CN103869315A - 临近空间圆周合成孔径雷达快速后向投影成像方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种临近空间圆周合成孔径雷达快速后向投影成像方法，针对临近空间圆周合成孔径雷达快速成像问题，本发明的方法利用像素幅度误差替代相干成像方法中的相位误差作为成像精度的评价标准，根据最小均方误差原理，通过基于切比雪夫节点拉格朗日插值的格林函数的低阶近似展开，将计算子孔径投影的问题转换为计算有限个近似展开系数的问题，在满足聚焦精度的条件下可以尽可能地减小展开系数的个数，从而降低了算法计算复杂度，再利用递归运算完成从粗聚焦到精聚焦的成像。与现有圆周SAR后向投影成像方法相比，运算速度有显著的提高，可以实现大场景的成像，而且成像精度更高。

Description

临近空间圆周合成孔径雷达快速后向投影成像方法

技术领域

本发明属于雷达技术领域，涉及合成孔径雷达成像方法技术，具体涉及临近空间圆周合成孔径雷达成像技术中的快速后向投影成像方法。

背景技术

合成孔径雷达（Synthetic Aperture Radar，SAR）是一种全天时、全天候的现代高分辨率微波遥感成像雷达，在地形测绘、植被分析、海洋及水文观测、环境及灾害监视、资源勘探以及地壳微变检测等领域，SAR发挥了越来越重要的作用。

临近空间圆周合成孔径雷达（CSAR）由于可以环绕成像区域进行长时间观测而有着很多突出的优点，它能在较短时间内实现对大面积区域的快速观测，观测效率高等特点。另外，由于临近空间CSAR对观测区域进行360°区域的观测，可以有效提高了成像分辨率。

在圆形轨迹模式下，由于平台飞行轨迹的特殊形式，雷达回波的方位频谱难以推导，因此应用于一般的直线SAR模式的频域成像算法，如距离多普勒、Chirp Scaling和波数域等算法均不能直接应用于CSAR。可以用于临近空间CSAR成像的频域算法为改进的波数域算法，在文献：A Novel Modified Omega-K Algorithm for Circular trajectory Scanning SARImaing Using Series Reversion，Yi Liao，Meng-dao Xing,Lei Zhang,Zheng Bao,《EURASIPJournal on Advances in Signal Processing》，2013：64，提出了一种用基于序列反转的波数域方法，成像效果较为精确，但是此方法计算二维波数域频谱的过程较为复杂，并且算法复杂度为N2.5（其中，N为数据方阵的大小），不能实现快速成像；另一种成像方法为后向投影算法，传统反投影方法运算耗时较长，在文献：Processing of Circular SAR Trajectories withFast Factorized Back-Projection,Octavio Ponce,Pau Prats,Marc Rodriguez-Cassola,RolfScheiber,Andreas Reigber,《Geoscience and Remote Sensing Symposium(IGARSS)2011IEEEInternational》，2011：3692-3695，采用快速分块后向投影方法，算法复杂度降为N²log(N),并通过限制投影相位误差的方法达到聚焦效果，有效改进了反投影算法，而此算法仅考虑投影的相位误差，忽略了点的像素幅度误差。

发明内容

本发明的目的是针对现有技术存在的上述缺陷，研究一种临近空间圆周合成孔径雷达快速后向投影成像方法，通过降低幅度误差实现快速精确成像。

本发明的技术方案为：一种临近空间圆周合成孔径雷达快速后向投影成像方法，具体包括如下步骤：

步骤一：原始回波距离压缩，

平台的运动半径为r_c,飞行高度为H，飞行线速度记为V，则平台的飞行角速度为w_v=V/r_c，观测场景内任意点目标的坐标记为(x,y)；

目标距离历史为R(t;x,y)，

$R(t;x,y)=\sqrt{{(r_c\·\cos \left(w_{v}t\right)-x)}^2+{(r_c\·\sin \left(w_{v}t\right)-y)}^2+H^2}---\left(1\right)$

其中，t为方位时间，

点目标P(x,y)回波表达式记为S_r(t,τ;x,y)：

$\begin{array}{c}{S}_r(t,\mathrm{\τ};x,y)=\mathrm{rect}\left[\frac{\mathrm{\τ}-{\mathrm{\τ}}_d(t;x,y)}{T_r}\right]\\ \×\exp \left\{\mathrm{j\π}{K}_r\right[\mathrm{\τ}-{\mathrm{\τ}}_d{(t;x,y)]}^2\}\\ \×\exp \{-j2\mathrm{\π}{f}_0{\mathrm{\τ}}_d(t;x,y)\}\end{array}---\left(2\right)$

其中，τ为距离向时间，τ_d(t;x,y)为点目标P(x,y)处回波延时τ_d(t;x,y)=R(t;x,y)/c，rect[·]代表距离时间窗，K_r是发射信号的时间调频斜率，c为光速，f₀为载波频率，T_r代表距离时间脉宽；

利用驻定相位原理计算点目标距离压缩后距离向频谱表达式，其距离向频谱形式记为S_f(f,t;x,y)，其中，f为距离向频率，t为方位向时刻；

$S_f(f,t;x,y)=\mathrm{\φ}(f,t;x,y)\×\exp \{-j2\mathrm{\π}(f+f_0)\frac{R(t;x,y)}{c}\}---\left(3\right)$

其中，φ(f,t;x,y)为目标P(x,y)的距离压缩后距离向频谱包络；

步骤二：确定成像场景，并且在原始数据空间和成像区域上建立四叉树，

定义图像空间M=[x_min,x_max]×[y_min,y_max]，其中，点(x,y)∈M，x_min、y_min分别为成像场景二维最小边界，x_max、y_max分别为成像场景二维最大边界；

定义信号空间S=[f_min,f_max]×[t_min,t_max]，其中，点(f,t)∈S，f_min为回波信号最小距离向频率，t_min为回波最早方位时刻，f_max为回波最大距离向频率，t_max为回波最终方位时刻。

定义信号空间S上四叉树T_S，其中，树的根节点为整个信号空间S，树的叶子节点为对S的两维分别进行N_r次等分形成的网格，N_r为距离向采样点数；在图像空间M上构造四叉树T_M，树的根节点为图像空间M，叶子节点为M被等分N_a ²形成的网格，N_a为方位向点数；

步骤三：递归初始化，将信号域的树T_S的叶子节点对应信号投影到图像域的树T_M上的根节点对应场景；

建立后向投影积分公式：

$\mathrm{Ima}(x,y)=\∫\∫\exp \left\{j2\mathrm{\π}(f+f_0)\frac{R(t;x,y)}{c}\right\}{S}_f(f,t;x,y)\mathrm{dfdt}---\left(4\right)$

其中，Ima(x,y)为场景任意点P(x,y)处的像素值；

记T_M的根节点R_M，以及T_S的任意叶子节点L_S；由L_S对应的信号投影到节点R_M中，得到子视全区域粗聚焦图像：

${\mathrm{Ima}}^{L_S}(x,y)\underset{f}{\mathrm{\Σ}}\underset{t}{\mathrm{\Σ}}\underset{k}{\mathrm{\Σ}}{\mathrm{\α}}_k^{R_M{L}_S}(x,y){\mathrm{\β}}_k^{R_M{L}_S}(f,t)S_f(f,t;x,y)---\left(5\right)$

其中，(x,y)∈R_M，(f,t)∈L_S，k为插值点个数，

为积分函数中格林函数

通过二维拉格朗日插值得到格林函数的低阶近似表达，并且满足：

$\left|\exp \right\{j2\mathrm{\π}(f+f_0)\frac{R(t;x,y)}{c}\}-\underset{k}{\mathrm{\Σ}}{\mathrm{\α}}_k^{R_M{L}_S}(x,y){\mathrm{\β}}_k^{R_M{L}_S}(f,t)|\≤\mathrm{\ϵ}---\left(6\right)$

其中，ε为格林函数的低阶近似展开的误差；

进而得到一系列称为递归算法的投影等效信号：

${\mathrm{\γ}}_k^{R_M{L}_S}=\underset{f}{\mathrm{\Σ}}\underset{t}{\mathrm{\Σ}}{\mathrm{\β}}_k^{R_M{L}_S}(f,t)S_f(f,t;x,y)---\left(7\right)$

其中，

${\mathrm{\β}}_k^{R_M{L}_S}(f,t)=e^{-j2\mathrm{\π}{f}_0\mathrm{\Φ}(x_0\left(R_M\right),y_k^{L_S})}{L}_k^{L_S}\left(y\right)e^{j2\mathrm{\π}{f}_0\mathrm{\Φ}(x_0\left(R_M\right),y)}---\left(8\right)$

Φ(x,y)=2(f+f₀)/f₀·R(t;x,y)/c    (9)

$\mathrm{\Φ}(x_0\left(R_M\right),y_k^{L_S})=\mathrm{\Φ}(x,y){|}_{(x,y)=(x_0\left(R_M\right),y_k^{L_S})}$

$\mathrm{\Φ}(x_0\left(R_M\right),y)=\mathrm{\Φ}(x,y){|}_{x=x_0\left(R_M\right)}$

二维变量y表示信号空间的二维坐标(f,t)，x表示图像空间二维坐标(x,y)，x₀(R_M)=(x₀,y₀)是节点R_M中心位置的坐标，是节点L_S上的二维插值节点，

为Φ(x,y)当x=x₀(R_M)及

时的函数值，Φ(x₀(R_M),y)为Φ(x,y)当x=x₀(R_M)时的函数值。

其中，k₁、k₂代表插值点下标，1≤k₁≤r_ε，1≤k₂≤r_ε，r_ε为一维插值点的个数，在节点L_S中插值点个数为

二维拉格朗日插值基函数：

$L_k^{L_S}\left(y\right)=\underset{1\≤i\≤r_{\mathrm{\ϵ}},i\≠k_1}{\mathrm{\Π}}\frac{f-f_i^{L_S}}{f_{k_1}^{L_S}-f_i^{L_S}}\underset{1\≤j\≤r_{\mathrm{\ϵ}},j\≠k_2}{\mathrm{\Π}}\frac{t-t_j^{L_S}}{t_{k_2}^{L_S}-t_j^{L_S}}---\left(10\right)$

步骤四：递归计算投影等效信号；

递归运算过程中，图像空间的网格由四叉树的根节点逐渐细分为子节点，信号空间的网格则由四叉树的叶子节点逐渐组合成双亲节点。投影等效信号

的值在递归过程中不断更新，更新方法分三个阶段进行，第一阶段递归公式为：

${\mathrm{\γ}}_k^{R_M{L}_S}=e^{-j2\mathrm{\π}{f}_0\mathrm{\Φ}(x_0\left(R_M\right),y_k^{L_S})}\underset{\mathrm{ch}}{\mathrm{\Σ}}\underset{k^{\text{'}}}{\overset{r_{\mathrm{\ϵ}}}{\mathrm{\Σ}}}\left(L_t^{L_S}\left(y_{k^{\text{'}}}^{L_S^{\mathrm{ch}}}\right)e^{j2\mathrm{\π}{f}_0\mathrm{\Φ}(x_0\left(R_M\right),y_{k^{\text{'}}}^{L_S^{\mathrm{ch}}})}{\mathrm{\γ}}_{k^{\text{'}}}^{R_M^p{L}_S^{\mathrm{ch}}}\right)---\left(11\right)$

其中，

为当前节点L_S的子节点，

为节点R_M的双亲节点，ch表示子节点，k是Ls节点的插值点个数，k′是Ls子节点的插值点个数，k和k′取值范围是[1,rε]，

为信号空间节点

上二维插值点，

为在上一层递归中计算得到的等效信号，

$\mathrm{\Φ}(x_0\left(R_M\right),y_k^{L_S})=\mathrm{\Φ}(x,y){|}_{(x,y)=(x_0\left(R_M\right),y_k^{L_S})}$

$\mathrm{\Φ}(x_0\left(R_M\right),y_{k^{\text{'}}}^{L_S^{\mathrm{ch}}})=\mathrm{\Φ}(x,y){|}_{(x,y)=(x_0\left(R_M\right),y_{k^{\text{'}}}^{L_S^{\mathrm{ch}}})}$

该阶段迭代的终止时刻为节点R_M和L_S的深度为l=L/2。

第二阶段为转换阶段，转换公式为：

${\mathrm{\γ}}_k^{R_M{L}_S}=\underset{s}{\overset{r_{\mathrm{\ϵ}}}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\α}}_s^{R_M{L}_S}\left(x_k^{R_M}\right){\mathrm{\γ}}_s^{R_M{L}_S}---\left(12\right)$

其中，

${\mathrm{\α}}_s^{R_M{L}_S}\left(x_k^{R_M}\right)=e^{j2\mathrm{\π}{f}_0\mathrm{\Φ}(x_k^{R_M},y_s^{L_S})}---\left(13\right)$

$\mathrm{\Φ}(x_k^{R_M},y_k^{L_S})=\mathrm{\Φ}(x,y){|}_{(x,y)=(x_k^{R_M},y_k^{L_S})}$

其中，

为信号空间节点L_S中二维插值点，

为图像空间R_M中的二维插值点。

第三阶段递归公式为：

${\mathrm{\γ}}_k^{R_M{L}_S}=\underset{c}{\mathrm{\Σ}}{e}^{j2\mathrm{\π}{f}_0\mathrm{\Φ}(x,y_0\left(L_S^{\mathrm{ch}}\right))}\underset{k^{\text{'}}}{\overset{r_{\mathrm{\ϵ}}}{\mathrm{\Σ}}}\left(L_{k^{\text{'}}}^{R_M}\left(x\right)e^{-j2\mathrm{\π}{f}_0\mathrm{\Φ}(x_{k^{\text{'}}}^{R_M^p},y_0\left(L_S^{\mathrm{ch}}\right))}{\mathrm{\γ}}_{k^{\text{'}}}^{R_M^p{L}_S^{\mathrm{ch}}}\right)---\left(14\right)$

其中，为信号空间节点

的中心点， $\mathrm{\Φ}(x,y_0\left(L_S^{\mathrm{ch}}\right))=\mathrm{\Φ}(x,y){|}_{y=y_0\left(L_S^{\mathrm{ch}}\right)},$ $\mathrm{\Φ}(x_{k^{\text{'}}}^{R_M^p},y_0\left(L_S^{\mathrm{ch}}\right))=\mathrm{\Φ}(x,y){|}_{(x,y)=(x_{k^{\text{'}}}^{R_M^p},y_0\left(L_S^{\mathrm{ch}}\right))};$

该阶段迭代的终止时刻为节点L_S的深度为l=1。

步骤五：完成精聚焦成像，

设树T_S的根节点为L_S，树T_M的叶子节点为R_M，则由节点R_M到L_S的全孔径投影为：

$\mathrm{Ima}\left(x\right)=e^{j2\mathrm{\π}{f}_0\mathrm{\Φ}(x,y_0\left(R_M\right))}\underset{k}{\overset{r_{\mathrm{\ϵ}}}{\mathrm{\Σ}}}{L}_k^{L_S}\left(x\right)e^{-j2\mathrm{\π}{f}_0\mathrm{\Φ}(x_k^{R_M},y_0\left(L_S\right))}{\mathrm{\γ}}_k^{L_S{R}_M}---\left(15\right)$

其中，

$\mathrm{\Φ}\left({x,y}_0\left(R_M\right)\right)=\mathrm{\Φ}(x,y){|}_{y=y_0\left(R_M\right)}$

$\mathrm{\Φ}(x_k^{R_M},y_0\left(L_S\right))=\mathrm{\Φ}(x,y){|}_{(x,y)=(x_k^{R_M},y_0\left(L_S\right))}.$

本发明的有益效果：本发明的方法利用像素幅度误差替代相干成像方法中的相位误差作为成像精度的评价标准，根据最小均方误差原理，通过基于切比雪夫节点拉格朗日插值的格林函数的低阶近似展开，将计算子孔径投影的问题转换为计算有限个近似展开系数的问题，在满足聚焦精度的条件下可以尽可能地减小展开系数的个数，从而降低了算法计算复杂度，再利用递归运算完成从粗聚焦到精聚焦的成像。与现有圆周SAR后向投影成像方法相比，运算速度有显著的提高，可以实现大场景的成像，而且成像精度更高。

附图说明

图1是本发明提供方法的流程示意图；

图2是本发明具体实施方式采用的临近空间圆周合成孔径雷达系统结构图；

图3是本发明具体实施方式采用的临近空间圆周合成孔径雷达系统参数表；

图4是本发明具体实施方式中采用的目标场景布置图；

图5是本发明具体实施方式中对图4中9个点目标进行成像的结果示意图；

图6是图4中A点的成像结果示意图；

图7是图4中O点的成像结果示意图；

图8是图4中B点的成像结果示意图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明的实施例做进一步的说明。

本发明主要采用仿真实验的方法进行验证，所有步骤、结论都在Matlab2010上验证正确。下面就具体实施方式对本发明作进一步的详细描述。

A：对成像区域任意点目标，计算平台与目标的距离历程，产生临近空间圆周合成孔径雷达(CSAR)点目标仿真回波数据，记为S_γ(t,τ)，并且设定此矩阵为方阵，仿真所需的参数如图3所示，目标场景如图4所示，图中的黑色圆点为布置于地面上的3×3共9个点目标。这9个点的其中8个点在以坐标原点为中心，以30m为半径的圆上均匀分布，一个点位于坐标原点。

回波数据S_γ(t,τ)进行距离向快速傅立叶变换（FFT），得到CSAR距离向频谱数据，记为S(f,t;x,y)，根据匹配滤波原理，进行距离压缩，得到距离压缩后频谱数据S_f(f,t;x,y)。

B：确定成像区域M=[x_min,x_max]×[y_min,y_max]，计算频谱数据S_f(f,t;x,y)所在信号空间S=[f_min,f_max]×[t_min,t_max]，将信号空间S划分成均匀的网格，网格数为N_r×N_a。根据切比雪夫网格计算公式，在S上的任一网格L_S内，计算插值点其中，一维切比雪夫网格计算公式为

i=0、1、…、n-1，由式(6)计算得初始展开系数。

C：划分成像区域M，两维分别做一次等分，划分的任一网格节点R_M中心点记(x₀(R_M),y₀(R_M))，将空间M上已划网格进行综合，任一网格节点L_S由子节点

合成，如图4所示。计算节点L_S上切比雪夫网格点作为插值点，由(10)式计算与节点R_M、L_S对应的展开系数

重复此步骤，直至节点R_M或L_S的深度为树的深度的一半。

D：由节点R_M、L_S生成的根据转换式(11)计算点上像素值

由此计算得所有节点R_M上的像素值为节点L_S投影的粗聚焦的子图像。

E：对区域M上网格进行等分，S空间上网格进行综合，记M上任一网格R_M上的插值点为

S上任一节点L_S的中心点(f₀(L_S),t₀(L_S))，由式(12)计算插值点处像素值重复此步骤，直至节点L_S的深度为l=1。

F：由节点R_M内插值点

的像素值根据式(14)计算节点R_M内每个点(x,y)的像素值，完成图像精聚焦。

图5为对图4中9个点目标进行成像的结果示意图；图6为图4中A点的成像结果示意图；图7为图4中O点的成像结果示意图；图8为图4中B点的成像结果示意图。

通过上述实施例可以看出，本发明的方法通过递归投影的方式加快了成像速度，并且在递归过程中逐渐降低由投影函数的低阶近似展开带来的幅度误差，实现快速精确成像。

Claims (1)

1.一种临近空间圆周合成孔径雷达快速后向投影成像方法，具体包括如下步骤：

步骤一：原始回波距离压缩，

平台的运动半径为r_c,飞行高度为H，飞行线速度记为V，则平台的飞行角速度为w_v=V/r_c，观测场景内任意点目标的坐标记为(x,y)；

目标距离历史为R(t;x,y)，

$R(t;x,y)=\sqrt{{(r_c\·\cos \left(w_{v}t\right)-x)}^2+{(r_c\·\sin \left(w_{v}t\right)-y)}^2+H^2}---\left(1\right)$

其中，t为方位时间，

点目标P(x,y)回波表达式记为S_r(t,τ;x,y)：

$\begin{array}{c}{S}_r(t,\mathrm{\τ};x,y)=\mathrm{rect}\left[\frac{\mathrm{\τ}-{\mathrm{\τ}}_d(t;x,y)}{T_r}\right]\\ \×\exp \left\{\mathrm{j\π}{K}_r\right[\mathrm{\τ}-{\mathrm{\τ}}_d{(t;x,y)]}^2\}\\ \×\exp \{-j2\mathrm{\π}{f}_0{\mathrm{\τ}}_d(t;x,y)\}\end{array}---\left(2\right)$

其中，τ为距离向时间，τ_d(t;x,y)为点目标P(x,y)处回波延时τ_d(t;x,y)=R(t;x,y)/c，rect[·]代表距离时间窗，K_r是发射信号的时间调频斜率，c为光速，f₀为载波频率，T_r代表距离时间脉宽；

利用驻定相位原理计算点目标距离压缩后距离向频谱表达式，其距离向频谱形式记为S_f(f,t;x,y)，其中，f为距离向频率，t为方位向时刻；

$S_f(f,t;x,y)=\mathrm{\φ}(f,t;x,y)\×\exp \{-j2\mathrm{\π}(f+f_0)\frac{R(t;x,y)}{c}\}---\left(3\right)$

其中，φ(f,t;x,y)为目标P(x,y)的距离压缩后距离向频谱包络；

步骤二：确定成像场景，并且在原始数据空间和成像区域上建立四叉树，

定义图像空间M=[x_min,x_max]×[y_min,y_max]，其中，点(x,y)∈M，x_min、y_min分别为成像场景二维最小边界，x_max、y_max分别为成像场景二维最大边界；

定义信号空间S=[f_min,f_max]×[t_min,t_max]，其中，点(f,t)∈S，f_min为回波信号最小距离向频率，t_min为回波最早方位时刻，f_max为回波最大距离向频率，t_max为回波最终方位时刻。

定义信号空间S上四叉树T_S，其中，树的根节点为整个信号空间S，树的叶子节点为对S的两维分别进行N_r次等分形成的网格，N_r为距离向采样点数；在图像空间M上构造四叉树T_M，树的根节点为图像空间M，叶子节点为M被等分N_a ²形成的网格，N_a为方位向点数；

步骤三：递归初始化，将信号域的树T_S的叶子节点对应信号投影到图像域的树T_M上的根节点对应场景；

建立后向投影积分公式：

$\mathrm{Ima}(x,y)=\∫\∫\exp \left\{j2\mathrm{\π}(f+f_0)\frac{R(t;x,y)}{c}\right\}{S}_f(f,t;x,y)\mathrm{dfdt}---\left(4\right)$

其中，Ima(x,y)为场景任意点P(x,y)处的像素值；

记T_M的根节点R_M，以及T_S的任意叶子节点L_S；由L_S对应的信号投影到节点R_M中，得到子视全区域粗聚焦图像：

${\mathrm{Ima}}^{L_S}(x,y)\underset{f}{\mathrm{\Σ}}\underset{t}{\mathrm{\Σ}}\underset{k}{\mathrm{\Σ}}{\mathrm{\α}}_k^{R_M{L}_S}(x,y){\mathrm{\β}}_k^{R_M{L}_S}(f,t)S_f(f,t;x,y)---\left(5\right)$

其中，(x,y)∈R_M，(f,t)∈L_S，k为插值点个数，

为积分函数中格林函数

通过二维拉格朗日插值得到格林函数的低阶近似表达，并且满足：

$\left|\exp \right\{j2\mathrm{\π}(f+f_0)\frac{R(t;x,y)}{c}\}-\underset{k}{\mathrm{\Σ}}{\mathrm{\α}}_k^{R_M{L}_S}(x,y){\mathrm{\β}}_k^{R_M{L}_S}(f,t)|\≤\mathrm{\ϵ}---\left(6\right)$

其中，ε为格林函数的低阶近似展开的误差；

进而得到一系列称为递归算法的投影等效信号：

${\mathrm{\γ}}_k^{R_M{L}_S}=\underset{f}{\mathrm{\Σ}}\underset{t}{\mathrm{\Σ}}{\mathrm{\β}}_k^{R_M{L}_S}(f,t)S_f(f,t;x,y)---\left(7\right)$

其中，

${\mathrm{\β}}_k^{R_M{L}_S}(f,t)=e^{-j2\mathrm{\π}{f}_0\mathrm{\Φ}(x_0\left(R_M\right),y_k^{L_S})}{L}_k^{L_S}\left(y\right)e^{j2\mathrm{\π}{f}_0\mathrm{\Φ}(x_0\left(R_M\right),y)}---\left(8\right)$

Φ(x,y)=2(f+f₀)f₀·R(t;x,y)/c    (9)

$\mathrm{\Φ}(x_0\left(R_M\right),y_k^{L_S})=\mathrm{\Φ}(x,y){|}_{(x,y)=(x_0\left(R_M\right),y_k^{L_S})}$

$\mathrm{\Φ}(x_0\left(R_M\right),y)=\mathrm{\Φ}(x,y){|}_{x=x_0\left(R_M\right)}$

二维变量y表示信号空间的二维坐标(f,t)，x表示图像空间二维坐标(x,y)，x₀(R_M)=(x₀,y₀)是节点R_M中心位置的坐标，

是节点L_S上的二维插值节点，

当x=x₀(R_M)及

时的函数值，Φ(x₀(R_M),y)为Φ(x,y)当x=x₀(R_M)时的函数值；

其中，k₁、k₂代表插值点下标，1≤k₁≤r_ε，1≤k₂≤r_ε，r_ε为一维插值点的个数，在节点L_S中插值点个数为二维拉格朗日插值基函数：

$L_k^{L_S}\left(y\right)=\underset{1\≤i\≤r_{\mathrm{\ϵ}},i\≠k_1}{\mathrm{\Π}}\frac{f-f_i^{L_S}}{f_{k_1}^{L_S}-f_i^{L_S}}\underset{1\≤j\≤r_{\mathrm{\ϵ}},j\≠k_2}{\mathrm{\Π}}\frac{t-t_j^{L_S}}{t_{k_2}^{L_S}-t_j^{L_S}}---\left(10\right)$

步骤四：递归计算投影等效信号；

递归运算过程中，图像空间的网格由四叉树的根节点逐渐细分为子节点，信号空间的网格则由四叉树的叶子节点逐渐组合成双亲节点；

投影等效信号

的值在递归过程中不断更新，更新方法分三个阶段进行，第一阶段递归公式为：

${\mathrm{\γ}}_k^{R_M{L}_S}=e^{-j2\mathrm{\π}{f}_0\mathrm{\Φ}(x_0\left(R_M\right),y_k^{L_S})}\underset{c}{\mathrm{\Σ}}\underset{k^{\text{'}}}{\overset{r_{\mathrm{\ϵ}}}{\mathrm{\Σ}}}\left(L_t^{L_S}\left(y_{k^{\text{'}}}^{L_S^{\mathrm{ch}}}\right)e^{j2\mathrm{\π}{f}_0\mathrm{\Φ}(x_0\left(R_M\right),y_{k^{\text{'}}}^{L_S^{\mathrm{ch}}})}{\mathrm{\γ}}_{k^{\text{'}}}^{R_M^p{L}_S^{\mathrm{ch}}}\right)---\left(11\right)$

其中，

为当前节点L_S的子节点，

为节点R_M的双亲节点，ch表示子节点，k是Ls节点的插值点个数，k′是Ls子节点的插值点个数，k和k′取值范围是[1,r_ε]，

为信号空间节点

上二维插值点，

为在上一层递归中计算得到的等效信号，

$\mathrm{\Φ}(x_0\left(R_M\right),y_k^{L_S})=\mathrm{\Φ}(x,y){|}_{(x,y)=(x_0\left(R_M\right),y_k^{L_S})}$

$\mathrm{\Φ}(x_0\left(R_M\right),y_{k^{\text{'}}}^{L_S^{\mathrm{ch}}})=\mathrm{\Φ}(x,y){|}_{(x,y)=(x_0\left(R_M\right),y_{k^{\text{'}}}^{L_S^{\mathrm{ch}}})}$

该阶段迭代的终止时刻为节点R_M和L_S的深度为l=L/2；

第二阶段为转换阶段，转换公式为：

${\mathrm{\γ}}_k^{R_M{L}_S}=\underset{s}{\overset{r_{\mathrm{\ϵ}}}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\α}}_s^{R_M{L}_S}\left(x_k^{R_M}\right){\mathrm{\γ}}_s^{R_M{L}_S}---\left(12\right)$

其中，

${\mathrm{\α}}_s^{R_M{L}_S}\left(x_k^{R_M}\right)=e^{j2\mathrm{\π}{f}_0\mathrm{\Φ}(x_k^{R_M},y_s^{L_S})}---\left(13\right)$

$\mathrm{\Φ}(x_k^{R_M},y_k^{L_S})=\mathrm{\Φ}(x,y){|}_{(x,y)=(x_k^{R_M},y_k^{L_S})}$

第三阶段递归公式为：

${\mathrm{\γ}}_k^{R_M{L}_S}=\underset{c}{\mathrm{\Σ}}{e}^{j2\mathrm{\π}{f}_0\mathrm{\Φ}(x,y_0\left(L_S^{\mathrm{ch}}\right))}\underset{k^{\text{'}}}{\overset{r_{\mathrm{\ϵ}}}{\mathrm{\Σ}}}\left(L_{k^{\text{'}}}^{R_M}\left(x\right)e^{-j2\mathrm{\π}{f}_0\mathrm{\Φ}(x_{k^{\text{'}}}^{R_M^p},y_0\left(L_S^{\mathrm{ch}}\right))}{\mathrm{\γ}}_{k^{\text{'}}}^{R_M^p{L}_S^{\mathrm{ch}}}\right)---\left(14\right)$

其中， $\mathrm{\Φ}(x,y_0\left(L_S^{\mathrm{ch}}\right))=\mathrm{\Φ}(x,y){|}_{y=y_0\left(L_S^{\mathrm{ch}}\right)},$

$\mathrm{\Φ}(x_{k^{\text{'}}}^{R_M^p},y_0\left(L_S^{\mathrm{ch}}\right))=\mathrm{\Φ}(x,y){|}_{(x,y)=(x_{k^{\text{'}}}^{R_M^p},y_0\left(L_S^{\mathrm{ch}}\right))};$

该阶段迭代的终止时刻为节点L_S的深度为l=1；

步骤五：完成精聚焦成像，

设树T_S的根节点为L_S，树T_M的叶子节点为R_M，则由节点R_M到L_S的全孔径投影为：

$\mathrm{Ima}\left(x\right)=e^{j2\mathrm{\π}{f}_0\mathrm{\Φ}(x,y_0\left(R_M\right))}\underset{k}{\overset{r_{\mathrm{\ϵ}}}{\mathrm{\Σ}}}{L}_k^{L_S}\left(x\right)e^{-j2\mathrm{\π}{f}_0\mathrm{\Φ}(x_k^{R_M},y_0\left(L_S\right))}{\mathrm{\γ}}_k^{L_S{R}_M}---\left(15\right)$

其中，

$\mathrm{\Φ}\left({x,y}_0\left(R_M\right)\right)=\mathrm{\Φ}(x,y){|}_{y=y_0\left(R_M\right)}$

$\mathrm{\Φ}(x_k^{R_M},y_0\left(L_S\right))=\mathrm{\Φ}(x,y){|}_{(x,y)=(x_k^{R_M},y_0\left(L_S\right))}.$

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