CN104050648A - 一种图像去噪方法及装置 - Google Patents

Abstract

本发明适用于图像处理技术领域，提供一种图像去噪方法及装置。所述方法包括：对待去噪图像进行循环平移，所述循环平移包括沿水平方向、垂直方向和对角线方向的循环平移；对每次平移后的待去噪图像进行脊波变换，得到多组脊波变换系数；对获得的所述多组脊波变换系数进行硬阈值处理，保留高于阈值的脊波变换系数；对保留下来的脊波变换系数进行脊波逆变换，以重构初步去噪的图像；对重构后的图像进行逆循环平移，获得多幅图像；根据逆循环平移后获得的多幅图像，计算所述多幅图像中同一位置上像素点的像素值的平均值，以获得去噪后的图像。本发明减低了待去噪图像中的噪声，且保留图像的细节信息，消除小波降噪过程中引出的Gibbs条纹干扰现象。

Description

一种图像去噪方法及装置

技术领域

本发明属于图像处理技术领域，尤其涉及一种图像去噪方法及装置。

背景技术

利用相机或者手机自带的相机在光线较暗的情况下拍照时，得到的照片一般都会不清晰，这是因为图像中存在很多的噪声。为了降低或者消除这些噪声，目前使用得最广的图像处理方法是为中值滤波或者小波降噪方法。

中值滤波是一种非线性平滑技术。其主要原理为：将图像上的每一个像素的灰度值设置成该某领域窗口内的所有像素灰度值的中值。虽然中值滤波法实现起来简单易行，但会是图像变得模糊，失去原有的细节信息。

小波降噪法的主要原理为：首先对图像进行小波变换，然后对变换后的小波系数进行噪声消除，再进行小波逆变换得到噪声消除后的图像。然而，小波降噪法会在图像边缘和细节位置处引入一定程度的模糊，而边缘和纹理的不连续性恰恰是图像最重要的信息。此外，降噪后的图像中很容易出现Gibbs现象，即图像会出现类似于水波样的波纹。

发明内容

本发明的目的在于提供一种基于平移不变法和脊波变换法的图像去噪方法及装置，以减低图像中的噪声，并且保留图像的细节信息，消除小波降噪过程中引出的Gibbs条纹干扰现象。

本发明是这样实现的，一种图像去噪方法，所述方法包括：

对待去噪图像进行循环平移，所述循环平移包括沿水平方向、垂直方向和对角线方向的循环平移；

对每次平移后的待去噪图像进行脊波变换，得到多组脊波变换系数；

对获得的所述多组脊波变换系数进行硬阈值处理，保留高于阈值的脊波变换系数；

利用脊波逆变换对保留下来的脊波变换系数进行脊波逆变换，以重构初步去噪的图像；

对重构后的图像进行逆循环平移，获得多幅图像，所述逆循环平移包括沿水平方向、垂直方向和对角线方向的逆循环平移；

根据逆循环平移后获得的多幅图像，计算所述多幅图像中同一位置上像素点的像素值的平均值，以获得去噪后的图像，所述去噪后的图像为各像素点的像素值的平均值组成的图像。

本发明的第二方面，提供了一种图像去噪装置，所述装置包括：

循环平移模块，用于对待去噪图像进行循环平移，所述循环平移包括沿水平方向、垂直方向和对角线方向的循环平移；

脊波变换模块，用于对每次平移后的待去噪图像进行脊波变换，得到多组脊波变换系数；

阈值处理模块，用于对获得的所述多组脊波变换系数进行硬阈值处理，保留高于阈值的脊波变换系数；

脊波逆变换模块，用于利用脊波逆变换对保留下来的脊波变换系数进行脊波逆变换，以重构初步去噪的图像；

逆循环平移模块，用于对重构后的图像进行逆循环平移，获得多幅图像，所述逆循环平移包括沿水平方向、垂直方向和对角线方向的逆循环平移；

平均值计算模块，用于根据逆循环平移后获得的多幅图像，计算所述多幅图像中同一位置上像素点的像素值的平均值，以获得去噪后的图像，所述去噪后的图像为各像素点的像素值的平均值组成的图像。

本发明通过对待去噪图像进行沿水平、垂直和对角线方向上的循环平移；对每次循环平移后的图像进行脊波变换，获得多组脊波变换系数，对所述脊波变换系数进行硬阈值处理，对硬阈值处理后保留下来的脊波变换系数进行脊波逆变换，得到初步去噪的图像，最后对初步去噪的图像进行逆循环平移，再根据逆循环平移获得的图像求取所有图像相同位置上像素值的平均值，从而获得去噪后的图像。与现有技术相比，本发明能够大大地降低图像中的噪声，保留图像的细节信息，并且消除了使用小波降噪过程中引出的Gibbs条纹干扰。

附图说明

图1是本发明实施例一提供的图像去噪方法的实现流程图；

图2是本发明实施例二提供的图像去噪装置的组成结构图。

具体实施方式

为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图及实施例，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。

本发明实施例通过对待去噪图像进行沿水平、垂直和对角线方向上的循环平移；对每次循环平移后的图像进行脊波变换，获得多组脊波变换系数，对所有的脊波变换系数进行硬阈值处理，对硬阈值处理后保留下来的脊波变换系数进行脊波逆变换，以重构初步去噪后的图像，最后对初步去噪后的图像进行逆循环平移，再根据逆循环平移获得的图像求取所有图像相同位置上像素值的平均值，从而获得去噪后的图像。与现有技术相比，本发明能够大大地降低图像中的噪声，保留图像的细节信息，并且消除了使用小波降噪过程中引出的Gibbs条纹干扰。

实施例一

图1示出了本发明实施例一提供的图像去噪方法的实现流程，为了便于说明，仅示出了与本发明相关的部分。

在本实施例中，待去噪图像的宽度为M，高度为N，用f(i,j)来表示待去噪图像的第i行第j列像素点的像素值，0≤i≤M，0≤j≤N。

如图1所示，所述方法包括：

在步骤S101中，对待去噪图像进行循环平移，所述循环平移包括沿水平方向、垂直方向和对角线方向的循环平移。

在本实施例中，水平方向循环平移的平移算子为：

F_m[f(i,j)]＝f((i+m)mod(M),j)。

其中，m表示水平方向移动的步长，0≤m＜M，mod为取模运算；循环平移的次数决定于m和M，为

示例性地，当待去噪图像的大小为16×9，即宽度为16，高度为9，水平方向移动的步长为1时，则，水平方向循环平移的次数为15次，每次水平移动一个像素，从而得到15幅经过水平平移的图像。

同理，垂直方向循环平移的平移算子为：

F_n[f(i,j)]＝f(i,(j+n)mod(N))。

其中，n表示垂直方向移动的步长，0≤n＜N，mod为取模运算；循环平移的次数决定于n和N，为

对角线方向循环平移的平移算子为：

F_k[f(i,j)]＝f((i+k)mod(M),(j+k)mod(N))

其中，k表示对角线方向移动的步长，0≤k＜min(M,N)，mod为取模运算；循环平移的次数决定于k和min(M,N)，为

对待去噪图像进行循环平移，将获得由所述待去噪图像扩展出来的多幅平移图像。

在步骤S102中，对每次平移后的待去噪图像进行脊波变换，得到多组脊波变换系数。

在本实施例中，对每次循环平移后得到的待去噪图像均进行脊波变换。

所述脊波变换采用的公式为：

其中，为脊波函数，a为脊波尺度参数，a＞0；b为脊波位置参数，b∈R，R为实数；θ为脊波方向参数，θ∈[0,2π]，则f(x)为平移后的待去噪图像像素点的像素值。

在本实施例中，x表示像素(i,j)，脊波函数中的x₁和x₂分别为循环平移后的待去噪图像中像素的位置i和j，即x＝(x₁,x₂)＝(i,j)。脊波变换公式中的f(x)为每一次循环平移后的待去噪图像f(i,j)上像素点的像素值。

循环平移后得到的每一幅待去噪图像经过脊波变换后，将得到对应的一组脊波变换系数CRT_f(a,b,θ)，记为C_i,j，其中，i和j分别表示循环平移后的待去噪图像的像素点位置，即第i行第j列。

在步骤S103中，对获得的所述多组脊波变换系数进行硬阈值处理，保留高于阈值的脊波变换系数。

对经过脊波变换获得的所有脊波变换系数C_i,j按照硬阈值处理函数δ(ω)＝ωI(|ω|＞T)进行硬阈值处理。硬阈值处理函数中的阈值T为脊波变换系数C_i,j的中值，I(|ω|＞T)为示性函数，即

$I\left|\mathrm{\ω}\right|>T=\left\{\begin{array}{c}0,\left|\mathrm{\ω}\right|\≤T\\ 1,\left|\mathrm{\ω}\right|>T\end{array}\right..$

可见，将C_i,j代入硬阈值处理函数的ω进行硬阈值处理后，将保留高于阈值的脊波变换系数，记为

步骤S103所述的对脊波变换系数进行阈值处理，得到高于阈值的脊波变换系数，去除了低于或等于阈值的脊波变换系数，对图像进行了初步的去噪，需要通过脊波逆变换进行初步去噪图像的重构。

在步骤S104中，利用脊波逆变换对保留下来的脊波变换系数进行脊波逆变换，以重构初步去噪的图像。

在本实施例中，对保留下来的脊波变换系数进行脊波逆变换。脊波逆变换的公式为：

上式中，a为脊波尺度参数，a＞0；b为脊波位置参数，b∈R；θ为脊波方向参数，θ∈[0,2π]。此处的CRT_f(a,b,θ)为保留下来的脊波变换系数

对保留下来的脊波变换系数进行脊波逆变换，以重构图像，从而获得经过初步去噪的图像。

在步骤S105中，对重构后的图像进行逆循环平移，获得多幅图像，所述逆循环平移包括沿水平方向、垂直方向和对角线方向的逆循环平移。

在本实施例中，与步骤S101中对待去噪图像进行循环平移相对应，对重构后的图像进行水平方向逆循环平移的平移算子为：

$F_{-m}\left[\tilde{f}(i,j)\right]=\tilde{f}((i-m)\mathrm{mod}\left(M\right),j)$

垂直方向逆循环平移的平移算子为：

$F_{-n}\left[\tilde{f}(i,j)\right]=\tilde{f}(i,(i-n)\mathrm{mod}(N))$

对角线方向逆循环平移的平移算子为：

$F_{-k}\left[\tilde{f}(i,j)\right]=\tilde{f}((i-k)\mathrm{mod}\left(M\right),(j-k)\mathrm{mod}\left(N\right))$

其中，m表示水平方向移动的步长，0≤m＜M，水平方向的逆循环平移为每隔m个像素沿水平方向对重构后的图像进行一次平移，平移的方向与步骤S101中的方向相反；n表示垂直方向移动的步长，0≤n＜N，垂直方向的逆循环平移为每隔n个像素沿垂直方向对重构后的图像进行一次平移，平移的方向与步骤S101中的方向相反；k表示对角线方向移动的步长，0≤k＜min(M,N)，对角线方向的逆循环平移为每隔k个像素沿图像对角线方向对重构后的图像进行一次平移，平移的方向与步骤S101中的方向相反。mod为取模运算，为重构后的图像第i行第j列像素点的像素值。

对重构后的图像分别沿水平方向、垂直方向和对角线方向进行逆循环平移，将获得由重构后的图像扩展出来的多幅平移图像。

在步骤S106中，根据逆循环平移后获得的多幅图像，计算所述多幅图像中同一位置上像素点的像素值的平均值，以获得去噪后的图像，所述去噪后的图像为各像素点的像素值的平均值组成的图像。

根据水平方向、垂直方向以及对角线方向逆循环平移后得到的所有图像，求取相同位置上像素值的平均值，即将所有图像同一位置上像素点的像素值相加然后除以图像的个数，该平均值即为去噪后的图像相同位置上像素点的像素值。遍历所有的像素点，计算所有位置上像素点的像素值的平均值，从而获得去噪后的图像。

本实施例通过对待去噪图像沿水平、垂直和对角线方向上进行循环平移；对每次循环平移后的图像进行脊波变换，获得多组脊波变换系数，对所有的脊波变换系数进行硬阈值处理，对硬阈值处理后保留下来的脊波变换系数进行脊波逆变换，以重构初步去噪的图像，最后对重构的图像进行逆循环平移，再根据逆循环平移获得的图像求取所有图像相同位置上像素值的平均值，从而获得去噪后的图像。所述去噪后的图像大大地降低了待去噪图像中的噪声，保留待去噪图像的细节信息，并且消除了使用小波降噪过程中引出的Gibbs条纹干扰。

实施例二

图2示出了本发明实施例二提供的图像去噪装置的组成结构，为了便于说明，仅示出了与本发明相关的部分。

如图2所示，所述图像去噪装置包括：

循环平移模块21，用于对待去噪图像进行循环平移，所述循环平移包括沿水平方向、垂直方向和对角线方向的循环平移。

在本实施例中，待去噪图像的宽度为M，高度为N，用f(i,j)来表示待去噪图像的第i行第j列像素点的像素值，0≤i≤M，0≤j≤N。

所述循环平移模块21具体用于：

根据水平方向的循环平移算子F_m[f(i,j)]＝f((i+m)mod(M),j)对待去噪图像进行水平方向的循环平移；

根据垂直方向的循环平移算子F_n[f(i,j)]＝f(i,(j+n)mod(N))对待去噪图像进行垂直方向的循环平移；

根据对角线方向的循环平移算子F_k[f(i,j)]＝f((i+k)mod(M),(j+k)mod(N))对待去噪图像进行对角线方向的循环平移。

其中，m表示水平方向移动的步长，0≤m＜M；n表示垂直方向移动的步长，0≤n＜N；k表示对角线方向移动的步长，0≤k＜min(M,N)，mod为取模运算。

脊波变换模块22，用于对每次平移后的待去噪图像进行脊波变换，得到多组脊波变换系数。

脊波变换采用的公式为:

其中，为脊波函数，a为脊波尺度参数，a＞0；b为脊波位置参数，b∈R，R为实数；θ为脊波方向参数，θ∈[0,2π]；x＝(x₁,x₂)＝(i,j)，f(x)为平移后的待去噪图像像素点的像素值。

待去噪图像经过平移后，再通过脊波变换公式进行脊波变换，从而获得对应的一组脊波变换系数CRT_f(a,b,θ)，记为C_i,j，其中，i和j分别表示循环平移后的待去噪图像的像素点位置，即第i行第j列。

阈值处理模块23，用于对获得的多组脊波变换系数进行硬阈值处理，保留高于阈值的脊波变换系数。

所述硬阈值处理采用的函数为：δ(ω)＝ωI(|ω|＞T)。其中，阈值T为脊波变换系数C_i,j的中值，I(|ω|＞T)为示性函数，即

$I\left(\right|\mathrm{\ω}|>T)=\left\{\begin{array}{c}0,\left|\mathrm{\ω}\right|\≤T;\\ 1,\left|\mathrm{\ω}\right|>T;\end{array}\right.$

可见，将脊波变换系数C_i,j代入硬阈值处理函数中的ω，可以去除小于或等于阈值的脊波变换系数C_i,j，而保留高于阈值的脊波变换系数，将所述高于阈值的脊波变换系数记为

脊波逆变换模块24，用于利用脊波逆变换对保留下来的脊波变换系数进行脊波逆变换，以重构初步去噪的图像。

在本实施例中，脊波逆变换的公式为:

上式中，a为脊波尺度参数，a＞0；b为脊波位置参数，b∈R，R为实数；θ为脊波方向参数，θ∈[0,2π]。此处的CRT_f(a,b,θ)为保留下来的脊波变换系数

逆循环平移模块25，用于对重构后的图像进行逆循环平移，获得多幅图像，所述逆循环平移包括沿水平方向、垂直方向和对角线方向的逆循环平移。

在本实施例中，所述逆循环平移模块25具体用于：

根据水平方向的逆循环平移算子对重构后的图像进行水平方向的循环平移；

根据垂直方向的循环平移算子对重构后的图像进行垂直方向的循环平移；

根据对角线方向的循环平移算子 $F_{-k}\left[\tilde{f}(i,j)\right]=\tilde{f}((i-k)\mathrm{mod}\left(M\right),(j-k)\mathrm{mod}\left(N\right))$ 重构后的图像进行对角线方向的循环平移；

其中，m表示水平方向移动的步长，0≤m＜M；n表示垂直方向移动的步长，0≤n＜N；k表示对角线方向移动的步长，0≤k＜min(M,N)。mod为取模运算。此处的为重构后的图像第i行第j列像素点的像素值。

平均值计算模块26，用于根据逆循环平移后获得的多幅图像，计算所述多幅图像中同一位置上像素点的像素值的平均值，以获得去噪后的图像，所述去噪后的图像为各像素点的像素值的平均值组成的图像。

所述平均值计算模块26根据水平方向、垂直方向以及对角线方向逆循环平移后得到的所有图像，求取相同位置上像素值的平均值，即将所有图像同一位置上像素点的像素值相加然后除以图像的个数，该平均值即为去噪后的图像同一位置上像素点的像素值。遍历所有的像素点，计算所有位置上像素点的像素值的平均值，从而获得去噪后的图像。

本实施例通过对待去噪图像沿水平、垂直和对角线方向上进行循环平移；对每次循环平移后的图像进行脊波变换，获得多组脊波变换系数，对所有的脊波变换系数进行硬阈值处理，对硬阈值处理后保留下来的脊波变换系数进行脊波逆变换，以重构初步去噪的图像，最后对重构的图像进行逆循环平移，再根据逆循环平移获得的图像求取所有图像相同位置上像素值的平均值，从而获得去噪后的图像。所述去噪后的图像大大地降低了待去噪图像中的噪声，保留待去噪图像的细节信息，并且消除了使用小波降噪过程中引出的Gibbs条纹干扰。

以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换和改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (10)

1.一种图像去噪方法，其特征在于，所述方法包括：

对待去噪图像进行循环平移，所述循环平移包括沿水平方向、垂直方向和对角线方向的循环平移；

对每次平移后的待去噪图像进行脊波变换，得到多组脊波变换系数；

对获得的所述多组脊波变换系数进行硬阈值处理，保留高于阈值的脊波变换系数；

利用脊波逆变换对保留下来的脊波变换系数进行脊波逆变换，以重构初步去噪的图像；

对重构后的图像进行逆循环平移，获得多幅图像，所述逆循环平移包括沿水平方向、垂直方向和对角线方向的逆循环平移；

根据逆循环平移后获得的多幅图像，计算所述多幅图像中同一位置上像素点的像素值的平均值，以获得去噪后的图像，所述去噪后的图像为各像素点的像素值的平均值组成的图像。

2.如权利要求1所述的图像去噪方法，其特征在于，水平方向循环平移的平移算子为：

F_m[f(i,j)]＝f((i+m)mod(M),j)

垂直方向循环平移的平移算子为：

F_n[f(i,j)]＝f(i,(j+n)mod(N))

对角线方向循环平移的平移算子为：

F_k[f(i,j)]＝f((i+k)mod(M),(j+k)mod(N))

其中，待去噪图像的宽度为M，高度为N，f(i,j)表示待去噪图像第i行第j列像素点的像素值，0≤i≤M，0≤j≤N，m表示水平方向移动的步长，0≤m＜M；n表示垂直方向移动的步长，0≤n＜N；k表示对角线方向移动的步长，0≤k＜min(M,N)，mod为取模运算。

3.如权利要求1所述的图像去噪方法，其特征在于，所述对每次平移后的待去噪图像进行脊波变换采用的公式为：

其中，为脊波函数，a为脊波尺度参数，a＞0；b为脊波位置参数，b∈R，R为实数；θ为脊波方向参数，θ∈[0,2π]；x＝(x₁,x₂)＝(i,j)，则f(x)为平移后的待去噪图像像素点的像素值。

4.如权利要求1所述的图像去噪方法，其特征在于，所述对获得的多组脊波变换系数C_i,j进行硬阈值处理，保留高于阈值的脊波变换系数采用的公式为：

δ(ω)＝ωI(|ω|＞T)

其中，ω＝C_i,j，阈值T为脊波变换系数C_i,j的中值，I(|ω|＞T)为示性函数，即

$I\left(\right|\mathrm{\ω}|>T)=\left\{\begin{array}{c}0,\left|\mathrm{\ω}\right|\≤T;\\ 1,\left|\mathrm{\ω}\right|>T;\end{array}\right..$

5.如权利要求1所述的图像去噪方法，其特征在于，水平方向逆循环平移的平移算子为：

$F_{-m}\left[\tilde{f}(i,j)\right]=\tilde{f}((i-m)\mathrm{mod}\left(M\right),j)$

垂直方向循环平移的平移算子为：

$F_{-n}\left[\tilde{f}(i,j)\right]=\tilde{f}(i,(i-n)\mathrm{mod}(N))$

对角线方向循环平移的平移算子为：

$F_{-k}\left[\tilde{f}(i,j)\right]=\tilde{f}((i-k)\mathrm{mod}\left(M\right),(j-k)\mathrm{mod}\left(N\right))$

其中，m表示水平方向移动的步长，0≤m＜M；n表示垂直方向移动的步长，0≤n＜N；k表示对角线方向移动的步长，0≤k＜min(M,N)，mod为取模运算，为重构后的图像第i行第j列像素点的像素值。

6.一种图像去噪装置，其特征在于，所述装置包括：

循环平移模块，用于对待去噪图像进行循环平移，所述循环平移包括沿水平方向、垂直方向和对角线方向的循环平移；

脊波变换模块，用于对每次平移后的待去噪图像进行脊波变换，得到多组脊波变换系数；

阈值处理模块，用于对获得的所述多组脊波变换系数进行硬阈值处理，保留高于阈值的脊波变换系数；

脊波逆变换模块，用于利用脊波逆变换对保留下来的脊波变换系数进行脊波逆变换，以重构初步去噪的图像；

逆循环平移模块，用于对重构后的图像进行逆循环平移，获得多幅图像，所述逆循环平移包括沿水平方向、垂直方向和对角线方向的逆循环平移；

平均值计算模块，用于根据逆循环平移后获得的多幅图像，计算所述多幅图像中同一位置上像素点的像素值的平均值，以获得去噪后的图像，所述去噪后的图像为各像素点的像素值的平均值组成的图像。

7.如权利要求6所述的图像去噪装置，其特征在于，所述循环平移模块具体用于：

根据水平方向的循环平移算子F_m[f(i,j)]＝f((i+m)mod(M),j)对待去噪图像进行水平方向的循环平移；

根据垂直方向的循环平移算子F_n[f(i,j)]＝f(i,(j+n)mod(N))对待去噪图像进行垂直方向的循环平移；

根据对角线方向的循环平移算子F_k[f(i,j)]＝f((i+k)mod(M),(j+k)mod(N))对待去噪图像进行对角线方向的循环平移；

其中，待去噪图像的宽度为M，高度为N，用f(i,j)来表示待去噪图像第i行第j列像素点的像素值，0≤i≤M，0≤j≤N；m表示水平方向移动的步长，0≤m＜M；n表示垂直方向移动的步长，0≤n＜N；k表示对角线方向移动的步长，0≤k＜min(M,N)，mod为取模运算。

8.如权利要求6所述的图像去噪装置，其特征在于，脊波变换模块具体用于：

根据脊波变换公式对所述平移后的待去噪图像进行脊波变换；

其中，为脊波函数，a为脊波尺度参数，a＞0；b为脊波位置参数，b∈R，R为实数；θ为脊波方向参数，θ∈[0,2π]；x＝(x₁,x₂)＝(i,j)，则f(x)为平移后的待去噪图像像素点的像素值。

9.如权利要求6所述的图像去噪装置，其特征在于，所述阈值处理模块具体用于：

根据硬阈值函数δ(ω)＝ωI(|ω|＞T)对获得的多组脊波变换系数C_i,j进行硬阈值处理，保留高于阈值的脊波变换系数

其中，ω＝C_i,j，阈值T为脊波变换系数C_i,j的中值，I(|ω|＞T)为示性函数，

即 $I\left(\right|\mathrm{\ω}|>T)=\left\{\begin{array}{c}0,\left|\mathrm{\ω}\right|\≤T;\\ 1,\left|\mathrm{\ω}\right|>T;\end{array}\right..$

10.如权利要求6所述的图像去噪装置，其特征在于，逆循环平移模块具体用于：

根据水平方向的逆循环平移算子对重构后的图像进行水平方向的循环平移；

根据垂直方向的循环平移算子对重构后的图像进行垂直方向的循环平移；

根据对角线方向的循环平移算子 $F_{-k}\left[\tilde{f}(i,j)\right]=\tilde{f}((i-k)\mathrm{mod}\left(M\right),(j-k)\mathrm{mod}\left(N\right))$ 对重构后的图像进行对角线方向的循环平移；

其中，m表示水平方向移动的步长，0≤m＜M；n表示垂直方向移动的步长，0≤n＜N；k表示对角线方向移动的步长，0≤k＜min(M,N)，mod为取模运算，为重构后的图像第i行第j列像素点的像素值。