公式为

$r_i^{\&prime;}=r_i{e}^{-j\widehat{\mathrm{\&theta;}}}$

8)计算变量节点初始对数似然比消息

用修正后的接收信息序列r′计算各变量节点的初始似然比消息；在信道噪声方差为σ²的情况下， $p_i\left(0\right)=\frac{1}{\sqrt{2\mathrm{\&pi;}}\mathrm{\&sigma;}}{e}^{\frac{-{|r_i^{\&prime;}-\frac{\sqrt{2}}{2}(1+j)|}^2}{{2\mathrm{\&sigma;}}^2}},p_i\left(\mathrm{\&alpha;}\right)=\frac{1}{\sqrt{2\mathrm{\&pi;}}\mathrm{\&sigma;}}{e}^{\frac{-{|r_i^{\&prime;}-\frac{\sqrt{2}}{2}(1-j)|}^2}{{2\mathrm{\&sigma;}}^2}},p_i\left({\mathrm{\&alpha;}}^2\right)=\frac{1}{\sqrt{2\mathrm{\&pi;}}\mathrm{\&sigma;}}{e}^{\frac{-{|r_i^{\&prime;}-\frac{\sqrt{2}}{2}(-1+j)|}^2}{{2\mathrm{\&sigma;}}^2}},$ $p_i\left(1\right)=\frac{1}{\sqrt{2\mathrm{\&pi;}}\mathrm{\&sigma;}}{e}^{\frac{-{|r_i^{\&prime;}+\frac{\sqrt{2}}{2}(1+j)|}^2}{2{\mathrm{\&sigma;}}^2}},$ r′_i是接收符号修正后的第i个分量，所以第i个信道似然消息为

$f_i^{\mathrm{\&beta;}}=k_i{p}_i\left(\mathrm{\&beta;}\right),\mathrm{\&beta;}\&Element;\{0,\mathrm{\&alpha;},{\mathrm{\&alpha;}}^2,1\}$

9)变量节点消息更新

变量节点收集与它相邻的校验节点及信道的消息，第l次迭代第i个变量节点满足除j外所有其他校验方程给定接收值为r_i时c_i＝β的后验概率

$Q_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{\&beta;}}\left(l\right)=a_{\mathrm{ji}}{f}_i^{\mathrm{\&beta;}}\underset{j^{\&prime;}\&Element;M_j\backslash i}{\mathrm{\&Pi;}}{R}_{j^{\&prime;}i}^{\mathrm{\&beta;}}\left(l\right)$

其中为假定c_i＝β时的第i个信道似然概率，M_j\i表示从M_j中除去第i个变量节点的集合，a_ij为归一化系数其目的是使表示第l次迭代时在校验矩阵H第j′行第i列为β时第j′个校验方程成立的概率；

10)返回到步骤2)更新校验节点消息，进行下一次迭代。

Claims (1)

1.一种多进制LDPC码辅助的迭代载波同步方法，应用于多进制LDPC码译码器，在多进制LDPC码译码器当中预先设c为由四进制m×n维校验矩阵H＝{h_j，i}确定的长为n的四元LDPC码，其中校验矩阵H内的元素和LDPC的码元取值取自伽罗华域GF(4)，GF(4)＝{0，α，α²，1}其中α为伽罗华域的乘法本原元，且在GF(4)域中有α³＝1，m为多进制LDPC码校验位长度、n为多进制LDPC码码长、h_j，i为校验矩阵H第j行第i列的元素，其中1≤j≤m，1≤i≤n，M_j表示同第j个校验节点相连的变量节点的集合，即M_j＝{i|h_j，i≠0}，M_j\i表示从M_j中除去第i个变量节点的集合，其中M表示变量节点的集合；N_i表示同第i个变量节点相连的校验节点的集合，即N_i＝{j|h_i，j≠0}，N_i\j表示从N_i中除去第j个校验节点的集合，其中N表示变量节点的集合，表示第l次迭代第i个变量节点满足除j外所有其他校验方程时c_i＝β的后验概率，c_i为多进制LDPC码中第i个码元，β∈GF(4)，校验节点消息分量表示第l次迭代时在校验矩阵H第j行第i列为β时第j个校验方程成立的概率；a表示码c中的码字经过QPSK调制后的发送信息序列，r表示a经过信道后的接收信息序列，也即LDPC译码器的输入，r中第i个分量对应码c的第i个变量节点；该方法的步骤如下：

1)初始化

假设QPSK将0映射到α映射到α²映射到1映射到则发送序列经过均值为0方差为σ²白高斯噪声信道后 $p_i\left(\mathrm{\&alpha;}\right)=\frac{1}{\sqrt{2\mathrm{\&pi;}}\mathrm{\&sigma;}}{e}^{\frac{-{|r_i-\frac{\sqrt{2}}{2}(1-j)|}^2}{2{\mathrm{\&sigma;}}^2}},p_i\left({\mathrm{\&alpha;}}^2\right)=\frac{1}{\sqrt{2\mathrm{\&pi;}}\mathrm{\&sigma;}}{e}^{\frac{-{|r_i-\frac{\sqrt{2}}{2}(-1+j)|}^2}{2{\mathrm{\&sigma;}}^2}},p_i\left(1\right)=\frac{1}{\sqrt{2\mathrm{\&pi;}}\mathrm{\&sigma;}}{e}^{\frac{-{|r_i+\frac{\sqrt{2}}{2}(1+j)|}^2}{2{\mathrm{\&sigma;}}^2}},$ r_i是r的第i个分量，p_i(0)、p_i(α)、p_i(α²)、p_i(1)分别为多进制LDPC码第i个码元为0、α、α²、1的后验概率，σ²加性高斯白噪声的噪声方差，σ为加性高斯白噪声的标准差，所以有假定c_i＝β时的第i个信道似然概率为

f_i ^β＝k_ip_i(β)，β∈{0，α，α²，1}

k_i为归一化因子使p_i(β)第i个码元为β的后验概率，β为伽罗华域GF(4)中的某个元素，表示为β∈{0，α，α²，1}；

利用第i个信道似然消息初始化第i个变量节点消息

$Q_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{\&beta;}}\left(0\right)={f_i}^{\mathrm{\&beta;}}$

表示第i个变量节点满足除j外所有其他校验方程给定接收值为r_i时c_i＝β的初始化概率，f_i ^β表示假定c_i＝β时的第i个信道似然概率；

2)校验节点消息更新

第l次迭代时在校验矩阵H第j行第i列为β时第j个校验方程成立的概率

$R_{\mathrm{ji}}^{\mathrm{\&beta;}}\left(l\right)=\underset{C:c_i=\mathrm{\&beta;}}{\mathrm{\&Sigma;}}\mathrm{\&delta;}(\underset{i^{\&prime;}\&Element;N_j}{\mathrm{\&Sigma;}}{h}_{{\mathrm{ji}}^{\&prime;}}{c}_{i^{\&prime;}}=0|c)\underset{i^{\&prime;}\&Element;N_j\backslash i}{\mathrm{\&Pi;}}{Q}_{i^{\&prime;}j}^{c_{i^{\&prime;}}}$

其中C表示多进制LDPC码所有码字的集合，N_j表示同第j个变量节点相连的校验节点的集合，N_j\i表示从N_j中除去第i个校验节点的集合，δ(x)为冲击函数，除δ(0)＝1之外，x取其他值冲击函数都为0，表示第l次迭代第i′个变量节点满足第j个校验方程的后验概率，符号表示对右边元素做联乘；

3)变量节点消息更新

第l次迭代第i个变量节点满足除j外所有其他校验方程给定接收值为r_i时c_i＝β的后验概率

$Q_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{\&beta;}}\left(l\right)=a_{\mathrm{ij}}{f_i}^{\mathrm{\&beta;}}\underset{j^{\&prime;}\&Element;M_j\backslash i}{\mathrm{\&Pi;}}{R}_{j^{\&prime;}i}^{\mathrm{\&beta;}}\left(l\right)$

其中f_i ^β为假定c_i＝β时的第i个信道似然概率，M_j\i表示从M_j中除去第i个变量节点的集合，α_ij为归一化系数其目的是使 表示第l次迭代时在校验矩阵H第j′行第i列为β时第j′个校验方程成立的概率；

4)计算判决消息并做判决

第i个变量节点满足所有校验方程给定接收值为r_i时c_i＝β的概率

$Q_i^{\mathrm{\&beta;}}=u_i{f_i}^{\mathrm{\&beta;}}\underset{j\&Element;M\left(i\right)}{\mathrm{\&Pi;}}{R}_{\mathrm{ji}}^{\mathrm{\&beta;}}\left(l\right)$

其中u_i为归一化系数，其目的是使 表示第l次迭代时在校验矩阵H第j行第i列为β时第j个校验方程成立的概率，为第i个码元的判决结果；

根据译码软消息对译码结果做硬判决

${\hat{c}}_i=\arg \underset{\mathrm{\&beta;}\&Element;\mathrm{GF}\left(q\right)}{\max }{Q}_i^{\mathrm{\&beta;}}$

表示i个变量节点满足所有校验方程给定接收值为r_i时c_i＝β的概率，表示从集合中寻找最大评分的参量，为译码器对第i个码元的译码结果；

5)判断译码是否结束

满足以下条件之一即表示译码结束：

A.H是LDPC码的校验矩阵，表示的转置；

B.l＝imax，imax为指定的最大迭代次数，

否则转入下一步；

6)对同步参数进行一次估计；

用θ表示相偏，使用最大对数似然概率的方法估计θ，并用期望-最大(EM)算法求解该最大对数似然概率估计问题，EM迭代求解中要用到多进制LDPC译码中产生的软信息；θ的最大对数似然概率估计是指找到使对数似然概率密度函数ln p(r|θ)最大的θ作为其估计值，记作即，符号表示求使括号内参数取最大值的θ，EM算法通过引进先验分布已知的隐藏变量来达到简化计算的目的；取发送信息序列a作为先验分布已知的随机变量，则标准EM算法求解最大对数似然估计的迭代计算公式表示为

${\mathrm{\&theta;}}^{(l+1)}=\arg \underset{\mathrm{\&theta;}}{\max }\left\{\underset{a}{\mathrm{\&Sigma;}}p\left(a\right|r,{\mathrm{\&theta;}}^{\left(l\right)})\ln p\left(r\right|a,\mathrm{\&theta;})\right\}---\left(1\right)$

其中θ^(l)表示第l次迭代中的θ估计值，θ^(l+1)表示在θ的当前估计值为θ^(l)时下一次相偏估计的估计值，p(r|a，θ)表示a和θ已知的条件下r的条件概率密度函数，p(a|r，θ^(l))表示已知r和θ^(l)的条件下a的条件概率密度函数，是求和符号，在已知发送信息序列a和相偏θ的条件下，译码器输入r的对数条件概率表示为：

$\begin{array}{c}\ln p\left(r\right|a,\mathrm{\&theta;})=-\frac{1}{2{\mathrm{\&sigma;}}^2}\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{|a_i{e}^{\mathrm{j\&theta;}}-r_i|}^2\\ =-\frac{1}{2{\mathrm{\&sigma;}}^2}\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}({\left|a_i\right|}^2+{\left|r_i\right|}^2)+\frac{1}{{\mathrm{\&sigma;}}^2}\mathrm{Re}\left\{\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{r}_i{a}_i^{*}{e}^{-\mathrm{j\&theta;}}\right\}\end{array}---\left(2\right)$

其中n是码字的长度，a_i和r_i分别是发送和接收信息序列中第i个分量的取值，σ²是噪声方差，Re{·}表示取复数的实部，表示a_i的复共轭；公式(2)分成两部分，前一部分与估计参数θ无关，它只影响公式(1)所能取的最大值，而不能影响使(1)式取得最大值的参数θ，所以这一部分忽略；同理，公式(2)后一部分的比例因子也去掉，所以对(1)式求解简化为

$\begin{array}{c}{\mathrm{\&theta;}}^{(l+1)}=\arg \underset{\mathrm{\&theta;}}{\max }\left\{\underset{a}{\mathrm{\&Sigma;}}p\left(a\right|r,{\mathrm{\&theta;}}^{\left(l\right)})\mathrm{Re}\right\{\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{r}_i{a}_i^{*}{e}^{-\mathrm{j\&theta;}}\left\}\right\}\\ =\arg \underset{\mathrm{\&theta;}}{\max }\left\{\mathrm{Re}\right\{\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{r}_i{E}_a\left[a_i^{*}\right|r,{\mathrm{\&theta;}}^{\left(l\right)}\left]e^{-\mathrm{j\&theta;}}\right\}\}\end{array}---\left(3\right)$

其中表示在给定r和θ^(l)的条件下的条件期望；式(3)的最大值为：

$\widehat{\mathrm{\&theta;}}=\mathrm{angle}\left\{\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{r}_i{E}_a\right[a_i^{*}|r,{\mathrm{\&theta;}}^{\left(l\right)}]\}$

其中angle{·}表示取复数的幅角，表示第l次EM迭代时θ的估计值，对于QPSK调制，a中各信息位取 $\frac{\sqrt{2}}{2}(1+j),\frac{\sqrt{2}}{2}(1-j),\frac{\sqrt{2}}{2}(-1+j)$ 和 $-\frac{\sqrt{2}}{2}(1+j),$ 因此

$\begin{array}{c}{E}_a\left[a_i^{*}\right|r,{\mathrm{\&theta;}}^{\left(l\right)}]=\frac{\sqrt{2}}{2}(1-j)p(a_i=0|r,{\mathrm{\&theta;}}^{\left(l\right)})+\frac{\sqrt{2}}{2}(1+j)p(a_i=\mathrm{\&alpha;}|r,{\mathrm{\&theta;}}^{\left(l\right)})\\ +\frac{\sqrt{2}}{2}(-1-j)p(a_i={\mathrm{\&alpha;}}^2|r,{\mathrm{\&theta;}}^{\left(l\right)})+\frac{\sqrt{2}}{2}(-1+j)p(a_i=1|r,{\mathrm{\&theta;}}^{\left(l\right)})\end{array}---\left(4\right)$

上式中p(a_i＝0|r，θ^(l))、p(a_i＝σ|r，θ^(l))、p(a_i＝σ²|r，θ^(l))和p(a_i＝1|r，θ^(l))分别表示已知r和θ^(l)的条件下a_i取0、σ、σ²和1的概率，所以估计Δfθ需知道a中信息a_i的联合统计p(a_i＝0|r，θ^(l))、p(a_i＝σ|r，θ^(l))、p(a_i＝σ²|r，θ^(l))和p(σ_i＝1|r，θ^(l))，当迭代次数足够大时，第l次迭代中产生的判决信息和p(a_i|r，θ^(l))的联合统计满足如下关系

$Q_i^{\mathrm{\&beta;}}=p(a_i=\mathrm{\&beta;}|r,{\mathrm{\&theta;}}^{\left(l\right)})$

代入公式(4)得到

$\begin{array}{c}{E}_a\left[a_i^{*}\right|r,{\mathrm{\&theta;}}^{\left(N\right)}]=\frac{\sqrt{2}}{2}(1-j)Q_i^0+\frac{\sqrt{2}}{2}(1+j)Q_i^{\mathrm{\&alpha;}}+\frac{\sqrt{2}}{2}(-1-j)Q_i^{{\mathrm{\&alpha;}}^2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}(-1+j)Q_i^1$

上式就把LDPC迭代译码中获得的判决信息应用到了同步参数相偏的估计；

7)修正接收信息序列r

用当前频偏和相偏估计值对接收信息序列r进行修正；用r′表示修正后的接收信息序列，其第i个分量用r_i′表示，r_i表示r中第i个分量；修正公式为

$r_i^{\&prime;}=r_i{e}^{-j\widehat{\mathrm{\&theta;}}}$

8)计算变量节点初始对数似然比消息

用修正后的接收信息序列r′计算各变量节点的初始似然比消息；在信道噪声方差为σ²的情况下， $p_i\left(0\right)=\frac{1}{\sqrt{2\mathrm{\&pi;}}\mathrm{\&sigma;}}{e}^{\frac{-{|r_i^{\&prime;}-\frac{\sqrt{2}}{2}(1+j)|}^2}{2{\mathrm{\&sigma;}}^2}},p_i\left(\mathrm{\&alpha;}\right)=\frac{1}{\sqrt{2\mathrm{\&pi;}}\mathrm{\&sigma;}}{e}^{\frac{-{|r_i^{\&prime;}-\frac{\sqrt{2}}{2}(1-j)|}^2}{2{\mathrm{\&sigma;}}^2}},p_i\left({\mathrm{\&alpha;}}^2\right)=\frac{1}{\sqrt{2\mathrm{\&pi;}}\mathrm{\&sigma;}}{e}^{\frac{-{|r_i^{\&prime;}-\frac{\sqrt{2}}{2}(-1+j)|}^2}{2{\mathrm{\&sigma;}}^2}},$ r_i′是接收符号修正后的第i个分量，所以第i个信道似然消息为

$f_i^{\mathrm{\&beta;}}=k_i{p}_i\left(\mathrm{\&beta;}\right),\mathrm{\&beta;}\&Element;\{0,\mathrm{\&alpha;},{\mathrm{\&alpha;}}^2,1\}$

9)变量节点消息更新

变量节点收集与它相邻的校验节点及信道的消息，第l次迭代第i个变量节点满足除j外所有其他校验方程给定接收值为r_i时c_i＝β的后验概率

$Q_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{\&beta;}}\left(l\right)=a_{\mathrm{ij}}{f}_i^{\mathrm{\&beta;}}\underset{j^{\&prime;}\&Element;M_j\backslash i}{\mathrm{\&Pi;}}{R}_{j^{\&prime;}i}^{\mathrm{\&beta;}}\left(l\right)$

其中为假定c_i＝β时的第i个信道似然概率，M_j\i表示从M_j中除去第i个变量节点的集合，a_ij为归一化系数其目的是使 表示第l次迭代时在校验矩阵H第j′行第i列为β时第j′个校验方程成立的概率；

10)返回到步骤2)更新校验节点消息，进行下一次迭代。