CN103886542A - 量子Arnold图像置乱方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及量子Arnold图像置乱方法，其特征在于能够在量子计算机上实现图像的Arnold置乱。所述方法包括：给定原始量子图像，对原始图像的x轴坐标进行Arnold置乱变换，对原始图像的y轴坐标进行Arnold置乱变换。对x轴坐标的置乱变换还包括计算x+y和对2ⁿ取模；对y轴坐标的置乱变换还包括计算2y、计算x+2y和对2ⁿ取模。本发明算法以量子线路的形式给出，能够保证算法能在量子计算机上直接运行；与已有的量子Arnold置乱算法相比，本发明的取模操作通过直接忽略进位实现，大大降低了网络复杂度。

Description

量子Arnold图像置乱方法

技术领域

本发明涉及量子计算技术和图像置乱技术，涉及一种在量子计算机上实现Arnold图像置乱效果的方法。

背景技术

1.Arnold图像置乱

图像置乱是指通过移动像素的位置将图像变为不可读的形式，以达到保护图像信息的目的。为了保证置乱的置乱度，置乱按照某种规律进行。按照规律的不同，有多种置乱方法，Arnold置乱是其中之一。

在经典计算机上，数字图像可以看作是一个二维矩阵I(x,y)。假设图像尺寸为2ⁿ×2ⁿ，n为非负整数，置乱后图像为I′(x′,y′)，则Arnold置乱可定义为：

x′＝(x+y)mod2ⁿ         （1）

y′＝(x+2y)mod2ⁿ

其中，mod为取模运算。

置乱后，像素从(x,y)位置移动到了(x′,y′)位置，即原来(x,y)位置存储的像素值被拷贝到(x′,y′)位置。

2.量子计算机和量子逻辑门

量子计算机利用量子力学的规律进行信息处理和逻辑操作，是不同于经典计算机的新型计算设备，有着经典计算机无可比拟的优势：具有与生俱来的并行计算能力，并能避免能量的额外损耗。

所有量子计算机上的信息处理和逻辑操作，即量子算法，均可以用量子线路的形式来表示。量子线路由量子逻辑门组成。量子逻辑门的输入和输出是量子比特，量子比特也是量子计算机上信息存储和处理的最小单位，用符号|·＞表示。量子线路的本质是一个流程图，告诉量子计算机怎样经过一步一步的处理，将量子比特从输入态变为输出态，每一步处理对应一个量子逻辑门。量子线路又可以看成一种量子装置，可以将输入态变为输出态。

常见量子逻辑门及其符号表示和功能如表1所示。所有逻辑门默认左端是输入，右端是输出。

表1常见量子逻辑门

3.量子图像

量子计算机上存储和处理的图像是量子图像。量子图像的表示方法完全不同于经典计算机上的数字图像。一个2ⁿ×2ⁿ的图像用2n+1个量子比特表示，其中n个量子比特存储X方向的位置信息，另外n个量子比特存储Y方向的位置信息，1个量子比特存储灰度信息。即：

$|I>=\frac{1}{2^n}\underset{i=0}{\overset{2^{2n}-1}{\mathrm{\Σ}}}|c_i>\⊗|i>$

$|c_i>=\cos {\mathrm{\θ}}_i|0>+\sin {\mathrm{\θ}}_i|0>,{\mathrm{\θ}}_i\∈[0,\frac{\mathrm{\π}}{2}],i=\mathrm{0,1},...,2^{2n}-1---\left(2\right)$

|i＞＝|y＞|x＞＝|y_n-1y_n-2…y₀＞|x_n-1x_n-2…x₀＞,|y_j＞|x_j＞∈{0,1},j＝n-1,…,0

其中，|y_n-1y_n-2…y₀＞|x_n-1x_n-2…x₀＞是位置信息，|c_i＞是灰度信息，

是克罗内克积。

4.量子加法器

量子加法器是在量子计算机上实现两数相加的装置。假设|a＞和|b＞是两个量子数，均由n个量子比特构成，|a＞＝|a_n-1a_n-2…a₀＞，|b＞＝|b_n-1b_n-2…b₀＞，a_i,b_i∈{0,1}，则量子加法器可以算出a和b的和，计算结果保留在|ca_n-1a_n-2…a₀＞中。其中|c＞，c∈{0,1}，是初值为0的辅助位，用来存储进位。

5.量子Arnold图像置乱方法与经典Arnold图像置乱方法的不同

本发明要实现的量子Arnold图像置乱方法，在目的上与经典Arnold图像置乱方法是一致的，即要达到同样的置乱效果。但是两者又存在非常多的不同：

（1）适用设备不一样：经典方法在经典计算机上运行；量子方法在量子计算机上运行。相互之间无法通用。

（2）图像表示方法不一样：经典计算机上一个2ⁿ×2ⁿ图像，需要一个2ⁿ×2ⁿ数组来存储，如果数组中每个元素用8比特表示，即像素色深为8，则整个图像需要占用8×2ⁿ×2ⁿ比特，如果色深为24，RGB各占8比特，则整个图像需要占用24×2ⁿ×2ⁿ比特，空间复杂度为O(2²ⁿ)；量子计算机上，仅需2n+1个量子比特，空间复杂度为O(n)。

（3）像素移动原理不一样：经典计算机中进行像素移动时，真的需要将像素值从一个位置拷贝到另一个位置；量子计算机中是通过调整位置信息|y_n-1y_n-2…y₀＞和|x_n-1x_n-2…x₀＞中各个量子比特的值来实现，比如，如果量子线路能够把位置信息|11＞变为|00＞，那么原来|11＞位置上的像素就被搬移到了|00＞位置。

6.已有量子Arnold置乱方法

姜楠等发表在Quantum Information Processing上的论文“The quantum realization of Arnoldand Fibonacci image scrambling”，公开了一种量子Arnold置乱方法，该方法基于量子加法器实现，但对取模运算的处理过于复杂。

发明内容

本发明的目的是给出一种在量子计算机上实现Arnold图像置乱效果的方法。

为了实现上述目的，本发明采用以下技术方案。

图1所示为总体流程图。从公式（1）能够看出，x′和y′分别用两个公式计算，彼此之间不存在交叉。因此给出量子算法时，x′和y′可分别用两个量子线路实现。

图2所示为实现x′的流程图。根据公式（1），实现x′时，先将x和y相加，再实现取模运算。

图3所示为x′的量子实现方法。为实现x和y相加，采用量子加法器。将位置信息|y_n-1y_n-2…y₀＞和|x_n-1x_n-2…x₀＞作为加法器的输入，最下面的量子比特|0＞用来存储进位。

为实现取模操作，取结果时，直接将进位忽略即可。这是因为两个n比特的二进制数相加，其和小于2ⁿ⁺¹，所以直接舍弃进位位即是其和对2ⁿ取模的值。

线路图中的CARRY和SUM是两个量子计算模块，模块中的黑色竖条表明模块中量子逻辑门的摆放顺序。如果黑色竖条在右边，则模块的左边是输入，右边是输出；如果黑色竖条在左边，则模块的右边是输入，左边是输出，即将模块中的逻辑门顺序颠倒使用。

图4所示为上图中两个量子计算模块的分解。

图5所示为实现y′的流程图。根据公式（1），实现y′时，先将y乘以2，再将x和2y相加，最后实现取模运算。

图6所示为y′的量子实现方法。为实现y乘以2，将y中的所有量子比特左移1位，最右端补0，并忽略最高位，即将|y_n-1y_n-2…y₀＞变为|y_n-2…y₀0＞。左移1位并在最右端补0，是为了乘以2；忽略最高位是因为后面要进行取模运算，而(x+2y)mod2ⁿ≡(x+((2y)mod2ⁿ))mod2ⁿ，因此可以在此处先忽略掉一次最高位。在量子计算机中，将|y_n-1y_n-2…y₀＞变为|y_n-2…y₀0＞不需要用量子逻辑门处理，只需要将量子比特|y_n-2…y₀0＞输入到相应的位置即可。

为实现x和2y相加，采用量子加法器。将位置信息|y_n-2…y₀0＞和x_n-1x_n-2…x₀＞作为加法器的输入。

为实现取模操作，取结果时，直接将进位忽略即可。

与现有技术相比，本发明具有以下优点：

（1）本发明适用于量子计算机，能够在量子计算机上实现图像的Arnold置乱。

（2）本发明算法以量子线路的形式给出，保证算法能在量子计算机上直接运行。

（3）与已有的量子Arnold置乱算法相比，本发明的取模操作通过直接忽略进位实现，网络复杂度大大降低。

附图说明

图1为本发明所涉及方法的总体流程图；

图2为实现x′的流程图；

图3为x′的量子实现原理图；

图4为量子计算模块分解示意图；

图5为实现y′的流程图；

图6为y′的量子实现示意图；

图7为1个4×4图像的示意图；

图8为具体实施例中x′的量子实现原理图；

图9为具体实施例中y′的量子实现原理图。

具体实施方式

下面结合附图和实施例对本发明做进一步说明。

本发明所述的Arnold置乱方法的流程图如图1所示，包括以下步骤：

步骤1，给定原始量子图像|I＞，其表达式为：

$|I>=\frac{1}{2^n}\underset{i=0}{\overset{2^{2n}-1}{\mathrm{\Σ}}}|c_i>\⊗|i>$

$|c_i>=\cos {\mathrm{\θ}}_i|0>+\sin {\mathrm{\θ}}_i|0>,{\mathrm{\θ}}_i\∈[0,\frac{\mathrm{\π}}{2}],i=\mathrm{0,1},...,2^{2n}-1$

|i＞＝|y＞|x＞＝|y_n-1y_n-2…y₀＞|x_n-1x_n-2…x₀＞,|y_j＞|x_j＞∈{0,1},j＝n-1,…,0

其中，2ⁿ×2ⁿ为经典图像尺寸，|y_n-1y_n-2…y₀＞|x_n-1x_n-2…x₀＞是位置信息，|c_i＞是灰度信息，

是克罗内克积。

步骤2，对原始图像的x轴坐标进行Arnold置乱变换。

（1）计算x+y。

采用量子加法器。将原始图像的位置信息|y_n-1y_n-2…y₀＞和|x_n-1x_n-2…x₀＞作为加法器的输入，加法器最下面的量子比特|0＞用来存储进位。

（2）对2ⁿ取模。

因为两个n比特的二进制数相加，其和小于2ⁿ⁺¹，所以直接舍弃进位位即是其和对2ⁿ取模的值。

Arnold置乱后的x轴坐标依然存储在量子比特|x_n-1x_n-2…x₀＞中，各个量子比特的值由x_n-1x_n-2…x₀变为x′_n-1x′_n-2…x′₀。

步骤3，对原始图像的y轴坐标进行Arnold置乱变换。

（1）计算2y。

将y中的所有量子比特左移1位，最右端补0，并忽略最高位，即将|y_n-1y_n-2…y₀＞变为|y_n-2…y₀0＞。

（2）计算x+2y。

采用量子加法器。将左移1位后的y轴位置信息|y_n-2…y₀0＞和原始图像的x轴位置信息|x_n-1x_n-2…x₀＞作为加法器的输入，加法器最下面的量子比特0用来存储进位。

（3）对2ⁿ取模。

为实现取模操作，取结果时，直接将进位忽略即可。

Arnold置乱后的y轴坐标依然存储在量子比特|y_n-1y_n-2…y₀＞中，各个量子比特的值由y_n-1y_n-2…y₀变为y′_n-1y′_n-2…y′₀。

其中步骤2和步骤3顺序可颠倒，也可并行执行。经过步骤2和步骤3给出的量子线路的处理，量子图像的位置信息由量子态|y＞|x＞，即|yx＞，变为量子态|y′x′＞，也就是将量子图像中处在|yx＞位置的像素移动到|y′x′＞位置，即完成了Arnold图像置乱。

下面给出一个对4×4像素大小的图片进行Arnold置乱的实例。

图7所示为1个4×4图像，这里n=2，即位置信息x和y各用2个量子比特表示，（a）是原图，（b）是Arnold置乱后的效果。

图8所示为具体实施例对应的实现x′的量子线路。由于n=2，其输入为位置信息|y₁y₀＞、|x₁x₀＞以及3个初值为0的辅助位。线路中每部分与图3的对应关系，在图中用虚线标出。

在该实施例中，注意到最下面的辅助位不做控制位，即该量子位对其他量子位没有影响，且它是最终被忽略的进位，因此该量子位对本实施例来讲是多余的，可从线路中删除，与之有关联从左往右数的第4个和第6个逻辑门随之也被删除。这样第5个、第7个、第8个逻辑门就成为有同样输入的并排在一起的控制非门1。3个控制非门1并列的作用相当于1个控制非门，可以将其中的2个删除。这样实现x′的量子线路被等价化简为等价符号后面的样子。

图9所示为具体实施例对应的实现y′的量子线路。该线路与实现x′的量子线路结构是完全相同的，差别仅在于输入不同。

根据图8和图9所示的量子线路，以及表1给出的各量子逻辑门的作用，可以得到Arnold置乱真值表，如表2所示。根据真值表，Arnold置乱后的图像为图7（b）。比如像素“E”原来所处的位置在第01行、00列，置乱后，该像素处在第10行、01列。

表2对4×4图片进行Arnold置乱处理的真值表

Claims (2)

1.量子Arnold图像置乱方法，其特征在于能够在量子计算机上实现图像的Arnold置乱；所述方法包括以下步骤：

步骤1，给定原始量子图像|I>，其表达式为：

$|I>=\frac{1}{2^n}\underset{i=0}{\overset{2^{2n}-1}{\mathrm{\Σ}}}|c_i>\⊗|i>$

$|c_i>=\cos {\mathrm{\θ}}_i|0>+\sin {\mathrm{\θ}}_i|0>,{\mathrm{\θ}}_i\∈[0,\frac{\mathrm{\π}}{2}],i=\mathrm{0,1},...,2^{2n}-1$

|i＞＝|y＞|x＞＝|y_n-1y_n-2…y₀＞|x_n-1x_n-2…x₀＞,|y_j＞|x_j＞∈{0,1},j＝n-1,…,0

其中，2ⁿ×2ⁿ为经典图像尺寸，|y_n-1y_n-2…y₀＞|x_n-1x_n-2…x₀＞是位置信息，|c_i＞是灰度信息，

是克罗内克积；

步骤2，对原始图像的x轴坐标进行Arnold置乱变换；

（1）计算x+y；

采用量子加法器；将原始图像的位置信息|y_n-1y_n-2…y₀＞和|x_n-1x_n-2…x₀＞作为加法器的输入，加法器最下面的量子比特|0＞用来存储进位；

（2）对2ⁿ取模；

步骤（1）计算得到的x+y对2ⁿ取模；

取模后完成对原始图像x轴坐标的Arnold置乱，置乱后的x轴坐标依然存储在量子比特|x_n-1x_n-2…x₀＞中，各个量子比特的值由x_n-1x_n-2…x₀变为x′_n-1x′_n-2…x′₀；

步骤3，对原始图像的y轴坐标进行Arnold置乱变换；

（1）计算2y；

将y中的所有量子比特左移1位，最右端补0，并忽略最高位，即将＞y_n-1y_n-2…y₀＞变为|y_n-2…y₀0＞；

（2）计算x+2y；

采用量子加法器；将左移1位后的y轴位置信息|y_n-2…y₀0＞和原始图像的x轴位置信息|x_n-1x_n-2…x₀＞作为加法器的输入，加法器最下面的量子比特|0＞用来存储进位；

（3）对2ⁿ取模；

步骤（2）计算得到的x+2y对2ⁿ取模；

取模后完成对原始图像y轴坐标的Arnold置乱，置乱后的y轴坐标依然存储在量子比特|y_n-1y_n-2…y₀＞中，各个量子比特的值由y_n-1y_n-2…y₀变为y′_n-1y′_n-2…y′₀。

2.根据权利要求1所述的量子Arnold图像置乱方法，其特征在于，所述步骤2和步骤3所述的对2ⁿ取模运算通过在取结果时直接将进位忽略实现。

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