CN104050318B - 一种战术导弹武器系统精度仿真及校验方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种战术导弹武器系统精度仿真及校验方法，建立导弹的飞行仿真数学模型；开发导弹全弹道仿真软件，选择相应的满足精度的算法，将数学模型转换为计算机程序，在理论条件下进行飞行仿真；进行模型的校验；分析影响导弹命中精度的各种干扰因素，建立这些干扰的数学模型；根据各种干扰对导弹飞行的影响机理，将干扰因素加入到飞行仿真数学模型中进行仿真计算，得到相应的结果；采用基于均匀设计法的蒙特卡洛弹道仿真，用安排仿真实验表，对仿真结果进行统计分析，筛选出对导弹精度影响较为显著的因素。本发明的技术方案可以有效减少仿真数量。

Description

一种战术导弹武器系统精度仿真及校验方法

技术领域

本发明涉及一种战术导弹武器系统精度仿真及校验方法，具体地说，涉及一种基于蒙特卡洛的战术导弹武器系统精度仿真及校验方法。

背景技术

精度是衡量导弹性能最重要的指标，精度分析是导弹设计、研制和试验阶段必不可少的重要工作。传统的精度分析方法主要依靠飞行试验数据。由于受经济性、研制周期等因素制约，只依靠试验方法无法满足现代高科技条件下武器系统性能的要求。计算机仿真技术的应用使得在地面依靠飞行仿真进行导弹的精度分析成为可能。因此，在研制试验阶段，根据导弹飞行的数学模型，建立起导弹的飞行仿真平台，可以在该平台上充分验证各项参数变化给导弹命中精度所带来的影响，从而即时地调整参数直至达到最优，省去了因设计参数不合理而带来的经济和时间上的浪费。

战术导弹武器系统精度仿真及校验具有十分重要的现实意义及军事应用价值。首先，建立导弹仿真模型是对战术导弹作战效能进行评估的基础，有关部门可以借助该模型对导弹的作战能力进行定量的评价；战术导弹的使用部队利用飞行弹道及其环境的仿真模型结合某些战术背景的设定，可以有针对性地研究战术导弹的使用战术，为战术导弹战术使用条令的编写提供定量依据；在战术导弹靶试时可以利用该仿真模型进行不同技术条件下的模拟靶试，为战术导弹靶试大纲及靶试技术条件的确定提供所需数据，进行导弹武器系统性能鉴定，从而节约了经费，缩短了研制周期。

现有的导弹武器系统精度仿真验证规范对试验数据处理方法做了如下规定：通过试验数据处理获得所有采样点所对应的导弹武器系统射击诸元参数实际输出值与其理论值的偏差，即射击诸元参数偏差随着时间变化的误差序列，用正交多项式回归分离系统误差，并计算残差的标准偏差，最后预报出射击诸元参数偏差的最大值，进而做出其精度合格与否的鉴定结论。

但现有的导弹武器系统精度仿真验证工作存在如下问题：

导弹武器系统精度验证是一项多因素、多水平的试验。现代试验规范要求将目标的距离、航速以及我舰的航速、航向等直接影响导弹武器系统精度的试验因素，但由于受试验条件和试验手段的限制，每次打靶仿真只能安排一个水平，而且规定试验的有效航次不得少于12。由于试验航路缺乏典型性，直接影响精度鉴定结论的有效性。

由于试验数据处理是按每个航路逐个进行的，且每个航路下发射参数分别处理。对其中某个参数进行精度鉴定时只有所有仿真航次下的精度均符合评定标准时，才能鉴定其精度合格。然而多年的实践证明，多种型号的战术导弹精度验证仅是大部分航次下的精度合格而己，原因在于，试验航路设计不典型，并且12个航次的数据没有进行综合处理，所以在评定某个参数的精度时，难以做出合格与否的结论。

发明内容

本发明的目的在于克服上述技术存在的缺陷，提供一种战术导弹武器系统精度仿真及校验方法，可以有效减少仿真数量，而且由于每个航路下数据采样点相对较多，相当于每个航路下都做了多次试验，因而能够充分地利用试验信息，提高试验的经济效益。同时均匀设计方法设计试验航路，采用了新的数据处理方法，在导弹武器系统的作战使用范围内具有典型性、分布均匀，而且试验数据经过综合处理。将战术导弹弹道仿真与打靶结果统计结合起来，可以尽可能的减少实弹演练的次数，可以对导弹武器系统精度做出全面鉴定，进而节省大量训练经费，获得较大的军事效益。

其具体技术方案为：

一种战术导弹武器系统精度仿真及校验方法，包括以下步骤：

步骤1：根据导弹的总体设计参数、导弹的飞行动力学、导弹控制系统原理，建立导弹的飞行仿真数学模型；

步骤2：开发导弹全弹道仿真软件，选择相应的满足精度的算法，将数学模型转换为计算机程序，在理论条件下进行飞行仿真；

步骤3：进行模型的校验，以确定仿真模型的可信程度；

步骤4：分析影响导弹命中精度的各种干扰因素，建立这些干扰的数学模型；

步骤5：根据各种干扰对导弹飞行的影响机理，将干扰因素加入到飞行仿真数学模型中进行仿真计算，得到相应的结果；

步骤6：采用基于均匀设计法的蒙特卡洛弹道仿真，用安排仿真实验表，得出了在随机干扰作用下，导弹自控终点和自导终点位置散布统计特性、以及对目标的两次捕捉和全程捕捉概率、命中概率、超低空掠海飞行的触浪入水概率；

步骤7：对仿真结果进行统计分析，筛选出对导弹精度影响较为显著的因素。

优选地，步骤4具体为：

(1)[0，1]均匀随机数ξ

利用C语言函数库中现有的rand()函数获得，所产生的伪随机数可以通过分布均匀性和独立性检验，如下式：

ξ＝rand()/RAND_MAX (1)

使用srand((unsigned)time(NULL))获取系统时间来初始化伪随机数的种子；

程序中一次产生若干如：10000个均匀随机数ξ，从中任取一个作为均匀分布随机事件的发生概率，经独立性检验、均匀性检验和参数检验，证明该方法产生的随机数具有很好的随机性；

(2)标准正态随机数

在一定条件下，服从任何分布的数量足够多的随机数之和近似服从正态分布，对于均匀分布于[0，1]上的随机变量序列ξ₁,ξ₂…ξ_k，其数学期望和方差为 a和b可选为满足一定要求的奇数，只要n足够大，则依据中心极限定律随机数η近似服从正态分布N[0，1]，如下式：

实行仿真统计时，n一般取12，即

(3)白噪声

白噪声是指过去和未来没有任何关系的随机过程，相关函数是脉冲函数的随机过程，其相应的频谱密度为

由上式可以看出在不同频率上具有相同的频谱密度，类似于白光的能谱在各种频率上均匀分布，因此称为白色噪声；

在数字计算机中，只能产生“伪随机数”，其特征仅近似地符合白色噪音。

进一步优选，在步骤4中：

建立干扰因素的误差模型，才能按照作用机理将其加入到基准弹道中进行计算，得到对导弹落点精度的影响，采用的方法为谱密度法，步骤如下

首先进行加权函数的协方差法，建立功率谱密度

其相关函数

其中：x(t)为待估计数据，T为记录时间长度，因而谱密度可由协方差求得，

在实际计算中，通常以某个适当的仿真步长Δt由仿真模型产生一仿真数据序列{x(t_i),i＝0,1,…N}，并且有NΔt＝T，于是(2)式可近似表示为求和的形式

式中pΔt＝τ,p＝0,1,...m，相应的谱密度可写为

因此根据序列{x(t_i)}，利用(3)求得协方差，再利用(4)式可得谱的估计值，给小p所对应的R(pΔt)以较大的权，而给较大p所对应的R(pΔt)以较小的权，具体的做法是在谱计算式中将R(pΔt)乘以一种权函数，权函数取为

由(3)式加权后的谱估计式可写为

优选地，在步骤6中：

选择的试验次数≥自变量个数的2～3倍。

优选地，在步骤7中：

记S_YY为总的离差平方和：

U为回归平方和：

Q为剩余(残差)平方和：

于是有

回归得出拟合k＝1,2,…,N,通常Y的值一般是未知的，将Y_k做为“真值”来定义残差和总残差：

用残差平方和Q做为拟合的一个标准；回归平方和U，在离差平方和中由于自变量的变化而引起变化，可视为X_i与的线性关系而引起的变化部分，所考虑的因素(愈多，回归平方和就愈大；

记

R称为全相关系数，通常0<R<1，R越接近1，说明Y与X_i之间线性关系好，此时线性拟合出的回归方程就好，R越接近0，说明Y与X_i之间若相关，还需引出一些因素才可能对Y拟合得理想；

F方差比：设因素的个数为M,S为剩余标准差，S²为剩余标准；

(S＝Q/N-M-1)^1/2 (17)

一个回归方程的结果是否可用，只要比较S,S²与允许的偏差就可以了；

给出如下指标F

F＝U/M/Q(N-M-1)＝U/(M·S²) (18)

F服从F(M,N-M-1)分布，根据置信度α，查F分布表；即可获得Y与X_i之间的相关关系是否显著，当F>F_a(M,N-M-1)时，认为所得回归方程有显著意义。

有益效果

与现有技术相比，本发明的有益效果为：

(1)减少复杂而又昂贵的导弹飞行试验，不需要单纯依靠飞行试验来确定系统性能，节约了经费，缩短了研制周期，减少投入，提高试验的经济效益。

(2)通过仿真能够筛选出对导弹精度影响较为显著的因素，确定出在不同海情下，对导弹飞行影响作用最大的试验因素，为确定导弹发射最佳条件和最佳状态提供依据。

(3)所需试验次数少，减少试验耗费，使试验的整个过程中，由试验对象等组成的庞大复杂的试验系统处在同一工作状态，保证了所采集的试验数据完整有效，提高试验的军事效益。

(4)对战术导弹全武器系统精度仿真方法作了系统归纳和完善。本发明可以适用于其它型号战术导弹的精度分析。

附图说明

图1为本发明战术导弹武器系统精度仿真及校验方法程序流程图。

具体实施方式

为了使本发明实现的技术手段、创作特征、达成目的与功效易于明白了解，下面结合附图和具体实施例，进一步阐述本发明。

本发明的具体实施方式分以下几个步骤：

步骤1：建立导弹运动过程的仿真模型

建立导弹全弹道运动数学模型是对导弹飞行弹道进行计算机仿真的基础。导弹是一种复杂的飞行器，具有大量随机输入的非线性、多通道系统，它的飞行状态与其投放高度、初速、气动特性、控制特性及导引方式等许多因素密切相关，根据仿真的目的及对系统建模相似性的要求，将战术导弹全弹道运动模型分为：导弹弹体气动特性模型；惯性测量组合模型、导弹控制系统模型；质心运动模型、运动学环节仿真模型；末制导雷达捕捉目标模型、主动段关机方程、导引模型等。

为确保导弹精度分析的准确性，在建立导弹飞行仿真模型时，在现有技术基础上应该尽量精确，并尽量保留系统中的非线性环节。

步骤2：开发导弹全弹道仿真软件

选择相应的满足精度的算法，将数学模型转换为计算机程序，在理论条件下进行飞行仿真。

首先进行离散化。对于导弹的飞行仿真来说，主要是连续微分方程的数字解法，常用的有梯形法、欧拉法、龙格库塔法等，对于战术导弹全武器系统精度分析，一般采用四阶龙格库塔法，其精度可以达到步长的五次方级，仿真步长一般选取在几十毫秒到几秒，采用C++或者Matlab等计算功能强大的语言编制仿真程序。

步骤3：进行仿真模型校验

导弹武器系统是一个复杂的大系统，对于战术导弹而言，目前国际上尚未有一个公认的或统一的模型验证程序或方法。由于全系统理论模型的理论解很难获得，无法对全系统仿真模型进行全面程序校验，采用的是数据对照法，即将相同初始条件下导弹的结果与靶场飞行试验结果数据进行比较，从而反应出模型的准确性和可信度。

步骤4：建立干扰模型

干扰因素概述当基准弹道校验完成之后则可用于以后的误差分析，但在进行误差分析之前必须建立有关误差的模型。干扰因素的特点是随机性的，随机干扰因素多种多样，对导弹飞行的影响各不相同，对所有的随机干扰因素逐个进行分析是不可能的，只能对那些对导弹落点精度影响较大的随机干扰因素进行分析讨论，通常包括海浪模型，紊流模型，目标起伏模型，雷达角噪声模型等。

建立干扰因素的误差模型，才能按照作用机理将其加入到基准弹道中进行计算，得到对导弹落点精度的影响。采用的方法为谱密度法，步骤如下

(1)[0，1]均匀随机数ξ

利用C语言函数库中现有的rand()函数获得，该方法所产生的伪随机数可以通过分布均匀性和独立性检验。如下式：

ξ＝rand()/RAND_MAX (1)

为确保随机产生伪随机数，使用srand((unsigned)time(NULL))获取系统时间来初始化伪随机数的种子。

在仿真中随机事件之间都是独立、不相关的。用上述方法产生大量随机数经统计计算证明具有良好的均匀性。但是如果一次运行随机数生成函数只产生一个随机数的话，多次运行随机数生成函数产生的随机数之间具有明显的相关性。为克服这一问题，程序中一次产生若干如：10000个均匀随机数ξ，从中任取一个作为均匀分布随机事件的发生概率。经独立性检验、均匀性检验和参数检验，证明该方法产生的随机数具有很好的随机性。

Matlab程序为

(2)标准正态随机数

在一定条件下，服从任何分布的数量足够多的随机数之和近似服从正态分布。对于均匀分布于[0，1]上的随机变量序列ξ₁,ξ₂…ξ_k，其数学期望和方差为 (a和b可选为满足一定要求的奇数)只要n足够大，则依据中心极限定律随机数η近似服从正态分布N[0，1]，如下式：

实行仿真统计时，n一般取12，即

Matlab程序为

(3)白噪声

白噪声是指过去和未来没有任何关系的随机过程，也可以说相关函数是脉冲函数的随机过程。其相应的频谱密度为

由上式可以看出在不同频率上具有相同的频谱密度，类似于白光的能谱在各种频率上均匀分布，因此称为白色噪声。

在数字计算机中，任何运算都是按照一定的算法由相应的程序进行的，所以，不可能产生真正的随机数，只能产生“伪随机数”，其特征仅近似地符合白色噪音。

Matlab程序为

因此根据序列{x(t_i)}，利用(3)求得协方差，再利用(4)式可得谱的估计值。为了提高精度，可以给小p所对应的R(pΔt)以较大的权，而给较大p所对应的R(pΔt)以较小的权。具体的做法是在谱计算式中将R(pΔt)乘以一种权函数。权函数取为

由(3)式加权后的谱估计式可写为

步骤5：将干扰因素加入到飞行仿真数学模型中进行仿真计算

将各种干扰因素按照其作用机理加入到导弹系统仿真平台上进行仿真试验，便可以得到各种干扰因素对导弹命中精度的影响结果。经过对导弹各特征点位置、速度以及落点误差的单项分析和综合分析得到相应的结果。为了进一步验证获得的随机干扰因素的影响是否符合实际情况，应在方差检验的同时，进行统计条件下的均值仿真检验。在此，要注意一点，即在进行干扰因素之前，前检验导弹实际飞行试验结果，看各待验参数是否落在相应的置信区间内，只有通过检验即可认为待验参数通过验证。若待验弹道参数不能通过检验，则说明两者之间存在显著性差异，应查明原因予以修正，并重新进行检验，直至各待验参数在选定的弹道特征点上通过检验。

当验证满足要求后，下一步进行误差分析。加入一种或几种干扰因素，在单项误差分析获得待验参数样本，进行干扰因素对落点精度的影响的不相关和独立性检验，分析对落点精度影响的关系。

步骤6：采用基于均匀设计法的蒙特卡洛弹道仿真，用安排仿真实验表

(1)确定均匀设计的试验次数

选择试验设计的目的是能在少作试验的情况下得到最佳参数。希望能少作实验，但并不是追求最少的试验次数，因为均匀设计使用最少的实验次数并不一定能获得最佳参数。选择实验次数与试验中需要考察的自变量的个数有关。试验次数多一些，揭示的规律准确程度就高一些。试验次数与自变量之间如何权衡需用户兼容性选择，在力所能及的情况下，以试验次数安排得多一些为好。建议选择的试验次数≥自变量个数的2～3倍。

(2)基于均匀设计法，确定试验因素

将均匀设计应用到仿真中，可以做到：

在认真分析试验目的的基础上，明确试验指标和影响试验指标的因素，确定试验因素及其水平，生成均匀设计表并计算其均匀度；

所需试验次数少，减少试验耗费，使试验的整个过程中，由试验对象等组成的庞大复杂的试验系统处在同一工作状态，保证了所采集的试验数据完整有效；

在每种典型试验下采样数据次数多，从而在试验次数相对小的前提下，充分保证了所采集的数据量。

在试验因素的选定上，采用了以下两个原则：第一是利用这些因素能反映出导弹武器系统的精度仿真方案；第二是这些因素对于导弹武器系统的精度有显著性的影响。

影响导弹武器系统精度的因素可分为可控因素和不可控因素两大类。对于导弹精度研究要考虑可控因素，可控因素有导弹发射的高度、速度，目标舷角、距离、速度、航向等；不可控因素有目标机动，风向，风速，气温，海情，有义波高等，这些只能作为随机因素考虑。

(3)确定仿真试验表

确定均匀设计的试验因素和范围后，就可以安排导弹武器系统仿真试验设计表。

(4)基于蒙特卡洛方法，确定影响实际弹道的随机因素及试验统计结果

对于导弹这样的大系统来讲，描述导弹飞行过程的运动方程十分复杂，其中包含大量随机变量，非线性项和变系数项，对整个系统线性化十分困难。而采用蒙特卡洛法，就无须线性化。

首先建立一个概率模型，使他的概率模型等于理论的数字解，然后对模型进行随机抽样试验，经过统计计算，以符合精度要求的统计估计值作为近似解，即是通过随机抽样与统计计算来确定包含多种复杂因素的概率特征，其基本要素是被模拟现象的一个随机现实，而每一个现实都是通过抽签试验随机取得的。

将随机变量的抽样值输入导弹系统数学模型(即导弹系统运动方程组)，进行计算机解算弹道，也就是进行计算机模拟打靶，即可得到随机扰动弹道参数；进行多次模拟打靶，可获得随机弹道参数子样。

步骤7：对仿真结果进行统计分析，筛选出对导弹精度影响较为显著的因素。

(1)所得结果进行统计整理，进行回归分析

记S_YY为总的离差平方和：

U为回归平方和：

Q为剩余(残差)平方和：

于是有

其中大气紊流干扰的Matlab程序为

其中海浪随机干扰的Matlab程序为

回归得出拟合k＝1，2，…，N，通常Y的值一般是未知的，将Y_k做为“真值”来定义残差和总残差：

用残差平方和Q做为拟合的一个标准。回归平方和U，在离差平方和中由于自变量的变化而引起变化，可视为X_i与的线性关系而引起的变化部分，所考虑的因素(自变量)愈多，回归平方和就愈大。

记

R称为全相关系数，通常0<R<1，R越接近1，说明Y与X_i之间线性关系好，此时线性拟合出的回归方程就好，R越接近0，说明Y与X_i之间若相关，还需引出一些因素才可能对Y拟合得理想。

F方差比：设因素的个数为M，S为剩余标准差，S²为剩余标准。

(S＝Q/N-M-1)^1/2 (13)

一个回归方程的结果是否可用，只要比较S，S²与允许的偏差就可以了。

给出如下指标F

F＝U/M/Q(N-M-1)＝U/(M·S²) (14)

F服从F(M，N-M-1)分布，根据置信度α，查F分布表。即可获得Y与X_i之间的相关关系是否显著。当F>F_a(M，N-M-1)时，认为所得回归方程有显著意义。

对于以上讨论，可得出如下方差分析表1：

表1方差分析表

(2)回归分析结果

由上述试验结果得到，导弹自控与自导段终点散布随发射和目标的初始值的变化而有明显的关系，为研究初始发射因素中各因素对导弹命中精度的影响程度和变化规律，还要进行回归分析，回归分析时采用逐步回归来进行，除了考虑各独立自变量(影响因素)的一次项外，还要考虑它们的高次项及其交叉项。把每一项都当作一个回归自变量。

逐步回归的思想是根据所有自变量大小，每选一个自变量进入回归方程，第一步是在所有可供挑选的变量中选择一个量，并使它组成的一元回归方程比其它量有更大的回归平方和(或更小的残差平方和)；第二步是在未选的变量中选一个量，使其与已选的那个量组成二元回归方程，将比其它任何一个量与已选量组成的二元方程有更大的回归平方和，依此类推至第m步，第m步是在未选的量中选一个量，它与已选量组成的m元回归方程有更大的回归平方和。为保证每一步选入回归方程的变量是真正重要的，还应对该步即将选入的变量作显著性检验(t检验或F检验)。仅当通过检验(显著)时，才进行下一步计算。如果检验不显著，挑选变量的工作即结束。采用逐步回归的方法拟合出各参数的回归方程式，确定显著因素。

Claims (1)

1.一种战术导弹武器系统精度仿真及校验方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1：根据导弹的总体设计参数、导弹的飞行动力学、导弹控制系统原理，建立导弹的飞行仿真数学模型；

步骤2：开发导弹全弹道仿真软件，选择相应的满足精度的算法，将数学模型转换为计算机程序，在理论条件下进行飞行仿真；

步骤3：进行模型的校验，以确定仿真模型的可信程度；

步骤4：分析影响导弹命中精度的各种干扰因素，建立这些干扰的数学模型；

步骤5：根据各种干扰对导弹飞行的影响机理，将干扰因素加入到飞行仿真数学模型中进行仿真计算，得到相应的结果；

步骤6：采用基于均匀设计法的蒙特卡洛弹道仿真，用安排仿真实验表，得出了在随机干扰作用下，导弹自控终点和自导终点位置散布统计特性、以及对目标的两次捕捉和全程捕捉概率、命中概率、超低空掠海飞行的触浪入水概率；

步骤7：对仿真结果进行统计分析，筛选出对导弹精度影响较为显著的因素；

所述步骤4具体为：

(1)[0，1]均匀随机数ξ

利用C语言函数库中现有的rand()函数获得，所产生的伪随机数可以通过分布均匀性和独立性检验，如下式：

ξ＝rand()/RAND_MAX (1)

使用srand((unsigned)time(NULL))获取系统时间来初始化伪随机数的种子；

程序中一次产生若干如：10000个均匀随机数ξ，从中任取一个作为均匀分布随机事件的发生概率，经独立性检验、均匀性检验和参数检验，证明该方法产生的随机数具有很好的随机性；

(2)标准正态随机数

在一定条件下，服从任何分布的数量足够多的随机数之和近似服从正态分布，对于均匀分布于[0，1]上的随机变量序列ξ₁,ξ₂…ξ_k，其数学期望和方差为a和b可选为满足一定要求的奇数，只要n足够大，则依据中心极限定律随机数η近似服从正态分布N[0，1]，如下式：

$\mathrm{\&eta;}=\frac{1}{b\sqrt{n}}\underset{k=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}({\mathrm{\&xi;}}_k-a)---\left(2\right)$

实行仿真统计时，n一般取12，即

$\mathrm{\&eta;}=\underset{k=1}{\overset{12}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&xi;}}_k-6---\left(3\right);$

(3)白噪声

白噪声是指过去和未来没有任何关系的随机过程，相关函数是脉冲函数的随机过程，其相应的频谱密度为

$s\left(\mathrm{\&omega;}\right)={\&Integral;}_{-\mathrm{\&infin;}}^{\mathrm{\&infin;}}\mathrm{\&delta;}\left(\mathrm{\&tau;}\right)e^{-j\mathrm{\&omega;}\mathrm{\&tau;}}d\mathrm{\&tau;}=1---\left(4\right)$

由上式可以看出在不同频率上具有相同的频谱密度，类似于白光的能谱在各种频率上均匀分布，因此称为白色噪声；

在数字计算机中，只能产生“伪随机数”，其特征仅近似地符合白色噪音；

在步骤4中：

建立干扰因素的误差模型，才能按照作用机理将其加入到基准弹道中进行计算，得到对导弹落点精度的影响，采用的方法为谱密度法，步骤如下

首先进行加权函数的协方差法，建立功率谱密度

$S\left(\mathrm{\&omega;}\right)=\frac{2}{\mathrm{\&pi;}}{\&Integral;}_0^{\mathrm{\&infin;}}R\left(\mathrm{\&tau;}\right)cos\mathrm{\&omega;}\mathrm{\&tau;}d\mathrm{\&tau;}---\left(5\right)$

其相关函数

$R\left(\mathrm{\&tau;}\right)=\frac{1}{T-\mathrm{\&tau;}}{\&Integral;}_0^{T-\mathrm{\&tau;}}x\left(t\right)x(t+\mathrm{\&tau;})\mathrm{\&tau;}dt---\left(6\right)$

其中：x(t)为待估计数据，T为记录时间长度，因而谱密度可由协方差求得，

在实际计算中，通常以某个适当的仿真步长△t由仿真模型产生一仿真数据序列{x(t_i),i＝0,1,…N}，并且有N△t＝T，于是(2)式可近似表示为求和的形式

$R\left(p\mathrm{\&Delta;}t\right)=\frac{1}{N-p}\underset{i=1}{\overset{N-p}{\mathrm{\&Sigma;}}}x\left(t_i\right)x(t_i+p\mathrm{\&Delta;}t)---\left(7\right)$

式中pΔt＝τ,p＝0,1,...m，相应的谱密度可写为

$S\left(\mathrm{\&omega;}\right)=\frac{2}{\mathrm{\&pi;}}\&lsqb;\underset{p=0}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}R\left(p\mathrm{\&Delta;}t\right)cos\mathrm{\&omega;}p\mathrm{\&Delta;}t\&rsqb;\mathrm{\&Delta;}t---\left(8\right)$

因此根据序列{x(t_i)}，利用(3)求得协方差，再利用(4)式可得谱的估计值，给小p所对应的R(pΔt)以较大的权，而给较大p所对应的R(pΔt)以较小的权，具体的做法是在谱计算式中将R(pΔt)乘以一种权函数，权函数取为

$D\left(p\mathrm{\&Delta;}t\right)=0.54+0.46cos\frac{\mathrm{\&pi;}p}{m},p<m$

D(pΔt)＝0,p＞m (9)

由(3)式加权后的谱估计式可写为

$S\left({\mathrm{\&omega;}}_k\right)=\frac{2}{\mathrm{\&pi;}}\&lsqb;\underset{p=0}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}R\left(p\mathrm{\&Delta;}t\right){\mathrm{cos\&omega;}}_{k}p\mathrm{\&Delta;}t(0.54+0.46cos\frac{\mathrm{\&pi;}p}{m})\&rsqb;\mathrm{\&Delta;}t---\left(10\right);$

在所述步骤6中：

选择的试验次数≥自变量个数的2～3倍；

在所述步骤7中：

记S_YY为总的离差平方和：

$S_{YY}=\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\&lsqb;y_i-\stackrel{\&OverBar;}{y}\&rsqb;}^2---\left(11\right)$

U为回归平方和：

$U=\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\&lsqb;{\hat{y}}_i-\stackrel{\&OverBar;}{y}\&rsqb;}^2---\left(12\right)$

Q为剩余残差平方和：

$Q=\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\&lsqb;y_i-{\hat{y}}_i\&rsqb;}^2---\left(13\right)$

于是有

$S_{YY}=\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\&lsqb;y_i-\stackrel{\&OverBar;}{y}\&rsqb;}^2=U+Q---\left(14\right)$

回归得出拟合通常Y的值一般是未知的，将Y_k做为“真值”来定义残差和总残差：

${\mathrm{\&delta;}}_k=Y_k-{\hat{y}}_k,k=1,2,...,N.$

$\underset{k=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&delta;}}_k=\underset{k=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}(Y_k-{\hat{y}}_k)---\left(15\right)$

用剩余残差平方和Q做为拟合的一个标准；回归平方和U，在离差平方和中由于自变量的变化而引起变化，可视为X_i与的线性关系而引起的变化部分，所考虑的因素愈多，回归平方和就愈大；

记

$R^2=\frac{U}{S_{YY}}=\frac{S_{YY}-Q}{S_{YY}}=1-Q/S_{YY}$

$R=1-\sqrt{1-Q/S_{YY}}---\left(16\right)$

R称为全相关系数，通常0<R<1，R越接近1，说明Y与X_i之间线性关系好，此时线性拟合出的回归方程就好，R越接近0，说明Y与X_i之间若相关，还需引出一些因素才可能对Y拟合得理想；

F方差比：设因素的个数为M,S为剩余标准差，S²为剩余标准；(S＝Q/N-M-1)^1/2 (17)

一个回归方程的结果是否可用，只要比较S,S²与允许的偏差就可以了；

给出如下指标F

F＝U/M/Q(N-M-1)＝U/(M·S²) (18)

F服从F(M,N-M-1)分布，根据置信度α，查F分布表；即可获得Y与X_i之间的相关关系是否显著，当F>F_a(M,N-M-1)时，认为所得回归方程有显著意义。