CN104008429B

CN104008429B - 一种航空发动机装配任务优先度排序方法

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Publication number: CN104008429B
Application number: CN201410231028.6A
Authority: CN
Inventors: 莫蓉; 李联辉; 常智勇; 孙惠斌; 万能
Original assignee: Northwestern Polytechnical University
Current assignee: Northwestern Polytechnical University
Priority date: 2014-05-28
Filing date: 2014-05-28
Publication date: 2017-04-12
Anticipated expiration: 2034-05-28
Also published as: CN104008429A

Abstract

本发明提供了一种航空发动机装配任务优先度排序方法，首先，依据任务属性的关联支配关系建立了属性层次模型并对指标进行量化表达，将各任务的属性值处理后得到规范化决策矩阵；确定指标权重时存在多种类型的权重计算方法，基于此提出了一种以离差平方和最小、加权指标值之和最大为优化目标的多类型权重平衡方法，得到指标的平衡权重；最后，由平衡权重和规范化决策矩阵，采用接触距离替代欧氏距离的改进TOPSIS法对加权规范化决策矩阵中的行向量进行排序，即得到各任务的优先度排序结果。本发明综合考虑并平衡多种类型的权重信息，能减少单类型赋权的信息损失，同时改进TOPSIS能克服传统方法的不足。

Description

一种航空发动机装配任务优先度排序方法

技术领域

本发明涉及装配任务规划领域，具体为一种航空发动机装配任务优先度排序方法。

背景技术

在激烈的市场竞争环境中，随着企业与用户之间的关系由卖方市场向买方市场转变，在保证质量的前提下用户对产品准时交付的要求越来越高。装配作为产品制造的最后环节和最为关键的环节之一，对交付往往产生直接影响。从制造系统建模的视角来看，航空发动机装配过程具有状态空间离散和事件驱动状态转移的特点，是一个典型的离散事件动态系统，其产品特性和行业特征使得准时保质交付已成为企业生存发展的关键要素。作为一种大型军用复杂产品，航空发动机的装配过程具有单件生产、手工作业为主、离散型流程、质量控制严格等特征，增加了生产决策和协调的难度，影响到准时交付目标的实现。

国内相关企业多以较为粗放的人工管理为主，即装配车间从管理部门获取月度计划并按台次分解为单机任务，将优先度较高的任务筛选出来进行排产，任务执行过程中通过人工监控进行协调。优先度排序是任务执行的前置步骤，在排产决策时应在有限资源下尽可能满足高优先度任务的交付时限要求，同时装配周期长、易受约束资源的干扰等特点使得低优先度任务的误投产可能会导致生产延滞的严重后果。任务的优先度指的是任务投入到生产序列之中的合理程度，由自身属性决定。因此，优先度排序对单个任务和批次计划的准时完成都会产生重要影响。目前决策者常采取定性的方法进行主观判断，往往使得排序效果较差且不同决策者的排序结果出入很大，同时决策者难以兼顾众多因素给出最合理的评判。目前，国内外相关研究多集中于调度算法、基于最小生产循环的任务多目标排序等方面，针对生产任务优先度排序方法的研究还较为少见。

在进行综合评价排序时，有多种类型的权重计算方法，使用单类型赋权容易造成权重信息缺失，而权重向量直接乘积的方法使得最终权重可能出现偏离；多权重算术平均的方法又不够合理，引入乘数因子的方法会加重决策者主观意愿。逼近理想解排序法(TOPSIS)常用来对加权标准化决策矩阵中各对象进行排序。该方法使用评价对象与理想点之间的欧氏距离来计算接近度，无法计算两理想点中垂线上评价对象的接近度，有时不能完全反映对象的优劣性。相应的解决办法主要包括用夹角余弦改进接近度、用垂面距离或矢量投影等替代欧氏距离、偏序排列等，但这些方法均存在一定不足。因此，采用科学合理的方法对任务优先度进行评价并排序，能使任务筛选结果更趋向于真实情况，并为排产决策提供支持，对于准时交付目标的实现有重要意义。

发明内容

为解决航空发动机装配车间生产任务优先度人为定性排序的效果差、多因素协调困难等问题，本发明提供了一种航空发动机装配任务优先度排序方法。

首先，依据任务属性的关联支配关系建立了属性层次模型并对指标进行量化表达，将各任务的属性值处理后得到规范化决策矩阵；确定指标权重时存在多种类型的权重计算方法，基于此提出了一种以离差平方和最小、加权指标值之和最大为优化目标的多类型权重平衡方法，得到指标的平衡权重；最后，由平衡权重和规范化决策矩阵，采用接触距离替代欧氏距离的改进TOPSIS法对加权规范化决策矩阵中的行向量进行排序，即得到各任务的优先度排序结果。本发明综合考虑并平衡多种类型的权重信息，能减少单类型赋权的信息损失，同时改进TOPSIS能克服传统方法的不足。

本发明的技术方案为：

所述一种航空发动机装配任务优先度排序方法，其特征在于：包括以下步骤：

步骤1：建立装配任务优先度的属性层次模型：

M＝{v₁,v₂,…,v₅,v_p,v_p+1,…,v_p+4,v_p+5,…,v_q,v_q+1,…,v_q+7}，M包含目标层L₁、属性层L₂、子属性层L₃、指标层L₄；

其中v₁表示总评价目标，v₁∈L₁；

v₂,v₃,v₄依次表示配料属性、产品属性和生产线属性，v₂,v₃,v₄∈L₂；

v₅,v₆,…,v_p依次表示各单元体配料子属性，v_p+1,v_p+2,v_p+3,v_p+4依次表示紧急性子属性、生产类型子属性、负载能力子属性和负载情况子属性，v₅,v₆,…,v_p,v_p+1,v_p+2,v_p+3,v_p+4∈L₃；p用于体现单元体个数；

v_p+5,v_p+6,…,v_q依次表示各部件配料状态指标，其指标值I_i用该部件已配备零组件数F_i与该部件所需零组件总数T_i的比值表示，即I_i＝F_i/T_i,p+5≤i≤q；q用于体现部件个数；

v_q+1,v_q+2依次表示产品紧急性指标、附加紧急性指标，紧急性从高到低分为特急、紧急、较急和普通四个级别，对应四级评语集{高，较高，较低，低}，取其等级值集为{4/5,3/5,2/5,1/5}，相应指标值I_q+1,I_q+2∈{4/5,3/5,2/5,1/5}；

v_q+3表示主生产类型指标，包括研制、批量生产、大修、维修和维护四种类型，对任务优先度的影响程度依次减弱，对应五级评语集{高，较高，中，较低，低}，取其等级值集为{5/6,4/6,3/6,2/6,1/6}，相应指标值I_q+3∈{5/6,4/6,3/6,2/6,1/6}；

v_q+4表示次生产类型指标，指任务对应产品的用户类型，不同用户类型对任务优先度的影响程度从强到弱的等级值集为{t/t+1,t-1/t+1,…,1/t+1}，相应指标值I_q+4∈{t/t+1,t-1/t+1,…,1/t+1}；t指用户方类型数目；

v_q+5,v_q+6,v_q+7依次表示负载最大值指标、负载裕值指标和负载率指标；若待评价各装配任务分别由d条生产线执行，对于将由生产线i(1≤i≤d)执行的某个任务，其生产线负载最大值指标、负载裕值指标和负载率指标的指标值依次为I_q+5＝LN_i/max{LN₁,LN₂,…,LN_d}，I_q+6＝(LN_i-rLN_i)/max{(LN₁–rLN₁)，I_q+7＝rLN_i/LN_i，LN_i为生产线i的负载最大值,rLN_i为生产线i的当前负载；

v_p+5,v_p+6,…,v_q,v_q+1,v_q+2,v_q+3,v_q+4,v_q+5,v_q+6,v_q+7∈L₄；

步骤2，建立规范化决策矩阵Z：

l为生产任务个数，m为评价指标个数，m＝q-p+3，得到指标决策矩阵为Y＝(y_i,j)_l×m；对于效益型指标，取对于成本型指标，取其中为第j个指标的最大值，为第j个指标的最小值；v_p+5,v_p+6,…,v_q,v_q+1,v_q+2,v_q+3,v_q+4,v_q+5,v_q+6为效益型指标，v_q+7为成本性指标；得到规范化决策矩阵Z＝(z_i,j)_l×m；

步骤3，计算指标的平衡权重：

由客观权重确定方法得到客观权重向量为依次为由客观权重确定方法得到的指标v_p+5,v_p+6,…,v_q,v_q+1,v_q+2,v_q+3,v_q+4,v_q+5,v_q+6,v_q+7的客观权重值，m＝q-p+3；

由主观权重确定方法得到主观权重向量为依次为由主观权重确定方法得到的指标v_p+5,v_p+6,…,v_q,v_q+1,v_q+2,v_q+3,v_q+4,v_q+5,v_q+6,v_q+7的主观权重值，m＝q-p+3；

最终的平衡权重向量为Θ＝[Θ₁,Θ₂,…,Θ_m]^T，Θ₁,Θ₂,…,Θ_m依次为指标v_p+5,v_p+6,…,v_q,v_q+1,v_q+2,v_q+3,v_q+4,v_q+5,v_q+6,v_q+7的平衡权重值，m＝q-p+3；Θ＝α₁Θ¹+α₂Θ²α₁,α₂依次为Θ¹,Θ²的平衡系数，α₁+α₂＝1,α₁,α₂≥0；

步骤3.1：计算平衡系数：

以多权重信息趋于一致为目标，建立数学模型为：

由Lagrange乘子法构造函数为：

式中λ为Lagrange因子，对α₁,α₂和λ分别求偏导置为零，得：

步骤3.2，计算平衡权重：

以离差平方和最小、加权指标值之和最大为目标，建立数学模型为：

可转化为：

由Lagrange乘子法构造函数为：

式中λ为Lagrange因子，对Θ₁,Θ₂,…,Θ_m和λ分别求偏导置为零，得：

相应得到

式中为惩罚函数；

若Θ₁,Θ₂,…,Θ_m≥0，则求得最终的平衡权重向量Θ＝[Θ₁,Θ₂,…,Θ_m]T；否则若存在Θ_u,…,Θ_t<0，则对于Θ_u<0，取调整因子γ_u>1，γ_u为整数，使得最后取γ＝max{γ_u,…,γ_t}，用替代ξ_k作为惩罚函数再次计算Θ₁,Θ₂,…,Θ_m，得到平衡权重向量Θ＝[Θ₁,Θ₂,…,Θ_m]^T；

步骤4，用接触距离替代欧氏距离对TOPSIS方法进行改进，对任务优先度的评价值进行排序：

由步骤2得到的规范化决策矩阵Z＝(z_i,j)_l×m和步骤3得到的平衡权重向量Θ＝[Θ₁,Θ₂,…,Θ_m]^T，将Z中每一行元素与平衡权重向量各元素对应相乘，得到加权规范化决策矩阵H＝(h_i,j)_l×m；相应得到正理想点为和负理想点为其中

步骤4.1：计算H的第i行Hⁱ,i＝1,2,…,l，与正理想点H⁺的接触度D(Hⁱ,H⁺)和接触距离d(Hⁱ,H⁺)：

分别将Hⁱ和H⁺的m个元素视为对应项，且在数量上有项为类同关系，有项为相反关系，有项为差异关系，则Hⁱ与H⁺的接触度表示为其中Δ,Ω,Ψ依次为类同、相反和差异关系的符号；

取而

其中则当时，当

得到Hⁱ与正理想点H⁺的接触距离

步骤4.2：计算H的第i行Hⁱ,i＝1,2,…,l,与负理想点H^-的接触度D(Hⁱ,H^-)和接触距离d(Hⁱ,H^-)：

分别将Hⁱ和H^-的m个元素视为对应项，且在数量上有项为类同关系，有项为相反关系，有项为差异关系，则Hⁱ与H-的接触度表示为

设而

其中则当时，当

得到Hⁱ与负理想点H^-的接触距离

步骤4.3，计算Hⁱ与理想点的相对逼近度为

步骤4.4，重复步骤4.1、4.2、4.3，依次计算出各排序对象{H¹,H²,…,H^l}与理想点的相对逼近度后，按从大到小排列，得到l个装配任务的优先度排序结果。

有益效果

本发明提供了一种生产任务优先度的排序方法，其有益效果包括：

(1)将定性的评判转化为定量的表示，能够解决航空发动机装配车间生产任务优先度人为定性排序的效果差、多因素协调困难等问题；

(2)多种类型的权重计算方法均有一定的合理性，若单独使用某种方法存在赋权信息的损失，综合考虑多种类型的权重信息得到的平衡权重减少单类型赋权的信息损失，比权重向量直接乘积法、多权重算术平均法、乘数因子法更为合理；

(3)用接触距离替代欧氏距离的改进TOPSIS能克服传统TOPSIS法和夹角余弦法、垂面距离法、矢量投影法、偏序排列法等的不足；

(4)方法简便且易于编程实现。

附图说明

图1是属性层次模型。

图2是求解实施例的过程中实际的属性层次模型。

具体实施方式

下面结合具体实施例描述本发明：

本实施例中，某企业航空发动机装配车间承担某型航空发动机的研制、批量生产、维修、大修等四种生产类型的装配任务，有三条生产线PL₁,PL₂,PL₃，负载最大值依次为5、10、8，当前负载依次为3、7、4，单位为个。不同类型的任务在三条生产线上混合执行。整机的用户方包括CAC公司、SAC公司和XAC公司(对任务优先度的影响程度依次从强到弱，指标值依次为0.75,0.50,0.25)。该型航空发动机包括三个单元体(ET₁,ET₂,ET₃)，单元体ET₁对应部件P₁，单元体ET₂对应部件P₂，单元体ET₃对应部件P₃,P₄。批次计划中共有五个装配任务T₁,T₂,T₃,T₄,T₅，分别由生产线PL₂,PL₁,PL₃,PL₃,PL₁执行。指标值如下表所示，其中v₂₂为成本型，其余为效益型。

实施步骤如下：

步骤1：建立装配任务优先度的属性层次模型：M＝{v₁,v₂,…,v₂₂}，如附图2所示。实际的M包含目标层L₁、属性层L₂、子属性层L₃、指标层L₄；

其中v₁表示总评价目标，v₁∈L₁；

v_q+5,v_q+6,v_q+7依次表示负载最大值指标、负载裕值指标和负载率指标；若待评价各装配任务分别由d条生产线执行，对于将由生产线i(1≤i≤d)执行的某个任务，其生产线负载最大值指标、负载裕值指标和负载率指标的指标值依次为I_q+5＝LN_i/max{LN₁,LN₂,…,LN_d}，I_q+6＝(LN_i-rLN_i)/max{(LN₁–rLN₁)，I_q+7＝rLN_i/LN_i，LN_i为生产线i的负载最大值，rLN_i为生产线i的当前负载；

v_p+5,v_p+6,…,v_q,v_q+1,v_q+2,v_q+3,v_q+4,v_q+5,v_q+6,v_q+7∈L₄。

步骤2，建立规范化决策矩阵Z：

l为生产任务个数，m为评价指标个数，m＝q-p+3，得到指标决策矩阵为Y＝(y_i,j)_l×m；对于效益型指标，取对于成本型指标，取其中为第j个指标的最大值，m_jin(y_i,j)为第j个指标的最小值；v_p+5,v_p+6,…,v_q,v_q+1,v_q+2,v_q+3,v_q+4,v_q+5,v_q+6为效益型指标，v_q+7为成本性指标；得到规范化决策矩阵Z＝(z_i,j)_l×m。

本实施例有5个生产任务，11个评价指标，可得指标决策矩阵为：

规范化决策矩阵为：

步骤3，计算指标的平衡权重：

由客观权重确定方法得到客观权重向量为依次为由客观权重确定方法得到的指标v_p+5,v_p+6,…,v_q,v_q+1,v_q+2,v_q+3,v_q+4,v_q+5,v_q+6,v_q+7的客观权重值，m＝q-p+3。客观权重确定方法由本领域公知的方法得到，参考文献【1】倪九派,李萍,魏朝富,等.基于AHP和熵权法赋权的区域土地开发整理潜力评价[J].农业工程学报,2009(5):202-209.【2】孙凯,鞠晓峰,李煜华.基于变异系数法的企业孵化器运行绩效评价[J].哈尔滨理工大学学报,2007,12(3):165-167。

由主观权重确定方法得到主观权重向量为依次为由主观权重确定方法得到的指标v_p+5,v_p+6,…,v_q,v_q+1,v_q+2,v_q+3,v_q+4,v_q+5,v_q+6,v_q+7的主观权重值，m＝q-p+3。主观权重确定方法由本领域公知的方法得到，参考文献【1】倪九派,李萍,魏朝富,等.基于AHP和熵权法赋权的区域土地开发整理潜力评价[J].农业工程学报,2009(5):202-209.【2】荆全忠,姜秀慧,杨鉴淞,等.基于层次分析法(AHP)的煤矿安全生产能力指标体系研究[J].中国安全科学学报,2006,16(9):74-79.

最终的平衡权重向量为Θ＝[Θ₁,Θ₂,…,Θ_m]^T，Θ₁,Θ₂,…,Θ_m依次为指标v_p+5,v_p+6,…,v_q,v_q+1,v_q+2,v_q+3,v_q+4,v_q+5,v_q+6,v_q+7的平衡权重值，m＝q-p+3；Θ＝α₁Θ¹+α₂Θ²α₁,α₂依次为Θ¹,Θ²的平衡系数，α₁+α₂＝1,α₁,α₂≥0。

本实施例中用2种权重确定方法的得到的权重向量分别为Θ¹＝[0.0966,0.0870,0.0918,0.1160,0.0903,0.0895,0.0903,0.0869,0.0846,0.0854,0.0816]^T，Θ²＝[0.3208,0.1331,0.0976,0.1906,0.0468,0.0119,0.0233,0.0148,0.0375,0.0601,0.0635]^T，平衡权重向量为Θ＝[Θ₁,Θ₂,…,Θ₁₁]^T

步骤3.1：计算平衡系数：

以多权重信息趋于一致为目标，建立数学模型为：

由Lagrange乘子法构造函数为：

对应本实施例

步骤3.2，计算平衡权重：

可转化为：

由Lagrange乘子法构造函数为：

相应得到

存在Θ₁,Θ₄,Θ₅,Θ₇<0，则全局调整因子γ＝5，用替代作为惩罚函数再次计算得：

最后算得平衡权重向量为Θ＝[0.1472,0.1197,0.0932,0.0041,0.0497,0.0592,0.0396,0.0673,0.1024,0.1276,0.1900]^T。

由步骤2得到的规范化决策矩阵Z＝(z_i,j)_5×11和步骤3得到的平衡权重向量Θ＝[Θ₁,Θ₂,…,Θ_m]^T，将Z中每一行元素与平衡权重向量各元素对应相乘，得到加权规范化决策矩阵H＝(h_i,j)_l×m；

相应得到正理想点H⁺＝(0.1472,0.1197,0.0932,0.0041,0.0497,0.0592,0.0396,0.0673,0.1024,0.1276,0.1900)，负理想点H-＝(0.0294,0.0391,0.0214,0.0005,0.0249,0.0148,0.0079,0.0224,0.0512,0.0638,0.1357)。

取而

其中则当时，当

得到Hⁱ与正理想点H⁺的接触距离

分别将Hⁱ和H^-的m个元素视为对应项，且在数量上有项为类同关系，有项为相反关系，有项为差异关系，则Hⁱ与H^-的接触度表示为

设而

其中则当时，当

得到Hⁱ与负理想点H^-的接触距离

步骤4.3，计算Hⁱ与理想点的相对逼近度为

本实施例中：

步骤4.1，计算H的第1行H¹＝[0.1472 0.0706 0.0864 0.0041 0.0497 0.04440.0396 0.0673 0.1024 0.0957 0.1357]与正理想点H⁺的接触度D(H¹,H⁺)和接触距离d(H¹,H⁺)：

分别将H¹和H⁺的11个元素视为对应项，设在数量上有项相差极小(类同关系)，有项相差极大(相反关系)，有项相差处于极大与极小之间(差异关系)，

于是H¹与H⁺的接触度可表示为其中Δ,Ω,Ψ依次为类同、相反和差异关系的符号。

设而其中则

当时，当

于是，D(H¹,H⁺)＝9.0168·Δ+1.0000·Ω+0.9832·Ψ。

算得H¹与正理想点H⁺的接触距离d(H¹,H⁺)＝8.1386。

步骤4.2，计算H的第1行H¹＝[0.1472 0.0706 0.0864 0.0041 0.0497 0.04440.0396 0.0673 0.1024 0.0957 0.1357]与负理想点H^-的接触度D(H¹,H^-)和接触距离d(H¹,H^-)：

分别将H¹和H^-的11个元素视为对应项，设在数量上有项相差极小(类同关系)，有项相差极大(相反关系)，有项相差处于极大与极小之间(差异关系)，

于是H¹与H^-的接触度可表示为其中Δ,Ω,Ψ依次为类同、相反和差异关系的符号。

设而其中则

当时，当

于是，D(H¹,H^-)＝2.8015·Δ+6.0000·Ω+2.1985·Ψ。

算得H¹与正理想点H^-的接触距离d(H¹,H^-)＝6.6392。

步骤4.3，计算H¹与理想点的相对逼近度为

步骤4.4，重复步骤4.1、4.2、4.3，依次计算出H²,H³,H⁴,H⁵与理想点的相对逼近度为KC₂＝0.5298，KC₃＝0.4763，KC₄＝0.4433，KC₅＝0.5428，从而得到5个装配任务T₁,T₂,T₃,T₄,T₅的优先度的排序结果为T₅＞T₂＞T₃＞T₁＞T₄。

Claims

1.一种航空发动机装配任务优先度排序方法，其特征在于：包括以下步骤：

步骤1：建立装配任务优先度的属性层次模型：

其中v₁表示总评价目标，v₁∈L₁；

v_p+5,v_p+6,…,v_q,v_q+1,v_q+2,v_q+3,v_q+4,v_q+5,v_q+6,v_q+7∈L₄；

步骤2，建立规范化决策矩阵Z：

l为生产任务个数，m为评价指标个数，m＝q-p+3，得到指标决策矩阵为Y＝(y_i,_j)_l×m；对于效益型指标，取对于成本型指标，取其中为第j个指标的最大值，为第j个指标的最小值；v_p+5,v_p+6,…,v_q,v_q+1,v_q+2,v_q+3,v_q+4,v_q+5,v_q+6为效益型指标，v_q+7为成本性指标；得到规范化决策矩阵Z＝(z_i,_j)_l×m；

步骤3，计算指标的平衡权重：

最终的平衡权重向量为Θ＝[Θ₁,Θ₂,…,Θ_m]^T，Θ₁,Θ₂,…,Θ_m依次为指标vp+5,v_p+6,…,v_q,v_q+1,v_q+2,v_q+3,v_q+4,v_q+5,v_q+6,v_q+7的平衡权重值，m＝q-p+3；Θ＝α₁Θ¹+α₂Θ²α₁,α₂依次为Θ¹,Θ²的平衡系数，α₁+α₂＝1,α₁,α₂≥0；

步骤3.1：计算平衡系数：

以多权重信息趋于一致为目标，建立数学模型为：

\min Σ_{i = 1}^{l} Σ_{j = 1}^{m} {(z_{i, j} \cdot α_{1} Θ_{j}^{1} - z_{i, j} \cdot α_{2} Θ_{j}^{2})}^{2}, s . t . Σ_{k = 1}^{2} α_{k} = 1, α_{k} &GreaterEqual; 0 (k = 1, 2)

由Lagrange乘子法构造函数为：

F (α_{1}, α_{2}, λ) = Σ_{i = 1}^{l} Σ_{j = 1}^{m} {(z_{i, j} \cdot α_{1} Θ_{j}^{1} - z_{i, j} \cdot α_{2} Θ_{j}^{2})}^{2} + λ (Σ_{k = 1}^{2} α_{k} - 1)

\{\begin{matrix} α_{1} = \frac{Σ_{i = 1}^{l} Σ_{j = 1}^{m} {(z_{i, j})}^{2} \cdot Θ_{j}^{2} \cdot (Θ_{j}^{1} + Θ_{j}^{2})}{Σ_{i = 1}^{l} Σ_{j = 1}^{m} {(z_{i, j})}^{2} \cdot {(Θ_{j}^{1} + Θ_{j}^{2})}^{2}} \\ α_{2} = \frac{Σ_{i = 1}^{l} Σ_{j = 1}^{m} {(z_{i, j})}^{2} \cdot Θ_{j}^{1} \cdot (Θ_{j}^{1} + Θ_{j}^{2})}{Σ_{i = 1}^{l} Σ_{j = 1}^{m} {(z_{i, j})}^{2} \cdot {(Θ_{j}^{1} + Θ_{j}^{2})}^{2}} \end{matrix}

步骤3.2，计算平衡权重：

\min Σ_{j = 1}^{m} (α_{1} {(Θ_{j} - Θ_{j}^{1})}^{2} + α_{2} {(Θ_{j} - Θ_{j}^{2})}^{2}), \max Σ_{i = 1}^{l} Σ_{j = 1}^{m} z_{i, j} Θ_{j}, s . t . Σ_{j = 1}^{m} Θ_{j} = 1, Θ_{j} &GreaterEqual; 0 (j = 1, 2, ..., m)

可转化为：

\min (Σ_{j = 1}^{m} (α_{1} {(Θ_{j} - Θ_{j}^{1})}^{2} + α_{2} {(Θ_{j} - Θ_{j}^{2})}^{2}) - Σ_{i = 1}^{l} Σ_{j = 1}^{m} z_{i, j} Θ_{j}), s . t . Σ_{j = 1}^{m} Θ_{j} = 1, Θ_{j} &GreaterEqual; 0 (j = 1, 2, ..., m)

由Lagrange乘子法构造函数为：

F (Θ_{1}, Θ_{2}, ..., Θ_{m}, λ) = Σ_{j = 1}^{m} (α_{1} {(Θ_{j} - Θ_{j}^{1})}^{2} + α_{2} {(Θ_{j} - Θ_{j}^{2})}^{2}) - Σ_{i = 1}^{l} Σ_{j = 1}^{m} z_{i, j} Θ_{j} + λ (Σ_{j = 1}^{m} Θ_{j} - 1)

\{\begin{matrix} 2 Θ_{1} + λ = 2 (α_{1} Θ_{1}^{1} + α_{1} Θ_{1}^{2}) + Σ_{i = 1}^{l} z_{i, 1} \\ 2 Θ_{2} + λ = 2 (α_{1} Θ_{2}^{1} + α_{2} Θ_{2}^{2}) + Σ_{i = 1}^{l} z_{i, 2} \\ ... \\ 2 Θ_{m} + λ = 2 (α_{1} Θ_{m}^{1} + α_{2} Θ_{m}^{2}) + Σ_{i = 1}^{l} z_{i, m} \\ Σ_{j = 1}^{m} Θ_{j} = 1 \end{matrix}

相应得到

\{\begin{matrix} Θ_{1} = (α_{1} Θ_{1}^{1} + α_{2} Θ_{1}^{2}) + ξ_{1} \\ Θ_{2} = (α_{1} Θ_{2}^{1} + α_{2} Θ_{2}^{2}) + ξ_{2} \\ ... \\ Θ_{m} = (α_{1} Θ_{m}^{1} + α_{2} Θ_{m}^{2}) + ξ_{m} \\ λ = \frac{1}{m} Σ_{i = 1}^{l} Σ_{j = 1}^{m} z_{i, j} \end{matrix}

式中为惩罚函数；

若Θ₁,Θ₂,…,Θ_m≥0，则求得最终的平衡权重向量Θ＝[Θ₁,Θ₂,…,Θ_m]^T；否则若存在Θ_u,…,Θ_t<0，则对于Θ_u<0，取调整因子γ_u>1，γ_u为整数，使得最后取γ＝max{γ_u,…,γ_t}，用替代ξ_k作为惩罚函数再次计算Θ₁,Θ₂,…,Θ_m，得到平衡权重向量Θ＝[Θ₁,Θ₂,…,Θ_m]^T；

取而

其中则当时，当

得到Hⁱ与正理想点H⁺的接触距离

设而

其中则当时，当

得到Hⁱ与负理想点H^-的接触距离

步骤4.3，计算Hⁱ与理想点的相对逼近度为