CN103942612A - 基于自适应粒子群优化算法的梯级水库优化调度方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种自适应粒子群优化算法的梯级水库优化调度方法。针对粒子群法在梯级水库优化调度中优化问题中的缺陷，先对粒子随机初始化进行固定初始化的改进，使算法一开始就有接近最优值的可能，并不存在大范围的盲区，提高收敛速度和算法的稳定性。然后根据群体分工协作思想和聚类小生境思想，将初始化的种群动态划分为三个子群，每个子群根据粒子的差异性自适应进行寻优和参数的选择，在增加粒子多样性的同时，改变了信息交流的模型，同时避免了算法陷入局部最优。本发明中改进的算法能够很好的解决非线性、多局部极值的函数问题，为解决梯级水库优化调度这一课题提供了一条有效、可行的解决途径。

Description

基于自适应粒子群优化算法的梯级水库优化调度方法

技术领域

本发明涉及一种自适应粒子群优化算法的梯级水库优化调度方法，在已知梯级水库模型的情况下，对模型的求解提供了解决这一问题的新途径。

背景技术

水库调度是人们根据水库所承担水利水电任务的主次以及规定的运用原则，凭借水库的调蓄能力，通过水利枢纽的各种建筑物及设备，按照设计要求，在保障大坝安全和下游防洪安全的前提下，对水库的入库水量过程进行调节，实现多发电、提高综合利用效率的一种水库运行控制技术。

水库调度一般分为常规调度和优化调度两类。常规调度以历史的实测资料为依据，利用径流调节理论和水能计算方法，来确定满足水库既定任务的蓄泄过程。常规调度规则简单、直观，但是调度模式缺乏数学最优化理论的基础，已经不能满足人们的要求。优化调度是在已知系统结构类型和一些约束条件下，为满足既定的目标和要求，以运筹学为理论基础，利用优化理论的方法和技术，寻求系统和水电站水库的最优运行策略，绘制最优调度图以指导水库运行。优化调度不需要额外投资就可以取得相当大的效益，所以成为近年来发展较快的一种水库调度方法。

水库优化调度按水库的数目可以分为单一水库优化调度和水库群联合优化调度，目前单一水库优化调度的研究已经非常成熟，为了能够满足现实，说明水库调度的原则和方法，大多从最简单的单一水库引申到水库群联合优化调度。流域上水库群根据他们之间的结构关系，一般可以划分为串联、并联和混联三种形式。串联水库群即梯级水库群，指位于同一河流的上、下游形成串联形式的水库群，各水库之间有直接的径流联系同时还具有电力的联系；并联水库群指位于不同河流上或者位于同一河流的不同支流上的水库群，各水库之间有电力联系没有水力联系，但在同一河流不同支流上的水库群还要共同保证下游某些水利部门的任务，例如防洪；混联水库群是串联与并联的组合形式。

由于梯级水库群既有电力的联系，又有水力的联系，而且随着水电站规模的增加，流域上下游和流域库间水力和电力耦合作用关系的凸显，而对梯级水库群的优化调度需要考虑上下游间很强的水力和电力耦合关系等因素。所以开展梯级水库优化调度的研究，提高水库的综合利用效益，对于充分利用我国的水资源、解决能源缺乏问题具有重要的现实意义。

梯级水库优化调度的两个重要问题是如何将实际的问题概化成数学模型和构建求解模型的最优化算法。由于梯级水库群各水库流量、出力和水头之间的联系，使得梯级水库优化调度问题具有随机性、非线性、多维性和多目标性等特点，求解的数学模型实质是一个多维、多局部极值、复杂的非线性多约束优化函数问题，传统的优化方法在解决这个问题方面都或多或少地存在一定的局限性。20世纪80年代以来，逐渐产生了一种新颖的算法，这些算法通过模拟或者揭示某些自然现象和过程而发展起来，通常称作智能优化算法。智能优化算法提供了解决这一问题的新途径，其中粒子群算法（PSO）收敛速度快，概念简单，程序容易实现，需要调整的参数少，对问题的依赖性较小，从一诞生就引起了国内外学者的关注，并逐步应用于函数的优化、神经网络训练等领域。但是PSO算法还是存在一些不足：随机初始化影响算法的稳定性以及影响收敛的速度和效率，同时容易陷入局部最优解，使种群失去多样性等。所以通过对群智能优化算法中的粒子群法进行细致的研究，针对其在梯级水库优化调度中优化问题中的缺陷,进行改进。

发明内容

发明目的：本发明针对现有的粒子群优化算法应用在梯级水库优化调度中存在非线性、多局部极值的特点，以及算法随机初始化的不足和易陷入局部极值、多样性消失等不足，提出了一种动态分群的自适应粒子群优化算法，能够保持粒子的多样性，避免陷入局部最优，同时增强了算法的稳定性，而且能够很好的解决非线性、多局部极值的函数问题。

技术方案：本发明提出的动态分群的自适应粒子群优化算法应用在梯级水库优化调度中，其特征在于将位置随机初始化进行固定初始化的改进，然后根据群体分工协作的思想和聚类小生境思想将群体动态划分为三个子群，每个子群按照个体的差异进行自适应寻优和参数惯性权值的选择。将拓扑结构从静态变为动态的同时，改变了信息单一交流的方式，增强了粒子的多样性。用标准的测试函数对这一改进的算法进行有效性测试，仿真结果表明改进的算法能够保持粒子的多样性，避免陷入局部最优，同时增强了算法的稳定性，能够很好地解决线性多局部极值问题。具体包括如下步骤：

（1）在搜索区域内对粒子进行固定初始化

规定种群的大小，设置位置和速度的上下限，设定学习因子c₁、c₂、c₃、c₄，算法最大的迭代次数和收敛精度。

（2）对初始化后的粒子进行评价

根据适应度函数（根据具体情况设定）计算粒子的适应度值，然后将计算出的适应度值按从小到大的顺序进行排列，每个粒子初次计算的适应度值作为个体极值，最小的适应度值记为f_min，最大的记为f_max，同时计算出f_avg、f′_avg和f″_avg，对整个种群进行动态子群的划分，大于f_min小于f″_avg的为劣质群，大于等于f″_avg并且小于等于f′_avg的为普通群，f′_avg为普通群中的全局极值，大于f′_avg而小于f_max的为优质群，f_max为优质群的全局极值。

（3）对每个子群进行自适应的寻优

优质群、普通群、劣质群三个子群并行的进行迭代来寻优。

（4）对更新后的个体进行粒子评价

对更新后的个体进行粒子评价，来更新个体极值和每个子群的全局极值，对子群的划分按步骤2进行。

（5）检验是否符合结束条件

如果结果小于最小收敛精度或者迭代的次数达到了预先设定的最大次数，则停止迭代，输出最优解，否则转到步骤3。

为了更好的理解本发明所涉及的技术和方法，在此对本发明涉及的理论进行介绍。

1、基本粒子群优化算法

随机初始化一个由m个粒子组成的群体，它们在D维空间中以一定的速度飞行，粒子i在迭代到第k次的状态属性设置如下：当前的位置向量： $X_i^k=(X_{i1}^k,X_{i2}^k,\·\·\·,X_{\mathrm{id}}^k);$ 当前的速度向量： $V_i^k=(V_{i1}^k,V_{i2}^k,\·\·\·,V_{\mathrm{id}}^k);$ 个体最优位置向量：同时整个种群还有一个属性是全局极值，即全局最优位置向量： $P_g^k={(P_{g1}^k,P_{g2}^k,\·\·\·,P_{\mathrm{gd}}^k)}^T.$

其中，L_d,U_d分别为搜索空间的下限和上限；v_min,d,v_max,d分别为最小最大速度，一般定义v_min,d＝-v_max,d，实际运用中要规定最大最小速度的范围；其中1≤d≤D，1≤i≤M。

每个粒子通过下面的迭代公式来更新它的速度和位置：

$v_{\mathrm{id}}^{k+1}=v_{\mathrm{id}}^k+c_1{r}_1(p_{\mathrm{id}}^k-x_{\mathrm{id}}^k)+c_2{r}_2(p_{\mathrm{gd}}^k-x_{\mathrm{id}}^k),x_{\mathrm{id}}^{k+1}=x_{\mathrm{id}}^k+v_{\mathrm{id}}^{k+1}$

式中，x_id、v_id分别表示粒子在迭代中的位置和速度；c₁、c₂分别表示认知学习因子和社会学习因子，即调节粒子飞向自身最好位置和全局最好位置的步长；r₁、r₂是[0，1]之间的随机数；为个体极值。

下面描述基本粒子群算法的流程：

Step1：随机初始化一群粒子。包括粒子的位置、速度和种群的大小，同时规定位置和速度的上下限，设定学习c₁、c₂，算法最大的迭代次数和收敛精度；

Step2：第一次计算适应值选择个体极值和全局极值。即根据事先设定的适应值函数（与要解决的具体问题有关）计算每个粒子当前的适应值，即可衡量粒子位置的优劣；将每个粒子评价的结果作为个体极值p_i，选择群体中最大的一个为全局极值p_g，分别记录粒子的序号及位置；

Step3：根据公式进行迭代，更新粒子的位置和速度，如果速度大于最大速度，则将其置为最大速度，如果小于最小速度，则将其置为最小速度；

Step4：继续计算适应值对粒子进行评价更新个体极值和全局极值。如果粒子的适应值优于当前的个体极值，则将p_i设置为该粒子的位置，更新个体极值，如果所有粒子的个体极值中最好的优于全局极值，则将p_g设置为该粒子的位置，更新全局极值及其序号；

Step5：检验是否符合结束条件，如果结果小于最小收敛精度或者迭代的次数达到了预先设定的最大次数，则停止迭代，输出最优解，否则转到step3。

2、标准粒子群算法

标准粒子群算法是带惯性权重的粒子群优化算法，与基本PSO算法的不同之处是引入惯性权重w，通过惯性权重来协调算法的全局和局部寻优能力。基本的粒子群算法可以看成是标准粒子群算法惯性权重为1的特例。具体做法是在速度迭代公式中加入w，位置计算公式不变，具体改进如下：

$v_{\mathrm{id}}^{k+1}={\mathrm{wv}}_{\mathrm{id}}^k+c_1{r}_1(p_{\mathrm{id}}^k-x_{\mathrm{id}}^k)+c_2{r}_2(p_{\mathrm{gd}}^k-x_{\mathrm{id}}^k)$

式中，x_id、v_id分别表示粒子在迭代中的位置和速度；c₁、c₂分别表示认知学习因子和社会学习因子，即调节粒子飞向自身最好位置和全局最好位置的步长；r₁、r₂是[0，1]之间的随机数；为个体极值。

将惯性权w引入基本的粒子群算法中，并指出w的作用，它的大小决定了粒子对当前速度继承的多少，选择一个合适的惯性权值有利于算法均衡它的探索能力与开发能力。探索即粒子较大程度偏离原来的寻优轨迹，在新的方向上进行搜索，开发即粒子较大程度上继续原来的寻优轨迹进行局部精细的搜索。

标准粒子群算法的流程与基本粒子群算法的流程相似，这里不再赘述，因为基本粒子群优化算法为标准粒子群算法w=1的特例。

本发明提出的动态分群的自适应粒子群优化算法应用在梯级水库优化调度中，先对粒子随机初始化进行固定初始化的改进，使算法一开始就有接近最优值的可能，并不存在大范围的盲区，提高收敛速度和算法的稳定性；然后根据群体分工协作思想和聚类小生境思想将初始化的种群动态划分为三个子群，每个子群根据粒子的差异性自适应进行寻优和参数的选择，在增加粒子多样性的同时，改变了信息交流的模型，同时避免了算法陷入局部最优。

有益效果：本发明提出的动态分群的自适应粒子群优化算法，在迭代多次后粒子还保持一定的多样性，说明此改进保持了粒子的多样性，避免粒子陷入局部最优值；对位置固定初始化后，多次运行的结果都变化很小，增强了算法的稳定性；与标准的算法相比，明显改进的算法得到的最优值接近于函数的实际最优值，改进的算法优于标准的算法，固定初始化能明显加快算法收敛的速度。

附图说明

图1本发明的具体工作流程示意图；

图2标准粒子群算法的流程示意图。

具体实施方式

如图1所示，动态分群的自适应粒子群优化算法在梯级水库优化调度中的应用的具体步骤如下：

（1）在搜索区域内对粒子进行固定初始化

规定种群的大小，设置位置和速度的上下限，设定学习因子c₁、c₂、c₃、c₄，算法最大的迭代次数和收敛精度。

（2）对初始化后的粒子进行评价

根据适应度函数（根据具体情况设定）计算粒子的适应度值，然后将计算出的适应度值按从小到大的顺序进行排列，每个粒子初次计算的适应度值作为个体极值，最小的适应度值记为f_min，最大的记为f_max，同时计算出f_avg、f′_avg和f″_avg，对整个种群进行动态子群的划分，大于f_min小于f″_avg的为劣质群，大于等于f″_avg并且小于等于f′_avg的为普通群，f′_avg为普通群中的全局极值，大于f′_avg而小于f_max的为优质群，f_max为优质群的全局极值。

（4）对每个子群进行自适应的寻优

三个子群并行的进行迭代来寻优。

a)优质群

优质群中的粒子在每次迭代后都是表现较好的一部分粒子，而且其中每个粒子都有成为最优粒子的潜力，所以优质群中的每个粒子本身的位置相对来说就比较好，必须加入粒子本身的思考。所以这个子群信息交流的方式就按全局模型的方式，粒子在寻优的过程中，既要追随个体最优极值，同时还要跟随优质群中的全局最优极值，这样能使粒子快速的以一定程度朝着最优位置方向寻优。第k+1次迭代的速度和位置更新方程如下：

$v_{\mathrm{id}}^{k+1}={\mathrm{wv}}_{\mathrm{id}}^k+c_1{r}_1(p_{\mathrm{id}}^k-x_{\mathrm{id}}^k)+c_2{r}_2(Y_{\mathrm{gd}}^k-x_{\mathrm{id}}^k),x_{\mathrm{id}}^{k+1}=x_{\mathrm{id}}^k+v_{\mathrm{id}}^{k+1}$

式中，x_id、v_id分别表示粒子在迭代中的位置和速度；c₁、c₂分别表示认知学习因子和社会学习因子，即调节粒子飞向自身最好位置和全局最好位置的步长；r₁、r₂是[0，1]之间的随机数；为个体极值，而为优质群中的全局极值，即寻优过程中跟随两个极值。

惯性权重是用来平衡全局搜索和局部搜索的，在优质群中，由于粒子的个数相对来说较小，且已经接近于全局最优，且依据全局模型进行信息交流，收敛速度较快。分析速度和位置更新方程发现，当子群陷入局部最优附近时，速度主要取决于第一部分，即惯性速度部分，粒子所以在这里群里应赋予惯性权重w较小的值，从而强化这个子群的局部搜索能力，具体定义为

$w=w^{\′}-(w^{\′}-w_{\min })\left|\frac{f_i-f_{\mathrm{avg}}^{\′}}{f_{\max }-f_{\mathrm{avg}}^{\′}}\right|$

式中，f_max和f′_avg是优质群中的两个边界值，分别为最大和最小的，w为惯性权值，w'为一固定值，w_min是w的最小值，这两个值可以根据具体情况进行取值。

b)普通群

普通群中的粒子是表现一般的粒子，占整体数量的大多数，约一半左右，在空间中的位置总体来说不太好也不太坏，但是其中的某些粒子如果跟随优质群中最优的粒子，则有跳跃普通群进入优质群的潜力，同时这部分粒子还需要追随个体极值和普通群中的全局极值，因为只追随最优粒子而使这一小部分粒子速度改变太快，很可能还会陷入局部最优，跟随优质群和普通群两个群全局极值，可能探索到两个极值中心的某个更优极值的可能。而其余一部分粒子在普通群内按照全局模型进行信息交流，即追随个体极值和普通群中最优粒子的极值。所以在这个群中f_avg≤f_i≤f′_avg一部分粒子追随三个极值，优质群中的全局极值、普通群中的全局极值和个体极值。第k次迭代速度更新方程如下：

$v_{\mathrm{id}}^{k+1}={\mathrm{wv}}_{\mathrm{id}}^k+c_3{r}_3(p_{\mathrm{id}}^k-x_{\mathrm{id}}^k)+c_2{r}_2(Y_{\mathrm{gd}}^k-x_{\mathrm{id}}^k)c_4{r}_4(p_{\mathrm{gd}}^k-x_{\mathrm{id}}^k)$

式中，是每个粒子的个体极值，为优质群中的全局极值，是普通群中的全局极值。剩余那部分粒子跟随两个极值即个体极值和普通群中的全局极值，第k次速度更新公式如下：

$v_{\mathrm{id}}^{k+1}={\mathrm{wv}}_{\mathrm{id}}^k+c_3{r}_3(p_{\mathrm{id}}^k-x_{\mathrm{id}}^k)+c_4{r}_4(p_{\mathrm{gd}}^k-x_{\mathrm{id}}^k)$

普通群中的所有粒子在第k次迭代时根据式进行位置更新。

因为普通群中既有偏好的粒子也有偏差的粒子，所以此群既有全局搜索能力，又有局部搜索能力，因此取非线性递减的惯性权值，在迭代初期w较大，有很强的全局搜索能力，在后期随着w的减小，局部搜索能力就会加强，第k次迭代时的惯性权重为：

$w=w_{\mathrm{start}}-(w_{\mathrm{start}}-w_{\mathrm{end}}){\left(\frac{k}{k_{\max }}\right)}^2$

式中，w_start为惯性权重的初始值，也是最大值，w_end为惯性权值的迭代结束值，也是最小值，k_max为最大的迭代次数。

c)劣质群

劣质群中的粒子都是表现最差的一部分粒子，所以这个群中的粒子所处的位置也较差，这个群与其他两个群有较大的差距，所以寻优方式也有很大的差别。由于本身的位置很差，致使粒子不再跟随个体极值，即粒子不具备记忆功能，同时这部分粒子也不能追随优质群或者普通群中的全局极值，因为随着迭代的增加，就使这群粒子很快的具有寻优方向性，虽然能加快算法的收敛速度，但是严重的损坏了寻优的多样性。所以对这部分粒子采用随机搜索法来进行寻优，能最大限度的保证群体的多样性，也能使粒子在大范围中进行全局搜索。

具体操作是粒子的速度保持不变，位置在解空间进行随机搜索，虽然效率不高，但是可以保证避免陷入局部最优。第K次迭代公式更新如下：

$v_{\mathrm{id}}^{k+1}=v_{\mathrm{id}}^k,x_{\mathrm{id}}^{k+1}=x_{\min }+r_5\×(x_{\max }-x_{\min })$

进行速度和位置的更新。式中，x_max是空间位置的最大值，x_min是空间位置的最小值，r₅为[0，1]之间的随机数。

（4）对更新后的个体进行粒子评价

对更新后的个体进行粒子评价，来更新个体极值和每个子群的全局极值，对子群的划分按步骤2进行。

（5）检验是否符合结束条件

如果结果小于最小收敛精度或者迭代的次数达到了预先设定的最大次数，则停止迭代，输出最优解，否则转到步骤3。

Claims (5)

1.一种基于自适应粒子群优化算法的梯级水库优化调度方法，其特征在于，在搜索区域按一定的间隔固定初始化粒子群，能使粒子在空间均匀分布，能更好的在空间进行寻优；固定初始化可以使粒子在搜索区域均匀分布，相同的粒子个数初始化后位置是固定的，不像随机初始化位置每次都是改变的，一定程度上增加了算法的稳定性；当粒子个数相对较少时，粒子也均匀占据整个搜索区域，不存在大片的盲区，使算法能够进行全局搜索，避免陷入局部最优，使粒子在一开始就有可能接近最优值，同时提高了搜索的效率。

2.根据权利要求1所述的基于自适应粒子群优化算法的梯级水库优化调度方法，其特征在于，动态分群的自适应粒子群优化算法在梯级水库优化调度的应用，基于群体分工协作的思想，将算法中的种群根据一定的规则划分成几个小子群，它们之间分工协作来完成一个实际的优化问题；

假设将群体分为k个级别，种群总粒子数为m，群体为S=（X₁，X₂，…，X_m），其中X_i（1≤i≤m）代表其中的一个粒子，具体操作如下：

a)初始化后计算每个粒子的适应度值，然后按从大到小的顺序排列，最大的适应度值为f_max，最小的适应度值为f_min，定义两者之差为α，即

α＝f_max-f_min；

b)设 $b=\frac{\mathrm{\α}}{k};$

c)如果f_min+(j-1)×b≤f(X_i)≤f_min+j×b，1≤j≤k，则将个体X_i归入第j级；这里分为k个级别，k可以是固定的，也可以是动态变化的，根据具体情况进行具体分析和运用；

这种方式有效地解决了标准粒子群算法中由于单一信息交流而引起的陷入局部最优的风险，平衡了算法探测和开发的能力，在保证算法多样性的前提下提高了算法的收敛速度和求解精度。

3.根据权利要求1所述的基于自适应粒子群优化算法的梯级水库优化调度方法，其特征在于，动态分群的自适应粒子群优化算法在梯级水库优化调度的应用，基于聚类动态产生小聚类簇和小生境降低个体相似度的思想，产生了动态分群的思想，使变量之间有充分的信息交流，同时降低每个子群之间的相似度，即按其粒子的优劣程度进行子群的划分，符合了群体分工协作中的按能力来分配工作，并对各个子群进行差别性寻优，最终克服标准粒。

4.如权利要求1所述的基于自适应粒子群优化算法的梯级水库优化调度方法根据固定初始化后计算出的粒子适应度值对整个种群进行动态分群，整个群体动态的划分为三个子群，分别为优质群、普通群和劣质群，具体划分的方式如下：

群体（个数为m）固定初始化后，对每个粒子（定义为X_i）根据适应度函数来计算各自的适应度值，然后所有适应度值（定义为f_i）按从小到大的顺序排列，最小的适应度值为f_min，最大的适应度值为f_max，所有粒子适应值的算术平均为f_avg，适应度值大于f_avg而小于等于f_max的那一部分粒子适应值的算术平均定义为f′_avg，适应度值大于等于f_min而小于等于f_avg的那一部分粒子适应值的算术平均定义为f″_avg；

将适应度值大于f′_avg小于等于f_max的粒子分为一个子群，称为优质群；适应度值大于等于f″_avg或者小于等于f′_avg的粒子分为一个群，称为普通群；将适应度值大于等于f_min小于f″_avg的粒子分为一个群，称为劣质群；从单个粒子的角度来讲，每次迭代后每个粒子的位置会有所变化，同时适应度值和所有算术平均值也会随着改变，那么根据适应度值大小划分的子群的粒子会变化，同时每次迭代后子群的粒子个数也会动态的变化，所有这一系列的变化都会在每次迭代更新后变化，这一变化都是动态的，即体现了动态分群的思想。

5.根据权利要求1所述的基于自适应粒子群优化算法的梯级水库优化调度方法，其特征在于，动态分群的自适应粒子群优化算法在梯级水库优化调度的应用，每个子群根据收敛程度和群中的适应值清况来进行自适应操作，包括根据不同群进行不同的信息交流模型同时根据不同的群中粒子的情况进行自适应的选择惯性权重；

a)优质群

优质群中的粒子在每次迭代后都是表现较好的一部分粒子，而且其中每个粒子都有成为最优粒子的潜力，所以优质群中的每个粒子本身的位置相对来说就比较好，必须加入粒子本身的思考；所以这个子群信息交流的方式就按全局模型的方式，粒子在寻优的过程中，既要追随个体最优极值，同时还要跟随优质群中的全局最优极值，这样能使粒子快速的以一定程度朝着最优位置方向寻优；第k+1次迭代的速度和位置更新方程如下：

$v_{\mathrm{id}}^{k+1}={\mathrm{wv}}_{\mathrm{id}}^k+c_1{r}_1(p_{\mathrm{id}}^k-x_{\mathrm{id}}^k)+c_2{r}_2(Y_{\mathrm{gd}}^k-x_{\mathrm{id}}^k),x_{\mathrm{id}}^{k+1}=x_{\mathrm{id}}^k+v_{\mathrm{id}}^{k+1}$

式中，x_id、v_id分别表示粒子在迭代中的位置和速度；c₁、c₂分别表示认知学习因子和社会学习因子，即调节粒子飞向自身最好位置和全局最好位置的步长；r₁、r₂是[0，1]之间的随机数；为个体极值，而为优质群中的全局极值，即寻优过程中跟随两个极值；

惯性权重是用来平衡全局搜索和局部搜索的，在优质群中，由于粒子的个数相对来说较小，且已经接近于全局最优，且依据全局模型进行信息交流，收敛速度较快；分析速度和位置更新方程发现，当子群陷入局部最优附近时，速度主要取决于第一部分，即惯性速度部分，粒子所以在这里群里应赋予惯性权重w较小的值，从而强化这个子群的局部搜索能力，具体定义为

$w=w^{\′}-(w^{\′}-w_{\min })\left|\frac{f_i-f_{\mathrm{avg}}^{\′}}{f_{\max }-f_{\mathrm{avg}}^{\′}}\right|$

式中，f_max和f′_avg是优质群中的两个边界值，分别为最大和最小的，w为惯性权值，w'为一固定值，w_min是w的最小值，这两个值可以根据具体情况进行取值；

b)普通群

普通群中的粒子是表现一般的粒子，占整体数量的大多数，约一半左右，在空间中的位置总体来说不太好也不太坏，但是其中的某些粒子如果跟随优质群中最优的粒子，则有跳跃普通群进入优质群的潜力，同时这部分粒子还需要追随个体极值和普通群中的全局极值，因为只追随最优粒子而使这一小部分粒子速度改变太快，很可能还会陷入局部最优，跟随优质群和普通群两个群全局极值，可能探索到两个极值中心的某个更优极值的可能；而其余一部分粒子在普通群内按照全局模型进行信息交流，即追随个体极值和普通群中最优粒子的极值；所以在这个群中f_avg≤f_i≤f′_avg一部分粒子追随三个极值，优质群中的全局极值、普通群

中的全局极值和个体极值；第k次迭代速度更新方程如下：

$v_{\mathrm{id}}^{k+1}={\mathrm{wv}}_{\mathrm{id}}^k+c_3{r}_3(p_{\mathrm{id}}^k-x_{\mathrm{id}}^k)+c_2{r}_2(Y_{\mathrm{gd}}^k-x_{\mathrm{id}}^k)+c_4{r}_4(p_{\mathrm{gd}}^k-x_{\mathrm{id}}^k)$

式中，是每个粒子的个体极值，为优质群中的全局极值，是普通群中的全局极值；剩余那部分粒子跟随两个极值即个体极值和普通群中的全局极值，第k次速度更新公式如下：

$v_{\mathrm{id}}^{k+1}={\mathrm{wv}}_{\mathrm{id}}^k+c_3{r}_3(p_{\mathrm{id}}^k-x_{\mathrm{id}}^k)+c_4{r}_4(p_{\mathrm{gd}}^k-x_{\mathrm{id}}^k)$

普通群中的所有粒子在第k次迭代时根据式进行位置更新；

因为普通群中既有偏好的粒子也有偏差的粒子，所以此群既有全局搜索能力，又有局部搜索能力，因此取非线性递减的惯性权值，在迭代初期w较大，有很强的全局搜索能力，在后期随着w的减小，局部搜索能力就会加强，第k次迭代时的惯性权重为：

$w=w_{\mathrm{start}}-(w_{\mathrm{start}}-w_{\mathrm{end}}){\left(\frac{k}{k_{\max }}\right)}^2$

式中，w_start为惯性权重的初始值，也是最大值，w_end为惯性权值的迭代结束值，也是最小值，k_max为最大的迭代次数；

c)劣质群

劣质群中的粒子都是表现最差的一部分粒子，所以这个群中的粒子所处的位置也较差，这个群与其他两个群有较大的差距，所以寻优方式也有很大的差别；由于本身的位置很差，致使粒子不再跟随个体极值，即粒子不具备记忆功能，同时这部分粒子也不能追随优质群或者普通群中的全局极值，因为随着迭代的增加，就使这群粒子很快的具有寻优方向性，虽然能加快算法的收敛速度，但是严重的损坏了寻优的多样性；所以对这部分粒子采用随机搜索法来进行寻优，能最大限度的保证群体的多样性，也能使粒子在大范围中进行全局搜索；

具体操作是粒子的速度保持不变，位置在解空间进行随机搜索，虽然效率不高，但是可以保证避免陷入局部最优；第K次迭代公式更新如下：

$v_{\mathrm{id}}^{k+1}=v_{\mathrm{id}}^k,x_{\mathrm{id}}^{k+1}=x_{\min }+r_5\×(x_{\max }-x_{\min })$

进行速度和位置的更新；

式中，x_max是空间位置的最大值，x_min是空间位置的最小值，r₅为[0，1]之间的随机数。