CN103954938B - 一种sar回波信号的多子带接收合成方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种SAR回波信号的多子带接收合成方法，该方法通过用匹配函数H_ncomp对相应子带的经过距离向匹配滤波的双频域数据进行方位向匹配滤波处理；在对各个子带的方位向数据进行IFFT，得到方位向压缩过的回波数据后进行距离向PGA处理，得到各个子带的距离向高次相位误差；对各个子带的经过距离向匹配滤波的双频域数据进行方位向的IFFT，用估计出的距离向的高次相位误差分别进行补偿；取出相邻子带的重叠部分进行共轭相乘运算，然后取其相位，并进行一阶拟合，得到常数和线性相位误差；用求得的低阶相位误差对相应的频带进行补偿，然后将补偿过的各子带的数据在方位时域距离频域内进行拼接，最终合成一个整个带宽内相干性都很好的超宽带信号。

Description

一种SAR回波信号的多子带接收合成方法

技术领域

本发明属于雷达成像技术领域，具体的说是一种SAR回波信号的多子带接收合成方法。

背景技术

合成孔径雷达(SAR)通过相干积累回波数据来获得高分辨率图像。它具有全天候、全天时、独立的距离向分辨率和远距离成像的特点。这些特点使得SAR能够显著地提高雷达的信息获取能力。合成孔径雷达的距离向分辨率由雷达系统发射的线性调频信号的带宽决定。在高分辨率合成孔径雷达系统中，为了保证距离向的分辨率，所需要的带宽通常可以达到2GHz以上。

但是，如果直接接收一个超宽带的回波信号，要求接收机在整个带宽内有非常平坦的幅频响应，其相频响应也应该近似为一条通过原点的直线。然而，在实际的雷达系统中，要使雷达接收机在相当大的带宽上保持理想的频响特性是比较困难的。因此，若用接收机直接接收一个超宽带的回波信号，频带的幅频和相频响应的不理想会导致回波信号不再保持线性调频特性，进而不能很好的进行距离向的压缩。另外接收放大器的增益带宽积为一个常数，所以实现宽频带信号的接收放大有一定的难度。频带合成多通道技术有效地解决了合成孔径雷达(SAR)系统中超宽带信号获取的技术难题，是一种实现距离向超高分辨率的重要技术途径。近年来发展的如多个发射机和接收机同时发射和接收多个子带信号、单个发射机和接收机顺次发射和接收步进频率信号等均属于频带合成多通道技术。频带合成多通道技术不仅可以减小发射机发射带宽和接收机接收带宽的压力，而且还可以大大降低了AD采样频率的压力。因此，该技术在提高距离向分辨率的同时也降低了对系统硬件的要求。但它是以增加发射机和接收机的复杂性来实现的。

这种通过多通道技术来减小发射机发射带宽和接收机接收带宽压力和降低AD采样频率压力的方法会在频带合成时带来一些问题。由于信号分割是在模拟域进行的，因此，各个子带不可避免的混入各种误差，该相位误差大致可以分为常数和线性相位误差以及高次相位误差，其必然会导致子带信号中的幅相失真，使得频带间的相干性下降，若直接进行频带合成，成像结果会变的很差。因此，幅相失真能否得到有效地补偿成为能否有效合成的关键。针对这一问题，提出了基于内定标信号的幅相误差校正方法、用自聚焦算法(PGA)补偿回波中的相位误差的方法等等。这些方法都是针对单个通道提出的。采用时域合成带宽方法也可实现超大带宽的合成。但是，该方法需要进行插值操作。

发明内容

本发明的目的是提供一种SAR回波信号的多子带接收合成方法，以解决各子带合成时不能相干叠加的问题，从而使经过补偿的频带合成后的回波在距离像上得到很好的压缩。

本发明的目的是这样实现的，一种SAR回波信号的多子带接收合成方法，其特征是：至少包括如下过程：

1)：对各个子带的经过距离向匹配滤波的双频域数据进行幅值均衡处理；

2)：用匹配函数H_ncomp对各个子带的经过距离向匹配滤波的双频域数据进行幅值均衡处理后的数据进行方位向匹配滤波处理；

3)：对步骤2)进行方位向匹配滤波处理后的数据进行IFFT，得到方位向压缩过的回波数据；

4)：对步骤3)中得到方位向压缩过的回波数据进行距离向PGA处理，得到各个子带的距离向高次相位误差；

5)：对步骤1)各个子带的经过距离向匹配滤波的双频域数据进行幅值均衡处理后的数据进行方位向的IFFT，用距离向的高次相位误差分别进行补偿；

6)：取经过高次相位误差补偿过的相邻两子带的方位时域距离频域数据进行互相关运算，求出相邻子带的重叠频带；

7)：取出相邻子带的重叠部分进行共轭相乘运算，并将各距离向的共轭相乘结果沿方位向叠加以减弱噪声的影响；

8)：将步骤7)各距离向的共轭相乘结果沿方位向叠加后的结果进行取相位运算，并进行一阶拟合，得到常数和线性相位误差；

9)：用求得的常数和低阶相位误差对相应的频带进行补偿；

10)：将补偿过的各子带的数据在方位时域距离频域内进行拼接，最终合成一个整个带宽内相干性都很好的超宽带信号。

步骤2)中所述的用匹配函数H_ncomp对各个子带的经过距离向匹配滤波的双频域数据进行幅值均衡处理后的数据进行方位向匹配滤波处理，按照如下过程进行：

将每个子带的数据变换到双频域，在双频域中进行距离向幅值均衡、校正距离弯曲、去除距离向频域已知的二次相位后的回波方程为：

$\begin{array}{c}{S}_n(f_r,f_a;R_m)=\exp (-j\frac{2\mathrm{\π}}{v}{R}_m\sqrt{f_{naM}^2-f_a^2})\exp (-j2{\mathrm{\πf}}_a\frac{X_m}{v})\exp (-j\frac{4{\mathrm{\πR}}_m}{C}{f}_r)\\ \·\exp (j\·{\mathrm{\φ}}_{ne}(f_r\left)\right)\end{array}$

其中，f_naM＝2v/λ_n；

方位向压缩的匹配函数为：

$H_{ncomp}=\exp \[j\frac{2\mathrm{\π}}{v}{R}_s\sqrt{f_{naM}^2-f_a^2}\]$

其中，R_s为场景中心线到雷达天线相位中心距离；

经过方位向匹配滤波可以得到匹配后的表达式为：

$\begin{array}{c}{S}_{n\_comp}(f_r,f_a;R_m)=S_n(f_r,f_a;R_m)\·H_{ncomp}\\ =\exp (-j\frac{2\mathrm{\π}}{v}(R_m-R_s\left)\sqrt{f_{naM}^2-f_a^2}\right)\\ \·\exp (-j2{\mathrm{\πf}}_a\frac{X_m}{v})\exp (-j\frac{4{\mathrm{\πR}}_m}{C}{f}_r)\\ \·\exp (j\·{\mathrm{\φ}}_{ne}(f_r\left)\right)\end{array}---\left(1\right)$

步骤4)中所述的对各个子带的数据进行距离向PGA处理，得到各个子带的距离向高次相位误差，按照如下过程进行：

对(1)式做关于f_a的逆傅立叶变换可以得到：

$\begin{array}{c}{S}_{n\_comp}(f_r,t;R_m)\≈\exp (j\·{\mathrm{\φ}}_{ne}(f_r\left)\right)\exp (-j\frac{4{\mathrm{\πR}}_m}{C}{f}_r)\\ \·\sin c\left(B_d\right(t-\frac{X_m}{v}\left)\right)\end{array}---\left(2\right)$

其中，B_d表示该方位向子孔径的多普勒带宽，R_m表示散射点目标到雷达天线相位中心的垂直距离；

经过方位向压缩后，此时，每个方位单元所遭受到的距离向频域的相位误差都是一样的，由上式可以看出，此时距离向的数据由三部分构成，第一部分是相位误差项，第二部分是与f_r有关的线性相位项，第三部分是关于慢时间t的一个sinc函数，代表方位压缩后的散射点目标的方位向位置；如果在没有相位误差项的情况下，对上式做逆傅立叶变换就是一个理想的点目标的响应；而在存在相位误差项φ_ne(f_r)的条件下，对上式做逆傅立叶变换所得到的响应完全反映了相位误差φ_ne(f_r)的影响；因此，可以从上式中利用距离向PGA算法提取距离向的高次相位误差；

在实际操作中，距离向PGA算法需要经过IFFT，循环移位，加窗，FFT，相位误差估计，以及循环迭代等步骤；经过上述步骤可以估计得到距离向高次相位误差。

步骤7)、8)中所述的取出相邻子带的重叠部分进行共轭相乘运算，然后取其相位，并进行一阶拟合，得到常数和线性相位误差，按照如下过程进行：

取通道1与通道2的经过距离弯曲校正、匹配滤波、高次相位误差补偿后的距离频域方位时域信号的重叠部分，即：

$\begin{array}{c}{S_1}^{\′}\left(f_{r1}\right)=a\left(\frac{f_{r1}}{K_r}\right)\exp (-j\frac{4\mathrm{\π}(f_{r1}+f_C-B/2)R_m}{C})\\ f_{r1}\∈\[\frac{B}{2}-\mathrm{\Δ}f,\frac{B}{2}+\mathrm{\Δ}f\]\\ {S_2}^{\′}\left(f_{r2}\right)=a\left(\frac{f_{r2}}{K_r}\right)\exp (-j\frac{4\mathrm{\π}(f_{r2}+f_C+B/2)R_m}{C})\\ \·\exp (-j2\mathrm{\π}\mathrm{\Δ}t\·f_{r2})\\ f_{r2}\∈\[-\frac{B}{2}-\mathrm{\Δ}f,-\frac{B}{2}+\mathrm{\Δ}f\]\end{array}---\left(3\right)$

在(3)式中，f_r2与f_r1的关系为：f_r2＝f_r1-B，将此关系式代入上式，并且距离向频域的频率统一用f_r表示，则将相邻两个子带的重叠部分做共轭相乘运算，化简后为：

$\begin{array}{c}{S_1}^{\′}\left(f_r\right).*conj\left({S_2}^{\′}\right(f_r\left)\right)=\exp \left(j2\mathrm{\π}\mathrm{\Δ}t\right(f_r-B\left)\right)\\ f_r\∈\[\frac{B}{2}-\mathrm{\Δ}f,\frac{B}{2}+\mathrm{\Δ}f\]\end{array}---\left(4\right)$

取(4)式中的相位：

phase＝2πΔt(f_r-B)

＝2πΔtf_r-2πΔtB

＝k·f_r+b

其中，

式中k是斜率，b是截距，则由上述方法估计得到的线性相位误差的斜率为：2πΔt。

本发明的优点是：本发明通过用匹配函数H_ncomp对相应子带的经过距离向匹配滤波的双频域数据进行方位向匹配滤波处理；在对各个子带的方位向数据进行IFFT，得到方位向压缩过的回波数据后进行距离向PGA处理，得到各个子带的距离向高次相位误差；对各个子带的经过距离向匹配滤波的双频域数据进行方位向的IFFT，用估计出的距离向的高次相位误差分别进行补偿；取出相邻子带的重叠部分进行共轭相乘运算，然后取其相位，并进行一阶拟合，得到常数和线性相位误差；用求得的低阶相位误差对相应的频带进行补偿，然后将补偿过的各子带的数据在方位时域距离频域内进行拼接，最终合成一个整个带宽内相干性都很好的超宽带信号。

附图说明

图1是本发明的频带合成方法流程图；

图2是适应于本发明的雷达系统的接收通道频带分割方法示意图。从该示意图中可以看出，本发明所采用的频带合成多通道技术具体是指雷达发射机发射一个整个带宽的信号，接收机接收时在频域内分不同的两个子带分别接收，然后再将各个子带进行合成，从而得到一个大带宽的回波信号的技术。

图3是正侧视SAR模式几何关系图。在图3中，θ_BW是天线波束宽度，v是载机速率，t是慢时间，L是合成孔径长度，R_m是散射点目标的到雷达天线相位中心的垂直距离，点目标位于P点，X_m表示O与P点的方位向距离。在零时刻，雷达天线相位中心位于点APC，波束中心指向点O。在t时刻，雷达天线相位中心位于点APC'，天线波束中心指向O'。

图4为从实测数据中估计出的高次相位误差图，该SAR雷达系统分两个通道接收数据，每个通道的高次相位误差如图4所示。

图5是频带合成示意图，该图示意了雷达接收机分两个通道接收信号的频带合成方法。两子带数据的3dB带宽均为B，对通道1和通道2的信号分别进行频率幅度为的下移频和上移频处理，然后将两通道的信号在距离向频域合成一个大带宽的信号。

图6是实测数据成像结果图；

图7是从实测数据中提取的特显点目标的响应比较图。

附表说明

表1列出了几种评价图像聚焦效果优劣的参数对比。

具体实施方式

参照图1，本发明的过程如下：

(1)对各个子带的经过距离向匹配滤波的双频域数据进行幅值均衡处理；

考虑回波信号的距离频域中的高次相位，正侧视SAR模式下每个子带回波信号通过公式(1)表示：

$s_n\left(t_r\right)=A_n\·\[a_n(t_r-\frac{2R\left(t\right)}{C})\exp \left({\mathrm{j\πK}}_r{\left(t_r-\frac{2R\left(t\right)}{C}\right)}^2\right)\exp (-j\frac{4\mathrm{\π}R\left(t\right)}{{\mathrm{\λ}}_n})\]\⊗p_n\left(t_r\right)---\left(1\right)$

其中，A_n是目标回波的散射系数，a_n是发射信号包络，t_r是快时间变量，C是光速，K_r表示线性调频信号的调频率，R(t)是散射点目标到雷达的距离，t是慢时间也就是多普勒时间变量。符号表示卷积，n表示该回波是第n个子带的回波，λ_n表示第n个子带的回波信号的中心频率所对应的波长，p_n(t_r)是第n个子带的频域中的高次相位的逆傅立叶变换，A_n表示第n个子带的某散射点目标回波信号的幅值。B为各个通道接收信号的3dB带宽。

将每个子带的数据变换到双频域，在双频域中进行距离向幅度均衡，校正距离弯曲，去除距离向频域已知的二次相位后回波方程为：

$\begin{array}{c}{S}_n(f_r,f_a;R_m)=\exp (-j\frac{2\mathrm{\π}}{v}{R}_m\sqrt{f_{naM}^2-f_a^2})\exp (-j2{\mathrm{\πf}}_a\frac{X_m}{v})\exp (-j\frac{4{\mathrm{\πR}}_m}{C}{f}_r)\\ \·\exp (j\·{\mathrm{\φ}}_{ne}(f_r\left)\right)\end{array}---\left(2\right)$

其中，f_naM＝2v/λ_n。

f_naM是第n个通道的多普勒频率的最大值，f_r是距离向频率坐标，f_a是方位向频率坐标变量，R_m是被测量点的距离坐标，v是载机的速度，v,X_m是被测点方位坐标。φ_ne(f_r)是第n个接收通道的相位误差。

(2)用匹配函数H_ncomp对各个子带的经过距离向匹配滤波的双频域数据进行方位向匹配滤波处理；

用于方位向压缩的匹配函数为：

$H_{ncomp}=\exp \[j\frac{2\mathrm{\π}}{v}{R}_s\sqrt{f_{naM}^2-f_a^2}\]---\left(3\right)$

其中，R_s为场景中心线到雷达天线相位中心的距离。

采用式(3)对式(2)进行方位向匹配滤波可以得到匹配后的表达式为：

$\begin{array}{c}{S}_{n\_comp}(f_r,f_a;R_m)=S_n(f_r,f_a;R_m)\·H_{ncomp}\\ =\exp (-j\frac{2\mathrm{\π}}{v}(R_m-R_s\left)\sqrt{f_{naM}^2-f_a^2}\right)\\ \·\exp (-j2{\mathrm{\πf}}_a\frac{X_m}{v})\exp (-j\frac{4{\mathrm{\πR}}_m}{C}{f}_r)\\ \·\exp (j\·{\mathrm{\φ}}_{ne}(f_r\left)\right)\end{array}---\left(4\right)$

(3)对步骤(2)进行方位向匹配滤波处理后的数据进行IFFT，得到方位向压缩过的回波数据；

对式(4)做关于f_a的逆傅立叶变换可以得到：

$\begin{array}{c}{S}_{n\_comp}(f_r,t;R_m)\≈\exp (j\·{\mathrm{\φ}}_{ne}(f_r\left)\right)\exp (-j\frac{4{\mathrm{\πR}}_m}{C}{f}_r)\\ \·\sin c\left(B_d\right(t-\frac{X_m}{v}\left)\right)\end{array}---\left(5\right)$

其中，B_d表示该方位向子孔径的多普勒带宽。

经过方位向压缩后，此时，每个方位单元所遭受到的距离向频域的相位误差都是一样的，由上式可以看出，此时距离向的数据由三部分构成，第一部分是相位误差项，第二部分是与f_r有关的线性相位项，第三部分是关于慢时间t的一个sinc函数，代表方位压缩后的散射点目标的方位向位置。如果在没有相位误差项的情况下，对上式做逆傅立叶变换就是一个理想的点目标的响应。而在存在相位误差项φ_ne(f_r)的条件下，对上式做逆傅立叶变换所得到的响应完全反映了相位误差φ_ne(f_r)的影响。因此可以从上式中提取距离向的高次相位误差。

(4)对步骤(3)各个子带的数据进行距离向PGA处理，得到各个子带的距离向高次相位误差；

(5)

5.1对步骤(1)各个子带的经过距离向匹配滤波的双频域数据进行幅值均衡处理后的数据进行方位向的IFFT；

5.2用距离向的高次相位误差分别进行补偿；

经过距离向高次相位误差补偿后的方位时域距离频域的回波方程为：

$S_n\left(f_r\right)=a\left(\frac{f_r}{K_r}\right)\exp (-j\frac{4\mathrm{\π}(f_r+f_{Cn})R_m}{C})---\left(6\right)$

其中，K_r为线性调频信号的调频率，f_Cn表示第n个子带的回波信号的中心频率。

(6)取经过高次相位误差补偿过的相邻两子带的方位时域距离频域数据进行互相关运算，求出相邻子带的重叠频带；

通道1接收的回波信号经过距离向匹配滤波后的方位时域距离频域表达式为：

$\begin{array}{c}{S}_1\left(f_r\right)=a\left(\frac{f_r}{K_r}\right)\exp (-j\frac{4\mathrm{\π}(f_r+f_C-B/2)R_m}{C})\\ f_r\∈\[-\frac{B}{2},\frac{B}{2}\]\end{array}---\left(7\right)$

上式中f_C是载波频率。

若对通道2接收的信号进行AD采样时与通道1相比存在延时Δt，则通道2接收的回波信号经过距离向匹配滤波后的方位时域距离频域表达式为：

$\begin{array}{c}{S}_2\left(f_r\right)=a\left(\frac{f_r}{K_r}\right)\exp (-j\frac{4\mathrm{\π}(f_r+f_C+B/2)R_m}{C})\\ \·\exp (-j2\mathrm{\π}\mathrm{\Δ}t\·f_r)\\ f_r\∈\[-\frac{B}{2},\frac{B}{2}\]\end{array}---\left(8\right)$

取S₁(f_r)与S₂(f_r)的重叠部分，即：

$\begin{array}{c}{S_1}^{\′}\left(f_{r1}\right)=a\left(\frac{f_{r1}}{K_r}\right)\exp (-j\frac{4\mathrm{\π}(f_{r1}+f_C-B/2)R_m}{C})\\ f_{r1}\∈\[\frac{B}{2}-\mathrm{\Δ}f,\frac{B}{2}+\mathrm{\Δ}f\]\\ {S_2}^{\′}\left(f_{r2}\right)=a\left(\frac{f_{r2}}{K_r}\right)\exp (-j\frac{4\mathrm{\π}(f_{r2}+f_C+B/2)R_m}{C})\\ \·\exp (-j2\mathrm{\π}\mathrm{\Δ}t\·f_{r2})\\ f_{r2}\∈\[-\frac{B}{2}-\mathrm{\Δ}f,-\frac{B}{2}+\mathrm{\Δ}f\]\end{array}---\left(9\right)$

其中，f_r1和f_r2是相邻两个通道的距离频率变量，相邻子带重叠部分的带宽为：ΔB＝2·Δf

(7)取出相邻子带的重叠部分，进行共轭相乘运算，并将各距离向的共轭相乘结果沿方位向叠加，以减弱噪声的影响；

式(9)中f_r2与f_r1的关系为：

f_r2＝f_r1-B (10)

将式(10)代入式(9)，并且距离向频域的频率统一用f_r表示，将相邻两个子带的重叠部分做共轭相乘运算，化简后为：

$\begin{array}{c}{S_1}^{\′}\left(f_r\right).*conj\left({S_2}^{\′}\right(f_r\left)\right)=\exp \left(j2\mathrm{\π}\mathrm{\Δ}t\right(f_r-B\left)\right)\\ f_r\∈\[\frac{B}{2}-\mathrm{\Δ}f,\frac{B}{2}+\mathrm{\Δ}f\]\end{array}---\left(11\right)$

(8)将步骤(7)各距离向的共轭相乘结果沿方位向叠加后的结果进行取相位运算，并进行一阶拟合，得到常数和线性相位误差；

对式(11)做取相位运算为：

$\begin{array}{c}phase=2\mathrm{\π}\mathrm{\Δ}t(f_r-B)\\ =2{\mathrm{\π\Δtf}}_r-2\mathrm{\π}\mathrm{\Δ}tB\\ =k\·f_r+b\end{array}---\left(12\right)$

其中，

则由上述方法估计得到的线性相位误差的斜率为：2πΔt。

(9)用求得的常数和线性相位误差对相应的重叠部分进行补偿；

首先将估计得到的相邻两通道信号的常数和线性相位误差补偿到其中的一个子带数据的重叠部分上，然后采用线性插值的方法从频带的重叠部分扩展到整个子带上。

(10)将补偿过的各子带的数据在方位时域距离频域内进行拼接，最终合成一个整个带宽内相干性都很好的超宽带信号。

频带和成示意图如图5所示。

说明：

假设有N个子带，两相邻子带之间的线性相位误差的斜率和常数相位误差分别为：

k_1,2,k_2,3……k_n-1,n,k_n,n+1……k_N-2,N-1,k_N-1,N

b_1,2,b_2,3……b_n-1,n,b_n,n+1……b_N-2,N-1,b_N-1,N

若从第二个子带开始补偿常数和线性相位误差，则第m个子带需要补偿的常数相位误差为：需要补偿的线性相位误差的斜率为：

表1

由图6的四幅图可以看出经过相位误差补偿后的成像结果要优于补偿前。说明了本发明对实测SAR数据的有效性。

从图7中的特显点目标的响应可以看出，当对各子带的常数、线性和高次相位误差补偿后，距离向的分辨率得到显著提高，旁瓣幅度也得到了抑制。

本实施例没有详细叙述的部件和工艺属本行业的公知部件和常用结构或常用手段，这里不一一叙述。

Claims (2)

1.一种SAR回波信号的多子带接收合成方法，其特征是：至少包括如下过程：

1)：对各个子带的经过距离向匹配滤波的双频域数据进行幅值均衡处理；

2)：用匹配函数H_ncomp对各个子带的经过距离向匹配滤波的双频域数据进行幅值均衡处理后的数据进行方位向匹配滤波处理；

3)：对步骤2)进行方位向匹配滤波处理后的数据进行IFFT，得到方位向压缩过的回波数据；

4)：对步骤3)中得到方位向压缩过的回波数据进行距离向PGA处理，得到各个子带的距离向高次相位误差；

5)：对步骤1)各个子带的经过距离向匹配滤波的双频域数据进行幅值均衡处理后的数据进行方位向的IFFT，用距离向的高次相位误差分别进行补偿；

6)：取经过高次相位误差补偿过的相邻两子带的方位时域距离频域数据进行互相关运算，求出相邻子带的重叠部分；

7)：取出相邻子带的重叠部分进行共轭相乘运算，并将各距离向的共轭相乘结果沿方位向叠加以减弱噪声的影响；

8)：将步骤7)各距离向的共轭相乘结果沿方位向叠加后的结果进行取相位运算，并进行一阶拟合，得到常数和线性相位误差；

9)：用求得的常数和线性相位误差对相应的重叠部分进行补偿；

10)：将补偿过的各子带的数据在方位时域距离频域内进行拼接，最终合成一个整个带宽内相干性都很好的超宽带信号。

2.根据权利要求1所述的SAR回波信号的多子带接收合成方法，其特征在于步骤2)中所述的用匹配函数H_ncomp对各个子带的经过距离向匹配滤波的双频域数据进行幅值均衡处理后的数据进行方位向匹配滤波处理，按照如下过程进行：

将每个子带的数据变换到双频域，在双频域中进行距离向幅值均衡、校正距离弯曲、去除距离向频域已知的二次相位后的回波方程为：

$\begin{array}{c}{S}_n(f_r,f_a;R_m)=\exp (-j\frac{2\mathrm{\π}}{v}{R}_m\sqrt{f_{naM}^2-f_a^2})\exp (-j2{\mathrm{\πf}}_a\frac{X_m}{v})\exp (-j\frac{4{\mathrm{\πR}}_m}{C}{f}_r)\\ \·\exp (j\·{\mathrm{\φ}}_{ne}(f_r\left)\right)\end{array}$

其中，f_naM＝2v/λ_n；f_naM是第n个通道的多普勒频率的最大值；λ_n表示第n个子带的回波信号的中心频率所对应的波长；

方位向压缩的匹配函数为：

$H_{ncomp}=\exp \[j\frac{2\mathrm{\π}}{v}{R}_s\sqrt{f_{naM}^2-f_a^2}\]$

其中，R_s为场景中心线到雷达天线相位中心距离；

经过方位向匹配滤波可以得到匹配后的表达式为：

$\begin{array}{c}{S}_{n\_comp}(f_r,f_a;R_m)=S_n(f_r,f_a;R_m)\·H_{ncomp}\\ =\exp (-j\frac{2\mathrm{\π}}{v}(R_m-R_s\left)\sqrt{f_{naM}^2-f_a^2}\right)\\ \·\exp (-j2{\mathrm{\πf}}_a\frac{X_m}{v})\exp (-j\frac{4{\mathrm{\πR}}_m}{C}{f}_r)\\ \·\exp (j\·{\mathrm{\φ}}_{ne}(f_r\left)\right)\end{array}---\left(1\right)$

其中，f_r是距离向频率坐标，f_a是方位向频率坐标变量，R_m是被测量点的距离坐标，v是载机的速度，X_m是被测点方位坐标，φ_ne(f_r)是第n个接收通道的相位误差，C是光速。