CN103921204A - 基于卧式研球机钢球研磨的无打滑调控方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及基于卧式研球机钢球研磨的无打滑调控方法，通过建立垂直于沟槽的受力模型和沿沟槽的受力模型，分析使钢球在研磨过程中z轴，y轴和z轴都不打滑需满足的条件，确立实际研磨压力和转速盘的转速的取值范围，最后根据钢球半径和摩擦系数调整钢球研磨时相应的实际研磨压力和研磨盘的转速。通过对研磨盘垂直于沟槽面和沿沟槽面两个方向分别进行动力学分析，确定出卧式研球机正常工作时实际研磨压力及转动盘的转速的取值范围，然后再根据该取值范围以及钢球研磨特性对研磨时实际研磨压力和转动盘的进行适当的调整，有效防止了钢球在研磨盘中研磨时发生打滑的现象，从而能够较大程度的提高钢球表面的精度。

Description

基于卧式研球机钢球研磨的无打滑调控方法

技术领域

本发明属于钢球研磨动力学分析的技术领域，尤其涉及一种基于卧式研球机钢球研磨的无打滑调控方法。

背景技术

球轴承是众多邻域（如汽车、军工和航天等）中机械装备的重要基础件，钢球是球轴承的关键零件。优质的球轴承应具备低振动、长寿命以及高可靠性等性能，要实现这些性能，需使球轴承各组成部件（外圈、内圈、保持架和滚动体）全部有较高的加工精度，但钢球的影响最为突出。有大量的试验表明，在球轴承产生所有噪声中，钢球因素占60％，在球轴承所有失效的因素中，钢球占58.5％（国外仅为23.4％），这就非常客观地说明了钢球在球轴承中的地位及重要性，也说明了迫于改进钢球生产技术的需要。

钢球质量的主要技术指标有三个方面，分别为形状误差、表面粗糙度和表面缺陷，它们对球轴承的性能都有较大影响。

(1)形状误差对球轴承的影响

形状误差是球轴承产生噪声和振动的主要原因之一，在钢球的生产过程中，磨盘通过对钢球的接触点进行挤压和刮擦，从而达到去除多余材料，磨削成圆的目的。由于形状误差的存在，会使球轴承中钢球的中心位置不断变化，从而产生低频振动和噪声，并且钢球的形状误差越大，球轴承在正常工作时的振动也就越大。

(2)表面粗糙度对球轴承的影响

表面粗糙度是指钢球表面有区别于球形误差和波纹度的微观不平度，其对球轴承中频和高频振动的产生有很大影响。钢球表面粗糙度与套圈沟道表面相比，前者对球轴承振动的影响要远大于后者，并且表面粗糙度越大，球轴承产生的振动也越大，所以在钢球的制造过程中，需严格控制其表面粗糙度的值。

(3)表面缺陷对球轴承的影响

表面缺陷一般是指钢球表面出现的裂纹、划痕、锈蚀和凹陷等，其产生的主要因素有原材料、机械加工以及生锈腐蚀。表面缺陷可以使球轴承产生脉冲型振动和噪声，且振动幅度与缺陷大小有关，脉冲周期与球轴承转速有反比关系，即转速越大，脉冲型振动的周期越短。

目前，为满足各行业对高性能、高精度球轴承的迫切需要，我国加大了对其整体的研究力度，从而带动着钢球行业的快速发展和提高，特别是三期（即六五、七五和八五）技术改革后，我国钢球生产的质量、工艺水平及设备等都上升了一个新的台阶。但受科学技术与生产设备的限制，无论在制造精度还是能源损耗，我国与国外先进水平仍有一定差距。对于广泛应用于精密仪器和先进武器的G3级钢球，我国还主要依赖进口；可以说，G3级钢球能否得到批量化生产对我国装备的制造业乃至国防工业都至关重要。

先进的钢球加工工艺是钢球具有较高生产率和优质质量的重要保证。钢球加工工艺需满足成品球的标准要求，同时还应使加工出来的钢球具有较长的使用寿命、较低的工作噪声和比较高的可靠性。加工工艺会随着现场的生产条件以及对钢球的等级要求不同而产生变化，但是基本的工艺路线是大致相同的，即：原材料―冷镦―光球―热处理―硬磨―强化―初研―外观/探伤―精研I―精研II―清洗―成品检验―防锈、包装。初研是在磨球机的两块铸铁板间以磨粉和油膏研磨剂进行磨削的方法，它与精研方法基本相同，只是加工时所用的研磨剂不同。精研可以使钢球的精度达到G5级，甚至有的精度可以达到G3级，是生产优质钢球的一道必不可少的工序。但是钢球研磨过程中存在打滑的情况，而现有通常都是依靠人工经验来预防和改善，但是这种预防和改善的方式不但效率低而且准确性也不高。

发明内容

针对现有技术存在的上述问题，本发明的目的是提供一种基于卧式研球机钢球研磨的无打滑调控方法，该方法可以有效地防止转动钢球在研磨盘中发生打滑，起到了提高钢球表面质量及精度的作用，并满足了用户对球轴承使用性能的要求。

为实现上述目的，本发明采用如下技术方案：基于卧式研球机钢球研磨的无打滑调控方法，该方法包括如下步骤：

1）求取钢球的重力分解式：绘制钢球在卧式研球机研磨盘上的结构见图，通过受力分析，确立钢球在不同象限中的重力分解式，具体如下：

$\left\{\begin{array}{c}{G}_n=G\cos \mathrm{\γ}\\ G_t=-G\sin \mathrm{\γ}\end{array}\right.---\left(1a\right),\begin{array}{}\end{array}\left\{\begin{array}{c}{G}_n=G\cos \mathrm{\γ}\\ G_t=G\sin \mathrm{\γ}\end{array}\right.---\left(1b\right),\left\{\begin{array}{c}{G}_n=-G\cos \mathrm{\γ}\\ G_t=G\sin \mathrm{\γ}\end{array}\right.---\left(1c\right),\left\{\begin{array}{c}{G}_n=-G\cos \mathrm{\γ}\\ G_t=-G\sin \mathrm{\γ}\end{array}\right.---\left(1d\right);$

其中，式（1a）为钢球在第一象限的重力分解式，式（1b）为钢球在第二象限的重力分解式，式（1c）为钢球在第三象限的重力分解式，式（1d）为钢球在第四象限的重力分解式，上式中G表示钢球重力，G_n表示为钢球重力在球心与研磨盘圆心连线上的分量，G_t表示钢球重力在研磨盘圆周切线方向上的分量，γ表示球心与研磨盘中心的连线和竖直方向的夹角；

2）建立垂直于沟槽的受力模型：钢球与两研磨盘之间的接触点分别是A₀和A₁、A₂，对三个接触点A₀和A₁、A₂处进行受力分析，并建立垂直于沟槽的受力模型，具体如下：

钢球若要在沟槽中不发生绕z轴方向的打滑，需满足的动力学方程（3）：

式中，N₀、N₁、N₂分别为三接触点处的实际研磨压力；F₀、F₁、F₂分别为三接触点处垂直于沟槽的滑动摩擦力；R^*为钢球受到的惯性力；M^*为钢球受到的惯性力偶矩矢，r为钢球的半径；

3）求取研磨盘实际研磨压力允许的最小值，具体如下：设所述三接触点A₀和A₁、A₂处的临界压力分别为[N₀]、[N₁]、[N₂]，临界滑动摩擦力分别为[F₀]、[F₁]、[F₂]，则有如下关系式：

[F₀]=f[N₀]，[F₁]=f[N₁]，[F₂]=f[N₂]    (4)

由式(3)～式(4)联立可得式（5）

$\left\{\begin{array}{c}\left[N_0\right]=\frac{(-2+\sqrt{2})}{2}[\frac{{-2R}^{*}f}{1+f^2}+\frac{{2G}_{n}f}{1+f^2}-\frac{\sqrt{2}{M}^{*}}{\mathrm{rf}}]\\ \left[N_1\right]=\frac{(-2+\sqrt{2})}{2}[\frac{(1+\sqrt{2}+f)R^{*}}{1+f^2}-\frac{(1+\sqrt{2}+f)G_n}{1+f^2}-\frac{M^{*}}{\mathrm{rf}}]\\ \left[N_2\right]=\frac{(2-\sqrt{2})}{2}[\frac{(1+\sqrt{2}-f)R^{*}}{1+f^2}-\frac{(1+\sqrt{2}-f)G_n}{1+f^2}+\frac{M^{*}}{\mathrm{rf}}]\end{array}\right.---\left(5\right)$

其中，f为摩擦系数；

式（5）近似地表示为式（6）：

$\left\{\begin{array}{c}\left[N_0\right]=\left[N_0\right]=\frac{(\sqrt{2}-1)M^{*}}{\mathrm{rf}}\\ \left[N_1\right]=\frac{(2-\sqrt{2})M^{*}}{2\mathrm{rf}}\\ \left[N_2\right]=\frac{(2-\sqrt{2})M^{*}}{2\mathrm{rf}}\end{array}\right.---\left(6\right);$

对于运动中的钢球，转动惯量J和惯性力偶矩矢M^*分别为：

$\left\{\begin{array}{c}J=\frac{2}{5}{\mathrm{mr}}^2\\ M^{*}={\mathrm{J\ω}}_1\×{\mathrm{\ω}}_0\end{array}\right.---\left(7\right);$

其中，ω₁表示钢球绕自身球心的转速，ω₀表示为钢球绕研磨盘中心公转的转速；

为使钢球不发生绕z轴方向的打滑，所述三接触点处的临界压力需小于三接触点处的实际研磨压力，其关系式为：

$\left\{\begin{array}{c}\left[N_0\right]<N_0\\ \left[N_1\right]<N_1\\ \left[N_2\right]<N_2\end{array}\right.---\left(8\right);$

根据式(6)～式(8)可以得出N₀的下限不等式为：

$N_0>\frac{2(\sqrt{2}-1)\mathrm{mr}{\mathrm{\&omega;}}_0{\mathrm{\&omega;}}_1\cos \mathrm{\&theta;}}{5f}---\left(9\right);$

其中θ表示偏转角，m表示单个钢球的质量；

4）建立沿沟槽的受力模型，具体如下：钢球若要在沟槽中不发生绕x轴、y轴方向的打滑，需满足的动力学方程（11）：

其中，F₃、F₄、F₅为所述三接触点处沿沟槽的滑动摩擦力，M₀、M₁、M₂为三接触点处的枢转摩擦力矩；m₀、m₁、m₂为三接触点处的滚转摩擦力矩；m_x为三接触点处枢转摩擦力矩和滚转摩擦力矩在x轴上投影的代数和、m_y为三接触点处枢转摩擦力矩和滚转摩擦力矩在y轴上投影的代数和；

5）求取研磨盘研磨压力允许的最大值，具体如下：

略去滚转摩擦力矩，只考虑枢转摩擦力矩在x轴，y轴上的投影，则m_x、m_y的表达式为式（13）：

联立式（11）和式（13）可得式（14）：

$\left\{\begin{array}{c}{F}_3=\frac{(\sqrt{2}-1)(M_1+M_2-{\mathrm{rG}}_t)}{r}\\ F_4=\frac{(2-\sqrt{2})}{2r}[-(\sqrt{2}+1)M_0+M_1-(1+\sqrt{2})M_2-{\mathrm{rG}}_t]\\ F_5=\frac{\sqrt{2}}{2r}[M_0-M_1+(\sqrt{2}-1)M_2+(1-\sqrt{2}){\mathrm{rG}}_t]\end{array}\right.---\left(14\right);$

所述三接触点处的枢转摩擦力矩分别为：

$\left\{\begin{array}{c}{M}_0=\frac{3\mathrm{\&pi;f}}{2}{N}_0\sqrt[3]{\frac{3r{N}_0}{4}(\frac{1-{{\mathrm{\&upsi;}}_g}^2}{E_g}+\frac{1-{{\mathrm{\&upsi;}}_y}^2}{E_y})}\\ M_1=\frac{3\mathrm{\&pi;f}}{2}{N}_1\sqrt[3]{\frac{3r{N}_1}{4}(\frac{1-{{\mathrm{\&upsi;}}_g}^2}{E_g}+\frac{1-{{\mathrm{\&upsi;}}_y}^2}{E_y})}\\ M_2=\frac{3\mathrm{\&pi;f}}{2}{N}_2\sqrt[3]{\frac{3r{N}_2}{4}(\frac{1-{{\mathrm{\&upsi;}}_g}^2}{E_g}+\frac{1-{{\mathrm{\&upsi;}}_y}^2}{E_y})}\end{array}\right.---\left(15\right);$

其中，E_g表示钢球的弹性模量，E_y表示研磨盘的弹性模量，υ_g表示钢球的泊松比，υ_y表示研磨盘的泊松比；

所述三接触点处的实际研磨压力的相对关系为：

$N_0:N_1:N_2=\sqrt{2}:1:1---\left(16\right);$

联立式(15)和式(16)将式(14)化简为（17）：

$\left\{\begin{array}{c}{F}_3=\frac{\sqrt[3]{2}(\sqrt{2}-1)}{r}{M}_0-(\sqrt{2}-1)G_t\\ F_4=\frac{-(2-\sqrt{2})(\sqrt{2}+1+2^{-\frac{1}{6}})}{2r}{M}_0-\frac{2-\sqrt{2}}{2}{G}_t\\ F_5=\frac{\sqrt{2}+\sqrt[3]{2}-2^{\frac{5}{6}}}{2r}{M}_0-\frac{2-\sqrt{2}}{2}{G}_t\end{array}\right.---\left(17\right);$

若要使钢球在转动时不发生绕x轴、_y轴方向打滑需满足的条件为：

|F₃|<N₀f(18a)，|F₄|<N₁f（18b），|F₅|<N₂f  （18c）

比较式(17)中三个滑动摩擦力的大小，有F₄大于其它两个，选取F₄的表达式作为代表式，将式(17)中F₄的表达式代入式(18b)化简可得式（19）：

$\frac{1}{f}[\frac{1+2^{-\frac{1}{6}}(\sqrt{2}-1)}{r}{M}_0+(\sqrt{2}-1)G_t]<N_0---\left(19\right)$

由式(15)中可以得出，M₀正比于N₀ ^4/3，将式(15)中M₀的表达式代入式(19)中求解，得解为N₀<B,同理，对式(18a)化简求解，得解为N₀<A；对式(18c)化简求解，得解为N₀<C;

6）求取研磨盘的转速的最大允许值：为使钢球在研磨过程中z轴，y轴和z轴都不打滑，需满足如下关系式：

$\frac{2(\sqrt{2}-1)\mathrm{mr}{\mathrm{\&omega;}}_0{\mathrm{\&omega;}}_1\cos \mathrm{\&theta;}}{5f}<N_0<\min \{A,B,C\}---\left(20\right);$

所述三个接触点A₀和A₁、A₂对应的公转半径依次为R₀、R₁、R₂，运用刚体运动学的普遍定理，在三接触点处建立钢球的无打滑研磨运动方程为：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\&omega;}}_0{R}_0+{\mathrm{\&omega;}}_{1}r\cos \mathrm{\&theta;}=\mathrm{\&Omega;}{R}_0\\ {\mathrm{\&omega;}}_0{R}_1-{\mathrm{\&omega;}}_{1}r\sin (\mathrm{\&alpha;}-\mathrm{\&theta;})=0\\ {\mathrm{\&omega;}}_0{R}_2-{\mathrm{\&omega;}}_{1}r\sin (\mathrm{\&beta;}+\mathrm{\&theta;})=0\end{array}\right.---\left(21\right);$

其中：Ω表示研磨盘的转速；θ表示偏转角，r表示钢球半径；

通过MATLAB对式(21)进行求解，可以得出三个研磨参数分别为：

$\left\{\begin{array}{c}\tan \mathrm{\&theta;}=\frac{-R_1\sin \mathrm{\&beta;}+R_2\sin \mathrm{\&alpha;}}{R_1\cos \mathrm{\&beta;}+R_2\cos \mathrm{\&alpha;}}\\ {\mathrm{\&omega;}}_0=\frac{R_0\sin (\mathrm{\&alpha;}+\mathrm{\&beta;})\mathrm{\&Omega;}}{R_0\sin (\mathrm{\&alpha;}+\mathrm{\&beta;})+R_1\cos \mathrm{\&beta;}+R_2\cos \mathrm{\&alpha;}}\\ {\mathrm{\&omega;}}_1=\frac{R_0{R}_2\mathrm{\&Omega;}}{r[R_0\sin (\mathrm{\&beta;}+\mathrm{\&theta;})+R_2\cos \mathrm{\&theta;}]}\end{array}\right.---\left(22\right)$

把式(22)代入式(20)可知，下限表达式正比于Ω²，推出Ω<D，即D为研磨盘的转速允许的最大值，其中α表示点A₁与球心的连线和竖直方向的夹角，β表示点A₂与球心的连线和竖直方向的夹角；

7）根据确立的实际研磨压力和转速盘的转速的取值范围，根据钢球半径和摩擦系数调整钢球研磨时相应的实际研磨压力和研磨盘的转速。

相对于现有技术，本发明具有如下优点：通过对研磨盘垂直于沟槽面和沿沟槽面两个方向分别进行动力学分析，确定出卧式研球机正常工作时实际研磨压力及转动盘转速允许的取值范围，并对其研磨特性进行了分析说明，然后根据研磨压力和转动盘转速允许的取值范围以及钢球研磨特性对研磨时实际研磨压力和转动盘转速进行适当的调整，有效防止了钢球在研磨盘中研磨时发生打滑现象，从而能够较大程度的提高钢球表面的精度。

附图说明

图1为钢球在研磨盘中的重力分解图；

图2为垂直于沟槽面的受力分析图；

图3为沿沟槽面的受力分析图；

图4为单个钢球研磨运动分析图；

图5为摩擦系数对研磨曲线的影响图；

图6为钢球半径对研磨曲线的影响图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明作进一步详细说明。卧式研球机中沟槽为V形槽，本发明中所述的沟槽即为V形槽，其中所述的垂直于沟槽是指从V形槽自左而右的方向，沿沟槽是指从V形槽从前而后的方向（也即垂直于纸面的方面）。打滑是指钢球与两个研磨盘在三接触点处存在速度差，不打滑是指钢球与两个研磨盘在三接触点处的相对速度为零。

基于卧式研球机钢球研磨的无打滑调控方法，该方法包括如下步骤：

1）求取各钢球的重力分解式：

如图1所示，为钢球在研磨盘上同一沟槽中的分布。设单个钢球的重量为G，则其在四个象限中的分量分别为：

$\left\{\begin{array}{c}{G}_n=G\cos \mathrm{\&gamma;}\\ G_t=-G\sin \mathrm{\&gamma;}\end{array}\right.---\left(1a\right),\begin{array}{}\end{array}\left\{\begin{array}{c}{G}_n=G\cos \mathrm{\&gamma;}\\ G_t=G\sin \mathrm{\&gamma;}\end{array}\right.---\left(1b\right),\left\{\begin{array}{c}{G}_n=-G\cos \mathrm{\&gamma;}\\ G_t=G\sin \mathrm{\&gamma;}\end{array}\right.---\left(1c\right),\left\{\begin{array}{c}{G}_n=-G\cos \mathrm{\&gamma;}\\ G_t=-G\sin \mathrm{\&gamma;}\end{array}\right.---\left(1d\right);$

其中，式（1a）为钢球在第一象限的重力分解式，式（1b）为钢球在第二象限的重力分解式，式（1c）为钢球在第三象限的重力分解式，式（1d）为钢球在第四象限的重力分解式，上式中G表示钢球重力，G_n表示为钢球重力在球心与研磨盘圆心连线上的分量，G_t表示钢球重力在研磨盘圆周切线方向上的分量，γ表示球心与研磨盘中心的连线和竖直方向的夹角；

2）建立垂直沟槽面的受力模型：

不计钢球间的相互作用及研磨液对钢球的影响，取沟槽中单个作无打滑研磨运动的钢球为研究对象。为避免钢球在各个方向上发生打滑，选取垂直于沟槽面和沿沟槽面两个方向分别进行分析。

研究卧式研球机对钢球的研磨运动时，将钢球和两研磨盘都视为刚体，即它们之间为理想化点接触。如图4所示，钢球与两研磨盘之间的接触点分别是A₀和A₁、A₂，两研磨盘一个为转动盘、另一个为固定盘，对三个接触点A₀和A₁、A₂处进行受力分析，并建立垂直于沟槽的受力模型，具体如下：

如图2所示，钢球若要在沟槽中不发生绕z轴方向的打滑，需满足的动力学方程为：

∑F_x=0,∑F_y=0,∑M_z（F）=0    (2)

即

式中：N₀、N₁、N₂分别为三接触点处的实际研磨压力；F₀、F₁、F₂分别为三接触点处垂直于沟槽的滑动摩擦力；R^*为钢球受到的惯性力；M^*为钢球受到的惯性力偶矩矢，r为钢球的半径，F_x表示各力在轴x方向的分量，Fy表示各力在轴_y方向的分量，Mz(F)表示各力偶矩在轴z方向上的分量，前述的各力包括N₀，N₁，N₂、F₀、F₁、F₂、Gn和R*。

3）求取研磨盘研磨压力允许的最小值：

设三接触点A₀和A₁、A₂处的临界压力为[N₀]、[N₁]、[N₂]，临界滑动摩擦力为[F₀]、[F₁]、[F₂]，则有如下关系式：

[F₀]=f[N₀]，[F₁]=f[N₁]，[F₂]=f[N₂]    (4)

由式(3)～式(4)联立可得：

$\left\{\begin{array}{c}\left[N_0\right]=\frac{(-2+\sqrt{2})}{2}[\frac{{-2R}^{*}f}{1+f^2}+\frac{{2G}_{n}f}{1+f^2}-\frac{\sqrt{2}{M}^{*}}{\mathrm{rf}}]\\ \left[N_1\right]=\frac{(-2+\sqrt{2})}{2}[\frac{(1+\sqrt{2}+f)R^{*}}{1+f^2}-\frac{(1+\sqrt{2}+f)G_n}{1+f^2}-\frac{M^{*}}{\mathrm{rf}}]\\ \left[N_2\right]=\frac{(2-\sqrt{2})}{2}[\frac{(1+\sqrt{2}-f)R^{*}}{1+f^2}-\frac{(1+\sqrt{2}-f)G_n}{1+f^2}+\frac{M^{*}}{\mathrm{rf}}]\end{array}\right.---\left(5\right)$

对于临界压力，每一项都包含R^*、G_n、M^*。一般情况下，R^*、G_n和M^*/r三者具有相同的数量级，滑动摩擦系数f比较小。所以，式(5)可以近似地表示为：

$\left\{\begin{array}{c}\left[N_0\right]=\left[N_0\right]=\frac{(\sqrt{2}-1)M^{*}}{\mathrm{rf}}\\ \left[N_1\right]=\frac{(2-\sqrt{2})M^{*}}{2\mathrm{rf}}\\ \left[N_2\right]=\frac{(2-\sqrt{2})M^{*}}{2\mathrm{rf}}\end{array}\right.---\left(6\right);$

对于运动中的钢球，转动惯量J和惯性力偶矩矢M^*分别为：

$\left\{\begin{array}{c}J=\frac{2}{5}{\mathrm{mr}}^2\\ M^{*}={\mathrm{J\&omega;}}_1\&times;{\mathrm{\&omega;}}_0\end{array}\right.---\left(7\right);$

其中，ω₁表示钢球绕自身球心的转速，ω₀表示为钢球绕研磨盘（此处的研磨盘是指两研磨盘中的转动盘）中心公转的转速；

为使钢球不发生绕z轴方向的打滑，所述三接触点处的临界压力需小于三接触点处的实际研磨压力，其关系式为：

$\left\{\begin{array}{c}\left[N_0\right]<N_0\\ \left[N_1\right]<N_1\\ \left[N_2\right]<N_2\end{array}\right.---\left(8\right);$

根据式(6)～式(8)可以得出N₀的下限不等式为：

$N_0>\frac{2(\sqrt{2}-1)\mathrm{mr}{\mathrm{\&omega;}}_0{\mathrm{\&omega;}}_1\cos \mathrm{\&theta;}}{5f}---\left(9\right)$

其中θ表示偏转角，m表示单个钢球的质量，

4）建立沿沟槽面的受力模型：

如图3所示，若要钢球不发生绕x轴、y轴方向的打滑，需满足的动力学方程为：

∑F_z=0，∑M_x(F)=0，∑M_y(F)=0    (10)

即

其中，F₃、F₄、F₅为所述三接触点处沿沟槽的滑动摩擦力，M₀、M₁、M₂为三接触点处的枢转摩擦力矩；m₀、m₁、m₂为三接触点处的滚转摩擦力矩；m_x为三接触点处枢转摩擦力矩和滚转摩擦力矩在x轴上投影的代数和、m_y为三接触点处枢转摩擦力矩和滚转摩擦力矩在y轴上投影的代数和；

其中，m_x、m_y的表达式分别为：

5）求取研磨盘的实际研磨压力允许的最大值：

由于在三接触点处，滚转摩擦力矩远小于枢转摩擦力矩，所以略去滚转摩擦力矩，只考虑枢转摩擦力矩在x轴、y轴上的投影，则表达式可化简为:

联立式（11）和式（13）可得式（14）：

$\left\{\begin{array}{c}{F}_3=\frac{(\sqrt{2}-1)(M_1+M_2-{\mathrm{rG}}_t)}{r}\\ F_4=\frac{(2-\sqrt{2})}{2r}[-(\sqrt{2}+1)M_0+M_1-(1+\sqrt{2})M_2-{\mathrm{rG}}_t]\\ F_5=\frac{\sqrt{2}}{2r}[M_0-M_1+(\sqrt{2}-1)M_2+(1-\sqrt{2}){\mathrm{rG}}_t]\end{array}\right.---\left(14\right)$

所述三接触点处的枢转摩擦力矩分别为：

$\left\{\begin{array}{c}{M}_0=\frac{3\mathrm{\&pi;f}}{2}{N}_0\sqrt[3]{\frac{3r{N}_0}{4}(\frac{1-{{\mathrm{\&upsi;}}_g}^2}{E_g}+\frac{1-{{\mathrm{\&upsi;}}_y}^2}{E_y})}\\ M_1=\frac{3\mathrm{\&pi;f}}{2}{N}_1\sqrt[3]{\frac{3r{N}_1}{4}(\frac{1-{{\mathrm{\&upsi;}}_g}^2}{E_g}+\frac{1-{{\mathrm{\&upsi;}}_y}^2}{E_y})}\\ M_2=\frac{3\mathrm{\&pi;f}}{2}{N}_2\sqrt[3]{\frac{3r{N}_2}{4}(\frac{1-{{\mathrm{\&upsi;}}_g}^2}{E_g}+\frac{1-{{\mathrm{\&upsi;}}_y}^2}{E_y})}\end{array}\right.---\left(15\right)$

其中，E_g表示钢球的弹性模量，E_y表示研磨盘的弹性模量，υ_g表示钢球的泊松比，υ_y表示研磨盘的泊松比；

分析钢球在沟槽中的静态受力，发现静态时研磨压力的比值近似等于动态临界压力的比值。所以，三接触点处的实际研磨压力的相对关系为：

$N_0:N_1:N_2=\sqrt{2}:1:1---\left(16\right)$

联立式(15)和式(16)可将式(14)进行化简为（17）：

$\left\{\begin{array}{c}{F}_3=\frac{\sqrt[3]{2}(\sqrt{2}-1)}{r}{M}_0-(\sqrt{2}-1)G_t\\ F_4=\frac{-(2-\sqrt{2})(\sqrt{2}+1+2^{-\frac{1}{6}})}{2r}{M}_0-\frac{2-\sqrt{2}}{2}{G}_t\\ F_5=\frac{\sqrt{2}+\sqrt[3]{2}-2^{\frac{5}{6}}}{2r}{M}_0-\frac{2-\sqrt{2}}{2}{G}_t\end{array}\right.---\left(17\right)$

在研磨过程中，研磨盘（此处的研磨盘是指两研磨盘中的转动盘）需克服三接触点处的枢转摩擦力矩和滚转摩擦力矩，带动钢球转动。若要使钢球在转动时不发生绕x轴、y轴方向打滑需满足的条件为：

|F₃|<N₀f(18a)，|F₄|<N₁f（18b），|F₅|<N₂f  （18c）；

对式（18a），（18b）和（18c）进行求解。

比较式(17)中滑动摩擦力的大小，有F₄大于其它两个。选取F₄的表达式作为代表式，将式(17)中F₄的表达式代入式(18b)化简可得式（19）：

$\frac{1}{f}[\frac{1+2^{-\frac{1}{6}}(\sqrt{2}-1)}{r}{M}_0+(\sqrt{2}-1)G_t]<N_0---\left(19\right)$

由式(15)中可以得出，M₀正比于N₀ ^4/3，将式(15)中M₀的表达式代入式(19)中求解，得解为N₀<B。式(18a)的求解过程与式(18b)的求解过程相同，得解为N₀<A；式(18c)的求解过程与式(18b)的求解过程相同，得解为N₀<C;

6）求取研磨盘（此处的研磨盘是指两研磨盘中的转动盘）的转速的最大允许值：

由上述可知，为使钢球在研磨过程中各个方向都不发生打滑，需满足如下关系式：

$\frac{2(\sqrt{2}-1)\mathrm{mr}{\mathrm{\&omega;}}_0{\mathrm{\&omega;}}_1\cos \mathrm{\&theta;}}{5f}<N_0<\min \{A,B,C\}---\left(20\right)$

所述三个接触点A₀和A₁、A₂对应的公转半径依次为R₀、R₁、R₂，运用刚体运动学的普遍定理，在三接触点处建立钢球的无打滑研磨运动方程为：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\&omega;}}_0{R}_0+{\mathrm{\&omega;}}_{1}r\cos \mathrm{\&theta;}=\mathrm{\&Omega;}{R}_0\\ {\mathrm{\&omega;}}_0{R}_1-{\mathrm{\&omega;}}_{1}r\sin (\mathrm{\&alpha;}-\mathrm{\&theta;})=0\\ {\mathrm{\&omega;}}_0{R}_2-{\mathrm{\&omega;}}_{1}r\sin (\mathrm{\&beta;}+\mathrm{\&theta;})=0\end{array}\right.---\left(21\right)$

其中：研磨盘（此处的研磨盘是指两研磨盘中的转动盘）的转速为Ω；偏转角为θ；钢球半径为r。

通过MATLAB对式(21)进行求解，可以得出三个研磨参数分别为：

$\left\{\begin{array}{c}\tan \mathrm{\&theta;}=\frac{-R_1\sin \mathrm{\&beta;}+R_2\sin \mathrm{\&alpha;}}{R_1\cos \mathrm{\&beta;}+R_2\cos \mathrm{\&alpha;}}\\ {\mathrm{\&omega;}}_0=\frac{R_0\sin (\mathrm{\&alpha;}+\mathrm{\&beta;})\mathrm{\&Omega;}}{R_0\sin (\mathrm{\&alpha;}+\mathrm{\&beta;})+R_1\cos \mathrm{\&beta;}+R_2\cos \mathrm{\&alpha;}}\\ {\mathrm{\&omega;}}_1=\frac{R_0{R}_2\mathrm{\&Omega;}}{r[R_0\sin (\mathrm{\&beta;}+\mathrm{\&theta;})+R_2\cos \mathrm{\&theta;}]}\end{array}\right.---\left(22\right)$

把式(22)代入式(20)可知，下限表达式正比于Ω²。由于A,B,C均是与研磨盘（此处的研磨盘是指两研磨盘中的转动盘）转速无关的常数，可推出Ω<D，即D为研磨盘（此处的研磨盘是指两研磨盘中的转动盘）转速允许的最大值，其中α表示点A₁与球心的连线和竖直方向的夹角，β表示点A₂与球心的连线和竖直方向的夹角。

7）根据确立的实际研磨压力及转速盘的转速的取值范围，根据钢球半径和摩擦系数调整钢球研磨时相应的研磨压力和研磨盘的转速。

由于钢球在沟槽中作无打滑研磨运动时，公转半径的不同会影响研磨压力及最大允许转速的取值范围，所以为了进行具体分析，这里选取了研磨盘的材料为HT300，钢球的材料为GCr15，公转半径R₀为315mm。

如图5所示，为r=10mm时研磨盘最大允许转速与研磨压力之间的关系曲线，随研磨压力的增加，最大允许转速呈现上升趋势。摩擦系数越大，研磨盘允许达到的转速越大，说明钢球在研磨过程中也越不容易发生打滑。如图6所示，在f=0.05时随钢球半径的增大，研磨盘的最大允许转速在减小，说明钢球将变得容易发生打滑，这时应加大研磨压力、降低研磨盘转速。

最后说明的是，以上实施例仅用以说明本发明的技术方案而非限制，尽管参照较佳实施例对本发明进行了详细说明，本领域的普通技术人员应当理解，可以对本发明的技术方案进行修改或者等同替换，而不脱离本发明技术方案的宗旨和范围，其均应涵盖在本发明的权利要求范围当中。

Claims (1)

1.基于卧式研球机钢球研磨的无打滑调控方法，其特征在于该方法包括如下步骤：

1）求取钢球的重力分解式：绘制钢球在卧式研球机研磨盘上的结构见图，通过受力分析，确立钢球在不同象限中的重力分解式，具体如下：

$\left\{\begin{array}{c}{G}_n=G\cos \mathrm{\&gamma;}\\ G_t=-G\sin \mathrm{\&gamma;}\end{array}\right.---\left(1a\right),\begin{array}{}\end{array}\left\{\begin{array}{c}{G}_n=G\cos \mathrm{\&gamma;}\\ G_t=G\sin \mathrm{\&gamma;}\end{array}\right.---\left(1b\right),\left\{\begin{array}{c}{G}_n=-G\cos \mathrm{\&gamma;}\\ G_t=G\sin \mathrm{\&gamma;}\end{array}\right.---\left(1c\right),\left\{\begin{array}{c}{G}_n=-G\cos \mathrm{\&gamma;}\\ G_t=-G\sin \mathrm{\&gamma;}\end{array}\right.---\left(1d\right);$

其中，式（1a）为钢球在第一象限的重力分解式，式（1b）为钢球在第二象限的重力分解式，式（1c）为钢球在第三象限的重力分解式，式（1d）为钢球在第四象限的重力分解式，上式中G表示钢球重力，G_n表示为钢球重力在球心与研磨盘圆心连线上的分量，G_t表示钢球重力在研磨盘圆周切线方向上的分量，γ表示球心与研磨盘中心的连线和竖直方向的夹角；

2）建立垂直于沟槽的受力模型：钢球与两研磨盘之间的接触点分别是A₀和A₁、A₂，对三个接触点A₀和A₁、A₂处进行受力分析，并建立垂直于沟槽的受力模型，具体如下：

钢球若要在沟槽中不发生绕z轴方向的打滑，需满足的动力学方程（3）：

式中，N₀、N₁、N₂分别为三接触点处的实际研磨压力；F₀、F₁、F₂分别为三接触点处垂直于沟槽的滑动摩擦力；R^*为钢球受到的惯性力；M^*为钢球受到的惯性力偶矩矢，r为钢球的半径；

3）求取研磨盘实际研磨压力允许的最小值，具体如下：设所述三接触点A₀和A₁、A₂处的临界压力分别为[N₀]、[N₁]、[N₂]，临界滑动摩擦力分别为[F₀]、[F₁]、[F₂]，则有如下关系式：

[F₀]=f[N₀]，[F₁]=f[N₁]，[F₂]=f[N₂]    (4)

由式(3)～式(4)联立可得式（5）

$\left\{\begin{array}{c}\left[N_0\right]=\frac{(-2+\sqrt{2})}{2}[\frac{{-2R}^{*}f}{1+f^2}+\frac{{2G}_{n}f}{1+f^2}-\frac{\sqrt{2}{M}^{*}}{\mathrm{rf}}]\\ \left[N_1\right]=\frac{(-2+\sqrt{2})}{2}[\frac{(1+\sqrt{2}+f)R^{*}}{1+f^2}-\frac{(1+\sqrt{2}+f)G_n}{1+f^2}-\frac{M^{*}}{\mathrm{rf}}]\\ \left[N_2\right]=\frac{(2-\sqrt{2})}{2}[\frac{(1+\sqrt{2}-f)R^{*}}{1+f^2}-\frac{(1+\sqrt{2}-f)G_n}{1+f^2}+\frac{M^{*}}{\mathrm{rf}}]\end{array}\right.---\left(5\right)$

其中，f为摩擦系数；

式（5）近似地表示为式（6）：

$\left\{\begin{array}{c}\left[N_0\right]=\left[N_0\right]=\frac{(\sqrt{2}-1)M^{*}}{\mathrm{rf}}\\ \left[N_1\right]=\frac{(2-\sqrt{2})M^{*}}{2\mathrm{rf}}\\ \left[N_2\right]=\frac{(2-\sqrt{2})M^{*}}{2\mathrm{rf}}\end{array}\right.---\left(6\right);$

对于运动中的钢球，转动惯量J和惯性力偶矩矢M^*分别为：

$\left\{\begin{array}{c}J=\frac{2}{5}{\mathrm{mr}}^2\\ M^{*}={\mathrm{J\&omega;}}_1\&times;{\mathrm{\&omega;}}_0\end{array}\right.---\left(7\right);$

其中，ω₁表示钢球绕自身球心的转速，ω₀表示为钢球绕研磨盘中心公转的转速；

为使钢球不发生绕z轴方向的打滑，所述三接触点处的临界压力需小于三接触点处的实际研磨压力，其关系式为：

$\left\{\begin{array}{c}\left[N_0\right]<N_0\\ \left[N_1\right]<N_1\\ \left[N_2\right]<N_2\end{array}\right.---\left(8\right);$

根据式(6)～式(8)可以得出N₀的下限不等式为：

$N_0>\frac{2(\sqrt{2}-1)\mathrm{mr}{\mathrm{\&omega;}}_0{\mathrm{\&omega;}}_1\cos \mathrm{\&theta;}}{5f}---\left(9\right);$

其中θ表示偏转角，m表示单个钢球的质量；

4）建立沿沟槽的受力模型，具体如下：钢球若要在沟槽中不发生绕x轴、y轴方向的打滑，需满足的动力学方程（11）：

其中，F₃、F₄、F₅为所述三接触点处沿沟槽的滑动摩擦力，M₀、M₁、M₂为三接触点处的枢转摩擦力矩；m₀、m₁、m₂为三接触点处的滚转摩擦力矩；m_x为三接触点处枢转摩擦力矩和滚转摩擦力矩在x轴上投影的代数和、m_y为三接触点处枢转摩擦力矩和滚转摩擦力矩在y轴上投影的代数和；

5）求取研磨盘研磨压力允许的最大值，具体如下：

略去滚转摩擦力矩，只考虑枢转摩擦力矩在x轴，_y轴上的投影，则m_x、m_y的表达式为式（13）：

联立式（11）和式（13）可得式（14）：

$\left\{\begin{array}{c}{F}_3=\frac{(\sqrt{2}-1)(M_1+M_2-{\mathrm{rG}}_t)}{r}\\ F_4=\frac{(2-\sqrt{2})}{2r}[-(\sqrt{2}+1)M_0+M_1-(1+\sqrt{2})M_2-{\mathrm{rG}}_t]\\ F_5=\frac{\sqrt{2}}{2r}[M_0-M_1+(\sqrt{2}-1)M_2+(1-\sqrt{2}){\mathrm{rG}}_t]\end{array}\right.---\left(14\right);$

所述三接触点处的枢转摩擦力矩分别为：

$\left\{\begin{array}{c}{M}_0=\frac{3\mathrm{\&pi;f}}{2}{N}_0\sqrt[3]{\frac{3r{N}_0}{4}(\frac{1-{{\mathrm{\&upsi;}}_g}^2}{E_g}+\frac{1-{{\mathrm{\&upsi;}}_y}^2}{E_y})}\\ M_1=\frac{3\mathrm{\&pi;f}}{2}{N}_1\sqrt[3]{\frac{3r{N}_1}{4}(\frac{1-{{\mathrm{\&upsi;}}_g}^2}{E_g}+\frac{1-{{\mathrm{\&upsi;}}_y}^2}{E_y})}\\ M_2=\frac{3\mathrm{\&pi;f}}{2}{N}_2\sqrt[3]{\frac{3r{N}_2}{4}(\frac{1-{{\mathrm{\&upsi;}}_g}^2}{E_g}+\frac{1-{{\mathrm{\&upsi;}}_y}^2}{E_y})}\end{array}\right.---\left(15\right);$

其中，E_g表示钢球的弹性模量，E_y表示研磨盘的弹性模量，υ_g表示钢球的泊松比，υ_y表示研磨盘的泊松比；

所述三接触点处的实际研磨压力的相对关系为：

$N_0:N_1:N_2=\sqrt{2}:1:1---\left(16\right);$

联立式(15)和式(16)将式(14)化简为（17）：

$\left\{\begin{array}{c}{F}_3=\frac{\sqrt[3]{2}(\sqrt{2}-1)}{r}{M}_0-(\sqrt{2}-1)G_t\\ F_4=\frac{-(2-\sqrt{2})(\sqrt{2}+1+2^{-\frac{1}{6}})}{2r}{M}_0-\frac{2-\sqrt{2}}{2}{G}_t\\ F_5=\frac{\sqrt{2}+\sqrt[3]{2}-2^{\frac{5}{6}}}{2r}{M}_0-\frac{2-\sqrt{2}}{2}{G}_t\end{array}\right.---\left(17\right);$

若要使钢球在转动时不发生绕x轴、y轴方向打滑需满足的条件为：

|F₃|<N₀f(18a)，|F₄|<N₁f（18b），|F₅|<N₂f   （18c）

比较式(17)中三个滑动摩擦力的大小，有F₄大于其它两个，选取F₄的表达式作为代表式，将式(17)中F₄的表达式代入式(18b)化简可得式（19）：

$\frac{1}{f}[\frac{1+2^{-\frac{1}{6}}(\sqrt{2}-1)}{r}{M}_0+(\sqrt{2}-1)G_t]<N_0---\left(19\right)$

由式(15)中可以得出，M₀正比于N₀ ^4/3，将式(15)中M₀的表达式代入式(19)中求解，得解为N₀<B,同理，对式(18a)化简求解，得解为N₀<A；对式(18c)化简求解，得解为N₀<C;

6）求取研磨盘的转速的最大允许值：为使钢球在研磨过程中z轴，y轴和z轴都不打滑，需满足如下关系式：

$\frac{2(\sqrt{2}-1)\mathrm{mr}{\mathrm{\&omega;}}_0{\mathrm{\&omega;}}_1\cos \mathrm{\&theta;}}{5f}<N_0<\min \{A,B,C\}---\left(20\right);$

所述三个接触点A₀和A₁、A₂对应的公转半径依次为R₀、R₁、R₂，运用刚体运动学的普遍定理，在三接触点处建立钢球的无打滑研磨运动方程为：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\&omega;}}_0{R}_0+{\mathrm{\&omega;}}_{1}r\cos \mathrm{\&theta;}=\mathrm{\&Omega;}{R}_0\\ {\mathrm{\&omega;}}_0{R}_1-{\mathrm{\&omega;}}_{1}r\sin (\mathrm{\&alpha;}-\mathrm{\&theta;})=0\\ {\mathrm{\&omega;}}_0{R}_2-{\mathrm{\&omega;}}_{1}r\sin (\mathrm{\&beta;}+\mathrm{\&theta;})=0\end{array}\right.---\left(21\right);$

其中：Ω表示研磨盘的转速；θ表示偏转角，r表示钢球半径；

通过MATLAB对式(21)进行求解，可以得出三个研磨参数分别为：

$\left\{\begin{array}{c}\tan \mathrm{\&theta;}=\frac{-R_1\sin \mathrm{\&beta;}+R_2\sin \mathrm{\&alpha;}}{R_1\cos \mathrm{\&beta;}+R_2\cos \mathrm{\&alpha;}}\\ {\mathrm{\&omega;}}_0=\frac{R_0\sin (\mathrm{\&alpha;}+\mathrm{\&beta;})\mathrm{\&Omega;}}{R_0\sin (\mathrm{\&alpha;}+\mathrm{\&beta;})+R_1\cos \mathrm{\&beta;}+R_2\cos \mathrm{\&alpha;}}\\ {\mathrm{\&omega;}}_1=\frac{R_0{R}_2\mathrm{\&Omega;}}{r[R_0\sin (\mathrm{\&beta;}+\mathrm{\&theta;})+R_2\cos \mathrm{\&theta;}]}\end{array}\right.---\left(22\right)$

把式(22)代入式(20)可知，下限表达式正比于Ω²，推出Ω<D，即D为研磨盘的转速允许的最大值，其中α表示点A₁与球心的连线和竖直方向的夹角，β表示点A₂与球心的连线和竖直方向的夹角；

7）根据确立的实际研磨压力和转速盘的转速的取值范围，根据钢球半径和摩擦系数调整钢球研磨时相应的实际研磨压力和研磨盘的转速。