CN103942753A - 多维量子彩色图像的几何变换的设计与实现方法 - Google Patents

Abstract

多维量子彩色图像的几何变换的设计与实现方法，公开了一种新型的多维量子彩色图像的几何变换设计方法，以及实现它们的量子线路设计图。这些设计图用基本的量子比特门（包括量子比特受控门和单量子比特门），分别构建了两点交换、对称翻转、局部翻转、直角旋转和平移变换的实现线路。从几何变换的实现线路复杂度分析可知，对于一幅个像素的多维量子彩色图像，它的几何变换是一种高效的变换方法，其中全局变换（对称翻转、局部翻转和直角旋转）的线路的复杂度都是，这是其它的经典几何变换无法达到的。本发明适用于很多实际的图像处理应用领域。摘要附图是实现k维彩色图像两点交换的量子线路。

Description

多维量子彩色图像的几何变换的设计与实现方法

技术领域

本发明涉及多维量子彩色图像的几何变换的设计方法与实现方法，属于量子图像处理技术领域。

背景技术

量子计算机有不同的结构模型，例如量子图灵机模型，量子线路模型，细胞自动机模型等。量子线路模型比其它的几种模型更容理解，但功能是等价的，因此采用量子线路模型来定义量子计算机：是由包含连线和基本量子门排列起来、形成的处理量子信息的量子线路建造的。量子计算机具有独特的处理数据能力，可解决现有经典计算机难以解决的数学问题，例如大数的质因子分解和离散对数求解，因此，它成为世界各国战略竞争焦点，比如，美国仿照当年成功制造原子弹的曼哈顿计划(Manhattan project)，在2009年启动了微型曼哈顿计划(Mini-Manhattan project)，投巨资去研发量子芯片。

将量子计算和图像处理处理技术向结合，这种新的不同学科的交叉技术定义为量子图像处理。

在经典计算中，信息单元用比特(Bit)表示，它只有两个状态：0态或1态。在量子计算中，信息单元用量子比特(Qubit)表示，它有两个基本量子态|0＞和|1＞，基本量子态简称为基态(Basis State)。任何双能级的量子系统都可用来实现量子比特，例如氢原子中的电子的基态和激发态、质子自旋在任意方向的+12分量和-12、圆偏振光的左旋和右旋等都可以分别用|0＞和|1＞表示。

一个量子比特可以是两个基态的线性组合，常被称为叠加态(Superposition)，可表示为|ψ＞＝a|0＞+b|1＞。其中a和b是两个复数，满足|a|²+|b|²＝1，因此也被称为概率幅。在测量量子比特时，量子态|ψ＞以|a|²的概率坍缩(Collapsing)成|0＞，以|b|²的概率坍缩成|1＞。所以一个量子比特可以同时包含|0＞和|1＞的信息，这与经典计算中的比特截然不同。

张量积(Tensor Product)是将小的向量空间合在一起，构成更大向量空间的一种方法，用符号表示，它有如下的含义：

假设U和V是两个复矩阵

$U=\left[\begin{array}{cc}{u}_{00}& u_{01}\\ u_{10}& u_{11}\end{array}\right],V=\left[\begin{array}{cc}{v}_{00}& v_{01}\\ v_{10}& v_{11}\end{array}\right]$

那么

$U\⊗V=\left[\begin{array}{cccc}{u}_{00}{v}_{00}& u_{00}{v}_{01}& u_{01}{v}_{00}& u_{01}{v}_{01}\\ u_{00}{v}_{10}& u_{00}{v}_{11}& u_{01}{v}_{10}& u_{01}{v}_{11}\\ u_{10}{v}_{00}& u_{10}{v}_{01}& u_{11}{v}_{00}& u_{11}{v}_{01}\\ u_{10}{v}_{10}& u_{10}{v}_{11}& u_{11}{v}_{10}& u_{11}{v11}_{}\end{array}\right]$

对于两个基态|u＞和|v＞，它们的张量积常用缩写符号|uv＞，|u＞|v＞或|u,v＞表示，例如对于基态|0＞和|1＞，它们的张量积可表示为

$|0\⟩\⊗|1\⟩=|0\⟩|1\⟩=|01\⟩=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]\⊗\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\\ 0\end{array}\right]$

对于矩阵U的n次张量积可简写成对于量子态|u＞的n次张量积也可简写成

一个双量子比特可由两个单量子比特张量运算合成，它有四个基态|00＞、|01＞、|10＞和|11＞。因此，一个双量子比特的状态可描述为

|ψ＞＝a₀₀|00＞+a₀₁|01＞+a₁₀|10＞+a₁₁|11＞

其中测量结果|00＞、|01＞、|10＞和|11＞出现的概率分别是|a₀₀|²、|a₀₁|²、|a₁₀|²和|a₁₁|²，并且满足归一化条件|a₀₀|²+|a₀₁|²+|a₁₀|²+|a₁₁|²＝1。

若一个量子系统由n量子比特构成，这个量子系统有2ⁿ个相互正交的基态|i₁i₂...i_n＞,i₁,i₂,...,i_n∈{0,1}，这2ⁿ个基态张成一个2ⁿ维Hilbert空间，则该量子系统的状态可表示为

$|\mathrm{\ψ}\⟩=\underset{i=0}{\overset{2^n-1}{\mathrm{\Σ}}}{a}_i|i\⟩$

其中i＝i₁i₂...i_n是整数i的二进制展开，并且满足归一化条件

如果用一组量子逻辑门组成的量子线路可以以任意精度逼近任意的酉运算，那么这组量子门就是通用的。重要的一类通用门是单量子比特门和受控非门，即一般的量子逻辑门可以由单量子比特门和受控非门构成，一个具体的例子是Hadamard门、相位门、π/8门和受控非门是通用的。

量子比特门可以方便的用矩阵形式表示，单量子比特门可以用一个2×2的酉矩阵U表示，即U⁺U＝I，其中U⁺是U的共轭转置矩阵，I是单位阵。单量子比特门表示见图1，其中U是一个2×2的酉矩阵。将一个具体矩阵代替图1中的U矩阵，就可以得到一个具体的单量子比特门的符号表示，常用的单量子比特门的名称、符号及相应的矩阵表示见图2。

在双量子比特门中，最重要是受控U门，U是一个任意2×2的酉矩阵，它有两个量子的比特输入和输出，分别是控制量子比特和目标量子比特。当控制位为1时，我们将这个受控U门命名为U_C1，当控制位为0时，我们将这个受控U门命名为U_C0，这两个受控U门的名称、符号及相应的矩阵表示见图3。

如果U_C1和U_C0的U矩阵是图2中的X矩阵，那么这两个特殊的受控门被称为受控非门，简记为N_C1和N_C0，它们的名称、符号及相应的矩阵表示见图3。

将N_C1和N_C0分别作用在量子态|φ＞＝c|0＞+d|1＞和|ψ＞＝α|0＞+β|1＞上，得到

N_C1(|φ＞|ψ＞)＝c|0＞|ψ＞+d|1＞(X|ψ＞)

和

N_C0(|φ＞|ψ＞)＝c|0＞(X|ψ＞)+d|1＞|ψ＞

其中X|ψ＞的含义为

X|ψ＞＝X(α|0＞+β|1＞)＝β|0＞+α|1＞

还有一个常用的双量子比特门是交换门(Swap)，其符号表示为表示如图4所示。将Swap分别在量子态|φ＞|ψ＞＝(c|0＞+d|1＞)(α|0＞+β|1＞)上，可实现两个量子态的交换

Swap(|φ＞|ψ＞)＝|ψ＞|φ＞

设U是一个任意2×2的酉矩阵，将n(n≥2)量子比特受控门命名为Cⁿ(U)，分别有(n-1)个控制量子比特，1个目标量子比特，并假定二进制数i₁,i₂,...,i_n-1分别是(n-1)个控制位上的数字，则Cⁿ(U)的符号表示如图5所示。

将图5中的Cⁿ(U)门作用到n个单量子比特的量子态|x₁x₂...x_n-1＞|ψ＞上，可得到

$C^n\left(U\right)\left(\right|x_1{x}_2\·\·\·x_{n-1}\⟩|\mathrm{\ψ}\⟩)=|x_1\·\·\·x_{n-1}\⟩U^{f(x_1\·\·\·x_{n-1},i_1\·\·\·i_{n-1})}|\mathrm{\ψ}\⟩$

其中如果x₁…x_n-1＝i₁…i_n-1，则函数f(x₁…x_n-1,i₁…i_n-1)为1，否则f(x₁…x_n-1,i₁…i_n-1)为0，并令U⁰＝I,U¹＝U。

当U＝X，并且目标量子比特在任意第i(i＝1,2,...,n)位时，这也是常用的一种受控门，这样的受控门共有n个，我们称之为n量子比特受控非门，简记为Cⁿ(X_i)，如图6所示。将图6中的Cⁿ(X_k)门作用到n个单量子比特的量子态|j₁…j_k-1j_kj_k+1…j_n＞上，可得到

Cⁿ(X_k)|j₁…j_k-1j_kj_k+1…j_n＞＝|j₁…j_k-1＞(X^f|j_k＞)|j_k+1…j_n＞

其中，如果j₁…j_k-1j_k+1…j_n＝i₁…i_k-1i_k+1…i_n，则f＝1，否则f＝0，并令X⁰＝I,X¹＝X。例如，假设n＝3，i₁＝i₃＝1，将C³(X₂)作用到量子态|111＞上，得到C³(X₂)|111＞＝|101＞。

需要说明的是，在量子线路的表示图中，每条线都表示量子线路的连线，量子线路的执行顺序是从左到右。

可以用2ⁿ维Hilbert空间的一个任意的量子叠加态表示一幅2ⁿ个像素的k维彩色图像，

$|{\mathrm{\ψ}}_k\⟩=\underset{i=0}{\overset{2^n-1}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\θ}}_i|i\⟩=\underset{i=0}{\overset{2^n-1}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\θ}}_i|v_1\⟩|v_2\⟩\·\·\·|v_k\⟩---\left(1\right)$

其中i＝i₁…i_ji_j+1…i_l…i_m…i_n、v₁＝i₁…i_j、v₂＝i_j+1…i_l和v_k＝i_m…i_n分别整数i、v₁、v₂和v_k的二进制展开；|i＞＝|v₁＞|v₂＞…|v_k＞表示k维空间的坐标(v₁,v₂,…,v_k)；这样θ_i表示坐标|i＞对应像素的颜色。

发明内容

本发明的目的是，设计一种新型的多维量子彩色图像的几何变换方法，并实现它们的量子线路设计图。这些设计图用基本的量子比特门(包括量子比特受控门和单量子比特门)，分别构建了两点交换、对称翻转、局部翻转、直角旋转和平移变换的实现线路。

实现本发明目的的指导思想是，本发明充分发挥量子并行性和量子叠加性等量子计算的独特性能，利用量子线路来实现多维彩色图像的几何变换，包括两点交换、对称翻转、局部翻转、直角旋转和平移变换。

本发明的技术方案是，本发明将量子计算与经典计算机几何变换技术相结合，采用Gray码实现两点交换；利用两点交换实现对称翻转；采用量子受控非门对称翻转；采用量子非门和量子交换门实现直角旋转；采用两点交换实现平移变换。

本发明的具体设计方案和步骤为：

1、多维量子彩色图像的两点交换的设计与实现方法

本发明将多维量子彩色图像的两点交换算子G_T定义为：

$G_T=|s\⟩\⟨t|+|t\⟩\⟨s|+\underset{i=0,i\≠s,t}{\overset{2^n-1}{\mathrm{\Σ}}}|i\⟩\⟨i|$

其中和是k维彩色图像要交换的两个像素点的坐标，|i＞＝|v₁＞|v₂＞…|v_k＞是其它像素点的坐标，整数s、t和i的二进制展开分别是s＝s₁…s_n、t＝t₁…t_n和i＝i₁…i_n，和分别是s和t在第j个坐标分量|v_j＞的值。

因为所以G_T是一个酉算子，也是一个线性算子。应用G_T到公式(1)中的|ψ_k＞态，有

$\begin{array}{c}{G}_T\left(\right|{\mathrm{\ψ}}_k\⟩)=\underset{i=0}{\overset{2^n-1}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\θ}}_i{G}_T\left(\right|i\⟩)={\mathrm{\θ}}_s|t\⟩+{\mathrm{\θ}}_t|s\⟩+\underset{i=0,i\≠s,t}{\overset{2^n-1}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\θ}}_i|i\⟩\\ ={\mathrm{\θ}}_s|v_1^t\⟩|v_2^t\⟩\·\·\·|v_k^t\⟩+{\mathrm{\θ}}_t|v_1^s\⟩|v_2^s\⟩\·\·\·|v_k^s\⟩+\underset{i=0,i\≠s,t}{\overset{2^n-1}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\θ}}_i|v_1\⟩|v_2\⟩\·\·\·|v_k\⟩\end{array}$

从而，G_T能实现一幅k维彩色图像的两点交换。为了设计两点交换算子G_T的实现线路，本发明引入Gray码。设有两个不同的n位二进制数s＝s₁…s_n和t＝t₁…t_n，连接s和t的一个Gray码是以s开头和以t结束的一组二进制数，使得相邻的数恰好有一位不同。例如，当n位二进制数s＝0…0…0和t＝1…1…1分别是整数0和2ⁿ-1的二进制展开时，有如下的Gray码

0…0…0

0…0…1

· · ·

· · ·

· · ·

0…1…1            (2)

· · ·

· · ·

· · ·

1…1…1

令g₁＝s到g_m＝t是连接s和t的一个Gray码的码元，因为s和t最多有n位数不相同，因此至少可以找到一个满足m≤n+1的Gray码。由于码元g_i和g_i+1(1≤i≤m-1)只有一位二进制数不相同，对于这个变换|g_i＞→|g_i+1＞，我们可以用图6中的一个量子逻辑门实现。例如，对于在公式(2)中的Gray码，实现|g₂＞→|g₃＞的量子线路如图7所示，其中|g₂＞＝|0…01＞和|g₃＞＝|0…11＞。

假设要交换的两个像素的坐标为|s＞＝|0＞和|t＞＝|2ⁿ-1＞，连接s和t的Gray码如公式(2)所示，|g₁＞＝|s＞＝|0＞到|g_n+1＞＝|t＞＝|2ⁿ-1＞是这个Gray码的码元。本发明只需用图6中的一组量子逻辑门实现下列两组变换

$\left\{\begin{array}{c}|g_1\⟩\→|g_2\⟩\→\·\·\·\→|g_{n+1}\⟩\\ |g_n\⟩\→|g_{n-1}\⟩\→\·\·\·\→|g_1\⟩\end{array}\right.$

就可以实现这幅k维彩色图像的两点交换，线路实现如图8所示，虚框i(1≤i≤n)中的线路实现|g_i＞→|g_i+1＞变换，虚框n+j(1≤j≤n-1)中的线路实现|g_n+1-j＞→|g_n-j＞变换。

本发明定义量子线路的复杂度是指构建量子线路的单量子比特门和双量子比特门(例如，图3中的受控非门N_C1)总的数量。

由图8知，两点交换可用2m-3个量子逻辑门Cⁿ(X_y)构成，又量子门Cⁿ(X_y)可以由O(n)个单量子比特门和图3中的受控非门N_C1构成。因为s和t最多有n位数不相同，故总可以找到一个满足m≤n+1的Gray码。所以实现两点交换算子G_T的量子线路的复杂度是O(n²)。

2、多维量子彩色图像的对称翻转的设计与实现方法

本发明定义dim(|u＞)表示量子态|u＞大小。例如，dim(|000＞)＝3。

本发明将多维量子彩色图像的沿|v_j＞轴对称翻转定义为：

$G_F^{|v_j\⟩}\left(\right|{\mathrm{\ψ}}_k\⟩)=\underset{i=0}{\overset{2^n-1}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\θ}}_i|{\stackrel{-}{v}}_1\⟩\·\·\·|\stackrel{-}{v_{j-1}}|v_j\⟩|\stackrel{-}{v_{j+1}}\⟩\·\·\·\stackrel{-}{v_k}\⟩---\left(3\right)$

|ψ_k＞表示一幅k维彩色图像，见公式(1)，|v₁＞,...,|v_k＞是k维空间的k个坐标轴。dim(|v_l＞)＝m_l。假设|v_l＞＝|j₁j₂…j_mj＞，那么h＝1,2,…m_l。

对称翻转算子也可表示为

$G_F^{|v_j\⟩}=X^{\⊗m_1}\⊗\·\·\·X^{\⊗m_{j-1}}\⊗I^{\⊗m_j}\⊗X^{\⊗m_{j+1}}\·\·\·\⊗X^{\⊗m_k}$

其中X是Pauli-X门，也称为量子非门，I是单位算子，即一个2×2的单位矩阵，符号表示张量积，如图2所示，的实现线路如图9所示。

由图9可知，总共需要n-dim(v_j)个Pauli-X门，所以实现对称翻转算子的量子线路的复杂度是O(n)。

一个三维彩色图像沿|v₁＞轴对称翻转的例子如图10所示。在图10(a)是原图像，图10(b)是对称翻转后的图像。

3、多维量子彩色图像的局部翻转的设计与实现方法

本发明将多维量子彩色图像的沿|v_x＞轴局部翻转定义为：

$\begin{array}{c}{G}_{\mathrm{LF}}^{{|v_x\⟩}^{v(j,h,m)}}\left(\right|{\mathrm{\ψ}}_k\⟩)=\underset{i=0,j_h\≠m}{\overset{2^n-1}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\θ}}_i|v_1\⟩...|v_k\⟩\\ +\underset{i=0,j_h=m}{\overset{2^n-1}{\mathrm{\Σ}}}\left({\mathrm{\θ}}_i\right|\stackrel{\‾}{v_1}\⟩...|\stackrel{\‾}{v_{j-1}}\⟩|\stackrel{\‾}{j_1}...{\stackrel{\‾}{j}}_{h-1}{j}_h{\stackrel{\‾}{j}}_{h+1}...{\stackrel{\‾}{j}}_{m_j}\⟩|\stackrel{\‾}{v_{j+1}}\⟩...|\stackrel{\‾}{v_{x-1}}\⟩|v_x\⟩|\stackrel{\‾}{v_{x+1}}\⟩...|\stackrel{\‾}{v_k}\⟩)\end{array}$

其中|ψ_k＞表示一幅k维彩色图像，见公式(1)，|v₁＞,...,|v_k＞是k维空间的k个坐标轴，v(j,h,m)的含义是：对于坐标轴|v_j＞＝|j₁…j_h…j_mj＞，当j_h≠m时，对应的图像像素不变，而当j_h＝m时，对应的图像像素翻转。假设|v_f＞＝|j₁j₂…j_mf＞，那么 $|\stackrel{-}{v_f}\⟩=|\stackrel{-}{j_1}\stackrel{-}{j_2}\·\·\·{\stackrel{-}{j}}_{\mathrm{mf}}\⟩,{\stackrel{-}{j}}_y=1-j_y,$ y=1,2,…m_f。

的实现线路如图11所示，图11中，m＝0或m＝1。因此实现局部翻转算子只需要n-1-dim(|v_x＞)个图3中的受控非门N_C1或N_C0，即，实现局部翻转算子的线路复杂度为O(n)。

一个三维彩色图像沿|v₁＞轴局部翻转的例子如图12所示。在图12中，(a)是原图像，(b)是局部翻转后的图像。

4、多维量子彩色图像的直角旋转的设计与实现方法

本发明将多维量子彩色图像的沿张成的平面的直角旋转定义为：

$R_{\mathrm{\α}}\left(\right|v_x\⟩\⊗|v_y\⟩)\left(\right|{\mathrm{\ψ}}_k\⟩)=\underset{i=0}{\overset{2^n-1}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\θ}}_i|v_1\⟩\·\·\·|v_x^{\′}\⟩\·\·\·|v_y^{\′}\⟩\·\·\·|v_k\⟩$

其中|ψ_k＞表示一幅k维彩色图像，见公式(1)，α∈{π/2,π,3π/2}，m_x＝dim(|v_x＞)＝dim(|v_y＞)＝m_y，并且

$\left\{\begin{array}{cc}|v_x^{\′}\⟩|v_y^{\′}\⟩=|v_y\⟩|\stackrel{-}{v_x}\⟩& \mathrm{\α}=\frac{\mathrm{\π}}{2}\\ |v_x^{\′}\⟩|v_y^{\′}\⟩=|\stackrel{-}{v_x}\⟩|\stackrel{-}{v_y}\⟩& \mathrm{\α}=\mathrm{\π}\\ |v_x^{\′}\⟩|v_y^{\′}\⟩=|\stackrel{-}{v_y}\⟩|v_x\⟩& \mathrm{\α}=\frac{3\mathrm{\π}}{2}\end{array}\right.;$

其中，假设|v_x＞＝|j₁j₂…j_mx＞和|v_y＞＝|h₁h₂…h_mx＞，那么 j_i,h_i∈{0,1}，i＝1,2,…m_x。

的实现线路如图13(a)、图13(b)和图13(c)所示；图13(a)中，α＝π/2；图13(b)中，α＝π；图13(c)中，α＝3π2。

从图13知道，当α＝π/2或α＝3π/2时，可以用m_x个交换门Swap和m_x个X门构成。当α＝π时，可以用2m_x个个X门构成。从图4知道，一个Swap门可以用3个受控非门N_C1或N_C0构成。又m_x＝dim(|v_x＞)＜n，因此实现直角旋转算子的线路复杂度为O(n)。

5、多维量子彩色图像的平移变换的设计与实现

本发明将多维量子彩色图像的沿轴的平移变换定义为

$T_{|v_x\⟩}\left(\right|{\mathrm{\ψ}}_k\⟩)=\underset{i=0}{\overset{2^n-1}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\θ}}_i|v_1\⟩\·\·\·|v_{x-1}\⟩|v_x^{\′}\⟩|v_{x+1}\⟩\·\·\·|v_k\⟩$

其中|ψ_k＞表示一幅k维彩色图像，见公式(1)，dim(|v_x＞)＝m_x。假设 $|v_x\⟩=|x_1{x}_2\·\·\·x_{m_x}\⟩=|j\⟩,$ 那么

$\left\{\begin{array}{cc}|v_x^{\′}\⟩=|j+1\⟩& 0\≤j=x_1{x}_2\·\·\·x_{m_x}\≤2^{m_x}-2\\ |v_x^{\′}\⟩=|0\⟩& j=2^{m_x}-1\end{array}\right.$

对于一幅k维彩色图像，假设dim(|v_i＞)＝m_i，i＝1,2,...,k，那么平移变换算子可以表示为

$T_{|v_x\⟩}=I^{\⊗m_1}\⊗\·\·\·I^{\⊗m_{x-1}}\⊗(\left(\underset{j=0}{\overset{2^{m_x}-2}{\mathrm{\Σ}}}\right|j+1\⟩\⟨j\left|\right)+|0\⟩\⟨2^m-1\left|\right)\⊗I^{\⊗m_{x+1}}\·\·\·\⊗I^{\⊗m_k}$

I是单位算子，即一个2×2的单位矩阵，符号表示张量积，符号|·＞＜·|表示外积，实现平移变换算子的关键在于实现

$T_{\mathrm{key}}=\left(\underset{j=0}{\overset{2^{m_x}-2}{\mathrm{\Σ}}}\right|j+1\⟩\⟨j\left|\right)+|0\⟩\⟨2^m-1|$

我们只需依次实现下列两点交换:

$\begin{array}{c}|2^{m_x}-1\↔|0\⟩\\ |2^{m_x}-2\↔|2^{m_x}-1\⟩\\ |2^{m_x}-3\⟩\↔|2^{m_x}-2\⟩\\ \·\\ \·\\ \·\\ |1\⟩\↔|2\⟩\end{array}---\left(4\right)$

就可以实现算子T_key。

实现平移变换算子的量子线路如图14所示，其中量子线路被分别定义为实现公式(4)中的两点交换的线路，具体的实现方法可采用Gray码。

从前面所述的两点交换知道，实现的线路复杂度是O(2^mm²)，即实现算子T_key线路复杂度是O(2^mm²)。又从图14可看出，实现沿|v_x＞轴的平移变换的量子线路的复杂度和实现算子T_key线路复杂度是相同的，即实现平移变换的量子线路的复杂度也是O(2^mm²)。

一个三维彩色图像沿|v₁＞轴局部翻转的例子如图15(a)和图15(b)所示；图15(a)是原图像，图15(b)是平移变换后的图像。

本发明与现有技术比较的有益效果是：

(1)本发明与现有的经典几何变换相比，本发明的几何变换是运行在量子系统中，方法上是对现有的经典几何变换的一种创新。

(2)本发明与现有的经典几何变换实现相比，本发明利用量子线路实现几何变换，它的几何变换是一种高效的变换方法，其中全局变换(对称翻转、局部翻转和直角旋转)的线路的复杂度都是O(n)，实现平移变换的量子线路的复杂度也只是O(2^mm²)，这是其它的经典几何变换无法达到的。

(3)本发明中的平移变换与现有的经典平移变换相比，由于利用了量子计算的并行性，本发明实现这种平移操作不需要额外的存储空间来存储临时变量，然而在经典计算机中很难实现。

本发明适用于很多实际的图像处理应用领域，例如，二维和三维的医学成像，都需要高效的几何变换技术，并对量子计算理论完善和应用的推广有重大意义。

附图说明

图1是单量子比特U门的符号表示；

图2是常用的单量子比特门；

图3是双量子比特受控U门；

图4是交换门及其等价表示；

图5是n量子比特受控门；

图6是n量子比特受控非门；

图7是实现|g₂＞→|g₃＞的量子线路；

图8是实现k维彩色图像两点交换的量子线路；

图9是实现k维彩色图像沿|v_j＞轴对称翻转的量子线路；

图10(a)是三维彩色图像沿|v₁＞轴对称翻转前的图像；

图10(b)是三维彩色图像沿|v₁＞轴对称翻转后的图像；

图11是实现k维彩色图像沿|v_x＞轴局部翻转的量子线路；

图12(a)是三维彩色图像沿|v₁＞轴局部翻转前的图像；

图12(b)是三维彩色图像沿|v₁＞轴局部翻转后的图像；

图13(a)实现直角旋转算子当α＝π/2时的量子线路；

图13(b)实现直角旋转算子当α＝π时的量子线路；

图13(c)实现直角旋转算子当α＝3π/2时的量子线路，；

图14实现平移变换算子的量子线路，；

图15(a)是三维彩色图像沿|v₂＞轴平移变换前的图像；

图15(b)是三维彩色图像沿|v₂＞轴平移变换后的图像；

图16(a)是三维彩色图像的两点交换前的图像；

图16(b)是三维彩色图像的两点交换后的图像；

图17是实现三维彩色图像的两点交换的量子线路；

图18是实现三维彩色图像沿|v₁＞轴对称翻转的量子线路；

图19是实现三维彩色图像沿|v₁＞轴局部翻转的量子线路；

图20是实现三维彩色图像沿|v₂＞轴平移变换的量子线路。

具体实施方式

本发明设计的多维量子彩色图像的两点交换的设计与实现如图8所示。例如，为了假设要实现图16(a)中的三维彩色图像的两点交换，两个像素点的坐标分别为|s＞＝|00＞|10＞|1＞和|t＞＝|11＞|11＞|0＞，即)1和(3,3,0)，实现线路如图17所示，而两点交换后的图像如图16(b)所示。

本发明设计的多维量子彩色图像的对称翻转的设计与实现如图9所示，图中共用了n-dim(v_j)个X门构建了实现对称翻转的量子线路。例如，为了实现图10中的三维彩色图像的对称翻转，其设计的量子线路如图18所示。

本发明设计的多维量子彩色图像的局部翻转的设计与实现如图11所示。例如，为了实现图11中的三维彩色图像的局称翻转，其设计的量子线路如图19所示。

本发明设计的多维量子彩色图像的直角旋转的设计与实现如图13所示。在图13(a)中，我们先用m_x个X门实现变换然后用m_x个交换门Swap实现变换类似地，在图13(b)中，我们用个X门实现变换在图13(c)中，我们先用m_y个X门实现变换然后用m_x个交换门Swap实现变换 $|i_{l_x+1}\·\·\·i_{l_x+m_x}\⟩|{\stackrel{-}{i}}_{l_y+1}\·\·\·{\stackrel{-}{i}}_{l_y+m_y}\⟩\→|{\stackrel{-}{i}}_{l_y+1}\·\·\·{\stackrel{-}{i}}_{l_y+m_y}\⟩|i_{l_x+1}\·\·\·i_{l_x+m_x}\⟩.$

本发明设计的多维量子彩色图像的平移变换的设计与实现如图14所示。例如，为了实现图15中的三维彩色图像的平移变换，其设计的量子线路如图20所示

Claims (6)

1.一种多维量子彩色图像的几何变换的设计与实现方法，其特征在于，所述方法将量子计算与经典计算机几何变换技术相结合，设计出多维量子彩色图像的几何变换，包括两点交换、对称翻转、局部翻转、直角旋转和平移变换；

所述两点交换，采用Gray码实现，两点交换线路的复杂度是O(n²)，其中2ⁿ是图像的像素个数；

所述对称翻转，采用两点交换实现对称翻转，线路的复杂度是O(n)，其中2ⁿ是图像的像素个数；

所述局部翻转，采用量子受控非门对称翻转，线路的复杂度是O(n)，其中2ⁿ是图像的像素个数；

所述直角旋转，采用量子非门和量子交换门实现直角旋转，线路的复杂度是O(n)，其中2ⁿ是图像的像素个数；

所述平移变换，采用两点交换实现平移变换，线路的复杂度是O(2^mm²)，其中dim(|v_x＞)＝m表示多维图像的|v_x＞轴的大小是m量子比特，该平移变换是一个沿|v_x＞轴的平移变换。

2.根据权利要求1所述的多维量子彩色图像的几何变换的设计与实现方法，其特征在于，所述两点交换的实现方法为：

(1)将多维量子彩色图像的两点交换算子G_T定义为：

$G_T=|s\⟩\⟨t|+|t\⟩\⟨s|+\underset{i=0,i\≠s,t}{\overset{2^n-1}{\mathrm{\Σ}}}|i\⟩\⟨i|$

其中和是k维彩色图像要交换的两个像素点的坐标，|i＞＝|v₁＞|v₂＞…|v_k＞是其它像素点的坐标，整数s、t和i的二进制展开分别是s＝s₁…s_n、t＝t₁…t_n和i＝i₁…i_n，和分别是s和t在第j个坐标分量|v_j＞的值；

(2)应用G_T到|ψ_k＞,有

$\begin{array}{c}{G}_T\left(\right|{\mathrm{\ψ}}_k\⟩)=\underset{i=0}{\overset{2^n-1}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\θ}}_i{G}_T\left(\right|i\⟩)={\mathrm{\θ}}_s|t\⟩+{\mathrm{\θ}}_t|s\⟩+\underset{i=0,i\≠s,t}{\overset{2^n-1}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\θ}}_i|i\⟩\\ ={\mathrm{\θ}}_s|v_1^t\⟩|v_2^t\⟩\·\·\·|v_k^t\⟩+{\mathrm{\θ}}_t|v_1^s\⟩|v_2^s\⟩\·\·\·|v_k^s\⟩+\underset{i=0,i\≠s,t}{\overset{2^n-1}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\θ}}_i|v_1\⟩|v_2\⟩\·\·\·|v_k\⟩\end{array}$

其中i＝i₁…i_ji_j+1…i_l…i_m…i_n、v₁＝i₁…i_j、v₂＝i_j+1…i_l和v_k＝i_m…i_n分别整数i、v₁、v₂和v_k的二进制展开；|i＞＝|v₁＞|v₂＞…|v_k＞是n量子比特张量积|i₁…i_ji_j+1…i_l…i_m…i_n＞的简化表示，可以表示k维空间的坐标(v₁,v₂,…,v_k)；这样θ_i表示坐标|i＞对应像素的颜色；从而，G_T能实现一幅k维彩色图像的两点交换；

(3)引入Gray码，设有两个不同的n位二进制数s＝s₁…s_n和t＝t₁…t_n，连接s和t的一个Gray码是以s开头和以t结束的一组二进制数，使得相邻的数恰好有一位不同；如当n位二进制数s＝0…0…0和t＝1…1…1分别是整数0和2ⁿ-1的二进制展开时，有如下的Gray码：

0…0…0

0…0…1

· · ·

· · ·

· · ·

0…1…1

· · ·

· · ·

· · ·

1…1…1

(4)令g₁＝s到g_m＝t是连接s和t的一个Gray码的码元，因为s和t最多有n位数不相同，因此至少可以找到一个满足m≤n+1的Gray码；由于码元g_i和g_i+1(1≤i≤m-1)只有一位二进制数不相同，对于这个变换|g_i＞→|g_i+1＞，我们可以用一个量子逻辑门实现；

(5)如要交换的两个像素的坐标为|s＞＝|0＞和|t＞＝|2ⁿ-1＞，连接s和t的Gray码，|g₁＞＝|s＞＝|0＞到|g_n+1＞＝|t＞＝|2ⁿ-1＞是这个Gray码的码元；只需用一组量子逻辑门实现下列两组变换：

$\left\{\begin{array}{c}|g_1\⟩\→|g_2\⟩\→\·\·\·\→|g_{n+1}\⟩\\ |g_n\⟩\→|g_{n-1}\⟩\→\·\·\·\→|g_1\⟩\end{array}\right.$

就可以实现这幅k维彩色图像的两点交换。

3.根据权利要求1所述的多维量子彩色图像的几何变换的设计与实现方法，其特征在于，所述对称翻转的实现方法为，

(1)定义dim(|u＞)表示量子态|u＞大小；

将多维量子彩色图像的沿|v_j＞轴对称翻转定义为：

$G_F^{|v_j\⟩}\left(\right|{\mathrm{\ψ}}_k\⟩)=\underset{i=0}{\overset{2^n-1}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\θ}}_i|{\stackrel{-}{v}}_1\⟩\·\·\·|\stackrel{-}{v_{j-1}}|v_j\⟩|\stackrel{-}{v_{j+1}}\⟩\·\·\·\stackrel{-}{v_k}\⟩$

|ψ_k＞表示一幅k维彩色图像，|v₁＞,...,|v_k＞是k维空间的k个坐标轴，dim(|v_l＞)＝m_l；假设|v_l＞＝|j₁j₂…j_mj＞，那么h=1,2,...m_l；

(2)对称翻转算子也可表示为：

$G_F^{|v_j\⟩}=X^{\⊗m_1}\⊗\·\·\·X^{\⊗m_{j-1}}\⊗I^{\⊗m_j}\⊗X^{\⊗m_{j+1}}\·\·\·\⊗X^{\⊗m_k};$

其中X是Pauli-X门，也称为量子非门，I是单位算子，即一个2×2的单位矩阵，符号表示张量积。

4.根据权利要求1所述的多维量子彩色图像的几何变换的设计与实现方法，其特征在于，所述局部翻转的实现方法为：

将多维量子彩色图像的沿|v_x＞轴局部翻转定义为：

$\begin{array}{c}{G}_{\mathrm{LF}}^{{|v_x\⟩}^{v(j,h,m)}}\left(\right|{\mathrm{\ψ}}_k\⟩)=\underset{i=0,j_h\≠m}{\overset{2^n-1}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\θ}}_i|v_1\⟩...|v_k\⟩\\ +\underset{i=0,j_h=m}{\overset{2^n-1}{\mathrm{\Σ}}}\left({\mathrm{\θ}}_i\right|\stackrel{\‾}{v_1}\⟩...|\stackrel{\‾}{v_{j-1}}\⟩|\stackrel{\‾}{j_1}...{\stackrel{\‾}{j}}_{h-1}{j}_h{\stackrel{\‾}{j}}_{h+1}...{\stackrel{\‾}{j}}_{m_j}\⟩|\stackrel{\‾}{v_{j+1}}\⟩...|\stackrel{\‾}{v_{x-1}}\⟩|v_x\⟩|\stackrel{\‾}{v_{x+1}}\⟩...|\stackrel{\‾}{v_k}\⟩)\end{array}$

其中|ψ_k＞表示一幅k维彩色图像，|v₁＞,...,|v_k＞是k维空间的k个坐标轴，v(j,h,m)的含义是：对于坐标轴|v_j＞＝|j₁…j_h…j_mj＞，当j_h≠m时，对应的图像像素不变，而当j_h＝m时，对应的图像像素翻转；假设|v_f＞＝|j₁j₂…j_mf＞，那么 y＝1,2,…m_f。

5.根据权利要求1所述的多维量子彩色图像的几何变换的设计与实现方法，其特征在于，所述直角旋转的实现方法为：

多维量子彩色图像的沿张成的平面的直角旋转定义为：

$R_{\mathrm{\α}}\left(\right|v_x\⟩\⊗|v_y\⟩)\left(\right|{\mathrm{\ψ}}_k\⟩)=\underset{i=0}{\overset{2^n-1}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\θ}}_i|v_1\⟩\·\·\·|v_x^{\′}\⟩\·\·\·|v_y^{\′}\⟩\·\·\·|v_k\⟩$

其中|ψ_k＞表示一幅k维彩色图像，α∈{π/2,π,3π/2}，m_x＝dim(|v_x＞)＝dim(|v_y＞)＝m_y；

并且， $\left\{\begin{array}{cc}|v_x^{\′}\⟩|v_y^{\′}\⟩=|v_y\⟩|\stackrel{-}{v_x}\⟩& \mathrm{\α}=\frac{\mathrm{\π}}{2}\\ |v_x^{\′}\⟩|v_y^{\′}\⟩=|\stackrel{-}{v_x}\⟩|\stackrel{-}{v_y}\⟩& \mathrm{\α}=\mathrm{\π}\\ |v_x^{\′}\⟩|v_y^{\′}\⟩=|\stackrel{-}{v_y}\⟩|v_x\⟩& \mathrm{\α}=\frac{3\mathrm{\π}}{2}\end{array}\right.;$

其中，假设|v_x＞＝|j₁j₂…j_mx＞和|v_y＞＝|h₁h₂…h_mx＞，那么 j_i,h_i∈{0,1}，i＝1,2,…m_x；

当α＝π/2或α＝3π/2时，R_α(|v_xv|v_y＞)可以用m_x个交换门Swap和m_x个X门构成；当α＝π时，R_α(|v_x＞|v_y＞)可以用2m_x个个X门构成。

6.根据权利要求1所述的多维量子彩色图像的几何变换的设计与实现方法，其特征在于，所述平移变换的实现方法为：

将多维量子彩色图像的沿|v_x＞轴的平移变换定义为，

$T_{|v_x\⟩}\left(\right|{\mathrm{\ψ}}_k\⟩)=\underset{i=0}{\overset{2^n-1}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\θ}}_i|v_1\⟩\·\·\·|v_{x-1}\⟩|v_x^{\′}\⟩|v_{x+1}\⟩\·\·\·|v_k\⟩$

其中|ψ_k＞表示一幅k维彩色图像，dim(|v_x＞)＝m_x；假设那么，

$\left\{\begin{array}{cc}|v_x^{\′}\⟩=|j+1\⟩& 0\≤j=x_1{x}_2\·\·\·x_{m_x}\≤2^{m_x}-2\\ |v_x^{\′}\⟩=|0\⟩& j=2^{m_x}-1\end{array}\right.$

对于一幅k维彩色图像，假设dim(|v_i＞)＝m_i，i＝1,2,...,k，那么平移变换算子可以表示为：

$T_{|v_x\⟩}=I^{\⊗m_1}\⊗\·\·\·I^{\⊗m_{x-1}}\⊗(\left(\underset{j=0}{\overset{2^{m_x}-2}{\mathrm{\Σ}}}\right|j+1\⟩\⟨j\left|\right)+|0\⟩\⟨2^m-1\left|\right)\⊗I^{\⊗m_{x+1}}\·\·\·\⊗I^{\⊗m_k}$

I是单位算子，即一个2×2的单位矩阵，符号表示张量积，符号|·＞＜·|表示外积，实现平移变换算子的关键在于实现：

$T_{\mathrm{key}}=\left(\underset{j=0}{\overset{2^{m_x}-2}{\mathrm{\Σ}}}\right|j+1\⟩\⟨j\left|\right)+|0\⟩\⟨2^m-1|$

只需依次实现下列两点交换:

$\begin{array}{c}|2^{m_x}-1\↔|0\⟩\\ |2^{m_x}-2\↔|2^{m_x}-1\⟩\\ |2^{m_x}-3\⟩\↔|2^{m_x}-2\⟩\\ \·\\ \·\\ \·\\ |1\⟩\↔|2\⟩\end{array}$

就可以实现算子T_key。