CN104014768A

CN104014768A - 一种镁合金枝晶组织数值模拟的方法

Info

Publication number: CN104014768A
Application number: CN201410289404.7A
Authority: CN
Inventors: 刘东戎; 杨智鹏; 罗佳鹏; 马宝霞; 王丽萍; 郭二军
Original assignee: Harbin University of Science and Technology
Current assignee: Harbin University of Science and Technology
Priority date: 2014-06-24
Filing date: 2014-06-24
Publication date: 2014-09-03
Anticipated expiration: 2034-06-24
Also published as: CN104014768B

Abstract

一种镁合金枝晶组织数值模拟的方法，本发明涉及一种镁合金枝晶组织数值模拟的方法。本发明是要解决目前无法准确预测镁合金枝晶生长以及密排六方晶系枝晶尖端生长动力学模型不清楚的问题，而提出的一种镁合金枝晶组织数值模拟的方法。该方法是通过1、将镁合金枝晶网格剖分；2、奇数和偶数行错位分布模式；3、确定模型的计算区域；4、确定六边形网格晶形核个数、核心位置、过冷度△T和网格固相分数；5、，得到镁合金枝晶臂生长速度V_tip；6、建立函数等步骤实现的。本发明应用于镁合金枝晶组织数值模拟领域。

Description

一种镁合金枝晶组织数值模拟的方法

技术领域

本发明涉及一种镁合金枝晶组织数值模拟的方法。

背景技术

作为一种金属结构材料，镁合金具有其它合金无法比拟的优势。它密度小、比强度和比刚度高、减震动性和散热性好，这些材料性能上的优点使得镁基合金在汽车、造船和航空航天行业中得到广泛应用。

镁基合金金属材料，由于熔点较低，工业界通常采用铸造技术完成其成形过程，而铸造过程中合金晶粒组织形成特点是评价铸件质量的关键因素。采用实验试错法探寻凝固组织演变和铸造工艺参数之间的特点，耗费了大量的人力、物力和财力，增加了铸件产品的生产成本；与此同时，由于人为因素存在误差、设备使用时间长，设备老化出现误差、实施实验的现场条件造成的实验试错法涉及的随机因素太多，很难清楚地揭示铸造工艺参数影响凝固组织形成特征。

计算机模拟技术将凝固原理、铸造工艺理论和计算机仿真技术紧密联系在一起，以动态实时的方式再现不透明金属的凝固过程。因此利用计算机模拟的方法准确预测铸件中晶粒组织形成，为控制凝固组织形成提供精确的、科学的指导，为获得优异力学性能的铸件产品服务。

镁基合金为密排六方晶系，优先生长方向为六个一次枝晶臂之间夹角为60°，具有明显的各向异性。而目前已经成熟的数值模拟技术均针对立方晶系合金，因此现有模拟技术无法再现密排六方晶系凝固组织形成特点，具体表现为：能够准确体现密排六方晶系各向异性特征的网格剖分模式有待开发(即准确再现相邻两个一次枝晶臂夹角为60°，以及二次枝晶臂与一次枝晶臂夹角为60°)；密排六方晶系枝晶尖端生长动力学模型还不清楚。这就要求所开发的镁合金枝晶组织数值模拟方法从上述两个方面入手，第一个问题的解决是第二个问题解决的前提；而第二个问题的解决是镁合金凝固晶粒组织预测的基础，这在理论和实际应用方面均具有重要意义。

发明内容

本发明的目的是解决目前无法准确预测镁合金枝晶生长以及密排六方晶系枝晶尖端生长动力学模型不清楚的问题，而提出了一种镁合金枝晶组织数值模拟的方法。

上述的发明目的是通过以下技术方案实现的：

步骤一、将镁合金枝晶生长计算域进行微观尺度网格剖分，其中，微观尺度网格采用边长尺寸为L的六边形网格；

步骤二、六边形网格分布采用奇数行和偶数行错位分布模式，偶数行第一个网格为半网格，最后一个网格为半网格；

步骤三、将每一个六边形网格或六边形半网格赋予邻居对象，确定模拟镁合金枝晶组织模型的计算区域；

步骤四、在模拟镁合金枝晶组织模型的计算区域中确定六边形网格等轴晶形核个数、六边形网格等轴晶形核核心位置、六边形网格等轴晶形核过冷度△T和六边形网格等轴晶核心所处网格的固相分数；

步骤五、根据六边形网格等轴晶形核核心位置确定溶质扩散的起始位置，采用溶质扩散模型模拟等温条件下密排六方镁合金枝晶组织生长，得到镁合金枝晶臂生长速度V_tip；其中溶质为除镁元素之外的第二种元素的含量；

步骤六、改变镁合金熔体的过冷度△T，重复步骤五建立不同过冷度△T和镁合金枝晶臂生长速度V_tip的关系曲线；对关系曲线数据点进行指数拟合，建立镁合金枝晶臂生长速度与过冷度的函数其中，V_tip为镁合金枝晶臂生长速度，A、B和C为拟合曲线的拟合参数，e为自然对数的底，△T为过冷度；即完成了一种镁合金枝晶组织数值模拟的方法。

发明效果

本发明借助数值模拟的方法研究枝晶组织生长过程,指导实际生产要求所开发的镁合金枝晶组织数值模拟方法从两个方面入手：能够准确体现密排六方晶系各向异性特征；建立密排六方晶系枝晶尖端生长动力学模型。第一个问题的解决是第二个问题解决的前提；而第二个问题的解决是镁合金凝固组织预测的基础,也是商业铸造软件开发的基础，这在理论和实际应用方面均具有重要意义。

本发明不存在人为因素所引起的误差、设备使用时间长，设备老化出现的误差、实施实验的现场条件造成的影响，能够准确模拟镁合金枝晶生长过程，进而清楚地揭示凝固过程中枝晶组织形成的特点。

本发明所预测的密排六方晶系各向异性特征如图3与真实的密排六方晶系等轴枝晶生长如图4一致；并且建立密排六方晶系枝晶尖端生长动力学模型，为一些商业化软件开发密排六方晶系晶粒组织模拟模块提供模型参考。

附图说明

图1是具体实施方式一提出的一种镁合金枝晶组织数值模拟的方法流程图；

图2是具体实施方式一提出的计算域六边形网格剖分简化示意图，六边形的边长为L，相邻两个六边形网格之间的距离

图3是具体实施方式一提出的模拟等温条件下Mg-9.1wt％Al合金等轴枝晶组织模拟结果；其中，Mg-9.1wt％Al合金密排六方先析出相α-Mg枝晶形貌，六个一次枝晶臂之间夹角为60°，二次枝晶臂与母一次枝晶臂之间夹角为60°；

图4是具体实施方式一提出的真实的密排六方晶系等轴枝晶组织实验结果示意图；

图5是实施例中提出的Mg-9.1wt％Al合金在定向凝固条件下密排六方先析出相α-Mg柱状枝晶生长形貌的模拟结果示意图；其中，定向凝固条件为凝固过程中在温度梯度18℃/mm和抽拉速度5.3×10^-2mm/s作用下，Mg-9.1wt％Al合金熔体完成单向凝固，沿着与重力相反的方向凝固；

图6是具体实施方式一提出的建立不同过冷度△T和镁合金枝晶臂生长速度V_tip的关系曲线示意图；Mg-9.1wt％Al合金密排六方先析出相α-Mg枝晶尖端生长过程中所经历的过冷度△T和镁合金枝晶臂生长速度V_tip的关系曲线示意图；

图7是实施例对比试验提出的真实的密排六方镁合金柱状晶实验组织示意图，其中，标尺为0.2mm。

具体实施方式

具体实施方式一：本实施方式的一种镁合金枝晶组织数值模拟的方法，具体是按照以下步骤进行的：

步骤二、六边形网格分布采用奇数行和偶数行错位分布模式如图2，偶数行第一个网格为半网格(六边形网格的右侧半网格)，最后一个网格为半网格(六边形网格的左侧半网格)；

步骤四、在模拟镁合金枝晶组织模型的计算区域中确定六边形网格等轴晶形核个数、六边形网格等轴晶形核核心位置、六边形网格空间等轴晶形核过冷度△T和六边形网格等轴晶核心所处网格的固相分数；

步骤五、根据六边形网格等轴晶形核核心位置确定溶质扩散的起始位置，采用溶质扩散模型模拟等温条件下密排六方镁合金枝晶生长组织模拟结果如图3，得到镁合金枝晶臂生长速度V_tip；其中溶质为除镁元素之外的第二种元素的含量，溶质可以是金属、非金属或稀土元素；

步骤六、改变镁合金熔体的过冷度△T，重复步骤五建立不同过冷度△T和镁合金枝晶臂生长速度V_tip的关系曲线；对关系曲线数据点进行指数拟合如图6，建立镁合金枝晶臂生长速度与过冷度的函数其中，V_tip为镁合金枝晶臂生长速度，A、B和C为拟合曲线的拟合参数，e为自然对数的底，约为2.718，△T为过冷度；如图1即完成了一种镁合金枝晶组织数值模拟的方法。

本实施方式效果

本发明所预测的密排六方晶系各向异性特征如图3与真实的密排六方晶系枝晶生长如图4一致；本发明建立密排六方晶系枝晶尖端生长动力学模型，为一些商业化软件开发密排六方晶系晶粒组织模拟模块提供模型参考。

具体实施方式二：本实施方式与具体实施方式一不同的是：步骤一中将镁合金枝晶生长计算域进行微观尺度网格剖分为：

(1)采用边长尺寸为L的六边形网格，六边形网格的一个主对角线与X-Y直角坐标系中Y轴重合；

(2)其余两个主对角线分别与X轴的夹角为30°和-30°；X轴方向上的六边形网格数为整数n>100，Y轴方向上的六边形网格数为整数m>100，且m为偶数；其中，两个主对角线以两条边平行于Y轴的方式放置六边形，一条主对角线为：位于第一项限的六边形的一个顶点，与该顶点顺时针方向上，第三个顶点之间的连线；另一条主对角线为：位于第四项限的六边形的一个顶点，与该顶点顺时针方向上，第三个顶点之间的连线；

(3)六边形网格的边长为L，相邻两个六边形网格的距离为

(4)每一个六边形网格用(j,k)标识，j的取值范围(1～n),k的取值范围(1～m)，m，n为整数且m为偶数；j为模拟镁合金枝晶组织模型的计算区域中横排(横向列数)的序号，k为模拟镁合金枝晶组织模型的计算区域中纵排(纵向行数)的序号。其它步骤及参数与具体实施方式一相同。

具体实施方式三：本实施方式与具体实施方式一或二不同的是：步骤三中将每一个六边形网格或六边形半网格赋予邻居对象为:

(1)、在模拟镁合金枝晶组织模型的计算区域中确定标识为j_o＝1，k_o＝1的六边形网格周边有6个相邻的六边形网格，其标识分别为：N_1-left(j＝n,k＝k_o)、N_2-right(j＝j_o+1,k＝k_o)、N_3-upleft(j＝j_o,k＝m)、N_4-upright(j＝j_o+1,k＝m)、N_5-downleft(j＝j_o,k＝k_o+1)和N_6-downright(j＝j_o+1,k＝k_o+1)；

(2)、在模拟镁合金枝晶组织模型的计算区域中确定标识为j_o＝n，k_o＝1的六边形网格周边有6个相邻的六边形网格，其标识分别为：N_1-left(j＝j_o-1,k＝k_o)、N_2-right(j＝1,k＝k_o)、N_3-upleft(j＝j_o,k＝m)、N_4-upright(j＝1,k＝m)、N_5-downleft(j＝j_o,k＝k_o+1)和N_6-downright(j＝1,k＝k_o+1)；

(3)、标识为j_o＝1，k_o＝m的六边形网格共有6个相邻网格，其标识分别为：N_1-left(j＝n,k＝k_o)、N_2-right(j＝j_o+1,k＝k_o)、N_3-upleft(j＝n,k＝k_o-1)、N_4-upright(j＝j_o,k＝k_o-1)、N_5-downleft(j＝n,k＝1)和N_6-downright(j＝1,k＝1)；

(4)、标识为j_o＝n，k_o＝m的六边形网格共有6个相邻网格，其标识分别为：N_1-left(j＝j_o-1,k＝k_o)、N_2-right(j＝1,k＝k_o)、N_3-upleft(j＝j_o-1,k＝k_o-1)、N_4-upright(j＝j_o,k＝k_o-1)、N_5-downleft(j＝j_o-1,k＝1)和N_6-downright(j＝j_o,k＝1)；

(5)、位于偶数行、标识为j_o＝1，k_o＝e_k,1<e_k<m,e_k为偶数行的六边形网格共有6个相邻网格其标识分别为：N_1-left(j＝n,k＝k_o)、N_2-right(j＝j_o+1,k＝k_o),N_3-upleft(j＝n,k＝k_o-1)、N_4-upright(j＝j_o,k＝k_o-1)、N_5-downleft(j＝n,k＝k_o+1)和N_6-downright(j＝j_o,k＝k_o+1)；

(6)、位于偶数行、标识为j_o＝n，k_o＝e_k,1<e_k<m,e_k为偶数行的六边形网格共有6个相邻网格，其标识分别为：N_1-left(j＝j_o-1,k＝k_o)、N_2-right(j＝1,k＝k_o)、N_3-upleft(j＝j_o-1,k＝k_o-1)、N_4-upright(j＝j_o,k＝k_o-1)、N_5-downleft(j＝j_o-1,k＝k_o+1)和N_6-downright(j＝j_o,k＝k_o+1)；

(7)、位于奇数行、标识为j_o＝1，k_o＝od_k,1<od_k<m,od_k为奇数行的六边形网格共有6个相邻网格，其标识分别为：N_1-left(j＝n,k＝k_o)、N_2-right(j＝j_o+1,k＝k_o)、N_3-upleft(j＝j_o,k＝k_o-1)、N_4-upright(j＝j_o+1,k＝k_o-1)、N_5-downleft(j＝j_o,k＝k_o+1)和N_6-downright(j＝j_o+1,k＝k_o+1)；

(8)、位于奇数行、标识为j_o＝n,，k_o＝od_k,1<od_k<m,od_k为奇数行的六边形网格共有6个相邻网格，其标识分别为：N_1-left(j＝j_o-1,k＝k_o)、N_2-right(j＝1,k＝k_o)、N_3-upleft(j＝j_o,k＝k_o-1)、N_4-upright(j＝1,k＝k_o-1)、N_5-downleft(j＝j_o,k＝k_o+1)和N_6-downright(j＝1,k＝k_o+1)；

(9)、标识为j_o＝f_j,k_o＝1，1<f_j<n的六边形网格共有6个相邻网格，其标识分别为：

N_1-left(j＝j_o-1,k＝k_o)、N_2-right(j＝j_o+1,k＝k_o)、N_3-upleft(j＝j_o,k＝m)、N_4-upright(j＝j_o+1,k＝m)、N_5-downleft(j＝j_o,k＝k_o+1)和N_6-downright(j＝j_o+1,k＝k_o+1)；

(10)、标识为j_o＝f_j，k_o＝m，1<f_j<n的六边形网格共有6个相邻网格，其标识分别为：N_1-left(j＝j_o-1,k＝k_o)、N_2-right(j＝j_o+1,k＝k_o)、N_3-upleft(j＝j_o-1,k＝k_o-1)、N_4-upright(j＝j_o,k＝k_o-1)、N_5-downleft(j＝j_o-1,k＝1)和N_6-downright(j＝j_o,k＝1)；

(11)、位于偶数行、标识为j_o＝f_j,，k_o＝e_k，1<f_j<n,1<e_k<m,e_k为偶数行上的六边形网格共有6个相邻网格，其标识分别为：

N_1-left(j＝j_o-1,k＝k_o)、N_2-right(j＝j_o+1,k＝k_o)、N_3-upleft(j＝j_o-1,k＝k_o-1)、N_4-upright(j＝j_o,k＝k_o-1)、N_5-downleft(j＝j_o-1,k＝k_o+1)和N_6-downright(j＝j_o,k＝k_o+1)；

(12)、位于奇数行、标识为j_o＝f_j，k_o＝od_k,f_j为正整数，1<f_j<n，1<od_k<m，od_k为奇数行的六边形网格共有6个相邻网格，其标识分别为：N_1-left(j＝j_o-1,k＝k_o)、N_2-right(j＝j_o+1,k＝k_o)、N_3-upleft(j＝j_o,k＝k_o-1)、N_4-upright(j＝j_o+1,k＝k_o-1)、N_5-downleft(j＝j_o,k＝k_o+1)和N_6-downright(j＝j_o+1,k＝k_o+1)；

其中下角标1-left为六边形网格左侧相邻网格，2-right为六边形网格右侧相邻网格，3-upleft为六边形网格左上方相邻网格，4-upright为六边形网格右上方相邻网格，5-downleft为六边形网格左下方相邻网格，6-downright为六边形网格右下方相邻网格；下角标1、2、3、4、5、6为在模拟镁合金枝晶组织模型的计算区域中确定标识为(j_o，k_o)的六边形网格周边有6个相邻的六边形网格的序号。其它步骤及参数与具体实施方式一或二相同。

具体实施方式四：本实施方式与具体实施方式一至三之一不同的是：步骤五中采用溶质扩散模型模拟等温条件下密排六方镁合金枝晶组织生长过程为：

(1)、设定镁合金熔体过冷度，每一个时刻t_i下的温度为T_i＝T_L-△T(单位：℃)，每一个网格具有相同的温度T_i；T_L为液相线温度(单位：℃)，△T为设定的过冷度(单位：℃)；

(2)在时刻t_i下，设定六边形网格的标识为(j_o，k_o)，采用溶质扩散模型计算六边形网格左侧相邻网格生长速度V_1-left、六边形网格右侧相邻网格生长速度V_2-right、六边形网格左上方相邻网格生长速度V_3-upleft、六边形网格右上方相邻网格生长速度V_4-upright、六边形网格左下方相邻网格生长速度V_5-downleft、六边形网格右下方相邻网格生长速度V_6-downright；

{V_{1 - left}}^{t_{i}} (j_{o}, k_{o}) = \frac{D_{L}}{(\sqrt{3} L) (1 - pk)} (\frac{C_{L}^{t_{i} *} (j_{o}, k_{o}) - C_{L}^{t_{i}} (j_{1 - left}, k_{1 - left})}{C_{L}^{t_{i} *} (j_{o}, k_{o})}) (1 - f_{s}^{t_{i}} (j_{1 - left}, k_{1 - left}))

{V_{2 - right}}^{t_{i}} (j_{o}, k_{o}) = \frac{D_{L}}{(\sqrt{3} L) (1 - pk)} (\frac{C_{L}^{t_{i} *} (j_{o}, k_{o}) - C_{L}^{t_{i}} (j_{2 - right}, k_{2 - right})}{C_{L}^{t_{i} *} (j_{o}, k_{o})}) (1 - f_{s}^{t_{i}} (j_{2 - right}, k_{2 - right}))

{V_{3 - upleft}}^{t_{i}} (j_{o}, k_{o}) = \frac{D_{L}}{(\sqrt{3} L) (1 - pk)} (\frac{C_{L}^{t_{i} *} (j_{o}, k_{o}) - C_{L}^{t_{i}} (j_{3 - upleft}, k_{3 - upleft})}{C_{L}^{t_{i} *} (j_{o}, k_{o})}) (1 - f_{s}^{t_{i}} (j_{3 - upleft}, k_{3 - upleft}))

{V_{4 - upright}}^{t_{i}} (j_{o}, k_{o}) = \frac{D_{L}}{(\sqrt{3} L) (1 - pk)} (\frac{C_{L}^{t_{i} *} (j_{o}, k_{o}) - C_{L}^{t_{i}} (j_{4 - upright}, k_{4 - upright})}{C_{L}^{t_{i} *} (j_{o}, k_{o})}) (1 - f_{s}^{t_{i}} (j_{4 - upright}, k_{4 - upright}))

{V_{5 - downleft}}^{t_{i}} (j_{o}, k_{o}) = \frac{D_{L}}{(\sqrt{3} L) (1 - pk)} (\frac{C_{L}^{t_{i} *} (j_{o}, k_{o}) - C_{L}^{t_{i}} (j_{5 - downleft}, k_{5 - downleft})}{C_{L}^{t_{i} *} (j_{o}, k_{o})}) (1 - f_{s}^{t_{i}} (j_{5 - downleft}, k_{5 - downleft}))

{V_{6 - downright}}^{t_{i}} (j_{o}, k_{o}) = \frac{D_{L}}{(\sqrt{3} L) (1 - pk)} (\frac{C_{L}^{t_{i} *} (j_{o}, k_{o}) - C_{L}^{t_{i}} (j_{6 - downright}, k_{6 - downright})}{C_{L}^{t_{i} *} (j_{o}, k_{o})}) (1 - f_{s}^{t_{i}} (j_{6 - downright}, k_{6 - downright}))

其中，L为六边形网格边长,单位为m；pk为溶质平衡分配系数(无量纲)，下脚标L为液相；下脚标s为固相；六边形网格(j_o，k_o)为在0～1的六边形网格周围邻居至少有一个固相分数的六边形网格的标识，D_L液相中溶质扩散系数单位为m²s^-1；在t_i时刻下，固相分数为

在t_i时刻下，固液界面的溶质成分(单位：wt％)为：

C_{L}^{t_{i} *} (j_{o}, k_{o}) = \frac{T_{L} + m_{L} C_{o} - T_{i} - Γ {\overset{&OverBar;}{k}}^{t_{i}} F {(θ_{i})}^{t_{i}}}{m_{L}};

其中T_L为液相线温度(单位：℃)；m_L为液相线斜率(单位：℃wt％^-1)；C_o为镁合金初始成分(单位：wt％)；T_i为当前时刻下温度(单位：℃)；Γ′为Gibbs-Thomson系数(单位：℃·m)；为固液界面处曲率(单位：m^-1)；F(θ_i)为生长角度因子；下脚标L为液相；

在t_i时刻下，通过溶质扩散方程求解液相成分(单位：wt％)：

\frac{{&PartialD; C}_{L}}{&PartialD; t} = D_{L} (\frac{{&PartialD;}^{2} C_{L}}{{&PartialD; x}^{2}} + \frac{{&PartialD;}^{2} C_{L}}{{&PartialD; y}^{2}}),

在Os时刻液相成分，

C_{L}^{Os} = C_{o};

对于固液界面网格

C_{L} = C_{L}^{*},

其中，固液界面的溶质成分；

在t_i时刻下，固液界面处的曲率和生长角度因子分别为：

{\overset{&OverBar;}{k}}^{t_{i}} = \frac{1}{\sqrt{3} L} [1 - \frac{2}{6} Σ_{w = 1}^{6} f_{s}^{t_{i}} (w)],

{F (θ_{i})}^{t_{i}} = Π_{a = X, Y} (1 + 0.04 \cos ({4 θ}_{a}));

其中，θ为生长角度(单位：度)，θ_a表示当a＝X时枝晶与X轴之间的夹角或者当a＝Y时枝晶与Y轴之间的夹角，w表示固液界面所处六边形网格周围的邻居网格的个数；

在t_i时刻下，固相分数为:

\begin{matrix} f_{s}^{t_{i}} = f_{s}^{t_{i} - Δt} + \frac{Δt}{\sqrt{3} L} ({V_{1 - left}}^{t_{i}} (j_{o}, k_{o}) + {V_{2 - right}}^{t_{i}} (j_{o}, k_{o}) + {V_{3 - upleft}}^{t_{i}} (j_{o}, k_{o}) \\ + {V_{4 - upright}}^{t_{i}} (j_{o}, k_{o}) + {V_{5 - downleft}}^{t_{i}} (j_{o}, k_{o}) + {V_{6 - downright}}^{t_{i}} (j_{o}, k_{o})) \\ - \frac{{(Δt)}^{2}}{{(\sqrt{3} L)}^{2}} [({V_{1 - left}}^{t_{i}} (j_{o}, k_{o}) + {V_{2 - right}}^{t_{i}} (j_{o}, k_{o})) \\ \times ({V_{3 - upleft}}^{t_{i}} (j_{o}, k_{o}) + {V_{6 - downright}}^{t_{i}} (j_{o}, k_{o})) \\ + ({V_{1 - left}}^{t_{i}} (j_{o}, k_{o}) + {V_{2 - right}}^{t_{i}} (j_{o}, k_{o})) \\ \times ({V_{4 - upright}}^{t_{i}} (j_{o}, k_{o}) + {V_{5 - downleft}}^{t_{i}} (j_{o}, k_{o})) \\ + ({V_{3 - upleft}}^{t_{i}} (j_{o}, k_{o}) + {V_{6 - downright}}^{t_{i}} (j_{o}, k_{o})) \\ \times ({V_{4 - upright}}^{t_{i}} (j_{o}, k_{o}) + {V_{5 - downleft}}^{t_{i}} (j_{o}, k_{o}))] \end{matrix}

在Os时刻，所有网格的固相分数均为0；在t_i>Os时刻，固相分数等于0的网格定义为液相网格；固相分数等于1的网格定义为固相网格；固相分数在0～1之间的网格定义为固液界面网格；

(3)、跟踪密排六方镁合金一次枝晶臂不同时刻(t₂和t₁,t₂>t₁)下的长度，计算一次枝晶臂的生长速度(单位，ms^-1)，当枝晶生长达到稳定状态时，即V_tip不随时间的改变而发生变化，则确定ΔT所对应的镁合金枝晶臂生长速度V_tip，其中，为t₁时刻枝晶臂生长的长度，为t₂时刻枝晶臂生长的长度。其它步骤及参数与具体实施方式一至三之一相同。

采用以下实施例验证本发明的有益效果：

实施例一：

本实施例一种镁合金枝晶组织数值模拟的方法，具体是按照以下步骤制备的：

步骤一、将镁合金枝晶生长计算域进行微观尺度网格剖分，以Mg-9.1wt％Al合金为研究对象，计算域由500×500个六边形网格组成；其中，微观尺度网格采用边长尺寸为L的六边形网格；

(1)采用边长尺寸为L的六边形网格，六边形网格的一个主对角线与X-Y直角坐标系中Y轴重合；即X轴方向上有500个六边形网格，Y轴方向上有500个六边形网格，奇数行网格和偶数行网格交错分布；

(3)每个六边形网格的边长L为1μm，相邻两个六边形网格的距离为

(4)每一个六边形网格用(j,k)标识，j的取值范围(1～n),k的取值范围(1～m),m，n为整数且m为偶数；j为模拟镁合金枝晶组织模型的计算区域中横排的序号，k为模拟镁合金枝晶组织模型的计算区域中纵排的序号；

步骤二、六边形网格分布采用奇数行和偶数行错位分布模式，即偶数行第一个网格为半网格(六边形网格的右侧半网格)，最后一个网格为半网格(六边形网格的左侧半网格)；

(2)、标识为j_o＝n，k_o＝1的六边形网格共有6个相邻网格，其标识分别为：N_1-left(j＝j_o-1,k＝k_o)、N_2-right(j＝1,k＝k_o)、N_3-upleft(j＝j_o,k＝m)、N_4-upright(j＝1,k＝m)、N_5-downleft(j＝j_o,k＝k_o+1)和N_6-downright(j＝1,k＝k_o+1)；

(8)、位于奇数行、标识为j_o＝n,，k_o＝od_k,1<od_k<m,od_k为奇数行的六边形网格共有6个相邻网格，其标识分别为：

N_1-left(j＝j_o-1,k＝k_o)、N_2-right(j＝1,k＝k_o)、N_3-upleft(j＝j_o,k＝k_o-1)、N_4-upright(j＝1,k＝k_o-1)、N_5-downleft(j＝j_o,k＝k_o+1)和N_6-downright(j＝1,k＝k_o+1)；

(9)、标识为j_o＝f_j,k_o＝1，1<f_j<n六边形网格共有6个相邻网格，其标识分别为：

N_1-left(j＝j_o-1,k＝k_o)、N_2-right(j＝j_o+1,k＝k_o)、N_3-upleft(j＝j_o,k＝m)、N_4-upright(j＝j_o+1,k＝m)、N_5-downleft(j＝j_o,k＝k_o+1)和N_6-downright(j＝j_o+1,k＝k_o+1)

(11)、位于偶数行、标识为j_o＝f_j,，k_o＝e_k，1<f_j<n,1<e_k<m,e_k为偶数行上的六边形网格共有6个相邻网格，其标识分别为：N_1-left(j＝j_o-1,k＝k_o)、N_2-right(j＝j_o+1,k＝k_o)、N_3-upleft(j＝j_o-1,k＝k_o-1)、N_4-upright(j＝j_o,k＝k_o-1)、N_5-downleft(j＝j_o-1,k＝k_o+1)和N_6-downright(j＝j_o,k＝k_o+1)；

其中1-left为六边形网格左侧相邻网格，2-right为六边形网格右侧相邻网格，3-upleft为六边形网格左上方相邻网格，4-upright为六边形网格右上方相邻网格，5-downleft为六边形网格左下方相邻网格，6-downright为六边形网格右下方相邻网格；下角标1、2、3、4、5、6为在模拟镁合金枝晶组织模型的计算区域中确定标识为(j_o，k_o)的六边形网格周边有6个相邻的六边形网格的序号；

步骤四、在模拟镁合金枝晶组织模型的计算区域中确定六边形网格等轴晶形核个数为1、六边形网格等轴晶形核核心位置的网格标号(250,250)、六边形网格等轴晶形核过冷度△T＝1℃和六边形网格等轴晶核心所处网格的固相分数；枝晶臂与X轴的夹角为生长取向

θ = \frac{π}{6};

步骤五、根据六边形网格等轴晶形核核心位置确定溶质扩散的起始位置，采用溶质扩散模型模拟等温条件下密排六方镁合金枝晶组织生长如图3，得到镁合金枝晶臂生长速度V_tip；其中溶质为除镁元素之外的第二种元素的含量，溶质可以是金属、非金属或稀土元素；

(2)在时刻t_i下,设定六边形网格的标识为(j_o，k_o)采用溶质扩散模型计算六边形网格左侧相邻网格生长速度V_1-left、六边形网格右侧相邻网格生长速度V_2-right、六边形网格其左上方相邻网格生长速度V_3-upleft、六边形网格右上方相邻网格生长速度V_4-upright、六边形网格左下方相邻网格生长速度V_5-downleft、六边形网格右下方相邻网格生长速度V_6-downright；

{V_{1 - left}}^{t_{i}} (j_{o}, k_{o}) = \frac{D_{L}}{(\sqrt{3} L) (1 - pk)} (\frac{C_{L}^{t_{i} *} (j_{o}, k_{o}) - C_{L}^{t_{i}} (j_{1 - left}, k_{1 - left})}{C_{L}^{t_{i} *} (j_{o}, k_{o})}) (1 - f_{s}^{t_{i}} (j_{1 - left}, k_{1 - left}))

{V_{2 - right}}^{t_{i}} (j_{o}, k_{o}) = \frac{D_{L}}{(\sqrt{3} L) (1 - pk)} (\frac{C_{L}^{t_{i} *} (j_{o}, k_{o}) - C_{L}^{t_{i}} (j_{2 - right}, k_{2 - right})}{C_{L}^{t_{i} *} (j_{o}, k_{o})}) (1 - f_{s}^{t_{i}} (j_{2 - right}, k_{2 - right}))

{V_{3 - upleft}}^{t_{i}} (j_{o}, k_{o}) = \frac{D_{L}}{(\sqrt{3} L) (1 - pk)} (\frac{C_{L}^{t_{i} *} (j_{o}, k_{o}) - C_{L}^{t_{i}} (j_{3 - upleft}, k_{3 - upleft})}{C_{L}^{t_{i} *} (j_{o}, k_{o})}) (1 - f_{s}^{t_{i}} (j_{3 - upleft}, k_{3 - upleft}))

{V_{4 - upright}}^{t_{i}} (j_{o}, k_{o}) = \frac{D_{L}}{(\sqrt{3} L) (1 - pk)} (\frac{C_{L}^{t_{i} *} (j_{o}, k_{o}) - C_{L}^{t_{i}} (j_{4 - upright}, k_{4 - upright})}{C_{L}^{t_{i} *} (j_{o}, k_{o})}) (1 - f_{s}^{t_{i}} (j_{4 - upright}, k_{4 - upright}))

{V_{5 - downleft}}^{t_{i}} (j_{o}, k_{o}) = \frac{D_{L}}{(\sqrt{3} L) (1 - pk)} (\frac{C_{L}^{t_{i} *} (j_{o}, k_{o}) - C_{L}^{t_{i}} (j_{5 - downleft}, k_{5 - downleft})}{C_{L}^{t_{i} *} (j_{o}, k_{o})}) (1 - f_{s}^{t_{i}} (j_{5 - downleft}, k_{5 - downleft}))

{V_{6 - downright}}^{t_{i}} (j_{o}, k_{o}) = \frac{D_{L}}{(\sqrt{3} L) (1 - pk)} (\frac{C_{L}^{t_{i} *} (j_{o}, k_{o}) - C_{L}^{t_{i}} (j_{6 - downright}, k_{6 - downright})}{C_{L}^{t_{i} *} (j_{o}, k_{o})}) (1 - f_{s}^{t_{i}} (j_{6 - downright}, k_{6 - downright}))

其中，L为六边形网格边长单位为m；pk为溶质平衡分配系数(无量纲)，下脚标L为液相；下脚标s为固相；六边形网格(j_o，k_o)为在0～1的六边形网格周围邻居的固相分数的六边形网格的标识，D_L液相中溶质扩散系数单位为m²s^-1；

在t_i时刻下，固液界面的溶质成分(单位：wt％)为：

C_{L}^{t_{i} *} (j_{o}, k_{o}) = \frac{T_{L} + m_{L} C_{o} - T_{i} - Γ {\overset{&OverBar;}{k}}^{t_{i}} F {(θ_{i})}^{t_{i}}}{m_{L}};

其中T_L为液相线温度(单位：℃)；m_L为液相线斜率(单位：℃wt％^-1)；C_o为镁合金初始成分(单位：wt％)；T_i为当前时刻下温度(单位：℃)；Γ′为Gibbs-Thomson系数(单位：℃·m)；为固液界面处曲率(单位：m^-1)；F(θ_i)为生长角度因子(无量纲)；下脚标L为液相；

在t_i时刻下，通过溶质扩散方程求解液相成分(单位：wt％)：

\frac{{&PartialD; C}_{L}}{&PartialD; t} = D_{L} (\frac{{&PartialD;}^{2} C_{L}}{{&PartialD; x}^{2}} + \frac{{&PartialD;}^{2} C_{L}}{{&PartialD; y}^{2}});

在Os时刻，

C_{L}^{Os} = C_{o};

对于固液界面网格

C_{L} = C_{L}^{*};

在t_i时刻下，固液界面处的曲率和生长角度因子分别为：

{\overset{&OverBar;}{k}}^{t_{i}} = \frac{1}{\sqrt{3} L} [1 - \frac{2}{6} Σ_{w = 1}^{6} f_{s}^{t_{i}} (w)],

{F (θ_{i})}^{t_{i}} = Π_{a = X, Y} (1 + 0.04 \cos ({4 θ}_{a}));

其中，θ为生长角度(单位：度)，θ_a表示当a＝X时枝晶与X轴之间的夹角或者当a＝Y时枝晶与Y轴之间的夹角，w表示固液界面所处六边形网格周围的邻居网格(w取值范围1～6,表示共有6个邻居网格)；

在t_i时刻下，固相分数为:

\begin{matrix} f_{s}^{t_{i}} = f_{s}^{t_{i} - Δt} + \frac{Δt}{\sqrt{3} L} ({V_{1 - left}}^{t_{i}} (j_{o}, k_{o}) + {V_{2 - right}}^{t_{i}} (j_{o}, k_{o}) + {V_{3 - upleft}}^{t_{i}} (j_{o}, k_{o}) \\ + {V_{4 - upright}}^{t_{i}} (j_{o}, k_{o}) + {V_{5 - downleft}}^{t_{i}} (j_{o}, k_{o}) + {V_{6 - downright}}^{t_{i}} (j_{o}, k_{o})) \\ - \frac{{(Δt)}^{2}}{{(\sqrt{3} L)}^{2}} [({V_{1 - left}}^{t_{i}} (j_{o}, k_{o}) + {V_{2 - right}}^{t_{i}} (j_{o}, k_{o})) \\ \times ({V_{3 - upleft}}^{t_{i}} (j_{o}, k_{o}) + {V_{6 - downright}}^{t_{i}} (j_{o}, k_{o})) \\ + ({V_{1 - left}}^{t_{i}} (j_{o}, k_{o}) + {V_{2 - right}}^{t_{i}} (j_{o}, k_{o})) \\ \times ({V_{4 - upright}}^{t_{i}} (j_{o}, k_{o}) + {V_{5 - downleft}}^{t_{i}} (j_{o}, k_{o})) \\ + ({V_{3 - upleft}}^{t_{i}} (j_{o}, k_{o}) + {V_{6 - downright}}^{t_{i}} (j_{o}, k_{o})) \\ \times ({V_{4 - upright}}^{t_{i}} (j_{o}, k_{o}) + {V_{5 - downleft}}^{t_{i}} (j_{o}, k_{o}))] \end{matrix}

(3)、跟踪密排六方镁合金一次枝晶臂不同时刻(t₂和t₁,t₂>t₁)下的长度，计算一次枝晶臂的生长速度(单位，ms^-1)，当枝晶生长达到稳定状态时，即V_tip不随时间的改变而发生变化，则确定ΔT所对应的枝晶生长速度V_tip；其中，为t₁时刻枝晶臂生长长度，为t₂时刻枝晶臂生长长度；

计算所需输入参数列于表1:

步骤六、改变镁合金熔体过冷度过冷度(从2℃增加至9℃，步长为1℃)，重复步骤五建立不同过冷度△T和镁合金枝晶臂生长速度V_tip的关系曲线；对关系曲线数据点进行指数拟合，建立镁合金枝晶臂生长速度为过冷度的函数如图6拟合曲线的数学表达式为其中，V_tip为镁合金枝晶臂生长速度，A、B和C为拟合曲线的拟合参数，e为自然对数的底，约为2.718，△T为过冷度；即完成了一种镁合金枝晶组织数值模拟的方法；

对比实验过程：

(1)将Mg-9.1wt％Al合金熔化，浇注到砂型中，所用的数据如表1；

(2)通过砂型传热，完成凝固；

(3)显微镜下进行组织观察，并且照金相照片如图4；本实验过程是根据《基于概率捕获模型的元胞自动机方法模拟镁合金枝晶生长过程》作者为付振南，许庆彦，熊守美；出自《中国有色金属学报》2007，No.10，1567-1573版；

本发明模拟的等轴晶如图3和实验结果如图4进行对比，说明本发明模拟的等轴晶比较准确,可以再现Mg合金(Mg-9.1wt％Al)合金生长特点；

在本发明的步骤四中，只要改变等轴晶形核位置和形核个数，这些晶粒在凝固过程中可以成长为柱状晶；而生长过程中的过冷度其中，为Mg合金熔体的冷却速度，单位℃/s，time为Mg合金熔体的凝固时间，所以本发明可以模拟实际凝固条件下的密排六方镁合金柱状晶生长。

实施例二

(8)、位于奇数行、标识为j_o＝n,，k_o＝odk,1<od_k<m,od_k为奇数行的六边形网格共有6个相邻网格，其标识分别为：

步骤四、在模拟镁合金枝晶组织模型的计算区域中确定六边形网格等轴晶形核个数为5、六边形网格等轴晶形核核心位置的网格标号分别为(5,500)、(105,500)、(205,500)、(305,500)、(405,500)、六边形网格等轴晶形核过冷度△T＝1℃和六边形网格等轴晶核心所处网格的固相分数；枝晶臂与X轴的夹角为生长取向如图5；其中，Mg-9.1wt％Al合金在凝固过程中在定向凝固条件为温度梯度为18℃/mm和抽拉速度5.3×10^-2mm/s作用下，Mg-9.1wt％Al合金熔体完成单向凝固，沿着与重力相反的方向凝固形成密排六方先析出相α-Mg柱状枝晶生长形貌的模拟结果；

对比实验过程

(1)将Mg-9.1wt％Al合金熔化，浇注到铸型中，所用的数据如表1；

(2)在确定某一温度梯度G(18℃/mm)和某一抽拉速度VT(5.3×10^-2mm/s)下完成合金凝固，且冷却速度(℃/s)约为1℃/s；

(3)抽拉到一定距离(2.1mm)时，进行水淬火，得到枝晶组织即密排六方镁合金柱状晶实验组织；

(4)显微镜下进行组织观察，并且照金相照片如图7本实验过程是根据《Dendriticsolidification of Magnesium alloy AZ91》作者为K.Pettersen,O.Lohne,N.Ryum出自《Metallurgical Transactions A》1990,21A,221-230版；

本发明模拟的柱状晶如图5和实验结果如图7进行对比，说明本发明模拟的柱状晶比较准确,可以再现Mg合金(Mg-9.1wt％Al合金)生长特点；

本发明还可有其它多种实施例，在不背离本发明精神及其实质的情况下，本领域技术人员当可根据本发明作出各种相应的改变和变形，但这些相应的改变和变形都应属于本发明所附的权利要求的保护范围。

Claims

1.一种镁合金枝晶组织数值模拟的方法，其特征在于：一种镁合金枝晶组织数值模拟的方法具体是按照以下步骤进行的：

步骤五、根据六边形网格等轴晶形核核心位置确定溶质扩散的起始位置，采用溶质扩散模型模拟等温条件下密排六方镁合金枝晶组织生长，得到镁合金枝晶臂生长速度V_tip；

2.根据权利要求1所述一种镁合金枝晶组织数值模拟的方法，其特征在于：步骤一中将镁合金枝晶生长计算域进行微观尺度网格剖分为：

(2)其余两个主对角线分别与X轴的夹角为30°和-30°；X轴方向上的六边形网格数为整数n>100，Y轴方向上的六边形网格数为整数m>100，且m为偶数；

(3)六边形网格的边长为L，相邻两个六边形网格的距离为

(4)每一个六边形网格用j,k标识，j的取值范围1～n，k的取值范围1～m，m，n为整数且m为偶数；j为模拟镁合金枝晶组织模型的计算区域中横排的序号，k为模拟镁合金枝晶组织模型的计算区域中纵排的序号。

3.根据权利要求1所述一种镁合金枝晶组织数值模拟的方法，其特征在于：步骤三中将每一个六边形网格或六边形半网格赋予邻居对象为:

(5)、位于偶数行、标识为j_o＝1，k_o＝e_k,1<e_k<m,e_k为偶数行的六边形网格共有6个相邻网格，其标识分别为：N_1-left(j＝n,k＝k_o)、N_2-right(j＝j_o+1,k＝k_o),N_3-upleft(j＝n,k＝k_o-1)、N_4-upright(j＝j_o,k＝k_o-1)、N_5-downleft(j＝n,k＝k_o+1)和N_6-downright(j＝j_o,k＝k_o+1)；

(12)、位于奇数行、标识为j_o＝f_j，k_o＝od_k,1<f_j<n，1<od_k<m，od_k为奇数行的六边形网格共有6个相邻网格，其标识分别为：N_1-left(j＝j_o-1,k＝k_o)、N_2-right(j＝j_o+1,k＝k_o)、N_3-upleft(j＝j_o,k＝k_o-1)、N_4-upright(j＝j_o+1,k＝k_o-1)、N_5-downleft(j＝j_o,k＝k_o+1)和N_6-downright(j＝j_o+1,k＝k_o+1)；

其中下角标1-left为六边形网格左侧相邻网格，2-right为六边形网格右侧相邻网格，3-upleft为六边形网格左上方相邻网格，4-upright为六边形网格右上方相邻网格，5-downleft为六边形网格左下方相邻网格，6-downright为六边形网格右下方相邻网格；下角标1、2、3、4、5、6为在模拟镁合金枝晶组织模型的计算区域中确定标识为(j_o，k_o)的六边形网格周边有6个相邻的六边形网格的序号。

4.根据权利要求1所述一种镁合金枝晶组织数值模拟的方法，其特征在于：步骤五中采用溶质扩散模型模拟等温条件下密排六方镁合金枝晶组织生长过程为：

(1)、设定镁合金熔体过冷度，每一个时刻t_i下的温度为T_i＝T_L-△T，每一个网格具有相同的温度T_i；T_L为液相线温度，△T为设定的过冷度；

(2)在时刻t_i下,设定六边形网格的标识为j_o，k_o采用溶质扩散模型计算六边形网格左侧相邻网格生长速度V_1-left、六边形网格右侧相邻网格生长速度V_2-right、六边形网格左上方相邻网格生长速度V_3-upleft、六边形网格右上方相邻网格生长速度V_4-upright、六边形网格左下方相邻网格生长速度V_5-downleft、六边形网格右下方相邻网格生长速度V_6-downright；

{V_{1 - left}}^{t_{i}} (j_{o}, k_{o}) = \frac{D_{L}}{(\sqrt{3} L) (1 - pk)} (\frac{C_{L}^{t_{i} *} (j_{o}, k_{o}) - C_{L}^{t_{i}} (j_{1 - left}, k_{1 - left})}{C_{L}^{t_{i} *} (j_{o}, k_{o})}) (1 - f_{s}^{t_{i}} (j_{1 - left}, k_{1 - left}))

{V_{2 - right}}^{t_{i}} (j_{o}, k_{o}) = \frac{D_{L}}{(\sqrt{3} L) (1 - pk)} (\frac{C_{L}^{t_{i} *} (j_{o}, k_{o}) - C_{L}^{t_{i}} (j_{2 - right}, k_{2 - right})}{C_{L}^{t_{i} *} (j_{o}, k_{o})}) (1 - f_{s}^{t_{i}} (j_{2 - right}, k_{2 - right}))

{V_{3 - upleft}}^{t_{i}} (j_{o}, k_{o}) = \frac{D_{L}}{(\sqrt{3} L) (1 - pk)} (\frac{C_{L}^{t_{i} *} (j_{o}, k_{o}) - C_{L}^{t_{i}} (j_{3 - upleft}, k_{3 - upleft})}{C_{L}^{t_{i} *} (j_{o}, k_{o})}) (1 - f_{s}^{t_{i}} (j_{3 - upleft}, k_{3 - upleft}))

{V_{4 - upright}}^{t_{i}} (j_{o}, k_{o}) = \frac{D_{L}}{(\sqrt{3} L) (1 - pk)} (\frac{C_{L}^{t_{i} *} (j_{o}, k_{o}) - C_{L}^{t_{i}} (j_{4 - upright}, k_{4 - upright})}{C_{L}^{t_{i} *} (j_{o}, k_{o})}) (1 - f_{s}^{t_{i}} (j_{4 - upright}, k_{4 - upright}))

{V_{5 - downleft}}^{t_{i}} (j_{o}, k_{o}) = \frac{D_{L}}{(\sqrt{3} L) (1 - pk)} (\frac{C_{L}^{t_{i} *} (j_{o}, k_{o}) - C_{L}^{t_{i}} (j_{5 - downleft}, k_{5 - downleft})}{C_{L}^{t_{i} *} (j_{o}, k_{o})}) (1 - f_{s}^{t_{i}} (j_{5 - downleft}, k_{5 - downleft}))

{V_{6 - downright}}^{t_{i}} (j_{o}, k_{o}) = \frac{D_{L}}{(\sqrt{3} L) (1 - pk)} (\frac{C_{L}^{t_{i} *} (j_{o}, k_{o}) - C_{L}^{t_{i}} (j_{6 - downright}, k_{6 - downright})}{C_{L}^{t_{i} *} (j_{o}, k_{o})}) (1 - f_{s}^{t_{i}} (j_{6 - downright}, k_{6 - downright}))

其中，L为六边形网格边长单位为m；pk为溶质平衡分配系数，下脚标L为液相；下脚标s为固相；六边形网格(j_o，k_o)为在0～1的六边形网格周围邻居的固相分数的六边形网格的标识，D_L液相中溶质扩散系数单位为m²s^-1；在t_i时刻下，固相分数为

在t_i时刻下，固液界面的溶质成分为：

C_{L}^{t_{i} *} (j_{o}, k_{o}) = \frac{T_{L} + m_{L} C_{o} - T_{i} - Γ {\overset{&OverBar;}{k}}^{t_{i}} F {(θ_{i})}^{t_{i}}}{m_{L}};

其中T_L为液相线温度；m_L为液相线斜率；C_o为镁合金初始成分；T_i为当前时刻下温度；Γ为Gibbs-Thomson系数；为固液界面处曲率；F(θ_i)为生长角度因子；下脚标L表示液相；

在t_i时刻下，通过溶质扩散方程求解液相成分在0s时刻液相成分，对于固液界面网格其中，固液界面的溶质成分；

在t_i时刻下，固液界面处的曲率和生长角度因子分别为：

{\overset{&OverBar;}{k}}^{t_{i}} = \frac{1}{\sqrt{3} L} [1 - \frac{2}{6} Σ_{w = 1}^{6} f_{s}^{t_{i}} (w)],

{F (θ_{i})}^{t_{i}} = Π_{a = X, Y} (1 + 0.04 \cos ({4 θ}_{a}));

其中，θ为生长角度，θ_a表示当a＝X时枝晶与X轴之间的夹角或者当a＝Y时枝晶与Y轴之间的夹角，w表示固液界面所处六边形网格周围的邻居网格的个数；

在t_i时刻下，固相分数为:

\begin{matrix} f_{s}^{t_{i}} = f_{s}^{t_{i} - Δt} + \frac{Δt}{\sqrt{3} L} ({V_{1 - left}}^{t_{i}} (j_{o}, k_{o}) + {V_{2 - right}}^{t_{i}} (j_{o}, k_{o}) + {V_{3 - upleft}}^{t_{i}} (j_{o}, k_{o}) \\ + {V_{4 - upright}}^{t_{i}} (j_{o}, k_{o}) + {V_{5 - downleft}}^{t_{i}} (j_{o}, k_{o}) + {V_{6 - downright}}^{t_{i}} (j_{o}, k_{o})) \\ - \frac{{(Δt)}^{2}}{{(\sqrt{3} L)}^{2}} [({V_{1 - left}}^{t_{i}} (j_{o}, k_{o}) + {V_{2 - right}}^{t_{i}} (j_{o}, k_{o})) \\ \times ({V_{3 - upleft}}^{t_{i}} (j_{o}, k_{o}) + {V_{6 - downright}}^{t_{i}} (j_{o}, k_{o})) \\ + ({V_{1 - left}}^{t_{i}} (j_{o}, k_{o}) + {V_{2 - right}}^{t_{i}} (j_{o}, k_{o})) \\ \times ({V_{4 - upright}}^{t_{i}} (j_{o}, k_{o}) + {V_{5 - downleft}}^{t_{i}} (j_{o}, k_{o})) \\ + ({V_{3 - upleft}}^{t_{i}} (j_{o}, k_{o}) + {V_{6 - downright}}^{t_{i}} (j_{o}, k_{o})) \\ \times ({V_{4 - upright}}^{t_{i}} (j_{o}, k_{o}) + {V_{5 - downleft}}^{t_{i}} (j_{o}, k_{o}))] \end{matrix}

(3)、跟踪密排六方镁合金一次枝晶臂不同时刻(t₂和t₁,t₂>t₁)下的长度，计算一次枝晶臂的生长速度则确定△T所对应的镁合金枝晶臂生长速度V_tip；其中，为t₁时刻枝晶臂生长的长度，为t₂时刻枝晶臂生长的长度。