CN103778593A - 基于图像关联分解的量子图像加密方法 - Google Patents

Abstract

一种基于图像关联分解的量子图像加密方法。利用量子态叠加和测量原理，建立图像像素之间的关联，将一幅图像分解为一系列特征子图的叠加，用随机相位门和量子旋转门对存储到完全二叉树数组中的特征子图进行变换操作，再由量子态叠加性对所有的图像进行多次叠加得到密文图像。并将量子随机相位门、量子旋转门和系数矩阵、密文图像施密特正交分解得到的标准正交基态作为密钥。本发明所述的量子图像加密方法有较大的密钥空间从而能抵抗强力攻击，并实现了量子力学理论与图像加密技术的结合，具有经典信息论安全性和量子信息论安全性，使量子图像加密超越经典图像加密的限制，相比于经典图像具有更高的安全性。

Description

基于图像关联分解的量子图像加密方法

技术领域

本发明专利属于信息安全技术领域，特别涉及量子图像加密技术。

背景技术

伴随着数字产品和互联网的发展，人们越来越依赖于网络系统和网络信息资源，使得网络信息的安全问题日益突出，因此信息安全技术备受关注，其中密码技术是信息安全的核心。图像作为一种特殊的信息载体，由于其直观、生动、形象等特点，广泛应用于各个领域。图像数据一般比较大，完成图像处理任务比较耗时，因此利用更加强大的量子计算机来有效完成图像处理任务将是梦寐以求的事情。

世界上首台可编程的通用量子计算机已在美国面世，但真正在量子计算机上完成独立量子程序设计并使其如经典计算机那样可实现多方面的功能，仍需要一段漫长的研究才可望实现。众所周知，量子计算的并行性、叠加性及其测量的不确定性是量子计算机优于经典计算机的根本，面对如此强大的优势，量子信息理论与技术的研究备受青睐。图像处理是近50年发展起来的一门具有广泛应用前景的技术，处理过程中的各个环节需要复杂的程序设计及大量的计算。因此，量子图像处理的研究一方面有助于优化图像处理的各个环节，提高其程序运行速度和效率；另一方面，量子图像作为量子信息的一部分，能使得今后量子计算机的应用更加全面而广泛。量子计算机并未普及，能提供的操作平台极其有限，因此对量子操作的研究依然基于经典计算机，但其理论思想不容忽视。对量子图像处理技术进行深入研究有必要，且具有重要的价值。

图像加密源于早期的经典加密理论，其目的是隐藏图像本身的真实信息，使窃取者在得到密文后无法获得明文图像，而合法的接收方可用预先约定的密钥对密文进行解密。传统的加密技术主要依靠计算机或数字信号处理器等电子器件来实现，因此受到速度和成本的限制。随着信息技术的广泛应用，人们开始研究更加安全和高效的量子图像加密技术，他们把目光投向基于量子信息理论与技术的图像加密方法。与传统的加密技术相比，量子图像加密技术具有大容量、高处理速度、高鲁棒性、天然的并行性和难以破解等诸多优势，因而成为近年来国际上热门的研究方向。

量子图像加密方法的本质是通过经典加密算法、量子算法和经典加密算法与量子算法相结合的算法对用量子态表示的图像进行处理，实现量子图像的加密。2003年空间动力研究实验室(AFRL)的G.Beach,G.Lomont和C.Cohen尝试了创造针对量子计算机的图像处理算法。研究显示存在量子算法可被应用于图像处理领域。他们的研究同时也暗示了量子图像处理在未来的战争中有相当重要的意义。在量子图像加密过程中量子图像是存储在量子态中，通信信道以量子态的形式传送图像，由量子不可克隆定理及测不准原理知，量子力学中对任意一个未知的量子态进行完全相同的复制的过程是不可实现的；对一个未知量子态进行测量,将使得它不可逆转地坍缩到一个新的量子态。如果攻击者想要获得关于量子态的信息，则必须对量子态进行测量，这将使量子态随机坍缩成一个本征态；因此，量子图像加密超越经典图像加密的限制，具有量子保密通信安全性。由于量子计算机具有并行数据处理能力，图像的每一个像素都可以同时被传播和处理，所处理的图像越复杂，信息量越大，这种优势就越明显。量子加密算法安全性较高，抗噪性能也较好。近几年来涌现出各种量子图像处理新算法，如利用量子测量坍缩的思想设计了图像边缘检测算法、灰度图像半影调算法和图像密钥生成算法等图像处理算法，综合利用经典算法与量子算法的工作更是层出不穷。

随着量子图像的推广，一些新的量子算法作为新的理论工具应用到量子图像加密当中。如何探寻符合量子图像自身特点的安全算法，是一个刚刚起步的研究方向。根据耗散量子映射对初始条件敏感的特性，2012年A.Akhshani等基于量子logistic映射提出了一个图像加密方案，该研究为量子映射应用于密码学领域指明了方向。周日贵等基于量子图像几何变换提出了一种量子灰度图像对称加密算法，但是需要对量子图像进行多次重复存储。2013年北京邮电大学高飞博士将量子水印图像嵌入量子载体图像的Fourier系数中，提出了一个鲁棒的量子图像水印算法。2013年杨宇光等基于量子傅里叶变换和双随机相位编码技术提出了一个新型灰度图像加密方案，该研究有利于更多地将光学信息处理技术引入量子领域。结合量子信息的优点使量子图像处理超越经典图像处理的限制，可提高或改善加密系统某些方面的性能。量子图像加密技术发展空间很大，应用前景十分广阔。

现有的几种量子图像加密算法在不同侧面为后续研究提供了重要的启示。但是量子图像加密中应涉及到的诸多问题尚未解决，例如量子图像的完备变换集合以及量子图像安全的物理和信息论模型等。为了保持量子图像加密的优越性，本发明专利提出了基于图像关联分解的量子图像加密方法，该方法在保证量子图像加密算法具有经典信息论安全性的同时，具有量子信息论安全性，可增强加密系统的安全性，另外拥有更大密钥空间的量子图像加密方案使强力攻击无效。

发明内容

本发明的目的之一是将图像像素关联分解引入量子图像加密中，作为量子图像加密的新工具，为量子图像加密技术提供新的途径。

考虑到量子信息的优越性，本发明的另一个目的是利用量子态叠加和测量原理，设计出具有高敏感性和高并行处理能力的量子图像加密系统。

本发明的目的之三是增强加密系统的安全性。加密系统的安全性最终取决于密钥的安全性，加密过程中将量子随机相位门矩阵、量子旋转门和系数矩阵作为密钥，扩大密钥空间，足以抵制强力攻击，增强系统的安全性；标准正交基态作为密钥，使得量子图像加密超越经典图像加密的限制，具有量子保密通信安全性，进一步保障了加密系统的安全性。

本发明是通过以下技术方案实现的。

（1）本发明的技术方案是利用图像像素之间的关联，将一幅数字图像分解为一系列特征子图的叠加，对特征子图分别进行变换操作从而实现对量子图像的加密。加密过程中涉及量子随机相位门和量子旋转门，扩大了密钥空间，增强了加密系统的安全性。

（2）本发明所述的加密过程是：利用量子态叠加和测量原理，建立图像像素之间的关联，将一幅图像分解为一系列特征子图的叠加，用随机相位门和量子旋转门对存储到完全二叉树数组中的特征子图进行变换操作，再由量子态叠加性对所有的图像进行多次叠加得到密文图像。

本发明所述的量子图像的表示：

量子灰度图像就将每个像素点的灰度值和位置信息分别在量子态中进行表示，通过量子态的张量积将图像的完整信息存储在一个整合的表达式中，经典图像表示成量子图像的流程图如图1所示。假设M为一幅数字图像，在灰度级归一化处理后，g(x,y)∈[0,1]表示图像M在位置(x,y)∈Z²处像素的灰度值。为了实现图像从灰度空间到图像量子空间的映射，定义图像量子比特表达形式：

$\begin{array}{c}|M>=\frac{1}{2^n}\underset{y=0}{\overset{2^n-1}{\mathrm{\Σ}}}\underset{x=0}{\overset{2^n-1}{\mathrm{\Σ}}}|g(y,x)>\⊗|\mathrm{yx}>\\ |g(y,x)>={\cos \mathrm{\θ}}_i|0>+{\sin \mathrm{\θ}}_i|1>,{\mathrm{\θ}}_i\∈[0,\frac{\mathrm{\π}}{2}],i=\mathrm{yx}=\mathrm{0,1},...2^{2n}-1\end{array}$

其中

表示每个点的像素值被编码后的角度向量，|g(y,x)>表示存储图像的灰度值，|yx>＝|y>|x>＝|y_n-1y_n-2…y₀>|x_n-1x_n-2…x₀>表示像素点的位置，其中|x>表示水平方向的信息，|y>表示垂直方向的信息，n为编码所需的量子位数。因此，图2中2×2阶灰度图像可用量子比特的形式表示为：

$\begin{array}{c}|I>=\frac{1}{2}[\left({\cos \mathrm{\θ}}_0\right|0>+{\sin \mathrm{\θ}}_{\text{0}}\text{|1>})\⊗|0>+\left({\cos \mathrm{\θ}}_1\right|0>+{\sin \mathrm{\θ}}_1|1>)\⊗|1>\\ +\left({\cos \mathrm{\θ}}_2\right|0>+{\sin \mathrm{\θ}}_2|1>)\⊗|2>+\left({\cos \mathrm{\θ}}_3\right|0>+{\sin \mathrm{\θ}}_3|1>)\⊗|3>]\end{array}$

（3）本发明加密过程中将量子随机相位门、量子旋转门和系数矩阵、密文图像施密特正交分解得到的标准正交基态作为密钥。

本发明所述的图像加密系统中密钥的选择依据是：针对量子信息的特点，可以选择量子随机相位门、量子旋转门和系数矩阵作为密钥，扩大密钥空间，增强加密系统的安全性。标准正交基态作为密钥，使得量子图像加密超越经典图像加密的限制，具有量子保密通信安全性。量子随机相位门中的

是均匀分布于[0,1]之间互不相关的随机白噪声序列，θ_j为旋转角。

（4）图像像素关联分解与量子随机相位门、量子旋转门相结合的加密算法。

本专利所提出的基于图像关联分解的量子图像加密算法实现了量子力学理论与图像加密技术的结合，具有经典信息论安全性和量子信息论安全性，可增强系统的抗攻击性和安全性。量子加密法以量子逻辑门变换实现，使加密系统保持量子信息处理系统的高速度和并行性等优点。加密方案中图像是存储在量子态中，通信信道以量子态的形式传送图像，由量子不可克隆定理及测不准原理知，量子力学中对任意一个未知的量子态进行完全相同的复制的过程是不可实现的；对一个未知量子态进行测量,

将使得它不可逆转地坍缩到一个新的量子态。如果攻击者想要获得关于量子态的信息，则必须对量子态进行测量，这将使量子态随机坍缩成一个本征态；因此，量子图像加密超越经典图像加密的限制，具有量子保密通信安全性。

附图说明

图1是本发明将经典图像表示成量子图像的流程图。

图2是2×2阶灰度图像。

图3是本发明用整数序列0,1,…,N-1构造的一棵完全二叉树。

具体实施方式

下面结合实施方案和附图对本发明作进一步说明，但不应以此限制本发明的保护范围。

本实施方案加密对象是存储在量子态中的灰度图像，对应的明文和密文也是量子灰度图像。假定量子明文图像是

其中g(y,x)＝cosθ_i0+sinθ_i|1>，

i＝yx＝0,1,...,2²ⁿ-1。具体步骤如下所示：

步骤1.考虑量子图像|M>中位于|y>x+1>，|y>x+2>，…，|y>x+k>的k个像素，其对应的灰度值分别为|g(y,x+1)>，|g(y,x+2)>，…，|g(y,x+k)>，简记为|g_y,x+1>，|g_y,x+2>，…，|g_y,x+k>。按照量子力学的规律，这k个像素构成一个k量子位系统，其状态可表示为：

$\begin{array}{c}|g_{y,x+1}{g}_{y,x+2}\·\·\·g_{y,x+k}>=|g_{y,x+1}>\⊗|g_{y,x+2}>\⊗\·\·\·\⊗|g_{y,x+k}>\\ =\cos {\mathrm{\θ}}_{y,x+1}{\cos \mathrm{\θ}}_{y,x+2}\·\·\·{\cos \mathrm{\θ}}_{y,x+k-1}{\cos \mathrm{\θ}}_{y,x+k}|00\·\·\·00>\\ +{\cos \mathrm{\θ}}_{y,x+1}{\cos \mathrm{\θ}}_{y,x+2}\·\·\·{\cos \mathrm{\θ}}_{y,x+k-1}{\sin \mathrm{\θ}}_{y,x+k}|00\·\·\·01>\\ +{\cos \mathrm{\θ}}_{y,x+1}{\cos \mathrm{\θ}}_{y,x+2}\·\·\·{\sin \mathrm{\θ}}_{y,x+k-1}{\cos \mathrm{\θ}}_{y,x+k}|00\·\·\·10>\\ \·\\ \·\\ \·\\ +{\sin \mathrm{\θ}}_{y,x+1}{\sin \mathrm{\θ}}_{y,x+2}\·\·\·{\sin \mathrm{\θ}}_{y,x+k-1}{\sin \mathrm{\θ}}_{y,x+k}|11\·\·\·11>\\ =\underset{i=0}{\overset{2^k-1}{\mathrm{\Σ}}}{w}_i|i>=\underset{i=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}{w}_i|i>\end{array}---\left(1\right)$

其中i是二进制数b_k-1…b₁b₀对应的是十进制数，w_i为i的概率幅，其平方值表示概率。概率幅w_i满足量子归一化条件 $\underset{i=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}{w}_i^2=1,|g_{y,x+1}{g}_{y,x+2}\·\·\·g_{y,x+k}>$ 称为量子图像|g(x,y)>的关联分解。上述量子系统是一个N维Hilbert空间，其中任何一维态矢的概率可构造一幅相应叠加态子图，将式(1)中N个态矢量|i>的系数w_i的平方值分别作为N个图像矩阵在(x,y)处的灰度值，则式(1)表示将图像g(x,y)分解成N幅子图，分解得到的一系列特征子图分别记为|M₀>,|M₁>,…,|M_N-1>。

步骤2.用整数序列0,1,…,N-1构造一棵完全二叉树，如图3所示，并对其进行前序遍历，把这N个特征子图存储到完全二叉树数组中。

步骤3.对完全二叉树的根节点、左子树、右子树进行的随机相位门操作和量子旋转门操作从而实现对图像灰度值的置乱。对于完全二叉树的节点i，如果imod3＝0，则对该节点存储的量子图像|M_i>乘以K₁，其中

如果imod3＝1，则对该节点存储量子图像|Mi>乘以R(θ)；如果imod3＝2，则对该节点存储量子图像|M_i>乘以K₂，其中

经过随机相位门操作和量子旋转门操作后得到的量子图像分别记为：|f₀>,|f₁>,…,|f_N-1>。对量子图像|M_i>进行随机相位门和量子旋转门操作如下：

$\begin{array}{c}{K}_1|M_i>=U_{k_1}\⊗I_{2^{2n}}|M_i>\\ =U_{k_1}\⊗I_{2^{2n}}\frac{1}{2^n}\underset{x=0}{\overset{2^n-1}{\mathrm{\Σ}}}\underset{y=0}{\overset{2^n-1}{\mathrm{\Σ}}}\left({\cos \mathrm{\θ}}_{\mathrm{yx}}\right|0>+{\sin \mathrm{\θ}}_{\mathrm{yx}}|1>)\⊗|\mathrm{yx}>\\ =\frac{1}{2^n}\underset{x=0}{\overset{2^n-1}{\mathrm{\Σ}}}\underset{y=0}{\overset{2^n-1}{\mathrm{\Σ}}}{U}_{k_1}\left({\cos \mathrm{\θ}}_{\mathrm{yx}}\right|0>+{\sin \mathrm{\θ}}_{\mathrm{yx}}|1>)\⊗\mathrm{yx}>\\ =\frac{1}{2^n}\underset{x=0}{\overset{2^n-1}{\mathrm{\Σ}}}\underset{y=0}{\overset{2^n-1}{\mathrm{\Σ}}}\left({\cos \mathrm{\θ}}_{\mathrm{yx}}\right|0>+e^{{j2\mathrm{\π\φ}}_i}{\sin \mathrm{\θ}}_{\mathrm{yx}}>)\⊗|\mathrm{yx}>\\ =|f_i>\end{array}---\left(2\right)$

$\begin{array}{c}R\left(\mathrm{\θ}\right)|M_i>=R\left({\mathrm{\θ}}_j\right)\⊗I_{2^{2n}}|M_i>=\frac{1}{2^n}\underset{y=0}{\overset{2^n-1}{\mathrm{\Σ}}}\underset{x=0}{\overset{2^n-1}{\mathrm{\Σ}}}R\left({\mathrm{\θ}}_j\right)|g(x,y)>\⊗|\mathrm{yx}>\\ =\frac{1}{2^n}\underset{y=0}{\overset{2^n-1}{\mathrm{\Σ}}}\underset{x=0}{\overset{2^n-1}{\mathrm{\Σ}}}\left(\cos ({\mathrm{\θ}}_i+{\mathrm{\θ}}_j)\right|0>+\sin ({\mathrm{\θ}}_i+{\mathrm{\θ}}_j)|1>)\⊗\mathrm{yx}>\\ =|f_i>\end{array}---\left(3\right)$

其中 $U_{k_1}=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& e^{{j2\mathrm{\π\φ}}_i}\end{array}\right]$ 和是量子随机相位门， $R\left({\mathrm{\θ}}_j\right)=\left[\begin{array}{cc}{\cos \mathrm{\θ}}_j& -{\sin \mathrm{\θ}}_j\\ {\sin \mathrm{\θ}}_j& {\cos \mathrm{\θ}}_j\end{array}\right]$ 是量子旋转门，

是均匀分布于[0,1]之间互不相关的随机白噪声序列，θ_j为旋转角。

步骤4.根据量子态的叠加性，依次对两个量子图像进行叠加得到量子态图像：

$\begin{array}{c}|f_0^{\′}>={\mathrm{\λ}}_0|f_0>+{\mathrm{\μ}}_0|f_1>\\ |f_1^{\′}>={\mathrm{\λ}}_1|f_1>+{\mathrm{\μ}}_1|f_2>\\ \·\\ \·\\ \·\\ |f_{N-2}^{\′}>={\mathrm{\λ}}_{N-2}|F_{N-2}>+{\mathrm{\μ}}_{N-2}|f_{N-1}>\\ |f_{N-1}^{\′}>={\mathrm{\λ}}_{N-1}|f_{N-1}>+{\mathrm{\μ}}_{N-1}|f_0>\end{array}---\left(4\right)$

其中

表示叠加后的量子图像，且|λ_i|²+|μ_i|²＝1满足归一化条件。式(4)用矩阵可表示为：

$\left[\begin{array}{c}|f_0^{\′}>\\ |f_1^{\′}>\\ \·\\ \·\\ \·\\ |f_{N-2}^{\′}>\\ |f_{N-1}^{\′}>\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccccc}{\mathrm{\λ}}_0& {\mathrm{\μ}}_0& 0& \·\·\·& 0\\ 0& {\mathrm{\λ}}_1& {\mathrm{\μ}}_1& \·\·\·& 0\\ \·& \·& \·& \·\·\·& \·\\ \·& \·& \·& & \·\\ \·& \·& \·& & \·\\ 0& \·\·\·& 0& {\mathrm{\λ}}_{N-2}& {\mathrm{\μ}}_{N-2}\\ {\mathrm{\μ}}_{N-1}& 0& \·\·\·& 0& {\mathrm{\λ}}_{N-1}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}|f_0>\\ |f_1>\\ \·\\ \·\\ \·\\ |f_{N-2}>\\ |f_{N-1}>\end{array}\right]---\left(5\right)$

式(7)简记为A＝CB。

步骤5.对所有的量子图像

进行叠加得到最终的量子图像|f>：

$|f>={\mathrm{\η}}_0|f_0^{\′}>+{\mathrm{\η}}_1|f_1^{\′}>+\·\·\·+{\mathrm{\η}}_{N-1}|f_{N-1}^{\′}>---\left(6\right)$

其中η＝(η₀,η₁,…,η_n-1)且

量子图像|f>为密文图像。

步骤6：对|f>应用施密特正交分解，得到标准正交基态|Q_i>

$|f>=\underset{i=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\β}}_i|Q_i>---\left(7\right)$

其中，β_i满足归一化条件

整个加密过程中涉及的密钥有量子随机相位门K₁和K₂、量子旋转门R(θ)、系数矩阵C及K₃＝{|Q_i>,i＝0,1,…,N-1}组成。分析加密算法，所有的加密操作都是幺正变换，所以加密过程是完全可逆的。解密过程为加密过程的逆过程，具体步骤如下：

步骤1.对量子图像|f>进行投影测量得到

。利用密钥K₃＝{|Q_i>,i＝0,1,…,N-1}对量子图像|f>进行投影测量：

$P=\underset{i=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{P}_i|Q_i><Q_i|---\left(8\right)$

$P_i=\frac{t_i}{t-t_i}---\left(9\right)$

其中t表示测量总次数，t_i表示测量结果与

相同的次数。

步骤2.对于测量得到的所有量子态

，利用系数矩阵C的逆变换求出所有的|f_i>:

B＝C^-1A          (10)

步骤3.对于完全二叉树中节点i，如果imod3＝0，则利用密钥K₁对该节点存储的图像|f_i>进行逆变换操作；如果imod3＝1，则利用密钥R(θ)对该节点存储的图像|f_i>进行逆变换操作；如果imod3＝2，则利用密钥K₂对该节点存储的图像|f_i>进行逆变换操作，根据完全二叉树得到|M₀>,|M₁>,…,|M_N-1>。量子图像的随机相位门和旋转门逆变换操作如下：

$\begin{array}{c}{K}_1^{-1}|f_i>=U_{k_1}^{+}\&CircleTimes;I_{2^{2n}}|f_i>\\ =U_{k_1}^{+}\&CircleTimes;I_{2^{2n}}\frac{1}{2^n}\underset{x=0}{\overset{2^n-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{y=0}{\overset{2^n-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}\left({\cos \mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{yx}}\right|0>+e^{{j2\mathrm{\&pi;\&phi;}}_i}{\sin \mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{yx}}|1>)\&CircleTimes;|\mathrm{yx}>\\ =\frac{1}{2^n}\underset{x=0}{\overset{2^n-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{y=0}{\overset{2^n-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{U}_{k_1}^{+}\left({\cos \mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{yx}}\right|0>+e^{{j2\mathrm{\&pi;\&phi;}}_i}{\sin \mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{yx}}|1>)\&CircleTimes;|\mathrm{yx}>\\ =\frac{1}{2^n}\underset{x=0}{\overset{2^n-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{y=0}{\overset{2^n-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}\left({\cos \mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{yx}}\right|0>+{\sin \mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{yx}}|1>)\&CircleTimes;|\mathrm{yx}>\\ =|M_i>\end{array}---\left(11\right)$

$\begin{array}{c}{R}^{+}\left(\mathrm{\&theta;}\right)|f_i>=R^{+}\left({\mathrm{\&theta;}}_j\right)\&CircleTimes;I_{2^{2n}}|f_i>\\ =\frac{1}{2^n}\underset{y=0}{\overset{2^n-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{x=0}{\overset{2^n-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{R}^{+}\left({\mathrm{\&theta;}}_j\right)\left(\cos ({\mathrm{\&theta;}}_i+{\mathrm{\&theta;}}_j)\right|0>+\sin ({\mathrm{\&theta;}}_i+{\mathrm{\&theta;}}_j)|1>)\&CircleTimes;|\mathrm{yx}>\\ =\frac{1}{2^n}\underset{u=0}{\overset{2^n-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{x=0}{\overset{2^n-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}|g(y,x)>\&CircleTimes;|\mathrm{yx}>\\ =|M_i>\end{array}---\left(12\right)$

步骤4.根据量子图像关联分解的性质，利用N个子图在(m,n)处的灰度值求出原图像的灰度值，从而得到明文图像。

Claims (4)

1.一种基于图像关联分解的量子图像加密方法，其特征是用图像像素的关联分解实现对量子态图像的加密。

2.根据权利要求1所述的量子图像加密方法，其特征是利用量子态叠加和测量原理，建立图像像素之间的关联，将一幅图像分解为一系列特征子图的叠加，用随机相位门和量子旋转门对存储到完全二叉树数组中的特征子图进行变换操作，再由量子态叠加性对所有的图像进行多次叠加得到密文图像。

3.根据权利要求1所述的图像加密方法，其特征是加密过程中将量子随机相位门、量子旋转门和系数矩阵、密文图像施密特正交分解得到的标准正交基态作为密钥。

4.根据权利要求1或2所述的图像加密方法，其特征是按如下步骤实现量子图像加密和图像解密：

（1）实现量子图像加密的步骤如下：

步骤1.假定明文量子图像是

其中，|g(y,x)＝cosθ_i0+sinθ_i|1>，

i＝yx＝0,1,...,2²ⁿ-1；考虑量子图像|M>中位于|y>x+1>，|y>x+2>，…，|y>|x+k>的k个像素，其对应的灰度值分别为|g(y,x+1)>，|g(y,x+2)>，…，|g(y,x+k)>，简记为|g_y,x+1>，|g_y,x+2>，…，|g_y,x+k>；按照量子力学的规律，这k个像素构成一个k量子位系统，其状态可表示为：

$\begin{array}{c}|g_{y,x+1}{g}_{y,x+2}\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;g_{y,x+k}>=|g_{y,x+1}>\&CircleTimes;|g_{y,x+2}>\&CircleTimes;\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;\&CircleTimes;|g_{y,x+k}>\\ =\cos {\mathrm{\&theta;}}_{y,x+1}{\cos \mathrm{\&theta;}}_{y,x+2}\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;{\cos \mathrm{\&theta;}}_{y,x+k-1}{\cos \mathrm{\&theta;}}_{y,x+k}|00\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;00>\\ +{\cos \mathrm{\&theta;}}_{y,x+1}{\cos \mathrm{\&theta;}}_{y,x+2}\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;{\cos \mathrm{\&theta;}}_{y,x+k-1}{\sin \mathrm{\&theta;}}_{y,x+k}|00\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;01>\\ +{\cos \mathrm{\&theta;}}_{y,x+1}{\cos \mathrm{\&theta;}}_{y,x+2}\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;{\sin \mathrm{\&theta;}}_{y,x+k-1}{\cos \mathrm{\&theta;}}_{y,x+k}|00\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;10>\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ +{\sin \mathrm{\&theta;}}_{y,x+1}{\sin \mathrm{\&theta;}}_{y,x+2}\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;{\sin \mathrm{\&theta;}}_{y,x+k-1}{\sin \mathrm{\&theta;}}_{y,x+k}|11\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;11>\\ =\underset{i=0}{\overset{2^k-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{w}_i|i>=\underset{i=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{w}_i|i>\end{array}---\left(1\right)$ 其中：i是二进制数b_k-1…b₁b₀对应的是十进制数，w_i为|i>的概率幅，其平方值表示概率；概率幅w_i满足量子归一化条件 $\underset{i=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{w}_i^2=1,|g_{y,x+1}{g}_{y,x+2}\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;g_{y,x+k}>$ 称为量子图像|g(x,y)>的关联分解；上述量子系统是一个N维Hilbert空间，其中任何一维态矢的概率

可构造一幅相应叠加态子图，将式(1)中N个态矢量|i>的系数平方值

分别作为N个图像矩阵在(x,y)处的灰度值，则式(1)表示将图像g(x,y)分解成N幅子图，分解得到的一系列特征子图分别记为|M₀>,|M₁>,…,|M_N-1>；

步骤2.用整数序列0,1,…,N-1构造一棵完全二叉树，并对其进行前序遍历，把这N个特征子图存储到完全二叉树数组中；

步骤3.对完全二叉树的根节点、左子树、右子树进行随机相位门操作和量子旋转门操作从而实现对图像灰度值的置乱；对于完全二叉树的节点i，如果imod3＝0，则对该节点存储的量子图像|M_i>乘以K₁，其中

如果imod3＝1，则对该节点存储量子图像|M_i>乘以R(θ)；如果imod3＝2，则对该节点存储量子图像|M_i>乘以K₂，其中

经过随机相位门操作和量子旋转门操作后得到的量子图像分别记为：|f₀>,|f₁>,…,|f_N-1>；对量子图像|M_i>进行随机相位门和量子旋转门操作如下：

$\begin{array}{c}{K}_1|M_i>=U_{k_1}\&CircleTimes;I_{2^{2n}}|M_i>\\ =U_{k_1}\&CircleTimes;I_{2^{2n}}\frac{1}{2^n}\underset{x=0}{\overset{2^n-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{y=0}{\overset{2^n-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}\left({\cos \mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{yx}}\right|0>+{\sin \mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{yx}}|1>)\&CircleTimes;|\mathrm{yx}>\\ =\frac{1}{2^n}\underset{x=0}{\overset{2^n-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{y=0}{\overset{2^n-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{U}_{k_1}\left({\cos \mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{yx}}\right|0>+{\sin \mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{yx}}|1>)\&CircleTimes;\mathrm{yx}>\\ =\frac{1}{2^n}\underset{x=0}{\overset{2^n-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{y=0}{\overset{2^n-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}\left({\cos \mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{yx}}\right|0>+e^{{j2\mathrm{\&pi;\&phi;}}_i}{\sin \mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{yx}}>)\&CircleTimes;|\mathrm{yx}>\\ =|f_i>\end{array}---\left(2\right)$

$\begin{array}{c}R\left(\mathrm{\&theta;}\right)|M_i>=R\left({\mathrm{\&theta;}}_j\right)\&CircleTimes;I_{2^{2n}}|M_i>=\frac{1}{2^n}\underset{y=0}{\overset{2^n-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{x=0}{\overset{2^n-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}R\left({\mathrm{\&theta;}}_j\right)|g(x,y)>\&CircleTimes;|\mathrm{yx}>\\ =\frac{1}{2^n}\underset{y=0}{\overset{2^n-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{x=0}{\overset{2^n-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}\left(\cos ({\mathrm{\&theta;}}_i+{\mathrm{\&theta;}}_j)\right|0>+\sin ({\mathrm{\&theta;}}_i+{\mathrm{\&theta;}}_j)|1>)\&CircleTimes;\mathrm{yx}>\\ =|f_i>\end{array}---\left(3\right)$ 其中 $U_{k_1}=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& e^{{j2\mathrm{\&pi;\&phi;}}_i}\end{array}\right]$ 和

是量子随机相位门， $R\left({\mathrm{\&theta;}}_j\right)=\left[\begin{array}{cc}{\cos \mathrm{\&theta;}}_j& -{\sin \mathrm{\&theta;}}_j\\ {\sin \mathrm{\&theta;}}_j& {\cos \mathrm{\&theta;}}_j\end{array}\right]$ 是量子旋转门，

是均匀分布于[0,1]之间互不相关的随机白噪声序列，θ_j为旋转角；

步骤4.根据量子态的叠加性，依次对两个量子图像进行叠加得到量子态图像：

$\begin{array}{c}|f_0^{\&prime;}>={\mathrm{\&lambda;}}_0|f_0>+{\mathrm{\&mu;}}_0|f_1>\\ |f_1^{\&prime;}>={\mathrm{\&lambda;}}_1|f_1>+{\mathrm{\&mu;}}_1|f_2>\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ |f_{N-2}^{\&prime;}>={\mathrm{\&lambda;}}_{N-2}|F_{N-2}>+{\mathrm{\&mu;}}_{N-2}|f_{N-1}>\\ |f_{N-1}^{\&prime;}>={\mathrm{\&lambda;}}_{N-1}|f_{N-1}>+{\mathrm{\&mu;}}_{N-1}|f_0>\end{array}---\left(4\right)$ 其中

表示叠加后的量子图像，且|λ_i|²+|μ_i|²＝1满足归一化条件；式(4)用矩阵可表示为：

$\left[\begin{array}{c}|f_0^{\&prime;}>\\ |f_1^{\&prime;}>\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ |f_{N-2}^{\&prime;}>\\ |f_{N-1}^{\&prime;}>\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccccc}{\mathrm{\&lambda;}}_0& {\mathrm{\&mu;}}_0& 0& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& 0\\ 0& {\mathrm{\&lambda;}}_1& {\mathrm{\&mu;}}_1& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& 0\\ \&CenterDot;& \&CenterDot;& \&CenterDot;& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& \&CenterDot;\\ \&CenterDot;& \&CenterDot;& \&CenterDot;& & \&CenterDot;\\ \&CenterDot;& \&CenterDot;& \&CenterDot;& & \&CenterDot;\\ 0& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& 0& {\mathrm{\&lambda;}}_{N-2}& {\mathrm{\&mu;}}_{N-2}\\ {\mathrm{\&mu;}}_{N-1}& 0& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& 0& {\mathrm{\&lambda;}}_{N-1}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}|f_0>\\ |f_1>\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ |f_{N-2}>\\ |f_{N-1}>\end{array}\right]---\left(5\right)$ 式(5)简记为A＝CB；

步骤5.对所有的量子图像

进行叠加得到最终的量子图像f：

$|f>={\mathrm{\&eta;}}_0|f_0^{\&prime;}>+{\mathrm{\&eta;}}_1|f_1^{\&prime;}>+\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;+{\mathrm{\&eta;}}_{N-1}|f_{N-1}^{\&prime;}>---\left(6\right)$

其中η＝(η₀,η₁,...,η_n-1)且量子图像|f>为密文图像；

步骤6：对|f>应用施密特正交分解，得到标准正交基态|Q_i>

$|f>=\underset{i=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&beta;}}_i|Q_i>---\left(7\right)$ 其中，β_i满足归一化条件

整个加密过程中涉及的密钥有量子随机相位门K₁和K₂、量子旋转门R(θ)、系数矩阵C及K₃＝{|Q_i>,i＝0,1,...,N-1}组成；分析加密算法，由于所有的加密操作都是幺正变换，所以加密过程是完全可逆的；

（2）实现图像解密的步骤如下：

步骤1.对量子图像|f>进行投影测量得到利用密钥K₃＝{|Q_i>,i＝0,1,...,N-1}对量子图像|f>进行投影测量：

$P=\underset{i=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{P}_i|Q_i><Q_i|---\left(8\right)$

$P_i=\frac{t_i}{t-t_i}---\left(9\right)$ 其中t表示测量的总次数，t_i表示测量结果与

相同的次数；

步骤2.对于测量得到的所有量子态

利用系数矩阵C的逆变换求出所有的|f_i>：

B＝C^-1A         (10)

步骤3.对于完全二叉树中节点i，如果imod3＝0，则利用密钥K₁对该节点存储的图像|f_i>进行逆变换操作；如果imod3＝1，则利用密钥R(θ)对该节点存储的图像|f_i>进行逆变换操作；如果imod3＝2，则利用密钥K₂对该节点存储的图像|f_i>进行逆变换操作，根据完全二叉树得到|M₀>,|M₁>,...,|M_N-1>；量子图像的随机相位门和旋转门逆变换操作如下：

$\begin{array}{c}{K}_1^{-1}|f_i>=U_{k_1}^{+}\&CircleTimes;I_{2^{2n}}|f_i>\\ =U_{k_1}^{+}\&CircleTimes;I_{2^{2n}}\frac{1}{2^n}\underset{x=0}{\overset{2^n-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{y=0}{\overset{2^n-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}\left({\cos \mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{yx}}\right|0>+e^{{j2\mathrm{\&pi;\&phi;}}_i}{\sin \mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{yx}}|1>)\&CircleTimes;|\mathrm{yx}>\\ =\frac{1}{2^n}\underset{x=0}{\overset{2^n-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{y=0}{\overset{2^n-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{U}_{k_1}^{+}\left({\cos \mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{yx}}\right|0>+e^{{j2\mathrm{\&pi;\&phi;}}_i}{\sin \mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{yx}}|1>)\&CircleTimes;|\mathrm{yx}>\\ =\frac{1}{2^n}\underset{x=0}{\overset{2^n-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{y=0}{\overset{2^n-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}\left({\cos \mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{yx}}\right|0>+{\sin \mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{yx}}|1>)\&CircleTimes;|\mathrm{yx}>\\ =|M_i>\end{array}---\left(11\right)$

$\begin{array}{c}{R}^{+}\left(\mathrm{\&theta;}\right)|f_i>=R^{+}\left({\mathrm{\&theta;}}_j\right)\&CircleTimes;I_{2^{2n}}|f_i>\\ =\frac{1}{2^n}\underset{y=0}{\overset{2^n-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{x=0}{\overset{2^n-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{R}^{+}\left({\mathrm{\&theta;}}_j\right)\left(\cos ({\mathrm{\&theta;}}_i+{\mathrm{\&theta;}}_j)\right|0>+\sin ({\mathrm{\&theta;}}_i+{\mathrm{\&theta;}}_j)|1>)\&CircleTimes;|\mathrm{yx}>\\ =\frac{1}{2^n}\underset{u=0}{\overset{2^n-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{x=0}{\overset{2^n-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}|g(y,x)>\&CircleTimes;|\mathrm{yx}>\\ =|M_i>\end{array}---\left(12\right)$

步骤4.根据量子图像关联分解的性质，利用N个子图在(m,n)处的灰度值求出原图像的灰度值，从而得到明文图像。

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